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幂函数与指数函数的区别

1.指数函数：自变量x在指数的位置上，y=a^x（a>0，a不等于1）

性质比较单一，当a>1时，函数是递增函数，且y>0;

当00.

2.幂函数：自变量x在底数的位置上，y=x^a（a不等于1）.

a不等于1，但可正可负，取不同的值，图像及性质是不一样的。

高中数学里面，主要要掌握a=-1、2、3、1/2时的图像即可。其中当a=2时，函数是过原点的二次函数。其他a值的图像可自己通过描点法画下并了解下基本图像的走向即可。

3.y=8^(-0.7)是一个具体数值，并不是函数，如果要和指数函数或者幂函数联系起来也是可以的。首先你可以将其看成：指数函数y=8^x（a=8），当x=-0.7时，y的值；或者将其看成：幂函数y=x^(-0.7)（a=-0.7），当x=8时，y的值。

幂函数的性质：

根据图象,幂函数性质归纳如下：

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1,1）；

（2）当a>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0,+ ∞)上是增函数．特别地，当a>1时，幂函数的图象下凸；当0

当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋

于+∞时，图象在轴x上方无限地逼近轴x正半轴。

指出：此时y＝x0＝1；定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），特别强调，

当x为任何非零实数时，函数的值均为1，图像是从点（0，1）出发，平行于x 轴的两条射线，但点（0，1）要除外。

思考讨论：

（1）在幂函数y＝xa中，当a是正偶数时，这一类函数有哪种重要性质？（2）在幂函数y＝xa中，当a是正奇数时，这一类函数有哪种重要性质？

讲评：（1）在幂函数y＝xa中，当a是正偶数时，函数都是偶函数，在第一象限内是增函数。

对数函数的性质

(1)当a＞1时，

①x ＞0，即0和负数无对数；

②当x=1时，y=0；

③当x ＞1时，y＞0；当0＜ x ＜1时，y ＜0；

④在（0，+∞）上是增函数．

(2)当0＜a＜1时，

①x ＞0，即0和负数没有对数；

②当x=1时，y=0；

③当x ＞1时，y ＜ 0；当0＜ x ＜1时，y ＞0；

④在（0，+∞）上是减函数．

函数叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数（这里我们只讨论a是有理数n的情况）．

对数与对数函数

学习目标

1、理解对数概念；

2、能进行对数式与指数式的互化；

3、掌握对数的运算性质；

4、培养应用意识、化归意识。

5、掌握对数函数的概念；

6、掌握对数函数的图像的性质；

7、掌握比较对数大小的方法，培养应用意识；

8、培养图形结合、化归等思想。

知识要点:

我们在学习过程遇到2x=4的问题时，可凭经验得到x=2的解，而一旦出现2x=3时，我们就无法用已学过的知识来解决，从而引入出一种新的运算——对数运算。

1．对数的定义:

如果ab=N(a>0，且a≠1)，那么数b叫做以a为底N的对数，记作:logaN=b。其中a叫做对数的底数，N叫做真数。

注意:由于a>0，故N>0，即N为正数，可见零和负数没有对数。

上面的问题:

通常将以10为底的对数叫做常用对数，。以e为底的对数叫做自然对数，。

2．对数式与指数式的关系

由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化。它们的关系可由下图表示。

由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化。

3．三个对数恒等式

由于对数式与指数式可以互化，因此指数的恒等转化为对数恒等式。在（a>0，a≠1）前提下有:

4. 三个运算法则:

指数的运算法则通过转化可变为对数的运算法则。在a>0，a≠1的前提下有:

(1)

令am=M，an=N，则有m=logaM，n=logaN，

∵，∴m+n=loga(MN)，即

(2) ，

令am=M，an=N，则有m=logaM，n=logaN，

∵，∴，即。

(3) ，令am=M，则有m=logaM，∴

mn=n

∵Mn=amn，∴mn=(n∈R)，∴n = 。

5．两个换底公式

同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有:

(1)

令logaM=b，则有ab=M，(ab)n=Mn，即，即，

即:。

(2) ，令logaM=b，则有ab=M，则有

即，即，即

当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性。而且由(2)还可以得到一个重要的结

论:

例题选讲:

第一阶梯

[例1]将下列对数式化为指数式，指数式化为对数式：

(3)54=625；

(1)log216=4；

解：

(1)24=16

(3)∵54=625，∴log5625=4.

