圆锥曲线 专项训练

圆锥曲线 专项训练

一、选择、填空题

1、已知双曲线42

2

=-y x 的右焦点为F ,则点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为_____.

2、已知椭圆2

2

22

:

1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为12F F 、，抛物线24y cx =222(,0)c a b c =->与椭圆C 在第一象限的交点为P ，若124

cos 5

PF F ∠=

，则椭圆的离心率为（ ）

A

B

C

D ．

49-或49

3、已知双曲线C ：)0(122

2

＞b b

y x =-的焦距为4,则双曲线C 的渐近线方程为（ ）

A ．x y 15±=

B ．x y 2±=

C ．x y 3±=

D ．x y 3±=

4、过双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x E ：的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A,B 两点，与双曲线

的渐近线交于C,D 两点，若|CD |2

3

|AB |=，则双曲线的离心率是（ ） （A ）2

（B ）2 （C ）3 （D ）3

5、已知直线l 过点（3

2

，0）且与x 轴垂直，则以l 为准线，顶点在原点的抛物线的方程是（ ） A ．y 2＝6x B ．y 2＝﹣6x C ．x 2＝6y

D ．x 2＝﹣6y

6、已知F 为抛物线：

C y x 42

=的焦点,过点F 的直线l 与抛物线C 相交于不同的两点B A ,,抛物线C 在B A ,两点处的切线分别是21,l l ,且21,l l 相交于点P ,则PF +

AB

32

的小值是___. 7、平面直角坐标系xoy 中，双曲线C 1：22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的两条渐近线与抛物线

C 2：2

2(0)x py p =>交于O ，A ，B 三点，若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为（ ）

（A （B ）

32

（C

（D ）2

8、双曲线C ：22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线与圆x 2+y 2＝a 2相切，与

C 的左、右两支分别交于点A 、B ，若|AB |＝|BF 2|，则C 的离心率为（ ）

A B ．5＋

C

D

9、抛物线2

y =的焦点为F ，P 是抛物线上一点，过P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，若｜PF ｜＝，

则△PQF 的面积为（ ）

A 、3

B 、

C 、

D 、10、P 是双曲线22

134

x y -=的右支上一点F 1，F 2分别为双曲线的左右焦点，则△PF 1F 2的内切圆的圆心横坐标为（ ）

A

B ．2

C

D ．3

11、已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>与函数0)y x =≥的图像交于点P .若函数y =P 处

的切线过双曲线左焦点(1,0)F -，则双曲线的离心率是（ ）

A ．

3

2

B ．12 C. 22 D ．12

12、已知抛物线2

2(0)y px p =>的焦点为(1,0)F ，直线:l y x m =+与抛物线交于不同的两点A ，B .若

01m ≤<，则FAB ?的面积的最大值是 ．

13、已知抛物线2

y =-的焦点到双曲线()222210,0x y a b a b -=>> 的一条渐近线的距离为5

10

，则

该双曲线的离心率为（ ）

A.

2

5

B C.

3

1

14、已知方程22

2213x y m n m n

-=+-表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是（ ）

A.()1,3-

B.(-

C.()0,3

D.(

15、若焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程是20x y ±=，则该双曲线的离心率是（ ）

B. 2

C.

16、已知直线0(0)kx y k k --=>与抛物线x y 42=交于B A 、两点，过B 作x 轴的平行线交抛物线的准线于点M ，O 为坐标原点，若:1:2OBM OBA S S ??=，则=k _____．

17、设椭圆)0(1:22

22＞＞b a b

y a x C =+的左,右顶点为A,B 。P 是椭圆上不同于A,B 的一点,设直线BP AP ,的

斜率分别为n m ,,则当

22

(3)3(ln ln )3a m n b mn mn

-+++取得最小值时,椭圆C 的离心率为（ ） A.

51 B.22 C.5

4

D.

23 18、抛物线y 2＝4x 上的点到（0，2）的距离与到其准线距离之和的最小值是

19、已知F 1，F 2是焦距为8的双曲线E ：22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左右焦点，点F 2关于双曲线E 的一

条渐近线的对称点为点A ，若｜AF 1｜＝4，则此双曲线的离心率为（ ）

A B C 、2 D 、3

20、双曲线22

221x y E a b

-=：(00a b >>，）F 作渐近线l 的垂线，垂足为M ，若

OFM ?的面积是1，则双曲线E 的实轴长是（ ）

A ．

B ． C. 1 D ．2

二、解答题

1、已知长度为4的线段的两个端点A ，B 分别在x 轴和y 轴上运动，动点P 满足3BP PA =，记动点P 的轨迹为曲线C.

（I ）求曲线C 的方程；

（II ）设不经过点H(0,1)的直线t x y +=2与曲线C 相交于两点M,N.若直线HM 与HN 的斜率之和为1,求实数t 的值.

2、已知椭圆C :12222=+b

y a x (a>b >0)的短轴长为42,离心率为1

3。

(I)求椭圆C 的标准方程;

(Ⅱ)设椭圆C 的左,右焦点分别为F 1,F 2,左,右顶点分别为A,B ,点M,N 为椭圆C 上位于x 轴上方的两点,且F 1M ∥F 2N ,记直线AM,BN 的斜率分别为k 1,k 2,求3k 1+2k 2=0,求直线F 1M 的方程。

3、设抛物线的顶点为坐标原点，焦点F 在y 轴的正半轴上，点A 是抛物线上的一点，以A 为圆心，2为半径的圆与y 轴相切，切点为F ． （Ⅰ）求抛物线的标准方程；

（Ⅱ）设直线m 在y 轴上的截距为6，且与抛物线交于P ，Q 两点，连接QF 并延长交抛物线的准线于点R ，当直线PR 恰与抛物线相切时，求直线m 的方程。

4、椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的上、下焦点分别为F 1（0，c ），F 2（0，

﹣c ），右顶点为B ，且满足

（Ⅰ）求椭圆的离心率e ；

（Ⅱ）设P 为椭圆上异于顶点的点，以线段PB 为直径的圆经过点F 2，问是否存在过F 1的直线与该圆相切？若存在，求出其斜率；若不存在，说明理由．

5、已知椭圆C：

22

22

1(0)

x y

a b

a b

+=>>，点P1（1，1），P2（0，3），P3（－2，－2），P4（2，

2）中恰有三点在椭圆C上．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设R（x0，y0）是椭圆C上的动点，由原点O向圆（x﹣x0）2+（y﹣y0）2＝2引两条切线，分别交椭圆于点P，Q，若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1，k2，试问△OPQ的面积是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．

6、己知椭圆C：

22

1

84

x y

+=的左右焦点分别为F1，F2，直线l：y＝kx+m与椭圆C交于A，B两点．O为

坐标原点．

（1）若直线l过点F1，且｜AF2｜十｜BF2｜＝162

3

，求直线l的方程；

(2)若以AB为直径的圆过点O，点P是线段AB上的点，满足OP⊥AB，求点P的轨迹方程．

7、已知抛物线C：y2＝2px（P＞0）的焦点到直线l：y＝2x+245

．

（1）求抛物线C的方程；

（2）设点R(x0,2)在抛物线C 上,过点Q(1,1)作直线交抛物线C 于不同于R 的两点A,B, 若直线AR,BR 分别交直线l 于M,N 两点,求|MN |最小时直线AB 的方程.

