2020中考常见最值问题总结归纳微专题七函数最值二次函数最值公式法(解析版)
2020
中考常见最值问题归纳总结微专题七：二次函数最值公式法
W
O
R
K
I
N
G
P
L
A
N
微专题七：二次函数最值公式法
考法指导
二次函数y ax bx c =++2（a 、b 、c 为常数且a ≠0）其性质中有
①若a >0当x b
a
=-2时，y 有最小值。y ac b a min =-442；
②若a <0当x b
a
=-2时，y 有最大值。y ac b a max =-442。
利用二次函数的这个性质，将具有二次函数关系的两个变量建立二次函数，再利用二次函数性质进行计算，从而达到解决实际问题之目的。
【典例精析】
例题1．
（2020·黑龙江中考真题）二次函数2
(6)8y x =--+的最大值是__________． 【答案】8 【详解】
解：∵10a =-<， ∴y 有最大值，
当6x =时，y 有最大值8． 故答案为8．
例题2．
（2019·安徽中考真题）一次函数y =kx +4与二次函数y =ax 2+c 的图像的一个交点坐标为（1,2），另一个交点是该二次函数图像的顶点 （1）求k ，a ，c 的值；
（2）过点A （0，m ）（0＜m ＜4）且垂直于y 轴的直线与二次函数y =ax 2+c 的图像相交于B ，C 两点，点O 为坐标原点，记W =OA 2+BC 2，求W 关于m 的函数解析式，并求W 的最小值.
【答案】（1）k =-2，a =-2，c =4；（2）2
(1)7W m =-+, W 取得最小值7. 【详解】
解：（1）由题意得，k+4=-2，解得k=-2， ∴一次函数解析式为：y=-2x+4 又二次函数顶点横坐标为0， ∴顶点坐标为（0,4） ∴c=4
把（1,2）带入二次函数表达式得a+c=2，解得a=-2
（2）由（1）得二次函数解析式为y=-2x 2+4，令y=m ，得2x 2+m -4=0
∴x=±
，设B ，C 两点的坐标分别为（x 1，m ）（x 2，m ），则12x x + ∴W=OA 2+BC 2=2
22
4-m m 4=m -2m+8=m-172
+?
+（） ∴当m=1时，W 取得最小值7
【针对训练】
1．（2017·四川中考真题）已知二次函数（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是（）
A．B．C．或D．或
【答案】D
【详解】
=，①若m＜﹣1，当x=﹣1时，y=1+2m=﹣2，解得：m=；
②若m＞2，当x=2时，y=4﹣4m=﹣2，解得：m=＜2（舍）；
③若﹣1≤m≤2，当x=m时，y=﹣=﹣2，解得：m=或m=﹣＜﹣1（舍），∴m的值为或，故选D．
2．（2017·四川中考真题）若一次函数y=（a+1）x+a的图象过第一、三、四象限，则二次函数（）
A．有最大值B．有最大值﹣C．有最小值D．有最小值﹣
【答案】B
【详解】
∴一次函数y=（a+1）x+a的图象过第一、三、四象限，∴a+1＞0且a＜0，∴﹣1＜a＜0，∴二次函数由有最小值﹣，故选D．
考点：二次函数的最值；最值问题；一次函数图象与系数的关系．
3．（2019·云南中考真题）某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售.已知西瓜的成本为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍.经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y (千克)与销售单价x (元/千克)的函数关系如下图所示： (1)求y 与x 的函数解析式(也称关系式)； (2)求这一天销售西瓜获得的利润的最大值.
【答案】(1)y 与x 的函数解析式为()()20022006102001012x x y x ?-+≤≤?=?<≤??
；(2)这一天销售西瓜获
得利润的最大值为1250元. 【详解】
(1)当6≤x≤10时，由题意设y ＝kx ＋b(k ＝0)，它的图象经过点(6，1000)与点(10，200)，
∴1000620010k b
k b =+??=+?
，
解得200
2200
k b =-??
=? ，
∴当6≤x≤10时， y ＝-200x+2200， 当10＜x≤12时，y ＝200， 综上，y 与x 的函数解析式为()
()20022006102001012x x y x ?-+≤≤?=?<≤??
；
(2)设利润为w 元，
当6≤x≤10时，y ＝－200x ＋2200，
w ＝(x －6)y ＝(x －6)(－200x ＋200)＝－200
2
172
x -（）＋1250， ∴－200＜0，6∴x≤10，
当x ＝
17
2
时，w 有最大值，此时w=1250； 当10＜x≤12时，y ＝200，w ＝(x －6)y ＝200(x －6)＝200x －1200， ∴200＞0，
∴w ＝200x －1200随x 增大而增大， 又∴10＜x≤12，
∴当x ＝12时，w 最大，此时w=1200， 1250＞1200， ∴w 的最大值为1250，
答：这一天销售西瓜获得利润的最大值为1250元.
4．（2019·辽宁中考真题）我市某化工材料经销商购进一种化工材料若干千克，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，经试销发现，日销售量y （千克）与销售单价x （元）符合一次函数关系，如图所示． （1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
（2）若在销售过程中每天还要支付其他费用450元，当销售单价为多少时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？
【答案】（1）2200(3060)y x x =-+≤≤；（2）每千克60元，最大获利为1950元 【详解】 解：
（1）设一次函数关系式为(0)y kx b k =+≠
由图象可得，当30x =时，140y =；50x =时，100y =
∴1403010050k b k b =+??=+?，解得k 2b 200=-??=?
