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灰色预测模型※※分析

灰色预测模型

灰色预测是就灰色系统所做的预测. 所谓灰色系统是介于白色系统和黑箱系统之间的过渡系统，其具体的含义是：如果某一系统的全部信息已知为白色系统，全部信息未知为黑箱系统，部分信息已知，部分信息未知，那么这一系统就是灰箱系统. 一般地说，社会系统、经济系统、生态系统都是灰色系统.

灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测. 尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此这一数据集合具备潜在的规律，灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测.

灰色预测模型只需要较少的观测数据即可，这和时间序列分析，多元回归分析等需要较多数据的统计模型不一样. 因此，对于只有少量观测数据的项目来说，灰色预测是一种有用的工具.

一、GM(1,1)模型

灰色系统理论是邓聚龙教授在1981年提出来的，是一种对含有不确定因素系统进行预测的方法. 通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，进行关联分析，并通过对原始数据进行生成处理来寻找系统的变化规律，生成较强规律性数据序列，然后建立相应微分方程模型，从而预测事物未来的发展趋势和未来状态. 目前使用最广泛的灰色预测模型是关于数列预测的一个变量、一阶微分的GM(1,1)模型.

GM(1,1)模型是基于灰色系统的理论思想，将离散变量连续化，用微分方程代替差分方程，按时间累加后所形成的新的时间序列呈现的规律可用一阶线性微分方程的解来逼近，用生成数序列代替原始时间序列，弱化原始时间序列的随机性，这样可以对变化过程作较长时间的描述，进而建立微分方程形式的模型. 其建模的实质是建立微分方程的系数，将时间序列转化为微分方程，通过灰色微分方程可以建立抽象系统的发展模型. 经证明，经一阶线性微分方程的解逼近所揭示的原始时间数列呈指数变化规律时，灰色预测GM(1,1)模型的预测将是非常成功的.

1.1 GM(1,1)模型的建立

灰色理论认为一切随机量都是在一定范围内、一定时间段上变化的灰色量及灰色过程. 数据处理不去寻找其统计规律和概率分布, 而是对原始数据作一定处理后, 使其成为有规律的时间序列数据, 在此基础上建立数学模型.

GM(1,1)模型是指一阶，一个变量的微分方案预测模型，是一阶单序列的线性动态模型，用于时间序列预测的离散形式的微分方程模型.

设时间序列()0

X 有n 个观察值，()()()()()()(){

}

00001,2,

,X x x x n =，为了使其

成为有规律的时间序列数据，对其作一次累加生成运算，即令

()

()()()101

n x

t x n ==∑

从而得到新的生成数列()1X ，()()()()()()(){

}

111

11,2,

,X x x x n =，新的生成数列()

1X 一般近似地服从指数规律. 则生成的离散形式的微分方程具体的形式为

ax u dt

+= 即表示变量对于时间的一阶微分方程是连续的. 求解上述微分方程，解为

当t =1时，()(1)x t x =，即(

1)c x a

=-，则可根据上述公式得到离散形式微分方程的具体形式为

()()()11a t u u x t x e a a --?

?=-+ ??

其中，ax 项中的x 为

的背景值，也称初始值；a ，u 是待识别的灰色参数，a 为发展系数，反映x 的发展趋势；u 为灰色作用量，反映数据间的变化关系.

按白化导数定义有

0()()lim t dx x t t x t dt t

→+-= 显然，当时间密化值定义为1时，当1t →时，则上式可记为

1lim(()())t dx

x t t x t dt

→=+- 这表明

是一次累减生成的，因此该式可以改写为 (1)(1)(1)()dx

x t x t dt

=+- 当t 足够小时，变量x 从()x t 到()x t t +是不会出现突变的，所以取()x t 与

()x t t +的平均值作为当t 足够小时的背景值，即(1)(1)(1)1()(1)2

x x t x t ??=

++??将其值带入式子，整理得

(0)(1)(1)

1(1)()(1)2x t a x t x t u ??+=-+++?

? 由其离散形式可得到如下矩阵：

(1)(1)(0)(1)(1)(0)(0)(1)(1)

1(1)(2)2(2)1(2)(3)(3)2()1(1)()2x x x x x x a u x n x n x n ????-+ ????? ? ? ???-+ ??? ?=+ ? ? ? ? ??? ???--+ ????

令 (0)(0)

(0)

(2),(3),

,()T Y x x x n ??=??

(1)(1)(1)(1)(1)(1)

11(1)(2)211(2)(3)21(1)()12x x x x B x n x n ????-+ ??

? ? ???-+?? ?= ? ? ???--+ ????

()T

a u α=

称Y 为数据向量，B 为数据矩阵，α为参数向量. 则上式可简化为线性模型：

Y B α=

由最小二乘估计方法得

()1

T T a B B B Y u

α-??== ???

上式即为GM(1,1)参数,a u 的矩阵辨识算式，式中()1

T T B B B Y -事实上是数据矩阵

B 的广义逆矩阵.

将求得的a ，u 值代入微分方程的解式，则

()1(1)()((1))a t u u x t x e a a

--=-+

其中，上式是GM(1,1)模型的时间响应函数形式，将它离散化得

(1)(0)(1)?()(1)a t u u x

t x e a a --?

?=-+ ??

? 对序列()()1?x

t 再作累减生成可进行预测. 即 ()(0)(1)(1)(0)(1)

???()()(1)(1)1a a t x

t x t x t u x e e a --=--?

?=-- ??

? 上式便是GM(1,1)模型的预测的具体计算式.

或对()at u

x t ce a

-=+

求导还原得 (0)(0)(1)?()((1))a t u

t a x e a

--=-- 1.2 GM(1,1)模型的检验

GM(1,1)模型的检验包括残差检验、关联度检验、后验差检验三种形式. 每种检验对应不同功能：残差检验属于算术检验，对模型值和实际值的误差进行逐点检验；关联度检验属于几何检验范围，通过考察模型曲线与建模序列曲线的几何相似程度进行检验，关联度越大模型越好；后验差检验属于统计检验，对残差分布的统计特性进行检验，衡量灰色模型的精度. 残差检验

残差大小检验，即对模型值和实际值的残差进行逐点检验.

设模拟值的残差序列为(0)()e t ，则

(0)(0)(0)?()()()e t x t x

t =- 令()t ε为残差相对值，即残差百分比为

(0)(0)(0)

?()()()%()x t x

t t x t ε??-=????

令?为平均残差，1

1()n

t t n ε=?=∑.

设残差的方差为22S ，则[]2

1()n t S e t e n ==-∑. 故后验差比例C 为21/C S S =，

误差频率P 为{}1()0.6745P P e t e S =-<.

对于,C P 检验指标如下表：检验指标

好合格勉强不合格 P >0.95 >0.80 >0.70 <0.70 表 1 灰色预测精确度检验等级标准

一般要求()20%t ε<，最好是()10%t ε<，符合要求.

关联度检验

关联度是用来定量描述各变化过程之间的差别. 关联系数越大，说明预测值和实际值越接近.

设 {}(0)(0)(0)(0)????()(1),(2),,()X

t x x x n =? {}(0)(0)(0)(0)()(1),(2),,()X t x x x n =?

序列关联系数定义为

(){}

{

}

{

}

(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)??min ()()max ()()

,0??()()max ()()1

,0x t x t x t x t t t x t x t x t x t t σξσ?-+-?≠?=?-+-?

=?? 式中,(0)(0)?()()x

t x t -为第t 个点(0)x 和(0)?x 的绝对误差，()t ξ为第t 个数据的关联系数，ρ称为分辨率，即取定的最大差百分比，0ρ<<1,一般取0.5ρ=.

(0)()x t 和(0)?()x

t 的关联度为 ()1

t r t n ξ==∑

精度等级关联度均方差比值小误差概率好（1级） 0.90≥ 0.35≤ 0.95≥ 合格（2级） 0.80≥ 0.50≤ 0.80≥ 勉强（3级） 0.70≥ 0.65≤ 0.70≥ 不合格（4级） 0.70< 0.65> 0.70<

表 2 精度检验等级

关联度大于60%便满意了，原始数据与预测数据关联度越大，模型越好.

后验差检验

后验差检验，即对残差分布的统计特性进行检验. 检验步骤如下：

1、计算原始时间数列(){}0

(0)(0)(0)(1),(2),

,()X x x x n =的均值和方差

()2(0)

(0)2

(0)111

11(),()n n t t x

x t S x t x n n ====-∑∑ 2、计算残差数列{}(0)(0)(0)(0)(1),(2),

,()e e e e n =的均值e 和方差2

()2(0)2

(0)211

11(),()n n t t e e t S e t e n n ====-∑∑

其中(0)(0)(0)?()()(),1,2,,e t x t x t t n =-=为残差数列.

3、计算后验差比值

21C S S =

4、计算小误差频率

{}

(0)1()0.6745P P e t e S =-<

令0S =0.67451S ，(0)()|()|t e t e ?=-，即{}0()P P t S =?<.

若对给定的00C >，当0C C <时，称模型为方差比合格模型；若对给定的00P >，当0P P >时，称模型为小残差概率合格模型.

