一元二次方程

一元二次方程

1.什么是一元二次方程？

只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。它的标准形式为: ax2+bx+c=0（a≠0）。

先化简，后判断。（判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式）

一元二次方程必须同时满足三个条件：

①是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母；且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程，方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程，这点请注意！

②只含有一个未知数；

③未知数项的最高次数是2。

2.一元二次方程的解法？

2）配方法：用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解．

4）因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：若ab=0，则a=0或b=0。步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。

3.

4.一元二次方程的注意事项？

⑴在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次

方程．

⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a，b，c的值；②若b2 －4ac＜0，则方程无解．

⑶利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4)2

=3（x＋4）中，不能随便约去x＋4。（因为x+4=0无法排除）

⑷注意：解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．

5.一元二次方程的解的情况？

（1）b2－4ac≥0 方程有两个不相等的实数根；

⑵b2－4ac=0 方程有两个相等的实数根；

⑷b2－4ac≤0 方程没有实数根。

解题小诀窍：当题目中含有“两不等实数根”“两相等实数根”“没有实数根”时，往往首先考虑用b2－4ac 解题。主要用于求方程中未知系数的值或取值范围。

6.韦达定理-----伟大定理

7.关于一元二次方程的考点

a)构建一元二次方程数学模型，常见的模型如下：

⑴与几何图形有关的应用：如几何图形面积模型、勾股定理等；

⑵有关增长率的应用：此类问题是在某个数据的基础上连续增长（降低）两次得到新数据，常见

的等量关系是a(1±x）2=b，其中a表示增长（降低）前的数据，x表示增长率（降低率），b

表示后来的数据。注意：所得解中，增长率不为负，降低率不超过1。

⑶经济利润问题：总利润=（单件销售额－单件成本）3销售数量；或者，总利润=总销售额－总

成本。

⑷动点问题：此类问题是一般几何问题的延伸，根据条件设出未知数后，要想办法把图中变化的

线段用未知数表示出来，再根据题目中的等量关系列出方程。

b)注重解法的选择与验根：在具体问题中要注意恰当的选择解法，以保证解题过程简洁流畅，特别

要对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性．

课后作业1.解一元二次方程容易发生的误区：

练习

（考虑a的取值）

一元二次方程

1)x^2-9x+8=0 答案：x1=8 x2=1 (2)x^2+6x-27=0 答案：x1=3 x2=-9 (3)x^2-2x-80=0 答案：x1=-8 x2=10 (4)x^2+10x-200=0 答案：x1=-20 x2=10 (5)x^2-20x+96=0 答案：x1=12 x2=8 (6)x^2+23x+76=0 答案：x1=-19 x2=-4 (7)x^2-25x+154=0 答案：x1=14 x2=11 (8)x^2-12x-108=0 答案：x1=-6 x2=18 (9)x^2+4x-252=0 答案：x1=14 x2=-18 (10)x^2-11x-102=0 答案：x1=17 x2=-6 (11)x^2+15x-54=0 答案：x1=-18 x2=3 (12)x^2+11x+18=0 答案：x1=-2 x2=-9 (13)x^2-9x+20=0 答案：x1=4 x2=5 (14)x^2+19x+90=0 答案：x1=-10 x2=-9 (15)x^2-25x+156=0 答案：x1=13 x2=12 (16)x^2-22x+57=0 答案：x1=3 x2=19 (17)x^2-5x-176=0 答案：x1=16 x2=-11 (18)x^2-26x+133=0 答案：x1=7 x2=19 (19)x^2+10x-11=0 答案：x1=-11 x2=1 (20)x^2-3x-304=0 答案：x1=-16 x2=19 (21)x^2+13x-140=0 答案：x1=7 x2=-20 (22)x^2+13x-48=0 答案：x1=3 x2=-16 (23)x^2+5x-176=0 答案：x1=-16 x2=11 (24)x^2+28x+171=0 答案：x1=-9 x2=-19 (25)x^2+14x+45=0 答案：x1=-9 x2=-5 (26)x^2-9x-136=0 答案：x1=-8 x2=17 (27)x^2-15x-76=0 答案：x1=19 x2=-4 (28)x^2+23x+126=0 答案：x1=-9 x2=-14 (29)x^2+9x-70=0 答案：x1=-14 x2=5 (30)x^2-1x-56=0 答案：x1=8 x2=-7 (31)x^2+7x-60=0 答案：x1=5 x2=-12 (32)x^2+10x-39=0 答案：x1=-13 x2=3 (33)x^2+19x+34=0 答案：x1=-17 x2=-2 (34)x^2-6x-160=0 答案：x1=16 x2=-10 (35)x^2-6x-55=0 答案：x1=11 x2=-5 (36)x^2-7x-144=0 答案：x1=-9 x2=16 (37)x^2+20x+51=0 答案：x1=-3 x2=-17 (38)x^2-9x+14=0 答案：x1=2 x2=7 (39)x^2-29x+208=0 答案：x1=16 x2=13 (40)x^2+19x-20=0 答案：x1=-20 x2=1 (41)x^2-13x-48=0 答案：x1=16 x2=-3 (42)x^2+10x+24=0 答案：x1=-6 x2=-4

