第十三讲 梯形 (9)

第十三讲梯形

与平行四边形一样，梯形也是一种特殊的四边形，其中等腰梯形与直角梯形占有重要地位，本讲就来研究它们的有关性质的应用．

例1 如图2-43所示．在直角三角形ABC中，E是斜边AB上的中点，D 是AC的中点，DF∥EC交BC延长线于F．求证：四边形EBFD是等腰梯形．

分析因为E，D是三角形ABC边AB，AC的中点，所以ED∥BF．此外，还要证明(1)EB=DF；(2)EB不平行于DF．

证因为E，D是△ABC的边AB，AC的中点，所以ED∥BF．

又已知DF∥EC，所以ECFD是平行四边形，所以EC=DF．①

又E是Rt△ABC斜边AB上的中点，所以EC=EB．②

由①，②EB=DF．下面证明EB与DF不平行．

若EB∥DF，由于EC∥DF，所以有EC∥EB，这与EC与EB交于E矛盾，所以EB DF．根据定义，EBFD是等腰梯形．

例2 如图2-44所示．ABCD是梯形， AD∥BC， AD＜BC，AB=AC且AB ⊥AC，BD=BC，AC，BD交于O.求∠BCD的度数．

分析由于△BCD是等腰三角形，若能确定顶点∠CBD的度数，则底角∠BCD可求．由等腰Rt△ABC可求知斜边BC(即BD)的长．又梯形的高，即Rt△ABC斜边上的中线也可求出．通过添辅助线可构造直角三角形，求出∠BCD的度数．

解过D作DE⊥EC于E，则DE的长度即为等腰Rt△ABC斜边上的高AF．设AB=a，由于△ABF也是等腰直角三角形，由勾股定理知

AF2+BF2=AB2，

即

又

BC2=AB2+AC2=2AB2=2a2，

由于BC=DB，所以，在Rt△BED中，

从而∠EBD=30°(直角三角形中30°角的对边等于斜边一半定理的逆定理)．在△CBD中，

例3 如图2-45所示．直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，∠ADC=135°，CD的垂直平分线交BC于N，交AB延长线于F，垂足为M．求证：AD=BF．

分析 MF是DC的垂直平分线，所以ND=NC．由AD∥BC及∠ADC=135°知，∠C=45°，从而∠NDC=45°，∠DNC=90°，所以ABND是矩形，进而推知△BFN是等腰直角三角形，从而AD=BN=BF．

证连接DN．因为N是线段DC的垂直平分线MF上的一点，所以

ND=NC．由已知，AD∥BC及∠ADC=135°知

∠C=45°，

从而

∠NDC=45°．

在△NDC中，

∠DNC=90°(=∠DNB)，

所以ABND是矩形，所以

AF∥ND，∠F=∠DNM=45°．

△BNF是一个含有锐角45°的直角三角形，所以BN=BF．又

AD=BN，

所以 AD=BF．

例4 如图2-46所示．直角梯形ABCD中，∠C=90°，AD∥BC，AD+BC=AB，E是CD的中点．若AD=2，BC=8，求△ABE的面积．

分析由于AB=AD+BC，即一腰AB的长等于两底长之和，它启发我们利用梯形的中位线性质(这个性质在教材中是梯形的重要性质，我们将在下一讲中深入研究它，这里只引用它的结论)．取腰AB的中点F，