8、已知椭圆的焦点1(4,0)F -，2(4,0)F ，过点2F 并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，并且

12||||10F B F B +=，椭圆上不同的两点11(,)A x y ，22(,)C x y 满足条件：2||F A ，2||F B ，2||F C 成等差数

列.

（1）求椭圆的方程； （2）求弦AC 中点的横坐标.

9、已知B A ,是椭圆C ︰)0(122

22>>=+b a b

y a x 的左右顶点，P 点为椭圆C 上一点，点P 关于x 轴的对

称点为H ，且2

1=

?BH PA k k 。 （1）若椭圆C 经过了圆4)1(2

2

=-+y x 的圆心，求椭圆C 的标准方程；

（2）在（1）的条件下，抛物线D ：)0(22

>=p px y 的焦点F 与点)2,8

1(-关于y 轴上某点对称，且抛物线D 与椭圆C 在第四象限交于点Q ，过点Q 作抛物线D 的切线，求该切线方程并求该直线与两坐标轴围成的三角形面积.

10、如图，椭圆22

22:1x y E a b

+=(0)a b >>的左、右焦点分别为12F F 、，2MF x ⊥轴，直线1MF 交y 轴于

H 点，2

4

OH =

，Q 为椭圆E 上的动点，12F F Q ?的面积的最大值为1. （Ⅰ）求椭圆E 的方程；

（Ⅱ）过点(4,0)S 作两条直线与椭圆E 分别交于A B C D 、、、，且使AD x ⊥轴，如图，问四边形ABCD 的两条对角线的交点是否为定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.

11、已知点M 到定点()0,4F 的距离和它到直线254

l x =

：的距离的比是常数45．

（1）求点M 的轨迹C 的方程；

（2）若直线l y kx m =+：与圆922=+y x 相切，切点N 在第四象限，直线与曲线C 交于B A 、两点，求证FAB ?：的周长为定值．

12、已知椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，左顶点为A ，离心率为22，点B 是

椭圆上的动点，1ABF ?21

-（1）求椭圆C 的方程；

（2）设经过点1F 的直线与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，线段MN 的中垂线为'l .若直线'l 与直线相交于点P ，与直线2x =相交于点Q ，求PQ

MN

的最小值.

13、已知长度为AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴和y 轴上运动，动点P 满足2BP PA =，设动点P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；

（2）过点(4,0)且斜率不为零的直线l 与曲线C 交于两点M 、N ，在x 轴上是否存在定点T ，使得直线MT 与NT 的斜率之积为常数.若存在，求出定点T 的坐标以及此常数；若不存在，请说明理由.

14、已知椭圆()222

2

:

10x y C a b a

b

+

=>>的左、右焦点分别为12,F F ，若2F 的距离为3，连接椭圆的四个顶点得到的四边形面积为4． （I ）求椭圆C 的方程；

（II ）设椭圆C 的左、右顶点分别为A 、B ，过点(1,0)M 的直线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点，证明：直线AP 、BQ 的交点在直线4x =上．

15、已知椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的左，右焦点分别为F 10），F 2，0），且经过点A

12

）． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；

（Ⅱ）过点B （4，0）作一条斜率不为0的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，记点P 关于x 轴对称的点为P '．证明：直线P 'Q 经过x 轴上一定点D ，并求出定点D 的坐标．

参考答案

一、选择、填空题

1、2

2、D

3、D

4、A

5、B

6、6

7、B

8、A

9、D 10、A

11、D 12、86

9

13、A 14、A 15、C

16、2217、D18、519、C20、D

二、解答题

1、

2、

3、解（Ⅰ）设抛物线方程为2

2(0)x py p =>，

∵以A 为圆心，2为半径的圆与y 轴相切，切点为F ，

∴=2p ，∴该抛物线的标准方程为24x y =． ········· 4分 （Ⅱ）由题知直线m 的斜率存在，设其方程为6y kx =+，

由264y kx x y

=+=???消去y 整理得24240x kx --=， 显然216960k ?=+>．设()11P x y ，，()22Q x y ，，则12124?24x x k

x x +==-???．···· 6分

抛物线在点2114x P x ?? ??

?，处的切线方程为()211142x x y x x -

=-， 令1y =-，得2114

2x x x -=，可得点211412x R x ??--

???

，， ··········8分 由Q ，F ，R 三点共线得QF FR k k =，

∴2

2

2

1

2

1

111

4

4

2

x

x

x

x

---

=

-

，即()()

22

1212

44160

x x x x

--+=，

整理得()2

2

12121212

()4216160

x x x x x x x x

??

-+-++=

??，

∴()()()()

22

24442241616240

k

??

---?-++?-=

??，

解得2

1

4

k=，即

1

2

k=±，

∴所求直线m的方程为

1

6

2

y x

=+或

1

6

2

y x

=-+．········· 12分4、

5、

6、解：（1）由椭圆定义得|AB|+|AF2|+|BF2|=4a=82，则|AB 82

……2分

因为直线l过点F1(-2,0)，所以m=2k即直线l的方程为y=k(x+2). 设A(x1，y1)，B(x2，y2).

联立

()

22

280

2

x y

y k x

??

?

+-=

?

=

?

+，

，

整理得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-8=0．

∴x1+x2=

2

2

8

12

k

k

-

+

，x1x

2

=

2

2

2

1

8

8

k

k

+

-

．……………………………………………4分

由弦长公式|AB|=22

1212

82

(1)[()4]

3

k x x x x

++-=，

代入整理得

2

2

12

123

k

k

+

=

+

，解得1

k=±．

所以直线l的方程为(2)

y x

=±+，

即20

x y

-+=或+20

x y+=．………………………………………………6分（2）设直线l方程y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．

联立

22

280

y kx m

x y

=+

?

?

+-=

?

，

，

整理得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-8=0.

∴x1+x2=

2

4

21

km

k

-

+

，x1x2=

2

2

28

21

m

k

-

+

．…………………………………………8分以AB为直径的圆过原点O，即0

OA OB

?=．………………………………9分∴OA OB

?=x1x2+ y1y2=0．

将y1=kx1+m，y2= kx2+m代入，整理得

(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0．…………………………………………10分

将x1+x2=

2

4

21

km

k

-

+

，x1x2=

2

2

28

21

m

k

-

+

代入，

整理得3m2=8k2+8．…………………………………………………………11分∵点P是线段AB上的点，满足OP AB

⊥，

设点O到直线AB的距离为d，

∴ |OP|=d，于是|OP|2=d2=

2

2

8

13

m

k

=

+

（定值），

∴点P的轨迹是以原点为圆心，

8

3

为半径的圆，且去掉圆与x轴的交点.

故点P的轨迹方程为22

8

3

x y

+=(0

y≠)．………………………………12分7、

8、解：（1）由题意可知122||||10a F B F B =+=. 所以5a =，又4c =， 所以223b a c =-=， 所以椭圆方程为：

22

1259

x y +=. （2）由点(4,)B B y 在椭圆上，得

29

||||5

B F B y ==.