(完整版)一元二次方程归纳总结

一元二次方程归纳总结 1、一元二次方程的一般式：2 0 (0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。 2、一元二次方程的解法 （1）直接开平方法 （也可以使用因式分解法） ①2 (0)x a a =≥ 解为：x = ②2 ()(0)x a b b +=≥ 解为：x a += ③2 ()(0)ax b c c +=≥ 解为：ax b += ④2 2() ()()ax b cx d a c +=+≠ 解为：()ax b cx d +=±+ （2）因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法 （3）公式法：一元二次方程2 0 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：222 4()24b b ac x a a -+= ①当2 40b ac ?=-> 时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：1,22b x a -=② 当2 40b ac ?=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a =- ③ 当2 40b ac ?=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根。 注意：虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。 备注：公式法解方程的步骤： ①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：2 0 (0)ax bx c a ++=≠，并确定出a 、b 、c ②求出2 4b ac ?=-，并判断方程解的情况。 ③代公式：1,2x = 3、一元二次方程的根与系数的关系 法1：一元二次方程2 0 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为： 1222b b x x a a -+-== 所以：12b x x a += +=-， 221222()422(2)4b b b ac c x x a a a a a -+----?=?===

(完整版)一元二次方程计算题及答案

6X2-7X+1=0 6X2-7X=-1 X2- ( 7/6)X+ ( 7/12 )2=-1 /6 +( 7/12 )2 (X-7 /12 )2=25 /144 ???X-7 /12= ±5/12 ???X1=1,X2=1/ 6 5X2-18=9X 5X2-9X=18 X2-1.8X=3.6 (X-0.9 )2=4.41 ???X-.9= ±2.1 ???X1=3,X2=-1.2 4X 2-3X=52 解：X2- ( 3/4 ) X=13 (X-3 / 8 )2=13 ???X-3 /8= ±29 /8 ???X1=4,X2 =-13 / 4 5X 2=4-2X 5X 2+2X=4 X2+0.2X=0.8 (X+0.1 )2 =0.81 X+0.1= ±0.9

X1=-1,X2=0.8 就这么几道，最好去百度搜索，那多1)x A2-9x+8=0 答案：x1=8 x2=1⑵ xA2+6x-27=0 答案：x1=3 x2=-9 ⑶ xA2-2x-80=0 答案：x仁-8 x2=10 ⑷ xA2+10x-200=0 答案：x1=-20 x2=10 (5)xA2-20x+96=0 答案：x仁12 x2=8 ⑹xA2+23x+76=0 答案：x1=-19 x2=-4 (7)xA2-25x+154=0 答案：x1=14 x2=11 (8)xA2-12x-108=0 答案：x仁-6 x2=18 (9)xA2+4x-252=0 答案：x1=14 x2=-18 (10)xA2-11x-102=0 答案：x仁17 x2=-6 (11)xA2+15x-54=0 答案：x1=-18 x2=3 (12)xA2+11x+18=0 答案：x仁-2 x2=-9 (13)xA2-9x+20=0 答案：x1=4 x2=5 (14)xA2+19x+90=0 答案：x1=-10 x2=-9 (15)xA2- x1=13 x2=12 25x+156=0 答案： (16)xA2-22x+57=0 答案：x1=3 x2=19 (17)xA2-5x-176=0 答案：x仁16 x2=-11 (18)xA2- x1=7 x2=19 26x+133=0 答案： (19)xA2+10x-11=0 答案：x1=-11 x2=1 (20)xA2-3x-304=0 答案：x1=-16 x2=19 (21)xA2+13x- x1=7 x2=-20 140=0 答案： (22)xA2+13x-48=0 答案：x1=3 x2=-16

专题11 一元二次方程的解集及其根与系数的关系(解析版)

提升训练2.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 一、选择题 1．用配方法解方程2680x x --=时，配方结果正确的是（ ） A ．2(3)17x -= B ．2(3)14-=x C ．2(6)44x -= D ．2(3)1x -= 【答案】A 【解析】 用配方法解方程x 2﹣6x ﹣8＝0时，配方结果为（x ﹣3）2＝17， 故选A ． 2．若1x ，2x 是一元二次方程x 2+4x +3=0的两个根，则12x x 的值是（ ） A ．4 B ．－3 C ．－4 D ．3 【答案】D 【解析】 ∵一元二次方程x 2+4x+3=0的二次项系数a=1，常数项c=3， ∴x 1?x 2=c a =3． 故选D ． 3．一元二次方程2320x x =－－的两根分别为12x x ，，则下列结论正确的是( ) A ．1212x x =-=， B ．1212x x ==-， C ．123x x =＋ D ．122x x = 【答案】C 【解析】 ∵方程2320x x =－－的两根为12x x ，， ∴1212+=-3,2b c x x x x a a ===- ∴C 选项正确. 故选C

