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椭圆的简单几何性质(二)

2．2.2 椭圆的简单几何性质(二)

学习目标 1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系的相关知识．

知识点一点与椭圆的位置关系

思考点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2

2＝1(a >b >0)有几种位置关系？

答案点P 与椭圆有三种位置关系：在椭圆外、在椭圆内、在椭圆上．

梳理设P (x 0，y 0)，椭圆x 2a 2＋y 2

2＝1(a >b >0)，则点P 与椭圆的位置关系如下表所示：

位置关系满足条件 P 在椭圆外 x 20a 2＋y 20

b 2>1 P 在椭圆上 x 20a 2

＋y 20

b 2＝1 P 在椭圆内

x 20a 2

＋y 20

2<1 知识点二思考1 直线与椭圆有几种位置关系？

答案有三种位置关系，分别有相交、相切、相离．

思考2 如何判断y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的位置关系？

答案联立????

y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2

＝1，消去y 得关于x 的一元二次方程

位置关系解的个数 Δ的取值相交两解 Δ>0 相切一解 Δ＝0 相离

无解

Δ<0

梳理 (1)将直线的方程和椭圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线和椭圆相交；若Δ＝0，则直线和椭圆相切；若Δ<0，则直线和椭圆相离． (2)根与系数的关系及弦长公式：

设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b 为常数)与椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)相交，两个交点为A (x 1，y 1)、B (x 2，

y 2)，则线段AB 叫做直线l 截椭圆所得的弦，线段AB 的长度叫做弦长．下面我们推导弦长公式：由两点间的距离公式，得AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2，将y 1＝kx 1＋b ，y 2＝kx 2＋b 代入上式，得AB ＝(x 1－x 2)2＋(kx 1－kx 2)2＝(x 1－x 2)2＋k 2(x 1－x 2)2＝1＋k 2|x 1－x 2|，而|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，所以AB ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，其中x 1＋x 2与x 1·x 2均可由根与系数的关系得到．

(3)直线和椭圆相交是三种位置关系中最重要的，判断直线和椭圆相交可利用Δ>0.

例如，直线l ：y ＝k (x －2)＋1和椭圆x 216＋y 2

9＝1.无论k 取何值，直线l 恒过定点(2,1)，而定点

(2,1)在椭圆内部，所以直线l 必与椭圆相交.

类型一直线与椭圆的位置关系

例1 (1)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 22＋y 2

3＝1的位置关系是( )

A ．相交

B ．相切

C ．相离

D ．不确定答案 A

解析直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1过定点(1,1)，且该点在椭圆内部，因此必与椭圆相交． (2)在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2

＝1有两个不

同的交点P 和Q .求k 的取值范围．

解由已知条件知直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程得x 2

＋(kx ＋2)2＝1.整理得

????12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0.直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于Δ＝8k 2－4???

?12＋k 2＝4k 2－2＞0，解得k ＜－

22或k ＞2

. 即k 的取值范围为?

???－∞，－

22∪???

?22，＋∞.

反思与感悟直线与椭圆的位置关系判别方法(代数法) 联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程 (1)Δ>0?直线与椭圆相交?有两个公共点． (2)Δ＝0?直线与椭圆相切?有且只有一个公共点． (3)Δ<0?直线与椭圆相离?无公共点．

跟踪训练1 (1)已知直线l 过点(3，－1)，且椭圆C ：x 225＋y 2

＝1，则直线l 与椭圆C 的公共

点的个数为( )

A ．1

B ．1或2

C ．2

D ．0

(2)若直线y ＝kx ＋2与椭圆x 23＋y 2

2＝1相切，则斜率k 的值是( )

63 B ．－63 C ．±63 D ．±33

答案 (1)C (2)C

解析 (1)因为直线过定点(3，－1)且3225＋(－1)236

<1，

所以点(3，－1)在椭圆的内部，故直线l 与椭圆有2个公共点． (2)把y ＝kx ＋2代入x 23＋y 2

2＝1得(2＋3k 2)x 2＋12kx ＋6＝0，由于Δ＝0，

∴k 2＝23，∴k ＝±63

类型二直线与椭圆的相交弦问题

例2 已知椭圆x 236＋y 2

9＝1和点P (4,2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A 、B 两点．

(1)当直线l 的斜率为1

2时，求线段AB 的长度；

(2)当P 点恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程．解 (1)由已知可得直线l 的方程为y －2＝1

2(x －4)，

即y ＝1

2x .由?

y ＝12

x ，x 2

36＋y 2

9＝1，消去y 可得x 2－18＝0，若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝0，

x 1x 2＝－18.

于是|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝ (x 1－x 2)2＋1

4(x 1－x 2)2

＝5

(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝

×62＝310. 所以线段AB 的长度为310.

