《MATLAB数值计算》(美)Cleve B.Moler 第三章插值第1节插值多项式 毕业设计(论文)英文文献翻译
Chapter 3
Interpolation
Interpolation is the process of defining a function that takes on specified values at specified points. This chapter concentrates on two closely related interpolants, the piecewise cubic spline and the shape-preserving piecewise cubic named “pchip”.
3.1 The Interpolating Polynomial
We all know that two points determine a straight line. More precisely, any two points in the plane, ),(11y x and ),(11y x , with )(21x x ≠ , determine a unique first degree polynomial in x whose graph passes through the two points. There are many different formulas for the polynomial, but they all lead to the same straight line graph.
This generalizes to more than two points. Given n points in the plane, ),(k k y x ，n k ,,2,1 =, with distinct k x ’s, there is a unique polynomial in x of degree less than n whose graph passes through the points. It is easiest to remember that n , the number of data points, is also the number of coefficients, although some of the leading coefficients might be zero, so the degree might actually be less than 1-n . Again, there are many different formulas for the polynomial, but they all define the same function.
This polynomial is called the interpolating polynomial because it exactly re- produces the given data.
n k y x P k k ,,2,1,)( ==，
Later, we examine other polynomials, of lower degree, that only approximate the data. They are not interpolating polynomials.
The most compact representation of the interpolating polynomial is the La- grange form.
∑∏???
? ??--=≠k k k j j k j y x x x x x P )( There are n terms in the sum and 1-n terms in each product, so this expression defines a polynomial of degree at most 1-n . If )(x P is evaluated at k x x = , all the products except the k th are zero. Furthermore, the k th product is equal to one, so the sum is equal to k y and the interpolation conditions are satisfied.
For example, consider the following data set:
x=0:3;
y=[-5 -6 -1 16];
The command
disp([x;y])
displays
0 1 2 3
-5 -6 -1 16 The Lagrangian form of the polynomial interpolating this data is
)16()
6()2)(1()1()2()3)(1()6()2()3)(2()5()6()3)(2)(1()(--+----+---+-----=x x x x x x x x x x x x x P We can see that each term is of degree three, so the entire sum has degree at most three. Because the leading term does not vanish, the degree is actually three. Moreover, if we plug in 2,1,0=x or 3, three of the terms vanish and the fourth produces the corresponding value from the data set.
Polynomials are usually not represented in their Lagrangian form. More fre- quently, they are written as something like
523--x x
The simple powers of x are called monomials and this form of a polynomial is said to be using the power form.
The coefficients of an interpolating polynomial using its power form,
n n n n c x c x c x c x P ++++=---12211)(
can, in principle, be computed by solving a system of simultaneous linear equations
?????
???????=??????????????????????????------n n n n n n n n n n n y y y c c c x x x x x x x x x 21212122212
121111111 The matrix V of this linear system is known as a Vandermonde matrix. Its elements are
j n k j k x v -=, The columns of a V andermonde matrix are sometimes written in the opposite order, but polynomial coefficient vectors in Matlab always have the highest power first.
The Matlab function vander generates Vandermonde matrices. For our ex- ample data set,
V = vander(x)
generates
V =
0 0 0 1
1 1 1 1
8 4 2 1
27 9 3 1
Then
c = V\y’
computes the coefficients
c =
1.0000
0.0000
-2.0000
-5.0000
In fact, the example data was generated from the polynomial 523
--x x .
One of the exercises asks you to show that Vandermonde matrices are nonsin- gular if the points k x are distinct. But another one of the exercises asks you to show that a Vandermonde matrix can be very badly conditioned. Consequently, using the power form and the V andermonde matrix is a satisfactory technique for problems involving a few well-spaced and well-scaled data points. But as a general-purpose approach, it is dangerous.
In this chapter, we describe several Matlab functions that implement various interpolation algorithms. All of them have the calling sequence
v = interp(x,y,u)
The first two input arguments, x and y , are vectors of the same length that define the interpolating points. The third input argument, u , is a vector of points where the function is to be evaluated. The output, v, is the same length as u and has elements ))(,,()(k u y x terp in k v =
Our first such interpolation function, polyinterp, is based on the Lagrange form. The code uses Matlab array operations to evaluate the polynomial at all the components of u simultaneously.
function v = polyinterp(x,y,u)
n = length(x);
v = zeros(size(u));
for k = 1:n
w = ones(size(u));
for j = [1:k-1 k+1:n]
w = (u-x(j))./(x(k)-x(j)).*w;
end
end
v = v + w*y(k);
To illustrate polyinterp, create a vector of densely spaced evaluation points.
u = -.25:.01:3.25;
Then
v = polyinterp(x,y,u);
plot(x,y,’o’,u,v,’-’)
creates figure 3.1.
Figure 3.1. polyinterp
The polyinterp function also works correctly with symbolic variables. For example, create symx = sym(’x’)
Then evaluate and display the symbolic form of the interpolating polynomial with
P = polyinterp(x,y,symx)
pretty(P)
produces
-5 (-1/3 x + 1)(-1/2 x + 1)(-x + 1) - 6 (-1/2 x + 3/2)(-x + 2)x
-1/2 (-x + 3)(x - 1)x + 16/3 (x - 2)(1/2 x - 1/2)x
This expression is a rearrangement of the Lagrange form of the interpolating poly- nomial. Simplifying the Lagrange form with
P = simplify(P)
changes P to the power form
P =
x^3-2*x-5
Here is another example, with a data set that is used by the other methods in this chapter.
x = 1:6;
y = [16 18 21 17 15 12];
disp([x; y])
u = .75:.05:6.25;
v = polyinterp(x,y,u);
plot(x,y,’o’,u,v,’-’);
produces
1 2 3 4 5 6
16 18 21 17 15 12
creates figure 3.2.
