2021GK-1M-D-东城高三一模试题
北京市东城区2021届高三一模
数学试卷
2021.4
本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知集合A ＝{x |－1 （A ）（－1，2） （B ）（－1，1） （C ）（－∞，2） （D ）（－∞，1） （2）在复平面内，复数（1＋2i ）i 对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （3）某中学高一、高二和高三各年级人数见下表.采用分层抽样的方法调查学生的健康状况，在抽取的样 本中，高二年级有20人，那么该样本中高三年级的人数为 （A ）18 （B ）22 （C ）40 （D ）60 （4）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为 （A ） 9 2 （B ）9 （C ）272 （D ）27 （5）已知圆x 2＋y 2＝1截直线y ＝k （x ＋1）（k >0）所得弦的长度为1，那么k 的值为 （A ） 1 2 （B ） 3 3 （C ）1 （D ）3 （6）已知函数2102, ()6,2, x x f x x x ?-<<=?-≥?，那么不等式f （x ）≥x 的解集为 （A ）（0，1] （B ）（0，2] （C ）[1，4] （D ）[1，6] （7）“x y <”是“ln ln x y <”成立的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （8）宽与长的比为 51 0.618-≈的矩形叫做黄金矩形.它广泛的出现在艺术、建筑、人体和自然界中，令人赏心悦目.在黄金矩形ABCD 中，BC ＝51-，AB ＞BC ，那么AB AC ?的值为 （A ）51- （B ）51+ （C ）4 （D ）252+ （9）已知椭圆221221x y C a b +=：（a >b >0）的右焦点F 与抛物线2 22(0)C y px p =>：的焦点重合，P 为椭 圆C 1与抛物线C 2的公共点，且PF ⊥x 轴，那么椭圆C 的离心率为 （A ）21- （B ） 3 （C ） 22 （D ）31- （10）如图，将线段AB ，CD 用一条连续不间断的曲线y ＝f （x ）连接在一起，需满足要求：曲线y ＝f （x ）经过点B ，C ，并且在点B ，C 处的切线分别为直线AB ，CD ，那么下列说法正确的是 （A ）存在曲线y ＝ax 3＋bx 2－2x ＋5（a ，b ∈R ）满足要求 （B ）存在曲线y ＝ sin cos 2 ax bx +＋c （a ，b ，c ∈R ）满足要求 （C ）若曲线y ＝f 1（x ）和y ＝f 2（x ）满足要求，则对任意满足要求的 曲线y ＝g （x ），存在实数λ，μ，使得g （x ）＝λf 1（x ）＋μf 2（x ） （D ）若曲线y ＝f 1（x ）和y ＝f 2（x ）满足要求，则对任意实数λ，μ， 当λ＋μ＝1时，曲线y ＝λf 1（x ）＋μf 2（x ）满足要求 第二部分（非选择题共110 分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 （11）在（1－x ）5的展开式中，x 2的系数为____________.（用数字作答） （12）已知双曲线C ：2 2 y x m -＝1经过点（2，2），那么m 的值为____，C 的渐近线方程为__________。 （13）已知{a n }为等比数列，a 1＝1，a 4＝ 1 8 ，那么{a n }的公比为____，数列{1n a }的前5项和为______。 （14）已知函数()sin(2)(A 0,)2 f x A x π ??=+>< ，其中x 和f （x ）部分对应值如下表所示： x 4 π - 0 12 π 4 π 3 π f （x ） －2 －23 －2 2 23 那么A ＝（15）设A 是非空数集，若对任意x ，y ∈A ，都有x ＋y ∈A ，xy ∈A ，则称A 具有性质P .给出以下命题： ①若A 具有性质P ，则A 可以是有限集； ②若A 1，A 2具有性质P ，且A 1∩A 2≠Φ，则A 1∩A 2具有性质P ； ③若A 1，A 2具有性质P ，则A 1∪A 2具有性质P ； ④若A 具有性质P ，且A ≠R ，则C R A 不具有性质P . 其中所有真命题的序号是_____________. 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （16）（本小题13分） 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，四边形BCC1B1是边长为1的正方形，AB＝2，M，N分别为AD，A1B1的中点. （I）求证：MA1//平面ANC； （II）求直线CN与平面D1AC所成角的正弦值. （17）（本小题13分） 在△ABC中，cos C＝1 7 ，c＝8，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求： （I）b的值； （II）角A的大小和△ABC的面积.条件①：a＝7； 条件②：cos B＝11 14 . 注：如果选择条件①、条件②分别解答，按第一个解答计分. （18）（本小题14分） 小明同学两次测试成绩（满分100分）如下表所示： （II）从小明同学第一次测试和第二次测试的科目中各随机抽取1科，记X为抽取的2科中成绩大于90分的科目数量，求X的分布列和数学期望E（X）； （III）现有另一名同学两次测试成绩（满分100分）及相关统计信息如下表所示： 3 x1＝x2，D1 已知函数f（x）＝x3－ax2－a2x＋1，其中a＞0.（I）当a＝1时，求f（x）的单调区间； （II）若曲线y＝f（x）在点（－a，f（－a））处的切线与y轴的交点为（0，m），求m＋1 a 的最小值. 已知椭圆C ：22 22x y a b +＝1（a >b >0）过点D （－2，0），且焦距为 （I ）求椭圆C 的方程； （II ）过点A （－4，0）的直线l （不与x 轴重合）与椭圆C 交于P ，Q 两点，点T 与点Q 关于x 轴对称，直线TP 与x 轴交于点H .是否存在常数λ，使得()AD DH AD DH λ?=-成立，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由. 设n（n≥2）为正整数，若α＝（x1，x2，…，x n）满足： ①x i∈{0，1，…，n－1}，i＝1，2，…，n； ②对于1≤i 则称a具有性质E（n）. 对于a＝（x1，x2，…，x n）和β＝（y1，y2，…，y n），定义集合T（α，β）＝{t|t＝|x i－y i|，i＝1，2，…，n}. （I）设a＝（0，1，2），若β＝（y1，y2，y3）具有性质E（3），写出一个β及相应的T（a，β）；（II）设α和β具有性质E（6），那么T（α，β）是否可能为{0，1，2，3，4，5}，若可能，写出一组α和β，若不可能，说明理由； （III）设α和β具有性质E（n），对于给定的α，求证：满足T（α，β）＝{0，1，…，n－1}的β有偶数个.