2019高考数学热点题型专题05三角函数与解三角形理
三角函数与解三角形
热点一 解三角形
高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合应用为主.其命题规律可以从以下两方面看：(1)从内容上看，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式，一般是以三角形或其他平面图形为背景，结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力；(2)从命题角度看，主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理，在知识的交汇处命题.
【例1】(满分12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a 2
3sin A
. (1)求sin B sin C ；
(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长.
教材探源 本题第(1)问源于教材必修5P20B 组1且相似度极高，本题第(2)问在第(1)问的基础上进行拓展，考查正弦定理、余弦定理的应用.
由正弦定理得sin 2A ＝32
sin B sin C sin 2A ，4分 (得分点3) 因为sin A ≠0，所以sin B sin C ＝23
.5分 (得分点4) (2)由(1)得sin B sin C ＝23，cos B cos C ＝16
. 因为A ＋B ＋C ＝π，
所以cos A ＝cos(π－B －C )＝－cos(B ＋C )
＝sin B sin C －cos B cos C ＝12
，7分 (得分点5) 又A ∈(0，π)，所以A ＝π3，sin A ＝32，cos A ＝12
，8分 (得分点6) 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－bc ＝9， ①9分 (得分点7)
由正弦定理得b ＝a sin A ·sin B ，c ＝a
sin A
·sin C ，
所以bc ＝a 2sin 2A
·sin B sin C ＝8， ②10分 (得分点8) 由①②得：b ＋c ＝33，11分 (得分点9)
所以a ＋b ＋c ＝3＋33，即△ABC 周长为3＋33.12分 (得分点10)
得分要点
?得步骤分：抓住得分点的解题步骤，“步步为赢”.在第(1)问中，写出面积公式，用正弦定理求出结果.第(2)问中，诱导公式→恒等变换→余弦定理→正弦定理→得出结果.
?得关键分：(1)面积公式，(2)诱导公式，(3)恒等变换，(4)正弦定理，(5)余弦定理都是不可少的过程，有则给分，无则没分.
?得计算分：解题过程中的计算准确是得满分的根本保证，如(得分点5)，(得分点6)，(得分点9)，(得分点10).
【类题通法】利用正弦定理、余弦定理解三角形的步骤
第一步：找条件：寻找三角形中已知的边和角，确定转化方向.
第二步：定工具：根据已知条件和转化方向，选择使用的定理和公式，实施边角之间的转化.
第三步：求结果：根据前两步分析，代入求值得出结果.
第四步：再反思：转化过程中要注意转化的方向，审视结果的合理性.
【对点训练】 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2.
(1)求c ；
(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积.
(2)由题设可得∠CAD ＝π2，所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝π6
.
故△ABD与△ACD面积的比值为
1
2
AB·AD sin
π
6
1
2
AC·AD
＝1.
又△ABC的面积为
1
2
×4×2sin∠BAC＝23，
所以△ABD的面积为 3.
热点二三角函数的图象和性质
注意对基本三角函数y＝sin x，y＝cos x的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数转化为y＝A sin(ωx＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解.
【例2】已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求函数y＝f(x)图象的对称轴方程；
(2)讨论函数f(x)在??
?
??
?
0，
π
2
上的单调性.
【类题通法】三角函数的图象与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为y＝A sin(ωx＋φ)＋k的形式，然后将t＝ωx＋φ视为一个整体，结合y＝sin t的图象求解.
【对点训练】设函数f(x)＝sin?
?
??
?
ωx－
π
6
＋sin
?
?
??
?
ωx－
π
2
，其中0＜ω＜3，已知f ?
?
??
?
π
6
＝0.
(1)求ω；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移
π
4
个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在??
?
??
?
－
π
4
，
3π
4
上的最小值.
解(1)因为f(x)＝sin?
?
??
?
ωx－
π
6
＋sin
?
?
??
?
ωx－
π
2
，
所以f(x)＝
3
2
sin ωx－
1
2
cos ωx－cos ωx
＝
3
2
sin ωx－
3
2
cos ωx＝3
?
?
?
?
?
1
2
sin ωx－
3
2
cos ωx
＝3sin
?
?
??
?
ωx－
π
3
.
由题设知f ? ????π6＝0， 所以ωπ6－π
3
＝k π，k ∈Z ， 故ω＝6k ＋2，k ∈Z .
又0＜ω＜3，所以ω＝2. (2)由(1)得f (x )＝3sin ?
????2x －π3， 所以g (x )＝3sin ? ????x ＋π4－π3＝3sin ? ??
??x －π12. 因为x ∈??????－π4
，3π4，所以x －π12∈??????－π3，2π3， 当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32
. 热点三 三角函数与平面向量结合
三角函数、解三角形与平面向量的结合主要体现在以下两个方面：(1)以三角函数式作为向量的坐标，由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获得三角函数解析式；(2)根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形，然后利用正、余弦定理解决问题.
【例3】在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，向量m ＝? ??
??a 2，c 2，n ＝(cos C ，cos A )，且n ·m ＝b cos B .
(1)求角B 的值；
(2)若cos A －C
2＝3sin A ，且|m |＝5，求△ABC 的面积.
(2)C ＝π－A －B ＝2π3－A ，cos A －C 2＝3sin A ?cos ?
????A －π3＝3sin A ?cos A ＝ 3sin A ?tan A ＝
33
.