由2||F A ，2||F B ，2||F C 成等差数列，得

9

2

5

=?①

点

11

(,)

A x y在椭圆

22

111

259

x y

+=上，

得12

21

9

(25)

25

y x

=-

=

=

1

1

(254)

5

x

=-②

2

1

(254)

5

x

=-③

将②③代入①式，得：

12

1118

(254)(254)

555

x x

-+-=

所以

12

8

x x

+=

设AC中点坐标为

00

(,)

x y，则横坐标：

12

4

2

x x

x

+

==.

9、【解析】：（1）设)

,

(y

x

P，因为)0,

(

),

0,

(a

B

a

A-，则点P关于x轴的对称点H)

,

(y

x-。

a

x

y

k

PA+

=，x

a

y

k

BH-

=，因为

22

22

1

x y

a b

+=，所以()

22

2222

22

1

x b

y b a x

a a

??

=-=-

?

??

，所以

2

2

2

2

2

a

b

x

a

y

k

k

BH

PA

=

-

=

?，……………………2分

又椭圆C过圆4

)1

(2

2=

-

+y

x的圆心)1,0(，……………………4分所以1

,22

2=

=b

a，所以椭圆C的标准方程为1

2

2

2

=

+y

x

；

……………………5分

（2）由题意，抛物线D 焦点为)0,81(F ，故其方程为22x y =，联立方程组???????=+=1

2

2

222y x x y ，解得1=x 或2-=x （舍去）

，所以)2

2

,1(-Q ， ……………………7分

设抛物线22x y =在)22,1(-Q 点处的切线为22)1(--=x k y ，联立方程组???

?

???--==22

)1(22x k y x y ，整理得02222

=--

-k y ky ，由0?=解之得4

2

-=k ，所以所求的切线方程为2

2

)1(42---

=x y 。即是0122=++y x 。 ……………………10分

令0=x ，得4

2

-

=y ；令0=y ，得1-=x 。故所求三角形的面积为8

214221=??=

S 。 ……………………12分

10、解：（Ⅰ）设(,0)F c ，由题意可得22221c y a b +=，即2

M b y a

=.

∵OH 是12F F M ?

的中位线，且OH =

.................2分

∴2||2MF =

22

b a =242a b =.①

又由题知，当Q 在椭圆E 的上顶点时，12F F M ?的面积最大，.................4分 ∴

1

212

c b ??=，整理得1bc =，即222()1b a b -=，② 联立①②可得6421b b -=，变形得2

4

2

(1)(21)0b b b -++=，解得21b =，进而2

2a =.

∴椭圆E 的方程式为2

212

x y +=..................6分

(Ⅱ)设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则由对称性可知11(,)D x y -，21(,)B x y -. 设直线AC 与x 轴交于点(,0)t ，直线AC 的方程为(0)x my t m =+≠，

联立22

12x my t x y =+???+=??，消去x ，得222

(2)220m y mty t +++-=，.................8分

∴12222

mt

y y m -+=+，212222t y y m -=+，

由A B S 、、三点共线AS BS k k =，即

12

1244

y y x x -=--， 将11x my t =+，22x my t =+代入整理得1221()(4)0y my t t y my t +-++-=，.................10分

即12122(4)()0my y t y y +-+=，从而222(2)2(4)02m t mt t m ---=+，化简得2(42)0

m t -=，解得1

2t =，于是直线AC 的方程为12

x my =+

， 故直线AC 过定点1(,0)2.同理可得BD 过定点1

(,0)2，

∴直线AC 与BD 的交点是定点，定点坐标为1

(,0). ................12分

192595

x +-= FA AN ∴+ 同理+FB ∴FAB ?的直

12、解：（1）由已知，有

2

c a =，即22

2a c =. ∵2

2

2

a b c =+，∴b c =. 设B 点的纵坐标为00(0)y y ≠.

则101()2ABF S a c y ?=

-?1

()2

a c

b ≤-1

2

=，

即)1b b -=.

∴1b =，a =

∴椭圆C 的方程为2

212

x y +=. （2）由题意知直线的斜率不为，故设直线：1x my =-. 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，(,)P P P x y ，(2,)Q Q y .

联立22221

x y x my ?+=?=-?，消去，得22

(2)210m y my +--=.

此时2

8(1)0m ?=+>. ∴12222m y y m +=

+，12

21

2

y y m =-+.

由弦长公式，得MN =12y y -=.

整理，得221

2

m MN m +=+.

又122

22P y y m y m +=

=+，∴1P P x my =-22

2

m -=+.

∴2P PQ =

-2226

2

m m +=+.

∴2PQ =

22=

22=≥，

=

1m =±时等号成立.

∴当1m =±，即直线的斜率为1±时，PQ

MN

取得最小值.

13、解：（1）设(,)P x y ，(,0)A m ，(0,)B n ，

由于2BP PA =，所以(,)2(,)x y n m x y -=--(22,2)m x y =--，

即222x m x y n y =-??-=-?，所以323m x n y

?=???=?，

又AB =2

2

18m n +=，从而2

299184

x y +=. 即曲线C 的方程为：22

182

x y +=. （2）由题意设直线l 的方程为：4x my =+，11(,)M x y ，22(,)N x y ，

由224

182x my x y =+???+=??得：22(4)880m y my +++=，

所以12

21222284

846432(4)0m y y m y y m m m ?+=-?+?

?

=?+?

??=-+>??

.

故1212()8x x m y y +=++232

4

m =

+，

圆锥曲线 椭圆 专项训练(学生用}

圆锥曲线 椭圆 专项训练 【例题精选】： 例1 求下列椭圆的标准方程： （1）与椭圆x y 22416+=有相同焦点，过点P (,)56； （2）一个焦点为（0，1）长轴和短轴的长度之比为t ； （3）两焦点与短轴一个端点为正三角形的顶点，焦点到椭圆的最短距离为3。 （4）准线方程为x =?? ? ??4132,,且经过点； （5）e c ==08216.,. 例2 已知椭圆的焦点为2),1,0()1,0(21=-a F F ，。 （1）求椭圆的标准方程； （2）设点P 在这个椭圆上，且||||PF PF 121-=，求：tg F PF ∠12的值。 例3 已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，其纵坐标的长等于短半轴长的2 3。 求：椭圆的离心率。 小结：离心率是椭圆中的一个重要内容，要给予重视。

例4 已知椭圆x y 2 2 9 1+=，过左焦点F 1倾斜角为 π6 的直线交椭圆于A B 、两点。 求：弦AB 的长，左焦点F 1到AB 中点M 的长。 小结：由此可以看到，椭圆求弦长，可用弦长公式，要用到一元二次方程中有关根的性质。 例5 过椭圆14 16 2 2 =+ y x 内一点M （2，1）引一条弦，使弦被M 平分，求此弦所在直线方程。 小结：有关中点弦问题多采用“点差法”即设点做差的方法，也叫“设而不求”。 例6 已知C y x B A 的两个顶点，是椭圆 、125 16 )5,0()0,4(2 2 =+ 是椭圆 在第一象限内部分上的一点，求?ABC 面积的最大值。 小结：已知椭圆的方程求最值或求范围，要用不等式的均值定理，或判别式来求解。（圆中用直径性质或弦心距）。要有耐心，处理好复杂运算。