∴y 与x 之间的关系式为2200(3060)y x x =-+≤≤． （2）设该公司日获利为W 元，由题意得
2(30)(2200)4502(65)2000W x x x =--+-=--+
∵20a =-<； ∴抛物线开口向下； ∵对称轴65x =；
∴当65x <时，W 随着x 的增大而增大； ∵3060x ≤≤，
∴60x =时，W 有最大值；
22(6065)200015=90W -?-+=最大值．
即，销售单价为每千克60元时，日获利最大，最大获利为1950元．
5．（2019·辽宁中考真题）把函数2
1:23(0)C y ax ax a a =--≠的图象绕点(,0)P m 旋转180o ，
得到新函数2C 的图象，我们称2C 是1C 关于点P 的相关函数．2C 的图象的对称轴与x 轴交点坐标为(,0)t ．
（1）填空：t 的值为 （用含m 的代数式表示） （2）若1a =-，当
1
2
x t ≤≤时，函数1C 的最大值为1y ，最小值为2y ，且121y y -=，求2C 的解析式；
（3）当0m =时，2C 的图象与x 轴相交于,A B 两点（点A 在点B 的右侧）．与y 轴相交于点D ．把线段AD 原点O 逆时针旋转90o ，得到它的对应线段''A D ，若线''A D 与2C 的图象有公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．
【答案】（1）21m -；（2）22
(2)44y x x x =--=-；（3）103a <≤或1a ≥或1
3
a ≤- 【详解】
解：（1）221:23(1)4C y ax ax a a x a =--=--
顶点(1,4)a -围绕点(,0)P m 旋转180o 180°的对称点为(21,4)m a -，
2:(21)24C y a x m a =--++，函数的对称轴为：21x m =-，
21t m =-，
故答案为：21m -； （2）1a =-时，
21:(1)4C y x =--，
①当
1
12
t ≤<时， 1
2
x =时，有最小值2154y =，
x t =时，有最大值21(1)4y t =--+，
则2
1215
(1)414
y y t -=--+-=，无解； ②3
12
t ≤≤
时， 1x =时，有最大值14y =，
12
x =
时，有最小值2
2(1)4y t =--+， 121
14y y -=≠（舍去）；
③当3
2t >时，
1x =时，有最大值14y =，
x t =时，有最小值22(1)4y t =--+，
212(1)1y y t -=-=，
解得：0t =或2（舍去0），
故22
2:(2)44C y x x x =--=-；
（3）0m =，
22:(1)4C y a x a =-++，
点'
'
,,,,A B D A D 的坐标分别为(1,0),(3,0),(0,3),(0,1),(3,0)a a --， 当0a >时，a 越大，则OD 越大，则点'D 越靠左，
当2C 过点'A 时，2
(01)41y a a =-++=，解得：13
a =， 当2C 过点'D 时，同理可得：1a =， 故：1
03
a <≤
或1a ≥； 当0a <时，
当2C 过点'D 时，31a -=，解得：13
a =-， 故：1
3
a ≤-； 综上，故：103a <≤或1a ≥或13
a ≤-．
6．（2017·浙江中考真题）湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养
天的总成本为
万元；放养
天的总成本为
万元（总成本=放养总费
用+收购成本）．
（1）设每天的放养费用是万元，收购成本为万元，求和的值； （2）设这批淡水鱼放养天后的质量为
（
），销售单价为
元/
．根据以往经验可
知：与的函数关系为
；与的函数关系如图所示．
①分别求出当和
时，
与的函数关系式；
②设将这批淡水鱼放养天后一次性出售所得利润为
元，求当为何值时，
最大？并
求出最大值．（利润=销售总额-总成本）
【答案】（1）a的值为0.04，b的值为30（2）①y=t+15，y=t+30②当t为55天时，
W最大，最大值为180250元
【详解】
（1）由题意得
解得
答：a的值为0.04，b的值为30.
（2）①当0≤t≤50时，设y与t的函数关系式为y=k1t+n1
把点（0，15）和（50，25）的坐标分别代入y=k1t+n1，得
解得
∴y与t的函数关系式为y=t+15
当50＜t≤100时，设y与t的函数关系式为y=k2t+n2
把点（50，25）和（100，20）的坐标分别代入y=k2t+n2，得
解得
∴y与t的函数关系式为y=t+30
②由题意得，当0≤t≤50时，
W=20000×（t+15）-（400t+300000）=3600t
∴3600＞0，∴当t=50时，W最大值=180000（元）
当50＜t≤100时，W=（100t+15000）（t+30）-（400t+300000）=-10t2+1100t+150000=-10
（t-55）2+180250
∴-10＜0，∴当t=55时，W最大值=180250
综上所述，当t为55天时，W最大，最大值为180250元.
