广东四会中学2017九年级奥数培训一元二次方程的整数根-奥数精讲与测试-奥数精讲与测试无答案

知识点、重点、难点

例题精讲

例1：当整数为k 值时，关于x 的一元二次方程2(1)210x k x k +++-=的两个根均为整数。

例2：已知关于x 的方程2(1)10mx m x m +++-=的根是整数，求实数m 的值。

例3：已知关于x 的一元二次方程22

2(1)0x m x m -++=有两个整数根，且1050m <<，求整数m 的值，并求此两个整数根。

例4：求出所有这样的正整数a ，使得关于x 的一元二次方程

22(21)4120

a x a x a +-+-=至少有一个整数根。

例5：证明：不论n 取什么整数，二次方程25

1670x nx -+=没有整数根。

例6：已知整数a b 、是某直角三角形的两条直角边长，且满足二次方程

2(2)40,x k x k -++=求k 的值及此直角三角形的三边长。

习题

A 卷

1. 2

8210x x --= （填：“有”或“没有”）有理根。 2. 关于x 的方程2

120x mx -+=至少有一个整数根，则整数m 可取值的个数是 个。

3. 已知n

为正整数，方程21)60x x --=有一个整数根，则

n = 。

4. 满足1ab a b ++=的整数对(,)a b 共有 对。

5. 关于x 的方程22(2)10x a x a -++-=有两个整数根，则整数a 的值是 。

6. 关于x 的方程2(11)50x a x a +-+-=有两个整数根，则实数a 的值是 。

7. 若关于x 的一元二次方程2

530x x a -++=有两个正整数根，则a 的值是 ，方程的解是 。

8. 设p 为质数，且方程25800x px p --=两个根都是整数，则p 的值为 。

9. 方程22

23298x xy y --=的正整数解的组数是 。

10. 求使关于x 的二次方程2

2

2

170a x ax a ++-=的两根都是整数的所有正数a 的和是 。

二、解答题

11. 已知方程2

340x x m -++=有两个整数根，求证：（1）两个根中，一个是奇数而另一个是偶数；（2）m 是负的偶数。

12. 若关于x 的二次方程2

0ax bx c ++=有实根，且a b c 、、都是奇数，

求证：此方程必有两个无理根。

B 卷

一、填空题

1. 关于x 的方程22(21)430ax a x a +-+-=至少有一个整数根，则整数a 的值为 。

2. 要使方程2

(1)(1)0k x k x k +++-=的根都是整数，k 的值应等于 。

3. 关于x 的方程2222(2)(26)40k k x k k x k +--+++-=有两个不相等的整数根，则整数k 的值为 。

4. 关于x 的方程22(23)3100x m x m m +-+--=至少有一个正整数根，正整数m 的值为 。

5. 若p q 、都是正整数，方程

211

1993022

px qx -+=的两根都为质数，则2p q += 。

6. 设m 为正整数，且440m <<，若方程222(23)41480x m x m m --+-+=的两根均为整数，则m = 。

7. 关于x 的方程

23

10,4

x mx m ---= ①

与 222(6)40,x m x m -+-+= ②

若方程①的两个实数根的平方和等于方程②的一个整数根，则m = 。

8. x y 、是正整数，且满足111

100

x y -=，则y 的最大值是 。

9.

a b =+，其中a 为正整数，b 在0、1之间，则a b

a b

+-的

值是 。

10. 关于x 的一元二次方程2

440mx x -+=与方程2244450x mx m m -+--=的根都是整数，则m 的值为 。

二、解答题

11. 已知a b 、为整数，求证：关于x 的方程2

2860x ax b -+-=无整数根。

12. 已知关于x 的方程2

10x ax b +++=的两个根都是正整数，求证：

22a b +是合数。

13. 一直角三角形的两直角边长均为整数，且满足方程，

2(2)40x m x m -++=，试求m 的值及此直角三角形的三边长。

14. 是否存在这样的二位质数，它的十位数码为p ，个位数码为q ，而p 、

q 使方程20x px q ++=有整数根？若不存在，给出证明；若存在，请求

出所有这样的质数。

C 卷

一、填空题

1. 关于x 的方程22(21)230x m x m m -+++=的两根都是整数，则实数m 可以等于 。

2. 关于x 的方程22(21)320x m x m m k -+-++=对于任意有理数m ，均有有理根，则实数k 的值为 。

3. 关于x 的方程2222(1)10k x k k -+++=至少有一个整数根，则整数k 可以是 。

4. 若k 为整数，且关于x 的二次方程2(1)210k x px k +-++=有两个整数根，则k p 、的值为 。

5. 设a b 、为整数，且方程2

10ax bx ++=的两个不同的正整数根都小于1，则a 的最小值为 。

6. 当有理数x 为 时，代数式2

9232x x +-的值恰为两个连续正偶数的乘积。

7. 已知一元二次方程2

(1)0k x px k --+=有两个正整数根，且k 为整数，则()(5)kp

p

k

k p k p k ++++的值为 。

8. 已知n 为正整数，关于x 的一元二次方程

22281035760x nx x n n -+-+-=的两根为质数，则此方程的根

为 。

9. 若m n 、都是整数，则方程2

10530x mx n +-+= （填“有”或

“没有”）整数根。

10. 如图，正方形EFGH 内接于ABC ?，设BC ab

=（ab 是一个两位数）EF c =，三角形高.AD d =已知a b c d 、、、是从小到大的四个连续正整数，则此ABC ?的面积为 。

二、解答题

11. 是否存在这样的质数p q 、，使 方程2230x p x q ++=有有理根？若不存在，给出证明；若存在，请求出所有这样的p q 、的值。

12. 关于x 的二次方程22(158)2(133)80k k x k x +---+=的两根都是整数，求实数k 的值。

13. 求所有的正整数a b c 、、

，使得关于x 的方程22

220

2

020x a x b x b x c x c x a -+

=++=-+=、、的所有根均为正整

数。

14.已知关于x 的方程22(1)3(31)180m x m x ---+=有两个正整数根（m 是

整

数

）

，

ABC

?的三边

a b

、、满

足

2222

3,80,80.