P C 模型精度 >0.95 <0.35 优 >0.80 <0.5 合格 >0.70 <0.65 勉强合格 <0.70

>0.65 不合格

表 3 后验差检验判别参照表

1.3 残差GM(1,1)模型

当原始数据序列(0)X 建立的GM(1,1)模型检验不合格时，可以用GM(1,1)残差模型来修正. 如果原始序列建立的GM(1,1)模型不够精确，也可以用GM(1,1)残差模型来提高精度.

若用原始序列(0)X 建立的GM(1,1)模型

(1)(0)?(1)[(1)]at u u

t x e a a

-+=-+ 可获得生成序列(1)X 的预测值，定义残差序列(0)(1)(1)?()()()e k x k x k =-. 若取k=t , t+1, …, n ，则对应的残差序列为

{}(0)(0)(0)(0)()(1),(2),

,()e k e e e n =

计算其生成序列(1)()e k ，并据此建立相应的GM(1,1)模型

(1)(0)?(1)[(1)]e a k e e

e e

u u e

t e e a a -+=-+ 得修正模型

(1)(0)(0)(1)(1)()()(1)e a k ak e e e u u u x t x e k t a e e a a a δ--???

?+=-++---???????

其中1()0k t

k t k t

δ≥?-=?≤?为修正参数.

应用此模型时要考虑：

1、一般不是使用全部残差数据来建立模型，而只是利用了部分残差.

2、修正模型所代表的是差分微分方程，其修正作用与()k t δ-中的t 的取值有关.

1.4 GM(1,1)模型的适用范围

定理：当GM(1,1)发展系数||2a ≥时，GM(1,1)模型没有意义.

我们通过原始序列()0i X 与模拟序列()0?i

X 进行误差分析，随着发展系数的增大，模拟误差迅速增加. 当发展系数0.3a -≤时，模拟精度可以达到98%以上；发展系数0.5a -≤时，模拟精度可以达到95%以上；发展系数1a ->时，模拟精度低于70%；发展系数 1.5a ->时，模拟精度低于50%.

进一步对预测误差进行考虑，当发展系数0.3a -<时，1步预测精度在98%以上，2步和5步预测精度都在90%以上，10步预测精度亦高于80%；当发展系数0.8a ->时，1步预测精度已低于70%.

通过以上分析，可得下述结论：

1、当0.3a -<时，GM(1,1)可用于中长期预测；

2、当0.30.5a <-≤时，GM(1,1)可用于短期预测，中长期预测慎用；

3、当0.50.8a <-≤时，GM(1,1)作短期预测应十分谨慎；

4、当0.81a <-≤时，应采用残差修正GM(1,1)模型；

5、当1a ->时，不宜采用GM(1,1)模型.

1.5 GM(1,1)模型实例分析

()()(0)(0)(0)(0)(0)(1),(2),(3),(4)79,74.825,74.29,76.98X x x x x ==

对(0)X 作一次累加后的数列为

()()(1)(1)(1)(1)(1)(1),(2),(3),(4)79,153.825,228.115,305.095X x x x x ==

对(1)X 做紧邻均值生成. 令(1)(1)(1)()0.5()0.5(1)Z k x k x k =+-，得

()()(1)(1)(1)(1)(2),(3),(4)116.4125,151.47,150.1925Z z z z ==

则数据矩阵B 及数据向量Y 为

(1)(1)(1)(2)1116.41251(3)1151.471(4)1150.19251z B z z ??--??????=-=-????????--????，(0)(0)(0)(2)74.825(3)74.29(4)76.98x Y x x ????????==????

????

???? 对参数列?[,]T a

a b =进行最小二乘估计，得 176.61?()[,]0.0144T T T T a B B B Y B Y a u -??====??

-??

即 0.0144a =-，76.61u = 则GM(1,1)模型为

()

()1

10.014476.61dx x dt

-= 时间响应式为

(1)0.0144?(1)5399.13895320.1389x

k e -+=- 当1k =时，我们取

(1)(0)(0)??(1)(1)(0)79x

x x === 还原求出(0)X 的模拟值. 由(0)(1)(1)???()()(1)X

k x k x k =--，取2,3,4k =，得 ()()(0)(0)(0)(0)(0)?????(1),(2),(3),(4)79,74.281,74.3584,76.4513x

x x x x == 通过预测，得到实际值与预测值如下表：

实际值预测值

相对误差()k ε 第一学期

79 79 0 第二学期 74.825 74.2810 0.73% 第三学期 74.29 74.3584 0.0921% 第四学期

76.98

76.4513

0.7051%

表 4 四学期的实际值与预测值的误差表

因为()10%k ε<，那就可得学生的预测值，与现实值进行比较得出该模型精度较高，可进行预测和预报.

我们对学生未来两个学期（也就是第五、六个学期）的成绩进行预测，分别为77.5602分和78.6851分.

例：某大型企业1999年至2004年的产品销售额如下表，试建立GM(1,1)预测模

型，并预测2005年的产品销售额。

解：设(0)()X k ={2.67，3.13，3.25，3.36，3.56，3.72} 第1步构造累加生成序列

(1)()X k ={2.67，5.80，9.05，12.41，15.97，19.69}

第2步构造数据矩阵B 和数据向量n Y

(1)(1)

(1)(1)(1)(1)

(1)

(1)(1)1(1)(2)121 4.2351(2)(3)127.42511

10.731(3)(4)1214.1911(4)(5)117.83

121(5)(6)12x x x x B x x x x x x ??

??-+?????

-??????

-+?

?????-?

???==-??????-+??

???-??????-+????-????

?????-+??????

， (0)(0)(0)

(0)(0) 3.13(2) 3.25(3) 3.36(4) 3.56(5) 3.72(6)n x x Y x x x ??????????????==??????

????

???

?????

第3步计算?α

=a b ??

????

=n T T Y B B B 1)(- B B T

=??

????--541.5441.5446375.707 1)(-B B T =?

???226382.1094319.0094319.0008667.0 ?α=n T T Y B B B 1)(-=0.0438792.925663-??

????

第4步得出预测模型

(1)

dx dt

-0.043879(1)x =2.925663 (1)?(1)x

k +=69.34570.043879k e -66.6757 （(0)(1)x =2.67；

=－66.6757）第5步残差检验

(1)根据预测公式，计算(1)?()X

k ，得 (1)?()X

k ＝｛2.67，5.78，9.03，12.43，15.97，19.68，19.69｝(k =0,1, … ,6) (2)累减生成(0)?()X

k 序列，k =1,2, … ,6 (0)?()X

k ＝｛2.67，3.11，3.25，3.40，3.54，3.71｝原始序列：(0)()X k ＝｛2.67，3.13，3.25，3.36，3.56，3.72｝ (3)计算绝对残差和相对残差序列

绝对残差序列：(0)?＝｛0，0.02，0，0.04，0.02，0.01｝相对残差序列：φ＝｛0，0.64%，0，1.19%，0.56%，0.27%｝

相对残差不超过1.19%，模型精确度高。

第6步进行关联度检验

(1) 计算序列(0)x 与(0)?x

的绝对残差序列(0)?(k ) (0)?＝｛0,0.02,0,0.04,0.02,0.01｝

min{(0)?(k ) } = min ｛0,0.02,0,0.04,0.02,0.01｝= 0 max{(0)?(k ) } = max ｛0,0.02,0,0.04,0.02,0.01｝= 0.04

(2) 计算关联系数

由于只有两个序列（即一个参考序列，一个被比较序列）故不再寻求第二级最小差和最

大差。

)5.0,6,...,1()}

(max{)()}

(max{)}(min{)(==?+??+?=

P k k P k k P k k η

求得)(k η＝{1, 0.5, 1, 0.33, 0.5, 0.67}

(3) 计算关联度

1()n

i i k r k n η==∑＝0.67

r =0.67是满足P=0.5时的检验准则r >0.6的。

第7步后验差检验

(1) 计算：(0)x =6

[2.67+3.13+3.25+3.36+3.56+3.72]=3.28

(2) 计算(0)X 序列的均方差：

S =(0)

(0)2

1/2[()](

x k x n --∑=0.3671

(3) 计算残差的均值：?=6

[)(k ?]=0.015

(4) 计算残差的均方差：

S =2/12

])([(

-?-?∑n k =0.0152

(5) 计算C ：2

S S C =

=0.0152/0.3671=0.0414 (6) 计算小残差概率：0S =0.6745?0.3671=0.2746

()k e k =?-?={0.15,0.005,0.015,0.025,0.005,0.005}

所有i e 都小于0S ，故小残差概率P {0S e i <}=1，而同时C=0.0414<0.35，故模型

(1)(1)x k +=69.34570.043879k e -66.6757合格.

第8步预测：

k =7，(0)x (8)=(1)x (8)(1)x -(7)=4.23

即2005年的产品销售额预测值为4.23亿元.