高考数学专题复习与策略专题平面解析几何突破点圆锥曲线中的综合问题专题限时集训理

专题限时集训(十五)圆锥曲线中的综合问题 [建议用时：45分钟] 1．(2016·中原名校联盟二模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1， F 2，点B (0，3)为短轴的一个端点，∠OF 2B ＝60°. 图15-4 (1)求椭圆C 的方程； (2)如图15-4，过右焦点F 2，且斜率为k (k ≠0)的直线l 与椭圆C 相交于D ，E 两点，A 为椭圆的右顶点，直线AE ，AD 分别交直线x ＝3于点M ，N ，线段MN 的中点为P ，记直线PF 2的斜率为k ′.试问k ·k ′是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． [解] (1)由条件可知a ＝2，b ＝3，故所求椭圆方程为x 24＋y 2 3＝1.4分 (2)设过点F 2(1,0)的直线l 的方程为y ＝k (x －1)． 由????? y ＝k x －1，x 24＋y 23 ＝1，可得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2 －12＝0.5分 因为点F 2(1,0)在椭圆内，所以直线l 和椭圆都相交，即Δ＞0恒成立．设点E (x 1，y 1)， D (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝8k 2 4k 2＋3，x 1x 2＝4k 2 －124k 2＋3.6分 因为直线AE 的方程为y ＝y 1x 1－2(x －2)，直线AD 的方程为y ＝y 2 x 2－2 (x －2)， 令x ＝3，可得M ? ? ??? 3， y 1x 1－2，N ? ????3，y 2x 2－2，所以点P 的坐标? ????3，12? ????y 1x 1－2＋y 2x 2－2.8分 直线PF 2的斜率为k ′＝12? ?? ??y 1 x 1－2＋y 2x 2－2－0 3－1 ＝14·x 1y 2＋x 2y 1－2y 1＋y 2x 1x 2－2x 1＋x 2＋4＝14·2kx 1x 2－3k x 1＋x 2＋4k x 1x 2－2x 1＋x 2＋4

文科圆锥曲线专题练习及问题详解

文科圆锥曲线 1.设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，12PF F ?是底角为30的等腰三 角形，则E 的离心率为（ ） () A 12 () B 23 () C 3 4 () D 4 5 【答案】C 【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思 想，是简单题. 【解析】∵△21F PF 是底角为0 30的等腰三角形， ∴322c a = ，∴e =3 4 ， ∴0260PF A ∠=，212||||2PF F F c ==，∴2||AF =c ， 2.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，AB =；则C 的实轴长为（ ） ()A ()B ()C 4 ()D 8 【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题. 【解析】由题设知抛物线的准线为：4x =，设等轴双曲线方程为：222x y a -=，将4x =代入等轴双曲线方程解 得y =||AB =a =2， ∴C 的实轴长为4，故选C. 3.已知双曲线1C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距 离为2，则抛物线2C 的方程为 (A) 2x y = (B) 2x y = (C)28x y = (D)216x y = 考点：圆锥曲线的性质 解析：由双曲线离心率为2且双曲线中a ，b ，c 的关系可知a b 3=，此题应注意C2的焦点在y 轴上，即（0，p/2）到直线x y 3=的距离为2，可知p=8或数形结合，利用直角三角形求解。 4.椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为 （A ） 2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）22 1124 x y += 【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。通过准线方程确定焦点位置，然后借助于焦距和准线求解参数,,a b c ，从而得到椭圆的方程。 【解析】因为242c c =?=，由一条准线方程为4x =-可得该椭圆的焦点在x 轴上县2 2448a a c c =?==，所以2 2 2 844b a c =-=-=。故选答案C 5.已知1F 、2F 为双曲线22 :2C x y -=的左、右焦点，点 P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠=

专题突破练27 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题

专题突破练27 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题 1.(2020山东德州二模,20)已知椭圆C :x 2 a 2 + y 2b 2=1(a>b>0)与圆x 2+y 2=43 b 2 相交于M ,N ,P ,Q 四点,四边形 MNPQ 为正方形,△PF 1F 2的周长为2(√2+1). (1)求椭圆C 的方程; (2)设直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点,D (0,-1),若直线AD 与直线BD 的斜率之积为16 ,证明:直线恒过定点. 2.(2020河南、广东等五省联考,19)已知点P 在圆O :x 2+y 2=9上,点P 在x 轴上的投影为Q ,动点M 满足4PQ ????? =3√2MQ ?????? . (1)求动点M 的轨迹E 的方程; (2)设G (-3,0),H (3,0),过点F (1,0)的动直线l 与曲线E 交于A 、B 两点,问直线AG 与直线BH 的斜率之比是否为定值?若为定值,求出该定值;若不为定值,试说明理由. 3.(2020山东德州一模,20)已知抛物线E :x 2=2py (p>0)的焦点为F ,圆M 的方程为:x 2+y 2-py=0,若直线x=4与x 轴交于点R ,与抛物线交于点Q ,且|QF|=5 4 |RQ|. (1)求出抛物线E 和圆M 的方程; (2)过焦点F 的直线l 与抛物线E 交于A ,B 两点,与圆M 交于C ,D 两点(A ,C 在y 轴同侧),求证:|AC|·|DB|是定值. 4. (2020河北衡水中学高三下学期十调,理19)已知圆C 1:x 2+y 2=2,圆C 2:x 2+y 2=4,如图,C 1,C 2分别交x 轴正半轴于点E ,A.射线OD 分别交C 1,C 2于点B ,D ,动点P 满足直线BP 与y 轴垂直,直线DP 与x 轴垂直. (1)求动点P 的轨迹C 的方程; (2)过点E 作直线l 交曲线C 于点M ,N ,射线OH ⊥l 于点H ,且交曲线C 于点Q.问:1|MN |+1 |OQ |2 的值是否是定值?如果是定值,请求出该定值;如果不是定值,请说明理由. 5.(2020北京丰台一模,20)已知椭圆C :y 2 a 2+x 2b 2=1(a>b>0)的离心率为 √2 2 ,点P (1,0)在椭圆C 上,直线 y=y 0与椭圆C 交于不同的两点A ,B. (1)求椭圆C 的方程;

精选圆锥曲线专项训练

精选圆锥曲线专项训练 一、 填空题 1、椭圆的中心在原点，有一个焦点F (,)01-，它的离心率是方程25202 x x -+=的一个根，椭圆的方程是 ； 2、若椭圆x k y e 2 2 8 9 112 ++ == 的离心率, 则实数k 的值是 ； 3、过椭圆 x y F 2 2 1 36 25 1+ =的焦点作直线交椭圆于A 、B 二点，F 2是此椭圆的另一焦点，则 ?ABF 2的周长为 ； 4、椭圆372122x y +=上有一点P 到两个焦点的连线互相垂直，则P 点的坐标是 ； 5、抛物线292 y x =上一点M 到准线的距离为738 ，则点M 到抛物线顶点的距离是 。 6、焦点在直线34120x y --=上的抛物线的标准方程为 。 7、抛物线y Px 22=上一点M m (,)4到焦点距离等于6，则m = 。 8、一动点到y 轴的距离比到点( 2,0 )的距离小2，这动点的轨迹方程是 。 9、抛物线y ax a =<402 ()的焦点坐标为 。 10、在抛物线y x 22=上求一点P ，使点P 到直线x y -+=30的距离最短。 11、若抛物线的准线方程为2310x y +-=，焦点为(,)-21，则抛物线的对称轴方程是 12、P 1P 2是抛物线的通径，Q 是准线与对称轴的交点，则∠=P QP 12 。 13、双曲线 x y 2 2 25 9 1- =上一点 P ，到一个焦点的距离为12，则P 到另一个焦点的距离为 14、以230x y ±=为渐近线，且经过点(1 , 2)的双曲线是 。 15、双曲线的离心率e =2，则它的一个顶点把焦点之间的线段分成长、短两段的比是 。 16、双曲线x y 2 2 3 1- =的渐近线中，斜率较小的一条渐近线的倾斜角为 17、已知双曲线的渐近线方程为340x y ±=，一条准线的方程为5330y +=，求这双曲线方程 18、与双曲线x y 2 2 36 4 1- =共轭的双曲线方程是 ，它们的焦点所在的圆方程