(2)方法一设l 的斜率为k ，则其方程为y －2＝k (x －4)．

联立????

y －2＝k (x －4)，x 236＋y 29＝1，

消去y 得(1＋4k 2)x 2－(32k 2－16k )x ＋(64k 2－64k －20)＝0.

若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝32k 2－16k

1＋4k 2，

由于AB 的中点恰好为P (4,2)，所以x 1＋x 22＝16k 2－8k 1＋4k 2＝4，

解得k ＝－1

，且满足Δ>0.

这时直线的方程为y －2＝－1

2(x －4)，

即x ＋2y －8＝0.

方法二设A (x 1

，y 1

)，B (x 2

，y 2

)，则有???

x 2136＋y 21

＝1，x 22

36＋y

9＝1，

两式相减得x 22－x 2136＋y 22－y 2

＝0，

整理得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－9(x 2＋x 1)

36(y 2＋y 1)，

由于P (4,2)是AB 的中点，∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，于是k AB ＝－9×836×4

＝－1

2，

于是直线AB 的方程为y －2＝－1

2(x －4)，

即x ＋2y －8＝0.

反思与感悟处理直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线与椭圆构成的方程．利用根与系数的关系或中点坐标公式解决，涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系．跟踪训练2 如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为

A (2,0)，离心率为2

.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N .

(1)求椭圆C 的方程； (2)当△AMN 的面积为

时，求k 的值．解 (1)由题意得?????

a ＝2，c a ＝2

2，

a 2

＝b 2

＋c 2

，

解得b ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2

＝1.

(2)由????

y ＝k (x －1)，x 24＋y 22＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.

设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)， x 1＋x 2＝4k 2

1＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2，

所以|MN |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2(1＋k 2)(4＋6k 2)1＋2k 2

又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝

|k |

1＋k 2

，所以△AMN 的面积为S ＝1

2|MN |·d ＝|k |4＋6k 21＋2k 2，

由|k |4＋6k 21＋2k 2＝10

3，解得k ＝±1.

类型三椭圆中的最值(或范围)问题例3 已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .

(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．

解 (1)由?

????

4x 2＋y 2＝1，

y ＝x ＋m 得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，

因为直线与椭圆有公共点，所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0，解得－52≤m ≤5

. (2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，由(1)知：5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，所以x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝1

5(m 2－1)，

所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝2(x 1－x 2)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝

2????4m 2

25－45(m 2－1)＝2

10－8m 2. 所以当m ＝0时，|AB |最大，此时直线方程为y ＝x . 反思与感悟求最值问题的基本策略

(1)求解形如|P A |＋|PB |的最值问题，一般通过椭圆的定义把折线转化为直线，当且仅当三点共

线时|P A |＋|PB |取得最值．

(2)求解形如|P A |的最值问题，一般通过二次函数的最值求解，此时一定要注意自变量的取值范围．

(3)求解形如ax ＋by 的最值问题，一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决． (4)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围．

跟踪训练3 已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若点A 的坐标为(3,0)，|AM →|＝1，且PM →·AM

→

＝0，求|PM →

|的最小值．解由|AM →

|＝1，A (3,0)，知点M 在以A (3,0)为圆心， 1为半径的圆上运动，

∵PM →·AM →＝0且P 在椭圆上运动，

∴PM ⊥AM ，即PM 为⊙A 的切线，连接P A (如图)，则|PM →|＝|P A →|2－|AM →|2

＝

|P A →

|2－1，

∴当|P A →|min ＝a －c ＝5－3＝2时，|PM →

|min ＝ 3.

1．点A (a,1)在椭圆x 24＋y 2

2＝1的内部，则a 的取值范围是( )

A ．－2＜a ＜ 2

B ．a ＜－2或a ＞ 2

C ．－2＜a ＜2

D ．－1＜a ＜1

答案 A

解析由题意知a 24＋1

＜1，解得－2＜a ＜ 2.

2．已知直线l ：x ＋y －3＝0，椭圆x 24＋y 2

＝1，则直线与椭圆的位置关系是( )

A ．相交

B ．相切

C ．相离

D ．相切或相交答案 C

解析把x ＋y －3＝0代入x 24＋y 2

＝1，

得x 2

＋(3－x )2＝1，即5x 2－24x ＋32＝0. ∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0, ∴直线与椭圆相离．

3．椭圆x 24＋y 2

3＝1的右焦点到直线y ＝3x 的距离是( )

A.12

B.3

2 C ．1 D.

3 答案 B

解析椭圆的右焦点为F (1,0)，由点到直线的距离公式得d ＝

33＋1＝3

.选B. 4．椭圆x 216＋y 2

4＝1上的点到直线x ＋2y －2＝0的最大距离是( )

A ．3 B.11 C ．2 2 D.10

答案 D

解析设与直线x ＋2y －2＝0平行的直线为x ＋2y ＋m ＝0与椭圆联立得，(－2y －m )2＋4y 2－16＝0，即4y 2＋4my ＋4y 2－16＋m 2＝0

得2y 2＋my －4＋

m 2

＝0.

