高等数学下典型习题及参考答案修订版
高等数学下典型习题及参考答案修订版
IBMT standardization office【IBMT5AB-IBMT08-IBMT2C-ZZT18】
第八章典型习题
一、 填空题、选择题
1、点)3,1,4(M -到y 轴的距离是
2、平行于向量}1,2,1{a -=
的单位向量为 3、().0431,2,0垂直的直线为
且与平面过点=--+-z y x
4、.xoz y z y x :面上的投影柱面方程是在曲线?
??==++Γ2102
22
5、()==-=+=+=-δ
λ
δλ则平行与设直线,z y x :l z y x :
l 1111212121
6、已知k 2j i 2a
+-=,k 5j 4i 3b -+=,则与b a 3 -平行的单位向量为 ( )
（A ）}11,7,3{（B ）}11,7,3{- （C ）}11,7,3{129
1
-±
（D ）}11,7,3{179
1
-±
7、曲线???==++2
z 9
z y x 222在xoy 平面上投影曲线的方程为（ ）
（A ）???==+2z 5y x 22 （B ）???==++0z 9z y x 222（C ）???==+0z 5y x 22 （D ）
5y x 22=+
8、设平面的一般式方程为0A =+++D Cz By x ，当0==D A 时，该平面必( )
(A)平行于y 轴 (B) 垂直于z 轴 (C) 垂直于y 轴 (D) 通过x 轴
9、设空间三直线的方程分别为251214:
1+=+=+z y x L ，6
7
313:2+=+=z y x L ，4
1
312:3-=
+=z y x L 则必有 ( ) (A) 31//L L (B) 21L L ⊥ (C) 32L L ⊥ (D) 21//L L
10、设平面的一般式方程为0=+++D Cz By Ax ，当0==B A 时，该平面必 ( )
(A) 垂直于x 轴 (B) 垂直于y 轴 (C) 垂直于xoy 面 (D) 平行于xoy 面
11、方程05
z 3y 3x 2
22=-+所表示的曲面是（ ）
（A ）椭圆抛物面 （B ）椭球面
（C ）旋转曲面 （D ）单叶双曲面
二、解答题
1、设一平面垂直于平面0=z ，并通过从点)1,1,1(-P 到直线?
??=+-=010
z y x 的垂线，求该
平面方程。
2、的平面且平行于直线求过直线
2
1
724532423-=-=+--=+=-z y x z y x .方程 3、()的且平行于直线求过点??
?=+-+=--+-0
120
12121z y x z y x ,,.直线方程
4、已知平面022:=-+x y π与直线???=+-=--0
2230
22:z y y x L ，求通过L 且与π垂直的平面
方程。
5、求过球面0z 4y 2x 2z y x 222=-+-++的球心且与直线1
z
22y 33x -=-+=-垂直的平面方程。
6、求经过直线
1
z
23y 54x =+=-与直线外的点)4,5,3(-所在的平面方程。 第九章典型习题
一、填空题、选择题
1、y x z +=
1的定义域为 ；1
1112
2
--
-=
y x
z 的定义域为 。
2、1
1lim
-+→→xy xy
y x ；()xy
y x xy 10
01lim +→→；()x xy y x tan lim
2
0→→。 3、设()xy z ln =，
x z ??= ；设??
?