c m a m a m b b =+-=+

--= 求：（1） m 的值；（2） ABC ?的面积。

九年级奥数：一元二次方程的应用

九年级奥数：一元二次方程的应用 方程是刻画现实问题的有效模型之一，一元二次方程是方程模型的重要代表，许多问题可转化为解一元二次方程，研究一元二次方程根的性质而获解，一元二次方程的应用现阶段主要有以下两个方面： 1．求代数式的值； 2．列二次方程解应用题． 列二次方程解应用题也要经过设、列、解、答等四个步骤，解题的关键是认真审题、分析数量关系，恰当设未知数，将实际问题中内在、本质的联系抽象为数学问题，进而建立方程模型，解决问题． 问题解决 例1 若，则x +y 的值为____________． 例2 自然数n 满足这样的n 的个数是 （ ）． 一 A ．1 8．2 C ．3 D ．4 例3 将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形． （1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2 ，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少 （2）两个正方形的面积之和可能等于12cm 2吗若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由． 例4 某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题： （1）当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润； （2）设销售单价为每千克x 元，月销售利润为y 元，求y 与x 的函数关系式（不必写出x 28,1422=++=++x xy y y xy x 16162472)22()22(2-+--=--n n n n n n

的取值范围）； （3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少 例5 如图，在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10，点E在下底边BC上，点F在腰AB上． （1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积； （2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分若存在求出此时BE的长；若不存在，请说明理由； （3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1：2的两部分若存在，求此时BE的长；若不存在，请说明理由． 数学冲浪 知识技能广场 1．小萍要在一幅长90厘米、宽40厘米的风景画的四周外围，镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图（如图），使风景画的面积是整个挂图面积的54％．设金色纸边的宽为x 厘米，根据题意所列方程为（）． ? + = A .(? x +x % 90 90 54 40 ) 40 )( ? .(? = + x 90 B +x 40 54 % 2 ) 90 2 )( 40 ? = .(? + +x 90 C x 54 90 40 % ) 40 2 )(

《一元二次方程解法》练习题(基础)

九年级数学上册《一元二次方程解法》练习题 一、填空题 1.一元二次方程的一般形式是____ ______.其解为1x =__________,2x =____________. 2.将方程x x 2)1(2=+化成一般形式为___ _______.其二次项是__________， 一次项是__________，常数项是__________. 3.方程)0(02≠=+a c ax 的解的情况是：当0>ac 时_________；当0=ac 时___________；当0

初一奥数一元一次方程测试题及答案

初一奥数一元一次方程测试题及答案 一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的次数为1且两边都为整式的等式。一元一次方程只有一个根。一元一次方程可以解决绝大多数的工程问题、行程问题、分配问题、盈亏问题、积分表问题、电话计费问题、数字问题。一元一次方程最早见于约公元前1600年的古埃及时期。公元820年左右，数学家花拉子米在《对消与还原》一书中提出了“合并同类项”、“移项”的一元一次方程思想。16世纪，数学家韦达创立符号代数之后，提出了方程的移项与同除命题。1859年，数学家李善兰正式将这类等式译为一元一次方程。下面是无忧考网为大家带来的初一奥数一元一次方程测试题及答案，欢迎大家阅读。 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 1．已知x＝y，则下列各式中：x﹣3＝y﹣3；3x＝3y；﹣2x＝﹣2y；正确的有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 2．下列方程中，解为x＝3的方程是（） A．x﹣2＝﹣3 B．x﹣4＝﹣2 C．x﹣8＝﹣4 D．x﹣2＝﹣1 3．将方程0.7+ 变形正确的是（） A．7+ B．0.7+ C．0.7+ D．0.7+1.5x﹣1＝3﹣x 4．下列变形中：①由方程＝2去分母，得x-12＝10；

②由方程x＝两边同除以，得x＝1； ③由方程6x-4＝x+4移项，得7x＝0； ④由方程2- ＝两边同乘以6，得12-x-5＝3（x+3）． 错误变形的个数是（）． A．4个B.3个C.2个D.1个 5．解方程（3x+2）+2[（x﹣1）﹣（2x+1）]＝6，得x＝（）A．2 B．4 C．6 D．8 6．A种饮料比B种饮料单价少1元，小峰买了2瓶A种饮料和3瓶B种饮料，一共花了13元，如果设B种饮料单价为x元/瓶，那么下面所列方程正确的是（） A．2（x﹣1）+3x＝13 B．2（x+1）+3x＝13 C．2x+3（x+1）＝13 D．2x+3（x﹣1）＝13 7．如图所示，是某月份的日历表，任意圈出一横行或一竖列相邻的三个数，这三个数的和不可能是（） A．24 B．43 C．57 D．69 8．汽车以72千米/时的速度在公路上行驶，开向寂静的山谷，驾驶员揿一下喇叭，4秒后听到回响，这时汽车离山谷多远？已知空气中声音的传播速度约为340米/秒．设听到回响时，汽车离山谷x 米，根据题意，列出方程为（） A．2x+4×20＝4×340 B．2x﹣4×72＝4×340 C．2x+4×72＝4×340 D．2x﹣4×20＝4×340 二、细心填一填（每小题4分，共20分）