(或BC)．过A引AG⊥BC于G，交EF于H，则AH，GH分别是△AEF与△BEF 的高，所以

AG2=AB2-BG2=(8+2)2-(8-2)2=100-36=64，

所以AG=8．这样S△ABE(=S△AEF+S△BEF)可求．

解取AB中点F，连接EF．由梯形中位线性质知

EF∥AD(或BC)，

过A作AG⊥BC于G，交EF于H．由平行线等分线段定理知，AH=GH 且AH，GH均垂直于EF．在Rt△ABG中，由勾股定理知

AG2=AB2-BG2

=(AD+BC)2-(BC-AD)2

=102-62=82，

所以 AG=8，

从而 AH=GH=4，

所以

S△ABE=S△AEF+S△BEF

例5 如图2-47所示．四边形ABCF中，AB∥DF，∠1=∠2，AC=DF，FC ＜AD．

(1)求证：ADCF是等腰梯形；

(2)若△ADC的周长为16厘米(cm)，AF=3厘米，AC-FC=3厘米，求四边形ADCF的周长．

分析欲证ADCF是等腰梯形．归结为证明AD∥CF，AF=DC，不要忘了还需证明AF不平行于DC．利用已知相等的要素，应从全等三角形下手．计算等腰梯形的周长，显然要注意利用AC-FC=3厘米的条件，才能将△ADC 的周长过渡到梯形的周长．

解 (1)因为AB∥DF，所以∠1=∠3．结合已知∠1=∠2，所以∠2=∠3，所以

EA=ED．

又 AC=DF，

所以 EC=EF．

所以△EAD及△ECF均是等腰三角形，且顶角为对顶角，由三角形内角和定理知∠3=∠4，从而AD∥CF．不难证明

△ACD≌△DFA(SAS)，

所以 AF=DC．

若AF∥DC，则ADCF是平行四边形，则AD=CF与FC＜AD矛盾，所以AF不平行于DC．

综上所述，ADCF是等腰梯形．

(2)四边形ADCF的周长=AD+DC+CF+AF．①

由于

△ADC的周长=AD+DC+AC=16(厘米)，②

AF=3(厘米)，③

FC=AC-3，④

将②，③，④代入①

四边形ADCF的周长=AD+DC+(AC-3)+AF

=(AD+DC+AC)-3+3

=16(厘米)．

例6 如图2-48所示．等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD所成的角∠AOB=60°，P，Q，R分别是OA，BC，OD的中点．求证：△PQR

是等边三角形．

分析首先从P，R分别是OA，OD中点知，欲证等边三角形PQR的边长应等于等腰梯形腰长之半，为此，只需证明QR，QP等于腰长之半即可．注意到△OAB与△OCD均是等边三角形，P，R分别是它们边上的中点，因此，BP⊥OA，CR⊥OD．在Rt△BPC与Rt△CRB中，PQ，RQ分别是它们斜边BC(即等腰梯形的腰)的中线，因此，PQ=RQ=腰BC之半．问题获解．

证因为四边形ABCD是等腰梯形，由等腰梯形的性质知，它的同一底上的两个角及对角线均相等．进而推知，∠OAB=∠OBA及∠OCD=∠ODC．又已知，AC与BD成60°角，所以，△ODC与△OAB均为正三角形．连接BP，CR，则BP⊥OA，CR⊥OD．在Rt△BPC与Rt△CRB中，PQ，RQ分别是它们的斜边BC上的中线，所以

又RP是△OAD的中位线，所以

因为 AD=BC，③

由①，②，③得

PQ=QR=RP，

即△PQR是正三角形．

说明本题证明引人注目之处有二：

(1)充分利用特殊图形中特殊点所带来的性质，如正三角形OAB边OA 上的中点P，可带来BP⊥OA的性质，进而又引出直角三角形斜边中线PQ 等于斜边BC之半的性质．

