矩阵论PPT讲解

矩阵论知识点

矩阵论知识点 第一章：矩阵的相似变换 1. 特征值，特征向量 特殊的：Hermite矩阵的特征值，特征向量 2. 相似对角化 充要条件：（1）（2）（3）（4） 3. Jordan标准形 计算：求相似矩阵P及Jordan标准形 求Jordan标准形的方法： 特征向量法，初等变换法，初等因子法 4. Hamilton-Cayley定理 应用：待定系数法求解矩阵函数值 计算：最小多项式 5. 向量的内积 6. 酉相似下的标准形 特殊的：A酉相似于对角阵当且仅当A为正规阵。

第二章：范数理论 1. 向量的范数 计算：1，2，∞范数 2. 矩阵的范数 计算：1，2，∞，∞m , F 范数，谱半径 3. 谱半径、条件数 第三章：矩阵分析 1. 矩阵序列 2. 矩阵级数 特别的：矩阵幂级数 计算：判别矩阵幂级数敛散性，计算收敛的幂级数的和 3. 矩阵函数 计算：矩阵函数值，At e ，Jordan 矩阵的函数值 4. 矩阵的微分和积分 计算：函数矩阵，数量函数对向量的导数 如，dt dA(t),dt dA(t),?? ???==)()(X R AX X X X X f T T T αα等 5. 应用 计算：求解一阶常系数线性微分方程组

1. 矩阵的三角分解 计算：Crout 分解，Doolittle 分解，Choleskey 分解 2. 矩阵的QR 分解 计算：Householder 矩阵，Givens 矩阵， 矩阵的QR 分解或者把向量化为与1e 同方向 3. 矩阵的满秩分解 计算：满秩分解，奇异值分解 4. 矩阵的奇异值分解 第五章：特征值的估计与表示 1. 特征值界的估计 计算：模的上界，实部、虚部的上界 2. 特征值的包含区域 计算：Gerschgorin 定理隔离矩阵的特征值 3. Hermite 矩阵特征值的表示 计算：矩阵的Rayleigh 商的极值 4. 广义特征值问题 计算：BX AX λ=转化为一般特征值问题

矩阵论第一章4

§4.正交变换与酉变换 一、正交变换与酉变换 二、正交矩阵与酉矩阵的性质 1

2 一、正交变换与酉变换 将R 2中的旋转变换推广到内积空间： 正交变换与酉变换 设V 为数域K 上的n 维内积空间, 是V 上的一个线性变换, 若对 则 当K 为实数域时称 为欧氏空间V 上的正交变换；当为 复数域时称 为酉空间V 上的酉变换. σ,||()||||||V ασαα?∈=有，σσ

3 一、正交变换与酉变换 性质 设 是酉空间V 上的一个线性变换,则下面四 个命题等价: σ将欧氏空间看作酉空间的“特例”，性质仅就酉空间讨论。 1 是酉变换；σ()()2,,,,; V αβσασβαβ?∈<>=<> 3 若 是 V 的一组标准正交基, 则()()() 12,,,n σεσεσε?12,,n εεε?，也是V 的一组标准正交基;(保持标准正交基不变) 4 在V 的任一组标准正交基下的变换矩阵A 满足: 称为酉矩阵（正交矩阵）。 ,H H A A AA E ==σ

4 证明:采用循环推证 1→2→3→4→1 ()2 2 ()()σαβσασβ?=?一、正交变换与酉变换 1→2 设 是正交变换σ,,V αβ?∈()() 2 2 2Re (),()σασασβσβ=?<>+()(),()()σασβσασβ= 2 2 2 2Re ,αβ α αββ ?=?<>+()2 2 Re (),()Re ,σαβαβ σασβαβ?=??<>=<> 由()2 2 Im (),()Im ,i i σαβαβ σασβαβ?=??<>=<> 同理，由(),(),σασβαβ<>=<> ()() 2 2 (),()(),()σασασβσβσασβ=?<>?<>+证即