一元二次方程的解法教学设计 人教版〔优秀篇〕

《一元二次方程的解法》教案 清江中学钱旭东 【教学目标】 1.知识与技能：能用直接开平方等方法解简单的一元二次方程. 2.过程与方法：经历一元二次方程解法的探究和发现过程，体会转化的思想方法. 3.情感态度与价值观：通过对一元二次方程解法由易到难、由简单到复杂的探究，初步养成对知识的探索精神和严谨的治学态度. 【重点难点】 一元二次方程解法的理解和运用. 【教学模式】 结合本节课的教学内容和学生的认知情况，采用“问题解决”的教学模式. 【辅助手段】 教具准备：多媒体课件. 【教学过程】 一、提出问题 有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进 不去，横着比门框多3尺，竖着比门框多1尺，另一 个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿杆，这个醉汉一试， 不多不少正好进去了。你能知道竹竿有多长吗？ （学生思考） 师：数学来源于生活，生活中也处处有数学。在上面的问题中，如果我们用数学的眼光来看，门可以看成我们熟悉的什么图形？ 生：矩形. 师：那么，醉汉三次摆放的竹竿中存在什么图形？ 生：直角三角形. 师：我们可以把生活问题数学化，将上述醉汉进门的问题转化为我们熟悉的数学问题.

师：这是我们熟悉的问题，如果我们设竹竿长为x 尺，你能得到相应的数量关系吗？请尝试一下. 学生独立完成. 师：我们请一位同学说一下他的成果. 生1 ：我得到的是(x -1)2+(x -3)2=x 2 . 师：这个结果对不对，这是一元二次方程吗？ 生：对！是一元二次方程. 师：能整理成一般形式吗？试一试. 学生很快完成，得到结果x 2-8x +10=0. 设计说明：以一个古代笑话“醉汉进门”的问题作为本节课的问题情境，生活气息浓厚，趣味性强，学生容易产生兴趣，能够很快进入状态，为后面的学习做好心理上的准备.该情境问题，简单易懂，起点低，且和本课所学内容密切相关，不同学生都可以进行探索，有所收获.师生一起对问题进行探究，将生活问题数学化，进而列出方程，为后面的深入探究打下很好的基础. 二、探究新知 探索一：从简单开始 师：要求出醉汉的竹竿长度，我们必须要求出x 2-8x +10=0的解，这是解决前面问题时出现的新问题. 师：如果解方程x 2-8x +10=0感觉很难的话，我们可以退一步，先从最简单的情况入手.谁能写出一个最简单的一元二次方程？ 生2：x 2=0. 多1尺多3尺1尺多3尺

(完整版)一元二次方程解法及其经典练习题

一元二次方程解法及其经典练习题 方法一：直接开平方法（依据平方根的定义） 平方根的定义：如果一个数 的平方等于a （ ），那么这个数 叫做a 的平方根 即：如果 a x =2 那么 a x ±= 注意;x 可以是多项式 一、 用直接开平方法解下列一元二次方程。 1.0142=-x 2、2)3(2=-x 3、()162812=-x 4．.25)1(412=+x 5．(2x ＋1)2=(x －1)2． 6．(5－2x )2=9(x ＋3)2． 7．.063)4(22 =--x 方法二：配方法解一元二次方程 1. 定义：把一个一元二次方程的左边配成一个 ，右边为一个 ，然后利用开平方数求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。 2. 配方法解一元二次方程的步骤：（1） （2） （3） 4) (5) 二、用配方法解下列一元二次方程。 1、.0662=--y y 2、x x 4232=- 39642=-x x 、 4、0542=--x x 5、01322=-+x x 6、07232=-+x x

方法三：公式法 1.定义：利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法 2.公式的推导：用配方法解方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0） 解：二次项系数化为1，得 ， 移项 ，得 ， 配方, 得 ， 方程左边写成平方式 ， ∵a ≠0,∴4a 2 0,有以下三种情况： （1）当b 2-4ac>0时，=1x ， =2x （2）当b 2-4ac=0时，==21x x 。 （3）b 2-4ac<0时，方程根的情况为 。 3.由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因 （1）式子ac b 42-叫做方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）根的 ，通常用字母 “△” 表示。当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有 实数根； 当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有 实数根； 当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0) 实数根。 （2）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c = 0，当ac b 42-≥0时，?将a 、b 、c 代入式子=x 就得到方程的根．这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． 4.公式法解一元二次方程的步骤：（1） （2） （3） （4） （5） 二、用公式解法解下列方程。 1、0822=--x x 2、22 314y y -= 3、y y 32132=+

901.一元二次方程的解法-奥数精讲与测试

分数的运算-1 姓名 分数 知识点、重点、难点 例题精讲 例1：解方程2 (21)32120.x x ---+= 2 例3：解关于x 的方程2 ()2()0.a b c x ax a b c -++++-= 例4：已知首项系数不相等的两个关于x 的二次方程 222(1)(2)(2)0a x a x a a --+++= 222(1)(2)(2)0b x b x b b --+++= 及（,a b 是正整数）有一个公共根，求2b b a a b a b --++的值。