Δ＝m 2－8

???

?m 2

4－4＝0, 即－m 2＋32＝0， ∴m ＝±4 2.∴两直线间距离最大是当m ＝42时， d max ＝

|2＋42|

＝10. 5．若直线y ＝x ＋1与椭圆x 22＋y 2

＝1相交于A ，B 两个不同的点，则|AB |＝________.

答案

解析由题意????

y ＝x ＋1，x 22

＋y 2＝1，

解得A ，B 两个不同的点的坐标分别为(0,1)，????－43

，－1

3，故|AB |＝ 169＋169＝4 23

(1)点P (x 0，y 0)和椭圆x 2a 2＋y 2

2＝1(a >b >0)的关系

①P (x 0，y 0)在椭圆内?x 20

a 2＋y 2

0b 2<1；

②P (x 0，y 0)在椭圆上?x 20

a 2＋y 2

0b 2＝1；

③P (x 0，y 0)在椭圆外?x 20

a 2＋y 20b

2>1.

(2)如图，过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦|AB |＝2b 2

，称为通径．

(3)如图，P 为椭圆上的点，F 1，F 2为椭圆的两个焦点，且∠F 1PF 2＝θ，则△F 1PF 2的面积为b 2·tan θ2

(4)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与x 2a 2＋y 2

2＝k (k >0)有相同的离心率．

一、选择题

1．线段|AB |＝4，N 为AB 的中点，动点P 满足条件|P A |＋|PB |＝6，当P 点在同一平面内运动时，|PN |的最大值M ，最小值m 分别是( ) A ．M ＝4，m ＝ 3 B ．M ＝3，m ＝ 5 C ．M ＝5，m ＝ 5 D ．M ＝3，m ＝ 3

答案 B

解析由|P A |＋|PB |＝6>|AB |＝4，

∴P 的轨迹是以A 、B 为焦点，N 为中心的椭圆．则M ＝|PN |max ＝a ＝3，

m ＝|PN |min ＝b ＝a 2－c 2＝9－4＝ 5.

2．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 2

2＝1所截得的弦的中点坐标是( )

A.????23，53

B.????

43，73 C.????－23，13 D.????－132

，－172 答案 C

解析把y ＝x ＋1代入椭圆方程，整理得3x 2＋4x －2＝0，所以弦的中点坐标(x 0，y 0)满足x 0＝

x 1＋x 22＝－23，y 0＝x 0＋1＝－23＋1＝1

3．已知椭圆mx 2＋4y 2＝1的离心率为2

，则实数m 等于( ) A ．2 B ．2或8

C ．2或6

D ．2或8

答案 D

解析显然m >0且m ≠4，当0

则

1m －141m

＝2

2，解得m ＝2；当m >4时，椭圆长轴在y 轴上，

则

14－1m 14

＝2

2，解得m ＝8. 4．已知F 1，F 2是椭圆x 24＋y 2

＝1的两个焦点，P 为椭圆上一动点，则使|PF 1|·|PF 2|取最大值的

点P 为( ) A ．(－2,0) B ．(0,1)

C ．(2,0)

D ．(0,1)或(0，－1)

答案 D

解析由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4， ∴|PF 1|·|PF 2|≤(

|PF 1|＋|PF 2|2

＝4，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝2，即P (0，－1)或(0,1)时，取“＝”．

5．已知椭圆：x 24＋y 2

b 2＝1(0＜b ＜2)，左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，

B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是( ) A ．1 B. 2 C.32 D. 3

答案 D

解析由题意知a ＝2，所以|BF 2|＋|AF 2|＋|AB |＝4a ＝8，因为|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，所以|AB |的最小值为3，当且仅当AB ⊥x 轴时，取得最小值，此时A ????－c ，32，B ?

???－c ，－3

2，代

入椭圆方程得c 24＋94b 2＝1，又c 2＝a 2－b 2＝4－b 2

，所以4－b 24＋94b 2＝1，即1－b 24＋94b 2＝1，所

以b 24＝9

4b 2，解得b 2＝3，所以b ＝ 3. 6．已知圆

C 1：x 2＋2cx ＋y 2＝0，圆

C 2

：x 2－2cx ＋y 2＝0，c >0，椭圆

C ：x 2a 2＋y 2

2＝1(a >b >0)，

且c 2＝a 2－b 2.若圆C 1，C 2都在椭圆内，则椭圆离心率的取值范围是( ) A ．[1

2，1)

B ．(0，1

C ．[

，1) D ．(0，

] 答案 B

解析圆C 1，C 2都在椭圆内等价于圆C 2的右顶点(2c,0)，上顶点(c ，c )在椭圆内部， ∴只需????