Figure 3.2. Full degree polynomial interpolation
Already in this example, with only six nicely spaced points, we can begin to see the primary difficulty with full-degree polynomial interpolation. In between the data points, especially in the first and last subintervals, the function shows excessive variation. It overshoots the changes in the
几种常用的插值方法
几种常用的插值方法 数学系 信息与计算科学1班 李平 指导老师：唐振先 摘要:插值在诸如机械加工等工程技术和数据处理等科学研究中有许多直接的应用,在很多领域都要用插值的办法找出表格和中间值,插值还是数值积分微分方程数值解等数值计算的基础。本文归纳了几种常用的插值方法,并简单分析了其各自的优缺点。 关键词:任意阶多项式插值,分段多项式插值。 引言:所谓插值,通俗地说就是在若干以知的函数值之间插入一些未知函数值,而插值函数的类型最简单的选取是代数多项式。用多项式建立插值函数的方法主要用两种：一种是任意阶的插值多项式,它主要有三种基本的插值公式：单项式,拉格朗日和牛顿插值；另一种是分段多项式插值,它有Hermite 和spine 插值和分段线性插值。 一．任意阶多项式插值： 1.用单项式基本插值公式进行多项式插值： 多项式插值是求通过几个已知数据点的那个n-1阶多项式,即P n-1(X)=A 1+A 2X+…A n X n-1,它是一个单项式基本函数X 0,X 1…X n-1的集合来定义多项式,由已知n 个点（X,Y ）构成的集合,可以使多项式通过没数据点,并为n 个未知系数Ai 写出n 个方程,这n 个方程组成的方程组的系数矩阵为Vandermonde 矩阵。 虽然这个过程直观易懂,但它都不是建立插值多项式最好的办法,因为Vandermonde 方程组有可能是病态的,这样会导致单项式系数不确定。另外,单项式中的各项可能在大小上有很大的差异,这就导致了多项式计算中的舍入误差。 2.拉格朗日基本插值公式进行插值： 先构造一组插值函数L i （x ） =011011()()()() ()()()() i i n i i i i i i n x x x x x x x x x x x x x x x x -+-+--------L L L L ，其中i=0，… n.容易看出n 次多项式L i （x ）满足L i （x ）=1，（i=j ）；L i （x ）=0，（i ≠j ），其中
第三章系统的教学模型
3 系统的数学模型 3.1 概述 3.1.1 数学模型 在进行控制系统分析和设计时，通常首先需要建立系统的数学模型。所谓系统的数学模型，是用数学方程式来描述机械系统、电气系统、,, 以及生物系统、社会系统的动态特性，是一组能精确，或者至少是相当好地表示系统动态特性的微分方程式、差分方程式或其它数学方程表示式。 数学模型可以有多种形式，采取何种形式来建立数学模型取决于具体的系统及条件，如，一个单输入单输出简单系统的响应分析，可能采用传递函数形式比较简单方便，而如要进行最优控制，则采用状态空间表达式可能更为有利。 对于同一系统的描述，数学模型也可能具有不同的复杂程度。如以一个液压控制阀为例，如果是考虑它在一个复杂系统中的动作，可以用一个二阶微分方程式（基于牛顿第二运动定理）来做为其数学模型，而如果是为了设计这个控制阀并预测其性能，则需要考虑阀的泄漏，尺寸精度影响等更多因素，所建立的数学模型可能是一个6-7 阶的微分方程组。 另一方面，严格地说，任何实际中的电、机械系统、液压系统、气动系统等其变量间的关系都不是绝对性线的，有些甚至是严重非线性的。然而，由于至今非线性系统的求解依然存在着数学难关，比较常用的做法是用一个“等效”的或“近似”的线性系统代替实际上的非线性系统来分析和求解。这意味着，我们既要掌握在建立数学模型时的线性化方法，又要了解所取的“线性”数学模型有效的范围和条件。 3.1.2 数学模型表示形式 控制系统的数学模型通常采用以下几种表示形式： 1．传递函数模型 一个连续的SISO 系统，一般可用一个常定系数线性常微分方程来描述
若系统的输入为u(t)，输出的y(t)，其微分方程可表示为: a n 叩 …3^ 5) dt n dt n de 对该式进行Lap lace 变换，可得系统的传递函数模型 丫(s)二 b m S m b m 」s m — b o U(s) a n S n - a n j S n A ^ …宀a 。 离散时间动态系统一般以差分方程描述，对一个离散 SISO 系统，设采 样周期为T ,系统输入为u(i)，输出为y(i)，可描述为： g n y(i n) g n 4y(i n -1) g °y(i)= f m u(i m) f m 」u(i m -1) f o u(i) 对该方程进行Z 变换，可得离散SISO 系统的传递函数模型 m -1 m 4 Z n 4 n 洱 ? g o 对于多输入多输出系统，系统的传递函数模型为传递函数矩阵。 2.状态空间模型 状态方程是现代控制理论中最常用的数学模型表示形式， 它可以方便地 表示SISO 或MIMO S 统。 对于一个连续LTI 系统，其状态方程可描述为： ■ x(t)二 Ax(t) Bu(t) y(t)二Cx(t) Du(t) (3.1-5 ) 其中，第一个方程称为状态方程，第二个称为输出方程。 x(t) 状态变量 u(t) ------ 输入变量，或控制变量 y(t) ------ 输出变量 讥沪b m 」b o u(t) (3.1-1 ) (3.1-2) m - f n g n Z g (3.1-4)
数值分析拉格朗日插值法上机实验报告
课题一：拉格朗日插值法 1.实验目的 1．学习和掌握拉格朗日插值多项式。 2.运用拉格朗日插值多项式进行计算。 2.实验过程 作出插值点（1.00，0.00），（-1.00，-3.00），（2.00，4.00）二、算法步骤 已知：某些点的坐标以及点数。 输入：条件点数以及这些点的坐标。 输出：根据给定的点求出其对应的拉格朗日插值多项式的值。 3.程序流程： （1）输入已知点的个数； （2）分别输入已知点的X坐标； （3）分别输入已知点的Y坐标； 程序如下： #include