最新高考数学二轮专题综合训练-圆锥曲线(分专题-含答案)

圆锥曲线综合训练题 一、求轨迹方程： 1、（1）已知双曲线1C 与椭圆2C ：22 13649 x y +=有公共的焦点，并且双曲线的离心率1e 与椭 圆的离心率2e 之比为7 3，求双曲线1C 的方程． （2）以抛物线2 8y x =上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ，求P 点的轨迹方程． （1）解：1C 的焦点坐标为(0, 27e = 由127 3 e e = 得13e =设双曲线的方程为2 2 221(,0)y x a b a b -=>则22222 13 139a b a b a ?+=??+=? ? 解得229,4a b == 双曲线的方程为 22194y x -= （2）解：设点00(,),(,)M x y P x y ，则00 62 2 x x y y +? =????=??，∴00262x x y y =-??=?． 代入2008y x =得：2 412y x =-．此即为点P 的轨迹方程． 2、（1）ABC ?的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，建立适当的坐标系求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．（2）△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=5 3 sinA,求点A 的轨迹方程． 解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ， 8=c ，有6=b ，故其方程为 ()0136 1002 2≠=+y y x ．设()y x A ，，()y x G ''，，则()013610022≠'='+'y y x ． ①由题意有???????='='33 y y x x ，代入①，得A 的轨迹方程为 ()01324 9002 2≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．

圆锥曲线选择填空小题专项训练

圆锥曲线小题训练 1、(江苏省启东中学高三综合测试二)在抛物线y 2=2px 上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值为 A.0.5 B.1 C. 2 D. 4 答案：C 2、(江苏省启东中学高三综合测试三)已知椭圆E 的短轴长为6，焦点F 到长轴的一个端点的距离等于9， 则椭圆E 的离心率等于A ． 53 B 5 4 C ． 135 D ．13 12 答案：B 3、(江苏省启东中学高三综合测试四)设F 1，F 2是椭圆16 4942 2=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且3:4:21=PF PF ，则21F PF ?的面积为 （ ） A ．4 B ．6 C ．22 D ．24 答案：B 4、(安徽省皖南八校2008届高三第一次联考)已知倾斜角0≠α的直线l 过椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 的 右焦点Ｆ交椭圆于Ａ、Ｂ两点，Ｐ为右准线上任意一点，则APB ∠为 （ ） Ａ．钝角； Ｂ．直角； Ｃ．锐角； Ｄ．都有可能；答案：C 面积的取值范围是[3b 2，4b 2]，则这一椭圆离心率e 的取值范围是 A ．]2 3,35[ B ．]2 2,33[ C ．]2 2,35[ D ．]2 3 ,33[ 答案：A 6、(安徽省淮南市2008届高三第一次模拟考试)已知点A, F 分别是椭圆122 22=+b y a x (a >b >0)的右顶点和左 焦点，点B 为椭圆短轴的一个端点，若?=0，则椭圆的离心率e 为（ ▲ ） A. 2 1 (5－1) B. 2 1 (3－1) C. 2 5 D. 2 2 答案：A 7、(安徽省巢湖市2008届高三第二次教学质量检测)以椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为圆心的圆经过 原点，且被椭圆的右准线分成弧长为2:1的两段弧，那么该椭圆的离心率等于( ) A.23 6 C.4 9 3答案：B 8、(北京市朝阳区2008年高三数学一模)已知双曲线22 122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、 2F ，抛物线2C 的顶点在原点，它的准线与双曲线1C 的左准线重合，若双曲线1C 与抛物线2C 的交点P 满 足212PF F F ⊥，则双曲线1C 的离心率为 A ． 2 B ． 3 C ．23 3 D ．22答案：B 9、(北京市崇文区2008年高三统一练习一)椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的中心、右焦点、右顶点、右准 线与x 轴的交点依次为O 、F 、A 、H ，则| || |OH FA 的最大值为（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．1答案：C 10、(北京市海淀区2008年高三统一练习一)直线l 过抛物线x y =2 的焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，且 点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角4 π θ… ,则|FA |的取值范围是 （ ）

圆锥曲线提升专题训练

圆锥曲线专题训练2018.1 数学高考对解析几何内容的考查主要集中在如下几个类型： ①求曲线方程（类型确定，甚至给出曲线方程）； ②直线、圆和圆锥曲线间的交点问题（含切线问题）； ③与圆锥曲线定义有关的问题（涉及焦半径、焦点弦、焦点三角形和准线，利用余弦定理等） ④与曲线有关的最值问题（含三角形和四边形面积）； ⑤与曲线有关的几何证明(圆线相切、四点共圆、对称性或求对称曲线、平行、垂直等)； ⑥探求曲线方程中几何量及参数间的数量特征； 考点一、求范围（最值）问题 例1-1.（2014新课标全国卷Ⅰ）已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32 ，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233 ，O 为坐标原点． (1)求E 的方程； (2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程． 例1-2.已知直线1y x =-+与椭圆相交于A B 、两点. （1，焦距为2，求线段AB 的长； （2）与向量OB 互相垂直（其中O 为坐标原点），求椭圆长轴长的最大值.

练习1.【江苏省扬州中学2015届高三4月双周测】 在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C ：的离心率为，右焦点F （1,0），点P 在椭圆C 上，且在第一象限内，直线PQ 与圆O ： 相切于点M. （1）求椭圆C 的方程；（2）求|PM|·|PF|的取值范围； （3）若OP ⊥OQ ，求点Q 的纵坐标t 的值. 考点二、存在性问题 例2-1.如图，过椭圆L 的左顶点(3,0)A -和下顶点B 且斜率均为k 的两直线12,l l 分别交椭圆于,C D ，又1l 交y 轴于M ，2l 交x 轴于N ， 且CD 与MN 相交于点P .当3k =时，ABM ?是直角三角形. （1）求椭圆L 的标准方程；（2）①证明：存在实数λ，使得AM OP λ=uuu r uu u r ； ②求|OP |的最小值.