灾变预测

例：某地区平均降水量（单位：毫米）的原始数据为：

()()(){}1,2,...,24X x x x =

={386.6, 514.6, 434.1, 484.1, 647.0, 399.7, 498.7, 701.6, 254.5, 463.0, 745.0, 398.3, 554.5, 471.1, 384.5, 242.5, 671.7, 374.7, 458.9, 511.3, 530.8, 586.0, 387.1, 454.4},

规定年降水量≤ξ390(毫米)为旱灾年，试作旱灾预测。首先作灾变映射。

按照()x t ≤390(毫米)为异常值,则有

{}[(1)],[(2)],,[(6)]X x q x q x q ξ=

{}386.6,254.5,384.5,242.5,374.7,387.1= ()()()()()(){}1,9,15,16,18,23x x x x x x =.

作异常值[()]x q i 到出现灾变点()q i 的映射()0:[()]()Q x q i q i →，得灾变日期序列()0Q 为

(){}0(1),(2),(3),(4),(5),(6)Q q q q q q q =

{}23,18,16,15,9,1=

据此对()0Q 建立灾变日期序列的GM(1,1)模型。对()0Q 作一次累加生成，得

{}

(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1){(1),(2),(3),(4),(5),(6)}

1,10,25,41,59,82Q q q q q q q ==。

求得参数向量[]10.188422?,9.54872T T

T a a b B B B Y --????===????

。记()1Q 的紧邻生成序列为(1)Z ，于是,得灾变GM(1,1)为(1)()0.188422()9.54872q k z k -=，灾变日期序列的GM(1,1)序号响应式为

(1)0.188422?(1)((1))51.677250.6773

ak k b b

k q e a a

e -+=-+=- 从而

?(1)q

k +=(1)?(1)q k +-(1)?()q k 0.1884228.87478k e =

由此可得()0Q 的模拟序列

(0)?Q

?{(),2,3,4,5,6}q k k =={10.7,12.9,15.6,18.8,22.7}= 由(0)(0)(0)?()()()k x k x

k ?=-，得绝对残差序列 (0)(0){(),2,3,4,5,6}k k ?=?={1.7,2.1,0.4,0.8,0.3}=，

及相对残差序列

(0)(){,2,...,6}()i i i i q i φφφ??

?===??

{0.19,0.14,0.025,0.044,0.013}= 平均相对残差

10.085i i φφ===∑

小于0.10，故可用

?(1)q

k +0.1884228.87478k e = 进行预测.

?(61)27q

+≈，?(7)q -?(6)5q ≈ 即从最近一次旱灾发生的时间算起，五年之后可能发生旱灾.

二、GM(1,N)模型

2.1 GM(1,N)模型的建立

当系统中包含多个相关的变量，其时间序列的一阶差分都大于零具有明显的

上升趋势，可以利用多变量灰色预测模型GM(1,N)来建模分析.

设(0)(0)(0)(0)1111((1),(2),

,())X X X X n =为系统特征数据序列，而

(0)(0)(0)

(0)2222(0)(0)(0)(0)3333(0)(0)(0)(0)

((1),(2),

,())((1),(2),

,())

((1),(2),

,())

N N N N X X X X n X X X X n X X X X n ==

为相关因素序列，(1)i X 为(0)i X 的1-AGO 序列(1,2,,)i N =，(1)1Z 为(1)1X 的紧邻均

值生成序列，则称

(0)

(1)(1)1

()()()N

i i i x k az k b x k =+=∑

为GM(1,N)模型.

在GM(1,N)模型中，a 称为系统发展数据，(1)()i i b x k 称为驱动项，i b 称为驱动

系数，[]12?,,,,T

N a

a b b b =称为参数列.

设(0)1X 为系统特征数据系列，(0)(2,3,,)i X i N =为相关因素数据序列，(1)i X 为

诸(0)i X 的1-AGO 序列，(1)1Z 为(1)1X 的紧邻均值生成序列，则

(1)(1)

(1)

12(1)

(1)

(1)12(1)(1)(1)1

2(2)(2)(2)(3)(3)(3)

()()()

N N N z x x z x x B z n x n x n ??-??-??=??????-??

，(0)1(0)1(0)

1(2)(3)()x x Y x n ??

????=????

???? 则参数列12?[,,,,]T N a a b b b =的最小二乘估计满足

1?()T T a

B B B Y -= 设[]12?,,,,T

N a

a b b b =，则称

23(1)(1)(1)(1)

(1)

123N N dx ax b x b x b x dt

+=+++

为GM(1,N)模型23(0)(1)(1)(1)

(1)

1123()()()()()N N x k az k b x k b x k b x k +=+++的白化方程，

也称影子方程.

由[]112?,,,,()T

T T N a

a b b b B B B Y -==，则

1、白化方程(1)(1)

(1)112

i i dx ax b x dt =+=∑按差分法离散，得到解为

(1)(1)(1)(1)1

(1)(1)(1)12

2()[()(0)(0)]

[(0)(0)()]

i i

i i i i N N

at at i i i i t i x t e b x t e dt x b x dt e x t b x b x t e dt -==-===+-=-+∑∑??∑∑?

2、当(1)i

(2,3,

,)i N =变化幅度很小时，可视(1)12

()N

i i b x k =∑为灰常量，则GM(1,N)

模型(0)(1)(1)1

()()()N

i i i x k az k b x k =+=∑的近似响应时间式为((1)1(0)x 取为(0)1(1)x )

(1)

(1)(1)(1)1

11?(1)((0)(1))(1)N N ak

i i i i i i x

k x b x k e b x k a a -==+=-+++∑∑ 3、累减还原式

(0)(1)(1)(1)(1)1111????(1)(1)(1)()x k a x k x k x k +=+=+-

4、GM(1,N)差分模拟式为

(0)

(1)(1)1

2??()()()N

i i i x

k az k b x k ==-+∑

2.2 GM(1,1)模型与GM(1,N)模型的比较

GM(1,1)是基本预测模型，具有全信息. 而GM(1,N)为分析模型、因子模型，它不具有全信息，一般不适应于预测. 然而，当有必要对多因子的系统作整体的、全局的、动态的分析时，就需要使用GM(1,N).

2.3 GM(1,N)模型实例分析

设系统特征数据序列为(0)1(2.874,3.278,3.307,3.390,3.679)X =,相关因素数

据序列为()(0)

27.04,7.645,8.075,8.53,8.774X =，试建立GM(1,2)模型.

GM(1,2)白化方程为

()()()

111112

dx ax bx dt

+= 对(0)X 作一次累加后的序列为

()(1)(1)(1)(1)(1)(1)111111(1),(2),(3),(4),(5)(2.874,6.125,9.459,12.849,16.528)X x x x x x ==

()(1)(1)(1)(1)(1)(1)222222(1),(2),(3),(4),(5)(7.04,14.685,22.76,31.29,40.064)X x x x x x ==

对(1)X 做紧邻均值生成序列为

()(1)(1)(1)(1)(1)11111(2),(3),(4),(5)(4.513,7.8055,11.154,14.6885)Z z z z z ==

则数据矩阵B 及数据向量Y 为

()()

()()()

()()()()111211121

1121112(2)

2 4.513

14.685(3)37.8055

22.7611.154

31.29(4)414.688540.064(5)5z x z x B z x z x ??--???

?????--??

==????--??????-??-????

，()()()()()()()()121212122 3.2783 3.3073.3904 3.6795x x Y x x ????

??????==????????????

????

对参数列?[,]T a

a b =进行最小二乘估计，得 1 2.2273?()0.9068T T T a B B B Y B Y -??

===????

则GM(1,2)模型为

()()()

1111122.22730.9068d x x x dt

+= 时间响应式为

()()()()()()

()

()()

101111221

2.227322?(1)((1)1)12.8740.407110.4071ak k b b

x k x x k e x k a a

x k e x k --+=-+++=-+++

模拟数据，见下表

序号实际数据 (0)()x k 模拟数据 (0)?()x k 残差

(0)(0)?()()()k x k x

k ε=- 相对误差

(0)

()

k k x k ε?=

3.278 2.770 0.508

15.5% 3 3.307 3.548 -0.241 7.3% 4 3.390 5.535 -0.145 4.3% 5

3.679

3.582

0.097

2.6%

三、GM(2,1)模型

设{}(0)(0)(0)(0)(1),(2),,()X x x x n =为原始时间序列，对它进行一次累加生成

运算，得生成列为

{}(1)(1)(1)(1)(1),(2),

,()X x x x n =

其中(1)

(0)1

()()k

i x k x i ==∑，1,2,

,k n =，生成的时间序列构成一灰色模块，建立

GM(2,1)模型

()1

2(1)

(1)2

d x dx a bx u dt dt

++= (1)

若0a ≠，令1/a a =，b b a =，/u u a =，则上式变为

2(1)(1)(1)2

d x dx a bx u dt dt

++= (2)

上两个式子从微分方程角度看，没有本质区别，但从拟合角度看，(1)式是拟合

()1

d x dt

项，而(2)式是拟合(1)dx dt 项，(1)dx dt 实际上就是原始时间序列(0)

X 的近似，()

d x dt

近似(0)dx dt ，而(0)dx dt 的变化较大，拟合效果不太好，故从拟合角度看，(2)式比(1)式好。

GM(2,1)模型比GM(1,1)模型多考虑了(0)X 的影响，因此预测效果更好一些.