4．若1x 、2x 是方程2x 2x 10--=的两个根，则1122x x x x ++的值为( ) A ．1 B ．-1 C ．3 D ．-3 【答案】A 【解析】 因为1x 、2x 是方程2x 2x 10--=的两个根， 所以12122,1x x x x +=?=- 所以1122x x x x ++=2-1=1 故选A 5．若，，则以，为根的一元二次方程是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】A 【解析】 ∵ ， ∴ ， 而 ， ∴ ， ∴， ∴以，为根的一元二次方程为 ． 故选：A ． 6．若代数式2x 2-5x 与代数式x 2 -6的值相等，则x 的值是( ) A ．-2或3 B ．2或3 C ．-1或6 D ．1或-6. 【答案】B 【解析】 因为这两个代数式的值相等， 所以有： 2x 2-5x=x 2-6， x 2-5x+6=0， (x-2)(x-3)=0，

一元二次方程(含答案)

第十六期：一元二次方程 一元二次方程是在一元一次方程及分式方程的基础上学习的，一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程的应用是中考的重点。题型多样，一般分值在6－9分左右。 知识点1：一元二次方程及其解法 例1：方程0232 =+-x x 的解是（ ） A ．11=x ，22=x B ．11-=x ，22-=x C ．11=x ，22-=x D ．11-=x ，22=x 思路点拨：考查一元二次方程的解法，一元二次方程的解法有：一是因式分解法；二是配方法；三是求根公式法．此题可以用此三种方法求解，此题以因式分解法较简单，此式可以分解为（x －1）(x －2)=0,所以x －1=0或x －２=0，解得x １=１，x ２=２．故此题选Ａ． 例2：若2 20x x --= ） A B C D 思路点拨：本题考查整体思想，即由题意知x 2－x=2, 所以原式=3 3 23 123222= +-+，选A. 练习： 1.关于x 的一元二次方程2x 2－3x －a 2 +1=0的一个根为2，则a 的值是（ ） A ．1 B C ． D ．2.如果1-是一元二次方程2 30x bx +-=的一个根，求它的另一根． 3.用配方法解一元二次方程：x 2－2x －2=0． 答案：1.D. 2.解： 1-是230x bx +-=的一个根， 2(1)(1)30b ∴-+--=．解方程得2b =-．

∴原方程为2230x x --= 分解因式，得(1)(3)0x x +-= 11x ∴=-，23x =. 3.移项，得x 2－2x=2． 配方x 2－2x+12=2+12， （x －1）2=3. 由此可得x －1=±3， x 1=1+3，x 2=1－3. 最新考题 1.（2009威海）若关于x 的一元二次方程2 (3)0x k x k +++=的一个根是2-，则另一个根是______． 2.（2009年山西省）请你写出一个有一根为1的一元二次方程： ． 3.（2009山西省太原市）用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ） A ．()216x += B ．()216x -= C ．()2 29x += D ．()2 29x -= 答案：1.1； 2.答案不唯一，如2 1x = 3. B 知识点2：一元二次方程的根与系数的关系 例1：如果21,x x 是方程0122 =--x x 的两个根，那么21x x +的值为： （A ）－1 （B ）2 （C ）21- （D ）21+ 思路点拨：本题考查一元二次方程02 =++c bx ax 的根与系数关系即韦达定理，两根之和是a b - ， 两根之积是a c ，易求出两根之和是2。答案：B 例2：设一元二次方程2 730x x -+=的两个实数根分别为1x 和2x ， 则12x x += ，x 1、·x 2 ．

一元二次方程 习题100道

一元二次方程百题 一、用直接开平方法解下列一元二次方程。 （1）0142 =-x （2）2)3(2=-x （3）()512 =-x （4）()162812 =-x （5）2 225x =； （6）2(1)9x -=； （7）2 (61)250x --=． （8）2 81(2)16x -=． （9）2 5(21)180y -= （10）21 (31)644 x += （11）26(2)1x +=； （12）25(21)180y -= （13）21(31)644 x += （14）26(2)1x +=； （15）2 ()(00)ax c b b a -=≠，≥ 二、用配方法解下列一元二次方程。 （16）0662 =--y y （17） x x 4232=- （18）9642 =-x x

（19）210x x +-= （20）23610x x +-= （21）2 1(1)2(1)02x x ---+ = （22）22540x x --= （23）210x x --= （24）2 3920x x -+=． （25）2 310y y ++=． （26）．210x x +-= （27）．23610x x +-= （28）．21 (1)2(1)02 x x ---+= （29）.23610x x --= （30） 22540x x --= （31）210x x --= （32）2 3920x x -+=． （33）0542 =--x x

（34）01322 =-+x x （35）07232 =-+x x （36）01842 =+--x x （37）022 2=-+n mx x （38）()0022 2 >=--m m mx x 三、用公式解法解下列方程。 （39）0822 =--x x （40）2 2 314y y -= （41）y y 32132=+ (42)x 2 +4x +2=0 ; (43)3x 2 -6x +1=0; (44)4x 2 -16x +17=0 ; (45)3x 2 +4x +7=0. (1)2x 2 -x -1=0; (46)4x 2 -3x +2=0 ;