例5：若二次方程2220x px q ++=有实根，其中p 、q 为奇数。 证明：此方程的根是无理数。 例6：解关于x 的方程：222 2(1)2()0.x t x tx t t +--+-= 习题 A 卷 一、填空题 1. 设方程22(1)(1)30m x m x --++=，当m 时，是一元一次方程；当m 时，是一元二次方程。 2. 方程33(1)(1)2x x +--=，用 方法较简捷，其根是 。 3. 用公式法解2 3412x x =-，其根是 。 4. 将方程2 2730x x ++=化成()()0a x m x n ++=的形式，可 得 。 5. 若1x =是方程2 0ax bx c ++=的一个根，则a b c ++= 。 6. 若方程22 (1)230m x x m m -+++-=有一个根为0，则m = 。 7. 关于x 的方程222 440c x bx b -+-=，则x = 。 8. 若a 是方程2 0x bx a ++=的根，则a b += 。 9. 已知x =，则242 1x x x ++的值是 。 10.如果对于任意两个实数a 、b ，定义*2a b a b =+，解方程： 2*(2)2*10x x +=，可得x = 。 二、解答题 11.用公式法解2(1)2(2)0.m x m x m --++= 12.若方程210x bx ++=与方程2 0x x b --=至少有一个相同的实数根，求实数b 的值。

一元二次方程奥数题正式培训大全

一元二次方程奥数题2 1．已知αβ、是关于x 的一元二次方程22(23)0x m x m +++=的两个不相等的实数根，且满足 1 11α β+=-，则m 的值是 2．设a 、b 是方程x 2+x-2011=0的两个实数根，则a 2 +2a+b 的值为 3．若2=-n m ，则124222-+-n mn m 的值为 ． 4．方程112(1)(2)(2)(3)3 x x x x +=++++的解是 ． 5．已知α、β是方程2210x x +-=的两根，则3 510αβ++的值为 6．已知关于ｘ的方程（ａ－1）ｘ2 ＋2ｘ－ａ－1＝0的根都是整数，那么符合条件的整数ａ有____个． 7．试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程rx 2+(r+2)x+r-1=0有且只有整数根。

8．已知：a ，b ，c 三数满足方程组???=+-=+48 2882c c ab b a ，试求方程bx 2+cx-a=0的根。 9．方程x 2+ax+1=0和x 2－x －a=0有一个公共根，则a 的值是 10、已知0200052=--x x ，则()()211223-+---x x x 的值是 . 11.已知0120042=+-a a ，则_________120044007222=++ -a a a . 12.若1≠ab ，且07200552=++a a ，05200572=++b b ，则 _________=b a 。 13、已知方程043222=-+-a ax x 没有实数根，则代数式_____21682=-++-a a a .

14.已知8=-b a ，0162=++c ab ，则________=++c b a . 15.已知012=-+m m ，则________2006223=-+m m . 16.已知α是方程0412 =-+x x 的一个根，则ααα--331的值为 . 17、已知是α、β方程012=-+x x 的两个实根，则_______34=-βα 18、若关于x 的方程 x ax x x x x a 1122++-=-只有一解，求a 的值。

一元二次方程优质课教学设计

《一元二次方程》 2.1一元二次方程教学设计 一、内容和内容解析 （1）内容：一元二次方程的概念, 一元二次方程的一般形式 （2）内容解析：一元二次方程是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要地位。我们从知识的发展来看，学生通过一元二次方程的学习，可以对已学过实数、一元一次方程、整式、二次根式等知识加以巩固，同时一元二次方程又是今后学生学习可化为一元二次方程的方程、一元二次不等式、二次函数以及高次方程等知识的基础。初中数学中，一些常用的解题方法、计算技巧以及主要的数学思想，在本章教材中都有比较多的体现、应用和提升。我们从知识的横向联系上来看，学习一元二次方程对其它学科有重要意义。 二、目标和目标解析 （1）目标：理解一元二次方程的概念；了解一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。（2）目标解析： 1．通过实际问题的解决，让学生体会到未知数相乘（或因面积问题）导致方程的次数升高，从而说明一元二次方程存在的实际背景，感受一元二次方程是重要的数学模型，体会到学习的必要性． 2．将不同形式的一元二次方程统一为一般形式，学生从数学符号的角度，体会概括出数学模型的简洁和必要，针对“二次”规定a≠0的条件，完善一元二次方程的概念。学生能够将一元二次方程整理成一般形式，准确的说出方程的各项系数，并能确定简单的字母系数方程为一元二次方程的条件． 三、学情分析 教学对象是九年级学生，他们有强烈的好奇心和求知欲，当他们在解决实际问题时，发现列出的方程不再是以前所学过的一元一次方程或是可化为一元一次方程的其他方程时，他们自然会想需要进一步研究和探索有关方程的问题。而从学生的认知结构上来看，前面我们已经系统的研究了一元一次方程及相关概念、整式、分式、二次根式。这就为我们继续研究一元二次方程奠定了基础。 四、教学问题诊断分析

一元二次方程及解法经典习题及解析

一元二次方程及解法经典习题及解析 知识技能： 一、填空题： 1．下列方程中是一元二次方程的序号是 ． 42=x ① 522=+y x ② ③01332=-+x x 052=x ④ 5232=+x x ⑤ 412=+x x ⑥ x x x x x x 2)5(0143223-=+=+-。。。。⑧⑦ 2．已知，关于2的方程12)5(2=-+ax x a 是一元二次方程，则a 3．当=k 时，方程05)3()4(22=+-+-x k x k 不是关于X 的一元二次方程． 4．解一元二次方程的一般方法有 ， ， ， · 5．一元二次方程)0(02=/=++a c bx ax 的求根公式为： ． 6．(2004·沈阳市)方程0322=--x x 的根是 ． 7．不解方程，判断一元二次方程022632 =+--x x x 的根的情况是 ． 8．(2004·锦州市)若关于X 的方程052=++k x x 有实数根，则k 的取值范围是 ． 9．已知：当m 时，方程0)2()12(22=-+++m x m x 有实数根． 10．关于x 的方程0)4(2)1(222=++-+k kx x k 的根的情况是 ． 二、选择题： 11．(2004·北京市海淀区)若a 的值使得1)2(42 2-+=++x a x x 成立，则a 的值为( ) A ．5 8．4 C ．3 D ．2 12．把方程x x 332-=-化为02=++c bx ax 后，a 、b 、c 的值分别为( ) 3.3.0.--A 3.3.1.--B 3.3.1.-C 3.3.1.--D 13．方程02=+x x 的解是( ) x A .=土1 0.=x B 1,0.21-==x x C 1.=x D