插值算法*/ { int i,j; float *a,yy=0.0; /*a作为临时变量，记录拉格朗日插值多项*/ a=(float*)malloc(n*sizeof(float)); for(i=0;i<=n-1;i++) { a[i]=y[i]; for(j=0;j<=n-1;j++) if(j!=i) a[i]*=(xx-x[j])/(x[i]-x[j]); yy+=a[i]; } free(a); return yy; } int main() { int i; int n; float x[20],y[20],xx,yy; printf("Input n:");
scanf("%d",&n); if(n<=0) { printf("Error! The value of n must in (0,20)."); getch();return 1; } for(i=0;i<=n-1;i++) { printf("x[%d]:",i); scanf("%f",&x[i]); } printf("\n"); for(i=0;i<=n-1;i++) { printf("y[%d]:",i);scanf("%f",&y[i]); } printf("\n"); printf("Input xx:"); scanf("%f",&xx); yy=lagrange(x,y,xx,n); printf("x=%f,y=%f\n",xx,yy); getch(); } 举例如下：已知当x=1，-1,2时f(x)=0，-3,4，求f(1.5)的值。
Surfer软件插值方法
Surfer软件插值方法 1、距离倒数乘方法距离倒数乘方格网化方法是一个加权平均插值法，可以进行确切的或者圆滑的方式插值。方次参数控制着权系数如何随着离开一个格网结点距离的增加而下降。对于一个较大的方次，较近的数据点被给定一个较高的权重份额，对于一个较小的方次，权重比较均匀地分配给各数据点。计算一个格网结点时给予一个特定数据点的权值与指定方次的从结点到观测点的该结点被赋予距离倒数成比例。当计算一个格网结点时，配给的权重是一个分数，所有权重的总和等于1.0。当一个观测点与一个格网结点重合时，该观测点被给予一个实际为1.0 的权重，所有其它观测点被给予一个几乎为0.0 的权重。换言之，该结点被赋给与观测点一致的值。这就是一个准确插值。距离倒数法的特征之一是要在格网区域内产生围绕观测点位置的"牛眼"。用距离倒数格网化时可以指定一个圆滑参数。大于零的圆滑参数保证，对于一个特定的结点，没有哪个观测点被赋予全部的权值，即使观测点与该结点重合也是如此。圆滑参数通过修匀已被插值的格网来降低"牛眼"影响。 2、克里金法克里金法是一种在许多领域都很有用的地质统计格网化方法。克里金法试图那样表示隐含在你的数据中的趋势，例如，高点会是沿一个脊连接，而不是被牛眼形等值线所孤立。克里金法中包含了几个因子：变化图模型，漂移类型和矿块效应。 3、最小曲率法最小曲率法广泛用于地球科学。用最小曲率法生成的插值面类似于一个通过各个数据值的，具有最小弯曲量的长条形薄弹性片。最小曲率法，试图在尽可能严格地尊重数据的同时，生成尽可能圆滑的曲面。使用最小曲率法时要涉及到两个参数：最大残差参数和最大循环次数参数来控制最小曲率的收敛标准。 4、多元回归法多元回归被用来确定你的数据的大规模的趋势和图案。你可以用几个选项来确定你需要的趋势面类型。多元回归实际上不是插值器，因为它并不试图预测未知的Z 值。它实际上是一个趋势面分析作图程序。使用多元回归法时要涉及到曲面定义和指定XY的最高方次设置，曲面定义是选择采用的数据的多项式类型，这些类型分别是简单平面、双线性鞍、二次曲面、三次曲面和用户定义的多项式。参数设置是指定多项式方程中X 和Y组元的最高方次。 5、径向基本函数法径向基本函数法是多个数据插值方法的组合。根据适应你的数据和生成一个圆滑曲面的能力，其中的复二次函数被许多人认为是最好的方法。所有径向基本函数法都是准确的插值器，它们都要为尊重你的数据而努力。为了试图生成一个更圆滑的曲面，对所有这些方法你都可以引入一个圆滑系数。你可以指定的函数类似于克里金中的变化图。当对一个格网结点插值时，这些个函数给数据点规定了一套最佳权重。 6、谢别德法谢别德法使用距离倒数加权的最小二乘方的方法。因此，它与距离倒数乘方插值器相似，但它利用了局部最小二乘方来消除或减少所生成等值线的"牛眼"外观。谢别德法可以是一个准确或圆滑插值器。在用谢别德法作为格网化方法时要涉及到圆滑参数的设置。圆滑参数是使谢别德法能够象一个圆滑插值器那样工作。当你增加圆滑参数的值时，圆滑的效果越好。 7、三角网/线形插值法三角网插值器是一种严密的插值器，它的工作路线与手工绘制等值线相近。这种方法是通过在数据点之间连线以建立起若干个三角形来工作的。原始数据点的连结方法是这样：所有三角形的边都不能与另外的三角形相交。其结果构成了一张覆盖格网范围的，由三角形拼接起来的网。每一个三角形定义了一个覆盖该三角形内格网结点的面。三角形的倾斜和标高由定义这个三角形的三个原始数据点确定。给定三角形内的全部结点都要受到该三角形的表面的限制。因为原始数据点被用来定义各个三角形，所以你的数据是很受到尊重的。8.自然邻点插值法自然邻点插值法(NaturalNeighbor)是Surfer7.0才有的网格化新方法。自然邻点插值法广泛应用于一些研究领域中。其基本原理是对于一组泰
(完整版)Matlab学习系列13.数据插值与拟合
13. 数据插值与拟合 实际中，通常需要处理实验或测量得到的离散数据（点）。插值与拟合方法就是要通过离散数据去确定一个近似函数（曲线或曲面），使其与已知数据有较高的拟合精度。 1.如果要求近似函数经过所已知的所有数据点，此时称为插值问 题（不需要函数表达式）。 2.如果不要求近似函数经过所有数据点，而是要求它能较好地反 映数据变化规律，称为数据拟合（必须有函数表达式）。 插值与拟合都是根据实际中一组已知数据来构造一个能够反映数据变化规律的近似函数。区别是：【插值】不一定得到近似函数的表达形式，仅通过插值方法找到未知点对应的值。【拟合】要求得到一个具体的近似函数的表达式。 因此，当数据量不够，但已知已有数据可信，需要补充数据，此时用【插值】。当数据基本够用，需要寻找因果变量之间的数量关系（推断出表达式），进而对未知的情形作预测，此时用【拟合】。
