2021年广播电视大学电大工程数学复习资料本
工程数学复习资料
一、线性代数
1、 矩阵初等行变换：1）两行互换，2）某一行乘以一种非零常数，3）某一行K 倍加到另一行。
2、 阶梯型矩阵：1）全为0行写在最下面，2）首非零元列标随行标增大而增大。如2301
310
14650000124000000-??
???
???
-??
??
3、 行简化阶梯型矩阵：满足下列条件阶梯型矩阵：1）首非零元全为1，2）首非零元所在列别的元素全为0。如：
101025014031000123000000--????????
??
??
4、 求矩阵A 秩：A ???→?初等行变换
阶梯型矩阵。阶梯型矩阵非零行行数既为矩阵A 秩即r(A)
例： 设矩阵115121123
5318191397
8A --????-?
?=??-?
?-??
，求矩阵A 秩． 解：用初等行变换将矩阵化为阶梯形
?????????
???-----→???????
??
???-----6814403472034720215
11879319181353211215111151
2027430000000000--??
??-?
?→??????
由此可知矩阵秩为2．
5、 求矩阵方程AX=B ：（A B ）???→?初等行变换
(I X)或X=1
-A B
求矩阵A 逆矩阵：（A I ）???→?初等行变换
（I 1
-A ）
1. 例：设矩阵A=??????????--322121011,B=????
?
?????500050002,求A 1
-B. 或解矩阵方程AX=B
解：（AB ）=??????????--500322050121002011→??????????--504340052110002011 →??????????---520121000521100541
01→??
??
??????-----52012100515100105158001
∴B A 1-＝????
??????-----52012515105158 例：设矩阵,100110132????
??????--=A ，求： 1-A 解： []??????????--=100100010110001132I A ??
???
?????--→??????????--→10010011001012/32/1001100100110010101032
因此 ????
??????--=-10011012/32/11
A ． 6 、n 元线性方程组解鉴定
1）AX=b ：r(A b)=r(A)时，方程组有解?
??
<====个自由未知量时，有无穷多解，且有时，方程组有唯一解r -n )()()()(n r A r Ab r n A r Ab r
r(Ab)≠r(A)时，方程组无解
AX=0：方程组一定有解??
?
<==个自由未知量时，有非零解，且有
时，方程组有唯一零解r -n )()(n r A r n A r
2）求齐次线性方程组AX=0基本解系：将方程组中自由未知量分别取（k ，0，0）,(0,k,0),(0,0,k)形式所得到解向量 3）求AX=0普通解和所有解：
方程组的全部解
基础解系方程组的一般解行简化阶梯型矩阵初等行变换
??????→?A
求AX=b 普通解和所有解：
方程组的全部解
原方程组的一个特解解系相应齐次方程组的基础方程组的一般解行简化阶梯型矩阵初等行变换???????→?)(Ab
例：设齐次线性方程组0=AX 系数矩阵通过初等行变换，得
??
??
?
?????-→→000023200102 A
求此齐次线性方程组一种基本解系和通解．
解： 由于 ????
?
?????-→??????????-000012/31002/101000023200102
得普通解： ??
??
?-=-=4
3231
23
21x x x x x （其中43,x x 是自由元）
令0,243==x x ，得[]'
-=02311X ；
令1,043==x x ，得[]'
-=10102X ．
因此，{}2
1,X X 是方程组一种基本解系．
方程组通解为：=X 2211X k X k +，其中21,k k 是任意常数．
例：2.线性方程组???????=+---=+-+-=---=---2
6212420483123432143214
3214321x x x x x x x x x x x x x x x x 所有解
解：（ A b ）=?????????
???-----------21621124120148311231→????????????--------30850308503221011231→?
?
???
?
?
?????---0000012102003221085
40
1→?????
?
??????---00000
65100980101615001
?方程组普通解?????--=+=+=43
424
156891516x
x x x x x 将常数项视为零，获得14=x
相应齐次方程组一种基本解系?
?
??????????-15815，取04=x 原方程组一种特解????
??
??????-06916故方程组所有解
X=????????????-06916+C ?????
?
??????-15815
???
??+=+++=+++-=--+1
4796
372224321
43214321λx x x x x x x x x x x x 有解，在有解状况下求方程组所有解． 解：将方程组增广矩阵化为阶梯形
??
??
??????+-----→??????????+---19102220105111021211114796371221211λλ
??
??
??????----→??????????-----→100001051110849
0110000105111021211λλ
由此可知当1≠λ时，方程组无解。当1=λ时，方程组有解。 此时齐次方程组化为 ??
?+=--=4
324
3151149x x x x x x
[][]'-='
-=1054,0111921X X
[]'
-=00108
0X
由此得原方程组所有解为
二、概率某些
1、假设B A ,为两事件，已知4.0)(,6.0)(,5.0)(===A B P B P A P ，求)(B A P +． 解： 2.04.05.0)()()(=?==A B P A P B A P
4.02.06.0)()()(=-=-=B A P B P AB P 7.0)()()()(=-+=+AB P B P A P B A P 2、正态分布X ～),(2
σμN
)(
)(σ
μ
-Φ=
)(
)(σ
μ
σ
μ