按灰色系统理论，(2)式的离散形式为

()()()(0)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)()(1)(2)3(1)(3)22(0)(1)0,2,3,4,,a b x k x k x k x k x k x k x k u x x k n ?????=-----+--+-+??????

?=-==?

数据矩阵B 和数据向量Y 为

()()()()()()(1)(1)(1)(1)

(1)

(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)

(1)

(1)11(2)(1)(0)(1)(2)(1)12211

(3)(2)(1)(0)(3)(2)12

11()(1)(2)(3)()(1)12

x x x x x x x x x x x x B x n x n x n x n x n x n ??

---+--

+???

???---+-+??=???

???-----+--

+-????

(0)(0)(0)[(2),(3),

,()]T Y x x x n =，?[,,]T a

a b u = 令1,2,

,k n =，则(3)式可表示为矩阵形式

?Ba

Y = 上式的最小二乘解为

1?()T T a

B B B Y -= 当?a 已知时，若需要预测第1,

,N N M ++时刻的预测值，则由(3)式得预测公式

()()()()(1)(1)(1)(1)(0)

(1)(1)???22(1)(2)32???(0)()(1)2,3,4,,,1,,x k u a b x k a x k x k a b x

x k x k k n n n m ???=++--+---++????????=--=++??

若第L 时刻及以后的拟合值不满足要求，即(0)(0)(0)?()()()k x k x

k ε=-， (),1,,k L L n =+不在误差允许范围内，

对()0

ε按照前面处理(0)X 的办法，建立残差GM(2,1)模型，可求出()1

?ε

为 ()()()()(){

}

11111?????(),(1),,(),,()L L n n m ε

εεεε

=++ 对()1

?ε

进行一次累减可得()0

?ε. 残差変识可进行多次，直到满足要求为止，最后，可把(0)(0)??()()x

n i n i ε+++作为时间序列第n i +时刻的预测值. 四、灰色模型程序

GM(1,1) MATLAB 程序

function []=greymodelshili(y)

% 本程序主要用来计算根据灰色理论建立的模型的预测值。

% 应用的数学模型是GM(1,1)。

% 原始数据的处理方法是一次累加法。

y=[2.67 3.13 3.25 3.36 3.56 3.72]; %原始数据

n=length(y);

D=y*[0;ones(n-1,1)];

yy=ones(n,1);

yy(1)=y(1);

for i=2:n

yy(i)=yy(i-1)+y(i); %生成序列x(1)，(1)在x的上方

end

B=ones(n-1,2);

for i=1:(n-1)

B(i,1)=-(yy(i)+yy(i+1))/2;

B(i,2)=1; %数据矩阵

end

BT=B';

for i=1:(n-1)

z(i,1)=(yy(i)+yy(i+1))/2; %z(1)，(1)在z的上方

end

C=ones(1,n-1)*z;

E=y*[0;z];

F=z'*z;

for j=1:n-1

YN(j)=y(j+1); %数据向量

end

YN=YN';

A=inv(BT*B)*BT*YN;

a=A(1); %发展系数

u=A(2); %灰作用量

t=u/a;

t_test=1; %预测的个数，根据题目可以自己取

i=1:t_test+n;

yys(i+1)=(y(1)-t).*exp(-a.*i)+t; %白化响应式

yys(1)=y(1); %生成序列的估计值，x(1)的估计值,(1)在x的上面xxs(i+1)=yys(i+1)-yys(i)

xxs(1)=y(1) %原始数据的估计值，x(0)的估计值,(0)在x的上面for i=1:n

Det(i)=abs(xxs(i)-y(i))/y(i) %相对残差

end

DET=Det*ones(n,1)/n %平均相对残差

for j=n+t_test:-1:2

ys(j)=yys(j)-yys(j-1); %生成序列估计值残差

end

for i=1:n

error(i)=xxs(i)-y(i); %计算残差

end

C=std(error)/std(y) %调用统计工具箱的标准差函数计算后验差的比值C x=1:n;

xs=2:n+t_test;

yn=ys(2:n+t_test);

plot(x,y,'^r',xs,yn,'*-b');

disp(['预测值为：',num2str(xxs(1:n+t_test))]); %所有的估计值

GM(2,1) MATLAB程序

x0=[79 74.825 74.29 76.98 78.8 77.1];

n=length(x0);

x1(1)=x0(1);

for i=2:n

x1(i)=x1(i-1)+x0(i);

end

for i=3:n-1;

X(1)=-(x1(2)-x1(1))/2;

X(2)=-(x1(3)-x1(2)-x1(1))/2;

X(i)=-(x1(i+1)-x1(i)-x1(i-1)+x1(i-2))/2;

end

for i=1:n-1;

Z(i)=-(x1(i)+x1(i+1))/2;

end

A=ones(n-1,1);

B=[X' Z' A];

Y=x0(2:n)'

beta=inv(B'*B)*B'*Y;

a=beta(1)

b=beta(2)

u=beta(3)

m=input('m=');

x2(0)=0;x2(1)=x1(1);x1(-1)=0; x1(0)=0;

for k=2:m

x2(k)=(2*u+(2+a-b))*x2(k-1)+a*(x2(k-2)-x1(k-3))/(a+b+2);

end

x3(1)=x0(1);

for k=2:m

x3(k)=x2(k)-x2(k-1);

end

线性回归和灰色预测模型案例

预测未来2015年到2020年的货运量灰色预测模型是通过少量的、不完全的信息，建立数学模型并做出预测的一种预测方法.当我们应用运筹学的思想方法解决实际问题，制定发展战略和政策、进行重大问题的决策时，都必须对未来进行科学的预测. 预测是根据客观事物的过去和现在的发展规律，借助于科学的方法对其未来的发展趋势和状况进行描述和分析，并形成科学的假设和判断. 灰色系统的定义灰色系统是黑箱概念的一种推广。我们把既含有已知信息又含有未知信息的系统称为灰色系统.作为两个极端，我们将称信息完全未确定的系统为黑色系统；称信息完全确定的系统为白色系统.区别白色系统与黑色系统的重要标志是系统各因素之间是否具有确定的关系。

建模原理模型的求解

原始序列为： ) 16909 15781 13902 12987 12495 11067 10149 9926 9329 10923 7691())6(),...1(()0()0()0(==x x x 构造累加生成序列 ) 131159,114250,98469,84567,71580,59085, 48018,37869,27943,18614,7691())6(),...1(()1()1()1(==x x x 归纳上面的式子可写为称此式所表示的数据列为原始数据列的一次累加生成，简称为一次累加生成. 对(1)X 作紧邻均值生成 ,.... 2)) 1()((21)()1() 1() 1(=-+=k k z k z k z MATLAB 代码如下： x=[7691 18614 27943 37869 48018 590857 71580 84567 98469 114250 131159]; z(1)=x(1); for i=2:6 z(i)=0.5*(x(i)+x(i-1)); end format long g z z = Columns 1 through 3 7691 13152.5 23278.5 Columns 4 through 6 32906 42943.5 319437.5

灰色预测模型介绍

数学模型与数学实验数课程报告题目：灰色预测模型介绍专业：班级：姓名：学号：二0一一年六月

1. 模型功能介绍预测模型为一元线性回归模型，计算公式为Y=a+b。一元非线性回归模型：Y=a+blx+b2x2+…+bmxm。式中：y为预测值；x为自变量的取值；a,b1,b2……bm为回归系数。当自变量x与因变量y之间的关系是直线上升或下降时，可采用一元线性预测模型进行预测。当自变量x和因变量y之间呈曲线上升或下降时，可采用一元非线性预测模型中的y=a+b1x+b2x2+…+bmxm这个预测模型。当自变量x和因变量y之间关系呈上升一下降一再上升一再下降这种重复关系时，可采用一元线性预测模型中的Y=a+bx这个模型来预测。其中我要在这里介绍灰色预测模型。灰色预测是就灰色系统所做的预测，灰色系统(Grey System)理论[]1是我国著名学者邓聚龙教授20世纪80年代初创立的一种兼备软硬科学特性的新理论［95］96］。所谓灰色系统是介于白色系统和黑箱系统之间的过渡系统，其具体的含义是：如果某一系统的全部信息已知为白色系统，全部信息未知为黑箱系统，部分信息已知，部分信息未知，那么这一系统就是灰色系统。一般地说，社会系统、经济系统、生态系统都是灰色系统。例如物价系统，导致物价上涨的因素很多，但已知的却不多，因此对物价这一灰色系统的预测可以用灰色预测方法。灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测。尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此这一数据集合具备潜在的规律，灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。灰色系统的基本原理公理1：差异信息原理。“差异”是信息，凡信息必有差异。公理2：解的非唯一性原理。信息不完全，不明确地解是非唯一的。公理3：最少信息原理。灰色系统理论的特点是充分开发利用已有的“最少信息”。公理4：认知根据原理。信息是认知的根据。公理5：新信息优先原理。新信息对认知的作用大于老信息。公理6：灰性不灭原理。“信息不完全”是绝对的。灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。其用等时距观测到的反应预测对象特征的一系列数量值构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。灰色预测模型实际上是一个微分方程, 称为GM模型。GM（1，N）[]1表示1阶的，N个变量的微分方程型模型；则是1阶的,1个变量的微分方程型模型。在实际进行预测时, 一般选用GM(1,1) 模型, 因为这种模型求解较易, 计算量小, 计算时间短, 精度较高。现在下面简单介绍有关于灰色预测的相关知识点：为了弱化原始时间序列的随机性在建立灰色预测模型之前，需先对原始时间序列进行数据处理，经过数据处理后的时间序列即称为生成列。灰色系统常用的数据处理方式有累加和累减两种。关联度]1[

