2018版高考数学一轮复习第六章数列6.3等比数列及其前n项和理

第六章 数列 6.3 等比数列及其前n 项和 理

1．等比数列的定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0)． 2．等比数列的通项公式

设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝a 1·q n －1

.

3．等比中项

如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项． 4．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q

n －m

(n ，m ∈N *

)．

(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *

)，则a k ·a l ＝a m ·a n .

(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，??????1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，????

??a n b n 仍是等比数列．

5．等比数列的前n 项和公式

等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝na 1；

当q ≠1时，S n ＝a 1 1－q n 1－q ＝a 1－a n q

1－q

.

6．等比数列前n 项和的性质

公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n

. 【知识拓展】 等比数列{a n }的单调性

(1)满足???

?? a 1>0，

q >1或????? a 1<0，0

(2)满足???

?? a 1>0，

0

a 1<0，q >1

时，{a n }是递减数列．

(3)当???

??

a 1≠0，

q ＝1时，{a n }为常数列．

(4)当q <0时，{a n }为摆动数列． 【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *

，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( × ) (2)G 为a ，b 的等比中项?G 2

＝ab .( × )

(3)如果数列{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( × ) (4)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列．( × )

1．(教材改编)已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝1

4，则公比q 等于( )

A ．－12

B ．－2

C ．2 D.12

答案 D

解析 由题意知q 3

＝a 5a 2＝18，∴q ＝12

.

2．(2015·课标全国Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7等于( ) A ．21 B ．42 C ．63 D ．84 答案 B

解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，得3(1＋q 2

＋q 4

)＝21，解得

q 2＝－3(舍去)或q 2＝2，于是a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42，故选B.

3．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3，S 4＝15，则S 6等于( ) A ．31 B ．32 C ．63 D ．64 答案 C

解析 根据题意知，等比数列{a n }的公比不是－1.由等比数列的性质，得(S 4－S 2)2

＝S 2·(S 6－S 4)，即122

＝3×(S 6－15)，解得S 6＝63.故选C.

4．(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________． 答案 27,81

解析 设该数列的公比为q ，由题意知， 243＝9×q 3

，q 3＝27，∴q ＝3.

∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.

5．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2

＝________. 答案 －11

解析 设等比数列{a n }的公比为q ， ∵8a 2＋a 5＝0，∴8a 1q ＋a 1q 4

＝0. ∴q 3

＋8＝0，∴q ＝－2，

∴S 5S 2＝a 1 1－q 5 1－q ·1－q a 1 1－q 2

＝1－q 5

1－q 2＝1－ －2 5

1－4＝－11.

题型一 等比数列基本量的运算

例1 (1)(2015·课标全国Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2等于( )

A ．2

B ．1 C.12 D.1

8

(2)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S n

a n ＝________.

答案 (1)C (2)2n

－1

解析 (1)由{a n }为等比数列，得a 3a 5＝a 2

4， 又a 3a 5＝4(a 4－1)，所以a 2

4＝4(a 4－1)， 解得a 4＝2.设等比数列{a n }的公比为q ， 则由a 4＝a 1q 3

，得2＝14q 3，解得q ＝2，

所以a 2＝a 1q ＝1

2

.故选C.

(2)∵?????

a 1＋a 3＝5

2

，

a 2

＋a 4

＝5

4

，∴?????

a 1＋a 1q 2＝5

2

， ①

a 1

q ＋a 1

q 3

＝5

4

， ②

由①除以②可得1＋q

2

q ＋q 3＝2，

解得q ＝1

2

，代入①得a 1＝2，

∴a n ＝2×(12)n －1＝4

2

n ，

∴S n ＝2×[1－ 12 n

]

1－12＝4(1－1

2n )，

∴S n a n ＝4 1－1

2n

4

2

n ＝2n

－1. 思维升华 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，

a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．

(1)设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则

S 5等于( )

A.152

B.314

C.334

D.172

(2)(2015·湖南)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则

a n ＝________.

答案 (1)B (2)3

n －1

解析 (1)显然公比q ≠1，由题意得????

