教育统计学笔记公式
教育统计学是运用数理统计的原
理和方法研究教育问题的一门应用科学。它的主要任务是研究如何搜集、整理、分析由教育调查和教育实验等途径所获得的数字资料，并以此为依据，进行科学推断，从而揭示蕴含在教育现象中的客观规律。
统计学和教育统计学的内容：从具体应用角度来分，可以分成：描述统计、推断和实验设计三部分。
描述统计：对已获得的数据进行整理、概括，显现其分布特征的统计方法。通过教育调查和教育实验获得了大量
的数据，用归组、编表、绘图等统计方法对这进行归纳、整理，以直观形象的形式反映其分布特征；通过计算各种特征量，来反映它们分布上的数字特征。
推断统计：根据样本所提供的信息，运用概率的理论进行分析、论证，在一定可靠程度上对总体分布特征进
行估计、推测。
描述统计是推断统计的基础，推断统计是通过样本信息估计、推测总体，从已知情况估计、推测未知情况。
学习统计学和教育统计的学的意义：一、统计学为科学研究提供了一种科学方法，统计推理的方法是归纳法。
二、教育统计学是教育科研定量分析的重要工具。三、广大教育工作者学习教育统计学的具体意义：1、可以顺利地阅读运用统计方法进行定量分析的科
研报告。2、可以提高教育工作的科学性和效率。3、为学习教育测量及教育评价打下基础。
随机现象：1、一次试验有多种可能结果，其所有可能结果是已知的；2、试验之前不能预料哪一种可能结果会
出现；3、在相同的条件下可以重复试验。
随机现象的每一种结果叫做一个
随机事件。
总体：研究的具有某种共同特性的个体的总和。总体中的每个单位称为个体。样本是从总体中抽取的作为观察对象的一部分个体。
样本上的数字特征是统计量。总体上的各种数字特征是参数。在进行统计推断时，就是根据样本统计量来推断总
体相应的参数。
第二章数据的初步整理
教育统计资料的来源：经常性资
料、专题性资料（教育调查、教育实验）
数据的种类：按来源分：点计数据
和度量数据，按随机变量取值情况分：
间断型（取值个数有限的数据，一般为
整数）和连续型随机变量（取值个数无
限的不可数的数据可用小数表示）。
数据的统计分类：按照研究对象的
本质特征，根据分析研究的目的、任务，
以及统计分析时所用统计方法的可能
性，将所获得的数据进行分组归类。分
类标志按形式划分：性质类别和数量类
别。
统计表：一般由标题、表号、标目、
线条、数字、表注构成。分复合表、简
单表、分组表。某一个随机事件在次试
验中出现的次数称为随机事件的频数。
简单频数分布表：求全距、决定组
数和组距、决定组限、登记频数。
统计图：表示间断变量的统计图：
直条图、圆形图。表示连续变量的统计
图：线形图、频数分布图（直方图、多
边图、累积频数和累积百分比多边图）
第三章集中量：是代表一组数据
典型水平或集中趋势的量。
算术平均数：算术平均数是所有观
察值的总和除以总频数所得之商，它是
统计学中最易理解最常应用的一种集
中量指标。特性：观察值的总和等于算
术平均数的倍，各观察值与其算术平均
数之差的总和等于0，若一组观察值是
由两部分或几部分组成，这组观察值的
算术平均数可以由组成部分的算术平
均数而求得。优缺点：1、反应灵敏。2、
严密确定3、简明易懂，计算简单4、
适合代数运算5、只知一组观察值的总
和及总频数就可以求出算术平均数。6、
用加权法可以求出几个平均数的总平
均数。7、用样本数据推断总体集中量
时，算术平均数最接近于总体集中量的
真值，它是总体平均数的最好估计值。
8、在计算方差、标准差、相关系数以
及进行统计推断时，都要用到它。
缺点是：易受两极端数值的影响。
一组数据中某个数值大小模糊不清或
不够确切时，就无法计算。它所适用的
条件：一组数据中每个数据都比较准确
可靠；无两极端数值影响；而且还要通
过它计算其他统计量。
中位数是位于依一定大小顺序的
一组数据中央位置的数值。各有一半数
的一级数据的数据个数一分为二的数
值。是百分位数的一种。
百分位数是位于依一定顺序排列
的一组数据中某一百分位置的数值。