一、数据插值 根据选用不同类型的插值函数，逼近的效果就不同，一般有：（1）拉格朗日插值（lagrange插值） （2）分段线性插值 （3）Hermite （4）三次样条插值 Matlab 插值函数实现： （1）interp1( ) 一维插值 （2）intep2( ) 二维插值 （3）interp3( ) 三维插值 （4）intern( ) n维插值 1.一维插值（自变量是1维数据） 语法：yi = interp1(x0, y0, xi, ‘method’) 其中，x0, y0为原离散数据（x0为自变量，y0为因变量）；xi为需要插值的节点，method为插值方法。 注：（1）要求x0是单调的，xi不超过x0的范围； （2）插值方法有‘nearest’——最邻近插值；‘linear’——线性插值；‘spline’——三次样条插值；‘cubic’——三次插值；
数值分析常用的插值方法
数值分析报告 班级： 专业： 流水号： 学号： 姓名：
常用的插值方法 序言 在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点。插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。 早在6世纪，中国的刘焯已将等距二次插值用于天文计算。17世纪之后，牛顿、拉格朗日分别讨论了等距和非等距的一般插值公式。在近代，插值法仍然是数据处理和编制函数表的常用工具，又是数值积分、数值微分、非线性方程求根和微分方程数值解法的重要基础，许多求解计算公式都是以插值为基础导出的。 插值问题的提法是：假定区间[a，b〕上的实值函数f（x）在该区间上n＋1个互不相同点x0，x1……x n处的值是f（x0），……f（x n），要求估算f（x）在[a，b〕中某点的值。其做法是：在事先选定的一个由简单函数构成的有n＋1个参数C0， C1，……C n的函数类Φ(C0，C1，……C n)中求出满足条件P（x i）＝f（x i）（i＝0，1，……n）的函数P(x)，并以P(x)作为f(x)的估值。此处f（x）称为被插值函数，x0，x1，……xn 称为插值结(节)点，Φ(C0，C1，……C n)称为插值函数类，上面等式称为插值条件，Φ（C0，……C n）中满足上式的函数称为插值函数，R（x）＝f（x）－P（x）称为插值余项。
求解这类问题，它有很多种插值法，其中以拉格朗日(Lagrange)插值和牛顿(Newton)插值为代表的多项式插值最有特点，常用的插值还有Hermit 插值，分段插值和样条插值。 一．拉格朗日插值 1.问题提出： 已知函数()y f x =在n+1个点01,,,n x x x L 上的函数值01,,,n y y y L ，求任意一点 x '的函数值()f x '。 说明：函数()y f x =可能是未知的；也可能是已知的，但它比较复杂，很难计算其函数值()f x '。 2.解决方法： 构造一个n 次代数多项式函数()n P x 来替代未知（或复杂）函数()y f x =，则 用()n P x '作为函数值()f x '的近似值。 设()2012n n n P x a a x a x a x =++++L ，构造()n P x 即是确定n+1个多项式的系数 012,,,,n a a a a L 。 3.构造()n P x 的依据： 当多项式函数()n P x 也同时过已知的n+1个点时，我们可以认为多项式函数 ()n P x 逼近于原来的函数()f x 。根据这个条件，可以写出非齐次线性方程组： 20102000 20112111 2012n n n n n n n n n n a a x a x a x y a a x a x a x y a a x a x a x y ?++++=?++++=?? ? ?++++=?L L L L L 其系数矩阵的行列式D 为范德萌行列式： ()20 0021110 2111n n i j n i j n n n n x x x x x x D x x x x x ≥>≥= = -∏L L M M M M L
数据插值(ppt)
专题五数据分析与多项式计算5.3 数据插值 ?引例-零件加工问题 ?数据插值的计算机制 ?数据插值的实现方法 ?应用案例-粮储仓的通风控制问题
x 035791112131415 y0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6 机翼下轮廓线 在飞机制造中，机翼的加工是一项关键技术。由于机翼尺寸很大，通常在图纸中只能标出一些关键点的数据。下表给出了某型飞机机翼的下缘轮廓线数据，求x每改变0.1时y的值。 引例-零件加工问题
>> x=[0,3,5,7,9,11,12,13,14,15]; >>y=[0,1.2,1.7,2.0,2.1,2.0,1.8,1.2,1.0,1.6]; >> x1=0:0.1:15; >> y1=interp1(x,y,x1,'spline'); >> plot(x1,y1)
数据插值的计算机制 x x 1x2…x k…x n y y1y2…y k…y n y=f(x) φ(x)≈f(x)未知函数近似函数 满足φ(x i )=y i(i=1,2,3,…,n) 从数学上来说，数据插值是一种函数逼近的方法。
数据插值的实现方法 在MATLAB中，一维插值函数为interp1()，其调用格式为： Y1=interp1(X,Y,X1,method) 该语句将根据X、Y的值，计算函数在X1处的值。其中，X、Y是两个等长的已知向量，分别表示采样点和采样值。X1是一个向量或标量，表示要插值的点。
method参数用于指定插值方法，常用的取值有以下四种： （1）linear：线性插值，默认方法。将与插值点靠近的两个数据点用直线连接，然后在直线上选取对应插值点的数据。 （2）nearest：最近点插值。选择最近样本点的值作为插值数据。
数值分析常用的插值方法
数值分析 报告 班级： 专业： 流水号： 学号： 姓名：
