专题22 平面向量中最值、范围问题-学会解题之高三数学万能解题模板【2021版】【解析版】

专题22 平面向量中最值、范围问题

【高考地位】

平面向量中的最值和范围问题，是一个热点问题，也是难点问题，这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围，如：向量的模、数量积、夹角及向量的系数．解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合．在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中高档题.

方法一 利用基本不等式求平面向量的最值

例1、已知点A 在线段BC 上（不含端点），O 是直线BC 外一点，且20OA aOB bOC --=,则21a b b

+++的最小值是___________

【答案】2

【解析】第一步，利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系： 由2=--b a 可得，b a +=2， 根据A ，B ，C 三点共线可得12=+b a ，且0,0>>b a ， 第二步，运用基本不等式求其最值问题： 所以

()222222212222122122-≥-+++++=-+++++-+++=+++b

a b

a b a b a b b a b a b b a b a a b b b a a ，

第三步，得出结论： 所以最小值为222-。

【变式演练1】【湖南省长沙市雅礼中学2020届高三下学期高考模拟】已知四边形ABCD 是边长为1的正方形，P 为对角线AC 上一点，则()

PA PB PD ?+的最小值是（ ）

A ．0

B ．14

-

C ．12

-

D ．2-

【答案】B 【解析】

【分析】根据向量的加法和向量的数量积的定义，以及再利用基本不等式可得出

()

2

+22PA PO

PA PB PD ??

??+≥- ??

?

，可得选项. 【详解】作出图形如下图所示，()

2

+2222PA PO

PA PB PD PA PO PA PO ??

??+=?≥-?≥- ??

?

，而此时2

+2PA PO =

，所以()

2

+1224PA PO

PA PB PD ??

??+≥-=- ??

?

，当且仅当PA PO =时取等号，所以()

PA PB PD ?+的最小值是1

4

-，

故选：B.

【点睛】本题考查向量的加法和向量的数量积的运算，以及基本不等式的应用求最值，属于中档题. 【变式演练2】【浙江省2020届高三下学期6月新高考进阶】若4AB =，3AC CB =，平面内一点P ，满

足

||||

PA PC PB PC

PA PB ??=，sin PAB ∠的最大值是（ ）

A ．

23

B ．

12

C ．

13

D ．

16

【答案】C

【解析】【分析】由条件可得3,1AC BC ==，

PC 是角平分线，

然后由角平分线的性质可得

3PA AC

PB BC

==，设PB x =，则3PA x =，然后221692cos

23433x x x PAB x x +-∠==+≥=

??，即可得出sin PAB ∠的最大值.

【详解】

由4AB =，3AC CB =可得3,1AC BC == 因为

||||

PA PC PB PC

PA PB ??=，所以APC BPC ∠=∠，即PC 是角平分线

所以由角平分线的性质可得

3PA AC

PB BC

== 设PB x =，则3PA x =，由,PA PB AB PA PB AB +>-<可得12x <<

因为221692cos 234333

x x x PAB x x +-∠==+≥=

??

当且仅当

233x x =，即x =cos PAB ∠的最小值为

3

所以sin PAB ∠的最大值是

1

3

，故选：C 【点睛】本题考查了平面向量的数量积、余弦定理和利用基本不等式求最值，考查了学生的分析转化能力，属于中档题.

方法二 建立直角坐标系法

例 2 （1）在ABC ?中， 39AB AC ==， 2

AC AB AC ?=，点P 是ABC ?所在平面内一点，则当

222

PA PB PC ++取得最小值时， PA BC ?=（ ）

A. 24-

B.

C. 9

2

D. 24 【答案】D

【解析】第一步，根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标： 以C 为坐标原点，直线CB,CA 分别为x,y 轴建立直角坐标系，

则()()

0,3,A B ，设(),,P x y 第二步，将平面向量数量积的运算坐标化：

222

PA PB PC ++ ()((()2

2

2

2

2

222

=333154x y x y x y x y +-+-+++=-+-+

第三步，运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解即可：

当22,1x y ==时2

2

2

PA PB PC ++取得最小值， PA BC ?= ()()

24-?-=，选D. 【点评】：(1)向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题. 学科*网

(2) 以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.

例 2 （2）在Rt ABC ?中,BC a =,若长为2a 的线段PQ 以A 点为中点,问PQ 与BC 的夹角θ取何值时

BP CQ ?的值最大?并求出这个最大值.

【答案】2-.

【解析】：第一步，根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标： 以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系。

(cos ,sin ),(cos ,sin )P a a Q a a ββββ--

第二步，将平面向量数量积的运算坐标化：

(cos cos ,sin ),(cos ,sin sin )BP a a a CQ a a a βαβββα∴=---=-

2222222

cos cos cos sin sin sin [1cos()]

BP CQ a a a a a βαββαβαβ∴?=---+=-++

第三步，运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解即可：

∴当cos()1αβ+=-即αβπ+=(PQ 与BC 同向)时,BP CQ ?的最大值为0.

【点评】通过建立适当的直角坐标系，将向量的数量积坐标化，从而转化常见的求函数最值问题.

【变式演练3】【2020届河南省开封市高三二模】己知平行四边形ABCD 中，2AB AD ==，

60DAB ∠=?，对角线AC 与BD 相交于点O ，点M 是线段BC 上一点，则OM CM ?的最小值为（ ） A ．9

16

-

B ．

916

C ．12

-

D ．

12

【答案】A 【解析】 【分析】

以BD 的中点为坐标原点，以BD 所在直线为x 轴，以CA 所在直线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，求出直线BC

的方程为y =

设点(,M x -，(10)x -≤≤，求出OM CM ?的解析式，再利用二次函数求出函数的最小值即得解. 【详解】

如图所示，以BD 的中点为坐标原点，以BD 所在直线为x 轴，以CA 所在直线为y 轴，建立如图所示的直

角坐标系，则(1,0),(0,B C -，

所以直线BC 的方程为y =

设点(,M x ，(10)x -≤≤，所以(,33),(,)OM x x CM x =--=， 所以2223343OM CM x x x x x ?=++=+， 当3

8x =-时，OM CM ?取到最小值916

-. 故选：A. 【点睛】

本题主要考查平面向量的坐标表示和运算，考查函数最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，解决本题的关键是联想到建立坐标系利用坐标来研究.

【变式演练4】【浙江省2020届高三新高考模拟试题心态卷】已知AB 是半圆O 的直径，AB =2，等腰三角形OCD 的顶点C ?D 在半圆弧AB 上运动，且OC =OD ，∠COD =120°，点P 是半圆弧AB 上的动点，则PC PD ?的取值范围（ ） A ．33[,]44

-

B ．3[,1]4

-

C ．1[,1]2

-

D ．11[,]22

-

【答案】C 【解析】

建立直角坐标系，设出点C 、D 、P 的坐标，利用向量的数量积运算和三角函数的性质可得选项. 【详解】

以点O 为原点，AB 为x 轴,垂直于AB 的直线为y 轴建立直角坐标系，如下图所示，

不妨取()1,0C ，则12D ?- ??

，设(cos ,sin )([0,])P αααπ∈，

()11111cos ,sin cos sin cos sin +22226PC PD πααααααα???