2c ≤a ，c 2a 2＋c 2b 2≤1，

可得?????

e ≤12，e 4－3e 2＋1≥0，

结合e ∈(0,1)，可得0

7．已知椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线x ＋y ＝1相交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，若直线OM 的斜率为2，则n

m 的值为( )

22 B.1

C. 2 D ．2 答案 A

解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点M (x 0，y 0)，由题意可得y 1＋y 2x 1＋x 2＝y 0x 0＝2，y 2－y 1

x 2－x 1

＝－1，①

因为A ，B 在椭圆上，所以mx 21＋ny 21＝1，mx 22＋ny 2

2＝1，

两式相减可得m (x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋n (y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0.② 所以y 1－y 2x 1－x 2＝－m (x 1＋x 2)n (y 1＋y 2)，即－1＝－m (x 1＋x 2)n (y 1＋y 2)，

所以－1＝－m n ·22，即n m ＝22.

二、填空题

8．人造地球卫星的运行是以地球中心为一个焦点的椭圆，近地点距地面p 千米，远地点距地面q 千米，若地球半径为r 千米，则运行轨迹的短轴长为____________．

答案 2(p ＋r )(q ＋r )

解析 ∵?

????

p ＋r ＝a －c ，

q ＋r ＝a ＋c ，

∴b 2＝a 2－c 2＝(a ＋c )(a －c )＝(q ＋r )(p ＋r )， ∴2b ＝2(p ＋r )(q ＋r ). 9．若直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4

没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 2

＝1的交

点个数为________．答案 2

解析因为直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点，所以

|－4|m 2＋n 2

>2，所以m 2＋n 2<4，

即点P (m ，n )在以原点为圆心，以2为半径的圆内，故过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 2

4＝1

有两个交点．

10．设椭圆中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k >0)与线段AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．若ED →＝6DF →

，则k 的值为________．答案 23或38

解析依题意得椭圆的方程为x 24

＋y 2

＝1，

直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k >0)．如图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1

1＋4k 2

. 由ED →＝6DF →

知x 0－x 1＝6(x 2－x 0)，得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝10

71＋4k 2

由D 在直线AB 上知，x 0＋2kx 0＝2，x 0＝2

1＋2k ，

所以21＋2k ＝1071＋4k 2，

化简得24k 2－25k ＋6＝0，由此解得k ＝23或k ＝3

三、解答题

11．已知椭圆C 1：x 24＋y 2

＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．

(1)求椭圆C 2的方程；

(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →

，求直线AB 的方程．解 (1)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 2

4＝1(a >2)，

其离心率为32，故a 2－4a ＝3

2，解得a ＝4.

故椭圆C 2的方程为y 216＋x 2

＝1.

(2)方法一 A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB ＝2OA 及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .

将y ＝kx 代入x 24＋y 2

＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，

所以x 2A ＝4

1＋4k 2

. 将y ＝kx 代入y 216＋x 2

4＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16，

所以x 2B ＝

4＋k 2

. 又由OB →＝2OA →，得x 2B ＝4x 2

A ，即164＋k 2＝161＋4k 2，解得k ＝±1.故直线A

B 的方程为y ＝x 或y ＝－x . 方法二 A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，

由OB →＝2OA →

及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .

将y ＝kx 代入x 24＋y 2

＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，

所以

x 2A ＝

41＋4k 2，y 2A ＝4k 2

1＋4k 2

. 由OB →＝2OA →，得x 2B ＝161＋4k 2，y 2

B ＝16k 21＋4k 2.

将

x 2B ，y 2

B 代入

y 216＋x 2

4＝1中，得4＋k 21＋4k 2

＝1，即4＋k 2＝1＋4k 2，

解得k ＝±1.故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .

12．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(－2,0)，F 2(2,0)，离心率为6

.过点

F 2的直线l (斜率不为0)与椭圆C 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为D ，O 为坐标原点，直线OD 交椭圆于M ，N 两点． (1)求椭圆C 的方程；

(2)当四边形MF 1NF 2为矩形时，求直线l 的方程．

解 (1)由题意可知?????

c ＝2，

c a ＝6

3，

a 2

＝b 2

＋c 2

，

解得a ＝6，b ＝ 2. 故椭圆C 的方程为x 26＋y 2

2＝1.

(2)由题意可知直线l 的斜率存在．设其方程为y ＝k (x －2)，

点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 3，y 3)，N (－x 3，－y 3)，由?????

x 2

6＋y 2

2＝1，y ＝k (x －2)，

得(1＋3k 2)x 2－12k 2x ＋12k 2－6＝0，则x 1＋x 2＝12k 21＋3k 2

，

则y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－4)＝－4k

1＋3k 2

，

所以AB 的中点D 的坐标为(6k 2

1＋3k 2，－2k 1＋3k 2)，

因此直线OD 的方程为x ＋3ky ＝0(k ≠0)．由????

x ＋3ky ＝0，x 26＋y 22

＝1，

解得y 23＝21＋3k 2，x 3＝－3ky 3，因为四边形MF 1NF 2为矩形，所以F 2M →·F 2N →＝0.