常用的插值方法 序言 在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点。插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。 早在6世纪，中国的刘焯已将等距二次插值用于天文计算。17世纪之后，牛顿、拉格朗日分别讨论了等距和非等距的一般插值公式。在近代，插值法仍然是数据处理和编制函数表的常用工具，又是数值积分、数值微分、非线性方程求根和微分方程数值解法的重要基础，许多求解计算公式都是以插值为基础导出的。 插值问题的提法是：假定区间[a，b〕上的实值函数f（x）在该区间上 n＋1 个互不相同点x 0，x 1 (x) n 处的值是f（x ），……f（x n ），要求估算f（x）在[a，b〕 中某点的值。其做法是：在事先选定的一个由简单函数构成的有n＋1个参数C ， C 1，……C n 的函数类Φ(C ，C 1 ，……C n )中求出满足条件P（x i ）＝f（x i ）（i＝0，1，…… n）的函数P(x)，并以P(x)作为f(x)的估值。此处f（x）称为被插值函数，x 0，x 1 ，……xn 称为插值结(节)点，Φ(C 0，C 1 ，……C n )称为插值函数类，上面等式称为插值条件， Φ（C 0，……C n ）中满足上式的函数称为插值函数，R（x）＝ f（x）－P（x）称为 插值余项。
求解这类问题，它有很多种插值法，其中以拉格朗日(Lagrange)插值和牛顿(Newton)插值为代表的多项式插值最有特点，常用的插值还有Hermit 插值，分段插值和样条插值。 一．拉格朗日插值 1.问题提出： 已知函数()y f x =在n+1个点01,, ,n x x x 上的函数值01,, ,n y y y ，求任意一点 x '的函数值()f x '。 说明：函数()y f x =可能是未知的；也可能是已知的，但它比较复杂，很难计算其函数值()f x '。 2.解决方法： 构造一个n 次代数多项式函数()n P x 来替代未知（或复杂）函数()y f x =，则 用()n P x '作为函数值()f x '的近似值。 设()2012n n n P x a a x a x a x =+++ +，构造()n P x 即是确定n+1个多项式的系数 012,,,,n a a a a 。 3.构造()n P x 的依据： 当多项式函数()n P x 也同时过已知的n+1个点时，我们可以认为多项式函数 ()n P x 逼近于原来的函数()f x 。根据这个条件，可以写出非齐次线性方程组： 20102000 201121112012n n n n n n n n n n a a x a x a x y a a x a x a x y a a x a x a x y ?+++ +=?++++=??? ?+++ +=? 其系数矩阵的行列式D 为范德萌行列式： () 200021110 2 111n n i j n i j n n n n x x x x x x D x x x x x ≥>≥= = -∏
数学建模案例分析插值与拟合方法建模1数据插值方法及应用
第十章 插值与拟合方法建模 在生产实际中，常常要处理由实验或测量所得到的一批离散数据，插值与拟合方法就是要通过这些数据去确定某一类已经函数的参数，或寻求某个近似函数使之与已知数据有较高的拟合精度。插值与拟合的方法很多，这里主要介绍线性插值方法、多项式插值方法和样条插值方法，以及最小二乘拟合方法在实际问题中的应用。相应的理论和算法是数值分析的内容，这里不作详细介绍，请参阅有关的书籍。 §1 数据插值方法及应用 在生产实践和科学研究中，常常有这样的问题：由实验或测量得到变量间的一批离散样点，要求由此建立变量之间的函数关系或得到样点之外的数据。与此有关的一类问题是当原始数据 ),(,),,(),,(1100n n y x y x y x 精度较高，要求确定一个初等函数)(x P y =（一般用多项式或分段 多项式函数）通过已知各数据点（节点），即n i x P y i i ,,1,0,)( ==，或要求得函数在另外一些点（插值点）处的数值，这便是插值问题。 1、分段线性插值 这是最通俗的一种方法，直观上就是将各数据点用折线连接起来。如果 b x x x a n =<<<= 10 那么分段线性插值公式为 n i x x x y x x x x y x x x x x P i i i i i i i i i i ,,2,1,,)(11 1 11 =≤<--+--= ----- 可以证明，当分点足够细时，分段线性插值是收敛的。其缺点是不能形成一条光滑曲线。 例1、已知欧洲一个国家的地图，为了算出它的国土面积，对地图作了如下测量：以由西向东方向为x 轴，由南向北方向为y 轴，选择方便的原点，并将从最西边界点到最东边界点在x 轴上的区间适当的分为若干段，在每个分点的y 方向测出南边界点和北边界点的y 坐标y1和y2，这样就得到下表的数据（单位：mm ）。
数值分析 插值法
第二章插值法 2.在区间[-1,1]上分别取n=10,20用两组等距节点对龙哥函数f(x)=1/(1+25*x^2)做多项式插值及三次样条插值，对每个n值，分别画出插值函数及f（x）的图形。 （1）多项式插值 ①先建立一个多项式插值的M-file； 输入如下的命令（如牛顿插值公式）： function [C,D]=newpoly(X,Y) n=length(X); D=zeros(n,n) D(:,1)=Y' for j=2:n for k=j:n D(k,j)=(D(k,j-1)- D(k-1,j-1))/(X(k)-X(k-j+1)); end end C=D(n,n); for k=(n-1):-1:1 C=conv(C,poly(X(k))) m=length(C); C(m)= C(m)+D(k,k); end ②当n=10时，我们在命令窗口中输入以下的命令： clear,clf,hold on; X=-1:0.2:1; Y=1./(1+25*X.^2); [C,D]=newpoly(X,Y); x=-1:0.01:1; y=polyval(C,x); plot(x,y,X,Y,'.'); grid on; xp=-1:0.2:1; z=1./(1+25*xp.^2); plot(xp,z,'r') 得到插值函数和f（x）图形：
③当n=20时，我们在命令窗口中输入以下的命令：clear,clf,hold on; X=-1:0.1:1; Y=1./(1+25*X.^2); [C,D]=newpoly(X,Y); x=-1:0.01:1; y=polyval(C,x); plot(x,y,X,Y,'.'); grid on; xp=-1:0.1:1; z=1./(1+25*xp.^2); plot(xp,z,'r') 得到插值函数和f（x）图形：
常见几种插值方法