??=--?--=-=- ? ? ?????

，因为[0,]απ∈，所以7+[,]6

6

6

πππα∈，所以1sin +[,1]62

πα??∈- ??

?

，所以11sin +[,1]2

62

πα?

?-∈- ??

?

，

故选：C.

【点睛】

本题考查向量的数量积的最值求解，常常运用建立直角坐标系，利用坐标运算和转化为已知向量的方法，属于中档题.

方法三 构造目标函数求最值

例3 【山东省济宁市第一中学2020届高三考前冲刺测试】在平行四边形ABCD 中，3

A ∠=

，2AB =，

1AD =，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足

BM CN BC

CD

=

，则AM AN ?的最大值为（ ）

A ．2

B ．4

C ．5

D ．6

【解析】 第一步：设

BM CN x BC

CD

=

=，01x ≤≤，则AM AB BM AB xBC AB xAD =+=+=+，

第二步：(1)(1)AN AD DN AD x DC x AB AD =+=+-=-+，

∴()

(1)AM AN AB xAD x AB AD ???=+?-+??()

2

2

2(1)1x AB x x AB AD xAD =-++-?+

222(1)2(1)21cos

13

x x x x π

=-?++-???+?2225(1)6x x x =--+=-++，

第三步：∴01x ≤≤，∴0x =时，AM AN ?取得最大值5． 故选：C ． 【点睛】

本题考查平面向量的数量积，解题关键是选取基底，用基底表示平面上的其他向量，然后进行运算求解． 【变式演练5】【浙江省杭州二中2020届高三下学期高考仿真考】面积为2的ABC 中，E ，

F 分别是AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，则2

PC PB BC ?+的最小值是（ ）

A B ．C D ．【答案】D 【解析】 【分析】

根据∴ABC 的面积为2，可得∴PBC 的面积＝1，从而可得PB ×PC 2

sin BPC

=

∠，故PC PB ?=PB ×PC cos∴BPC

2cos BPC

sin BPC

∠=

∠，由余弦定理，有：BC 2＝BP 2+CP 2﹣2BP ×CP cos∴BPC ，进而可得BC 2≥2BP ×CP ﹣

2BP ×CP cos∴BPC ．

从而2

42cos BPC PC PB BC sin BPC -∠?+≥

∠，利用导数，可得42cos BPC

sin BPC

-∠∠最大值为2

PC PB BC ?+的最小值．

【详解】

解：∴E 、F 是AB 、AC 的中点，∴EF 到BC 的距离＝点A 到BC 的距离的一半， ∴∴ABC 的面积＝2∴PBC 的面积，而∴ABC 的面积＝2，∴∴PBC 的面积＝1，

又∴PBC 的面积1

2

=

PB ×PC sin∴BPC ，∴PB ×PC 2sin BPC =∠．

∴PC PB ?=PB ×PC cos∴BPC 2cos BPC

sin BPC

∠=∠．

由余弦定理，有：BC 2＝BP 2+CP 2﹣2BP ×CP cos∴BPC ．

显然，BP 、CP 都是正数，∴BP 2+CP 2≥2BP ×CP ，∴BC 2≥2BP ×CP ﹣2BP ×CP cos∴BPC ． ∴2PC PB BC ?+≥PB ×PC cos∴BPC +2BP ×CP ﹣2BP ×CP cos∴BPC 42cos BPC

sin BPC

-∠=∠

令y 42cos BPC sin BPC -∠=

∠，则y ′2

24cos BPC

sin BPC

-∠=∠ 令y ′＝0，则cos∴BPC 1

2

=，此时函数在（0，12）上单调增，在（12，1）上单调减

∴cos∴BPC 1

2

=时，42cos BPC sin BPC -∠∠取得最大值为

∴2PC PB BC ?+的最小值是故选：D 【点睛】

本题考查平面向量的数量积运算，考查三角形面积的计算，考查导数知识的运用，综合性强．

【高考再现】

1.【2020年高考山东卷7】已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ?取值范围是（ ） A ．(2,6)- B ．(6,2)- C ．(2,4)- D ．(4,6)- 【答案】A

【思路导引】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是

(1,3)-，利用向量数量积的定义式，求得结果．

【解析】解法一：AB 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是

(1,3)-，结合向量数量积的定义式，可知AP AB ?等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积，所以

AP AB ?的取值范围是()2,6-，故选：A ．

解法二：如图，建立平面直角坐标系A xy -，由题意知(0,0)A ，(2,0)B ，C ，(F -，设(,)P x y ，

则13x -<<，∴(,)(2,0)2AP AB x y x ?=?=，∴226x -<<，∴AP AB ?的取值范围是(2,6)-．

【专家解读】本题的特点是注重向量的应用，本题考查了平面向量数量积运算，考查平面向量数量积的几何意义，考查数学运算、直观想象、数学建模等学科素养．解题关键是理解平面向量数量积的定义． 2.【2018年浙江卷】已知a∴b∴e 是平面向量，e 是单位向量∴若非零向量a 与e 的夹角为π

3，向量b 满足

b 2?4e·b+3=0，则|a?b|的最小值是∴ ∴

A ． √3?1

B ． √3+1

C ． 2

D ． 2?√3 【答案】A 【解析】

分析:先确定向量a,b 所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值. 详解：设a =(x,y),e =(1,0),b =(m,n)∴

则由?a,e ?=π

3得a ?e =|a|?|e|cos π

3,x =1

2√x 2+y 2,∴y =±√3x ∴

由b 2?4e ?b +3=0得m 2+n 2?4m +3=0,(m ?2)2+n 2=1, 因此|a ?b|的最小值为圆心(2,0)到直线y =±√3x 的距离

2√3

2

=√3减去半径1，为√3?1.选A.

点睛：以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.

3.【2017全国II 卷理，12】已知ABC ?是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ?+的最小值是（ ）

A.2-

B.32-

C. 4

3

- D.1- 【答案】B

4.【2018年天津卷】如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC,AD ⊥CD,∠BAD =120°,AB =AD =1,若点E 为边CD 上的动点，则AE ????? ?BE

????? 的最小值为 （ ）

A ． 21

16 B ． 3

2 C ． 25

16 D ． 3 【答案】A

【解析】

分析：由题意可得△ABD 为等腰三角形，△BCD 为等边三角形，把数量积AE ????? ?BE ????? 分拆，设DE ????? =tDC ????? (0≤t ≤1)，数量积转化为关于t 的函数，用函数可求得最小值。

详解：连接AD,取AD 中点为O,可知△ABD 为等腰三角形，而AB ⊥BC,AD ⊥CD ，所以△BCD 为等边三角形，BD =√3。设DE

????? =tDC ????? (0≤t ≤1) AE ????? ?BE ????? =(AD ????? +DE ????? )?(BD ?????? +DE ????? )=AD ????? ?BD ?????? +DE ????? ?(AD ????? +BD ?????? )+DE ????? 2=32+BD ?????? ?DE ????? +DE ????? 2 =3t 2?3

2t +3

2 (0≤t ≤1)

所以当t =1

4时，上式取最大值21

16 ，选A.