即(x 3－2，y 3)·(－x 3－2，－y 3)＝0，

所以4－x 23－y 23＝0，

所以4－2(9k 2＋1)1＋3k 2

＝0.

解得k ＝±3

故直线l 的方程为y ＝±3

(x －2)．

13．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(1，32)，离心率为1

2，左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的

直线交椭圆于A 、B 两点． (1)求椭圆C 的方程；

(2)当△F 2AB 的面积为122

7时，求直线的方程．

解 (1)因为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(1，3

2)，

所以1a 2＋9

2＝1.①

又因为离心率为12，所以c a ＝1

2，

所以b 2a 2＝3

.②

解①②得a 2＝4，b 2＝3. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2

3＝1.

(2)当直线的倾斜角为π

2时，

A (－1，32)，

B (－1，－3

)，

ABF S

＝12|AB |×|F 1F 2|＝12×3×2＝3≠1227

. 当直线的倾斜角不为π

2时，设直线方程为y ＝k (x ＋1)，

代入x 24＋y 2

3＝1得(4k 2＋3)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0.

设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 2

4k 2＋3，

x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，

所以2

ABF S ＝1

|y 1－y 2|×|F 1F 2| ＝|k | (x 1＋x 2)2－4x 1x 2

＝|k |

(－8k 24k 2＋3)2

－4·4k 2－124k 2＋3

＝12|k |k 2＋14k 2＋3＝1227，

所以17k 4＋k 2－18＝0，解得k 2＝1(k 2＝－18

17舍去)，

所以k ＝±1，

所以所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y ＋1＝0.

2.1.2 椭圆的简单几何性质同步练习

2.1.2 椭圆的简单几何性质同步练习 1．椭圆的简单几何性质直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1 (a >b >0)的位置关系：直线与椭圆相切?????? y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2 b 2＝1有______组实数解，即Δ______0.直线与椭圆相交? ????? y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1有______组实数解，即Δ______0，直线与椭圆相离?????? y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2 b 2＝1________实数解，即Δ______0. 一、选择题 1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) A ．5,3，45 B ．10,6，4 5 C ．5,3，35 D ．10,6，3 5 2．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为( ) A ．x 236＋y 216＝1 B ．x 216＋y 2 36＝1 C ．x 26＋y 24＝1 D ．y 26＋x 2 4 ＝1 3．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为1 2 ，则m 等于( )

A ． 3 B ．32 C ．83 D ．2 3 4．如图所示，A 、B 、C 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的顶点与焦点，若∠ABC ＝90°，则该椭圆的离心率为( ) A.－1＋52 B ．1－22 C.2－1 D.2 2 5．若直线mx ＋ny ＝4与圆O ：x 2 ＋y 2 ＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋ y 2 4 ＝1的交点个数为( ) A ．至多一个 B ．2 C ．1 D ．0 6．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点。满足1MF ·MF 2→ ＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．??? ?0，12 C ．???0，2 D ．???2 ，1 7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为5 5 ，且过点P (－5,4)，则椭圆的方程为______________． 8．直线x ＋2y －2＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1 (a >b >0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于______． 9．椭圆E ：x 216＋y 2 4 ＝1内有一点P (2,1)，则经过P 并且以P 为中点的弦所在直线方程为 ____________．三、解答题 10．如图，已知P 是椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1 (a >b >0)上且位于第一象限的一点，F 是椭圆的右焦点，O 是椭圆中心，B 是椭圆的上顶点，H 是直线x ＝－a 2 c (c 是椭圆的半焦距)与x 轴的交点，若PF ⊥OF ，HB ∥OP ，试求椭圆的离心率e .

椭圆的简单几何性质教案(绝对经典)

第2课时椭圆的简单几何性质错误!题型分类深度解析考点一椭圆的性质【例1】 (1)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( ) A.63 B.33 C.23 D.13 (2)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点.若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于4 5，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A.? ?? ??0，32 B.??? ?0，34 C.?? ?? ??32，1 D.??? ?3 4，1 解析 (1)以线段A 1A 2为直径的圆是x 2＋y 2＝a 2，又与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，所以圆心(0，0)到直线的距离d ＝2ab a 2＋b 2 ＝a ，整理为a 2＝3b 2 ，即b a ＝13. ∴e ＝c a ＝a 2－ b 2a ＝ 1－??? ?b a 2 ＝ 1－? ?? ??132＝63. (2)设左焦点为F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形. ∵|AF |＋|BF |＝4， ∴|AF |＋|AF 0|＝4，∴a ＝2. 设M (0，b )，则4b 5≥4 5，∴1≤b <2. 离心率e ＝c a ＝ c 2a 2＝ a 2－ b 2a 2＝ 4－b 24∈? ???? 0，32. 答案 (1)A (2)A 规律方法求椭圆离心率的方法 (1)直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解. (2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的