中位数的应用及其优缺点：不适合
代数计算，与算术平均数相比抽样偏差
相对较大。很少受两极端数值的影响，
由数据的个数所决定，反应不灵敏，适
用于：1、一组数据有特大或特小两极
端数值时2、一组数据中有个别数据不
确切、不清楚时。3、资料属于等级性
质时。
第节众数皮尔逊经验法：。
众数的应用及其优缺点：随频数分
布表上的组距变化而变化，极不准确、
极不稳定。不适合代数计算，受抽样变
动较大，较少受两极端数值的影响，反
应不灵敏。使用条件：1、当需要快速
而又粗略地找出一组数据的代表值时
2、当需要利用算术平均数、中位数、
众数三者关系来粗略地判断频数分布
的形态时3、利用众数帮助分析解释一
组频数分布是否确实具有两个频数最
多的集中点时。
当一个频数分布出现两个频数最
多一组时，可以通过合并组距的方法视
其资料的同质性。若合并后仍有两个集
中点，则表明这组数据是由两种性质不
同资料混合在一起。
算术平均数、中位数、众数三者关
系：当频数分布呈正态时，三者合为一
点：；当频数分布呈正偏态时，，负偏
态时：
加权平均数几何平均数调和平
均数
加权平均数是不同比重数据或平
均的平均数。
几何平均数：n个数值连乘积的n
次方根。当一个数列的后一个数据是以
前一个数据为基础成比率增长时，要用
它求其平均增长率，常用作速率的集中
量，在教育方面，求增加率、进步率等。
求法是n个数据连乘积的n次方根。
调和平均数：是一组数据倒数的算
术平均数的倒数。主要是用来求学习速
度。
第章差异量
表示一组数据变异程度或离散程
度的量叫差异量。差异量大大，表示数
据分布越广，越不整齐、差异量越小，
表示数据分布得越集中，变动范围越
小，（全距、四分位距、百分位距、平
均差、方差、标准差、）绝对差异量，
（差异系数。）相对差异量
全距是一组数据中最大值与最小
值之差。
四分位距是用依一定顺序排列的
一组数据中间部位50%个频数距离的一
半作为差异量指标。四分位距的应用
及其优缺点：简明易懂，计算简便，较
少受两极端数值的影响，比全距可靠的
多。但它忽略了左右共50%数据的差异，
不适合代数运算。当一组数据中用中位
数表示集中量时，就要用四分位距表示
差异量。
第节平均差每一个数据与该
组数据的中位数或算术平均数离差的
绝对值的算术平均数。
第节方差和标准差方差是指离
差平方的算术平均数，一组数据中每个
数据与该组平均数之差，平方之求其
和，再除以数据的个数。标准差即方差
的平方根
优点：反应灵敏，随任何一个数据
的变化而变化，严密确定，一组数据的
方差及标准差有确定的值，计算简单，
适合代数运算，可以将几个方差和标准
差综合成一个总的方差和标准差，用样
本数据推断总体差异量时，方差和标准
差是最好的估计量。在避免两极端数值
影响方面超过全距，在考虑到全部离差
方面，优于四分位距，在避免绝对值方
面优于平均差。缺点是不太容易理解，
易受两极端的影响，有个别数值糊涂不
清时无法计算。最直接的用途是描述一
组数据的离散程度。
第节相对差异量对两种单位不
同或单位相同而两个平均数相差较大
的资料进行差异大小的比较。
偏态量及峰态量：＝，时，分布
呈对称形，正偏态负偏态。偏
态系数：峰态量时呈正态
峰，高狭峰低阔峰
第五章概率及概率分布
以随机事件在大重复试验中出现
的稳定频率值作为随机事件概率的估
计值，这样寻得的概率称为后验概率。
先验概率是在特定条件下直接计
算出来的，是随机事件的真实概率，不
是由频率估计出来的。
概率的性质：任何随机事件的概率
都是在0与1之间
不可能事件的概率等于0，必然事
件的概率等于1
第节二项分布
凡满足以下条件的试验称为二项
试验：一次试验只有两种可能结果，
即成功和失败，各次试验相互独立，即
各次试验之间互不影响。各次试验中成
功的概率相等，各次试验中失败的概率
也相等。二项分布是一种离散型随机变
量的概率分布。
二项分布函数：二项分布的平
均数和标准差：当二项分布接近正态分
布时，在n次二项试验中成功事件出现
次数的平均数为标准差为，二项分布的