解一元二次方程(公式法)

应用拓展 某数学兴趣小组对关于x 的方程（m+1）22m x ++（m-2）x-1=0提出了下列问题． （1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出m 并解此方程． （2）若使方程为一元二次方程m 是否存在？若存在，请求出． 你能解决这个问题吗？ 分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足m 2+1=2，同时还要满足（m+1）≠0． （2）要使它为一元一次方程，必须满足: ①211(1)(2)0m m m ?+=?++-≠?或②21020m m ?+=?-≠?或③1020 m m +=??-≠? 解：（1）存在．根据题意，得：m 2+1=2 m 2=1 m=±1 当m=1时，m+1=1+1=2≠0 当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去） ∴当m=1时，方程为2x 2-1-x=0 a=2，b=-1，c=-1 b 2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9 134 ±= x 1=，x 2=-12 因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x 1=1，x 2=- 12． （2）存在．根据题意，得：①m 2+1=1，m 2=0，m=0 因为当m=0时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0 所以m=0满足题意． ②当m 2+1=0，m 不存在． ③当m+1=0，即m=-1时，m-2=-3≠0 所以m=-1也满足题意． 当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0， 解得：x=-1 当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0 解得x=-13 因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；当m=-?1时，其一元一次方程的根为x=- 13． 布置作业 1．教材P 45 复习巩固4． 2．选用作业设计:

一元二次方程试题及答案

一元二次方程试题 （时间： 90分钟，满分：120分） （班级：_____ 姓名：_____ 得分：_____） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 一元二次方程2x 2 －3x －4＝0的二次项系数是 （ ） A. 2 B. －3 C. 4 D. －4 2．把方程(x ＋(2x －1)2＝0化为一元二次方程的一般形式是 （ ） A ．5x 2－4x －4＝0 B ．x 2－5＝0 C ．5x 2－2x ＋1＝0 D ．5x 2－4x ＋6＝0 3．方程x 2－2x-3＝0经过配方法化为(x ＋a)2＝b 的形式，正确的是 （ ） A ．()412 =-x B ．()412=+x C ．()1612=-x D ．()1612=+x 4．方程()()121+=-+x x x 的解是 （ ） A ．2 B ．3 C ．-1,2 D ．-1,3 5．下列方程中，没有实数根的方程是 （ ） A ．212270x x -+= B ．22320x x -+= C ．223410x x +-= D ．2230x x k --=（k 为任意实数） 6．一个矩形的长比宽多2 cm ，其面积为2cm 8，则矩形的周长为 （ ） A ．12 cm B ．16 cm C ．20 cm D ．24 cm 7．某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为128元．已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x ，根据题意列方程得 （ ） A.168（1+x ）2=128 B.168（1﹣x ）2 =128 C.168（1﹣2x ）=128 D.168（1﹣x 2）=128 8．一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数比十位数大3，则这个两位数为 （ ） A ．25 B ．36 C ．25或36 D ．－25或－36 9．从一块正方形的木板上锯掉2 m 宽的长方形木条，剩下的面积是48㎡，则原来这块木板的面积是 （ ） A ．100㎡ B ．64㎡ C ．121㎡ D ．144㎡ 10．三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程216600x x -+=的一个实 数根，则该三角形的面积是 （ ） A ．24 B ．24或 C ．48 D ． 二、填空题（每小题4分，共32分）

一元二次方程求根公式

一元二次方程求解 一、一周知识概述 1、一元二次方程的求根公式 将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为 ． 该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法． 说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)； (2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的； (3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式. 2、一元二次方程的根的判别式 （1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根； （3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根． 二、重难点知识 1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。 (1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式

法”就显得多余的了。 (2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。 (3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。 (4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方 程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。 2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点： （1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac； （2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c； （3）根的判别式是指b2－4ac，而不是 三、典型例题讲解 例1、解下列方程： (1)； (2)； (3). 分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算，

一元二次方程测试题(含答案)