??=x y xf z ， x z ??= ；设xy z 3=， x z ??= ； 设()22y x f z -=，()u f 是可微函数，其中22y x u -=，求
y
z
??。 4、设y e z x
sin =，求dz ；设y
x
z arctan =，求dz ；设x y
e z =，求dz 。
5、设03=--z xy z ，求
x z ??；由方程z y x e xyz e =++确定了函数()y x z z ,=，求x
z ??。
6、求曲线32,,
t z t y t x ===在2=t 处的切线方程；
7、求函数()()224,y x y x y x f ---=的驻点。8、设()222,,zx yz xy z y x f ++=，求
()1,0,0xx
f ''。 9、函数()y x f z ,=在点()00,y x 处()00,y x f x ，()00,y x f y 存在，则()y x f ,在该点（ ）
A 、连续
B 、不连续
C 、不一定连续
D 、可微
10、求曲面1232222=++z x y 在点（1，-2，1）处的切平面方程；
求曲面xy z =在点（1，1，1）处的切平面方程。
11、()()y x y x f +=2sin 2,在点（0，0）处（）A 、无定义 B 、无极限 C 、有极限，但不连续 D 、连续
12、设22v u z +=，而y x v y x u -=+=,，求
x
z
??，y z ??； 13、如果()00,y x 为()y x f ,的极值点，且()y x f ,在()00,y x 处的两个一阶偏导数存在，则
()00,y x 必为()y x f , 的（ ）A 、最大值点 B 、驻点 C 、连续点 D 、最小值点
14、函数()y x f ,在()y x ,处的偏导数连续是它在该点可微的（ ）
A 、充分条件
B 、必要条件
C 、充要条件
D 、以上均不对 15、函数()y x f ,在()y x ,处的偏导数存在是它在该点可微的（ ）
A 、必要条件
B 、充分条件
C 、充要条件
D 、既非必要又非充分条件
16、如果函数()y x f ,在()00,y x 的某邻域内有连续的二阶偏导数，且
()()()0,,,0000002
<-y x f y x f y x f yy xx xy
，则()00,y x f （ ）A 、必为()y x f ,的极小值 B 、必为()y x f ,的极大值
C 、必为()y x f ,的极值
D 、不一定为()y x f ,的极值
二、解答题
1、求曲面632222=++z y x 在点P （1，1，1）的切平面方程和法线方程。
2、为可微函数，，其中已知 f x y y x f z ??? ?
?
=,2y z x z ????,求。
3、设()y x z z ,=是由方程
y z z x ln =确定，求x z
??，y
z ??。 4、求函数22y x z +=在条件22=+y x 下的极值。
5、做一个表面积为12平方米的长方体无盖铁皮箱，问长、宽、高如何选取，才能使铁箱的容积为最大。
6、将正数a 分成三个数之和，使它们的乘积为最大。
7、设?
??
? ??=y x x f z ,，求dz ；设0=-xyz e z
，求dz 。 第十章、第十一章典型习题
一、填空题、选择题
1、将二重积分()dxdy y x f D
??,化为二次积分，其中积分区域D 是由0,,42≥==x x y y 所围
成，下列各式中正确的是（ ）A 、()dy y x f dx x
??20
4,2 B 、()dy y x f dx ??4
40
,
C 、()dx y x f dy y ??0
40
, D 、()dx y x f dy y
?
?0
40
,
2、设Ω是由1,0,1,0,1,0======z z y y x x 所围成的区域，则=???Ω
xyzdxdydz
3、旋转抛物面2
2
2y x z +=在20≤≤z 那部分的曲面面积S=（ ）
A 、
dxdy y x y x ??
≤+--2
22221 B 、
dxdy y x y x ??
≤+++4
22221 C 、
dxdy y x y x ??
≤+--4
22221 D 、
dxdy y x y x ??
≤+++2
22221
4、若()=
??dy y x f dx x
x
2,10
()()
dx y x f dy y
y g ?
?
,1
，则()=y g （ ）A 、y B 、y C 、2y
D 、2x
5、利用球坐标计算三重积分()
???Ω
++dV z y x f 222，其中Ω：z z y x 2222≤++，下列定
限哪一个是正确的（ ）A 、()
r dr r f d d ???2
220
20
π
π
?θ B 、
()
dr r r f d d ??θ?
ππ
sin 2cos 20
20
20
?
??
C 、()
dr r r f d d ??θ?
π
π
sin 2
cos 20
2
20
20
?
?? D 、()
rdr r f d d ?
???
ππ?θcos 20
20
20
6、曲线L 为圆122=+y x 的边界的负向曲线积分=+?L
xdy ydx
7、设D 是长方形区域：31,30≤≤≤≤y x ，则=??dxdy y D
8、设()y x f ,是连续函数，则二次积分()=??dy y x f dx x
1
10
,（ ）
A 、()dx y x f dy y
??01
0, B 、()dx y x f dy ??1
01
0, C 、()dx y x f dy y
??010
, D 、()dx y x f dy y
??1
10,
9、曲线L 为x y =2从（1，-1）到（0，0），则=?L
xdy
10、设L 为圆()0222>=+a a y x 的边界，把曲线积分ds y x L
?+22化为定积分时的正确结
果是（ ）
A 、θπ
d a ?