应用：除了用来求成功事件恰好出现X
次的概率之外，在教育中主要用来判断
试验结果的机遇性与真实性的界限。
正态分布是一种连续型随机变量
概率分布。正态曲线的函数：
正态曲线的特点：曲线在Z＝０（）
处为最高点。曲线以Z＝０处为中心双
侧对称。曲线最高点向左右缓慢下降，
并无限伸延，但永不与基线相交。标准
正态分布上的平均数为０标准差为１，
基线上Z从－３至+３，６个标准差距
离间几乎包含了全部（９９.73%）面积，
曲线从最高点向左右延伸时，在正负１
个标准差之内既向下又向内弯，正负１
个标准差开始，既向下又向外弯。
正态曲线在测验记分方面的应用：
1、将原始分数转换成标准分数。标准
分数的优点：各科标准分数的单位是绝
对等价的；标准分数的数值大小和正
负，可以反映某一考分在团体中所处的
位置；确定录取分数线；确定等级人数；
品质评定数量化。
第章抽样分布及总体平均数推
断
平均数抽样分布的几个定理：1、
从总体中随机抽出容量为n的一切可能
样本的平均数之平均数等于总体平均
数2、容量为n的平均数在抽样分布上
的标准差，等于总体标准差除以n的平
方根。3、从服从正态分布的总体中，
随机抽取的容量为n的一切可能样本平
均数的分布也呈正态分布。4、虽然总
体不呈正态分布，如果样本容量较大，
反映总体和的样本平均数的抽样分布
也接近于正态分布。当总体标准差为已
知时，平均数抽样分布的标准差与样本
容量n的平方根成反比，即样本容量越
大，平均数抽样分布的标准差越小，当
样本容量n确定时，平均数抽样分布标
准差与总体标准差成正比，即总体数值
离差程度越大，平均数抽样分布的标准
差越大。抽样分布是统计推断的理论依
据。某种统计量在抽样分布上的标准差
称为该种统计量的标准误。标准误越
小，表明样本统计量与总体参数的值越
接近，样本对总体越有代表性，用样本
统计量推断总体参数的可靠度越大，所
以标准误是统计推断可靠性的指标。
样本平均数与总体平均数离差统
计量的形态：
分布与正态分布的相似之处：分布
基线上的值从-－+；从平均数等于０
处，左侧值为正；曲线以平均数处为最
高向两侧逐渐下降，尾部无限伸延，永
不与基线相接，呈单峰对称形。区别之
处在于：分布形态随自由度的变化呈一
簇分布形态，分布的峰镲尖峭，尾长而
翘得高，在基线上分布的范围广，自由
度越小，分布范围越广。当自由度逐渐
3
增大时，分布逐渐接近正态分布。当自由度趋于无限大时，分布与正态分布重合。
第节总体平均数的估计根据样本信息对总体参数的有两种不同
形式：总体参数估计和假设检验。
总体参数估计的基本原理：根据样本统计量对相应总体参数所作的估计
叫总体参数估计，分为点估计（无偏性、有效性、一致性）和区间估计。当用某一样本统计量的值来估计相应总体参
数的值叫点估计。以样本统计量的抽样分布（概率分布）为理论依据，按一定概率要求，由样本统计量的值估计总体参数值的所在范围。
区间估计：
第节假设检验的基本原理利
用样本信息，根据一定概率，对总体参数或分布的某一假设作出气绝或保留
的决断，称为假设检验。
零假设是关于当前样本所属的总
体与假设总体无区别的假设。
备择假设是与零假设相反的假设，是研究者根据样本信息期待证实的假设，是根据样本信息否定了零假设时，应当采取的假设。统计推理采用的是反证法。
小概率事件：样本统计量的值（随机事件）在其抽样分布上出现的概率小于或等于事先规定的水平。显著性水平：统计学中把拒绝零假设的概率。显著性水平越高，越不容易拒绝零假设，推断的可能性就越大。统计决断的两类错误及其控制：第一类错误：假设真实而被拒绝，第二类错误：假设属伪而被保留。第一类错误的控制通过选择适当的显著性水平加以主动控制。后果非常严重的用较高的显著性水平，0.01 0.005，当拒绝一个属真的假设其后果不是严重的，选用较低的显著性水平0.05 0.1。控制第二类错误的概率的方法：利用已知的实际总体参数值与假设参数值之间大小关系，合理安排拒绝区域的位置。2、使样本容量增大。总体平均数的显著性检验