奥数新讲义-一元二次方程-第2讲精英班学生版

1. 一元二次方程的解法 因式分解法：适用于方程一边是零，另一边是一个易于分解的多项式 2. 一元二次方程根的判别式24b ac ?=- 0?>?方程有两个不等实根； 0?=?方程有两个相等实根； 0?

⑴(1)(3)12x x -+- ⑵22(31)4(23)x x --+ ⑶2(31)3x x +++ ⑷(32)6(32)x x x +-+ 2. 用适当的方法解下列一元二次方程 ⑴(23)(23)16x x +-= ⑵23510x x -+= 3. 方程(16)(8)x x -+=-的根是（ ） A ．12168x x =-=， B ．12168x x ==-， C ．12168x x ==， D ．12168x x =-=-， 4. 若代数式(6)x x +的值为零，则x 的值是 现有12名旅客要赶往40km 远的火车站，现在离开车的时间只有3h ，如果他们单独以4/km h 的速度步行，那么肯定不能赶到火车站．如果再借助一辆连同司机最多能坐5人且时速为60km 的小汽车，那么这12人能够赶上火车吗？ 板块一 一元二次方程的解法 （四）因式分解法 【例 1】 用适当的方法解下列一元二次方程 ⑴22(4)(21)0x x +--= ⑵21640x x --=

方程奥数题

方程提高训练 一、计算 解方程 1. 4(x-1)+2-2=2(4-x)-6 2. (0.1x-0.2)/0.02+(x-1)/0.5=3 3. (x-3)/0.5+(x+4)/0.2=1.6 4. (x-3)/2-(4x+1)/5=1 求不定方程5x+3y=68的所有整数解。 二、应用题 例1：笼中共有鸡兔100只，鸡兔足数共有320条，问鸡兔各有多少只? ①有10分和20分的邮票共18张，总面值为2.80元，问10分和20分邮票各有多少张? ②小兔妈妈采蘑菇，晴天每天可采16只，雨天每天只能采11只，它一共采了195只，平均每天采13只，这几天中有几天下雨?几天晴天? 例2：已知鸡比兔多13只，鸡的脚比兔脚多16条，问鸡兔各有多少只? ①五年一班有52人做手工，男生每人做3件，女生每人做2件，已知男生比女生多做36件，求五年一班男女生各有多少人? ②学校组织暑假旅游，一共用了10辆车，大客车每辆坐100人，小客车每辆坐60人，大客车比小客车一共多坐了520人，问大小客车各几辆?

例3：一条船从码头顺流而下，再逆流而上，打算在8小时内回到原出发的码头，已知船的静水速度是每小时10千米，水流速度是每小时2千米，问此船最多走出多少千米就必须返回才能在8小时内回到原码头? ①一架飞机飞行于两城之间顺风需要6小时30分，逆风时需要7小时，已知风速是每小时26千米，求两城之间的距离是多少千米? ②甲、乙两人分别从AB两地同时出发，如果两人同向而行，经过13分钟，甲赶上乙。如两人相向而行，经过3分钟两人相遇。已知乙每分钟行25千米，问AB两地相距多少米? 例4：一群公猴，母猴和小猴共38只，每分钟共摘桃266个。已知一只公猴每分钟摘桃10个，一只母猴每分钟摘桃8个，一只小猴每分钟摘桃5个，已知公猴比母猴少4只，那么这群猴中公猴、母猴、小猴各有多少只? ①有大、中、小卡车共42辆，每次共运货315箱，已知每辆大卡车每次能运10箱，中卡车每辆每次运8箱，小卡车每辆每次可运5箱，又知中卡车的辆数和小卡车同样多，求大卡车有多少辆? ②蜘蛛有8只脚，晴蜓有6只脚和2双翅膀，蝉有6只脚和一对翅膀，现在有这三种小虫共16只，共有110条腿，14对翅膀，问每只小虫各有多少只? ③学校组织新年联欢会，用于奖品的铅笔、圆珠笔、钢笔共232支，价值100元，其中铅笔的数量是圆珠笔的4倍，已知每支铅笔0.2元，每支圆珠笔0.9元，每支钢笔2.1元。三种笔各值多少元?

21【基础】用函数观点看一元二次方程(基础课程讲义例题练习含答案)

用函数观点看一元二次方程—知识讲解（基础） 【学习目标】 1.会用图象法求一元二次方程的近似解；掌握二次函数与一元二次方程的关系； 2.会求抛物线与x 轴交点的坐标，掌握二次函数与不等式之间的联系； 3.经历探索验证二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠与一元二次方程的关系的过程，学会用函数的观点去看方程和用数形结合的思想去解决问题． 【要点梳理】 要点一、二次函数与一元二次方程的关系 1.二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 求二次函数2 y ax bx c =++(a ≠0)的图象与x 轴的交点坐标，就是令y ＝0，求2 0ax bx c ++=中 x 的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x 轴判别式 2 4b ac =-△ 二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠ 一元二次方程 20(0)ax bx c a ++=≠ 图象 与x 轴的交点坐标 根的情况 △＞0 a > 抛物线2 (0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于1(,0)x ，2(,0)x 12()x x <两 点，且21,242b b ac x a -±-=， 此时称抛物线与x 轴相交 一元二次方程 20(0) ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根 21,242b b ac x a -±-= a < △＝0 a > 抛物线2 (0)y ax bx c a =++≠与x 轴交切于,02b a ?? - ???这一点，此时称抛物线与x 轴相切 一元二次方程 20(0) ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a ==- a < △＜0 a > 抛物线2 (0)y ax bx c a =++≠与x 轴无交点，此时称抛物线与x 轴相离 一元二次方程 20(0) ax bx c a ++=≠在实数范围内无解（或称