22 B 、θπ
d a ?20
2 C 、θπd a ?20 D 、θπ
d a ?0
2
11、设D 是由2,0,0=+==y x y x 所围成的区域，则=??dxdy D
12、设D ：422≤+y x ，f 是域D 上的连续函数，则()
=+??dxdy y x
f
D
22
（ ）
A 、()dr r rf ?2
2π B 、()dr r rf ?2
4π C 、()d r r f ?2
22π D 、()dr r rf r
?0
4π
13、三重积分中球面坐标系中体积元素为（ ）
A 、θ??d drd r sin 2
B 、θ??d drd r sin
C 、dz rdrd θ
D 、dz drd θ
14、()
=+?
?-dx y x
dy y a a
2
20
22
（ ）
A 、dr r d a
??0
30
θπ B 、dr r d a
??03
20θπ
C 、dr r d a
??
3
20
θπ
D 、dr r d a
??
3230
θπ
15、下列曲线积分哪个与路径无关（ ）
A 、?+L
dx y dy x 22 B 、?-L
xdy ydx C 、()()
d y xy y x dx y xy L
?-+-2232366 D 、
?
+-L
y x xdy
ydx 2
2
16、设42,31,10:≤≤≤≤≤≤Ωz y x ，则=???Ω
dxdydz
17、设区域D 是圆122≤+y x 内部，则=??θdrd r D
18、利用柱坐标计算三重积分()
???Ω
++dv z y x 222，其中Ω：10,222≤≤≤+z a y x ，下列
定限哪一个是正确的（ ）A 、dz r dr d a
31
20
???π
θ B 、()dz z r r dr d a
221
20
+???π
θ
C 、dz r dr d a 210
20
???πθ D 、()
dz z r
dr d a 22
1
20
+?
??πθ
19、设D 为环形区域：9422≤+≤y x ，则=??σd D
3
20、设Ω为球面1222=++z y x 所围成的闭区域，则=???Ω
dxdydz
21、设两点()()2,0,0,0,0,0A O ，则=?OA
yzds x 2
22、若()()()()
dx y x f dy dy y x f dx dy y x f dx y
y x
x
?
??
??
?--+-=+110
10
10
10
01
,,,?，则()=y ?
23、L 是曲线2x y =上点（0，0）与点（1，1）之间的一段弧，则=?
ds y L
（ ）
A 、()dx x ?+1
2
21 B 、dx x x ?+1
2
12 C 、()dx x x ?+1
2
21 D 、dx x ?+1
21
24、设(){}
1,22≤+=y x y x D ，则=??+dxdy e D
y x
2
2
25、=?
?
?---2
22
10
10
1
y x x dz dy dx
26、三重积分柱面坐标系中体积元素为（ ）
A 、θ??d drd r sin 2
B 、θ??d drd r sin
C 、dz rdrd θ
D 、dz drd θ
27、设()y x f ,在区域(){}
0,,222>≤+=a a y x y x D 上连续，则()=??σd y x f D
,（ ）
A 、()rdr r r f d a
??0
20
sin ,cos θθθπ B 、()rdr r r f d a
??0
20
sin ,cos 4θθθπ
C 、()rdr r r f dx x a x a a
a
?
?-----222
2sin ,cos θθ D 、()rdr r r f d a
a
??-θθθπ
sin ,cos 220
28、设D 由x 轴和[]π,0,sin ∈=x x y 所围成，则积分=??σd D
29、设K z y x ≤≤≤≤≤≤Ω0,10,10:，且4
1
=
???Ω
xdxdydz ，则=K 二、解答题
1、计算三重积分()
???Ω
+dv y x 22，其中Ω是由曲面()z y x =+222与平面4=z 所围成的区
域。
2、求由曲面()222y x z +-=与22y x z +=所围立体的体积。
3、计算曲线积分()()dy x y dx y x L
-++?，其中L 是曲线1,1222+=++=t y t t x 上从点
（1，1）到（4，2）的一段弧。
4、计算()()
dy y x dx xy x L
223+++?，其中L 为区域10,10≤≤≤≤y x 的反向边界。
计算()()dy x y dx y x L
63542-+++-?，其中L 以（0，0）、（3，0）、（3，2）为顶点
的三角形区域的正向边界。
计算()()dy x y dx y x L
-++?，其中L 是沿从（1，1）到（1，2）再到（4，2）的折线
段。
5、计算三重积分???Ω
zdxdydz ，其中Ω是为球面4222=++z y x 与抛物面z y x 322=+所围
成的闭区域。
6、计算二重积分()
d xdy x y D
??-2，其中D 由直线2,2,===y x y x y 所围成的区域。
计算二重积分dxdy e D
y x
??+2
2
22，其中D 由422=+y x 与922=+y x 所围成的圆环形区域。
7、计算曲线积分?