灰色预测模型案例

1.1.5 两岸间液体化工品贸易前景预测从上述分析可见，两岸间液体化工品贸易总体上呈现上升的增长趋势。然而，两岸间的这类贸易受两岸关系、特别是台湾岛内随机性政治因素影响很大。因此，要对这一贸易市场今后发展的态势做出准确的定量判断是相当困难的；但从另一方面来说，按目前两岸和平交往的常态考察，贸易作为两岸经济与贸易交往的一个有机组成部分，其一般演化态势有某些规律可寻的。故而，我们可以利用其内在的关联性，通过选取一定的数学模型和计算方法，对之作一些必要的预测。鉴此，本研究报告拟采用一定的预测技术，借助一定的计算软件，对今后10余年间大陆从台湾进口液化品贸易量作一个初步的预测。 (1) 模型的选择经认真考虑，我们选取了灰色系统作为预测的技术手段，因为两岸化工品贸易具有的受到外界的因素影响大和受调查条件限制数据采集很难完全的两大特点，正好符合灰色系统研究对象的主要特征，即“部分信息已知，部分信息未知”的不确定性。灰色系统理论认为，对既含有已知信息又含有未知信息或不确定信息的系统进行预测，就是在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程进行的预测。尽管这一过程中所显示的现象是随机的，但毕竟是有序的，因此这一数据集合具有潜在的规律。灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。本报告以灰色预测模型，对两岸间化工品贸易进行的预测如下：灰色预测模型预测的一般过程为： ① 一阶累加生成（1-AGO ）设有变量为) 0(X 的原始非负数据序列 )0(X =[)1()0(x ,)2()0(x ,…)() 0(n x ] （1.1）则) 0(X 的一阶累加生成序列 )1(X =[)1()1(x ,)2()1(x …)() 1(n x ] （1.2）式中 ) ()(1)0() 1(i x k x k i ∑== k=1,2…n ② 对) 0(X 进行准光滑检验和对进行准指数规律检验

灰色预测模型理论及其应用

灰色预测模型理论及其应用灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测. 尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此这一数据集合具备潜在的规律，灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测. 灰色预测模型只需要较少的观测数据即可，这和时间序列分析，多元回归分析等需要较多数据的统计模型不一样. 因此，对于只有少量观测数据的项目来说，灰色预测是一种有用的工具.本文主要围绕灰色预测GM(1,1)模型及其应用进行展开。一、灰色系统及灰色预测的概念灰色系统灰色系统产生于控制理论的研究中。若一个系统的内部特征是完全已知的，即系统的信息是充足完全的，我们称之为白色系统。若一个系统的内部信息是一无所知，一团漆黑，只能从它同外部的联系来观测研究，这种系统便是黑色系统。灰色系统介于二者之间，灰色系统的一部分信息是已知的，一部分是未知的。区别白色和灰色系统的重要标志是系统各因素间是否有确定的关系。特点：灰色系统理论以“部分信息已知、部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定型系统的研究对象。灰色预测灰色系统分析方法是通过鉴别系统因素之间发展趋势的相似或相异程度，即进行关联度分析，并通过对原始数据的生成处理来寻求系统变动的规律。生成数据序列有较强的规律性，可以用它来建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来的发展趋势和未来状态。灰色预测是用灰色模型GM(1,1)来进行定量分析的，通常分为以下几类： (1) 灰色时间序列预测。用等时距观测到的反映预测对象特征的一系列数量（如产量、销量、人口数量、存款数量、利率等）构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或

灰色预测模型原理

灰色预测模型原理综合预测模型（灰色预测模型 (1,1)GM ）为了是更准确的反映市场实际需求情况，我们建立综合预测模型，利用灰色模型 (1,1)GM 对平均销量做确定性增长趋势进行预测。我们将时间序列2001—2005的实际销量值 (0)t X 累加处理生成新序列(1)t X ，则GM （1，1）模型相应的微分方程为： (1)(1)t t dX X dt αμ+= (20012005t =年其中 α 为发展灰数 μ 为内生控制灰数同时通过α?待估参数向量，?ααμ ??= ??? ，利用最小二乘法求解。解得： ()1?T T B B B Y α-= 矩阵B 为 (1)t X 取累加平均值所得矩阵Y 为 (0)t X 转置矩阵求解微分方程，即可得预测模型： ()()1011?t t X X e αμμαα-+??=-+???? ，(20012005)t =年灰色模型算法描述： Step1. 累加处理生成新序列(1)t X Step2. 迭代计算出矩阵B 迭代计算 (1)(1)12t t t X X V ++= (20012004)t =年

得到 11,2111t t V B V --????=?????? Step3. 生成矩阵Y (0)1t t V X += ( 20012004t =年 T t t Y V = Step4. 计算系数矩阵α ? ()1 ?T T B B B Y α-= 解得,αμ Step5. 由得到的灰数,αμ 解微分方程 ()()1011?t t X X e αμμαα-+??=-+??? ? 即预测出2006年的书号的平均销售量 Step6. 灰色模型残差检验

灰色预测应用实例

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题. 我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料）,必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出. 我们郑重承诺,严格遵守竞赛规则,以保证竞赛的公正、公平性.如有违反竞赛规则的行为,我们将受到严肃处理. 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）: 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）: 所属学校（请填写完整的全名）: 河南师范大学参赛队员(打印并签名) :1. 孔燕姿 2. 刘姣 3. 王丽娟指导教师或指导教师组负责人(打印并签名): 裴永刚日期: 2011 年 07 月 15 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）:

摘要本文是一个灾变预测问题,针对该问题,根据旱灾界限找出原始数列中的异常值,生成对应的灾变日期序列。在级比检验不满足可容覆盖的情况下，取常数c=25,经过平移变换，新数列可以建立GM （1,1）模型. 通过最小二乘法求取参数向量?α=a b ??????=-0.075 31.996????? ?,得到GM(1,1)模型的时间相应函数模型：(1)0.075?(1)452.613426.613k T k e +=-.通过相对残差检验和级比偏差检验,确信所建模型达到较高的要求,可以用来做预测.再通过累减生成序列, 去掉常数c,即可得到下一次旱灾发生的预测时间为：从最近一次旱灾发生的时间算起，4年之后很可能发生旱灾。关键词: 灰色模型最小二乘法

灰色预测模型及应用论文

灰色系统理论的研究摘要：科学地预测尚未发生的事物是预测的根本目的和任务。无论个体还是组织，在制定和规划面向未来的策略过程中，预测都是必不可少的重要环节，它是科学决策的重要前提。在众多的预测方法中，灰色预测模型自开创以来一直深受许多学者的重视，它建模不需要太多的样本，不要求样本有较好的分布规律，计算量少而且有较强的适应性，灰色模型广泛运用于各种领域并取得了辉煌的成就。本文详细推导GM（1,1）模型，另外对灰关联度进行了进一步的改进，让改进的计算式具有唯一性和规范性[]4 。通过给出的实例高校传染病发病率情况，建立了GM(1,1)预测模型，并预测了1993年的传染病发病率。另外对传染病发病率较高的痢疾、肝炎、疟疾三种疾病做了关联度分析，发现痢疾与整个传染病关系最密切，而肝炎、疟疾与整个传染病的密切程度依次差些。关键词：灰色预测模型；灰关联度；灰色系统理论

灰色系统理论的研究 GM(1,1)预测与关联度的拓展 1、引言模型按照对研究对象的了解程度可分为：黑箱模型、白箱模型、灰箱模型。黑箱模型：信息缺乏，暗，混沌。白箱模型：信息完全，明朗，纯净。灰箱模型：信息不完全，若明若暗，多种成分。 1.1、研究背景 1.1.1、国内研究现状灰色系统理论在我国提出至今已有二十几年的历史，它的应用引起了人们的广泛兴趣，不论是我国粮食发展决策中总产量预测模型，还是对湖北2000年宏观经济的发展趋势的量化分析，抑或是河南人民胜利渠的最佳灌溉决策，还是武汉汉阳火车对火车装车吨位的预测等，无一不是灰色预测系统理论杰出的硕果。 1.1.2、国外研究现状灰色系统理论在国际上也产生了很大的影响，IBM公司要求将灰色系统软件加入其为全球服务的管理软件库。目前英国、美国、德国、日本、澳大利亚、加拿大、奥地利、俄罗斯等国家、地区及国际组织有许多学者从事灰色系统的研究和应用。国内外84所高校开设了灰色系统课程，数百名博士、硕士研究生运用灰色系统的思想方法开展学科研究，撰写学位论文。国际、国内200多种学术期刊发表灰色系统论文，许多会议把灰色系统列为讨论专题，SCI、EI、ISTP、SA、MR、MA等纷纷检索我国灰色论著。 1.2、研究意义邓聚龙教授提出灰色系统有着重要的意义: (1) 是系统思维和系统思想在方法论上的具体体现; (2) 是科学方法论上的重大进展, 具有原创性的科学意义和深远的学术影响，是对系统科学的新贡献。 2、灰色系统及灰色预测的概念 2.1、灰色系统理论发展概况 2.1.1、灰色系统理论的提出著名学者邓聚龙教授于20世纪70年代末、80年代初提出。