7．（2017·浙江中考真题）某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长度为50m ．设饲养室为长为x（m），占地面积为．
（1）如图，问饲养室为长x为多少时，占地面积y 最大？
（2）如图，现要求在图中所示位置留2m的门，且仍使饲养室占地面积最大．小敏说：“只要饲养室长比（1）中的长多2m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正
确．
【答案】（1）x=25；（2）小敏的说法不正确．
【详解】
（1）∴=，∴当x=25时，占地面积y最大；
（2）=，∴当x=26时，占地面积y最大．即当饲养
室长为26m 时，占地面积最大．∴26-25=1≠2，∴小敏的说法不正确．
8．（2017·辽宁中考真题）铁岭“荷花节”举办了为期15天的“荷花美食”厨艺秀．小张购进一批食材制作特色美食，每盒售价为50元，由于食材需要冷藏保存，导致成本逐日增加，第x 天（1≤x≤15且x 为整数）时每盒成本为p 元，已知p 与x 之间满足一次函数关系；第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元，每天的销售量为y 盒，y 与x 之间的关系如下表所示：
＜1）求p 与x 的函数关系式；
＜2）若每天的销售利润为w 元，求w 与x 的函数关系式，并求出第几天时当天的销售利润最大，最大销售利润是多少元？
＜3）在“荷花美食”厨艺秀期间，共有多少天小张每天的销售利润不低于325元？请直接写出结果．
【答案】（1）p=x+18∴∴2∴第13天时当天的销售利润最大，最大销售利润是361元； ∴3∴第7∴8∴9∴10∴11∴12∴13天共7天销售利润不低于325元． 【详解】
（1）设p =kx +b （k ≠0），∵第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元，∴
321725k b k b +=??+=?，解得：1
18k b =??
=?
，所以p =x +18； （2）1≤x ≤6时，w =10[50﹣（x +18）]=﹣10x +320，6＜x ≤15时，w =[50﹣（x +18）]（x +6）=﹣x 2+26x +192，所以，w 与x 的函数关系式为2
10320(16)
26192(615)
x x w x x x -+≤≤?=?
-++<≤?， 当1≤x ≤6时，∵﹣10＜0，∴w 随x 的增大而减小，∴当x =1时，w 最大为﹣10+320=310，6＜x ≤15时，w =﹣x 2+26x +192=﹣（x ﹣13）2+361，∴当x =13时，w 最大为361， 综上所述，第13天时当天的销售利润最大，最大销售利润是361元；
（3）w =325时，﹣x 2+26x +192=325，x 2﹣26x +133=0，解得x 1=7，x 2=19，所以，7≤x ≤13时，即第7、8、9、10、11、12、13天共7天销售利润不低于325元．
9．（2017·贵州中考真题）2016年12月29日至31日，黔南州第十届旅游产业发展大会在“中国长寿之乡”﹣﹣罗甸县举行，从中寻找到商机的人不断涌现，促成了罗甸农民工返乡创业热潮，某“火龙果”经营户有A 、B 两种“火龙果”促销，若买2件A 种“火龙果”和1件B 种“火龙果”，共需120元；若买3件A 种“火龙果”和2件B 种“火龙果”，共需205元．
（1）设A ，B 两种“火龙果”每件售价分别为a 元、b 元，求a 、b 的值；
（2）B 种“火龙果”每件的成本是40元，根据市场调查：若按（1）中求出的单价销售，该“火龙果”经营户每天销售B 种“火龙果”100件；若销售单价每上涨1元，B 种“火龙果”每天的销售量就减少5件．
①求每天B 种“火龙果”的销售利润y （元）与销售单价（x ）元之间的函数关系？ ②求销售单价为多少元时，B 种“火龙果”每天的销售利润最大，最大利润是多少？ 【详解】 ∴1）根据题意得：
2120{
32205
a b a b +=+= ，解得：a =35，b =50；
∴2∴①由题意得：y =∴x ∴40∴[100∴5∴x ∴50∴] ∴y =∴5x 2+550x ∴14000∴
②∴y =∴5x 2+550x ∴14000=∴5∴x ∴55∴2+1125∴∴当x =55时，y 最大=1125∴∴销售单价为55元时，B 商品每天的销售利润最大，最大利润是1125元．
10．（2017·湖北中考真题）鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可卖出160个，若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个．设销售价格每个降低x 元（x 为偶数），每周销售为y 个＜ ＜1）直接写出销售量y 个与降价x 元之间的函数关系式；
＜2）设商户每周获得的利润为W 元，当销售单价定为多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元？
＜3）若商户计划下周利润不低于5200元的情况下，他至少要准备多少元进货成本？ 【答案】（1）y =10x +160；（2）5280元；（3）10000元. 【详解】
（1）依题意有：y =10x +160∴
∴2）依题意有：W =∴80∴50∴x ∴∴10x +160∴=∴10∴x ∴7∴2+5290∴∴-10∴0且x 为偶数，故
当x=6或x=8时，即故当销售单价定为74或72元时，每周销售利润最大，最大利润是5280元；
∴3）依题意有：﹣10∴x∴7∴2+5290≥5200，解得4≤x≤10，则200≤y≤260∴200×50=10000（元）．答：他至少要准备10000元进货成本．
11．（2017·湖北中考真题）鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可卖出160个，若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个．设销售价格每个降低x元（x为偶数），每周销售为y个＜
＜1）直接写出销售量y个与降价x元之间的函数关系式；
＜2）设商户每周获得的利润为W元，当销售单价定为多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元？
＜3）若商户计划下周利润不低于5200元的情况下，他至少要准备多少元进货成本？
【答案】（1）y=10x+160；（2）5280元；（3）10000元.