[例2]解下列各式中的x：

(3)2x=3；

(4)log3(x-1)=log9(x+5).解：

(3)x=log23.

(4)将方程变形为

[例3]求下列函数的定义域：

思路分析：

求定义域即求使解析式有意义的x的范围，真数大于0、底大于0且不等于1是对数运算有意义的前提条件。

解：

(1)令x2-4x-5>0，得(x-5)(x+1)>0，故定义域为{x|x<-1，或x>5}

∴0<4x-3≤1。

所以所求定义域为{x|-1<0，或0

第二阶梯

[例4]比较下列各组数中两个值的大小

(1)log23.4， log28.5；

(2)log0.31.8， log0.32.7；

(3)loga5.1， loga5.9(a>0，a≠1)。

思路分析：

题中各组数可分别看作对数函数y=log2x、y=log0.3x、y=logax的两函数值，可由对数函数的单调性确定。

解：

(1)因为底数2>1，所以对数函数y=log2x在(0，+∞)上是增函数，于是

log23.4

(2)因为底数为0.3，又0<0.3<1，所以对数函数y=log0.3x在(0，+∞)上是减函数，于是log0.31.8>log0.32.7；

(3)当a>1时，函数y=logax在(0，+∞)上是增函数，所以loga5.1

当0loga5.9。

说明：本题是利用对数函数的单调性比较两对数的大小问题，对底数与1

的大小关系未明确指定时，要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小，利用函数单调性比较对数的大小，是重要的基本方法。

[例5]若a>0，a≠1，x＞0，y＞0，x＞y，下列式子中正确的个数是（）

(1)logax·logay=loga(x+y)；

(2)logax-logay=loga(x-y)；

(4)logaxy=logax·logay；

A、0

B、1

C、2

D、3

思路分析：

对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算。在运算中要注意不能把对数符号当作表示数的字母参与运算。如logax≠loga·x，logax是不可分开的一个整体。4个选项都把对数符号当作字母参与运算，因此都是错误的。

答案：A

[例6]已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，求。

思路分析：解本题的关键是设法将的常用对数分解为2，3的常用对数代入计算。

解：

第三阶梯

[例7]若方程lg(ax)·lg(ax2)=4的所有解都大于1，求a的取值范围。

思路分析：由对数的性质，方程可变形为关于lgx的一元二次方程，化归为一元二次方程解的讨论问题。

解：原方程化为

(lgx+lga)(lga+2lgx)=4。

2lg2x+3lga·lgx+lg2a-4=0，

令t=lgx，则原方程等价于

2t2+3tlga+lg2a-4=0，(*)