一元二次方程测试题 一、填空题:（每题2分共50分） 1.一元二次方程(1－3x )(x +3)=2x 2 +1 化为一般形式为： ，二次项系数 为： ，一次项系数为： ，常数项为： 。 2.若m 是方程x 2 +x －1＝0的一个根，试求代数式m 3 +2m 2 +2013的值为 。 3.方程 ()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。 4.关于x 的一元二次方程()0422 2=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。 5.若代数式5242 --x x 与122 +x 的值互为相反数，则x 的值是 。 6.已知322-+y y 的值为2，则1242 ++y y 的值为 。 7.若方程()112 =?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。 8.已知关于x 的一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程 必有一根为 。 9.已知关于x 的一元二次方程x 2 +bx+b ﹣1=0有两个相等的实数根，则b 的值是 。 10.设x 1，x 2是方程x 2 ﹣x ﹣2013=0的两实数根，则 = 。 11.已知x=﹣2是方程x 2 +mx ﹣6=0的一个根，则方程的另一个根是 。 12.若 ，且一元二次方程kx 2 +ax+b=0有两个实数根，则k 的取值范 围是 。 13.设m 、n 是一元二次方程x 2 ＋3x －7＝0的两个根，则m 2 ＋4m ＋n ＝ 。 14.一元二次方程（a+1）x 2 -ax+a 2 -1=0的一个根为0，则a= 。 15.若关于x 的方程x 2 +（a ﹣1）x+a 2 =0的两根互为倒数，则a = 。 16.关于x 的两个方程x 2 ﹣x ﹣2=0与有一个解相同，则a = 。 17.已知关于x 的方程x 2 ﹣（a+b ）x+ab ﹣1=0，x 1、x 2是此方程的两个实数根，现 给出三个结论：①x 1≠x 2；②x 1x 2＜ab ；③．则正确结论的序号 是 ．（填上你认为正确结论的所有序号） 18.a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项，且满足1-a +(b －2)2 +|a+b+c|=0，

一元二次方程根与系数的关系(11.3)

一元二次方程根与系数的关系 一、验根 1．判断下列各方程后面括号内的两个数是不是前面方程的根。 （1）x2+5x+4=0 (1,4)；（2）2x2-3x+1=0 (1 2 ,1)； （3）x2+5x=6 (2,3)；（4）x2-(3+2)x+6=0 (3,2)。 二、不解方程，直接找出方程的两根之和与积 1．3x2-2x-1=0的两根之积为，两根之和为。 2．3x2-x=0的两根之积为。 3．2x2-1=0的两根之积为。 4．2x2+(3-4)x-23=0的两根之和为。 5．3x2-2(x+1)=2的两根之和为，两根之积为。 6．若ax2+bx+c=0(a≠0)的两根互为相反数，则b= 。 7．若ax2+bx+c=0(a≠0)的两根互为负倒数，则b= 。 8．若ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为零，则c= 。 9．若ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根都为零，则b= ，c= 。 10．已知关于x的一元二次方程x2-px+6=0的两根恰是一矩形的长和宽，则这个矩形的面积= 。 三、求有关根的式子的值 1．已知方程x2+4x-6=0的两个根是α和β，求下列代数式的值。 (1)（α+2）（β+2）；(2)α2β+β2α； (3)1 α+1 β ； (4)α2+β2； (5)（α-β）2；（6）β α+α β ； (7)α3+β3； (8)|α-β|； (9)α-β。 2．已知x2+11x+16=0的两根为x1,x2；求x2 x1+x1 x2 的值。 3．已知实数a，b满足a2-a-11=0，b2-b-11=0，且a≠b，求a2+b2的值。 4．已知a4+2a2-5=0,1 b +2 b -5=0，且a2≠1 b ，求ba 4+a2 b 的值。

一元二次方程知识点总结

一元二次方程知识点 教学重点：根的判别式定理及逆定理的正确理解和运用 教学难点：根的判别式定理及逆定理的运用。 教学关键：对根的判别式定理及其逆定理使用条件的透彻理解。 主要知识点： 一、一元二次方程 1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边加一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。 二、一元二次方程的解法 1、直接开平方法: 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 2、配方法: 配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。 配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式 3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式： )04(242 2≥--±-=ac b a ac b b x 公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c 4、因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。 分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式 5、韦达定理

一元二次方程习题答案

（2016?临朐县一模）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）当时，求的值． 【考点】根的判别式． 【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件： ①二次项系数不为零； ②在有两个不相等的实数根下必须满足△=b2﹣4ac＞0； ③二次根式的被开方数是非负数． 另外，对第（2）依据：=，小题利用转换解出所求的值，要注意验证所求结果是否符合题意． 【解答】解：（1）根据题意列出方程组 解之得0≤m＜1且m≠． （2）∵ ∴==11﹣2=9 ∴=±3 又由（1）得m＜1且m≠ 所以＜0 因此应舍去3 所以=﹣3 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．注意：验证所求结果是否符合题意必不可少．

（2016秋?阿荣旗期末）如图所示，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为19m），另外三边利用学校现有总长38m的铁栏围成． （1）若围成的面积为180m2，试求出自行车车棚的长和宽； （2）能围成的面积为200m2自行车车棚吗如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【考点】一元二次方程的应用． 【专题】几何图形问题． 【分析】（1）利用长方形的周长表示出各边长，即可表示出矩形面积，求出即可；（2）利用长方形的面积列方程，利用根的判别式解答即可． 【解答】解：（1）设AB=x，则BC=38﹣2x； 根据题意列方程的， x（38﹣2x）=180， 解得x 1=10，x 2 =9； 当x=10，38﹣2x=18（米）， 当x=9，38﹣2x=20（米），而墙长19m，不合题意舍去， 答：若围成的面积为180m2，自行车车棚的长和宽分别为10米，18米； （2）根据题意列方程的， x（38﹣2x）=200， 整理得出：x2﹣19x+100=0； △=b2﹣4ac=361﹣400=﹣39＜0， 故此方程没有实数根， 答：因此如果墙长19m，满足条件的花园面积不能达到200m2． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，首先要注意读懂题意，正确理解题意，然后才能利用题目的数量关系列出方程．