?

a 1q ·a 1q 3

＝1，a 1 1－q 3

1－q ＝7，

解得????

?

a 1＝4，q ＝1

2

或?

???

?

a 1＝9q ＝－1

3(舍去)，

∴S 5＝a 1 1－q 5 1－q ＝4 1－12

1－12

＝31

4

.

(2)由3S 1,2S 2，S 3成等差数列知，4S 2＝3S 1＋S 3， 可得a 3＝3a 2，所以公比q ＝3， 故等比数列通项a n ＝a 1q

n －1

＝3

n －1

.

题型二 等比数列的判定与证明

例2 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式． (1)证明 由a 1＝1及S n ＋1＝4a n ＋2，

得a 1＋a 2＝S 2＝4a 1＋2. ∴a 2＝5，∴b 1＝a 2－2a 1＝3.

又?????

S n ＋1＝4a n ＋2， ①S n ＝4a n －1＋2 n ≥2 ， ②

由①－②，得a n ＋1＝4a n －4a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)(n ≥2)． ∵b n ＝a n ＋1－2a n ，∴b n ＝2b n －1(n ≥2)， 故{b n }是首项b 1＝3，公比为2的等比数列． (2)解 由(1)知b n ＝a n ＋1－2a n ＝3·2n －1

，

∴

a n ＋12

n ＋1

－a n 2n ＝3

4

，

故{a n 2n }是首项为12，公差为3

4的等差数列． ∴a n 2n ＝12＋(n －1)·34＝3n －14

， 故a n ＝(3n －1)·2n －2

.

引申探究

若将本例中“S n ＋1＝4a n ＋2”改为“S n ＋1＝2S n ＋(n ＋1)”，其他不变，求数列{a n }的通项公式． 解 由已知得n ≥2时，S n ＝2S n －1＋n . ∴S n ＋1－S n ＝2S n －2S n －1＋1， ∴a n ＋1＝2a n ＋1，

∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，n ≥2，(*)

又a 1＝1，S 2＝a 1＋a 2＝2a 1＋2，即a 2＋1＝2(a 1＋1)， ∴当n ＝1时(*)式也成立，

故{a n ＋1}是以2为首项，以2为公比的等比数列， ∴a n ＋1＝2·2

n －1

＝2n ，∴a n ＝2n

－1.

思维升华 (1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．(2)利用递推关系时要注意对n ＝1时的情况进行验证．

已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.

(1)证明：{a n ＋1

2}是等比数列，并求{a n }的通项公式；

(2)证明：1a 1＋1a 2＋…＋1a n <3

2

.

证明 (1)由a n ＋1＝3a n ＋1，得a n ＋1＋12＝3(a n ＋1

2)．

又a 1＋12＝3

2

，

所以{a n ＋12}是首项为3

2，公比为3的等比数列．

所以a n ＋12＝3n

2，因此{a n }的通项公式为a n ＝3n

－1

2.

(2)由(1)知1a n ＝2

3n －1.

因为当n ≥1时，3n

－1≥2×3

n －1

，所以13n －1≤1

2×3

n －1.

于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13n －1

＝32(1－13n )<32， 所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.

题型三 等比数列性质的应用

例3 (1)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5

，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________.

(2)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝12，则S 9

S 3

＝________.

答案 (1)50 (2)3

4

解析 (1)因为a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5

， 所以a 10a 11＝e 5

.

所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20 ＝ln(a 1a 2…a 20)

＝ln[(a 1a 20)·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)] ＝ln(a 10a 11)10＝10ln(a 10a 11) ＝10ln e 5

＝50ln e ＝50.

(2)方法一 ∵S 6∶S 3＝1∶2，∴{a n }的公比q ≠1.

由a 1 1－q 6 1－q ÷a 1 1－q 3 1－q ＝12，得q 3＝－12，

∴S 9S 3＝1－q 91－q 3＝34

.

方法二 ∵{a n }是等比数列，且S 6S 3＝1

2

，∴公比q ≠－1，

∴S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即(S 6－S 3)2

＝S 3·(S 9－S 6)， 将S 6＝12S 3代入得S 9S 3＝34

.