右侧检验
第章平均数差异的显著性检验
本章是根据两个样本平均数之差检验
两个相应总体平均数之差的显著性。根
据两个样本统计量的差异检验两个相
应总体参数差异的显著性，统计学上称
为差异显著性检验。
相关样本平均数差异的显著性检
验：两个样本内个体之间存在着一一对
应关系，这两个样本称为相关样本，分
为两种情况：配对组和对照组。小样本
大样本：用Z检验，公式同上。
独立样本平均数差异的显著性检
验：大样本：
独立小样本：
独立小样本方差不齐性时差异显
著性检验：
方差齐性检验：对两个总体的方差
是否有显著性差异所进行的检验。
两个独立样本的方差齐性检验：
两个相关样本的方差齐性检验：
第八章方差分
析
基本原理：方差分析的目的：平均
数差异的显著性检验，是对两个平均数
的比较，在比较多组平均数的时候，常
用方差分析综合性地确定几个平均数
差异的显著性。方差分析的功能就在于
对多组平均数差异的显著性进行检验
方差分析中的几个概念：实验中的
自变量称为因素。只有一个自变量的实
验称为单因素实验。有两个或两个以上
自变量的实验称为多因素实验。某一个
因素的不同情况称为因素的水平，包括
量差或质别两类情况，按各个水平条件
进行的重复实验称为各种处理。假如要
研究两种教材及三种教学法对学生学
习成绩的影响，该实验是双因素的实
验。一个因素是教材，它有两种水平，
另一个因素是教学方法，它有三种水
平。这个实验称为2*3的实验设计，共
有6种处理，若一个实验为2*2*2设计，
则表示该实验有三个因素，每个因素有
两种水平，共有8种处理。用方差分
析法检验某一因素对因变量的作用，称
为单因素方差分析。
完全随机设计的方差分析：为了检
验某一个因素多种不同水平间差异的
显著性，将从同一个总体中随机抽取的
被试，再随机地分入各实验组，施以各
种不同实验处理之后，用方差分析法对
这多个独立样本平均数差异的显著性
进行检验，称为完全随机设计的方差分
析。
相等的情况：组间平方和：
组内平方和：总平方
和：
组间自由度：
组内自由度：
总自由度：
不相等组间平方和：
组内平方和：总
平方和：
用进行组间与组内方差的F
检验
对多组平均数每对之间的差异进
行多重比较的方法，检验法最为常用。
各组n相等：
各组n不相等：
第节随机区组的设计的方差分析
在检验某一因素多种不同水平（即
不同实验处理）之间差异的显著性时，
为了减少被试间个别差异对结果的影
响，把从同一个总体中抽取的被试按条
件相同的原则分成各个组（称区组），
使每个区组内的被试尽量保持同质。在
对各区组施以多种实验处理之后，用方
差分析法对这多个相关样本平均数差
异所进行的显著性检验，称之为随机区
组设计的方差分析。
每一区组内被试的人数分配有以
下三种方式：
一个被试作为一个区组，所有的被
试都要分别接受各种实验处理。
每一区组内的被试的人数是实验
处理数的整数倍数。
区组内不是以个别被试为基本单
元，而是以一个团体为一个基本单元。
完全随机区组设计的方差分析
计算平方和：组内平方和解成区组
平方和及误差平方和
总平方和可分解成组间平方和、区
组平方和及误差平方和：
组间平方和：
区组平方和：
计算方差：组间方差：
区组方差：
误差方差：计算F
值：
区组差异显著性检验：
计算检验统计量的F值：
第节多组方差的齐性检验
哈特莱提出的最大F值检验法进
行齐性检验。
提出假
设：：至少
有两个总体方差不相等
当各组n不相等时可用容量最大
一组n计算自由度。
第章总体比率的推断
总体平均数、方差的统计推断都是
对由测量而获得的、正态连续变量的数
据所进行的统计推断。对点计数据的统
计推断应采用总体比率的推断方法或
检验。
比率的抽样分布是二项分布。二项
概率分布是进行总体比率统计推断的
理论依据。总体比率标准误的估计量为
第节总体比率的区间估计
第节总体比率的假设检验一
个样本总体比率假设检验：
总体比率＝为样本比率
两个独立样本比率差异的显著性
检验：
两个相关样本比率差异的显著性
检验：