(2)等腰梯形的“等腰”就如一座桥梁“接通”了“两岸”的髀

使△PQR的三边相等．

练习十三

1．如图2-49所示．梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，BD⊥CD．求∠A的度数．

2．如图2-50所示．梯形ABCD中，AD∥BC，AE∥DC交BC于E，△ABE 的周长=13厘米，AD=4厘米．求梯形的周长．

3．如图2-51所示．梯形ABCD中，AB∥CD，∠A+∠B=90°，AB=p，CD=q，E，F分别为AB，CD的中点．求EF．

4．如图2-52所示．梯形ABCD中，AD∥BC，M是腰DC的中点，MN⊥AB于N，且MN=b，AB=a．求梯形ABCD的面积．

5．已知：梯形ABCD中，DC∥AB，∠A=36°，∠B=54°，M，N分别是DC，AB的中点．求证：

测试技术与实验方法 柳昌庆 第十三章课后参考答案

13-4有一应变式测力传感器，弹性元件为实心圆柱，直径D=40mm 。在圆柱轴向 和周向各贴两片应变片（灵敏度系数s=2.），组成差动全桥电路，供桥电压为10v 。 设材料弹性模量E=2.1?1011 pa ，泊松比υ=0.3。试求测力传感器的灵敏度（该灵敏度用μv/kN 表示）。 解：设受压缩 F,轴向贴的应变片 R S R R ξ=?=?31 横向贴的应变片：SR R R μξ=?=?43 设原电阻 4321R R R R === ，则受力F 后： 11R R R ?-= , 33R R R ?-=, 22R R R ?-= , 44R R R ?-= 电桥输出电压变化： x U R R R R R R R R U ) )((43214 231+-= ?

x x x U R R R U R R R R R U R R R R R R 22)(2 1212 12 212 1?+?- ≈?+?-?+?- =?++?-?+?- = x U S U U 2 )1(ξ +- =?∴ E r F E r F A F 22πσξπσ?=?=?=?= ?∴ 代入上式 x U E r F S U U 22)1(π?+-=?∴ 测力传感器灵敏度 E r SU U F U K x 22)1(π+=??= ) (101.2)(02.0) (1022)3.01(11 22Pa m V ?????+= π 又因为： 218.91002.11m N Pa ??=- 所以： ) (8.9102.1101.202.0) (103.11112N V K ??????? =-π N V 10102.32103.1-???= N V 91089.41-?= KN V μ4189.0= 13-5在一受拉弯综合作用的构件上贴有四个电阻应变片。试分析各应变片感受的应变，将其值填写在应变表中。并分析如何组桥才能进行下述测试：(1) 只测弯矩，消除拉应力的影响；(2) 只测拉力，消除弯矩的影响。电桥输出各为多少？ 组桥如图。

第十三章综合检测题

第十三章综合检测题 一、理解与应用 1．压力的作用效果用物理量________表示，它的大小跟________和________有关。使用图钉在墙上钉图片时，应用钉帽去接触________，应用针尖去接触________。 2．液体内部朝各个方向都有压强，同一深度，各方向压强________，深度增大，液体的压强________。液体的压强还与液体的________有关，在深度相同时，液体的密度越大，压强________。 3．用嘴吸装矿泉水的塑料瓶，瓶会变瘪，变瘪的原因是________________。4．在托利拆利实验中，玻璃管内水银面上方是________的，靠管外的水银面上的________支持着管内水银柱。所以，这水银柱产生的压强就等于________。5．在气体和液体中，流速越大的位置压强________。 6．物体沉浮的条件（填：＞、＝或＜）是： 下沉，F浮________G；上浮，F浮________G； 悬浮，F浮________G；漂浮，F浮________G。 7．在下列措施中，为了增大压强的是 [ ] A．扁担做成扁平状B．拖拉机安装履带 C．缝衣针的针尖做得很尖D．铁轨铺在枕木上 8．两手指用力顶住铅笔，使它保持静止，下列说法中正确的是 [ ] A．两手指受到的压力相同，细端手指受到的压强较大 B．两手指受到的压强相同，细端手指受到的压力较大 C．两手指受到的压力相同，粗端手指受到的压强较大 D．两手指受到的压强相同，粗端手指受到的压力较大 9．比较下列情形中，人对地面压强最大的是 [ ]