若原方程的所有解都大于1，则方程（*）的所有解均大于0，则

说明：换元要确保新变量与所替换的量取值范围的一致性。

[例8]将y=2x的图像（）

A、先向左平行移动1个单位

B、先向右平行移动1个单位

C、先向上平行移动1个单位

D、先向下平行移动1个单位

再作关于直线y=x对称的图像，可得函数y=log2(x+1)的图像。

思路分析：由于第二步的变换结果是已知的，故本题可逆向分析。

解法1：在同一坐标系内分别作为y=2x与y=log2(x+1)的图像，直接观察，即可得D。

解法2：与函数y=log2(x+1)的图像关于直线y=x以对称的曲线是它的反函数y=2x-1的图像，为了得到它，只需将y=2x的图像向下平移1个单位。

解法3：

本身。函数y=2x的图像向左或向右或向上平行移动都不会过(0，0)点，因此排除A、B、C，即得D。

说明：本题从多角度分析问题、解决问题，注意培养思维的灵活性。

[例9]已知log189=a，18b=5，求log3645的值；（用含有a、b的式子表示）思路分析：

当指数的取值范围扩展到有理数后，对数运算就是指数运算的逆运算（扩展之前开方运算是乘方运算的逆运算）。因此，当一个题目中同时出现指数式和对数式时，一般要把问题转化，即统一到一种表达形式上。

解：由18b=5，得b=log185，又log189=a，∴log189+log185=log3645=a+b，则

说明：在解题过程中，根据问题的需要指数式转化为对数式，或者对数式转化为指数式运算，这正是数学转化思想的具体体现，转化思想是中学重要的教学思想，要注意学习、体会，逐步达到灵活应用。

详细题解

1．求值:(1) (2) (3)

解:

(1) 。

(2)

(3)

注意:lg2=log102，此为常用对数，lg22=(lg2)2，区别于。

2．求值:(1) (2) (3)

解:

(1)

(2) 。

(3) 法一：

法二：

注意:运用换底公式时，理论上换成以大于0不为1任意数为底均可，但具体到每一个题，一般以题中某个对数的底为标准，或都换成以10为底的常用对数也可。(3) 的第二种方法直接运用的第一个换底公式，很方便。

3．已知:log23=a，log37=b，求:log4256=?

解:∵，∴，

4．已知:a2+b2=7ab，a>0，b>0。求证:。

证明:∵a2+b2=7ab，∴ a2+2ab+b2=9ab，即(a+b)2=9ab，∴

lg(a+b)2=lg(9ab)，

∵a>0，b>0，∴ 2lg(a+b)=lg9+lga+lgb，∴ 2[lg(a+b)-lg3]=lga+lgb 即

5. 已知:求证:3ab-bc-2ac=0。

证明:设，则:

，

∵，∴ 3ab=bc+2ac，

即 3ab-bc-2ac=0。

6．求值:

解:

另解:设=m (m>0)，∴，

∴，∴，

∴lg2=lgm，∴2=m，即。

课后练习:

1．

2．

3．

4．已知:x·log34=1，求:的值。

5．已知:lg2=a，lg3=b，求:log512的值。

参考答案:

1. -

2. -

对数函数的性质及应用

概念与规律:

1．对数函数y=logax是指数函数y=ax的反函数，在学习对数函数的概念，图象与性质时，要处处与指数函数相对照。

2．在同一坐标系内，当a>1时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当0时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴。（见图1）例1．求下列函数的定义域。

(1) y=

(2) y=ln(ax-k·2x) (a>0且a≠1，k∈R)

解:(1)因为，所以，

所以函数的定义域为(1，) (，2)。

(2) 因为 ax-k·2x>0，所以()x>k。

10，当k≤0时，定义域为R；

20，当k>0时，(i)若a>2，则函数定义域为(k，+∞)；

(ii)若0，且a≠1，则函数定义域为(-∞，k)；

(iii)若a=2，则当0时，函数定义域为R；当k≥1时，此时不能构成函数，否则定义域为。

例2．若logm3.5>logn3.5(m，n>0，且m≠1，n≠1)，试比较m ，n的大小。

解:

(1)当m>1，n>1时，∵3.5＞1，由对数函数性质:当底数和真数都大于1时，对同一真数，底数大的对数值小，∴n>m>1。

(2)当m>1，0时，∵logm3.5>0，logn3.5<0，∴0也是符合题意的解。

(3)当0，0时，∵3.5＞1，由对数函数性质，此时底数大的对数值小，故0。

综上所述，m，n的大小关系有三种:1或0或

0。

例3．作出下列函数的图象:

(1) y=lgx，y=lg(-x)，y=-lgx (2) y=lg|x| (3) y=-1+lgx

解:(1)如图2； (2)如图3； (3)如图4。

例4．函数y=f(2x)的定义域为[-1，1]，求y=f(log2x)的定义域。

提示:由-1≤x≤1，可得y=f(x)的定义域为[，2]，再由≤log2x≤2

得y=f(log2x)的定义域为[，4]。

例5．求函数y=(-x2+2x+3)的值域和单调区间。

解:设t=-x2+2x+3，则t=-(x-1)2+4，∵ y=t为减函数，且0≤4，

∴ y≥=-2，即函数的值域为[-2，+∞)。

再由:函数y=(-x2+2x+3)的定义域为-x2+2x+3>0，即-1。

∴ t=-x2+2x+3在(-1，1）上递增而在[1，3)上递减，而y=t为减函数。

∴函数y=(-x2+2x+3)的减区间为(-1，1)，增区间为[1，3)。

例6．已知f(x)=ax-a-x(其中0。

(1)求函数f(x)的反函数f-1(x)； (2)试判断函数f-1(x)的奇偶性，并证明你的结论。

解:(1)设y=ax-a-x，则a2x-yax-1=0，∵ ax>0，解得ax=，∴

x=loga ，

∴ 所求函数的反函数f-1(x)=loga(x∈R)。

(2)∵x∈R且f-1(-x)=loga=loga

=loga( )-1=-f-1(x)。∴函数f-1(x)是奇函数。

例7．已知f(logax)= (a>0且a≠1)，试判断函数f(x)的单调性。

解:设t=logax(x∈R+，t∈R)。当a>1时，t=logax为增函数，若t1

∴ f(t1)-f(t2)=，

∵ 01，∴ f(t1)

当0时，同理可得f(t)在R上为增函数。∴不论a>1或0，f(x)在R上总是增函数。

例8．已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1)。

(1)若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围。

分析:与求函数定义域、值域的常规问题相比，本题属非常规问题，关键在于转化成常规问题。f(x)的定义域为R，即关于x的不等式ax2+2x+1>0的解集

为R，这是不等式中的常规问题。

f(x)的值域为R与ax2+2x+1恒为正值是不等价

的，因为这里要求f(x)取遍一切实数，即要求

u=ax2+2x+1取遍一切正数，考察此函数的图象的各种

情况，如图5，我们会发现，使u能取遍一切正数的条件是。

解:(1)f(x)的定义域为R，即:关于x的不等式ax2+2x+1>0的解集为R，

当a=0时，此不等式变为2x+1>0，其解集不是R；

当a≠0时，有a>1。∴ a的取值范围为a>1。

(2)f(x)的值域为R，即u=ax2+2x+1能取遍一切正数a=0或

0≤a≤1，

∴ a的取值范围为0≤a≤1。

例9．已知函数h(x)=2x(x∈R)，它的反函数记作g(x)，A、B、C三点在函数g(x)的图象上，它们的横坐标分别为a，a+4，a+8(a>1)，记ΔABC的面积为S。

(1)求S=f(a)的表达式； (2)求函数f(a)的值域；

(3) 判断函数S=f(a)的单调性，并予以证明；(4)若S>2，求a的取值范围。

解:(1)依题意有g(x)=log2x(x>0)，并且 A、B、C三点的坐标分别为A(a，log2a)，B(a+4，log2(a+4))，C(a+8，log2(a+8)) (a>1)，如图6。