+-L
y x xdy
ydx 2
2，其中L 是从（1，0）到（1,e ）的曲线段。
8、计算σd x y
D
??arctan ，D 是由圆周922=+y x ，422=+y x 及直线x y y ==,0所围成的在
第一象限内的闭区域。
9、计算曲线积分()()?-++L
dy x y dx y x ，其中L 为抛物线x y =2上从（1，1）、（4，2）
的一段弧。
第十二章典型习题
一、填空题、选择题
1、下列级数是发散的为（ ）A 、∑
∞
=12
n n
π
B 、∑∞
=1
2
sin
n n π
C 、∑∞
=1
2
cos
n n π
D 、∑∞
=1
2
tan
n n π
2、如果∑∞=1
n n u 收敛，则下列级数中一定收敛的是（）A 、∑∞=1
100n n u B 、()∑∞
=+1
100n n u C 、
()∑∞=-1
100n n
u D 、∑∞
=1
n n
u
如果∑∞
=1
n n u 收敛，则下列级数中一定收敛的是（ ）A 、∑∞=1n n u B 、∑∞
=1
2
n n u C 、
()∑∞
=++1
1n n n
u u
D 、∑∞
=1
n n u
3、如果11
=∑∞
=n n u ，则=∞
→n n u lim
4、函数()x +1ln 的麦克劳林级数展开式为（ ）A 、()n n n x n
∑
∞
=--1
11 B 、
n
n x n
∑∞
=11 C 、()n n n x n ∑
∞
=--1
1!
1 D 、
n
n x n ∑∞
=1
!1 5、幂级数n n n x n ∑∞
=12
的收敛半径R= ；幂级数()n
n n x n 131-∑∞
=的收敛半径R= ；
6、下列级数中是收敛的级数为（ ）A 、∑∞
=+121n n n B 、∑∞=+-121n n n n C 、∑∞=13n n
D 、∑∞=12
3n n
7、级数()∑
∞
=-1
1n n n α
是绝对收敛级数，则（ ）A 、0<α B 、10≤<α C 、2≥α D 、
1>α
8、级数()∑
∞
=--1
2
3
11n n n
是（ ）；级数
∑
∞
=1
3
4cos n n
n π是（ ）
A 、绝对收敛
B 、条件收敛
C 、发散
D 、敛散性不定
9、设∑∞=1
n n u 为任意项级数，且∑∞
=1
n n u 收敛，则（ ）
A 、原级数绝对收敛
B 、原级数条件收敛
C 、原级数发散
D 、原级数敛散性不定
10、幂级数()n n n x n ∑
∞
=--1
2
11的收敛区间是
11、设幂级数n n n x a ∑∞
=1
在2-=x 发散，则它在3=x 是（ ）
A 、绝对收敛
B 、条件收敛
C 、发散
D 、敛散性不定
12、如果51
=∑∞=n n u ，101
=∑∞=n n v ，则()=-∑∞
=1
32n n n u v
13、函数()x
x f 211
-=
展开成x 的幂级数为（ ） A 、()()∑∞
=-1
21n n
n
x B 、∑∞
=0
n n
x C 、()()∑∞
=-0
21n n
n
x D 、()∑∞
=0
2n n
x
14、0lim =∞
→n n u 是级数∑∞
=1
n n u 收敛的（ ）
A 、充要条件
B 、必要条件
C 、充分条件
D 、既不充分又不必要条件
15、设正项级数∑∞=1
n n u 与∑∞=1
n n v ，如果n n v u 100≤，且∑∞=1
n n u 发散，则∑∞
=1
n n v （ ）
A 、一定收敛
B 、绝对收敛
C 、一定发散
D 、敛散性不定
16、级数∑∞
=+?
?
?
??01
52n n 满足（ ）
A 、发散
B 、收敛且其和为1
C 、收敛且其和为2
D 、收敛且其和为2/3
17、下列级数发散的是（ ）A 、∑∞
=121n n B 、()∑∞
=-1
1n n
n C 、∑∞=??? ??