A．人站在地面上不动时B．人步行时 C．人蹲在地上时D．人踩高跷时 10．第一个用实验准确测定大气压强数值的科学家是 [ ] A．阿基米德B．托里拆利C．帕斯卡D．伽利略 11．将刚装满水的热水瓶中的水倒掉，并用瓶塞塞住，若瓶塞不漏气，刚过一段时间后，瓶塞很难拨出，造成这一现象的正确解释为 [ ] A．由于瓶口的热胀冷缩，瓶口对瓶塞的压力增大了 B．经过一段时间后，瓶口处水蒸气过多，使摩擦增大 C．经过一段时间后瓶内的气体压强减小，使瓶内外压强差增大 D．以上说法都不对 12．把等质量的实心铁球和铝球分别挂在弹簧秤下并浸没于水中，则 [ ] A．挂铁球的弹簧秤示数较大B．挂铝球的弹簧秤示数较大 C．两弹簧秤的示数一样D．无法判断哪个弹簧秤的示数大 13．以下装置中，没有利用连通器原理工作的是 [ ] A．医生用的注射器B．学校锅炉水位计 C．茶吧使用的茶壶D．三峡水库大坝上的船闸 14．去年冬天，小阳在上课前往不锈钢饭盒里倒了大半盒开水，盖上盖子就去上课，等上完一节课回来一瞧，发现盒盖子下陷，而且打不开，你能解释这种现象吗？请你帮小阳想一想，怎样将饭盒打开？ 15．一次龙卷风发生时，屋外的气压急剧降到90 kPa，当时门窗紧闭，可以近似地认为室内的气压是标准大气压，取作100 kPa。若室内屋顶的面积为100 m2，这时屋顶所受的内、外压力差是多大？ 16．一艘远洋邮轮在东海中满载航行，它的排水量是15 000 t，邮轮及所装的邮件共重多少牛顿？已知ρ海水＝1.03×103 kg/m3，它排开的海水的体积为多少？这艘远洋邮轮从吴淞口驶入黄浦江，此时邮轮是上浮一些还是下沉一些？（g取

第13章-随机振动试验复习过程

第13章-随机振动试 验

第13章随机振动试验 13.1 试验目的、影响机理、失效模式 产品在运输和实际使用中所遇到的振动，绝大多数就是随机性质的振动（而不是正弦振动）。例如，宇航器和导弹在发射和助推阶段的振动；火箭发动机的噪声和气动噪声使结构产生的振动；飞机（特别是高速飞机）的大功率喷气发动机的振动；飞机噪声使飞机结构产生的振动和大气湍流使机翼产生振动；飞机着陆和滑行时的振动；车辆在不平坦的道路上行驶时产生的振动；多变的海浪使船舶产生的振动等等都属于随机性质的振动。因此，随机振动试验才能更真实反映产品的耐振性能。 随机振动和正弦振动相比，随机振动的频率域宽，而且有一个连续的频谱，它能同时在所有频率上对产品进行激励，各种频率的相互作用远比用正弦振动仅对某些频率或连续扫频模拟上述振动的影响更严酷更真实和更有效。另外，用随机振动来研究产品的动态特性和结构的传递函数比用正弦振动的方法更为简单和优越。 随机振动和正弦振动一样能造成导线摩擦、紧固件松动、活动件卡死，从而破坏产品的连接、安装和固定。当随机振动激励造成的应力过大时，会使结构产生裂纹和断裂，特别在严重的共振状态下更为显著。长时间的随机振动，由于交变应力所产生的累积损伤，会使结构产生疲劳破坏。随机振动还会导致触点接触不良、带电元件相互接触或短路、焊点脱开、导线断裂以及产生强电噪声等。从而破坏产品的正常工作，使产品性能下降、失灵甚至失效。 为了能在试验室内模拟产品在现场所经受到的实际随机振动及其影响，工程技术人员为此付出了许多的努力。早在六十年代，国际上对随机振动的研究就十分活跃。不仅在理论上有了重大突破，而且有了较完善的试验方法和试验设备。1962年美国军标810中首先规定了随机振动试验方法。1964年英国国防部标准07-55中也提出了随机振动试验。1973年IEC公布了四个具有不同再现性宽带模拟式随机振动试验方法，到上世纪90年代又公布了数字式随机振动试验方法。目前国内的随机振动试验已很普及，随机振动试验设备，特别是一般用途的随机振动控制仪价格也不高。 13.2 随机振动的描述 在随机振动试验中，由于振动的质点处于不规则的运动状态，永远不会精确的重复，对其进行一系列的测量，各次记录都不一样，所以没有任何固定的周期。在任何确定的时刻，其振幅、频率、相位都不能预先知道，因此就不可能用简单的周期函数和函数的组合来描述。图13-1为典型的宽带随机振动时间历程。