2021届高考数学解答题核心素养题型10 圆锥曲线综合问题(专项训练)(解析版)

专题10 圆锥曲线综合问题 (2)直线l：y＝kx－1与C1的左支有两个相异的公共点，求k的取值范围． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设过定点T(0,2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围． 【答案】见解析

所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2 3 ＝1. (2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由????? y ＝kx ＋2，x 24＋y 2 3 ＝1得(4k 2＋3)x 2 ＋16kx ＋4＝0， 因为Δ＝16(12k 2－3)＞0，所以k 2 ＞14，则x 1＋x 2＝－16k 4k 2＋3，x 1x 2＝44k 2＋3.因为∠AOB 为锐角，所以OA →·OB → ＞ 0，即x 1x 2＋y 1y 2＞0，所以x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＞0，所以(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＞0，即(1＋k 2 )·44k 2 ＋3＋2k · －16k 4k 2 ＋3＋4＞0，解得k 2＜43.又k 2＞14，所以14＜k 2 ＜43，解得－233＜k ＜－12或12＜k ＜233 .所以直线l 的斜率k 的取值范围为? ????－23 3 ，－12∪? ????12，233 3．在平面直角坐标系xOy 中，过点C (2,0)的直线与抛物线y 2 ＝4x 相交于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2， y 2)． (1)求证：y 1y 2为定值； (2)是否存在平行于y 轴的定直线被以AC 为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线方程和弦长；如果不存在，说明理由． 【答案】见解析 【解析】(1)证明：设直线AB 的方程为my ＝x －2，由? ???? my ＝x －2， y 2 ＝4x 得y 2 －4my －8＝0，所以y 1y 2＝－8. 因此有y 1y 2＝－8为定值． (2)设存在直线l ：x ＝a 满足条件，则AC 的中点E ? ?? ??x 1＋22，y 12，|AC |＝(x 1－2)2＋y 21 .点A 在抛物线上，所 以y 21＝4x 1，因此以AC 为直径的圆的半径r ＝12|AC |＝12(x 1－2)2＋y 2 1＝12 x 21＋4，又点E 到直线x ＝a 的距离 d ＝???? ? ?x 1＋22－a .故直线l 被圆截得的弦长为2 r 2－d 2＝2 14(x 21＋4)－? ?? ??x 1＋22－a 2＝ x 21＋4－(x 1＋2－2a )2＝ －4+(1－a )x 1＋8a －4a 2 .当1－a ＝0，即a ＝1时，弦长为定值2，这时直线方程为x ＝1. 4．已知长轴长为4的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点P ? ?? ??263，1，点F 是椭圆的右焦点． (1)求椭圆方程； (2)是否存在x 轴上的定点D ，使得过D 的直线l 交椭圆于A ，B 两点．设点E 为点B 关于x 轴的对称点，且 A ，F ，E 三点共线？若存在，求出D 点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】见解析

(完整版)微专题-圆锥曲线中的最值问题(解析版)

专题30 圆锥曲线中的最值问题 【考情分析】 与圆锥曲线有关的最值和范围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。 江苏高考试题结构平稳，题量均匀．每份试卷解析几何基本上是1道小题和1道大题，平均分值19分，实际情况与理论权重基本吻合；涉及知识点广．虽然解析几何的题量不多，分值仅占总分的13%，但涉及到的知识点分布较广，覆盖面较大；注重与其他内容的交汇。圆锥曲线中的最值问题，范围问题都是考查学生综合能力的载体．俗话说：他山之石可以攻玉．在研究这几年外省新课程卷解析几何试题时，就很有启发性．比如2010年安徽卷理科19题，该题入题口宽，既可用传统的联立直线与曲线，从方程的角度解决，也可利用点在曲线上的本质，用整体运算、对称运算的方法求解．再比如2011年上海卷理科23题，主要涉及到中学最常见的几个轨迹，通过定义点到线段的距离这一新概念设置了三个问题，特别是第三问，呈现给学生三个选择，学生可根据自已的实际情况选择答题，当然不同层次的问题，评分也不一样，体现让不同的学生在数学上得到不同的发展 【备考策略】 与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系； （2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围； （3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。 （4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；【激活思维】 1．已知双曲线122 22=-b y a x (a >0,b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲 线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是[2,)+∞ 2． P 是双曲线 22 1916 x y -=的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM|－|PN |的最大值为7 3．抛物线y=-x 2 上的点到直线4x +3y -8=0距离的最小值是 43 4．已知抛物线y 2 =4x ,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12 +y 2 2 的最小值是 32 . 5．已知点M (-2，0)，N (2,0)，动点P 满足条件||||2PM PN -=记动点P 的轨迹为W . （Ⅰ）求W 的方程； （Ⅱ）若A ，B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ?u u u r u u u r 的最小值. 解：（Ⅰ）依题意，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支， 所求方程为：22 x y 122 －＝ （x >0） （Ⅱ）当直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 的方程为x ＝x 0， 此时A （x 02 x 2－），B （x 020 x 2－，OA OB ?u u u r u u u r ＝2

(完整版)高考专项训练17.圆锥曲线小题

一．选择题（共30小题） 1．（2012?惠州）以椭圆+=1的左焦点为焦点的抛物线的标准方程是（） A．y2=4x B．y2=﹣4x C．y2=8x D．y2=﹣8x 2．（2011?重庆）设双曲线的左准线与两条渐近线交于A，B两点，左焦点为在以AB为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为（） A．（0，）B．（1，）C．（，1）D．（，+∞） 3．（2011?天津）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2=2px的焦点的距离为4，且双曲线的 一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为（） A．2B．2C．4D．4 4．（2011?陕西）设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=﹣2，则抛物线的方程是（） A．y2=﹣8x B．y2=8x C．y2=﹣4x D．y2=4x 5．（2011?山东）设M（x0，y0）为抛物线C：x2=8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是（） A．（0，2）B．[0，2] C．（2，+∞）D．[2，+∞） 6．（2011?山东）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（） A．B．=1 C．=1 D．=1 7．（2011?辽宁）已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y 轴的距离为（） A．B．1 C．D． 8．（2011?湖南）设双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，则a的值为（）A．4 B．3 C．2 D．1 9．（2011?福建）设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，则曲线r的离心率等于（） A．B．或2 C． 2 D．

圆锥曲线椭圆专项训练含答案

圆锥曲线 椭圆 专项训练 【例题精选】: 例1 求下列椭圆的标准方程: (1)与椭圆x y 22416+=有相同焦点,过点P (,)56; ?(２)一个焦点为(０,1)长轴与短轴的长度之比为t ; (３)两焦点与短轴一个端点为正三角形的顶点,焦点到椭圆的最短距离为3。 ?(４)e c ==08216.,. 例2 已知椭圆的焦点为2),1,0()1,0(21=-a F F ，。 ?(1)求椭圆的标准方程; ?(２)设点P 在这个椭圆上,且||||PF PF 121-=,求:tg F PF ∠12的值。 例３ 已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点,其纵坐标的长等于短半轴长的 23 。 求:椭圆的离心率。 ? ?小结:离心率就是椭圆中的一个重要内容,要给予重视。 例4 已知椭圆x y 2291+=,过左焦点F １倾斜角为π6 的直线交椭圆于A B 、两点。

?求:弦A Ｂ的长,左焦点F 1到AB 中点Ｍ的长。 ? 小结:由此可以瞧到,椭圆求弦长,可用弦长公式,要用到一元二次方程中有关根的性质。 例5 过椭圆14162 2=+y x 内一点M(2,1)引一条弦,使弦被M 平分,求此弦所在直线方程。 ? 小结:有关中点弦问题多采用“点差法”即设点做差的方法,也叫“设而不求”。 例6 已知C y x B A 的两个顶点，是椭圆、125 16)5,0()0,4(2 2=+就是椭圆在第一象限内部分上的一点,求?ABC 面积的最大值。 ? 小结:已知椭圆的方程求最值或求范围,要用不等式的均值定理,或判别式来求解。(圆中用直径性质或弦心距)。要有耐心,处理好复杂运算。 【专项训练】: 一、 选择题:

圆锥曲线难题专项训练

圆锥曲线难题专项训练 1、圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦。若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂轴 弦。已知点、是圆锥曲线C上不与顶点重合的任意两点，是垂直于轴的一条垂轴弦，直 线分别交轴于点和点。 （1）试用的代数式分别表示和； （2）若C的方程为（如图），求证：是与和点位置无关的定值； （3）请选定一条除椭圆外的圆锥曲线C，试探究和经过某种四则运算（加、减、乘、除），其结果是否是与 和点位置无关的定值，写出你的研究结论并证明。 （说明：对于第3题，将根据研究结论所体现的思维层次，给予两种不 同层次的评分） 2、如图，在轴上方有一段曲线弧，其端点、在轴上（但不属于），对上任一点及点， ，满足：．直线，分别交直线于，两点． （1）求曲线弧的方程； （2）求的最小值（用表示）； （3）曲线上是否存点，使为正三角形？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．

3、已知点是直角坐标平面内的动点，点到直线的距离为，到点的距离为，且．(1)求动点P所在曲线C的方程； (2)直线过点F且与曲线C交于不同两点A、B(点A或B不在x轴上)，分别过A、B点作直线的垂线，对 应的垂足分别为，试判断点F与以线段为直径的圆的位置关系(指在圆内、圆上、圆外等情况)； (3)记，，(A、B、是(2)中的点)，问是否存在实数，使成立．若 存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 进一步思考问题：若上述问题中直线、点、曲线C：，则 使等式成立的的值仍保持不变．请给出你的判断.(填写“不正确”或“正确”)(限于时间，这里不需要举反例，或证明)． 4、如图7，椭圆的离心率为，x轴被曲线截得的线段长等于的长半轴长。 （Ⅰ）求，的方程；

高考数学专项突破：圆锥曲线专题

高考数学专项突破：圆锥曲线专题 目录 一、知识考点讲解错误!未定义书签。 第一部分了解基本题型错误!未定义书签。 第二部分掌握基本知识错误!未定义书签。 第三部分掌握基本方法错误!未定义书签。 二、知识考点深入透析错误!未定义书签。 三、圆锥曲线之高考链接错误!未定义书签。 四、基础知识专项训练错误!未定义书签。 五、解答题专项训练错误!未定义书签。 附录:圆锥曲线之高考链接参考答案错误!未定义书签。 附录：基础知识专项训练参考答案错误!未定义书签。 附录：解答题专项训练参考答案错误!未定义书签。

一、知识考点讲解 一、圆锥曲线的考查重点: 高考试卷对圆锥曲线的考查主要是:给出曲线方程，讨论曲线的基本元素和简单的几何性质；或给出曲线满足的条件，判断（或求）其轨迹；或给出直线与曲线、曲线与曲线的位置关系，讨论与其有联系的有关问题（如直线的方程、直线的条数、弦长、曲线中参数的取值范围等)；或讨论直线与曲线、曲线与曲线的关系；或考查圆锥曲线与其它知识的综合（如与函数、数列、不等式、向量、导数等）等。 二、圆锥曲线试题的特点： １、突出重点知识的考查。直线与圆的方程、圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质等是圆锥曲线命题的根本,在对圆锥曲线的考查中，直线与圆锥曲线的位置关系仍然是重点。 2、注重数学思想与方法的考查。 3、融合代数、三角、不等式、排列组合、向量和几何等知识,在知识网络的交汇点处设计问题是高考的一大特点，由于向量具有代数和几何的双重身份,使得圆锥曲线与平面向量的整合交汇成为高考命题的热点,导数知识的引入为我们解决圆锥曲线的最值问题和切线问题提供了新的视角和方法。 三、命题重点趋势：直线与圆锥曲线或圆与圆锥曲线 1、高考圆锥曲线内容重点仍然是直线与圆锥曲线或圆与圆锥曲线,直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现。 ２、热点主要体现在:直线与圆锥曲线的基础题;涉及位置关系的判定;轨迹问题;范围与位置问题；最值问题;存在性问题;弦长问题;对称问题；与平面向量或导数相结合的问题。 3、直线与圆锥曲线的题型涉及函数的与方程，数形结合，分类讨论，化归与转化等重要的数学思想方法，是高考必考内容之一，这类题型运算量比较大，思维层次较高,要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高,起到了拉开考生“档次”,有利于选拔的功能,对学生的能力要求也相对较高,是每年高考中平面几何部分出题的重点内容 第一部分了解基本题型 一、高考中常见的圆锥曲线题型 １、直线与圆锥曲线结合的题型

2019-2020年高考数学专题练习——圆锥曲线

2019-2020年高考数学专题练习——圆锥曲线（一） 一、选择题 1.设双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1且斜率为 1 3 的直线与双曲线的两渐近线分别交于点A ，B ，并且22F A F B =,则双曲线的离心率为( ） A ．2 B D 2.设F 1，F 2分别为双曲线C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，A 为双曲线的左顶 点，以F 1F 2为直径的圆交双曲线某条渐近线于M 、N 两点，且满足：120MAN ∠=o ，则该双曲线的离心率为（ ） A ．7 3 B ． 3 C ．3 D ． 3 3.双曲线()22 220,01x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作倾斜角为60°的直线与 y 轴和双曲线的右支分别交于A ，B 两点，若点A 平分线段F 1B ，则该双曲线的离心率是（ ） A B ． D 1 4.已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与抛物线交于M ，N 两点, 若3PF MF =u u u r u u u u r ，则MN =（ ） A ．16 3 B ．8 C ．16 D 5.知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>，A 1、A 2是实轴顶点，F 是右焦点，(0,)B b 是虚轴端 点，若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点()1,2i P i =，使得()121,2i PA A i ?=构成以A 1A 2为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e 的取值范围是（ ）

高考数学圆锥曲线专题练习及答案解析

《圆锥曲线大题全攻略》系列课程 1.求轨迹方程问题 2.圆锥曲线中的定点问题 3.圆锥曲线中的定值问题 4.圆锥曲线中的最值问题 5.点差法解决中点弦问题 6.常见几何关系的代数化方法 7.圆锥曲线中的非对称“韦达定理”问题处理技巧 8.圆锥曲线中的三点共线问题 9.巧用曲线系方程解决圆锥曲线中的四点共圆问题 10.抛物线中阿基米德三角形的常见性质及应用 11.圆锥曲线中的双切线题型

圆锥曲线中的求轨迹方程问题 解题技巧 求动点的轨迹方程这类问题可难可易是高考中的高频题型，求轨迹方程的主要方法有直译法、相关点法、定义法、参数法等。它们的解题步骤分别如下： 1. 直译法求轨迹的步骤： （1）设求轨迹的点为);,(y x P （2）由已知条件建立关于y x ,的方程； （3）化简整理。 2. 相关点法求轨迹的步骤： （1）设求轨迹的点为),(y x P ，相关点为),(O O y x Q ; （2）根据点的产生过程，找到),(y x 与),(O O y x 的关系，并将O O y x ,用x 和y 表示； （3）将),(O O y x 代入相关点的曲线，化简即得所求轨迹方程。 3. 定义法求轨迹方程： （1）分析几何关系； （2）由曲线的定义直接得出轨迹方程。 4. 参数法求轨迹的步骤： （1）引入参数； （2）将求轨迹的点),(y x 用参数表示；