思维升华 等比数列常见性质的应用

等比数列性质的应用可以分为三类：(1)通项公式的变形；(2)等比中项的变形；(3)前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．

(1)已知在等比数列{a n }中，a 1a 4＝10，则数列{lg a n }的前4项和等于( )

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

(2)设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.1

8 B ．－18

C.578

D.558

答案 (1)C (2)A

解析 (1)前4项和S 4＝lg a 1＋lg a 2＋lg a 3＋lg a 4＝lg(a 1a 2a 3a 4)，又∵等比数列{a n }中，a 2a 3＝a 1a 4＝10， ∴S 4＝lg 100＝2.

(2)因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且公比不等于－1，在等比数列中，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以有8(S 9－S 6)＝(－1)2

，S 9－S 6＝18，即a 7＋a 8＋a 9

＝18.

13．分类讨论思想在等比数列中的应用

典例 (12分)已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *

)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数

列．

(1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：S n ＋1S n ≤136

(n ∈N *

)．

思想方法指导 (1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式；

(2)求出前n 项和，根据函数的单调性证明． 规范解答

(1)解 设等比数列{a n }的公比为q ， 因为－2S 2，S 3,4S 4成等差数列，

所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3，即S 4－S 3＝S 2－S 4，

可得2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3＝－1

2

.[2分]

又a 1＝3

2

，所以等比数列{a n }的通项公式为

a n ＝32

×? ??

??－12

n －1＝(－1)n －1·32

n .[3分]

(2)证明 由(1)知，S n ＝1－? ??

??－12n

，

S n ＋1

S n ＝1－? ??

??

－12n ＋

1

1－? ??

??－12n

＝?????

2＋1

2n

2n

＋1 ，n 为奇数，2＋1

2n

2n

－1 ，n 为偶数.

[6分]

当n 为奇数时，S n ＋1

S n

随n 的增大而减小，

所以S n ＋1S n ≤S 1＋1S 1＝13

6

.[8分]

当n 为偶数时，S n ＋1

S n

随n 的增大而减小，

所以S n ＋1S n ≤S 2＋1S 2＝25

12.[10分]

故对于n ∈N *

，有S n ＋1S n ≤136

.[12分]

1．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 3＝2－1，a 5＝2＋1，则a 2

3＋2a 2a 6＋a 3a 7等于( ) A ．4 B ．6 C ．8

D ．8－4 2

答案 C

解析 在等比数列中，a 3a 7＝a 2

5，a 2a 6＝a 3a 5，所以a 2

3＋2a 2a 6＋a 3a 7＝a 2

3＋2a 3a 5＋a 2

5＝(a 3＋a 5)2

＝(2－1＋2＋1)2

＝(22)2＝8.

2．(2016·珠海模拟)在等比数列{a n }中，若a 1<0，a 2＝18，a 4＝8，则公比q 等于( ) A.32 B.2

3 C ．－23

D.23或－23

答案 C

解析 由????

?

a 1q ＝18，a 1q 3

＝8

解得????

?

a 1＝27，q ＝2

3

或?

???

?

a 1＝－27，q ＝－2

3.

又a 1<0，因此q ＝－2

3

.

3．在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n 等于( ) A ．12 B ．13 C ．14 D ．15

答案 C

解析 设数列{a n }的公比为q ， 由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3

与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12

， 可得q 9

＝3，a n －1a n a n ＋1＝a 31q 3n －3

＝324，

因此q

3n －6＝81＝34＝q 36

，

所以n ＝14，故选C.

*4.(2015·福建)若a ，b 是函数f (x )＝x 2

－px ＋q (p ＞0，q ＞0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 答案 D

解析 由题意知：a ＋b ＝p ，ab ＝q ，∵p ＞0，q ＞0，∴a ＞0，b ＞0.在a ，b ，－2这三个数的6种排序中，成等差数列的情况有a ，b ，－2；b ，a ，－2；－2，a ，b ；－2，b ，a ；成等比数列的情况有a ，－2，b ；b ，－2，a .