点睛：本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示。同时利用向量共线转化为函数求最值。

5.【2017浙江，15】已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是_______．

【答案】4，【解析】

试题分析：设向量,a b 的夹角为θ，由余弦定理有：212a b -=+=

212a b +=+=，则：

54cos a b a b ++-=+

令θθcos 45cos 45-++=y ，则[]2

1016,20y =+，

据此可得：()

()

max

min

2025,164a b a b

a b a b

++-==++-==，

即a b a b ++-的最小值是4，最大值是*网 【考点】平面向量模长运算

【名师点睛】本题通过设入向量,a b 的夹角θ，结合模长公式， 解得

54cos 54cos a b a b θθ++-=++-，再利用三角有界性求出最大、最小值，属中档题，对学生的

转化能力和最值处理能力有一定的要求．

6.【2020年高考浙江卷17】设1e ，2e 为单位向量，满足122||-e e 12=+a e e ，123=+b e e ，设a ，b

的夹角为θ，则2cos θ的最小值为 ▲ ． 【答案】

2829

【思路导引】利用复数模的平方等于复数的平方化简条件得123

4

e e ?≥，再根据向量夹角公式求2cos θ函数关系式，根据函数单调性求最值． 【解析】()2

12122222e e e e -≤

?-≤，解得：1234

e e ?≥

， ()()

121222

12123cos 3e e e e a b a b

e e e e θ++?=

=

+?+12

1212

2106e e e e =

?+，

设12e e x ?=，

则()()()()()()()()2222

2

222

16116141414

cos 222106123220385312131

x x x x x x x x x x x x x θ++++=====+++++++++++， 当34x ≥

时，2

284cos ,293θ??∈????

，∴2cos θ的最小值是2829，故答案为：2829 ．

【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最值，考查转化与化归思想，考查数学运算、数学建模等学科素养．解题关键是合理转化，应用函数求最值．

7.【2020年高考天津卷15】如图，在四边形ABCD 中，60,

3B AB ?∠==，6BC =，且

3

,2

AD BC AD AB λ=?=-，则实数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，

则DM DN

?的最小值为_________．

【答案】

16 132

【思路导引】可得120BAD ∠=，利用平面向量数量积的定义求得λ的值，然后以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设点(),0M x ，则点()1,0N x +（其中05x ≤≤），得出DM DN

?

关于x 的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得DM DN ?的最小值． 【解析】

AD BC λ=，//AD BC ∴，180120BAD B ∴∠=-∠=，

cos120AB AD BC AB BC AB λλ?=?=?1363922λλ??

=???-=-=- ???

，解得16λ=，

以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy ，

则5,22D ??

? ???

，设(),0M x ，则()1,0N x +（其中05x ≤≤）

，

5,2DM x ?=- ??，3,2DN x ?=- ??

，

()2

22

532113422222DM DN x x x x x ?????=--+=-+=-+ ????

?????， 所以，当2x =时，DM DN ?取得最小值

13

2，故答案为：16；132

．

【专家解读】本题的特点是注重知识的应用，本题考查了平面向量数量积，考查数形结合思想、转化与化归思想，考查数学运算、直观想象、数学建模等学科素养．解题关键是建立适当的坐标系，合理转化，应用函数求最值．

8.【2017江苏，13】在平面直角坐标系xOy 中,(12,0),(0,6),A B -点P 在圆2250O x y +=：上,若20,PA PB ?≤ 则点P 的横坐标的取值范围是 .

【答案】[-

【考点】直线与圆，线性规划

【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求横坐标或纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.

9.【2017北京文，12】已知点P 在圆22=1x y +上，点A 的坐标为(-2,0)，O 为原点，则AO AP ?的最大值为_________． 【答案】6 【解析】

||||cos ||||2(21) 6.AO AP AO AP AO AP θ?=?≤?≤?+=所以最大值是6.

10.【2018年上海卷】已知实数x 1、x 2、y 1、y 2满足：x 12+y 12=1，x 22+y 22=1，x 1x 2+y 1y 2=1

2，则

112

22√2

的最大值为______．

【答案】√2+√3 【解析】 【分析】

设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），OA →

=（x 1，y 1），OB →

=（x 2，y 2），由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形OAB 为等边三角形，AB=1，

11√2

+

22√2

的几何意义为点A ，B 两点到直线x+y ﹣1=0的

距离d 1与d 2之和，由两平行线的距离可得所求最大值． 【详解】

设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， OA →

=（x 1，y 1），OB →

=（x 2，y 2）， 由x 12+y 12=1，x 22+y 22=1，x 1x 2+y 1y 2=1

2， 可得A ，B 两点在圆x 2+y 2=1上，

且OA →?OB →

=1×1×cos∴AOB=1

2

，

即有∴AOB=60°，

即三角形OAB 为等边三角形， AB=1，

112

+

222

的几何意义为点A ，B 两点

到直线x+y ﹣1=0的距离d 1与d 2之和，

显然A ，B 在第三象限，AB 所在直线与直线x+y=1平行， 可设AB ：x+y+t=0，（t ＞0）， 由圆心O 到直线AB 的距离d=2，

可得2√1?t 2

2

=1，解得t=√6

2

，

即有两平行线的距离为1+

√62

2

=

√2+√3

2

， 即

112

+

222

的最大值为√2+√3，

故答案为：√2+√3． 【点睛】

本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查点与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题．

11.【2018年上海卷】在平面直角坐标系中，已知点A(?1?，?0)、B(2?，?0)，E 、F 是y 轴上的两个动点，且|EF |???????? =2，则的AE ????? ?BF ????? 最小值为____． 【答案】-3 【解析】 【分析】

据题意可设E （0，a ），F （0，b ），从而得出|a ﹣b|=2，即a=b+2，或b=a+2，并可求得AE →

?BF →

=?2+ab ，将a=b+2带入上式即可求出AE →

?BF →

的最小值，同理将b=a+2带入，也可求出AE →

?BF →

的最小值． 【详解】

根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）； ∴|EF →

|=|a ?b|=2；

∴a=b+2，或b=a+2；

且AE →

=(1，a)，BF →

=(?2，b)； ∴AE →

?BF →=?2+ab ；

当a=b+2时，AE →

?BF →

=?2+(b +2)?b =b 2+2b ?2； ∴b 2+2b ﹣2的最小值为

?8?44

=?3；

∴AE →

?BF →

的最小值为﹣3，同理求出b=a+2时，AE →

?BF →

的最小值为﹣3． 故答案为：﹣3． 【点睛】

考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．

【反馈练习】

1.【2020届湖南省怀化市高三下学期4月第一次模拟考试】已知圆22

:680C x y x +-+=和两点(,0)A t -，

(,0)(0)B t t >，若圆C 上存在点P ，使得0AP BP →→=，则实数t 的取值范围是（ ）

A ．(1,3)

B ．(2,4)

C ．[1,3]

D ．[2,4]

【答案】D 【解析】 【分析】

由圆的方程可得到圆心坐标以及半径，设(),P a b 在圆C 上，运用向量的加减和数量积运算可得

2

222

t a b OP →=+=，即实数t 的取值就是圆C 上的点到原点的距离的值，即可得到答案.