1、距离倒数乘方法 距离倒数乘方格网化方法是一个加权平均插值法，可以进行确切的或者圆滑的方式插值。方次参数控制着权系数如何随着离开一个格网结点距离的增加而下降。对于一个较大的方次，较近的数据点被给定一个较高的权重份额，对于一个较小的方次，权重比较均匀地分配给各数据点。计算一个格网结点时给予一个特定数据点的权值与指定方次的从结点到观测点的该结点被赋予距离倒数成比例。当计算一个格网结点时，配给的权重是一个分数，所有权重的总和等于1.0。当一个观测点与一个格网结点重合时，该观测点被给予一个实际为 1.0 的权重，所有其它观测点被给予一个几乎为0.0 的权重。换言之，该结点被赋给与观测点一致的值。这就是一个准确插值。距离倒数法的特征之一是要在格网区域内产生围绕观测点位置的"牛眼"。用距离倒数格网化时可以指定一个圆滑参数。大于零的圆滑参数保证，对于一个特定的结点，没有哪个观测点被赋予全部的权值，即使观测点与该结点重合也是如此。圆滑参数通过修匀已被插值的格网来降低"牛眼"影响。 2、克里金法 克里金法是一种在许多领域都很有用的地质统计格网化方法。克里金法试图那样表示隐含在你的数据中的趋势，例如，高点会是沿一个脊连接，而不是被牛眼形等值线所孤立。克里金法中包含了几个因子：变化图模型，漂移类型和矿块效应。 3、最小曲率法 最小曲率法广泛用于地球科学。用最小曲率法生成的插值面类似于一个通过各个数据值的，具有最小弯曲量的长条形薄弹性片。最小曲率法，试图在尽可能严格地尊重数据的同时，生成尽可能圆滑的曲面。使用最小曲率法时要涉及到两个参数：最大残差参数和最大循环次数参数来控制最小曲率的收敛标准。 4、多元回归法 多元回归被用来确定你的数据的大规模的趋势和图案。你可以用几个选项来确定你需要的趋势面类型。多元回归实际上不是插值器，因为它并不试图预测未知的Z 值。它实际上是一个趋势面分析作图程序。使用多元回归法时要涉及到曲面定义和指定XY的最高方次设置，曲面定义是选择采用的数据的多项式类型，这些类型分别是简单平面、双线性鞍、二次曲面、三次曲面和用户定义的多项式。参数设置是指定多项式方程中X 和Y组元的最高方次。 5、径向基本函数法 径向基本函数法是多个数据插值方法的组合。根据适应你的数据和生成一个圆滑曲面的能力，其中的复二次函数被许多人认为是最好的方法。所有径向基本函数法都是准确的插值器，它们都要为尊重你的数据而努力。为了试图生成一个更圆滑的曲面，对所有这些方法你都可以引入一个圆滑系数。你可以指定的函数类似于克里金中的变化图。当对一个格网结点插值时，这些个函数给数据点规定了一套最佳权重。 6、谢别德法 谢别德法使用距离倒数加权的最小二乘方的方法。因此，它与距离倒数乘方插值器相似，但它利用了局部最小二乘方来消除或减少所生成等值线的"牛眼"外观。谢别德法可以是一个准确或圆滑插值器。在用谢别德法作为格网化方法时要涉及到圆滑参数的设置。圆滑参数是使谢别德法能够象一个圆滑插值器那样工作。当你增加圆滑参数的值时，圆滑的效果越好。 7、三角网/线形插值法 三角网插值器是一种严密的插值器，它的工作路线与手工绘制等值线相近。这种方法是通过在数据点之间连线以建立起若干个三角形来工作的。原始数据点的连结方法是这样：所有三角形的边都不能与另外的三角形相交。其结果构成了一张覆盖格网范围的，由三角形拼接起来的网。每一个三角形定义了一个覆盖该三角形内格网结点的面。三角形的倾斜和标高由定义这个三角形的三个原始数据点确定。给定三角形内的全部结点都要受到该三角形的表面的限制。因为原始数据点被用来定义各个三角形，所以你的数据是很受到尊重的。 8.自然邻点插值法 自然邻点插值法(NaturalNeighbor)是Surfer7.0才有的网格化新方法。自然邻点插值法广泛应用于一
各种插值方法比较
空间插值可以有很多种分类方法，插值种类也难以举尽。在网上看到这篇文章，觉得虽然作者没能进行分类，但算法本身介绍地还是不错的。 在科学计算领域中，空间插值是一类常用的重要算法，很多相关软件都内置该算法，其中GodenSoftware 公司的Surfer软件具有很强的代表性，内置有比较全面的空间插值算法，主要包括： Inverse Distance to a Power（反距离加权插值法） Kriging（克里金插值法） Minimum Curvature（最小曲率） Modified Shepard's Method（改进谢别德法） Natural Neighbor（自然邻点插值法） Nearest Neighbor（最近邻点插值法） Polynomial Regression（多元回归法） Radial Basis Function（径向基函数法） Triangulation with Linear Interpolation（线性插值三角网法） Moving Average（移动平均法） Local Polynomial（局部多项式法） 下面简单说明不同算法的特点。 1、距离倒数乘方法 距离倒数乘方格网化方法是一个加权平均插值法，可以进行确切的或者圆滑的方式插值。方次参数控制着权系数如何随着离开一个格网结点距离的增加而下降。对于一个较大的方次，较近的数据点被给定一个较高的权重份额，对于一个较小的方次，权重比较均匀地分配给各数据点。计算一个格网结点时给予一个特定数据点的权值与指定方次的从结点到观测点的该结点被赋予距离倒数成比例。当计算一个格网结点时，配给的权重是一个分数，所有权重的总和等于1.0。当一个观测点与一个格网结点重合时，该观测点被给予一个实际为1.0 的权重，所有其它观测点被给予一个几乎为0.0 的权重。换言之，该结点被赋给与观测点一致的值。这就是一个准确插值。距离倒数法的特征之一是要在格网区域内产生围绕观测点位置的"牛眼"。用距离倒数格网化时可以指定一个圆滑参数。大于零的圆滑参数保证，对于一个特定的结点，没有哪个观测点被赋予全部的权值，即使观测点与该结点重合也是如此。圆滑参数通过修匀已被插值的格网来降低"牛眼"影响。 2、克里金法 克里金法是一种在许多领域都很有用的地质统计格网化方法。克里金法试图那样表示隐含在你的数据中的趋势，例如，高点会是沿一个脊连接，而不是被牛眼形等值线所孤立。克里金法中包含了几个因子：变化图模型，漂移类型和矿块效应。 3、最小曲率法 最小曲率法广泛用于地球科学。用最小曲率法生成的插值面类似于一个通过各个数据值的，具有最小弯曲量的长条形薄弹性片。最小曲率法，试图在尽可能严格地尊重数据的同时，生成尽可能圆滑的曲面。使用最小曲率法时要涉及到两个参数：最大残差参数和最大循环次数参数来控制最小曲率的收敛标准。 4、多元回归法 多元回归被用来确定你的数据的大规模的趋势和图案。你可以用几个选项来确定你需要的趋