∴ A，C中点D的纵坐标为〔log2a+log2(a+8)〕

∴ S=|BD|·4·2=4|BD|=4log2(a+4)-2log2a-2log2(a+8)。

(2)把S=f(a)变形得:S=f(a)=2〔2log2(a+4)-log2a-log2(a+8)〕

=2log2=2log2(1+ )。

由于a>1时，a2+8a>9，∴1<1+ <，又函数y=log2x在(0，+∞)上是增函数，

∴ 0<2log2(1+ )<2log2，即0

(3)S=f(a)在定义域(1，+∞)上是减函数，证明如下:任取a1，a2，使

(1+ )-(1+

)=16( )=16·，

由a1>1，a2>1，且a2>a1，∴ a1+a2+8>0，+8a2>0，+8a1>0， a1-a2<0，

∴ 1<1+ <1+ ，再由函数y=log2x在(0，+∞)上是增函数，于是可得f(a1)>f(a2)

∴ S=f(a)在(1，+∞)上是减函数。

(4)由S>2，即得，解之可得:1

课外练习:

1．已知y=loga(2-ax)在[0，1]上是x的减函数，则a的取值范围是______。

2．已知函数f(x)=loga (a>0且a≠1，b<0)。

(1)求函数f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的奇偶性，并予以证明；

(3)指出f(x)的单调区间；(4)求函数f(x)的反函数。

3．已知函数f(x)=lg(x+ )-lg2，证明:(1) f(x)的图象关于原点对称；(2)f(x)为单调函数。

4．已知关于x的方程log2(x+3)-log4x2=a的解在区间(3，4)内，求实数a 的取值范围。

参考答案:

1．(1，2)

2. (1) (-∞，) (- ，+∞) (2) 奇函数

(3) a>1时，f(x)在(-∞，)，(- ，+∞)上都是增函数，

0时，f(x)在(-∞，)，(- ，+∞)上都是减函数。

(4) f-1(x)= (x≠0，x∈R)。

3. (1)证明f(x)为奇函数；(2)证明f(x)为R上的增函数。

4．log2 。

专题辅导

对数与对数函数

1．本单元重、难点分析

1）重点：对数的定义；对数的性质与运算法则；在理解对数函数的定义的基础上，掌握对数函数的图象和性质。

2）难点：对数定义中涉及的名称较多，易混难记；对数的运算法则的指导和应用；对数函数的图象与性质及其运用。

2．典型例题选讲

例1．已知log23=a，3b=7，求log1256的值。

讲解：先将3b=7转化为log37=b，然后设法将log1256化成关于log23和log37的表达式，即可求值。

[解法1] ∵ log23=a，∴ 2a=3。

又3b=7，∴ 7=(2a)b=2ab，故56=23+ab。

又12=3·4=2a·4=2a+2。

从而56=，故log1256=log12

。

[解法2]∵ log23=a，∴ log32=，又 3b=7，∴log37=b，从而

log1256=。

[解法3]∵ log23==a，∴ lg3=alg2，又3b=7，∴ lg7=blg3，∴lg7=ablg2。

从而log1256=。

说明：解法1借助指数变形来解；解法2与解法3是利用换底公式来解，显得较简明，应用对数换底公式解这类题的关键是适当选取新的底数，从而把已知对数和所求对数都换成新的对数，再代入求值即可。

例2．已知loga3>logb3>0，则a，b，1的大小关系是_______。

讲解：由对数函数的性质可知，a>1，b>1，关键是判断a与b的大小，这可以利用对数函数的单调性来解决。

[解法1] 由loga3>logb3>0>0 log3b>log3a>0

log3b>log3a>log31。

∵ y=log3x是增函数，故b>a>1。

[解法2] 由loga3>logb3>0>0。

∵ lg3>0，∴ lga>0，lgb>0，

∴ 上式等价于>0 lgb>lga>0 lgb>lga>lg1。

∵ y=lgx是增函数，故b>a>1。

[解法3]分别作出y=logax与y=logbx的图象，然后根据图象特征进行推断。

∵ loga3>logb3>0，∴ a>1，b>1，故y=logax与y=logbx均为增函数。

又∵ loga3>logb3>0，∴当x>1时，y=logax的图象应在y=logbx图象的上方，如图所示。

根据对数函数的图象分布规律，可知：b>a>1。

说明：解法1利用了logab与logba互为倒数，转化为同底的对数，再利用单调性判断。解法2利用了换底公式。解法3利用了图象的特征。

3．容易产生的错误

1）对数式logaN=b中各字母的取值范围(a>0且a≠1，N>0，b∈R)容易记错。

2）关于对数的运算法则，要注意以下两点：

一是利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立。如：log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的，因为虽然log2(-3)(-5)是存在的，但log2(-3)与log2(-5)是不存在的。