【详解】

圆22

:680C x y x +-+=得到()2

231x y -+=即圆心()3,0C ，半径1r =，

设(),P a b 在圆C 上，则

(),AP a t b →=+，(),BP a t b →

=-，

2220AP BP a t b →→

=-+=即2

222

t a b OP →=+=，

所以实数t 的取值就是圆C 上的P 点到原点的距离取值， 且3OC =，1r =，则4,2CO r OC r +=-=， 因此实数t 的取值范围为[]

2,4 故选：D. 【点睛】

本题考查了数量积的运算以及圆上的动点到定点的距离的最值的求法，属于一般题.

2．【甘肃省静宁县第一中学2020届高三第十次模拟】已知ABC

是边长为O ，P 为平面内一点，若1OP =，则PA PB ?的最小值是（ ） A ．11- B ．6-

C ．3-

D ．15-

【答案】A 【解析】 【分析】

作出图像如下图所示，取AB 的中点为D ，由1OP =，则P 在以O 为圆心，以1为半径的圆上，再由公式

()()()()2

2

2

2

2+2124

4

PA PB PA PB PD AB PA PB PD ---?==

=-，可得选项.

【详解】

作出图像如下图所示，取AB 的中点为D ，

则1

223

OD =?=，

因为1OP =，则P 在以O 为圆心，以1为半径的圆上， 则(

)(

)(

)

()

2

2

2

2

2+2124

4

PA PB PA PB

PD AB PA PB PD ---?=

==-.又PD 为圆O 上的点P 到D 的距离，

则min 211PD =-=， ∴PA PB ?的最小值为11-. 故选：A.

【点睛】

本题考查向量的数量积的最值，转化法是解决此类问题的常用方法，属于中档题.

3．【2020届河南省天一大联考“顶尖计划”高三第二次考试】已知AM BN ，分别为圆()2

21:11O x y ++=与()2

22:24O x y -+=的直径，则AB MN ?的取值范围为（ ）

A ．[]0,8

B ．[]0,9

C ．[]1,8

D ．[]1,9

【答案】A 【解析】 【分析】

由题先画出基本图形，结合向量加法和点乘运算化简可得

()()

2

12121212129AB MN O O AO O B O O AO O B AO O B -???=++???=??-??

++，结合

12AO O B +的范围即可求解

【详解】

如图，()()()()

1122112212121212AB MN AO O O O B MO O O O N O O AO O B O O AO O B ?????????

?=++?++=++-+222

1212129O O AO O B AO O B =-+=-+其中[][]1221,211,3AO O B +∈-+=，所以

[]22

93,910,8AB MN ?∈-???-=?.

故选：A 【点睛】

本题考查向量的线性运算在几何中的应用，数形结合思想，属于中档题

4．【西南名校联盟2020届3 3 3高考备考诊断性联考卷】已知向量a ，b 满足()

,22a t t =，1b =，且

()a b b -⊥，则a ，b 的夹角的最小值为（ ）

A ．

6

π

B ．

4

π C ．

3

π D ．

2

π 【答案】C 【解析】 【分析】

由垂直关系推出数量积关系，代入cos ,a b a b a b

?=

化简求得cos ,a b 关于t 的表达式，根据二次函数的

图象与性质即可求出cos ,a b 的取值范围，再根据余弦函数的图象与性质即可求得两向量夹角的最小值. 【详解】

因为()

a b b -⊥，所以()

=0a b b -?，2a b b ?=，

221cos ,2b a b b

a b a

a a

b

a b

t ?

=

=

=

=

=

-，

又因为(2

2

2

2822224t t ?

??

?-+=-+≥+=?????

??

?

，

所以10cos ,2

a b <≤，所以a ，b 的夹角的最小值为3π

.

故选：C 【点睛】

本题考查平面向量的数量积、向量的夹角，涉及余弦函数、二次函数的图象与性质，属于中档题. 5．【浙江省杭州市富阳中学2020届高三下学期6月三模】已知向量a ，b ，c

满足4a =，a

在b 方向上的投影为2，()

3c

c a ?-=-，则||b c

-的最小值为（ ） A 1 B 1

C ．2

D ．2

【答案】A 【解析】 【分析】

2021年高中数学-平面向量专题

第一部分：平面向量的概念及线性运算 欧阳光明（2021.03.07） 一.基础知识自主学习 1．向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量；向量的大小叫做向量 的(或称) 平面向量是自由向量 零向量长度为的向量；其方向是任意的记作0 单位向量长度等于的 向量 非零向量a的单位向量为± a |a| 平行向量方向或的非零向量 0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何 意义) 运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律： a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 减法求a与b的相反向量－b 的和的运算叫做a与b 的差 法则 a－b＝a＋(－b) 数乘求实数λ与向量a的积的 运算 (1)|λa|＝|λ||a|. (2)当λ>0时，λa的方向与a的方向； 当λ<0时，λa的方向与a的方向；当λ ＝0时，λa＝0. λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb. 向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. 二.难点正本疑点清源 1．向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线

段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小． 2．向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线(或重合)的情况，而直线平行不包括共线的情况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合． 三．基础自测 1．化简OP →－QP →＋MS →－MQ → 的结果等于________． 2．下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量； ④相等向量一定共线．其中不正确命题的序号是_______． 3．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b.若点D 满足BD →＝2DC →，则AD → ＝________(用b 、c 表示)． 4．如图，向量a －b 等于() A ．－4e1－2e2 B ．－2e1－4e2 C ．e1－3e2 D ．3e1－e2 5．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD → ＝7a －2b ，则一定共线的三点是 () A ．A 、B 、DB ．A 、B 、C C ．B 、C 、DD ．A 、C 、D 四．题型分类深度剖析 题型一 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a|＝|b|且a ∥b ；⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c.其中正确的序号是________． 变式训练1 判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由． (1)若向量a 与b 同向，且|a|＝|b|，则a>b ； (2)若|a|＝|b|，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反； (3)若|a|＝|b|，且a 与b 方向相同，则a ＝b ； (4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； (5)若向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 的方向相同或相反； (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上； (7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； (8)任一向量与它的相反向量不相等 题型二 平面向量的线性运算 例2 如图，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为边作?OADB ，BM →＝13BC →，CN →＝13 CD →，用a 、b 表示OM →、ON →、MN → . 变式训练2 △ABC 中，AD →＝23 AB →，DE ∥BC 交AC 于E ，BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →＝a ，AC → ＝b ，用a 、b 表示向 量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三 平面向量的共线问题 例3 设e1，e2是两个不共线向量，已知AB →＝2e1－8e2，CB →＝e1＋3e2，CD → ＝2e1－e2. (1)求证：A 、B 、D 三点共线； (2)若BF → ＝3e1－ke2，且B 、D 、F 三点共线，求k 的值．

高考数学平面向量专题卷(附答案)