-1cos 1n n π D 、∑∞=12cos n n π
18、设幂级数()n
n n x a 11
-∑∞
=在4=x 收敛，则它在1-=x 是（ ）
A 、绝对收敛
B 、条件收敛
C 、发散
D 、前三者都有可能
19、若n n n x a ∑∞
=1
在0x x =收敛，则该级数收敛半径R 满足（ ）
A 、0x R =
B 、0x R <
C 、0x R ≤
D 、0x R ≥
20、设正项级数∑∞
=1
n n u 的部分和数列为{}n S ，如果{}n S 有界，则级数∑∞
=1
n n u （ ）
A 、收敛
B 、发散
C 、无法确定
D 、以上都不对
21、若级数∑∞=1
n n u 与∑∞=1
n n v 均发散，则()∑∞
=+1
n n n v u （ ）
A 、收敛
B 、发散
C 、可能收敛也可能发散
D 、绝对收敛
22、级数()()
∑
∞
=+-112121
n n n 的和是（ ）A 、2 B 、0 C 、∞ D 、1/2
23、若级数()∑
∞
=-1
1n n n α
为条件收敛级数，则常数α的范围是（ ）
A 、10≤<α
B 、1>α
C 、2≥α
D 、10<<α
24、下列级数中条件收敛的级数是（）A 、()∑
∞
=+-1
1
1n n n n B 、
()
∑∞
=-1
1n n
n C 、()
∑∞
=-1
3
1
1n n
n D 、()∑∞
=-111n n n
25、将()x x f -=41展开成x 的幂级数为（）A 、∑∞=04n n x B 、()∑∞
=-0
1n n
n x C 、∑∞=+014n n n x D 、
()∑
∞
=+-0
1
41n n n n x
26、幂级数∑∞
=0!n n n x 的和函数是（ ）；幂级数()∑∞=-0
!1n n n n x
的和函数是（ ）
A 、x e
B 、x e -
C 、()x +1ln
D 、x arctan
27、收敛级数加括号后所成的级数（ ）
A 、收敛但级数和会改变
B 、发散且级数和不变
C 、发散
D 、敛散性不确定
28、若级数∑∞
=1
n n u 收敛，则∑
∞
=11
n n
u （ ） A 、绝对收敛 B 、条件收敛 C 、发散 D 、敛散性不确定
二、解答题
1、判别级数∑∞
=12sin n n π
的敛散性；判别级数∑∞
=1
5sin 3n n n
π
的敛散性；判别级数∑∞
=13
3n n n 的敛散
性；
判别级数∑∞
=1!2n n n n n 的敛散性并说明理由；判别级数∑∞
=1
7tan 3n n n π
的敛散性。
2、求幂级数∑∞
=1n n n x 的和函数；求幂级数()∑∞
=-2
1n n
n n x 的和函数。
3、判别级数()∑∞
=+1121n n n 的敛散性，若收敛并求和S 。4、判别级数()∑
∞
=--1
21
6
cos
1n n n n π
的敛散性。
5、求幂级数()∑
∞
=--1
11n n n x n
的收敛区间及其和函数。6、求幂级数
()∑
∞
=?-1
21n n n n
x 的收敛区间。
第八章典型习题答案
一、1、5； 2、{}1,2,16
1
-±
； 3、3
12-+=-=z y x ； 4、622=+z x ；
5、B ；
6、D ；
7、C ；
8、D ；
9、D ；10、D ；11、C 。
二、1、 012=++y x ； 2、0153101623=-+-z y x ；3、
1
1
1231-=--=+z y x ；
4、022=-+-z y x ；
5、03z y 2x 3=---；
6、0103z 8y 21x 10=---。
第九章典型习题答案
一、1、(){}0,>+y x y x ；(){}
1,1,22> 2、2;;2e ；3 ()xy y y y ; f f ;y ln ;yf x y x x x ???? ''--- ? ????? 22332 4、 5、 6、 12 8 4412-=-=-z y x ； 7、（2，-2）； 8、2； 9、C ； 10、 11-16 二、 1、()()()0161412=-+-+-z y x ;6 14 12 1-=-=-z y x 2、 2212f x y f xy x z '-'=??；2121f x f x y z '+'=??。 3、() y z y z y z y z x z ln 1ln ,ln 1ln 1-+=??-+=?? 4、极小值54525452,542 2=?? ? ??+??? ??=??? ??z 5、长、宽、高分别为2，2，1m 时，… 6、3/,3/,3/a a a 7、xy e xzdy yzdx dz dy y x dx f y f dz z -+=-??? ? ??'+'=;1221 第十、十一章典型习题答案 一、 二、 第十二章典型习题答案一、