常见插值方法及其介绍
常见插值方法及其介绍 Inverse Distance to a Power（反距离加权 插值法）”、 “Kriging（克里金插值法）”、 “Minimum Curvature（最小曲率)”、 “Modified Shepard's Method（改进谢别德法）”、 “Natural Neighbor（自然邻点插值法）”、 “Nearest Neighbor（最近邻点插值法）”、 “Polynomial Regression（多元回归法）”、 “Radial Basis Function（径向基函数法）”、 “Triangulation with Linear Interpolation（线性插值三角网法）”、 “Moving Average（移动平均法）”、 “Local Polynomial（局部多项式法）” 1、距离倒数乘方法 距离倒数乘方格网化方法是一个加权平均插值法，可以进行确切的或者圆滑的方式插值。方次参数 控制着权系数如何随着离开一个格网结点距离的增加而下降。对于一个较大的方次，较近的数据点被 给定一个较高的权重份额，对于一个较小的方次，权重比较均匀地分配给各数据点。 计算一个格网结点时给予一个特定数据点的权值与指定方次的从结点到观测点的该结点被赋予距 离倒数成比例。当计算一个格网结点时，配给的权重是一个分数，所有权重的总和等于1.0。当一个 观测点与一个格网结点重合时，该观测点被给予一个实际为 1.0 的权重，所有其它观测点
被给予一 个几乎为0.0 的权重。换言之，该结点被赋给与观测点一致的值。这就是一个准确插值。 距离倒数法的特征之一是要在格网区域内产生围绕观测点位置的"牛眼"。用距离倒数格网化时可 以指定一个圆滑参数。大于零的圆滑参数保证，对于一个特定的结点，没有哪个观测点被赋予全部的 权值，即使观测点与该结点重合也是如此。圆滑参数通过修匀已被插值的格网来降低"牛眼"影响。 2、克里金法 克里金法是一种在许多领域都很有用的地质统计格网化方法。克里金法试图那样表示隐含在你的数 据中的趋势，例如，高点会是沿一个脊连接，而不是被牛眼形等值线所孤立。 克里金法中包含了几个因子：变化图模型，漂移类型和矿块效应。 3、最小曲率法 最小曲率法广泛用于地球科学。用最小曲率法生成的插值面类似于一个通过各个数据值的，具有最 小弯曲量的长条形薄弹性片。最小曲率法，试图在尽可能严格地尊重数据的同时，生成尽可能圆滑的 曲面。 使用最小曲率法时要涉及到两个参数：最大残差参数和最大循环次数参数来控制最小曲率的收敛 标准。 4、多元回归法 多元回归被用来确定你的数据的大规模的趋势和图案。你可以用几个选项来确定你需要的趋势面类 型。多元回归实际上不是插值器，因为它并不试图预测未知的Z 值。它实际上是一个趋势面分析作
数值分析实验插值与拟合
《数值分析》课程实验一：插值与拟合 一、实验目的 1. 理解插值的基本原理，掌握多项式插值的概念、存在唯一性； 2. 编写MATLAB 程序实现Lagrange 插值和Newton 插值，验证Runge 现象； 3. 通过比较不同次数的多项式拟合效果，理解多项式拟合的基本原理； 4. 编写MATLAB 程序实现最小二乘多项式曲线拟合。 二、实验内容 1. 用Lagrange 插值和Newton 插值找经过点(-3, -1), (0, 2), (3, -2), (6, 10)的三次插值公式，并编写MATLAB 程序绘制出三次插值公式的图形。 2. 设 ]5,5[,11 )(2 -∈+= x x x f 如果用等距节点x i = -5 + 10i /n (i = 0, 1, 2, …, n )上的Lagrange 插值多项式L n (x )去逼近它。不妨取n = 5和n = 10，编写MATLAB 程序绘制出L 5(x )和L 10(x )的图像。 3. 在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系如下表，试求含碳量与时间t 的拟合曲线。
(1) 用最小二乘法进行曲线拟合； (2) 编写MATLAB 程序绘制出曲线拟合图。 三、实验步骤 1. (1) Lagrange 插值法：在线性空间P n 中找到满足条件： ?? ?≠===j i j i x l ij j i , 0,, 1)(δ 的一组基函数{}n i i x l 0)(=，l i (x )的表达式为 ∏ ≠==--= n i j j j i j i n i x x x x x l ,0),,1,0()( 有了基函数{}n i i x l 0)(=，n 次插值多项式就可表示为 ∑==n i i i n x l y x L 0)()( (2) Newton 插值法：设x 0, x 1, …, x n 是一组互异的节点，y i = f (x i ) (i = 0, 1, 2, …, n )，f (x )在处的n 阶差商定义为 1102110] ,,,[],,,[],,,[x x x x x f x x x f x x x f n n n n --= - 则n 次多项式 ) ())(](,,[) )(](,,[)](,[)()(11010102100100----++--+-+=n n n x x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x N 差商表的构造过程：
几种常用的插值方法
数学系 信息与计算科学1班 李平 指导老师：唐振先 摘要:插值在诸如机械加工等工程技术和数据处理等科学研究中有许多直接的应用,在很多领域都要用插值的办法找出表格和中间值,插值还是数值积分微分方程数值解等数值计算的基础。本文归纳了几种常用的插值方法,并简单分析了其各自的优缺点。 关键词:任意阶多项式插值,分段多项式插值。 引言:所谓插值,通俗地说就是在若干以知的函数值之间插入一些未知函数值,而插值函数的类型最简单的选取是代数多项式。用多项式建立插值函数的方法主要用两种：一种是任意阶的插值多项式,它主要有三种基本的插值公式：单项式,拉格朗日和牛顿插值；另一种是分段多项式插值,它有Hermite 和spine 插值和分段线性插值。 一．任意阶多项式插值： 1.用单项式基本插值公式进行多项式插值： 多项式插值是求通过几个已知数据点的那个n-1阶多项式,即P n-1(X)=A 1+A 2X+…A n X n-1,它是一个单项式基本函数X 0,X 1…X n-1的集合来定义多项式,由已知n 个点（X,Y ）构成的集合,可以使多项式通过没数据点,并为n 个未知系数Ai 写出n 个方程,这n 个方程组成的方程组的系数矩阵为Vandermonde 矩阵。 