第章检验
及其分布检验的特点：对样本的
频数分布所来自的总体分布是否服从
某种理念分布或某种假设分布所作的
假设检验，即根据样本的频数分布来推
断总体的分布。它与测量数据的假设检
验的不同在于：1、测量数据的假设检
验，其数据属于连续变量，而检验的数
据属于点计而来的间断变量。2、测量
数据所来自的总体要求呈正态分布，而
检验的数据所来自的总体分布是未知
的。3、测量数据的假设检验是对总体
参数或几个总体参数之差所进行的假
设检验；检验在多数情况下不是对总体
参数的检验，而是对总体分布的假设检
验。检验属于自由分布的非参数检验。
比率和比率之差的假设检验，是对
二项分布数据的假设检验。处理的是一
个因素分成两个类别，或是两个因素，
第个因素都分为两个类别的资料，它
最多只能同时比较两组比率的差异。而
检验可以同时处理一个因素分为多种
类别，或多种因素各有多种类别的资
料。所以，凡是可以应用比率进行检
验的资料，都可以应用检验。
检验统计量：
特点：1、具有可加性。2、值永
远是正值。3、值大小随实际频数与理
论频数差的大小而变化。单向表的检
验
一个自由度的检验：
各组的情况：
某组的情况：双向表的
检验：把实得的点计数据按两种分
类标准编制成的表就是双向表。在双向
表检验中，如果要判断两种分类特征，
即两个因素之间是否有依从关系，这种
检验称为独立性检验。在双向表检验
中，如果是判断几次重复实验的结果是
否相同，这种检验称为同质性检验。
第节四格表的检验：1、
当，或时，进行亚茨连续性校正：
第节相关样本四格表的检验：
若或时，
第十一章相关分析
第节相关的意义
正相关：两个变量的变化方向一一
致。负相关：两个变量的变化方向相
反。零相关：两上个变量值变化方向无
一定规律。从密切程度来看，无论两个
变量的变化方向是否一致，凡密切程度
高的称为强相关，一笛膜的为中度相
关，弱的为弱相关或低度相关。用来描
述两个变量相互之间变化方向及密切
程度的数字特征量称为相关系数。r
第节积差相关：当两个变量都是连
续变量，而且两者之间呈线性关系时，
表示这两个变量之间相关。使用条件
是：1、两个变量都是由测量获得的连
续性数据。2、两个变量的总体都呈正
态分布，或接近正态分布，至少是单峰
对称。3、必须是成对数据，而且每对
数据之间相互独立。4、两个变量之间
呈线性关系。5、要排除共变因素的影
响。6、样本容量。
积差相关系数：两个变量标准分数
乘积
之和除以n所得之商。
相关系数的等距转换及其合并：相
关系数不可以直接相加求和，因为它不
具有等距的单位。1、将各相关系数r
转换成Zr 2、求Zr的平均数
相关系数显著性检验的步骤及方
法：
一、条件下，
1、r的抽样分布接近于正态分
布
2、条件下将r转换成
Z r
、两个相对独立的样本相关系数差
异的显著性检验
第节等级相关：指以等级次序或以
等级次序表示的变量之间的相关。主要
包括斯皮尔曼二列相关及肯德尔和谐
系数。
斯皮尔曼等级相关：当两个变量值
以次序或以等级次序表示时，两个相应
总体并不一定呈正态分布，样本容量也
不一定大于30，表示这两变量之间的相
关称为等级相关。虽然X变量可视为正
态连续变量，但Y变量是按某种标准评
定的
等级，故
赋预等级。2、计算两个变量每对
所赋予的等级数之差D，及差数的平方
之和，即
检验方法：
肯德尔和谐系数：当多个（两个以
上）变量值以等级次序排列或以等级次
序表示，描述这向个变量之间的一致性
程度（即相关）的量。它常用来表示几
个评定者对同一组学生学习成绩等级
评定的一致性程度，或同一个评定者对
同一组学生的学习成绩用等级先后评
定多次之间的一致性程度。
无相同等级的情况：
3
2、有相同等
级：
相关系数的显著性检验：
第节质与量的相关：指一个变量为质，另一个变量为量，这两个变量之间的相关。主要包括二列相关、点二列相关、多系列相关。1、二列相关：当两个变量都是正态连续变量，其中一个变量被人为地划分成二分变量。使用条件：1、两个变量都是连续变量，且总体呈正态分布，或接近正态分布，至少是单峰对称分布。2、两个变量之间是线性关系。3、二分变量是人为划分的，其分界点应尽量靠近中值。4、样本容量应当大于80。