【详解】
（1）依题意有：y=10x+160∴
∴2）依题意有：W=∴80∴50∴x∴∴10x+160∴=∴10∴x∴7∴2+5290∴∴-10∴0且x为偶数，故当x=6或x=8时，即故当销售单价定为74或72元时，每周销售利润最大，最大利润是5280元；
∴3）依题意有：﹣10∴x∴7∴2+5290≥5200，解得4≤x≤10，则200≤y≤260∴200×50=10000（元）．答：他至少要准备10000元进货成本．
12．（2017·湖北中考真题）某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降
价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同． （1）求该种水果每次降价的百分率；
（2）从第一次降价的第1天算起，第x 天（x 为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x （天）的利润为y （元），求y 与x （1≤x ＜15）之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？
（3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少127.5元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？
【答案】（1）10%；（2）217.7352(19)
{ 36080(915)
x x y x x x -+≤<=-++≤<，第10天时销售利润最大；（3）
0.5． 【详解】
解：（1）设该种水果每次降价的百分率是x ∴10∴1∴x ∴2=8.1∴x =10%或x =190%（舍去）∴ 答：该种水果每次降价的百分率是10%∴ ∴2）当1≤x ∴9时，第1次降价后的价格：
10×∴1∴10%∴=9∴∴y =∴9∴4.1∴∴80∴3x ∴∴∴40+3x ∴=∴17.7x +352∴∴∴17.7∴0∴∴y 随x 的增大而减小，∴当x =1时，y 有最大值，y 大=∴17.7×1+352=334.3（元）∴ 当9≤x ∴15时，第2次降价后的价格：8.1元，
∴y =∴8.1∴4.1∴∴120∴x ∴∴∴3x 2∴64x +400∴=∴3x 2+60x +80=∴3∴x ∴10∴2+380∴∴∴3∴0∴∴当9≤x ≤10时，y 随x 的增大而增大，当10∴x ∴15时，y 随x 的增大而减小，∴当x =10时，y 有最大值，y 大=380（元）∴
综上所述，y 与x （1≤x ＜15）之间的函数关系式为： 217.7352(19)
{
36080(915)
x x y x x x -+≤<=-++≤<，第10天时销售利润最大；
∴3）设第15天在第14天的价格基础上最多可降a 元，由题意得：
380∴127.5≤∴4∴a ∴∴120∴15∴∴∴3×152∴64×15+400∴∴252∴5≤105∴4∴a ∴∴115∴a ≤0.5∴ 答：第15天在第14天的价格基础上最多可降0.5元．
13．（2017·江苏中考真题）农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p （千克）与销售价格x （元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：
（1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p 与x 之间的函数表达式；
（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？
（3）若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a 元（a ＞0）的相关费用，当40≤x ≤45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a 的值．（日获利=日销售利润﹣日支出费用） 【答案】（1）p =﹣30x +1500；（2）这批农产品的销售价格定为40元，才能使日销售利润最大；（3）a =2． 【详解】
（1）假设P 与x 的一次函数关系,设函数关系式p kx b =+,
则3060040300k b k b +=??
+=?,解得30
1500k b =-??=?
, ∴301500p x =-+,
检验:当35,450x P ==,当45,150,x P ==当50,0x P ==,均符合一次函数解析式 ∴所求的函数关系式301500p x =-+,
（2）设日销售利润()()()3030150030w P x x x =-=-+-, 即()2
23024004500030403000w x x x =-+-=--+, 当40x =时,w 有最大值为3000元,
故这批农产口的销售价格定为40元,才能使日销售利润最大, （3）日获利()()()3030150030w p x a x x a =--=-+--,
即()()2
30240030150045000w x a x a =-++-+,
对称轴这()2400301
402302
a x a +=-
=+?-,
若10a >,则当45x =时,w 有最大值,即22501502430w a =-<（不合题意）, 若10a <,则当1
402
x a =+时,w 有最大值, 把1402x a =+
代入,可得2130101004w a a ??=-+ ???
, 当2430w =时,21243030101004a a ??
=-+
???
, 解得12a =,238a =（舍去）, 综上所述,a 的值为2.
14．（2017·江苏中考真题）怡然美食店的A 、B 两种菜品，每份成本均为14元，售价分别为20元、18元，这两种菜品每天的营业额共为1120元，总利润为280元． （1）该店每天卖出这两种菜品共多少份；
（2）该店为了增加利润，准备降低A 种菜品的售价，同时提高B 种菜品的售价，售卖时发现，A 种菜品售价每降0.5元可多卖1份；B 种菜品售价每提高0.5元就少卖1份，如果这两种菜品每天销售总份数不变，那么这两种菜品一天的总利润最多是多少． 【答案】（1）60；（2）316． 【详解】
解：(1)、设该店每天卖出A 、B 两种菜品分别为x 、y 份，
根据题意得：()()20181120
20141814280x y x y +=???-+-=??
，
解得：20
40x y =??=?