灰色预测法原理及解题步骤

灰色预测法原理及解题步骤一、类型数列预测——某现象随时间的顺延而发生的变化所做的预测灾变预测——对发生灾害或异常突变时间可能发生的时间预测系统预测——对系统中众多变量间相互协调关系的发展变化所进行的预测拓扑预测——将原始数据作曲线，在曲线上按定值寻找该定值发生的所有时点，并以该定值为框架构成时点数列，然后建立模型预测未来该定值所发生的时点。注意：使用方法前一定要在段前作一个引子，连接问题分析和数据特点，以下便是：通过对已知数据的分析，随着时间的变化，排污量一直呈增长趋势，并且增长的很快。在这里利用灰色预测模型对（）进行预测。通过对数据的分析，传统的数理统计预测方法往往需要足够多的数据，而本问题的数据给出的数据偏小，如果采用传统的方法误差太大。根据上述的特点可采用灰色预测模

型。二、灰色预测具体步骤 1》检验处理数据，级比必须满足 A、如果不全属于，则要做必要的变换处理（如取适当的常数C，作平移变换），使其落入区域中。 B、若A不成立，则建立GM（1，1）模型建立GM（1，1）模型（1）一次累加生成数列AGO，（目的是弱化原始时间序列的随机性，增加其稳定程度）（2）求均值数列（3）建立GM（1，1）模型相应的白化微分方程其中：α称为发展灰数；μ称为内生控制灰数。（4）求的参数估计a、b（最小二乘法）

（5）给出累加时间数列预测模型（6）做差得到原始预测值三、检验预测值（1）残差检验（2）级比偏差值检验 1》参考数据计算出级比，再由发展系数a，求出相应级比偏差

若ρ（k）<0.2,则达到一般要求;若ρ（k）<0.1,则效果好程序实现：采用EXCEl的方法实现灰色预测。 2013-2-2 于北华大学电子宋方雷

灰度预测模型详解举例分析

灰色系统预测重点内容：灰色系统理论的产生和发展动态，灰色系统的基本概念，灰色系统与模糊数学、黑箱方法的区别，灰色系统预测GM （1，1）模型，GM（1，N）模型，灰色系统模型的检验，应用举例。 1灰色系统理论的产生和发展动态 1982邓聚龙发表第一篇中文论文《灰色控制系统》标志着灰色系统这一学科诞生。 1985灰色系统研究会成立，灰色系统相关研究发展迅速。 1989海洋出版社出版英文版《灰色系统论文集》，同年，英文版国际刊物《灰色系统》杂志正式创刊。目前，国际、国内200多种期刊发表灰色系统论文，许多国际会议把灰色系统列为讨论专题。国际著名检索已检索我国学者的灰色系统论著500多次。灰色系统理论已应用范围已拓展到工业、农业、社会、经济、能源、地质、石油等众多科学领域，成功地解决了生产、生活和科学研究中的大量实际问题，取得了显著成果。 2灰色系统的基本原理 2.1灰色系统的基本概念我们将信息完全明确的系统称为白色系统，信息未知的系统称为黑色系统，部分信息明确、部分信息不明确的系统称为灰色系统。系统信息不完全的情况有以下四种： 1.元素信息不完全 2.结构信息不完全 3.边界信息不完全 4.运行行为信息不完全 2.2灰色系统与模糊数学、黑箱方法的区别主要在于对系统内涵与外延处理态度不同；研究对象内涵与外延的性质不同。灰色系统着重外延明确、内涵不明确的对象，模糊数学着重外延不明确、内涵明确的对象。 “黑箱”方法着重系统外部行为数据的处理方法，是因果关系的两户方法，使扬外延而弃内涵的处理方法，而灰色系统方法是外延内涵均注重的方法。

2.3灰色系统的基本原理公理1：差异信息原理。“差异”是信息，凡信息必有差异。公理2：解的非唯一性原理。信息不完全，不明确地解是非唯一的。公理3：最少信息原理。灰色系统理论的特点是充分开发利用已有的“最少信息”。公理4：认知根据原理。信息是认知的根据。公理5：新信息优先原理。新信息对认知的作用大于老信息。公理6：灰性不灭原理。“信息不完全”是绝对的。 2.4灰色系统理论的主要内容灰色系统理论经过10多年的发展，已基本建立起了一门新兴学科的结构体系，其主要内容包括以“灰色朦胧集”为基础的理论体系、以晦涩关联空间为依托的分析体系、以晦涩序列生成为基础的方法体系，以灰色模型（G ，M ）为核心的模型体系。以系统分析、评估、建模、预测、决策、控制、优化为主体的技术体系。灰色关联分析灰色统计灰色聚类 3灰色系统预测模型灰色预测方法的特点表现在：首先是它把离散数据视为连续变量在其变化过程中所取的离散值，从而可利用微分方程式处理数据；而不直接使用原始数据而是由它产生累加生成数，对生成数列使用微分方程模型。这样，可以抵消大部分随机误差，显示出规律性。 3.1灰色系统理论的建模思想下面举一个例子，说明灰色理论的建模思想。考虑4个数据，记为)4(),3(),2(),1()0()0()0()0(

数学建模之灰色预测模型

一、灰色预测模型简介（P372）特点：模型使用的不是原始数据列，而是生成的数据列。优点：不需要很多数据，一般只用4个数据就能解决历史数据少，序列的完整性和可靠性低的问题。缺点：只适用于中短期的预测和指数增长的预测。 1、GM(1,1)预测模型 GM(1,1)表示模型为一阶微分方程，且只含有一个变量的灰色模型。模型的应用 ①销售额预测 ②交通事故次数的预测 ③某地区火灾发生次数的预测 ④灾变与异常值预测，如对旱灾，洪灾，地震等自然灾害的时间与程度进行预报。（百度文库） ⑤基于GM(1,1)模型的广州市人口预测与分析（下载的文档） ⑥网络舆情危机预警（下载的文档）步骤 ①级比检验与判断由原始数据列(0)(0)(0)(0)((1),(2),,())x x x x n =计算得序列的级比为 (0)(0)(1)(),2,3, ,.() x k k k n x k λ-== 若序列的级比()k λ∈ 221 2 (,)n n e e -++Θ=，则可用(0)x 作令人满意的GM(1,1)建模。光滑比为 (0)1 (0) 1 () ()() k i x k p k x i -== ∑ 若序列满足

[](1) 1,2,3,,1;() ()0,,3,4, ,;0.5. p k k n p k p k k n ??+<=-∈=< 则序列为准光滑序列。否则，选取常数c 对序列(0)x 做如下平移变换 (0)(0)()(),1,2, ,,y k x k c k n =+= 序列(0)y 的级比 0(0)(1) (),2,3, ,.() y y k k k n y k λ-=∈Θ= ②对原始数据(0)x 作一次累加得 (1)(1)(1)(1)(0)(0)(0)(0)(0)((1),(2),,())(11+(2),,(1)()).x x x x n x x x x x n ==++（），（）建立模型: (1) (1),dx ax b dt += （1） ③构造数据矩阵B 及数据向量Y (1)(1)(1)(2)1(3)1,()z z B z n ??- ??- ? ?=?? ????- 1??(0)(0)(0)(2)3()x x Y x n ??????=?? ?? ???? （）其中：(1)(1)(1()0.5()0.5(1),2,3,,.z k x k x k k n =+-=） ④由 1??()?T T a u B B B Y b -??==???? 求得估计值?a = ?b = ⑤由微分方程（1）得生成序列预测值为 ? (1) (0)???(1)(1)k 0,1,,1,,??ak b b x k x e n a a -??+=-+=- ? ??? ，则模型还原值为

灰色理论预测模型及GM(1,1)matlab程序

灰色理论预测模型及GM(1,1)matlab程序灰色预测方法简介灰色预测是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法。灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。其用等时距观测到的反应预测对象特征的一系列数量值构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。通过对原始数据的整理寻找数的规律，分为三类： a、累加生成：通过数列间各时刻数据的依个累加得到新的数据与数列。累加前数列为原始数列，累加后为生成数列。 b、累减生成：前后两个数据之差，累加生成的逆运算。累减生成可将累加生成还原成非生成数列。 c、映射生成：累加、累减以外的生成方式。建模步骤 a、建模机理 b、把原始数据加工成生成数； c、对残差（模型计算值与实际值之差）修订后，建立差分微分方程模型； d、基于关联度收敛的分析； e、gm模型所得数据须经过逆生成还原后才能用。 f、采用“五步建模（系统定性分析、因素分析、初步量化、动态量化、优化）”法，建立一种差分微分方程模型gm(1,1）预测模型。 GM(1,1)程序： % 本程序主要用来计算根据灰色理论建立的模型的预测值。 % 应用的数学模型是GM(1,1)。 % 原始数据的处理方法是一次累加法。 clear;clc; % load ('data.txt');