第二章一元二次方程培优奥赛讲义

九上第二章一元二次方程培优讲义一．填空题（共15小题） 1．已知a是方程x2﹣2013x+1=0一个根，求a2﹣2012a+的值为．2．附加题：已知m，n都是方程x2+2007x﹣2009=0的根，则（m2+2007m﹣2008）（n2+2007n﹣2010）的值为． 3．若m为实数，方程x2﹣3x+m=0的一个根的相反数是方程x2+3x﹣3=0的一个根，则x2﹣3x+m=0的根是． 4．已知x=﹣1是方程ax2+bx+c=0根，那么的值是． 5．已知a，b是等腰三角形ABC的两边长，且a、b满足a2+b2+29=10a+4b，则这个等腰三角形的周长为． 6．若实数a、b、c满足a2+b2+c2+4≤ab+3b+2c，则200a+9b+c=． 7．已知关于x的方程x2+（a﹣6）x+a=0的两根都是整数，则a的值等于．8．若方程x2﹣4|x|+5=m有4个互不相等的实数根，则m应满足．9．已知：a2+b2=1，a+b=，且b＜0，那么a：b=． 10．方程（x2+3x﹣4）2+（2x2﹣7x+6）2=（3x2﹣4x+2）2的解是．11．对于一切正整数n，关于x的一元二次方程x2﹣（n+3）x﹣3n2=0的两个根记为a n、b n，则++…+=．12．已知关于x的方程x2+2kx+k2+k+3=0的两根分别是x1、x2，则（x1﹣1）2+（x2﹣1）2的最小值是． 13．α，β为关于x的一元二次方程x2﹣x+2=0的两个根，则代数式2α2+β2+β﹣3的值为． 14．中新网4月26日电，据法新社26日最新消息，墨西哥卫生部长称，可能已有81人死于猪流感（又称甲型H1N1流感）．若有一人患某种流感，经过两轮传染后共有81人患流感，则每轮传染中平均一人传染了人，若不加以控制，以这样的速度传播下去，经三轮传播，将有人被感染． 15．一个两位数，个位数字比十位数字的平方大3，而这个两位数字等于其数字之和的3倍，如果这个两位数的十位数字为x，则方程可列为．

初三奥数之一元二次方程的整数根

初三奥数之一元二次方程的整数根

专题05 一元二次方程的整数根 阅读与思考 解一元二次方程问题时，我们不但需熟练地解方程，准确判断根的个数、符号特征、存在范围，而且要能深入地探讨根的其他性质，这便是大量出现于各级数学竞赛中的一元二次方程的整数根问题。这类问题因涵盖了整数的性质、一元二次方程的相关理论，融合了丰富的数学思想方法而备受命题者的青睐.. 解整系数（即系数为整数）一元二次方程的整数根问题的基本方法有： 1．直接求解 若根可用有理式表示，则求出根，结合整除性求解. 2．利用判别式 在二次方程有根的前提下，通过判别式确定字母或根的范围，运用枚举讨论、不等分析求解 3．运用根与系数的关系 由根与系数的关系得到待定字母表示的两根和、积式，从中消去待定字母，再通过因式分解和整数性质求解. 4．巧选主元 若运用相关方法直接求解困难，可选取字母为主元，结合整除知识求解. 例题与求解 【例1】 已知关于x 的方程032)1280()8)(4(2 =+----x k x k k 的解都是整数，求整数k 的值. （绍兴市竞赛试题） 解题思路：用因式分解法可得到根的表达式，因方程类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定k 的值才能全面而准确. 【例2】 q p ,为质数且是方程0132 =+-m x x 的根，那么 q p p q +的值是（ ） A ．22121 B ．22123 C ．22125 D ．22 127 （黄冈市竞赛试题） 解题思路：设法求出q p ,的值，由题设条件自然想到根与系数的关系 【例3】 关于y x ,的方程2922 2 =++y xy x 的整数解),(y x 的组数为（ ）

一元二次方程全教案

21.1 一元二次方程 一、教学内容：认识一元二次方程 二、教材分析： 教科书先以一个设计人体雕像的实际问题作为开篇，并在第一节又给出两个实际问题，通过建立方程，并引导学生思这些方程的共同特点，从而归纳得出一元二次方程的概念、一般形式，给出一元二次方程根的概念．在这个过程，通过归纳具体方程的共同特点，定义一元二次方程的概念，体现了研究代数学问题的一般方法．一般形式也是对具体方程从“元”（未知数的个数）、“次数”和“项数”等角度进行归纳的结果； 三、学情分析： 初中阶段是智力发展的关键年龄，学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力、记忆能力和想象能力也随着迅速发展。从年龄特点来看，初中学生好动、好奇、好表现，注意力易分散，爱发表见解，希望得到老师的表扬，所以在教学中应抓住学生这一特点，一方面要运用直观生动的生活实例，激发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性。促进学生个性发展。从认知基础上看，学生已经学习了一元一次方程、平方根、因式分解等知识，为本章的学习奠定了基础。学生在利用方程解决实际问题的过程中，会发现仅用这些知识是不能够解决的，因此迫切的需要一元二次方程这个解决问题的工具。 四、教学目标 （一）知识与技能 1.理解一元二次方程概念是以未知数的个数和次数为标准的. 2.掌握一元二次方程的一般形式以及三种特殊形式，能将一个一元二次方程化为一般形式 3.理解二次根式的根的概念，会判断一个数是否是一个一元二次方程的根 （二）过程与方法 通过根据实际问题列方程，向学生渗透知识来源于生活.