高考数学平面向量专题卷（附答案） 一、单选题（共10题；共20分） 1.已知向量，则＝（） A. B. C. 4 D. 5 2.若向量，，若，则 A. B. 12 C. D. 3 3.已知平面向量，，且，则＝（） A. B. C. D. 4.已知平面向量、，满足，若，则向量、的夹角为（） A. B. C. D. 5.在中，的中点为，的中点为，则（） A. B. C. D. 6.已知平面向量不共线，且，，记与的夹角是，则最大时， （） A. B. C. D. 7.在中，，AD是BC边上的高，则等于（） A. 0 B. C. 2 D. 1 8.已知，则的取值范围是（） A. [0，1] B. C. [1，2] D. [0，2] 9.已知向量，的夹角为，且，则的最小值为（） A. B. C. 5 D. 10.已知椭圆：上的三点，，，斜率为负数的直线与轴交于，若原点是的重心，且与的面积之比为，则直线的斜率为（）

A. B. C. D. 二、填空题（共8题；共8分） 11.在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，﹣1），B（﹣3，﹣4）两点，若点C在∠AOB的平分线上，且 ，则点C的坐标是________． 12.已知单位圆上两点满足，点是单位圆上的动点，且，则 的取值范围为________． 13.已知正方形的边长为1，，，，则________. 14.在平面直角坐标系中，设是函数（）的图象上任意一点，过点向直线 和轴作垂线，垂足分别是，，则________． 15.已知为锐角三角形，满足，外接圆的圆心为，半径为1，则的取值范围是________. 16.设是边长为的正六边形的边上的任意一点，长度为的线段是该正六边形外接圆的一条动弦，则的取值范围为________. 17.设的外接圆的圆心为，半径为2，且满足，则 的最小值为________. 18.如图，在中，，点，分别为的中点，若，，则 ________. 三、解答题（共6题；共60分） 19.的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行．（Ⅰ）求； （Ⅱ）若，求的面积． 20.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），已知点，点是曲线上任意一点，点为的中点，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.

高考数学平面向量试题汇编

高考数学平面向量试题汇编 已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ，那么 （ Ａ ） Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r （辽宁3） 若向量a 与b 不共线，0≠g a b ，且?? ??? g g a a c =a -b a b ，则向量a 与c 的夹角为（ D ） A ．0 B ． π6 C ． π3 D ． π2 （辽宁6） 若函数()y f x =的图象按向量a 平移后，得到函数(1)2y f x =+-的图象，则向量a =（ A ） A ．(12)--， B ．(12)-， C ．(12)-， D ．(12)， （宁夏，海南4） 已知平面向量(11) (11)==-，，，a b ，则向量13 22 -=a b （ Ｄ ） Ａ．(21)--， Ｂ．(21)-， Ｃ．(10)-， Ｄ．(12)， （福建4） 对于向量，，a b c 和实数λ，下列命题中真命题是（ B ） A ．若=0g a b ，则0a =或0b = B ．若λ0a =，则0λ=或=0a C ．若2 2 =a b ，则=a b 或-a =b D ．若g g a b =a c ，则b =c （湖北2）

将π2cos 36x y ??=+ ???的图象按向量π24?? =-- ??? ，a 平移，则平移后所得图象的解析式为 （ Ａ ） Ａ．π2cos 234x y ?? =+- ??? Ｂ．π2cos 234x y ?? =-+ ??? Ｃ．π2cos 2312x y ?? =-- ??? Ｄ．π2cos 2312x y ?? =++ ??? （湖北文9） 设(43)=，a ， a 在 b 上的投影为2 ，b 在x 轴上的投影为2，且||14≤b ，则b 为（ Ｂ ） A ．(214)， B ．227? ?- ???， C ．227??- ??? ， D ．(28)， （湖南4） 设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+-g a b a b 的图象是一条直线，则必有（ A ） A ．⊥a b B ．∥a b C ．||||=a b D ．||||≠a b （湖南文2） 若O E F ，，是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ B ） A ．EF OF OE =+u u u r u u u r u u u r B ．EF OF OE =-u u u r u u u r u u u r C ．EF OF OE =-+u u u r u u u r u u u r D ．EF OF O E =--u u u r u u u r u u u r （四川7） 设A ｛a ,1｝，B ｛2，b ｝，C ｛4,5｝，为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若方向 在与→ →→OC OB OA 上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为 （ A ） (A)354=-b a (B)345=-b a (C)1454=+b a (D)1445=+b a （天津10） 设两个向量22 (2cos )λλα=+-，a 和sin 2 m m α? ?=+ ?? ? ，b ，其中m λα，，为实数．若2=a b ，则 m λ 的取值范围是（ Ａ ） Ａ．[-6，1] Ｂ．[48]， Ｃ．（-6，1] Ｄ．[-1，6] （浙江7）

高中数学平面向量知识点总结

高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示，如：AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ，a ；坐标表示法),(y x yj xi a 向 量的大小即向量的模（长度），记作|AB u u u r |即向量的大小，记作｜a ｜ 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的， 0 与任意向量平行零向量a ＝0 ｜a ｜＝0 由于0r 的方向是任意的，且规定0r 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线） 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 ｜0a ｜＝1 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的． ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a 大 小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r （1）a a a 00；（2）向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”： （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法

高中数学平面向量公式(精选课件)

高中数学平面向量公式１、向量的的数量积 定义:已知两个非零向量a，b。作OＡ＝a,OB=b，则角AOB称作向量ａ和向量b的夹角,记作〈ａ，b〉并规定0≤

２、向量的数量积不满足消去律，即:由ａ?b=a? c （a≠0)，推不出 b=ｃ。 3、|a?b｜≠|ａ｜?|b｜ 4、由 |a｜=|ｂ| ，推不出a=ｂ或ａ=－ｂ。 2、向量的向量积 定义：两个向量a和ｂ的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作ａ×b。若a、b不共线,则ａ×b的模是：∣a×b ∣＝｜ａ|?｜ｂ｜?ｓｉn〈a，b>；ａ×ｂ的方向是:垂直于ａ和ｂ,且ａ、ｂ和ａ×b按这个次序构成右手系.若ａ、ｂ共线，则a×b=0。...文档交流仅供参考... 向量的向量积性质: ∣a×ｂ∣是以a和b为边的平行四边形面积. a×a=０。 a‖b〈=〉ａ×b＝０。 向量的向量积运算律 a×b=－b×a； （λa）×b=λ（ａ×b)=a×（λb)； （a+b)×c=a×ｃ+b×c。 注:向量没有除法，“向量ＡB/向量CＤ”是没有意义的. 3、向量的三角形不等式 1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a＋ｂ∣≤∣ａ∣+∣b∣；

高三数学精准培优专题练习8：平面向量

培优点八 平面向量 1．代数法 例1：已知向量a ，b 满足=3a ，b 且()⊥+a a b ，则b 在a 方向上的投影为（ ） A ．3 B ．3- C ． D 【答案】C 【解析】考虑b 在a 上的投影为 ?a b b ，所以只需求出a ，b 即可． 由()⊥+a a b 可得：()2 0?+=+?=a a b a a b ， 所以9?=-a b ．进而?==a b b ．故选C ． 2．几何法 例2：设a ，b 是两个非零向量，且2==+=a b a b ，则=-a b _______． 【答案】【解析】可知a ，b ，+a b 为平行四边形的一组邻边和一条对角线， 由2==+=a b a b 可知满足条件的只能是底角为60o ，边长2a =的菱形， =． 3．建立直角坐标系 例3：在边长为1的正三角形ABC 中，设2BC BD =uu u v uu u v ，3CA CE =uu v uu u v ，则AD BE ?=u u u v u u u v __________． 【答案】14 AD BE ?=-uuu v uu u v 【解析】上周是用合适的基底表示所求向量，从而解决问题，本周仍以此题为例，从另一个角度解题，