二列相关系数的计
算：检验：点二列相关：当两个变量其中一个是正态连续变量，另一个是真正的二分名义变量，有时一个变量虽然并非真正的二分变量，而是双峰分布的变量。
点二列相关系
数：检验：
3、多系列相关：当两个变量都是正态连续变量，其中一个变量按不同质被人为地分成多种类别（两类以上）的正态名义变量。表示正态连续变量与多类正态名义变量之间的相关。
第节品质相关：两个变量都是按质划分成几种类别，数据一般是点计数据。根据两个变量的性质及所分类别的多少，分为四分相关，Φ相关及列联相关。
四分相关：当两个变量都是正态连续变量，且两者呈直线关系，但两者都被人为地划分成二分变量。
Φ相关：当两个变量都是二分变量，无论是真正的二分变量还是人为的二分变量，这两个变量之间的关系，可以用Φ相关来表示，比四分相关要广泛。
检验：
列联相关：当两个变量均被人为地
分成两个以上类别，或其中一个变量被
分成两个以上类别。先求
出显著性
检验：
第十二章回归分析
相关表示两个变量之间的双向相
互关系。回归表示一个变量随另一个变
量作不同程度变化的单向关系。由一
个变量值估计、预测另一个变量值的准
确性，随这两个变量之间的相关程度而
变化。在存在相关的情况下，相关越高，
由一个变量值预测另一个变量值越准
确，误差越小。
第节一元线性回归指只有一个自
变量的线性回归。
最小二乘方法求回归系数：在配制
回归线时，回归系数（b）的确定原则
是使散布图上各点距回归线上相应点
的纵向距离平方和为最小，这种求b的
方法称为最小二乘方法。
求回归系数：由y估计
x：由x估计y：
求截距：由x估计
y：由y估计x：
一元线性回归方程检验的方法：1、
对回归方程进行方差分析。2、对两个
变量的相关系数进行与总体零相关的
显著性检验。3、对回归系数进行显著
性检验。
检验步骤：1、提出假设：H0：β
＝0 H1：β≠0
计算检验统计量：由x估计y
确定检验形式：
统计决断：
测定系数：x和y
两个变量相关系数和平方等于回
归平方和在总平方和中所占的比率。
第节一元线性回归议程的应用：
回归方程主要是用来由自变量的值估
计预测因变量的值。这里的估计预测包
含两个方面，一方面是用样本的回归方
程推算因变量的回归值；另一方面是
根据样本的回归值估计预测因变量的
真值y。多元线性回归是指有两个或两
个以上自变量的线性回归。
第十三章非参数检验
假设检验的方法有两种：参数检验
（Z、t、F）根据样本的信息对相应的
总体参数（、σ、p）的假设检验。这
种检验是以样本所属的总体呈正态分
布，两个总体或几个总体方差齐性为假
定条件。它适应于等距变量和比率变量
的资料。非参数检验不仅适用于非正态
总体名义变量和次序变量的资料，而且
也适用于等距变量和比率变量的资料。
它不需要对两个总体方差作齐性的假
定，计算简单，适用于小样本资料。应
用范围较参数检验广泛，但其灵敏性和
精确度不如参数检验。
第节符号检验是通过对两个相
关样本的每对数据之差的符号进行检
验，以比较这两个样本差异的显著性。
1、小样本的情况：n<25时，可用查表
法进行符号检验。
检验步骤：
提出假设：H0：P（X1>X2）=P（X1 H1：P（X1>X2）≠P（X1 求差数，并记符号，较小的记为r， 实际的r值越大于r的临界值，差异越 不显著。 大样本的情况：当n>25时，二项 分布接近于正态分布。检验步骤： 提出假设： H0：P（X1>X2）=P（X1 H1：P（X1>X2）≠P（X1 当r>时，则r－0.5，当r<时， r+0.5，r表示n+与 n-中数值较小的一 个。 符号检验的优点是无须对所要检 验的两个总体分布形态以及方差的齐 性作任何假定，并且计算简单迅速，但 是它只考虑符号的正负，不考虑差数数 值的大小，因而失去了一部分样本所提 供的信息。对于同一组数据，除小样本 外，一般不采用符号检验。 