（3）消去参数； （4）研究范围。 【例1.】已知平面上两定点),,(),,(2020N M -点P 满足=?求点P 的轨迹方程。 【例2.】已知点P 在椭圆14 22 =+y x 上运动，过P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，点M 满足,PQ PM 3 1 =求动点M 的轨迹方程。 【例3.】已知圆),,(,)(:023622 2 B y x A =++点P 是圆A 上的动点，线段PB 的中垂线交 PA 于点Q ，求动点Q 的轨迹方程。

高考数学二轮复习 专题七 圆锥曲线 专题突破练23 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题 文

专题突破练23 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题 1.已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系,直线l:x-y+=0与以原点为圆心,以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切. (1)求椭圆C的方程; (2)设M是椭圆的上顶点,过点M分别作直线MA,MB交椭圆于A,B两点,设两直线的斜率分别为k1,k2,且k1+k2=4,证明:直线AB过定点. 2.(2018河北保定一模,文20)椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,且过点-1,. (1)求椭圆C的方程; (2)设P(x,y)为椭圆C上任一点,F为其右焦点,点P'满足=(4-x,0). ①证明:为定值; ②设直线y=x+m与椭圆C有两个不同的交点A,B,与y轴交于点M.若|AF|,|MF|,|BF|成等差数列,求m的值.

3.已知中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆,离心率e=,且椭圆过点. (1)求椭圆的方程; (2)椭圆左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线l与椭圆交于不同的两点A,B,则△F1AB的内切圆的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由. 4.(2018河南郑州三模,文20)已知动点M(x,y)满足:=2. (1)求动点M的轨迹E的方程; (2)设A,B是轨迹E上的两个动点,线段AB的中点N在直线l:x=-上,线段AB的中垂线与E 交于P,Q两点,是否存在点N,使以PQ为直径的圆经过点(1,0),若存在,求出N点坐标,若不存在,请说明理由.

5.(2018山东烟台一模,文20)已知椭圆C:=1(a>b>0)的焦距为2,斜率为的直线 与椭圆交于A,B两点,若线段AB的中点为D,且直线OD的斜率为-. (1)求椭圆C的方程; (2)若过左焦点F斜率为k的直线l与椭圆交于点M,N,P为椭圆上一点,且满足OP⊥MN,问:是否为定值?若是,求出此定值;若不是,说明理由. 6.(2018河北衡水中学考前仿真,文20)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率与双曲线 =1的离心率互为倒数,且过点P1,. (1)求椭圆的方程; (2)过P作两条直线l1,l2与圆(x-1)2+y2=r20

圆锥曲线(选填题)压轴题系列专题(一)：圆锥曲线与“四心”问题(第4讲)(解析版)

专题一：圆锥曲线与四心问题（内心、重心、垂心、外心）从近几年圆锥曲线的命题风格看，既注重知识又注重能力，既突出圆锥曲线的本质特征。而现在圆锥曲线中面积、弦长、最值等几乎成为研究的常规问题。“四心”问题进入圆锥曲线，让我们更是耳目一新。因此在高考数学复习中，通过让学生研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高学生的数学解题能力，增强学生的信心，备战高考． 专题目录： 第1讲、圆锥曲线与内心问题 第2讲、圆锥曲线与重心问题 第3讲、圆锥曲线与垂心问题 第4讲、圆锥曲线与外心问题

第4讲、圆锥曲线与外心问题： 三角形的外心：三角形三条垂直平分线的交点 知识储备： (1)、O 是ABC ?的外心||||||OC OB OA ==?(或2 2 2 OC OB OA ==)； (2)、若点O 是ABC △的外心，则()()()OA OB AB OB OC BC OA OC AC +?=+?=+?=0. (3)、若O 是ABC ?的外心，则sin 2sin 2B sin 02A OA OB C OC ?+?+?=; (4)、多心组合：ABC ?的外心O 、重心G 、垂心H 共线，即OG ∥OH 经典例题 例1．（2019年成都七中半期16题）1F ,2F 分别为双曲线22 221(,0)x y a b a b -=>的左、右焦点， 点P 在双曲线上，满足120PF PF ?=，若12PF F ?的内切圆半径与外接圆半径之比为1 2 ，则该双曲线的离心率为_______ . 1 【解析】∵120PF PF ?=，∴12PF PF ⊥，即12PF F ?为直角三角形， ∴2 2 2 212 124PF PF F F c +==，122PF PF a -=， 则() () 2 2 2 22121212 24PF PF PF PF PF PF c a ?=+--=-， ()() 2 2 221 2 1 2 12484PF PF PF PF PF PF c a +=-+?=-. 所以12PF F ?内切圆半径1212 2 PF PF F F r c +-= =，外接圆半径R c =， = ，整理得2 4c a ??=+ ??? 1e =. 【点睛】本小题主要考查双曲线的定义，考查向量数量积为零的意义，考查双曲线离心率的求法，考查方程的思想，考查运算求解能力，属于中档题. 例2．（2018全国高中数学联赛（湖北预赛））已知点P 的双曲线 ()22 2210,0x y a b a b -=>>上，12F F 、为双曲线的两个焦点，且210PF PF ?=，则12PF F ?的内切圆半径r 与外接圆半径R 之比为____.

专题14 圆锥曲线的综合问题(解析版)

专题14 圆锥曲线的综合问题 一、单选题 1．（2020·全国高三月考（文））若抛物线()2 20y px p =>的焦点是双曲线 22 13-=x y p p 的一个焦点，则p =( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 【答案】D 【解析】 抛物线()2 20y px p =>的焦点是02p ?? ??? ，， 双曲线 22 13-=x y p p 的一个焦点是() 20p ，， 由条件得22 p p =，解得16p =. 故选：D . 2．（2020·宁夏回族自治区银川一中高三二模（理））抛物线的准线与双曲线的 两条渐近线所围成的三角形面积为，则的值为 ( ) A ． B ． C ． D ． 【答案】A 【解析】 抛物线 的准线为 ， 双曲线 的两条渐近线为， 可得两交点为 ， 即有三角形的面积为 ，解得，故选A ． 3．（2019·甘肃省会宁县第四中学高二期末）椭圆与双曲线 有公共点P ，则P 与双曲 线两焦点连线构成三角形的面积为( ) A ．48 B ．24 C ．2 D ． 【答案】B 【解析】

结合椭圆性质,可以得到 建立方程 ,得到点P 的坐标为 , 故,故选B. 4．（2019·湖北省高二期中）若0mn ≠，则方程0mx y n -+=与22 nx my mn +=所表示的曲线可能是图中 的（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】C 【解析】 0mx y n -+=即为直线y mx n =+，22 nx my mn +=即为曲线221x y m n +=，0mn ≠. 对于A 选项，由直线方程可知，0m >，0n >，则曲线22 1x y m n +=，0mn ≠表示圆或椭圆，A 选项错误； 对于B 选项，由直线方程可知，0m <，0n <，则曲线22 1x y m n +=，0mn ≠不存在，B 选项错误；