观察到本题图形为等边三角形，所以考虑利用建系解决数量积问题， 如图建系： 3 0, A ?? ? ? ?? ， 1 ,0 2 B ?? - ? ?? ， 1 ,0 2 C ?? ? ?? ， 下面求E坐标：令() , E x y，∴ 1 , 2 CE x y ?? =- ? ?? uu u v ， 13 2 CA ? =- ?? uu v ， 由3 CA CE = uu v uu u v 可得： 111 3 223 3 3 3 x x y y ???? -=-= ? ?? ?? ?? ? ?? ??= = ??? ? 13 3 E ? ?? ， ∴ 3 0, AD ? = ?? uuu v ， 53 6 BE ? = ?? uu u v ，∴ 1 4 AD BE ?=- uuu v uu u v ． 一、单选题 1．已知向量a，b满足1 = a，2 = b，且向量a，b的夹角为 4 π ，若λ - a b与b垂直，则实数λ的值为（） A． 1 2 -B． 1 2 C． 2 D 2 【答案】D 【解析】因为12cos2 4 π ?? ?= a b()2 240 λλλ -?=?=?= a b b，故选D．2．已知向量a，b满足1 = a，2 = b，7 += a b?= a b（） A．1 B2C3D．2 【答案】A 对点增分集训

高中数学平面向量doc

专题讲座 高中数学“平面向量” 一、整体把握“平面向量”教学内容 （一）平面向量知识结构图 （二）重点难点分析

本专题内容包括：平面向量的概念、运算及应用． 课标要求： 平面向量（约12课时） （1）平面向量的实际背景及基本概念 通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示。（2）向量的线性运算 ①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义。 ②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义。 ③了解向量的线性运算性质及其几何意义。 （3）平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义。 ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。 ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。 ④理解用坐标表示的平面向量共线的条件。 （4）平面向量的数量积

①通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。 ②体会平面向量的数量积与向量投影的关系。 ③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。 ④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。 （5）向量的应用 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。 依据课标要求，并结合前面的分析可知：新概念、新运算的定义，向量运算和向量运算的几何意义是本专题的重点，平面向量基本定理是坐标表示（几何代数化）的关键，也是本专题教学的难点。 二、“平面向量”教与学的策略 （一）在概念教学中，依据概念教学的方法，建构概念知识体系 本专题的教学中，向量、向量的运算等都是新定义的概念，如何让这些概念的出现自然轻松，还能让学生迅速把握住本质，达成理解？不妨遵循概念教学的方法。 比如说：“向量的概念”教学中，可从力、位移等实例引入，进行抽象概括，形成向量的概念。之后，提出“温度、功是不是向量？”这样的问题，通过比较，对向量的概念进行辨析，在此基础上，抓住向量的两个要点：大小、方向进行拓展，按如下表格整理，将向量概念精致化。 概念辨析：

(完整word版)高中数学-平面向量专题.doc

第一部分：平面向量的概念及线性运算 一.基础知识自主学习 1．向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量；向量的大小叫做向量 平面向量是自由向量的(或称) 零向量长度为的向量；其方向是任意的记作 0 单位向量长度等于的非零向量 a 的单位向量为± a 向量|a| 平行向量方向或的非零向量 0 与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0 的相反向量为 0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则 (或几何 运算律意义 ) 加法求两个向量和的运算 求 a 与 b 的相反向量－ b 减法的和的运算叫做 a 与 b 的差 (1)交换律： a＋ b＝ b＋ a. (2)结合律： (a＋ b)＋ c＝ a＋ (b＋c)． a－ b＝ a＋ (－ b) 法则 求实数λ与向量 a 的积的(1)|λa|＝ |λ||a|. ；λ(μa)＝λμa； 数乘 (2)当λ>0 时，λa 的方向与 a 的方向 运算当λ<0 时，λa 的方向与 a 的方向；当λ (λ＋μ)a＝λa＋μa； ＝0 时，λa＝ 0. λ(a＋ b)＝λa＋λb. 3.共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线的条件是存在唯一一个实数λ，使得 b＝λa. 二.难点正本疑点清源 1．向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说， 即向量不能比较大小． 2．向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线 (或重合 )的情况，而直线平行不包括共线的情况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《平面向量》全集汇编附解析

新数学《平面向量》试卷含答案 一、选择题 1．如图，圆O 是等边三角形ABC 的外接圆，点D 为劣弧AC 的中点，则OD =u u u r （ ） A ．2133BA AC +u u u r u u u r B ．2133BA A C -u u u r u u u r C ．1233BA AC +u u u r u u u r D ．4233BA AC +u u u r u u u r 【答案】A 【解析】 【分析】 连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ，列出相应式子得出结论. 【详解】 解：连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ， 则()() 221121332333 OD BO BE BA BC BA BA AC BA AC ===?+= ++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故选：A. 【点睛】 本题考查向量的表示方法，结合几何特点，考查分析能力，属于中档题. 2．已知正ABC ?的边长为4，点D 为边BC 的中点，点E 满足AE ED u u u r u u u r =，那么EB EC ?u u u r u u u r 的值为（ ） A ．8 3 - B ．1- C ．1 D ．3 【答案】B 【解析】 【分析】 由二倍角公式得求得tan ∠BED ，即可求得cos ∠BEC ，由平面向量数量积的性质及其运算得直接求得结果即可． 【详解】

由已知可得：7 ， 又23 tan BED 3 BD ED ∠= == 所以22 1tan 1 cos 1tan 7 BED BEC BED -∠∠==-+∠ 所以1||cos 7717EB EC EB EC BEC ?? ?=∠=-=- ??? u u u r u u u r u u u r u u u r ‖ 故选B ． 【点睛】 本题考查了平面向量数量积的性质及其运算及二倍角公式，属中档题． 3．若向量a b r r ，的夹角为3 π ，|2|||a b a b -=+r r r r ，若()a ta b ⊥+r r r ，则实数t =（ ） A ．1 2 - B ． 12 C 3 D ．3 【答案】A 【解析】 【分析】 由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得22b a b =?r r r ，结合条件可得b a =r r ，又由()a ta b ⊥+r r r ，可得20t a a b ?+?=r r r ，即可得出答案. 【详解】 由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得2222442a a b b a a b b -?+=+?+r r r r r r r r . 即22b a b =?r r r ，也即22cos 3 b a b π =r r r ，所以b a =r r . 又由()a ta b ⊥+r r r ，得()0a ta b ?+=r r r ，即20t a a b ?+?=r r r . 所以222 1122b a b t a b ?=-=-=-r r r r r 故选：A