第节符号秩次检验 为了克服符号检验的缺点，当比较 两个相关样本的差异时，，将两个样本 每对数据差的绝对值从小到大排列，并 赋予每一个差数以秩次（等级），然后 再给差数记上正负号。威尔科克逊 小样本：n<25时，可用查表法。 提出假设： H0：P（X1>X2）=P（X1 H1：P（X1>X2）≠P（X1 2、计算每对数值的差数，但先不 记符号3、编秩次，差数为0不记，从 小到大顺序4、记号：按差数的正负， 给秩次记上+、－号5、求秩次和，较小 的一个用T表示。 二、大样本：n>25,二项分布接近 于正态。 1、提出假设： H0：P（X1>X2）=P（X1 H1：P（X1>X2）≠P（X1 2、计算每对数值的差数，但先不 记符号3、编秩次，差数为0不记，从 小到大顺序4、记号：按差数的正负， 给秩次记上+、－号5、求秩次和，较小 的一个用T表示。 第三节秩和检验 当比较两个独立样本的差异时，可 以采用曼－惠特尼U检验法 小样本：当两个独立的样本容量 n1与n2都小于10，并且n1≤n2时，可将 两个样本的数据合在一起按数据从小 到大的顺序给每一个数据编秩次。计算 样本容量较小一组的秩次和，并用T表 示。 大样本：当两个独立的样本容量 n1与n2都大于10，T分布接近于正态。 提出假设： H0：相同H1：不相同 将二者数字合在一起编秩次。3、 求秩和 中位数检验：次序变量数据常以中 位数作为集中量，以中分位距作为差异 量。对两个或几个独立样本中位数的比 较，可以采用非参数检验法。中位数的 检验将各组样本数据合在一起找出共 同的中位数，然后分别计算每个样本 在共同中位数上下的频数，再进行rc 表X2 检验。 两个样本中位数的检验 提出假设： H0：相等H1：不相等2、求共 同的中位数3、统计中位数上下的频数 计算X2值：df=1,N<30可采用四格 表缩减校正公式 统计决断 二、多组中位数的检验：用3*2表的X2 缩减公式检验 1、提出假设： H0：相等H1：不相等 求共同的中位数3、统计中位数上 下的频数4、计算X2值： 第节单向秩次方差分析 对于几个独立样本差异的显著性， 可以用克鲁斯尔和沃利斯所提出的单 向秩次方差分析进行检验。这种方法又 称H检验法。它相当于对多组平均数所 进行的参数的方差分析。它是用秩次进 行的非参数的方差分析。 样本容量较小或组数较小的情况： 当各组容量n≤5，或者样本组数K≤3， 可用下式作为检验统计量。 N表示各组频数总和，n （n1= n2= n3= ）表示每个小组频数总 和.R表示每个组的秩次和 (R1= R2= R3= ) 提出假设： H0：相等H1：不相等 2、编秩次，求其和，分别计算各 组的秩次和， 样本容量较大或组数较多的情况 当样本容量n>5或样本组数K>3时，可 进行X2检验 与X 2值比较。(df=K－1) 第节双向秩次方差分析：单向秩 次方差分析是处理几个独立样本的资 料，双向秩次方差，是处理几个相关样 本的资料。 样本容量较小及实验次数较少的 情况当样本容量n≤9，K=3；n≤4，K=4 时，用公式： 1、提出假设：H0：相等H1：不 相等 2、编秩次，求其和，分别计算各 组的秩次和， 样本容量较大或实验次数较多的 情况 当K=3，n<9；K=4，n>4，或K>4 时，X2r的抽样分布接近于df=K－1的 X2的分布。于是可以用X2近似处理： X 2（df=K－1） 第十四章抽样设计：推断的可靠 性与以下几种因素有关：①数据的质 量，即所获得数据能否准确映所观察或 测试的某种属性的实际情况；②运用统 计方法及数据处理的准确性；③样本对 总体的代表性。可见，抽样设计既是教 育科研定量分析中的首要环节，又是关 系到统计推断可靠性的重要因素。而样 本对总体的代表性，既涉及到抽样的方 式，又涉及到样本的容量。 第节抽样的方法： 单纯随机抽样：如果总体中每个个 体被抽到的机会是均等的，（即抽样的 随机性），并且在抽取一个个体之后总 体内成份不变（抽样的独立性）。