椭圆的简单几何性质(二)

第2课时：椭圆的简单几何性质（二）【学习目标】１．进一步熟悉和掌握椭圆的几何性质（对称性、范围、顶点、离心率等）；２．掌握求曲线方程的一些基本方法；３．会利用椭圆的标准方程和几何性质解决一些简单的实际问题。【知识线索】椭圆两种标准方程的性质比较定义平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于 2 1 F F）的点的轨迹标准方程 )0 (1 2 2 2 2 > > = +b a b y a x )0 (1 2 2 2 2 > > = +b a b x a y 图形焦点坐标范围对称性顶点坐标离心率 c b a, ,的含义及关系【知识建构】 1.椭圆中方程思想的应用； 2.注意椭圆的焦点的位置的确定； 3.利用椭圆的定义接相关椭圆问题是很重要的方法。【典例透析】高二选修2-1：第二章圆锥曲线与方程四环节导思教学导学案课时目标呈现目标导航课前自主预习新知导学疑难导思课中师生互动 x A2 B2 F2 y O A1 B1 F1 y O A1 B1 x A2 B2 F1 F2

例1．与椭圆)0(2 32 2>=+λλy x 有相同的离心率，且过点)2,32(的椭圆的标准方程是例2．如图，点B A ,分别是椭圆 120 362 2=+y x 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴的上方， PF PA ⊥。（1）求点P 的坐标；（2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于||MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值。【课堂检测】 1.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为_______． 2.已知点P 是椭圆14 52 2=+y x 上的一点，且以点P 及焦点1F ，2F 为定点的三角形的面积等于1，求点P 的坐标。【课堂小结】 y F O A B x 课后训练提升达标导练 M P

《椭圆的简单几何性质》教学反思.doc

《椭圆的简单几何性质》教学反思数学组冶有得为了提高年轻教师的业务能力和专业素养，学校邀请乌市专家到我校听年轻教师上课, 为了上好木节课，我做了充分准备，下面我从的前期准备、课堂自我感觉及专家评课等方面进行反思，反思如下：一、课前准备：在前期认真翻看了课木和课标，并多次请教粟登科老师、高志华老师；根据木班学生的实际情况制定了木节的教学目标、教学重难点，列出了框架，再依据框架撰写了教学设计、导学案并制作ppt。二、课堂自我感觉：从课堂上来看，学生反应积极，教学进程流畅，学生对于知识点达到了掌握和理解，同时能紧跟着老师的思路；基木实现了木节课的预期目标，可惜的是最麻一道练习没处理完。三、专家评课：一是优点：本节课采用了数形结合的数学思想，更加直观、形象的说明的椭圆的几何性质，使得将难度降低，学生更容易理解、掌握；讲练结合，讲完一个性质练习一道题，使得学生巩同了所学内容，更进一步加深了记忆；课堂较顺利，推进的速度也比较快, 板书较为桀齐；课堂采用了几何曲板，使得复杂的问题简单化。问题的设置较好，层层递进, 使得与学生的互动也比较多，充分体现了新课标要求，以学生为本，将课堂还给学生。二是缺点：在推到离心率公式的时候速度过快，没有足够的时间去分析和挖掘；例1的讲解只采用了代数法讲解，若结合图形就更能说明问题，学生也更容易理解；本节课的容最较大。四、课后反思： 1.细节决定成败。细节是往往我们忽略的地方，如在复习椭圆的定义时没有强调（| PF】I + I PF2 |= 2a（2a >\ F}F2 |）,如果不满足条件（2a>2c）,那么这个点的轨迹就不是椭圆了，所以要注重教学内容的严谨性。 2.对个别学生的关注度不够，通过检杏笔记和练习本发现上课时没有动笔，一两个学生有打嗑睡的现象。 3.教学语言还需要锤炼。在叙述椭圆的离心率时，语言的表达不是那么精准，也不到位。尔对于一个教师来说最基木就是能够把白己的知识准确的、简单的传授给学生，把复杂的问题简单化，使学生更容易接受，让学生更加认可你。 4?对于教材的挖掘有所欠缺，如叙述离心率是课本上有详细的解答，描述的也比较到位。五、听专家课的一些想法：乌市专家在高三（14）班上了一节公开课《解三角形》，作为高三的复习课，我们上课的方式一般会是知识梳理、讲解例题、课堂练习；对于公式的推到、背景很少讲解，但是赵老师先复习了最基础的、最简单的公式（三角形的面积公式、锐角三角函数）；Z后利用这两个公式一步步得出了面积公式、正弦定理、余弦定理及推论，使学生更加熟悉了并会应用公式，记忆也比较牢固；然后出了一些较为简单的高考题型进行练习, 最示讲解两道相对复杂的例题。从上课的模式、心态、语言表达等方面给我留下了深刻的印象，也是我学习的内容。总Z,作为一名年轻教师，要不断的学习，不断地改进，争取早U成熟起来。通过这次的上课和听课，让我也认识到了白己的不足，明确了改进的方向，同时给白己也提出了很多问题，怎样让自己的教学方法多样化，吸引学生？怎样让学生喜欢数学？在今示的教学屮会更加努力。