一元二次方程测试题(含答案)

一元二次方程测试题 （时间 120分钟满分150分） 一、填空题:（每题2分共50分） 1.一元二次方程(1－3x )(x +3)=2x 2 +1 化为一般形式为： ，二次项系数 为： ，一次项系数为： ，常数项为： 。 2.若m 是方程x 2 +x －1＝0的一个根，试求代数式m 3 +2m 2 +2013的值为 。 3.方程 ()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。 4.关于x 的一元二次方程()0422 2=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。 5.若代数式5242 --x x 与122 +x 的值互为相反数，则x 的值是 。 6.已知322-+y y 的值为2，则1242 ++y y 的值为 。 7.若方程()112 =?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。 8.已知关于x 的一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程 必有一根为 。 9.已知关于x 的一元二次方程x 2 +bx+b ﹣1=0有两个相等的实数根，则b 的值是 。 10.设x 1，x 2是方程x 2 ﹣x ﹣2013=0的两实数根，则 = 。 11.已知x=﹣2是方程x 2 +mx ﹣6=0的一个根，则方程的另一个根是 。 12.若 ，且一元二次方程kx 2 +ax+b=0有两个实数根，则k 的取值范 围是 。 13.设m 、n 是一元二次方程x 2 ＋3x －7＝0的两个根，则m 2 ＋4m ＋n ＝ 。 15.若关于x 的方程x 2 +（a ﹣1）x+a 2 =0的两根互为倒数，则a = 。 16.关于x 的两个方程x 2 ﹣x ﹣2=0与有一个解相同，则a = 。 17.已知关于x 的方程x 2 ﹣（a+b ）x+ab ﹣1=0，x 1、x 2是此方程的两个实数根，现 给出三个结论：①x 1≠x 2；②x 1x 2＜ab ；③．则正确结论的序号 是 ．（填上你认为正确结论的所有序号） 18.a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项，且满足1-a +(b －2)2 +|a+b+c|=0，满足条件的一元二次方程是 。

21一元二次方程教案(表格形式,打包11套)-10

21.2.4一元二次方程的根与系数关系 一、教材分析知道一元二次方程的根与系数的关系，学习运用一元二次方程的根与系数关系解决实际问题. 二、学情分析 已经知道因式分解中的十字交叉法，这对认识一元二次方程的根与系数的关系，学生有点基础，再多加练习，是能够学会的。 三、教学目标 1.知道一元二次方程的根与系数关系. 2.学会运用一元二次方程的根与系数关系解决实际问题. 四、教学重点难点重点 一元二次方程的根与系数关系难点 对根与系数关系的理解和推导

五、教学过程设计 一、复习引入 导语：一元二次方程的根与系数有着密切的关系，早在16世纪法国的杰出数学家韦达发现了这一关系，你能发现吗？ 二、探究新知 1.课本思考 分析：将（x- x1）（x-x2）=0化为一般形式x2-( x1 +x2)x+ x1 x2=0与x2+px+ q=0对比,易知p=-( x1 +x2)， q= x1 x2. 即二次项系数是1的一元二次方程如果有实数根，则一次项系数等于两根和的相反数，常数项等于两根之积. 2.跟踪练习 求下列方程的两根x1、x2. 的和与积. x2+3x+2=0； x2+2x-3=0; x2-6x+5=0; x2-6x-15=0 3. 方程2x2-3x+1=0的两根的和、积与系数之间有类似的关系吗？ 分析：这个方程的二次项系数等于2，与上面情形有所不同，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，检验上面的结论是否成立，若不成立，新的结论是什么？4.一般的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的a不一定是1，它的两根的和、积与系数之间有第3题中的关系吗？ 分析：利用求根公式，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，得到方程的两个根x1、x2和系数a，b，c的关系，即韦达定理，也就是任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比. 求根公式是在一般形式下推导得到，根与系数的关系由求根公式得到，因此，任何一个一元二次方程化为一般形式后根与系数之间都有这一关系. 5.跟踪练习 求下列方程的两根x1、x2. 的和与积. ○13x2+7x+2=0；3x2+7x-2=0; 3x2-7x+2=0；3x2-7x-2=0； ○25x-1=4x2；5x2-1=4x2+x 6.拓展练习 ○1已知一元二次方程2x2+bx+c=0的两个根是-1，3，则b= ,c= . ○2已知关于x的方程x2+kx-2=0的一个根是1，则另一个根是 ,k的值是 . ○3若关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两个根互为相反数，则p= ; 若两个根互为倒数，则q= . 分析：方程中含有一个字母系数时利用方程一根的值可求得另一根和这个字母系数；方程中含有两个字母系数时利用方程的两根的值可求得这两个字母系数.二次

