?
?-∞-a b ac 44,2。 3、)0(≠=
k x
k
y 的值域是{}0≠∈y R y y 且。 4、)10(≠>=a a a y x
且的值域是),0(+∞。 5、)10(log ≠>=a a x y a 且的值域是R 。
6、x y x y cos sin ==和的值域是[]1,1-；x y tan =的值域是R 。
三、求函数值域的基本方法 1、观察法
有些函数的结构并不复杂，可以根据其解析式的特征通过基本函数的值域及不等式的性质直接观察出函数的值域。
例1．求函数2
41
x
y +=
的值域。
解：.41410.44,02
2
2≤+<∴≥+∴≥x x x ??
?
??∴41,0所求函数的值域为。 2、配方法
配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，形如c x bf x af x F ++=)()()(2的函数的值域问题，均可以使用配方法，借助二次函数的性质求得值域。在解题过程中，要特别注
意自变量的取值范围。
例2．求函数2283x x y -+-=的值域。
解：由0282
≥-+x x 得函数的定义域为{}
.42≤≤-x x
9)1(32832
2+---=-+-=x x x y
342;0331m a x m i n =-==-==∴y y x y y x 取最大值时，或当取最小值时，当 []3,0所求函数的值域为∴。
3、分离常数法
分离常数法适合于求分式函数的值域问题，思路是用分母表示分子，分离出常数，使分子不含变量，再借助基本函数的值域求解。
例3．求函数3
1
4-+=
x x y 的值域。 解：.313
4313)3(4314-+=-+-=-+=
x x x x x y .43
13
4,0313≠-+∴≠-x x {}4≠∈∴y R y y 且所求函数的值域为。 例4．求函数32222+--=x x x x y 的值域。
解：.3
23
132222
2+--=+--=x x x x x x y
.03
23
23,233230,22)1(322
222<+--≤-∴≤+-<∴≥+-=+-x x x x x x x .121,13231212<≤-<+--≤-
∴y x x 即 ??
?
???-∴1,21所求函数的值域为。 4、判别式法
此方法是把函数转化为关于x 的二次方程0),(=y x F ，通过方程有实根，判别式
0≥?，从而求得原函数的值域。形如)0,(212
22
21
121不同时为a a c x b x a c x b x a y ++++=的函数的值
域常用此法求得。运用该法求值域的前提是“二次项系数不为0”且分子、分母没有公因式以及函数定义域为R 。
例5．求函数3
2222+--=x x x
x y 的值域（即用判别式法解例4）。
解：..022)1(3222R x x x 函数的定义域为，恒不为分母∴≥+-=+-
由3
2222+--=x x x x y 得 .03)22()1(2=+-+-y x y x y
.103101≠∴===-y y y ，不成立，时，方程变为即当 .03)22()1(1012有实根时，方程即当=+-+-≠≠-y x y x y y y
.12
1
,012,04483)1(4)22(222≤≤-
∴≤--≥++-=---=?∴y y y y y y y y 即由于1≠y ，??
?
???-
∴1,21所求函数的值域为。 5、反函数法（反解x 法）
将y 看做自变量，利用函数和它的反函数的定义域与值域互逆的关系或基本函数的值域，可求得原函数的值域。
例6．求函数[]1,3,2
41
5--∈+-=x x x y 的值域。
解：由2415+-=x x y 可得 .451
2y
y x -+=
.358,145123,13≤≤-≤-+≤
-∴-≤≤-y y y x 解得 ??
?
???∴3,58所求函数的值域为。 例7．求函数133+=x x
y 的值域。
解：由1
33+=x x y 可得.13y y x
-=
.10,01,03<<>-∴
>y y
y
x
解得 )1,0(所求函数的值域为∴。 例8．求函数x
x
y cos 2cos 2+-=
的值域。
解：由x x y cos 2cos 2+-=
可得.1)
1(2cos y
y x +-=
.33
1
,11)1(21,1c o s 1≤≤≤+-≤
-∴≤≤-y y y x 解得
??
?
???∴3,31所求函数的值域为。
6、换元法
换元法就是运用代数或三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得
原函数的值域。对于含有b ax +结构的函数可用代数代换，令a b
t x b ax t -=+=2,且
0≥t ，使之变形为二次函数，再利用配方法；对于含有22x a -结构的函数，可用三角
代换，令??
?
???-∈=2,2,sin ππθθa x ，或令[]πθθ,0,cos ∈=a x 。
例9．求函数13216-++=x x y 的值域。
解：令13-=x t 则3
1
2+=t x 且.0≥t
2
5
)21(232222
++
=++=∴t t t y ，.30min ==y t 时，当 [)+∞∴,3所求函数的值域为
。 例10．求函数24x x y -+=的值域。 解：令???