% y=data'; y=[3 4 5 4 7 7]; n=length(y); yy=ones(n,1); yy(1)=y(1); for i=2:n yy(i)=yy(i-1)+y(i); end B=ones(n-1,2); for i=1:(n-1) B(i,1)=-(yy(i)+yy(i+1))/2; B(i,2)=1; end BT=B'; for j=1:n-1 YN(j)=y(j+1); end YN=YN'; A=inv(BT*B)*BT*YN; a=A(1); u=A(2); t=u/a; t_test=input('请输入需要预测个数：'); i=1:t_test+n; yys(i+1)=(y(1)-t).*exp(-a.*i)+t; yys(1)=y(1); for j=n+t_test:-1:2 ys(j)=yys(j)-yys(j-1); end x=1:n; xs=2:n+t_test; yn=ys(2:n+t_test); plot(x,y,'^r',xs,yn,'*-b'); det=0; for i=2:n det=det+abs(yn(i)-y(i)); end det=det/(n-1); disp(['百分绝对误差为：',num2str(det),'%']); disp(['预测值为：',num2str(ys(n+1:n+t_test))]);

灰色预测模型及应用论文

管理预测与决策的课程设计报告灰色系统理论的研究专业：计算机信息管理姓名：XXX 班级：xxx 学号：XX 指导老师：XXX 日期2012年11月01 日

摘要：科学地预测尚未发生的事物是预测的根本目的和任务。无论个体还是组织，在制定和规划面向未来的策略过程中，预测都是必不可少的重要环节，它是科学决策的重要前提。在众多的预测方法中，灰色预测模型自开创以来一直深受许多学者的重视，它建模不需要太多的样本，不要求样本有较好的分布规律，计算量少而且有较强的适应性，灰色模型广泛运用于各种领域并取得了辉煌的成就。本文详细推导GM（1,1）模型，另外对灰关联度进行了进一步的改进，让改进的计算式具有唯一性和规范性[]4。通过给出的实例高校传染病发病率情况，建立了GM(1,1)预测模型，并预测了1993年的传染病发病率。另外对传染病发病率较高的痢疾、肝炎、疟疾三种疾病做了关联度分析，发现痢疾与整个传染病关系最密切，而肝炎、疟疾与整个传染病的密切程度依次差些。关键词：灰色预测模型；灰关联度；灰色系统理论

目录 1、引言 (1) 1.1、研究背景 (1) 1.1.1、国内研究现状 (1) 1.1.2、国外研究现状 (1) 1.2、研究意义 (1) 2、灰色系统及灰色预测的概念 (2) 2.1、灰色系统理论发展概况 (2) 2.1.1、灰色系统理论的提出 (2) 2.1.2、灰色系统理论的研究对象 (2) 2.1.3、灰色系统理论的应用范围 (2) 2.1.4、三种不确定性系统研究方法的比较分析 (3) 2.2、灰色系统的特点 (3) 2.3、常见灰色系统模型 (4) 2.4、灰色预测 (4) 3、简单的灰色预测——GM(1,1)预测 (5) 3.1、GM(1,1)预测模型的基本原理 (5) 4、小结 (8) 参考文献： (8)

灰色预测模型理论及其应用

灰色预测模型理论及其应用 Document number【980KGB-6898YT-769T8CB-246UT-18GG08】

数学建模案例分析--灰色系统方法建模2灰色预测模型GM(1-1)及其应用

§2 灰色预测模型GM(1,1)及其应用蠕变是材料在高温下的一个重要性能。处于高温状态下的材料长期受到载荷作用时，即使其载荷较低，并且在短时间的高温拉伸试验中材料不发生变形，但在此情况下仍会有微小的蠕变，极端的情况下，甚至会使材料发生破坏。高温材料多应用于各种车辆的发动机及冶金厂中各种设备上，如果因蠕变引起破坏，可能造成很大的事故。为了保证设备的安全可靠，在某一使用温度下，预先知道该材料对不同载荷应力下断裂的时间是很重要的。过去，人们都是通过蠕变试验测量断裂时间。而做蠕变试验时，需要很长时间才能得到结果，即使通过试验得出的数据，也只是对某几个具体试样而言，存在很大的偶然性，不能代表普遍的规律。如果将实测的数据用灰色系统理论来处理，可以预测在某一温度下的任何载荷应力的断裂时间。一、灰色预测模型GM （1,1）建模步骤如下：（1）GM （1,1）代表一个白化形式的微分方程： u aX dt dX =+)1() 1( （1）式中，u a ,是需要通过建模来求得的参数；) 1(X 是原始数据) 0(X 的累加生成（AGO ）值。（2）将同一数据列的前k 项元素累加后生成新数据列的第k 项元素，这就是数据处理。表示为： ∑==k n n X k X 1 )0() 1()()( （2）不直接采用原始数据) 0(X 建模，而是将原始的、无规律的数据进行加工处理，使之变得较有规律，然后利用生成后的数据列来分析建模，这正是灰色系统理论的特点之一。（3）对GM （1,1），其数据矩阵为

?????? ? ? ?+--+-+-=1)]()1([5.01)]3()2([5.01)]2()1([5.0)1()1()1()1()1()1(N X N X X X X X B M M （3）向量T N N X X X Y )](,),3(),2([)0()0()0(Λ= （4）作最小二乘估计，求参数u a , N T T Y B B B u a 1)(?-=??? ? ??=α （4）（5）建立时间响应函数，求微分方程（1）的解为 a u e a u X t X at +-=+-))1(()1(?)0()1( （5）这就是要建立的灰色预测模型。二、低合金钢铸件蠕变性能的灰色预测下面是对Cr-mo-0.25V 低合金钢铸件高温蠕变情况利用灰色系统理论进行研究。在500℃的高温下，已测得此铸件在载荷分别为37，36，35，34，33（kg/mm 2）情况下的蠕变断裂时间见下表。 1、建立GM （1,1）模型表中一次累加数列)() 1(k X 是根据断裂时间数列)()0(k X ，由公式（2）得到的。例如，

灰色预测模型及应用论文

灰色预测模型及应用论文公司标准化编码 [QQX96QT-XQQB89Q8-NQQJ6Q8-MQM9N]

灰色系统理论的研究 GM(1,1)预测与关联度的拓展摘要：科学地预测尚未发生的事物是预测的根本目的和任务。无论个体还是组织，在制定和规划面向未来的策略过程中，预测都是必不可少的重要环节，它是科学决策的重要前提。在众多的预测方法中，灰色预测模型自开创以来一直深受许多学者的重视，它建模不需要太多的样本，不要求样本有较好的分布规律，计算量少而且有较强的适应性，灰色模型广泛运用于各种领域并取得了辉煌的成就。本文详细推导GM（1,1）模型，另外对灰关联度进行了进一步的改进，让改进的计算式具有唯一性和规范性[]4。通过给出的实例高校传染病发病率情况，建立了GM(1,1)预测模型，并预测了1993年的传染病发病率。另外对传染病发病率较高的痢疾、肝炎、疟疾三种疾病做了关联度分析，发现痢疾与整个传染病关系最密切，而肝炎、疟疾与整个传染病的密切程度依次差些。关键词：灰色预测模型；灰关联度；灰色系统理论 The Research of Grey System Theory GM（1,1) prediction and the expansion of correlation xueshenping Instructor: tangshaofang Abstract：Science has not yet occurred to predict the fundamental thing is to predict the purpose and mission. Whether individuals or organizations, in developing future-oriented strategy and planning process, the forecasts are essential and important aspect, which is an important prerequisite for scientific decision-making. Among the many prediction methods, the gray prediction model has been well received since its inception attention of many scholars, it does not require much sample modeling, does not require a better distribution of the sample was calculated, and has strong adaptability less , gray model widely used in various fields and has made brilliant achievements.