虽然这个过程直观易懂,但它都不是建立插值多项式最好的办法,因为Vandermonde 方程组有可能是病态的,这样会导致单项式系数不确定。另外,单项式中的各项可能在大小上有很大的差异,这就导致了多项式计算中的舍入误差。 2.拉格朗日基本插值公式进行插值： 先构造一组插值函数L i （x ） =011011()()()() ()()()() i i n i i i i i i n x x x x x x x x x x x x x x x x -+-+--------，其中i=0，… n.容易看出n 次多项式L i （x ）满足L i （x ）=1，（i=j ）；L i （x ）=0，（i ≠j ），其中i=0，1…n ，令L i （x ）=0()n i i i y l x =∑这就是拉格朗日插值多项式。与单项式基本 函数插值多项式相比,拉格朗日插值有2个重要优点:首先,建立插值多项式不需要求解方程组；其次,它的估计值受舍入误差要小得多。拉格朗日插值公式结构
常州大学数值分析课后习题答案第二章第三章第四章节
数值分析作业 第二章 1、用Gauss消元法求解下列方程组： 2x 1-x 2 +3x 3 =1, (1) 4x 1+2x 2 +5x 3 =4, x 1+2x 2 =7; (2) 解： A=[2 -1 3 1;4 2 5 4;1 2 0 7] n=size(A,1);x=zeros(n,1);flag=1; % 消元过程 for k=1:n-1 for i=k+1:n if abs(A(k,k))>eps A(i,k+1:n+1)= A(i,k+1:n+1)-A(k,k+1:n+1)*A(i,k)/A(k,k); else flag=0; return end end end % 回代过程 if abs(A(n,n))>eps x(n)=A(n,n+1)/A(n,n); else flag=0; return end for i=n-1:-1:1 x(i)=(A(i,n+1)-A(i,i+1:n)*x(i+1:n))/A(i,i); end return x A = 2 -1 3 1 4 2 5 4 1 2 0 7
x = 9 -1 -6 11x1-3x2-2x3=3, (2)-23x 1+11x 2 +1x 3 =0, x 1+2x 2 +2x 3 =-1; (2) 解： A=[11 -3 -2 3;-23 11 1 0;1 2 2 -1] n=size(A,1);x=zeros(n,1);flag=1; % 消元过程 for k=1:n-1 for i=k+1:n if abs(A(k,k))>eps A(i,k+1:n+1)= A(i,k+1:n+1)-A(k,k+1:n+1)*A(i,k)/A(k,k); else flag=0; return end end end % 回代过程 if abs(A(n,n))>eps x(n)=A(n,n+1)/A(n,n); else flag=0; return end for i=n-1:-1:1 x(i)=(A(i,n+1)-A(i,i+1:n)*x(i+1:n))/A(i,i); end return x A = 11 -3 -2 3 -23 11 1 0 1 2 2 -1 x = 0.2124 0.5492 -1.1554 4、用Cholesky分解法解方程组 3 2 3 x1 5 2 2 0 x2 3 3 0 12 x3 7
《系统工程》第三章系统模型与模型化知识点
第三章系统模型与模型化 1、模型是实现系统的理想化抽象或简洁表示，描绘了现实系统的某些 主要特点，是为了客观地研究系统而发展起来的。 模型的三个特点：（1）它是现实世界部分的抽象或模仿 （2）它是由那些与分析的问题有关的因素构成的 （3）它表明了有关因素间的互相关系 2、模型的作用与地位 P36 作用：（1）模型本身是人们对客体系统一定程度研究结果的表达。这种表达是简洁的、形式化的。 （2）模型提供了脱离具体内容的逻辑演绎和计算的基础，这会导致对科学规律、理论、原理的发现。 （3）利用模型可以进行“思想”试验。 3、模型的分类P36 4、构造模型的一般原则 书P37：（1）建立方框图（2）考虑信息相关性（3）考虑准确性（4）考虑集结性 课件：1.现实性 2.简洁性 3.适应性 4.强壮性 5、建模的基本步骤P38 （1）明确建模的目的和要求，以便使模型满足实际要求，不致产生太大偏差。 （2）对系统进行一般语言描述。 （3）弄清系统中的主要因素（变量）及其相互关系（结构关系和函数关系），以便使模型准确地表示现实系统。 （4）确定模型的结构 （5）估计模型的参数 （6）实验研究 （7）必要修改 课件：1.形成问题 2.选定变量 3.变量关系的确定 4.确定模型的数学结构及参数辨识 5.模型真实性检验 6、模型的简化方法 P40
（1）减少变量，减去次要变量 （2）改变变量性质 （3）合并变量（集结） （4）改变函数关系 （5）改变约束条件 7、系统结构模型化------计算题P41-54 结构模型是定性表示系统构成要素以及它们之间存在着的本质上相互依 赖，相互制约和关联情况的模型。 邻接矩阵（A）是表示系统要素间基本二元关系或直接联系情况 的方阵。 邻接矩阵A的元素a ij可以定义如下： a ij= 1 S i R S j R表示S i与S j有关系 0 S i R S j R表示S i与S j没关系 可达矩阵R是指用矩阵形式来描述有向连接图各节点之间，经过 一定长度的通路后可以到达的程度。 ：它主要用于变量不多（2-3个）而欣喜也不充分的条件下分析变量之间 的定性关系。 具体作用有两方面：1.平衡点分析 2.稳定性分析 拟合法：数据建模两种方法------拟合法和经验法。 拟合法：偏重“理论”导向。经验法：以“数据”为导向。最小二乘法：根据偏差的平方和为最小的条件来选择常数的方法，叫做最小二乘法。 机理法：机理法是在研究系统运行机理的基础上提出建设，然后建构模型。 书后题：P81-23 第五章系统评价方法计算题 1、系统评价原理P112 系统评价问题是由评价对象（What）、评价主体（Who）、评价目的 （Why）、评价时期（When）、评价地点（Where）及评价方法 （How）等要素（5W1H）构成的问题复合体。