，
答：该店每天卖出这两种菜品共60份；
(2)、设A 种菜品售价降0.5a 元，即每天卖（20+a ）份，总利润为w 元，
因为两种菜品每天销售总份数不变，所以B 种菜品卖（40﹣a ）份，每份售价提高0.5a 元． 则w=（20﹣14﹣0.5a ）（20+a ）+（18﹣14+0.5a ）（40﹣a ）
=（6﹣0.5a ）（20+a ）+（4+0.5a ）（40﹣a ）=（﹣0.5a 2﹣4a+120）+（﹣0.5a 2+16a+160）
=﹣a2+12a+280=﹣（a﹣6）2+316，
当a=6，w最大，w=316
答：这两种菜品每天的总利润最多是316元．
15．（2017·辽宁中考真题）“五一”期间，恒大影城隆重开业，影城每天运营成本为1000元，试营业期间统计发现，影城每天售出的电影票张数y（张）与电影票售价x（元/张）之间满足一次函数：y=﹣4x+220﹣10≤x≤50，且x是整数），设影城每天的利润为w（元）（利润=票房收入﹣运营成本）．
﹣1）试求w与x之间的函数关系式；
﹣2）影城将电影票售价定为多少元/张时，每天获利最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）w=﹣4x2+220x﹣1000；（2）影城将电影票售价定为27或28元/张时，每天获利最大，最大利润是2024元．
【详解】
（1）根据题意，得：w=（﹣4x+220）x﹣1000=﹣4x2+220x﹣1000；
（2）∵w=﹣4x2+220x﹣1000=﹣4（x﹣27.5）2+2025，∴当x=27或28时，w取得最大值，最大值为2024，答：影城将电影票售价定为27或28元/张时，每天获利最大，最大利润是2024元．
16．（2017·辽宁中考真题）端午节前夕，三位同学到某超市调研一种进价为80元的粽子礼盒的销售情况，请根据小梅提供的信息，解答小慧和小杰提出的问题．（价格取正整数）
【答案】小慧：定价为102元；小杰：8580元的销售利润不是最多，当定价为110元或111元时，销售利润最多，最多利润为9300元．
【详解】
解：小慧：设定价为x元，利润为y元，则销售量为：410∴10∴x∴100∴=1410∴10x，由题意得，
y=∴x∴80∴∴1410∴10x∴
=∴10x2+2210x∴112800，当y=8580时，﹣10x2+2210x∴112800=8580，整理，得：x2∴221x+12138=0，解得：x=102或x=119∴∴当x=102时，销量为1410∴1020=390，当x=119时，销量为
1410∴1190=220∴∴若要达到8580元的利润，且薄利多销，∴此时的定价应为102元；
小杰：y=﹣10x2+2210x﹣112800=
2
22118605
10
22
x
??
--+
?
??
，∵价格取整数，即x为整数，
∴当x=110或x=111时，y取得最大值，最大值为9300．
答：8580元的销售利润不是最多，当定价为110元或111元时，销售利润最多，最多利润为9300元．
中考数学(二次函数提高练习题)压轴题训练及答案
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图：在平面直角坐标系中，直线l ：y=13x ﹣4 3 与x 轴交于点A ，经过点A 的抛物线 y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=3 2 ． （1）求抛物线的解析式； （2）平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PE=3PF ．求证：PE ⊥PF ； （3）若（2）中的点P 坐标为（6，2），点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当PE ⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q ，使四边形PEQF 是矩形？如果存在，请求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）． 【解析】 【分析】 （1）先求得点A 的坐标，然后依据抛物线过点A ，对称轴是x=3 2 列出关于a 、c 的方程组求解即可； （2）设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ，然后再证明∠FPC=∠EPB ，最后通过等量代换进行证明即可； （3）设E （a ，0），然后用含a 的式子表示BE 的长，从而可得到CF 的长，于是可得到点F 的坐标，然后依据中点坐标公式可得到 22x x x x Q P F E ++=，22 y y y y Q P F E ++=，从而可求得点Q 的坐标（用含a 的式子表示），最后，将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可． 【详解】
初三数学二次函数知识点总结
初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数， 0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。
4. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，．
二次函数最值问题及解题技巧(个人整理)
一、二次函数线段最值问题 1、平行于x轴的线段最值问题 1）首先表示出线段两个端点的坐标 2）用右侧端点的横坐标减去左侧端点的横坐标 3）得到一个线段长关于自变量的二次函数 4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 2、平行于y轴的线段最值问题 1）首先表示出线段两个端点的坐标 2）用上面端点的纵坐标减去下面端点的纵坐标 3）得到一个线段长关于自变量的二次函数解析式 4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 3、既不平行于x轴，又不平行于y轴的线段最值问题 1）以此线段为斜边构造一个直角三角形，并使此直角三角形的两条直角边分别平行于x轴、y轴 2）根据线段两个端点的坐标表示出直角顶点坐标 3）根据“上减下，右减左”分别表示出两直角边长 4）根据勾股定理表示出斜边的平方（即两直角边的平方和） 5）得到一个斜边的平方关于自变量的二次函数 6）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 7）根据所求得的斜边平方的最值求出斜边的最值即可 二、二次函数周长最值问题 1、矩形周长最值问题 1）一般会给出一点落在抛物线上，从这点向两坐标轴引垂线构成一个矩形，求其周长最值 2）可先设此点坐标，点p到x轴、y轴的距离和再乘以2，即为周长 3）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 2、利用两点之间线段最短求三角形周长最值 1）首先判断图形中那些边是定值，哪些边是变量 2）利用二次函数轴对称性及两点之间线段最短找到两条变化的边，并求其和的最小值3）周长最小值即为两条变化的边的和最小值加上不变的边长 三、二次函数面积最值问题 1、规则图形面积最值问题（这里规则图形指三角形必有一边平行于坐标轴，四边形必有一组对边平行于坐标轴） 1）首先表示出所需的边长及高 2）利用求面积公式表示出面积 3）得到一个面积关于自变量的二次函数 4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 2、不规则图形面积最值问题 1）分割。将已有的不规则图形经过分割后得到几个规则图形 2）再分别表示出分割后的几个规则图形面积，求和 3）得到一个面积关于自变量的二次函数 4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 或1）利用大减小，不规则图形的面积可由规则的图形面积减去一个或几个规则小图形的面积来得到
初中数学二次函数知识点总结
初中数学二次函数知识 点总结 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