一元二次方程经典练习题及答案

练习一 一、选择题：(每小题3分,共24分) 1.下列方程中,常数项为零的是( ) A.x 2 +x=1 B.2x 2 -x-12=12； C.2(x 2 -1)=3(x-1) D.2(x 2 +1)=x+2 2.下列方程:①x 2 =0,② 21x -2=0,③22x +3x=(1+2x)(2+x),④32 x =0,⑤32x x -8x+ 1=0中, 一元二次方程的个数是( ) A.1个 B2个 C.3个 D.4个 3.把方程（+(2x-1)2 =0化为一元二次方程的一般形式是( ) A.5x 2 -4x-4=0 B.x 2 -5=0 C.5x 2 -2x+1=0 D.5x 2 -4x+6=0 4.方程x 2 =6x 的根是( ) A.x 1=0,x 2=-6 B.x 1=0,x 2=6 C.x=6 D.x=0 5.方2x 2 -3x+1=0经为(x+a)2 =b 的形式,正确的是( ) A. 23162x ? ?-= ??? ; B.2 312416x ??-= ???; C. 2 31416x ? ?-= ? ?? ; D.以上都不对 6.若两个连续整数的积是56,则它们的和是( ) A.11 B.15 C.-15 D.±15 7.不解方程判断下列方程中无实数根的是( ) A.-x 2 =2x-1 B.4x 2 +4x+ 5 4 =0; C. 20x --= D.(x+2)(x-3)==-5 8.某超市一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元, 如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为( ) A.200(1+x)2 =1000 B.200+200×2x=1000 C.200+200×3x=1000 D.200[1+(1+x)+(1+x)2 ]=1000 二、填空题：(每小题3分,共24分) 9.方程 2(1)5 322 x x -+=化为一元二次方程的一般形式是________,它的一次项系数是______. 10.关于x 的一元二次方程x 2 +bx+c=0有实数解的条件是__________. 11.用______法解方程3(x-2)2=2x-4比较简便. 12.如果2x 2 +1与4x 2 -2x-5互为相反数,则x 的值为________. 13.如果关于x 的一元二次方程2x(kx-4)-x 2 +6=0没有实数根,那么k 的最小整数值是__________. 14.如果关于x 的方程4mx 2 -mx+1=0有两个相等实数根,那么它的根是_______. 15.若一元二次方程(k-1)x 2-4x-5=0 有两个不相等实数根, 则k 的取值范围是_______. 16.某种型号的微机,原售价7200元/台,经连续两次降价后,现售价为3528元/台,则平均每次降价的百分率为______________. 三、解答题(2分) 17.用适当的方法解下列一元二次方程.(每小题5分,共15分) (1)5x(x-3)=6-2x; (2)3y 2 +1=; (3)(x-a)2 =1-2a+a 2 (a 是常数)

第11讲.一元二次方程根系关系及应用题(答案版)

1 初二春季·第11讲·尖子班·教师版 方程11级 解特殊复杂方程 方程12级 特殊根问题 方程6级 方程13级 根系关系及应用题 春季班 第十一讲 春季班 第九讲 考古发现 满分晋级阶梯 漫画释义 11 根系关系及应用题

知识互联网 题型切片 编写思路 本讲主要分为两个版块，模块一主要讲解了一元二次方程的补充知识点，韦达定理，在这一板块重点进行了由定理直接进行的代数式的变形，对于这个补充版块，有的班级理解能力强些，老师们可能会有一些富余时间，故给老师们预备了对韦达定理的进一步探索。 模块二练习了各个类型的应用题，希望同学们能从不同的方面深入理解一元二次方程，并再次练习了解方程应用题的一般步骤：审、设、列、解、答，希望老师注意强调应用题的答千万不要忘记。 初二春季·第11讲·尖子班·教师版 2

3 初二春季·第11讲·尖子班·教师版 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 若21,x x 是关于x 的一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的两个根，则方程的两个根 21,x x 和系数c b a ,,有如下关系：a c x x a b x x =?-=+2121,. 【引例】 先阅读，再填空解题： ⑴方程x 2－x －12＝0 的根是：x 1＝3-，x 2＝4，则x 1＋x 2＝1，x 1·x 2＝12-； ⑵方程2x 2－7x ＋3＝0的根是：x 1＝12，x 2＝3，则x 1＋x 2＝72，x 1·x 2＝3 2 ； ⑶方程x 2 －3x ＋1＝0的根是：x 1＝ ， x 2＝ ． 则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ； ⑷根据以上⑴⑵⑶你能否猜出： 如果关于x 的一元二次方程mx 2＋nx ＋p ＝0（m ≠0且m 、n 、p 为常数）的两根为x 1、x 2，那么x 1＋x 2、x 1·x 2与系数m 、n 、p 有什么关系？请写出来你的猜想并说明理由． ⑸在⑶的条件下，求下列各式的值：①221221x x x x +；②221211 x x + （十一学校期末） 【解析】 ；3，1；⑷1212n p x x x x m m +=-=，； ⑸①()22 12211212==31=3x x x x x x x x ++?②()() 2 221212122 222212*********====71x x x x x x x x x x x x +-+-+ 【例1】 不解方程，求下列方程两根的积与和． ⑴25100x x --= ⑵22710x x ++= ⑶23125x x -=+ ⑷()137x x x -=+ 思路导航 例题精讲 典题精练 题型一：根与系数关系