（三）情感态度价值观 通过观察，思考，交流，获得一元二次方程的概念及其一般形式和其它三种特殊形式. 五、教学重难点 教学重点：一元二次方程的一般形式和一元二次方程的根的概念 教学难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型 六、教学方法和手段： 讲授法、练习法 七、学法指导 讲授指导 八、教学过程 一、复习引入 小学学习过简易方程，上初中后学习了一元一次方程，二元一次 方程组，可化为一元一次方程的分式方程，运用方程方法可以解决众多代数问题和几何求值问题，是非常常见的一种数学方法。从这节课开始学习一元二次方程知识.先来学习一元二次方程的有关概念. 二、探究新知 （一）探究课本问题2 分析： 1.参赛的每两个队之间都要比赛一场是什么意思？ 2.全部比赛场数是多少？若设应邀请x 个队参赛，如何用含x 的 代数式表示全部比赛场数？ 整理所列方程后观察： 1.方程中未知数的个数和次数各是多少？ 2.下列方程中和上题的方程有共同特点的方程有哪些？ 4x+3=0；0422=-+x x ；042=-+y x ；0350752=+-x x ；0621=-+x x

一元二次方程及一元二次方程的解法测试题(绝对经典)

. 第二章一元二次方程单元测验 一、选择题：(每小题3分,共36分) 1. 下列方程中是一元二次方程的是 （ ） （A ）22)1(2-=-x x （B ）01232=+-x x （C ）042=-x x （D ）02352 =-x x 2. 方程1)14(2 =-x 的根为（ ） （A ）4121==x x （B ）2121==x x （C ）,01=x 212=x （D ）,2 1 1-=x 02=x 3. 解方程 7(8x + 3)＝6(8x + 3)2 的最佳方法应选择( ） （A ）因式分解法 （B ）直接开平方法 （C ）配方法 （D ）公式法 4. 下列方程中, 有两个不相等的实数根的方程是（ ） （A ）x 2 –3x + 4＝0 （B ）x 2–x –3＝0 （C ）x 2–12x + 36＝0 （D ）x 2–2x + 3＝0 5、已知ｍ是方程012 =--x x 的一个根，则代数ｍ2 －ｍ的值等于 （ ） A 、１ B 、－１ C 、0 D 、2 6、若方程0152 =--x x 的两根为的值为则 、212111,x x x x +（ ） A 、5 B 、51 C 、5- D 、5 1- 7. 以知三角形的两边长分别是2和9, 第三边的长是一元二次方程x 2 –14x + 48＝0的解, 则这个三角形 的周长是（ ）（A ）11 （B ）17 （C ）17或19 （D ）19 8. 下列说法中正确的是 （ ）（A ）方程2 80x -=有两个相等的实数根; （B ）方程252x x =-没有实数根;（C ）如果一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，那么0?=; （D ）如果a c 、异号，那么方程2 0ax bx c ++=有两个不相等的实数根. 9. 若一元二次方程(1–2k)x 2 + 12x –10＝0有实数根, 则K 的最大整数值为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）–1 （D ）0 10.把方程2x 2 -3x+1=0化为(x+a)2 =b 的形式,正确的是( ) A. 23162x ??- = ???; B.2312416x ??-= ???; C. 2 31416x ? ?-= ? ?? ; D.以上都不对 11、 若方程02 =++q px x 的两个实根中只有一个根为0，那么 （ ） （A ）0==q p ; （B ）0,0≠=q p ; （C ）0,0=≠q p ; （D ）0,0≠≠q p . 12、下面是李刚同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是 （ ） A ． 若x 2=4，则x ＝2 B ．方程x (2x －1)＝2x －1的解为x ＝1 C ．若x 2 +2x +k =0有一根为2，则8＝－k D ．若分式1 2 32－＋－x x x 值为零，则x ＝1，2 二、填空题：(每小题3分,共30分) 1、方程()()-267-x 5x =+，化为一般形式为 ，其中二次项系数和一次项系数的和为 。 2. 当x =________时，分式1 4 32+--x x x 的值为零。 3. 若关于x 的方程02)1(2 =+--m mx x m 有实数根，则m 的取值范围是______ 4.若方程042 2 =++m x x ，则m= . 5.已知0822 =--x x , 那么=--7632 x x _______________. 6. 若关于x 的一元二次方程02 =++c bx ax （a ≠0）的两根分别为1，—2，则b a -的值为______. 7. 若2 2 2 (3)25a b +-=，则22 a b +=____ 8.若一元二次方程02 =++c bx ax 中，024=+-c b a ,则此方程必有一根为________. 9、若两个连续整数的积是20，则他们的和是________。 10.某企业前年的销售额为500万元，今年上升到720万元，如果这两年平均每年增长率相同，则去年销售额为 11. 如果x x 12、是方程x x 2 720-+=的两个根，那么x x 12+=____________。 13. 已知一元二次方程x x 2 350--=的两根分别为x x 12、，那么x x 12 22 +的值是____。 14. 若方程x x k 2 20-+=的两根的倒数和是 8 3 ，则k =____________。 15.已知关于x 的方程（2k+1）x 2 －kx+3=0，当k______时，?方程为一元二次方程，? 当k______时，方程为一元一次方程，其根为______．