初中数学二次函数知识点总结 原文阅读 I.定义与定义表达式 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c （a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）则称y为x的二次函数。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 II.二次函数的三种表达式 一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0） 顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P（h，k）] 交点式：y=a(x-x?)(x-x ?) [仅限于与x轴有交点A（x?，0）和 B（x ?，0）的抛物线] 注：在3种形式的互相转化中，有如下关系: h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a III.二次函数的图像 在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x = -b/2a。 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0） 2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )当-b/2a=0时，P 在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。 3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。 4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。 5.常数项c决定抛物线与y轴交点。 抛物线与y轴交于（0，c） 6.抛物线与x轴交点个数 Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。 Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
初三数学 二次函数的大题
二次函数与四边形 一．二次函数与四边形的形状 例 1.（浙江义乌市）如图，抛物线y = x2-2x-3与 x 轴交A、B两点（A点在 B 点左侧），直线l 与抛物线交于 A、C两点，其中 C 点的横坐标为 2． （1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式； （2）P 是线段AC上的一个动点，过P点作y 轴的平行线交抛物线于 E 点，求线段PE 长度的最大值；A （3）点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F，使A、C、F、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由． 例 1.解：（1）令y=0，解得x =-1或x = 3 ∴A（-1，0）B（3，0）； 将 C 点的横坐标x=2 代入y = x2- 2x - 3得y=-3，∴ C（2，-3）∴直线AC 的函数解析式是y=-x-1 （2）设P 点的横坐标为x（-1≤x≤2）则P、E 的坐标分别为：P（x，-x-1）， E（（x, x -2x -3）∵P 点在E 点的上方，PE= （-x -1）- （x - 2x - 3）= - x + x + 2 19 ∴当x= 1时，PE的最大值= 9 3)存在4 个这样的点 F，分别是F1(1,0),F2(-3,0),F3(4+ 7，0),F4(4- 7,0) 7 练习1.（河南省实验区） 23．如图，对称轴为直线x = 7的抛物线经过点 A（6，0）和B（0，4）． （1）求抛物线解析式及顶点坐标； （2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF 是以OA为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； ①当平行四边形OEAF 的面积为24 时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形？ ②是否存在点E，使平行四边形OEAF 为正方形？若存在，求出点E x= A(6,0) x
中考数学复习专题二次函数知识点归纳
二次函数知识点归纳 一、二次函数概念 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： o o 结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 总结： 2. 2y ax c =+的性质： 结论：上加下减。 a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．
总结： 3. ()2 y a x h =-的性质： 结论：左加右减。 总结： 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 总结： a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
二次函数的几何最值问题
二次函数与几何图形结合 ---探究面积最值问题 〖方法总结〗： 在解答面积最值存在性问题时，具体方法如下： ①根据题意，结合函数关系式设出所求点的坐标，用其表示出所求图形的线段长； ②观察所求图形的面积能不能直接利用面积公式求出，若能，根据几何图形面积公式得到点的坐标或线段长关于面积的二次函数关系式，若所求图形的面积不能直接利用面积公式求出时，则需将所求图形分割成几个可直接利用面积公式计算的图形，进行求解； ③结合已知条件和函数图象性质求出面积取最大值时的点坐标或字母范围。 （2014?达州）如图，在平面直角坐标系中，己知点O（0，0），A（5，0），B（4，4）． （1）求过O、B、A三点的抛物线的解析式． （2）在第一象限的抛物线上存在点M，使以O、A、B、M为顶点的四边形面积最大，求点M的坐标． （3）作直线x=m交抛物线于点P，交线段OB于点Q，当△PQB为等腰三角形时，求m的值．
（2014自贡）如图，已知抛物线c x ax y +- =232与x 轴相交于A 、B 两点，并与直线221-=x y 交于B 、C 两点，其中点C 是直线22 1-=x y 与y 轴的交点，连接AC ． （1）求抛物线的解析式； （2）证明：△ABC 为直角三角形； （3）△ABC 内部能否截出面积最大的矩形DEFG ？（顶点D 、E 、F 、G 在△ABC 各边上）若能，求出最大面积；若不能，请说明理由．
（2014黔西南州）（16分）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接AE． （1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标； （2）如果P点的坐标为（x，y），△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值； （3）在（2）的条件下，当S取到最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，求出P′的坐标，并判断P′是否在该抛物线上．
中考数学二次函数知识点总结
中考数学二次函数知识点总结 I. 定义与定义表达式 一般地，自变量x和因变量y之间存有如下关系：y=ax^2+bx+c (a, b, c为常数，a z0,且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下，lal还能够决定开口大小，lal越大开口就越小,IaI 越小开口就越大. )则称y 为x 的二次函数。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 II. 二次函数的三种表达式 一般式：y=ax A2+bx+c (a, b, c 为常数，a z0) 顶点式：y=a(x-hF2+k[抛物线的顶点P (h, k)] 交点式：y=a(x-x)(x-x)[ 仅限于与x 轴有交点A(x, 0)和B( x, 0) 的抛物线] 注：在 3 种形式的互相转化中,有如下关系： h=-b/2a k=(4ac-bA2)/4a x,x=(- b±V bA2-4ac)/2a III. 二次函数的图像 在平面直角坐标系中作出二次函数y=xA2 的图像,能够看出,二次函数的图像是一条抛物线。 IV. 抛物线的性质 1. 抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a 。 对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物 线的对称轴是y 轴(即直线x=0)