南航双语矩阵论 matrix theory第一章部分题解

Solution Key (chapter 1) #2. Take S , 2=. But 2S ?. If 2S ∈, then there are rational numbers a and b , such that 2=0a ≠ and 0b ≠.) This will lead to 22 423 2a b ab --= The right hand is a rational number and the left hand side is an irrational number. This is impossible. Thus, S is not closed under multiplication. Hence, S is not a field. #13. (a) Denote the set by S . Take 2()p x x x S =+∈, 2()q x x x S =-+∈. Then ()()2p x q x x S +=?. S is not closed under addition. Hence, S is not a subspace. (Or: The set S does not contain the zero polynomial, hence, is not a subspace.) (b) Denote the set by S . Take 3()1p x x S =+∈, 3()1p x x S =-+∈. Then ()()2p x q x S +=?. S is not closed under addition. Hence, S is not a subspace. (Or: The set S does not contain the zero polynomial, hence, is not a subspace.) (d) Denote the set by S . Take ()1p x x S =+∈, ()1p x x S =-+∈, ()()2p x q x S +=?. S is not closed under addition. Hence, S is not a subspace. #15. (c) Denote the set by S . Take ()p x x S =∈. But ()p x x S -=-?. Thus, the set S is not closed under scalar multiplication. Hence, S is not a subspace. (e) Denote the set by S . Take ()1p x x S =-∈ ()1q x x S =+∈. But ()()2p x q x x S +=?. S is not closed under addition. Hence, S is not a subspace. #17. Since 12{,,,}u v v v i s span ∈ for each i , all combinations of 12,,,u u u r are also in 12{,,,}v v v s span . Thus, 12{,,,}u u u r span is a subspace of 12{,,,}v v v s span . Therefore, 12dim({,,,})u u u r span ≤ 12dim({,,,})v v v s span . #25. (a) Let 12(,,,)b b b n B = . Then 12(,,,)b b b n AB A A A = . If AB O =, then b 0i A = for 1,2,,i n = . ()b i N A ∈ for 1,2,,i n = . All lineawr combinations of 12,,,b b b n are also in ()N A . Thus, ()()R B N A ?. ()R B is a subspace of ()N A .

西北工业大学矩阵论PPT课件

矩阵论讲稿 讲稿编者：张凯院 使用教材：《矩阵论》（第2版） 西北工业大学出版社 程云鹏等编 辅助教材：《矩阵论导教导学导考》 《矩阵论典型题解析及自测试题》 西北工业大学出版社 张凯院等编 课时分配：第一章 17学时第四章8学时第二章5学时第五章8学时 第三章8学时第六章8学时

第一章 线性空间与线性变换 §1.1 线性空间 一、集合与映射 1．集合：能够作为整体看待的一堆东西． 列举法：},,,{321L a a a S = 性质法：}{所具有的性质a a S = 相等(：指下面二式同时成立 )21S S =2121,S S S a S a ?∈?∈?即 1212,S S S b S b ?∈?∈?即 交：}{2121S a S a a S S ∈∈=且I 并：}{2121S a S a a S S ∈∈=或U 和：},{22112121S a S a a a a S S ∈∈+==+ 例1 R}0{2221111∈ ==j i a a a a A S R}0 {221211 2∈ ==j i a a a a A S ，21S S ≠ R},00{22112211 21∈ ==a a a a A S S I R},0{211222211211 21∈= ==j i a a a a a a a A S S U R}{2221 1211 21∈ ==+j i a a a a a A S S 2．数域：关于四则运算封闭的数的集合． 例如：实数域R ，复数域C ，有理数域，等等． Q 3．映射：设集合与，若对任意的1S 2S 1S a ∈，按照法则σ，对应唯一的

矩阵论复习总结

第一章：矩阵的相似变换 1.特征值，特征向量 特殊的：Hermite矩阵的特征值，特征向量 2.相似对角化 充要条件：（1）（2）（3）（4） 3.Jordan标准形 计算：求相似矩阵P及Jordan标准形 求Jordan标准形方法：特征向量法、初等变换法、初等因子法4.Hamilton-Cayley定理 应用：特定系数法求解矩阵函数值 计算：最小多项式 5.向量的内积 6.酉相似下的标准型 特殊的：A酉相似于对角阵当且仅当A为正规阵 第二章：范数理论 1.向量的范数 计算：1,2，∞范数 2.矩阵的范数 计算：1,2，∞，m∞，F范数，谱半径 3.谱半径、条件数

第三章：矩阵分析 1.矩阵序列 2.矩阵级数 特别的：矩阵幂级数 计算：判别矩阵幂级数敛散性，计算收敛的幂级数的和3.矩阵函数 计算：矩阵函数值，eAt，Jordan矩阵的函数值 4.矩阵的微分和积分 计算：函数矩阵的导数，数量函数对向量的导数 αT X=X Tα 如， dt )t( d A，f(X)= X T AX 等 R(X) 5.应用 计算：求一阶常数线性微分方程组 第四章：矩阵分解 1.矩阵的三角分解 计算：Crout分解，Doolittle分解，Choleskey分解2.矩阵的QR分解 计算：Householder矩阵，Givens矩阵 矩阵的QR分解或者向量化为与e1同方向 3.矩阵的满秩分解 计算：满秩分解

4.矩阵的奇异值分解 计算奇异值分解 第五章：特征值的估计与表示1.特征值界的估计 计算：模的上界，实部、虚部的上界 2.特征值的包含区域 计算：Gerschgorin定理隔离矩阵的特征值 3.Hermite矩阵特征值的表示 计算：矩阵的Rayleigh商在某个空间上的极值 4.广义特征值问题 计算：AX=λBX 转化为一般特征值问题 第六章：广义逆矩阵 1.广义逆矩阵的概念 2.{1}逆及其应用 计算：A(1) 判别矩阵方程AXB=D，Ax=b解的情况 3.Moore-Penrose逆A+ 计算：利用A+判别方程组Ax=b解的情况， 并求极小范数解或极小范数最小二乘解 第七章：矩阵的直积 1.矩阵的直积 计算：A B的特征值，行列式，迹，秩