二是不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的：

loga(M±N)=logaM±logaN，

loga(M·N)=logaM·logaN，

loga。

3）解决对数函数y=logax (a>0且a≠1)的单调性问题时，忽视对底数a的讨论。

4）关于对数式logaN的符号问题，既受a的制约又受N的制约，两种因素交织在一起，学生应用时经常出错。下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考。

以1为分界点，当a，N同侧时，logaN>0；当a，N异侧时，logaN<0。

反馈练习

一、选择题

1．设a,b,c为正数，且3a=4b=6c，则有（）。

A、B、C、D、

(完整版)幂函数与指数函数练习题教师版.doc

.. 2016-2017 学年度高一必修一指数函数与幂函数练考卷考试范围：基本不等式；考试时间：100 分钟；命题人：聂老师题号一二三总分得分第 I 卷（选择题）评卷人得分一、选择题 1．化简的结果为（） A． 5B．C．﹣D．﹣5 【答案】 B 【解析】=== 故选 B 2 ．函数 f x a x 0 a 1 在区间 [0 ， 2] 上的最大值比最小值大3 ，则a的值为（） A. 1 7 2 B. C. D. 4 3 2 2 2 2 【答案】 C 【解析】试题分析：结合指数函数的性质，当0 a 1 ，函数为减函数.则当 x 0 时， o 1 ，当 x 2 时，函数有最小值 2 2 3 函数有最大值 f (0) a f (2) a ，则1 a ， 4 解得 a 2 （负舍） . 2 考点：指数函数的性质. 3．指数函数 f ( x) (a 1)x在R上是增函数，则 a 的取值范围是（） A．a 1 B． a 2 C． 0 a 1 D． 1 a 2 【答案】 B 【解析】试题分析：对于指数函数 x 1 时，函数在R上是增函数，当 0 a 1时，y a ，当 a 函数在 R上为减函数 . 由题意可知：a 1 1 即， a 2 . 考点：指数函数的性质 . 4．若函数f (x) (2m 3)x m23是幂函数，则m的值为（）A．1 B．0 C．1 D．2 【答案】 A Word 完美格式

【解析】试题分析：由题意，得 2m 3 1 m 1 ，解得．考点：幂函数的解析式． 5．若幂函数 y (m 2 3m 3) x m 2 的图象不过原点，则（） A ． 1 m 2 B ． m 1 m 2 或 C ． m 2 D ． m 1 【答案】 B 【解析】试题分析： y (m 2 3m 3)x m 2 是幂函数，则必有 m 2 3m 3 1，得 m 1 1, m 2 2 ，又函数图象不过原点，可知其指数 m 2 0 ， m 1 1, m 2 2 均满足满足，故正确选项为 B. 考点：幂函数的概念 . 【思路点睛】首先清楚幂函数的形式 f (x) x a , a 为常数，说明幂的系数必须为 1，即可得含有 m 的方程；其次幂函数的图象不过原点，说明指数为负数或者零，即可得含有 m 的不等式 . 在此要注意， 00 是不存在的，也就是说指数为零的幂函数图象不过原点 . 6．设 2, 1, 1 ,1,2,3 ，则使幂函数 y x a 为奇函数且在 (0, ) 上单调递增的 a 2 值的个数为 ( ) A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3 【答案】 C 【解析】试题分析：因为 a y x 是奇函数，所以 a 应该为奇数，又在 (0, ) 是单调递增的，所以 a 0 则只能 1,3 ．考点：幂函数的性质 . 7．已知函数，若，则实数（） A ． B ． C ． 2 D ． 9 【答案】 C 【解析】因为，所以．