一元二次方程练习题经典题目140道带答案

一元二次方程测试题 考试范围：一元二次方程；考试时间：120分钟；命题人：瀚博教育 题号一二三总分 得分 第Ⅰ卷（选择题） 评卷人得分 一．选择题（共12小题，每题3分，共36分） 1．方程x（x﹣2）=3x的解为（） A．x=5 B．x1=0，x2=5 C．x1=2，x2=0 D．x1=0，x2=﹣5 2．下列方程是一元二次方程的是（） A．ax2+bx+c=0 B．3x2﹣2x=3（x2﹣2）C．x3﹣2x﹣4=0 D．（x﹣1）2+1=0 3．关于x的一元二次方程x2+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（） A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．3 4．某旅游景点的游客人数逐年增加，据有关部门统计，2015年约为12万人次，若2017年约为17万人次，设游客人数年平均增长率为x，则下列方程中正确的是（） A．12（1+x）=17 B．17（1﹣x）=12 C．12（1+x）2=17 D．12+12（1+x）+12（1+x）2=17 5．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8cm，BC=6cm．动点P，Q分别从 点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q 移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（） A．2秒钟B．3秒钟C．4秒钟D．5秒钟 6．某幼儿园要准备修建一个面积为210平方米的矩形活动场地，它的长比宽多12米，设场地的长为x米，可列方程为（） A．x（x+12）=210 B．x（x﹣12）=210 C．2x+2（x+12）=210 D．2x+2（x﹣12）=210 7．一元二次方程x2+bx﹣2=0中，若b＜0，则这个方程根的情况是（） A．有两个正根B．有一正根一负根且正根的绝对值大 C．有两个负根D．有一正根一负根且负根的绝对值大

一元二次方程基础测试题及答案详解

《一元二次方程》基础测试 一 选择题（每小题3分，共24分）： 1．方程（m 2－1）x 2＋mx －5＝0 是关于x 的一元二次方程，则m 满足的条件是…（ ） （A ）m ≠1 （B ）m ≠0 （C ）|m |≠1 （D ）m ＝±1 2．方程（3x ＋1）（x －1）＝（4x －1）（x －1）的解是………………………………………（ ） （A ）x 1＝1，x 2＝0 （B ）x 1＝1，x 2＝2 （C ）x 1＝2，x 2＝－1 （D ）无解 3．方程x x -=+65的解是……………………………………………………………（ ） （A ）x 1＝6，x 2＝－1 （B ）x ＝－6 （C ）x ＝－1 （D ）x 1＝2，x 2＝3 4．若关于x 的方程2x 2－ax ＋a －2＝0有两个相等的实根，则a 的值是………………（ ） （A ）－4 （B ）4 （C ）4或－4 （D ）2 5．如果关于x 的方程x 2－2x －2k ＝0没有实数根，那么k 的最大整数值是…………（ ） （A ）－3 （B ）－2 （C ）－1 （D ）0 6．以 213+ 和 2 13- 为根的一个一元二次方程是………………………………（ ） （A ）02132=+-x x （B ）02 132=++x x （C ）0132=+-x x （D ）02132=-+x x 7．4x 2－5在实数范围内作因式分解，结果正确的是……………………………………（ ） （A ）（2x ＋5）（2x －5） （B ）（4x ＋5）（4x －5） （C ）)5)(5(-+x x （D ）)52)(52(-+x x 8．已知关于x 的方程x 2－（a 2－2a －15）x ＋a －1＝0的两个根互为相反数，则a 的值 是………………………………………………………………………………………（ ） （A ）5 （B ）－3 （C ）5或－3 （D ）1 答案： １． Ｃ；２．Ｂ；３．Ｃ；４．Ｂ；５．Ｂ；６．Ａ；７．Ｄ；８．Ｂ． 二 填空题（每空2分，共12分）： 1．方程x 2－2＝0的解是x ＝ ； 2．若分式2 652-+-x x x 的值是零，则x ＝ ； 3．已知方程 3x 2 － 5x －41＝0的两个根是x 1，x 2，则x 1＋x 2 ＝ ， x 1·x 2＝ ； 4．关于x 方程（k －1）x 2－4x ＋5＝0有两个不相等的实数根，则k ； 5．一个正的两位数，个位数字比十位数大2，个位数字与十位数的积是24，则这个两位数是 ． 答案： １．±2；２．3；３．35，12 1-；４．k ＜59且k ≠1；５．46． 三 解下列方程或方程组（第１、２小题８分，第３小题９分，共25分）： 1．03232= +-x x ； 解：用公式法． 因为 1=a ，23-=b ，3=c ， 所以 6314)23(422=??--=-ac b ， 所以 2623126)23(1 +=?+--= x ， 2623126)23(2-=?---=x ；