灰色系统预测GM1,1模型及其Matlab实现

灰色系统预测GM(1,1)模型及其Matlab实现三天三夜72小时：读懂题目-》查找文献资料-》选择题目-》重查找文献资料-》精读其中几篇-》查找资料的资料。。。。在数学建模中常常会遇到数据的预测问题，有些赛题中，预测占主导地位，例如： 2003年A题 SARS的传播问题； 2005年A题长江水质的评价和预测问题； 2006年B题艾滋病疗法的评价及疗效的预测问题； 2007年A题中国人口增长预测问题。有些问题则是需要在求解的过程中进行预测，如2009年D题“会议筹备”对与会人数的确定等。参考资料：《灰色系统理论及其应用第五版》作者：刘思峰，党耀国等著出版时间：2010.05 校超星数字图书馆可阅读。灰色模型（Gray Model）有严格的理论基础，最大优点是实用。用灰色模型预测的结果比较稳定，不仅适用于大数据量的预测，在数据量较少时(>3)预测结果依然较准确。预备知识 (1)灰色系统白色系统是指系统内部特征是完全已知的,即人们不仅知道该系统的输入——输出关系，而且知道实现输入——输出关系的结构与过

程；黑色系统是指系统内部信息完全未知的,即人们只知道该系统输入——输出关系，但不知道实现输入——输出关系的结构与过程；而灰色系统是介于白色系统和黑色系统之间的一种系统，灰色系统其内部一部分信息已知，另一部分信息未知或不确定。例如，一个加有电压的电阻，也是一个系统，根据欧姆定律，I=U/R,当电阻的大小知道后，便可由多大电压算出能得到多大电流。电压与电流之间有明确的关系或函数，这便是白色系统。因此，这样的系统要求有明确的作用原理，一个有明确作用原理的系统必定是具有确定结构的，必定是有物理原型的。然而许多社会经济系统都没有物理原型，虽然知道影响系统的某些因素，但很难明确全部因素，更不可能确定因素之间的映射关系。这种没有确定的映射关系(函数关系)的系统是灰色系统。 (2)灰色预测灰色预测，是指对系统行为特征值的发展变化进行的预测，对既含有已知信息又含有不确定信息的系统进行的预测，也就是对在一定范围内变化的、与时间序列有关的灰过程进行预测。尽管灰过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此得到的数据集合具备潜在的规律。灰色预测是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。目前使用最广泛的灰色预测模型就是关于数列预测的一个变量、一阶微分的GM(1,1)模型。它是基于随机的原始时间序列，经按时间累加后所形成的新的时间序列呈现的规律可用一阶线性微分方程的解来逼近。经证明，经一阶线性微分方程的解逼近所揭示的原始

灰色预测实例

第一题 k N m k b p k N m L g f mgp S )() (1 ∑--=--+--= 当m<=N 时 f mgp S -= 当m>N 时 k N m k b p k N m L g f mgp S )() (1 ∑--=--+--= 现在设旅客达到机场概率为p=90%，N=300，f=0.6Ng ，g L b 5.0= 现在 k m k p k m g g mg S )300(*5.1180*9.0301 ∑-=----= 取m=301 经过计算得到 S=（90.9-2.53*10^(-14)）*g 取m=302经过计算得到 S=（91.8-8.095*10^(-13)）*g 取m=307经过计算得到 S=（96.3-4.065*10^(-8)）*g 取m=311经过计算得到 S=（99.9-9.865*10^(-6)）*g 取m=318经过计算得到 S=（106.2-5.68*10^(-3)）*g 取m=325经过计算得到 S=（112.5-2.59*10^(-1)）*g 取m=332经过计算得到 S=（118.8-2.42）*g=116.38*g 取m=336经过计算得到 S=（122.4-5.42）*g=116.98g 取m=337经过计算得到 S=（123.3-6.38）*g=116.92g 所以航空公司在出售336张票的时候收益最大值为116.98g ，由于这只是单方面考虑到肮空公司的利润，在实际中，国内超售可以达到5%，国外一般是2%。对于拒载的赔偿问题，早已有法律规定是按照里程数进行赔偿，程序 m=337; x=0.9*m-180 y=0;

灰色理论灰色预测模型和灰色关联度分析matlab通用代码

%该程序用于灰色关联分析，其中原始数据的第一行为参考序列，1至15行为正相关序列，16至17为负相关序列 clc,clear load x.txt %把原始数据存放在纯文本文件x.txt 中 %如果全为正相关序列，则将两个循环替换为下列代码 %for i=1:size(x,1) %x(i,=x(i,/x(i,1); %end for i=1:15 x(i,=x(i,:)/x(i,1); %标准化数据 end for i=16:17 x(i,:)=x(i,1)./x(i,:); %标准化数据 end data=x; n=size(data,1); ck=data(1,:);%分离参考序列 bj=data(2:n,:);m1=size(bj,1); for j=1:m1 t(j,:)=bj(j,:)-ck; end jc1=min(min(abs(t')));jc2=max(max(abs(t'))); rho=0.5;%灰色关联度为0.5 ksi=(jc1+rho*jc2)./(abs(t)+rho*jc2); r=sum(ksi')/size(ksi,2); r %灰色关联度向量 [rs,rind]=sort(r,'descend') %对关联度进行降序排序 %该函数用于灰色预测模型，其中x0为列向量，alpha一般取0.5，将第一个数据视为序号为0,k从0开始的序号矩阵 function y=huiseyuce(x0,alpha,k) n=length(x0); x1=cumsum(x0); for i=2:n z1(i)=alpha*x1(i)+(1-alpha)*x1(i-1); end z1=z1'; B=[-z1(2:n),ones(n-1,1)]; Y=x0(2:n); ab=B\Y; y1=(x0(1)-ab(2)/ab(1))*exp(-ab(1)*k)+ab(2)/ab(1);%产生预测累加生成序列 y=[x0(1) diff(y1)]%产生灰色预测数据 1 / 1

多因素时间序列的灰色预测模型

第 39卷第 2期 2007年 4月西安建筑科技大学 ( 学报 ( 自然科学版) ) V ol.39 No.2 Apr . 2007 J 1Xi ’an Univ . of Arch . & Tech . Natural Scie nce Editio n 多因素时间序列的灰色预测模型苏变萍 ,曹艳平 ,王婷 (西安建筑科技大学理学院 ,陕西西安 710055) 摘要:对于传统的单因素时间序列预测法在实际应用中的不足之处 ,提出采用灰色 DGM (1 ,1) 模型和多元线性回归原理相结合的方法 ,综合各种因素建立多因素时间序列的灰色预测模型。它首先利用 DGM (1 ,1) 模型对影响事物发展趋势的各项因素进行预测 ;然后利用多元线性回归法将各种因素综合起来 ,以预测事物的发展趋势。最后将该模型应用于预测分析陕西省的就业状况 ,取得了较好的预测效果 ,同时也验证了此模型的可行性。关键词: 时间序列 ;单因素 ;多因素 ;预测模型中图分类号:TB114 文献标识码:A 文章编号 :100627930 2007 022******* ( ) 多年以来 ,对时间序列的预测研究 ,大多是停留在对单因素时间序列上 ,对其预测通常采用的是趋势外推法 ,而且该方法适合于原始时间序列规律性较好的情况 ,若时间序列中包含了随机因素的影响 ,再采用这种方法得出的预测结果可能会失真. 同时 ,客观世界又是复杂多变的 ,事物的发展通常不是由某个单个因素决定 ,往往是许多错综复杂的因素综合作用的结果 ,为了对某项事物的发展做出更加符合实际的预测 ,这就需要来探讨多因素时间序列的预测问题 ,正是基于这些 ,本文在应用灰色 D GM (1 ,1)模型对单因素时间序列预测的基础上 ,结合多元回归原理 ,提出建立多因素时间序列的灰色预测模型 ,这样就充分发挥了二者的优点 ,既克服了时间序列的随机因素影响 ,又综合考虑了影响事物发展的多种因素 ,从而达到提高预测精度和增加预测结果可靠性的效果. 1 模型的建立设 Y = (y (1) , y (2) , …, y( n)) 表示事物发展的特征因素时间序列, X i = (x i (1) , x i (2) , …, x i ( n)) (i = 1 ,2 , …, p) 表示影响事物发展的单因素时间序列. 1.1 单因素时间序列的 DGM(1 ,1) 模型对于单因素原始时间序列{ X i } (i = 1 ,2 , …, p) ,根据灰色系统理论建模方法 ,得 D GM (1 ,1) 模型 : x i (1) a (1 - a) + a b ,t > 1 1.2 多因素时间序列的预测模型为了能将影响事物发展的众多因素结合起来进行综合预测和相关因素的预测分析 ,在经过多次研究与比较后,采用多元回归的原理建立多因素时间序列的灰色预测模型: y t = a 0 + a 1 x 1 t + a 2 x 2 t + …+ a p x p t 2 式中 y t 为该事物在 t 时刻的预测值;x i t i = 1 ,2 , …, p 为第 i 个单因素 ,通过应用上述的灰色 3收稿日期 :2005201209 修改稿日期:2006204212 基金项目 :陕西省教育厅专项基金项目 01J K133( ) 作者简介 :苏变萍 19632( ) ,女 ,山西忻州人 ,副教授 ,博士研究生 ,研究方向为计量经济学. [122] (0) (0) (0) ( ) ( ) [4] (0) x (1) = x (1) ^ x (t) = (1) ( ) ^ ^ ^ ^ ^ ^

灰色预测模型※※分析

线性回归和灰色预测模型案例

灰色预测模型介绍

灰色预测模型案例

灰色预测模型理论及其应用

灰色预测模型原理

灰色预测应用实例

灰色预测模型及应用论文

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多因素时间序列的灰色预测模型

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