幂函数、指数函数及其性质

第8课幂函数、指数函数及其性质【考点导读】 1.了解幂函数的概念，结合函数y x =，2y x =，3 y x =，1 y x =，1 2y x =的图像了解它们的变化情况； 2.理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性； 3.在解决实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型．【基础练习】 1.指数函数()(1)x f x a =-是R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围是(1,2)． 2.把函数()f x 的图像分别沿x 轴方向向左，沿y 轴方向向下平移2个单位，得到()2x f x =的图像，则()f x =222x -+． 3.函数2 20.3 x x y --=的定义域为___R __；单调递增区间1 (,]2 -∞-；值域1 4(0,0.3]． 4.已知函数1()41x f x a =+ +是奇函数，则实数a 的取值1 2 -． 5.要使1 1 () 2 x y m -=+的图像不经过第一象限，则实数m 的取值范围2m ≤-． 6.已知函数21()1x f x a -=-(0,1)a a >≠过定点，则此定点坐标为1(,0)2 ．【范例解析】例1.比较各组值的大小：（1）0.2 0.4 ，0.20.2 ，0.2 2 ， 1.6 2；（2）b a -，b a ，a a ，其中01a b <<<；（3）131()2，1 21 ()3 ．分析：同指不同底利用幂函数的单调性，同底不同指利用指数函数的单调性．解：（1） 0.20.200.20.40.41<<=，而0.2 1.6122<<， 0.20.20.2 1.60.20.422∴<<<．（2）01a <<且b a b -<<，b a b a a a -∴>>．（3）111 32 2111()()()223 >>．点评：比较同指不同底可利用幂函数的单调性，同底不同指可利用指数函数的单调性；另注意通过0，1等数进行间接分类．例2.已知定义域为R 的函数12()2x x b f x a +-+=+是奇函数,求,a b 的值；

指数函数对数函数和幂函数知识点归纳

一、幂函数 1、幂的有关概念正整数指数幂： ...() n n a a a a n N =∈ 零指数幂： 01(0) a a =≠ 负整数指数幂： 1 (0,) p p a a p N a -=≠∈ 分数指数幂：正分数指数幂的意义是： (0,,,1) m n m n a a a m n N n =>∈> 且负分数指数幂的意义是： 1 (0,,,1) m n m n m n a a m n N n a a - ==>∈> 且 2、幂函数的定义一般地,函数 a y x =叫做幂函数,其中x是自变量，a是常数（我们只讨论a是有理数的情况)． 3、幂函数的图象幂函数a y x = 当 11 ,,1,2,3 32 a= 时的图象见左图；当 1 2,1, 2 a=--- 时的图象见上图：由图象可知，对于幂函数而言,它们都具有下列性质:

a y x =有下列性质：（1)0a >时： ①图象都通过点(0,0)，(1,1); ②在第一象限内，函数值随x 的增大而增大，即在(0,)+∞上是增函数．（2）0a <时： ①图象都通过点(1,1)； ②在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，即在(0,)+∞上是减函数； ③在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近．（3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点；（4）任何幂函数图象都不经过第四象限； (5）任何两个幂函数的图象最多有三个交点．二、指数函数 ①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数, 1）函数的定义域为R ； 2）函数的值域为),0(+∞； 3）当10<a 时函数为增函数. 4）有两个特殊点:零点(0,1)，不变点(1,)a . 5）抽象性质： ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=?-= 三、对数函数如果b a N =（0a >，1a ≠)，那么b 叫做以a 为底N 的对数,记作log a N b = log b a a N N b =?=(0a >，1a ≠，0N >）． 1．对数的性质 ()log log log a a a MN M N =+． log log log a a a M M N N =-．