2. 抛物线有一个顶点P,坐标为：P（-b/2a , （4ac-"2）/4a）当-b/2a=0 时，P在y轴上；当△二b^2-4ac=0时，P在x轴上。 3. 二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小。 当a>0时，抛物线向上开口；当a v0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。 4. 一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置。 当a与b同号时（即ab> 0）,对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab v 0）,对称轴在y轴右。 5. 常数项c 决定抛物线与y 轴交点。 抛物线与y 轴交于（0, c） 6. 抛物线与x 轴交点个数 △=b A2-4ac >0时，抛物线与x轴有2个交点。 △=bA2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 △=bA2-4ac v 0时，抛物线与x轴没有交点。 X的取值是虚数（x=-b±V bA2 —4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a） V. 二次函数与一元二次方程 特别地,二次函数（以下称函数）y=axA2+bx+c, 当y=0 时,二次函数为关于x 的一元二次方程（以下称方程）,即 axA2+bx+c=0 此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
中考二次函数大题综合训练(附答案)
2 1、如图，抛物线 y x bx c 与x 轴交与A （1,0）,B （- 3 ，0）两点， （1 ）求该抛物线的解析式； （2 ）设（ 1 ）中的抛物线交 y 轴与 C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在 点 Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出 Q 点的坐标；若不存在，请 说明理由 . 2、（2009 年兰州） 如图 17 ，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为 所在直线为 x 轴建立直角坐标系 . （1）直接写出点 M 及抛物线顶点 P 的坐标； （2）求这条抛物线的解析式； （3）若要搭建一个矩形“支撑架” AD- DC- CB ， 使 C 、D 点在抛物线上， A 、B 点在地面 OM 上， 则这个“支撑架”总长的最大值是多少？ 二次函数综合训练 6 米， 底部宽度 OM 为 12 米. 现以 O 点为原点， OM
y 3 x 6 y 5x 3、如图，直线4分别与 x轴、y轴交于 A、B两点，直线4与AB 交于点 C，与过点 A 且平行于 y 轴的直线交于点 D．点 E从点 A 出 发，以每秒 向左运动．过点 E 作 x 轴的垂线，分别交直线 AB 、OD 于 P、Q 两点， 形 PQMN ，设正方形 PQMN 与△ACD 重叠部分（阴影部分）的面 积为 运动时间为 t （秒）． 1 ）求点 C 的坐 标．（ 1 分） 2）当 0 二次函数知识点总结及典型题目 一.定义： 一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 二次函数的图象是抛物线，所以也叫抛物线y=ax2+bx+c ；抛物线关于对称轴对称且以对称轴为界，一半图象上坡，另一半图象下坡；其中c 叫二次函数在y 轴上的截距, 即二次函数图象必过（0，c ）点. 二.二次函数2ax y =的性质 （1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点； ②当0 二次函数知识点(第一讲) 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质：（上加下减） 3. ()2 y a x h =-的性质：（左加右减） 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数() 2 y a x h k =-+与2 y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到 前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方 向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为： 顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有 二次函数题 选择题： 1、y=(m-2)x m2- m 是关于x 的二次函数，则m=（ ） A -1 B 2 C -1或2 D m 不存在 2、下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)模型的是（ ） A 在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系 B 我国人中自然增长率为1%，这样我国总人口数随年份变化的关系 C 矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系 D 圆的周长与半径之间的关系 4、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=-x 2，则抛物线的解析式是（ ） A y=—（ x-2）2+2 B y=—（ x+2）2+2 C y=— （ x+2）2+2 D y=—（ x-2）2—2 5、抛物线y= 2 1 x 2 -6x+24的顶点坐标是（ ） A （—6，—6） B （—6，6） C （6，6） D （6，—6） 6、已知函数y=ax 2+bx+c,图象如图所示，则下列结论中正确的有（ ）个 ①abc 〈０ ②a ＋c 〈b ③ a+b+c 〉０ ④ ２c 〈３b A １ B ２ C ３ D ４ 7、函数y=ax 2-bx+c （a ≠0）的图象过点（-1，0），则 c b a + =c a b + =b a c + 的值是（ ） A -1 B 1 C 21 D -2 1 8、已知一次函数y= ax+c 与二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0），它们在同一坐标系内的大致图象是图中的（ ） A B C D 二填空题： 13、无论m 为任何实数，总在抛物线y=x 2＋2mx ＋m 上的点的坐标是————————————。 16、若抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的对称轴为直线x ＝２，最小值为－２，则关于方程ax 2+bx+c ＝－２的根为————————————。 17、抛物线y=（k+1）x 2+k 2-9开口向下，且经过原点，则k ＝————————— 解答题：（二次函数与三角形） 1、已知：二次函数y=x 2 +bx+c ，其图象对称轴为直线x=1，且经过点（2，﹣）． （1）求此二次函数的解析式． （2）设该图象与x 轴交于B 、C 两点（B 点在C 点的左侧），请在此二次函数x 轴下方的图象上确定一点E ，使△EBC 的面积最大，并求出最大面积． 1 —1 0 x y y x -1 x y y x y x y 初三数学二次函数知识点总结 二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小. 当a＞0时,二次函数图像向上开口；当a＜0时,抛物线向下开口. |a|越大,则二次函数图像的开口越小. 1、决定对称轴位置的因素 一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置. 当a与b同号时（即ab＞0）,对称轴在y轴左；因为对称轴在左边则对称轴小于0,也就是- b/2a0,所以b/2a要小于0,所以a、b要异号 可简单记忆为左同右异,即当a与b同号时（即ab＞0）,对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜ 0 ）,对称轴在y轴右. 事实上,b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值.可通过对二次函数求导得到. 2、决定二次函数图像与y轴交点的因素 常数项c决定二次函数图像与y轴交点. 