(完整版)《平面向量》测试题及答案

《平面向量》测试题 一、选择题 1.若三点P （1，1），A （2，-4），B （x,-9）共线，则（ ） A.x=-1 B.x=3 C.x= 2 9 D.x=51 2.与向量a=(-5,4)平行的向量是（ ） A.（-5k,4k ） B.(-k 5,-k 4) C.(-10,2) D.(5k,4k) 3.若点P 分所成的比为4 3 ，则A 分所成的比是（ ） A.73 B. 37 C.- 37 D.-7 3 4.已知向量a 、b ，a ·b=-40，|a|=10,|b|=8，则向量a 与b 的夹角为（ ） A.60° B.-60° C.120° D.-120° 5.若|a-b|=32041-,|a|=4,|b|=5，则向量a ·b=（ ） A.103 B.-103 C.102 D.10 6．(浙江)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( ) A.? ????79，73 B.? ????－73，－79 C.? ????73，79 D.? ????－7 9 ，－73 7.已知向量a=(3,4),b=(2,-1)，如果向量（a+x ）·b 与b 垂直，则x 的值为（ ） A. 3 23 B. 23 3 C.2 D.- 5 2 8.设点P 分有向线段21P P 的比是λ，且点P 在有向线段21P P 的延长线上，则λ的取值范围是（ ） A.(-∞,-1) B.(-1,0) C.(-∞,0) D.(-∞,- 2 1 ) 9.设四边形ABCD 中，有DC = 2 1 ，且||=|BC |，则这个四边形是（ ） A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 10.将y=x+2的图像C 按a=(6,-2)平移后得C ′的解析式为（ ） A.y=x+10 B.y=x-6 C.y=x+6 D.y=x-10 11.将函数y=x 2+4x+5的图像按向量a 经过一次平移后，得到y=x 2 的图像，则a 等于（ ） A.(2,-1) B.(-2,1) C.(-2,-1) D.(2,1) 12.已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，则它的第4个顶点D 的坐标是（ ） A.(2a,b) B.(a-b,a+b) C.(a+b,b-a) D.(a-b,b-a) 二、填空题 13.设向量a=(2,-1)，向量b 与a 共线且b 与a 同向，b 的模为25，则b= 。 14.已知：|a|=2,|b|=2,a 与b 的夹角为45°，要使λb-a 垂直，则λ= 。 15.已知|a|=3,|b|=5，如果a ∥b ，则a ·b= 。 16.在菱形ABCD 中，（AB +AD ）·（AB -AD ）= 。

高中数学平面向量习题及答案

第二章 平面向量 一、选择题 1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则( )． A ．AB 与AC 共线 B ．DE 与CB 共线 C ．与相等 D ．与相等 2．下列命题正确的是( )． A ．向量与是两平行向量 B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝b C ．若＝，则A ，B ，C ， D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同 3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3，1)，B (－1，3)，若点C 满足＝α OA ＋β OB ，其中 α，β∈R ，且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为( )． A ．3x ＋2y －11＝0 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5 C ．2x －y ＝0 D ．x ＋2y －5＝0 4．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是( )． A ． 6 π B ． 3 π C ． 23 π D ． 56 π 5．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则＝( )． A ．λ(＋)，λ∈(0，1) B ．λ(＋)，λ∈(0，22 ) C ．λ(－)，λ∈(0，1) D ．λ(－)，λ∈(0， 2 2) 6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则＝( )． A ．＋ B ．－ C ．＋ D ．＋ 7．若平面向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( )． (第1题)

高三数学复习微专题之平面向量篇矩形大法教师

一、 知识清单 1. 极化恒等式：如图，+=AD AB AC 2 ① -=CB A B A C ②,则： ①2 +②2 得：AC AD BC AB +=+242 2 22 ；①2-②2 得：AC AD BC AB ?=-4422 推广：AC AB AC BC AB AB AC cosA ?=?=?+-2 222 速记方法：?==-+-a b a b a b 4()()22，=++=+-a b a b a b 2 ()()2222 2. 矩形大法：如图，由极化恒等式可得 +=+PO BD 2PD PB 42 2 22①+=+PO AC 2 PA PC 422 22 ② 因为BD=AC ，所以PD PB PA PC +=+2222， 速记方法：矩形外一点到矩形对角顶点的平方和相等。 推广1：若ABCD 为平行四边形，则有PA PC PD PB =+-+-AC 2 )(BD 2 2 2 2 22 =-?= -AC AM BC 4 422 =4 1 0，且对于边AB 上任一点P ，恒有?≥?PB PC P B PC 00 。则( ) A.∠=ABC 90 B. ∠=BAC 90 C.=AB AC D. =AC BC 解析：D 为BC 中点，由极化恒等式有：?=-PC PD BC 4 PB 422 则当PD 最小时，PB ????? ?PC ????? 最小， 所以过D 作AB 垂线，垂足即为P 0,作AB 中点E ，则CE ⊥AB ，即AC=BC 。 3. 已知向量a b e ,,是平面向量，e 是单位向量． ?-++===b e a b a b a ()12,3,0,求-a b 的范围？ 解析：由?-++=b e a b a ()10,得-?-=e b e a ()()0 如图，===OA a OB b OE e ,, ，构造矩形ACBE ，由矩形大法有 +=+OE OC OA OB 222 2，则=OC ==∈-+=-+-AB CE OC OE OC OE a b [,] [2 3 1,231] 高三数学复习微专题之平面向量篇 第三讲：极化恒等式与矩形大法 解析：由极化恒等式有：AB 16推广2：若P 为平面外一点，上述性质仍成立。二、典型例题1．（２０１９浙江模拟卷）在?ABC 中，M 是BC 的中点，AM =3，BC =10，则A B A ? C =_________． 2.（2019山东模拟）在?ABC 中,P 0是边AB 上一定点，满足P B AB

53.高考数学专题26 平面向量(知识梳理)(理)(原卷版)

专题26 平面向量（知识梳理） 一、向量的概念及表示 1、向量的概念：具有大小和方向的量称为向量。 (1)数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。 (2)向量的表示方法： ①具有方向的线段，叫做有向线段，以A 为始点，B 为终点的有向线段记作AB ，AB 的长度记作||AB 。用有向线段AB 表示向量，读作向量AB ； ②用小写字母表示：a 、。 (3)向量与有向线段的区别和联系： ①向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量； ②有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段； ③向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段。向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段。 2、向量的模：向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作||。 3、零向量：长度等于零、方向是任意的向量，记作。 4、单位向量：长度为一个单位长度的向量。与非零向量共线的单位向量0a =。 5、平行向量：(1)若非零向量a 、的方向相同或相反，则b a //，又叫共线向量； (2)规定与任一向量平行。 6、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关)。 7、相等向量：若非零向量a 、方向相同且模相等，则向量a 、是相等向量。 (1)相等向量：=?模相等，方向相同； (2)相反向量：b a -=?模相等，方向相反。 二、向量的加法 1、三角形法则

图示 2、平行四边形法则 原理 已知两个不共线向量a 、b ，作a AB =，b BC =，则A 、B 、D 三点不共线，以AB 、AD 为邻边 作平行四边形，则对角线上的向量b a AC +=，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则。 图示 3、多边形法则 原理 已知n 个向量，依次把这n 个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第n 个向量的终点为终点 的向量叫做这n 个向量的和向量，这个法则叫做向量求和的多边形法则。 图示 运算律 交换律 a b b a +=+ 结合律 )()(c b a c b a ++=++ 1、相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作a -。 (1)规定：零向量的相反向量仍是零向量； (2)a a =--)(； (3)0)()(=+-=-+a a a a ； (4)若a 与b 互为相反向量，则b a -=，a b -=，0=+b a 。 2、向量的减法：已知向量a 与b (如图)，作a OA =，b OB =，则a BA b =+，向量BA 叫做向量a 与b 的差，并记作b a -，即OB OA b a BA -=-=，由定义可知： (1)如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量； (2)一个向量BA 等于它的终点相对于点O 的位置向量OA 减去它的始点相对于点O 的位置向量OB ，或简记为“终点向量减始点向量”；