椭圆的简单几何性质试题

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：

课时作业(八) [学业水平层次] 一、选择题 1．(2015·人大附中月考)焦点在x 轴上，短轴长为8，离心率为3 5的椭圆的标准方程是( ) A.x 2100＋y 2 36＝1 B.x 2100＋y 2 64＝1 C.x 225＋y 2 16＝1 D.x 225＋y 2 9＝1 【解析】本题考查椭圆的标准方程．由题意知2b ＝8，得 b ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝16，又e ＝c a ＝3 5，解得c ＝3，a ＝5，又焦点在x 轴上，故椭圆的标准方程为x 225＋y 2 16＝1，故选C. 【答案】 C 2．椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率为( ) A.12 B.13 C.14 D.22 【解析】由题意知a ＝2c ，∴e ＝c a ＝c 2c ＝1 2. 【答案】 A 3曲线x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 2 25－k ＝1(0

A ．有相等的焦距，相同的焦点 B ．有相等的焦距，不同的焦点 C ．有不等的焦距，不同的焦点 D ．以上都不对【解析】曲线x 225＋y 29＝1的焦距为2c ＝8，而曲线x 29－k ＋y 2 25－k ＝ 1(0＜k ＜9)表示的椭圆的焦距也是8，但由于焦点所在的坐标轴不同，故选B. 【答案】 B 4．已知O 是坐标原点，F 是椭圆x 24＋y 2 3＝1的一个焦点，过F 且与x 轴垂直的直线与椭圆交于M ，N 两点，则cos ∠MON 的值为( ) A.5 13 B ．－513 C.21313 D ．－21313 【解析】由题意，a 2＝4，b 2＝3，故c ＝ a 2－ b 2＝ 4－3＝1. 不妨设M (1，y 0)，N (1，－y 0)，所以124＋y 2 3＝1，解得y 0＝±3 2，所以|MN |＝3，|OM |＝|ON |＝12 ＋? ?? ??322＝13 2. 由余弦定理知 cos ∠MON ＝|OM |2＋|ON |2－|MN |2 2|OM ||ON | ＝

椭圆的简单几何性质一教案

椭圆的简单几何性质（一）池州第六中学王超教学目标（一）教学知识点椭圆的范围、对称性、对称轴、对称中心、离心率及顶点. （二）能力训练要求 1.使学生了解并掌握椭圆的范围. 2使学生掌握椭圆的对称性，明确标准方程所表示的椭圆的对称轴、对称中心. 3.使学生掌握椭圆的顶点坐标、长轴长、短轴长以及a 、b 、c 的几何意义，明确标准方程所表示的椭圆的截距. 4.使学生掌握离心率的定义及其几何意义. 教学重点椭圆的简单几何性质. 教学难点椭圆的简单几何性质. （这是第一次用代数的方法研究几何图形的性质的）教学方法师生共同讨论法. 通过师生的共同讨论研究，学生的亲身实践体验，使学生明确椭圆的几何性质的研究方法，加强对性质的理解，掌握椭圆的几何性质. 教学过程 Ⅰ.课题导入［师］前面，我们研究讨论椭圆的标准方程)0(122 22>>=+b a b y a x ，（焦点在x 轴上）或 )0(122 22>>=+b a b x a y （焦点在y 轴上）（板书）那么我们研究椭圆的标准方程有什么实际作用呢？同学们知道，2008年的8月，中国为世界奉献了一个空前盛况的奥运会，一个多月后的9月25日，世界的目光再次投向中国，同学们知道是什么事吗？（出示神七发射画片并解说）：2008年9月25日21时，“神舟七号”载人飞船顺利升空，实现多人多天飞行和宇航员太空行走等多项先进技术，标志着我国航天事业又上了一个新台阶，请