这种 抽样方法称为单纯随机抽样。 抽签法：先将总体中每一个个体都 编上号码，再将每个号码写在签上，将 签充分混合后，从中抽取n个（样本容 量）签，与被抽到的签号相应的个体就 进入样本。随机数目表法随机数骰子 法，计算器随机数法。 机械抽样：把总体中的所有个体按 一定顺序编号，然后依固定的间隔取样 （间隔的大小视所需样本容量与总体 中个体数目比率而定）。机械抽样比单 纯随机抽样能够保证抽到的个体在总 体中的分布比较均匀，而单纯随机抽样 比机械抽样的随机性强。 分层抽样：按与研究内容有关的因 素或指标，先将总体划分成几部分（即 几个层），然后从各部分（即几个层） 中进行单纯随机抽样或机械随机抽样。 原则是各层内部的差异要小，层与层之 间的差异差异要大。1、按各层的人数 比率分配：当总体σ未知时，从各层 所抽的人数比率都应当等于样本容量n 与总体 N之比：2、最优配置法：在从各 层抽取对象时，既考虑各层人数比率， 又考虑各层标准差大小。 3 在标准差大的层里所抽的人数比 率大，标准差小的层里抽到的人数比率小。 整群抽样：从总体中抽出来的研究对象，不是以个体作为单位，而是以整群为单位的抽样方法。 第节总体平均数统计推断时样本容量的确定：统计推断的可靠度及准确性的提高与样本容量的增大不呈直线 关系。推断的可靠度及准确性不是随样本容量的增大按比率增设。样本容量增到一定程度，可靠度及准确性增高的速度开始放慢。 由样本平均数估计总体平均数时 样本容量的确定 当总体σ已知时，样本平均数离差的统计量呈正态分布其统计量为 样本容量计算公式为： 总体σ未知的情况：当总体标准差未知，样本平均数与总体平均数离差统计量呈t分布 df=n－1 样本平均数与总体平均数差异显 著性检验时样本容量的确定 总体σ已知的情况：（单侧） (双侧) 第节总体比率统计推断及相关系数显著性检验时样本容量的确定： 当总体比率接近0.5，随n的增大，样本比率的抽样分布趋向正态，这时总体比率可近似下式进行估计： 第章因素分析 因素分析是一种多元统计分析方法。由英国心理学家斯皮尔曼率先提出。目的在于用最少的因素来最大限度地概括、解释原观测变量间的关系及结构，以提示事物间的内在本质联系。根据因素分析的不同目的，可分为探索性及验证性因素分析。探索性因素分析对于所抽取的因素个数、内容、性质、结构事先没有预定的假设，而是根据因素分析的结果，建立新的理论构架。验证性因素分析是依据一定的理论对于所 抽取的因素内容、性质、结构事先提出明确的预期假设，分析的目的是对某种理论经构架的验证。 因素分析的根本任务就在于求由 因素负荷构成的因素负荷矩阵A。初始 因素负荷矩阵的求法：对角因素分析、 群因素分析、开心因素分析、主因素法、 主成分析等，最普遍的是主因素法。求 因素负荷A涉及到因素负荷的求解、变 量共同度的估计及公共因素个数的确 定。变量共同度最常用的的估计方法： 最大相关估计法、复相关系数平方估计 法。公共因素个数的确定：1、根据几 个公共因素所对应的特征值的累积百 分比来确定。2、以特征值是否大于或 等于1为标准，小于1者不选。3、碎 石检验。 旋转变换及因素：旋转的方式有两 种：正交旋转及斜交旋转，正交旋转就 是在因素轴旋转之后，因素轴之间仍保 持互相正交（垂真），它们间的夹角为 90度，。正旋转的方法有：四次方最大 法，方差最大法，等量最大法。最广泛 的是方差最大法。 因素斜交是普遍的，因此对因素进 行斜交旋转符合自然规律。在斜交旋转 中因素间的夹角可以是任意的，即因素 之间可以是相关的。一个完全的斜交解 必须包括模型矩阵和结构矩阵。在斜交 旋转中目前使用最为广泛的是普洛克 斯斜交旋转法。 因素计分：因素分析可划分为两类 问题，一类问题是研究如何以假设的公 共因素的线性组合来表示观测变量，在 于将多变量Z综合成少数指标F。另一 类问题是研究如何以已知的观测变量 的线性组合来表示假设的公共因素。这 种由变量的观测值来估计被试个体在 公共因素上得分的方法称为因素计分。 其估计方法一般用多元线性回归。 3