(完整版)高中数学平面向量测试题及答案

平面向量测试题 一、选择题： 1。已知ABCD 为矩形，E 是DC 的中点，且?→?AB =→a ，?→?AD ＝→b ，则?→ ?BE ＝（ ） （A ） →b +→a 2 1 （B ） →b －→a 2 1 （C ） →a ＋→b 2 1 （D ） →a －→ b 2 1 2．已知B 是线段AC 的中点，则下列各式正确的是（ ） （A ） ?→?AB ＝－?→?BC （B ） ?→?AC ＝?→?BC 2 1 （C ） ?→?BA ＝?→?BC （D ） ?→?BC ＝?→ ?AC 2 1 3．已知ABCDEF 是正六边形，且?→?AB ＝→a ，?→?AE ＝→b ，则?→ ?BC ＝（ ） （A ） )(2 1→→-b a （B ） )(2 1 →→-a b （C ） →a ＋→b 2 1 （D ） )(2 1→ →+b a 4．设→a ，→b 为不共线向量，?→?AB ＝→a +2→b ,?→?BC ＝－4→a －→b ,?→ ?CD ＝ －5→ a －3→ b ,则下列关系式中正确的是 （ ） （A ）?→?AD ＝?→?BC （B ）?→?AD ＝2?→ ?BC （C ）?→?AD ＝－?→ ?BC （D ）?→?AD ＝－2?→ ?BC 5．将图形F 按→ a ＝（h,k ）（其中h>0,k>0）平移，就是将图形F （ ） （A ） 向x 轴正方向平移h 个单位，同时向y 轴正方向平移k 个单位。 （B ） 向x 轴负方向平移h 个单位，同时向y 轴正方向平移k 个单位。 （C ） 向x 轴负方向平移h 个单位，同时向y 轴负方向平移k 个单位。 （D ） 向x 轴正方向平移h 个单位，同时向y 轴负方向平移k 个单位。 6．已知→a ＝（)1,2 1，→ b ＝(), 2 22 3- ，下列各式正确的是（ ） （A ） 2 2?? ? ??=??? ??→ →b a （B ） →a ·→b ＝1 （C ） →a ＝→b （D ） →a 与→b 平行 7．设→ 1e 与→ 2e 是不共线的非零向量，且k → 1e ＋→ 2e 与→ 1e ＋k → 2e 共线，则k 的值是（ ） （A ） 1 （B ） －1 （C ） 1± （D ） 任意不为零的实数 8．在四边形ABCD 中，?→?AB ＝?→?DC ，且?→?AC ·?→ ?BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ） （A ） 矩形 （B ） 菱形 （C ） 直角梯形 （D ） 等腰梯形 9．已知M （－2，7）、N （10，－2），点P 是线段MN 上的点，且?→ ?PN ＝－2?→ ?PM ，则P 点的坐标为（ ） （A ） （－14，16）（B ） （22，－11）（C ） （6，1） （D ） （2，4）

(完整版)高中数学平面向量专题训练

高中数学平面向量专题训练 一、选择题： 1、若向量方程23(2)0x x a --=r r r r ，则向量x r 等于 A 、65 a r B 、6a -r C 、6a r D 、65 a -r 2、两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了相同的路程，设两列火车的位移向量分别为a r 和b r ，那么下列命题中错误的一个是 A 、a r 与b r 为平行向量 B 、a r 与b r 为模相等的向量 C 、a r 与b r 为共线向量 D 、a r 与b r 为相等的向量 3、AB BC AD +-=u u u r u u u r u u u r A 、AD u u u r B 、CD uuu r C 、DB u u u r D 、DC u u u r 4、下列各组的两个向量，平行的是 A 、(2,3)a =-r ，(4,6)b =r B 、(1,2)a =-r ，(7,14)b =r C 、(2,3)a =r ，(3,2)b =r D 、(3,2)a =-r ，(6,4)b =-r 5、若P 分AB u u u r 所成的比为4 3 ，则A 分BP u u u r 所成的比为 A 、7 3 - B 、3 7 - C 、73 D 、 3 7 6、已知(6,0)a =r ，(5,5)b =-r ，则a r 与b r 的夹角为 A 、045 B 、060 C 、0135 D 、0120 7、已知i r ，j r 都是单位向量，则下列结论正确的是 A 、1i j ?=r r B 、22 i j =r r C 、i r ∥j i j ?=r r r D 、0i j ?=r r 8、如图，在四边形ABCD 中，设AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ， BC c =u u u r r ，则DC =u u u r A 、a b c -+r r r B 、()b a c -+r r r C 、a b c ++r r r D 、b a c -+r r r 9、点),0(m A )0(≠m ，按向量a r 平移后的对应点的坐标是)0,(m ，则向量a r 是 C B A D

2020年高考数学试题分类汇编 平面向量

九、平面向量 一、选择题 1.（四川理4）如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++u u u r u u u r u u u r = A ．0 B ．BE u u u r C ．AD u u u r D ．CF uuu r 【答案】D 【解析】BA CD EF BA AF EF BF EF C E E F CF ++=++=+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2.（山东理12）设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ=u u u u v u u u u v （λ∈R ），1412A A A A μ=u u u u v u u u u v （μ∈R ），且112λμ+=,则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知平面上的点C ，D 调和分割点A ， B 则下面说法正确的是 A ．C 可能是线段A B 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点 C ．C ， D 可能同时在线段AB 上 D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上 【答案】D 3.（全国新课标理10）已知a ，b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题 12:||1[0,)3p a b πθ+>?∈ 22:||1(,]3p a b πθπ+>?∈ 13:||1[0,)3p a b πθ->?∈ 4:||1(,]3p a b πθπ->?∈ 其中真命题是 （A ） 14,p p （B ） 13,p p （C ） 23,p p （D ） 24,p p 【答案】A 4.（全国大纲理12）设向量a ，b ，c 满足a =b =1，a b g =12- ，,a c b c --=060，则c 的最大值等于 A ．2 B ．3 C ．2 D ．1 【答案】A 5.（辽宁理10）若a ，b ，c 均为单位向量，且0=?b a ，0)()(≤-?-c b c a ，则||c b a -+的 最大值为 （A ）12- （B ）1 （C ）2 （D ）2 【答案】B 6.（湖北理8）已知向量a=（x +z,3）,b=（2,y-z ），且a ⊥ b ．若x ,y 满足不等式 1x y +≤， 则z 的取值范围为 A ．[-2，2] B ．[-2，3] C ．[-3，2] D ．[-3，3] 【答案】D 7.（广东理3）若向量ａ，ｂ，ｃ满足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ，则(2)c a b ?+= A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 【答案】D