???-∈=2,2,sin 2ππθθx ，
则).4
sin(22cos 2sin 242π
θθθ+
=+=-+
=x x y
.1)4
sin(22,434
4
,2
2
≤+≤-∴≤
+
≤-
∴≤
≤-
πθππ
θπ
π
θπ
.222,22)4
sin(222≤≤-≤+
≤-∴y 即π
θ]22,2[-∴所求函数的值域为。
7、不等式法
利用基本不等式ab b a b a ab ab b a 2,2
)(,222
2≥++≤
≥+。
用不等式法求值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即：
（1）0,0>>b a ；（2）为定值或)(ab b a +；（3）取等号的条件b a =。
例11．求函数)3(,3
2
>-=
x x x y 的值域。 解：.63
9
)3(39)3(6)3(396)3(3222+-+-=-+-+-=--+-=-=
x x x x x x x x x x y .63
9
)3(239)3(,03,3=--≥-+-∴>-∴>x x x x x x 当且仅当3
9
3-=
-x x ，即6=x 时取等号..12≥∴y [)+∞∴,12所求函数的值域为。 例12．求函数9
22
+=
x x
y 的值域。 解：当0=x 时，.0=y
当0≠x 时，.929
22
x
x x x
y +
=+=
.3
1039,69,0≤<==≥+>y x x x x x x 时取等号，此时即当且仅当时当
.03
1
39,6)]9()[(9,0<≤--=-=--≤-+--=+
?
???-
31,31所求函数的值域为。 注：例11、例12也可用判别式法求解。 8、单调性法
通过确定函数在定义域（或定义域的某个子集上）的单调性来求出函数值域的方法称为单调性法。对于函数)0,,,(,≠+++=ac d c b a d cx b ax y 均为常数且，若c a ,同号则用单调性法求值域，若c a ,异号则利用换元法求值域。
另外，还有在利用基本不等式求值域失效（即等号不满足）的情况下，也可采用单调性法求值域，但必须要熟悉下述结论：
函数(][
)
函数递增当函数递减时当,,;,,0),0,0(,+∞∈∈>>+
=k x k x k x x
k
x y 。
例13．求函数13216-++=x x y 的值域（即用单调性法解例9）。
解：132)(,16)(21-=+=x x f x x f 均为增函数.
)()()(21x f x f x f y +==∴在其定义域??
????+∞,31
上单调增加，3)3
1(=≥∴f y . [)+∞∴,3所求函数的值域为。 例14．求函数2
32
2++=
x x y 的值域。
解：.1
)(,22,2
1
22
322222t t t f y x t x x x x y +==∴≥+=++
+=++=
令
此题不能使用不等式法（等号不能成立）.但是t
t t f y 1
)(+==在1≥t 时为增函数.
.2
2
22
12)2(,2+=
+
=≥≥∴f y t 时当 ???
?
???+∞+∴,222所求函数的值域为。 9、数形结合法
当一个函数的图像可以作出或利用函数所表示的几何意义，就可借助数形结合法求出函数的值域。比如由平方和联想到距离，由分式形式联想到斜率等。
例15．求函数62-++=x x y 的值域。
解：62-++=x x y 表示数轴上的点到表示实数2-的点A 与到表示实数6的点B
的距离之和.
8,8)2(6m i n =∴=--=y AB .[)+∞∴,8所求函数的值域为。 例16．求函数102422++++=x x x y 的值域。
解：[].)30()1()20()0(1024222222-+--+
-+-=++++=
x x x x x y
∴y 表示直角坐标平面内x 轴上的点)0,(x P 到两定点)3,1(),2,0(-B A 的距离之和，如图1所示. 由图1可得出
26)]2(3[)01(22=--+--='≥B A y
),26[+∞∴所求函数的值域为。
例17．求函数4
cos 21
sin 4-+=
x x y 的值域。
解：.2
cos )
41
(sin 2)2(cos 2)41(sin 44cos 21sin 4---?=-+=-+=
x x x x x x y ∴y 可以看作是单位圆外一点)4
1
,2(-P
与单位圆122=+y x 上的点)sin ,(cos αα所连线段的斜率的2倍，如图2所示. 由图2可得出.22PT PQ k y k ≤≤ 设过)41,2(-P 点的直线方程为.04
1
2),2(41=----=+
k y kx x k y 即 ∵由圆心到切线的距离为1，∴令
.11
4
1
22=+-
-k k 解得.125
,4321=-=k k
即.125,43=-
=PT PQ k k ∴.6523≤≤-y ∴??
????-65,23所求函数的值域为。 通过以上各例，我们归纳出了求函数值域的几种基本方法，也知道有些函数的值域可以
用多种方法求解。希望本文对教师教学水平和学生解题能力的提高有一定帮助。
参考资料：
1、 全日制普通高级中学教科书（必修）《数学》，人民教育出版社，2003年6月
2、 中等职业教育通用教材《数学》，西南交通大学出版社，2006年7月
3、 高中总复习全优设计《数学（理科）：基础过关版》，知识出版社，2006年5月