二次函数图像与y轴交于（0，c) 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2 =++（a b c y ax bx c ，，是常数，0 a≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0 a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2 =++的结构特征： y ax bx c ⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2． ⑵a b c ，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2 =的性质： y ax a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。Array 2. 2 =+的性质：上加下减。 y ax c 二次函数的最值问题 二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家 本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用． 二次函数求最值（一般范围类） 例1． 当22x -≤≤时，求函数2 23y x x =--的最大值和最小值． 例2． 当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值． 例3． 当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围． 例4． 当1t x t ≤≤+时，求函数215 22 y x x =--的最小值(其中t 为常数)． 在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题： 二次函数求最值(经济类问题) 例1．为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴．规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y （台）与补贴款额x （元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系．随着补贴款额x 的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益Z （元）会相应降低且Z 与x 之间也大致满足如图②所示的一次函数关系． （1）在政府未出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？ （2）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数y 和每台家电的收益Z 与政府补贴款额x 之间的函数关系式； （3）要使该商场销售彩电的总收益w （元）最大，政府应将每台补贴款额x 定为多少？并求出总收益w 的最大值． 例2．凯里市某大型酒店有包房100间，在每天晚餐营业时间，每间包房收包房费100元时，包房便可全部租出；若每间包房收费提高20元，则减少10间包房租出，若每间包房收费再提高20元，则再减少10间包房租出，以每次提高20元的这种方法变化下去. （1）设每间包房收费提高x （元），则每间包房的收入为y 1（元），但会减少y 2间包房租出，请分别写出y 1、y 2与x 之间的函数关系式. （2）为了投资少而利润大，每间包房提高 x （元）后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为y （元），请写出y 与x 之间的函数关系式，求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入，并说明理由. 1. 二次函数的定义: 2、 二次函数的解析式三种形式 与y 轴交点坐标（0，c ） （1）二次函数y=ax 2 （a z 0）的图象是一条抛物线， 其顶点是原点，对称轴是 y 轴；当a >0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当 a v 0时，抛物线开 口向下，顶点是取咼点； 2 ⑵二次函数?' 1 :二' b_ h_ 当a >0时，抛物线开口向上，图象有最低点，且 x >-二：，y 随x 的增大而增大，x v -二：， y 随x 的增大而减小；当a v 0时，抛物线开口向下，图象有最高点 Aac-b 1 b — X 二— I ;当a v 0时，当 二时，函数有最大值 4ac-b 2 4盘 4.二次函数 y=ax2+bx+c （a 丰0）的各项系数 a 、b 、c 对其图象的影响 （1） a 决定抛物线的开口方向和开口大小： a >0,开口向上；a v 0，开口向下.|a 的 越大，开口越小. b X ----- （2） a 与 b 决定抛物线对称轴的位置： a 、 b 同号，抛物线的对称轴（即 直线 ）或顶点在y 轴左侧; i x ----- a 、 b 异号，抛物线的对称轴（即直线 一二）或顶点在y 轴右侧；（左同右异）； b=0时，抛物线的对称轴是 y 轴. （3） c 决定抛物线与y 轴交点（0, c ）的位置：c >0,抛物线与y 轴交于正半轴；c v 0,抛物线与y 轴交于负 半轴；c=0,抛物 二次函数 2 形如r ' - ■'0, a, b , c 为常数）的函数为二次函数 般式 y=ax 2 +bx+c( a 丰 0) -------------- 1 2 顶点式| y = a(x - h) + k b 2 4a c — b 2 两根式 y = a(x -x j (x -x 2 ) 3、二次函数 对称轴: b 2a 顶点坐标： (b 4ac-b 2) 2a' 4a 增减性：当a>0时，对称轴左边, 当a<0时，对称轴左边, y 随x 增大而减小；对称轴右边, y 随x 增大而增大；对称轴右边, y 随x 增大而增大 y 随x 增大而减小 b 71 — -- ⑶当a >0时，当 丄；时，函数有最小值 二次函数压轴题精讲 1．二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 例1. 已知：如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴的交点分 别为A、B，将∠对折，使点O的对应点H落在直线上，折痕交x轴于点C．（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式； （2）若抛物线的顶点为D，在直线上是否存在点P，使得四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； （3）设抛物线的对称轴与直线的交点为T，Q为线段上一点，直接写出﹣的取值范围． 2．如图，直线2与抛物线26（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线 段上异于A、B的动点，过点P作⊥x轴于点D，交抛物线于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在这样的P点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； （3）求△为直角三角形时点P的坐标． 必修一二次函数在闭区间上的最值 一、 知识要点： 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设f x ax bx c a ()()=++≠2 0，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。 分析：将f x ()配方，得顶点为--?? ???b a ac b a 2442，、对称轴为x b a =-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值： （1）当[] -∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是f b a ac b a f x -?? ???=-2442，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。 （2）当[]-?b a m n 2，时 若- 二次函数总结及相关典型题目 二次函数知识点总结及相关典型题目 第一部分 基础知识 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ， 那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 （1）抛物线2 ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点； ②当0二次函数知识点总结及典型题目
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