函数的连续性优质课教案

课 题：函数的连续性

教学目的：

1.理解掌握函数在一点连续须满足的三个条件的基础上，会判断函数在一点是否连续.

2.要会说明函数在一点不连续的理由.

3.要了解并掌握函数在开区间或闭区间连续的定义.

4.要了解闭区间上连续函数的性质，即最大值最小值定理

教学重点：函数在一点连续必须满足三个条件．

教学难点： 借助几何图象得出最大值最小值定理．

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授课类型：新授课 课时安排：1课时

教学过程：

一、复习引入： 1.000

lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x a f x f x a -+→→→=?== 其中0lim ()x x f x a -→=表示当x 从左侧趋近于0x 时的左极限，0lim ()x x f x a +→=表示当x 从右侧趋近于0x 时的右极限

2. 我们前面学习了数列极限和函数极限、数列可以看成是一种特殊的函数，不同的是函数的定义域往往是连续的.而数列的定义域是自然数集，是一个一个离散的点.而在我们日常生活中，也会碰到这种情况.比如温度计的水银柱高度会随着温度的改变而连续地上升或下降，这是一种连续变化的情况；再比如邮寄信件的邮费，随邮件质量的增加而作阶梯式的增加(打个比方：20克以内是8毛钱邮票，21克~30克是1元，31克~40克是元)等等.这就要求我们去研究函数的连续与不连续问题

二、讲解新课：

1.观察图像 如果我们给出一个函数的图象，从直观上看，一个函数在一点x=x0处连续，就是说图象在点x=x0处是不中断的.下面我们一起来看一下几张函数图象，并观察一下，它们在x=x0处的连续情况，以及极限情况.

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分析图，第一，看函数在x0是否连续.第二，在x0是否有极限，若有与f(x0)的值关系如何：

图(1)，函数在x0连续，在x0处有极限，并且极限就等于f(x0).

图(2)，函数在x0不连续，在x0处有极限，但极限不等于f(x0)，因为函数在x0处没有定义.

图(3)，函数在x0不连续，在x0处没有极限.

图(4)，函数在x0处不连续，在x0处有极限，但极限不等于f(x0)的值.

函数在点x=x0处要有定义，是根据图(2)得到的，根据图(3)，函数在x=x0处要有极限，根据图(4)，函

数在x=x0处的极限要等于函数在x=x0处的函数值即f(x0). 函数在一点连续必须满足刚才的三个条件. .函数f(x)在点x=x0处连续必须满足下面三个条件.

…

(1)函数f(x)在点x=x0处有定义；(2)

0lim x x →f(x)存在； (3)0lim x x →f(x)=f(x0)，即函数f(x)在点x0处的极限值等于这一点的函数值.

如果上述三个条件中有一个条件不满足，就说函数f(x)在点x0处不连续.那根据这三个条件，我们就可以给出函数在一点连续的定义．

2. 函数在一点连续的定义: 如果函数f(x)在点x=x0处有定义，

0lim x x →f(x)存在，且0lim x x →f(x)=f(x0)，那么函数f(x)在点x=x0处连续.

由第三个条件，0lim x x →f(x)=f(x0)就可以知道0lim x x →f(x)是存在的，所以我们下定义时可以再简洁一点. 函数f(x)在点x0处连续的定义.

如果函数y=f(x)在点x=x0处及其附近有定义，并且0lim x x →f(x)=f(x0)，就说函数f(x)在点x0处连续.

那怎么根据在一点连续的定义来定义在一个开区间(a ，b)内连续的定义． 区间是由点构成的，只要函数f(x)在开区间内的每一个点都连续，那么它在开区间内也就连续了.

3.函数f(x)在(a ，b)内连续的定义：

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如果函数f(x)在某一开区间(a ，b)内每一点处连续，就说函数f(x)在开区间(a ，b)内连续，或f(x)是开区间(a ，b)内的连续函数.

f(x)在开区间(a ，b)内的每一点以及在a 、b 两点都连续，现在函数f(x)的定义域是［a ，b ］，若在a 点连续，则f(x)在a 点的极限存在并且等于f(a)，即在a 点的左、右极限都存在，且都等于f(a)， f(x)在(a ，b)内的每一点处连续，在a 点处右极限存在等于f(a)，在b 点处左极限存在等于f(b).

4.函数f(x)在［a ，b ］上连续的定义：

如果f(x)在开区间(a ，b)内连续，在左端点x=a 处有+→a x lim f(x)=f(a)，在右端点x=b 处有-→b x lim f(x)=f(b),就说函数f(x)在闭区间［a ，b ］上连续,或f(x)是闭区间［a ，b ］上的连续函数.

如果函数f(x)在闭区间［a ，b ］上是连续函数，那它的图象肯定是一条连续曲线.

我们来看这张图，它是连续的，在a 、b 两点的值都是取到，所以它一定有一个最高点和一个最低点，假设在x1这点最高；那么它的函数值最大，就是说［a ，b ］区间上的各个点的值都不大于x1处的值，用数学语言表示就是f(x1)≥f(x)，x ∈［a ，b ］，同理，设x2是最低点，f(x2)≤f(x)，x ∈［a ，b ］.

5.最大值 f(x)是闭区间［a ，b ］上的连续函数，如果对于任意x ∈［a ，b ］，f(x1)≥f(x)，那么f(x)在点

x1处有最大值f(x1).

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6.最小值 f(x)是闭区间［a ，b ］上的连续函数，如果对于任意x ∈［a ，b ］，f(x2)≤f(x)，那么f(x)在点x2处有最小值f(x2).

由图我们可以知道，函数f(x)在［a ，b ］上连续，则一定有最大最小值，这是闭区间上连续函数的一个性质.最大，最小值可以在(a ，b)内的点取到，也可以在a ，b 两个端点上取到.

7.最大值最小值定理

如果f(x)是闭区间［a ，b ］上的连续函数，那么f(x)在闭区间［a ，b ］上有最大值和最小值

我们现在已经学习了函数在一点连续的定义，和需要满足的三个条件，下面看两个例子，看在给定点处是否连续，都要说明理由的

三、讲解范例：

例1 讨论下列函数在给定点处的连续性.

(1)f(x)=x 1

，点x=0. (2)g(x)=sinx ，点x=0.

）

分析：我们如果要很直观地看在给定点是否连续，画图方法最方便．

我们已经画出了两个函数的图象了.从图中，我们可以直接看出在x=0处函数连续的情况，

函数f(x)=x 1在点x=0处不连续，因为函数f(x)=x 1

在点x=0处没有定义.

函数g(x)=sinx 在点x=0处连续，因为函数g(x)=sinx ，在x=0

及附近都有定义，0lim →x sinx 存在且0lim

→x sinx=0而sin0=0. 解：(1)∵函数f(x)=x 1

在点x=0处没有定义 ∴它在点x=0处不连续.

解：(2)∵0lim →n sinx=0=sin0，∴函数g(x)=sinx 在点x=0处是连续的.

点评：写g(x)=sinx 在点x=0处连续只要把第三个条件写一下就可以，因为它已经包含前两个条件了，我们已经知道函数在一点连续的定义了．

四、课堂练习：2,1104P

五、小结 ：这节课主要学习了函数在一点连续的定义，以及必须满足的三个条件：①函数f(x)在点x=x0

处有定义.②0lim x x →f(x)存在.③0lim x x →f(x)=f(x0).还有函数在开区间，闭区间上连续的定义.以及闭区间上连续函数有最大值.最小值的定义和最大值最小值定理

六、课后作业：4,3,2105P