检测技术第13-15章课后答案

第13章 １、LED 显示器与LCD 有哪些相同点和不同点？ 答：相同点：LCD 数字显示器与LED 数字显示器都是显示七笔字形“8”，都有段选端 和位选端，段选端都要加段选码，要显示的数字必须通过译码转换成相应的段选码。 不同点：LED 是用７个发光二极管摆成七笔字形，无需外部光源。LCD 数字显示器是利用液晶的电光效应制成的，需要外部光照才能显示。液晶盒的上电极也做成七笔字形“8”，称为笔段电极，液晶盒的下电极称为公共电极或背电极，但是，LCD 数字显示器不能象LED 数字显示器那样，在笔段电极和公共电极之间加直流电压，因为这样会使液晶介质产生极化而缩短寿命。所以，LCD 要显示的笔段的电极与公共电极之间不是加直流电压，而是加对称方波电压。 ２、试分别计算被测电压Vx=U m /4经单极性n 位二进制码A/D 转换器转换的结果，经 双极性n 位偏移二进制码A/D 转换器转换的结果。 答：将Vx=U m /4代入公式（１３－１－１）可得，0010321L L =n d d d d 。 将Vx=U m /4代入公式（１３－１－４）可得，0110321L L =n d d d d 。 ３、A/D 转换器与LED 显示器的连接电路同A/D 转换器与LCD 显示器的连接电路相 比较，有哪些相同点和不同点？ 答：相同点：都有两种组成结构，一种是采用可直接驱动显示器的集成双积分式A/D 转换器，与共阳极显示器直接相连，另一种是采用输出为BCD 码动态扫描方式集成双积分式A/D 转换器，通过译码/驱动器与显示器相连。 不同点：因为LED 显示器是直流驱动，而LCD 显示器是交流驱动。所以二者采用的可直接驱动显示器的集成双积分式A/D 转换器型号不同，不能互换。可直接驱动LED 静态显示器与LED 显示器直接相连的集成双积分式A/D 转换器，是ICL7107、ICL7117等。可直接驱动LCD 显示器与LCD 显示器直接相连的集成双积分式A/D 转换器，是ICL7106、ICL7116、ICL7126、ICL7136。输出为BCD 码动态扫描方式的集成双积分式A/D 转换器如MC14433和ICL7135等，与LCD 显示器连接所用的译码/驱动器，同与LCD 显示器连接所用的译码/驱动器型号也不同，也不能互换。 ４、试用学过的力传感器、传感器接口电路、放大器电路、DVM 电路构成一个能检测 汽车是否超载的数字式汽车磅秤，画出完整的电路，并说明工作原理和调试方法。 答： ５、图13-5-4中A/D 转换器前若增设一个放大器，为使A/D 转换器输出数字正好是相 位差的度数，该电路应怎样设计和调整？ ６、答：图13-5-4是一个相位差数字测量电路。设相位差的度数为，即， N o N X =φ公式(13-5-3)可改写为360 0N U U g =。图中A/D 转换器前若增设一个放大倍数为K 的放大器，则A/D 转换结果变为 N U D KU D U KU D R FS g FS R 360/0== 为使A/D 转换器输出数字正好是相位差的度数，即N D =，可通过调整放大倍数来实现。