专训2 有理数的比较大小的八种方法

专训2有理数的比较大小的八种方法

名师点金：有理数大小的比较需要根据有理数的特征灵活地选择适当的方法，除了常规的比较大小的方法外，还有几种特殊的方法：作差法、作商法、找中间量法、倒数法、变形法、数轴法、特殊值法、分类讨论法等.

利用作差法比较大小

1.比较1731和5293

的大小.

利用作商法比较大小

2.比较－172016和－344071

的大小.

利用找中间量法比较大小

3.比较10072016与10092017

的大小.

利用倒数法比较大小

4.比较1111111和111111111

的大小.

利用变形法比较大小

5.比较－20142015，－1415，－20152016，－1516

的大小.6.比较－623，－417，－311，－1247

的大小.

利用数轴法比较大小

7.已知a ＞0，b ＜0，且|b|＜a ，试比较a ，－a ，b ，－b 的大小.【导学号：11972021】

利用特殊值法比较大小

8.已知a，b是有理数，且a，b异号，则|a＋b|，|a－b|，|a|＋|b|的大小关系为________________________________________________________________________.

利用分类讨论法比较大小

9.比较a与a

3的大小.

答案

1．解：因为5293－1731＝5293－5193＝193＞0，所以5293＞1731

.点拨：当比较的两个数的大小非常接近，无法直接比较大小时，作差比较是常采用的方法．

2．解：因为172016÷344071＝172016×407134＝13571344＞1，所以172016＞344071.所以－172016

＜－344071

.点拨：作商比较法是比较两个数大小的常用方法，当比较的两个正分数作商易约分时，作商比较往往能起到事半功倍的效果；当这两个数是负数时，可先分别求出它们的绝对值，再作商比较它们绝对值的大小，最后根据绝对值大的反而小下结论．

3．解：因为10072016＜12，10092017＞12，所以10072016＜10092017.点拨：对于类似的两数的大小比

较，我们可以引入一个中间量，分别比较它们与中间量的大小，从而得出问题的答案．

4．解：1111111的倒数是101111，111111111的倒数是1011111

.因为101111＞1011111，所以1111111＜111111111

.点拨：利用倒数法比较两个正数的大小时，需先求出其倒数，再根据倒数大的反而小，从而确定这两个数的大小．

5．解：每个分数都加1，分别得12015，115，12016，116

.因为12016＜12015＜116＜115，所以－20152016＜－20142015＜－1516＜－1415

.点拨：本题直接比较很困难，但通过把这些数适当变形，再进行比较就简单多了．

6．解：因为－623＝－1246，－417＝－1251，－311＝－1244，－1244＜－1246＜－1247＜－1251

，所以－311＜－623＜－1247＜－417

.点拨：此题如果通分，计算量太大，可以把分子变为相同的，再进行比较．

7．解：把a ，－a ，b ，－b 在数轴上表示出来，如图所示，根据数轴可得－a ＜b ＜－b ＜a.

(第7题)

点拨：本题运用了数轴法比较有理数的大小，在数轴上找出这几个数对应的点的大致位置，即可作出判断．

8．|a ＋b|＜|a －b|＝|a|＋|b|

点拨：已知a，b异号，不妨取a＝2，b＝－1或a＝－1，b＝2.当a＝2，b＝－1时，|a ＋b|＝|2＋(－1)|＝1，|a－b|＝|2－(－1)|＝3，|a|＋|b|＝|2|＋|－1|＝3；当a＝－1，b＝2时，|a ＋b|＝|－1＋2|＝1，|a－b|＝|－1－2|＝3，|a|＋|b|＝|－1|＋|2|＝3.所以|a＋b|＜|a－b|＝|a|＋|b|.

方法总结：本题运用特殊值法解题，取特殊值时要注意所取的值既要符合题目条件，又要考虑可能出现的多种情况．以本题为例，可以分为a正、b负和a负、b正两种情况．9．解：分三种情况讨论：

①当a＞0时，a＞a 3；

②当a＝0时，a＝a 3；

③当a＜0时，|a|＞|a

3|，则a＜a

3

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