问： “神舟七号”载人飞船的运行轨道是什么？――对，是椭圆。据有关资料报道，飞船发射升空后，进入的是以地球的地心为一个焦点，距地球表面近地点高度约２００公里、远地点约３４６公里的椭圆轨道。我们在前几节课刚刚学习了椭圆的标准方程，请同学们回忆椭圆是标准方程是怎样的？它们有几种形式？问题1：我们前面刚刚学习了椭圆的标准方程，同学们还记得椭圆的标准方程吗？它有几种形式（板书）)0(12222>>=+b a b y a x )0(122 22>>=+b a b x a y （焦点在x 轴上）（焦点在y 轴上）问题2：你想求出神七在宇宙中运行的椭圆轨道的标准方程吗？ Ⅱ.讲授新课（板书标题）椭圆的几何性质首先我们进入本节课的第一个环节一、几何性质［师］我们不妨对焦点在x 轴的椭圆的标准方程. （板书）122 22=+b y a x (a ＞b ＞0)进行讨论. 在解析几何里，我们常常是从两个方面来研究曲线的几何性质：一是由曲线的图像去“看”曲线的几何特征（以形辅数），同时又由曲线的方程来“证”明它（以数助形）。我们今天也用这种方法来研究椭圆的几何性质， 1.范围：［师］所谓范围，就是指椭圆图象上的所有的点在什么约束范围内，也就是说椭圆上所有的点的纵、横坐标应该在哪个范围内取值。那么，你能从椭圆的图形上看出椭圆上所有的点所在的范围吗？［师］请看，如果我们过椭圆与x 轴的两个交点作两条平行于y 轴的直线，再过椭圆与y 轴的两个交点作两条平行于x 的直线（出示幻灯片）。此时，你能说出椭圆的范围吗？ [生]在一个矩形中［师］这两组平行线所在的直线方程是多少？能从椭圆的标准方程中找出它来吗？

椭圆的简单几何性质教案

课题：椭圆的简单几何性质设计意图：本节内容是椭圆的简单几何性质，是在学习了椭圆的定义和标准方程之后展开的，它是继续学习双曲线、抛物线的几何性质的基础。因此本节内容起到一个巩固旧知，熟练方法，拓展新知的承上启下的作用，是发展学生自主学习能力，培养创新能力的好素材。本教案的设计遵循启发式的教学原则，以培养学生的数形结合的思想方法，培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力。教学目标：了解用方程的方法研究图形的对称性；理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点的概念；掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题；通过例题了解椭圆的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术初步了解椭圆的第二定义．培养学生的数形结合的思想方法。教学重点：椭圆的简单几何性质的应用。教学难点：椭圆的简单几何性质的应用。二过程与方法目标（1）复习与引入过程引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中不仅要注意通过对椭圆的标准方程的讨论，研究椭圆的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的培养．①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；②由方程的性质得到椭圆的对称性；③先定义圆锥曲线顶点的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念；④通过P48的思考问题，探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率．〖板书〗椭圆的简单几何性质．（2）新课讲授过程（i）通过复习和预习，知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质．提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置．要从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质．（ii）椭圆的简单几何性质 ①范围：由椭圆的标准方程可得， 22 22 10 y x b a =-≥，进一步得：a x a -≤≤，同理可

椭圆的简单几何性质练习题

B ．有相等的焦距，不同的焦点 C ．有不等的焦距，不同的焦点 D ．以上都不对【解析】曲线x 225＋y 29＝1的焦距为2c ＝8，而曲线x 29－k ＋y 2 25－k ＝ 1(0＜k ＜9)表示的椭圆的焦距也是8，但由于焦点所在的坐标轴不同，故选B. 【答案】 B 4．已知O 是坐标原点，F 是椭圆x 24＋y 2 3＝1的一个焦点，过F 且与x 轴垂直的直线与椭圆交于M ，N 两点，则cos ∠MON 的值为( ) A.5 13 B ．－513 C.21313 D ．－21313 【解析】由题意，a 2＝4，b 2＝3，故c ＝a 2－b 2＝4－3＝1. 不妨设M (1，y 0)，N (1，－y 0)，所以124＋y 2 3＝1，解得y 0＝±3 2，所以|MN |＝3，|OM |＝|ON |＝12 ＋? ?? ??322＝13 2. 由余弦定理知 cos ∠MON ＝|OM |2＋|ON |2－|MN |2 2|OM ||ON | ＝? ????1322＋? ?? ??1322 －322×132×13 2＝－513. 【答案】 B

椭圆的简单几何性质教案(绝对经典)

第2课时椭圆的简单几何性质考点一椭圆的性质【例1】 (1)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( ) (2)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点.若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于4 5，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) ! 解析 (1)以线段A 1A 2为直径的圆是x 2＋y 2＝a 2，又与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，所以圆心(0，0)到直线的距离d ＝2ab a 2＋b 2＝a ，整理为a 2＝3b 2 ，即b a ＝13. ∴e ＝c a ＝a 2－ b 2a ＝ 1－? ?? ??b a 2＝ 1－? ????132＝63. (2)设左焦点为F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形. ∵|AF |＋|BF |＝4， ∴|AF |＋|AF 0|＝4，∴a ＝2. 设M (0，b )，则4b 5≥4 5，∴1≤b <2. 离心率e ＝c a ＝ c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝ 4－b 24∈? ???? 0，32. | 答案 (1)A (2)A 规律方法求椭圆离心率的方法 (1)直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解. (2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的