六年级奥数题列方程解应用题精编WORD版

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列方程解应用题训练 1.一个分数约分后将是 54,如果将这个分数的分子减少124,分母减少11,所得的新分数约分后将是9 4.那么原分数是 . 2.八个自然数排成一行,从第三个数开始,每个数都等于它前面两个数的和.已知第一个数是3,第八个数是180,那么第二个数是 . 3,□,□,□,□,□,□180 3.一个长方形的长与宽之比是14:5,如果长减少13厘米,宽增加13厘米,则面积增加182平方厘米.原长方形的面积是 平方厘米. 4.某商品按每个5元利润卖出11个的价钱,与按每个11元的利润卖出10个价钱一样多.这个商品的成本是 元. 5.粮店中的大米占粮食总量的 73,卖出600千克大米后,大米占粮食总量的31.这个粮店原来共有粮食 千克. 6.从家里骑摩托车到火车站赶乘火车.如果每小时行30千米,那么早到15分钟;如果每小时行20千米,则迟到5分钟.如果打算提前5分钟到,摩托车的速度应是 . 7.两个杯中分别装有浓度40%与10%的食盐水,倒在一起后混合食盐水浓度为30%.若再加入300克20%的食盐水,则浓度变为25%.那么原有40%的食盐水 克. 8.某缝纫师做成一件衬衣、一条裤子、一件上衣所用的时间之比为1:2:3.他用十个工时能做成2件衬衣、3条裤子和4件上衣.那么他要做成14件衬衣、10条裤子和2件上衣,共需 工时.

9.一个运输队包运1998套玻璃具.运输合同规定:每套运费以1.6元计算,每损坏一套,不仅不得运费,还要从总费中扣除赔偿费18元.结果这个运输队实际得运费3059.6元,那么,在运输过程中共损坏 套茶具. 10.摄制组从A 市到B 市有一天的路程,计划上午比下午多走100千米到C 市吃午饭.由于道路堵车,中午才赶到一个小镇,只行驶了原计划的三分之一.过了小镇,汽车赶了400千米,傍晚才停下来休息.司机说,再走从C 市到这里的二分之一,就到达目的地了.那么A ,B 两市相距 千米. 11.A 、B 两地相距30千米.甲骑自行车从A 到B ,开始速度为每小时20千米,一段时间后减速为每小时15千米.甲出发1小时后,乙驾驶摩托车以每小时48千米的速度也由A 到B ,中途因加油耽误了10.5分钟.结果甲乙两人同时到达B 地.甲出发后多少分钟开始减速的? 12.一批树苗,按下列原则分给各班栽种;第一班取走100棵又取走剩下树苗的 101,第二班取走200棵又取走剩下树苗的101.第三班取走300棵又取走剩下树苗的10 1,照此类推,第i 班取走树苗100?i 棵又取走剩下树苗的10 1.直到取完为止.最后各班所得树苗都相等.试问这批树苗有多少棵?有几个班?每个班取走树苗多少棵? 13.一辆汽车在上坡路上行驶的速度是每小时40千米,在下坡路上行驶的速度是每小时50千米,在平路上行驶的速度是每小时45千米.某日这辆汽车从甲地开往乙地,先是用了31的时间走上坡路,然后用了31的时间走下坡路,最后用了3 1的时间走平路.已知汽车从乙地按原路返回甲地时,比从甲地开往乙地所用的时间多15分钟,求甲、乙两地的距离. 14.兄弟两人骑马进城,全程51千米.马每小时行12千米,但只能由一个人骑.哥哥每小时步行5千米,弟弟每小时步行4千米.两人轮换骑马和步行,骑马者走过一段距离就下

一元二次方程解法及其经典练习题

一元二次方程解法及其经典练习题 方法一：直接开平方法（依据平方根的定义） 如果 a x =2那么 a x ±= 注意;x 可以是多项式 一、用直接开平方法解下列一元二次方程。 1.0142=-x 2、2)3(2=-x 3、()162812=-x 4．.25)1(412=+x 5．(2x ＋1)2=(x －1)2． 6．(5－2x )2=9(x ＋3)2． 7．.063)4(22=--x ] 方法二：配方法解一元二次方程 1. 定义：把一个一元二次方程的左边配成一个 ，右边为一个 ，然后利用开平方数求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。 配方法解一元二次方程的步骤： 二、用配方法解下列一元二次方程。 1、.0662=--y y 2、x x 4232=- 39642=-x x 、 * 4、0542=--x x 5、01322=-+x x 6、07232=-+x x

方法三：公式法 1.定义：利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法 2.公式的推导：用配方法解方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0） （1）当b 2-4ac>0时，=1x ，=2x 。 （2）当b 2-4ac=0时，==21x x 。 （3）当b 2-4ac<0时，方程根的情况为 。 $ 二、用公式解法解下列方程。 1、0822=--x x 2、22314y y -= 3、y y 32132=+ 4、01522=+-x x 5、1842-=--x x 6、02322=--x x 7．x 2＋4x －3=0 8． .03232=--x x 方法四：因式分解法 因式分解的方法： （1）提公因式法： （2）… （3）公式法：平方差： 完全平方： （4）十字相乘法： 一、 用因式分解法解下列一元二次方程。 1、x x 22= 2、0)32()1(22=--+x x 3、0862=+-x x 4、22)2(25)3(4-=+x x 5、0)21()21(2=--+x x 6、0)23()32(2=-+-x x