∴?????

ab ＝4，2b ＝a －2

或?????

ab ＝4，

2a ＝b －2，

解得???

??

a ＝4，

b ＝1

或?????

a ＝1，

b ＝4.

∴p ＝5，q ＝4，∴p ＋q ＝9，故选D.

5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一

个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )

A ．192里

B ．96里

C ．48里

D ．24里 答案 B

解析 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ＝1

2

，

依题意有

a 1 1－126

1－12

＝378，

解得a 1＝192，则a 2＝192×1

2＝96，

即第二天走了96里，故选B.

6．(2016·铜仁质检)在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 3a 4a 5＝3π

，则sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)的值为( ) A.12 B.

32 C ．1 D ．－

32

答案 B

解析 因为a 3a 4a 5＝3π

＝a 3

4，所以a 4＝

π3

3.

log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7＝log 3(a 1a 2…a 7) ＝log 3a 7

4＝7log 3

π3

3＝7π3

，

所以sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)＝

32

. 7．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3＝a 4－2，3S 2＝a 3－2，则公比q ＝________. 答案 4

解析 因为?

??

??

3S 3＝a 4－2， ①

3S 2＝a 3－2， ②

由①－②，得3a 3＝a 4－a 3，即4a 3＝a 4， 则q ＝a 4

a 3

＝4.

8．设各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为前n 项和且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40＝________. 答案 150

解析 依题意，知数列{a n }的公比q ≠－1，数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等比数列，

因此有(S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20)，即(S 20－10)2

＝10(70－S 20)，故S 20＝－20或S 20＝30；又S 20>0，因此S 20＝30，S 20－S 10＝20，S 30－S 20＝40，故S 40－S 30＝80，S 40＝150.

9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝1(n ∈N *

)，则通项a n ＝________. 答案

1

2

n 解析 ∵a n ＋S n ＝1，①

∴a 1＝1

2，a n －1＋S n －1＝1(n ≥2)，②

由①－②，得a n －a n －1＋a n ＝0，即

a n a n －1＝1

2

(n ≥2)， ∴数列{a n }是首项为12，公比为1

2的等比数列，

则a n ＝12×(12)n －1＝1

2

n .

10．已知数列{a n }的首项为1，数列{b n }为等比数列且b n ＝a n ＋1

a n

，若b 10·b 11＝2，则a 21＝________. 答案 1 024

解析 ∵b 1＝a 2a 1＝a 2，b 2＝a 3a 2

， ∴a 3＝b 2a 2＝b 1b 2，∵b 3＝a 4a 3

，

∴a 4＝b 1b 2b 3，…，a n ＝b 1b 2b 3·…·b n －1， ∴a 21＝b 1b 2b 3·…·b 20＝(b 10b 11)10

＝210

＝1 024.

11．已知{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，S n 表示{a n }的前n 项和． (1)求a n 及S n ；

(2)设{b n }是首项为2的等比数列，公比q 满足q 2

－(a 4＋1)q ＋S 4＝0，求{b n }的通项公式及其前n 项和T n .

解 (1)因为{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝2的等差数列，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1. 故S n ＝1＋3＋…＋(2n －1) ＝

n a 1＋a n 2

＝

n 1＋2n －1

2

＝n 2

.

(2)由(1)得a 4＝7，S 4＝16.

因为q 2

－(a 4＋1)q ＋S 4＝0，即q 2

－8q ＋16＝0， 所以(q －4)2

＝0，从而q ＝4.

又因为b 1＝2，{b n }是公比q ＝4的等比数列， 所以b n ＝b 1q

n －1＝2·4

n －1

＝2

2n －1

.

从而{b n }的前n 项和T n ＝b 1 1－q n 1－q ＝23

(4n

－1)．

12．(2016·全国丙卷)已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2

n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0. (1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．

解 (1)由题意，得a 2＝12，a 3＝1

4.

(2)由a 2

n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0，得 2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1)． 因为{a n }的各项都为正数，所以

a n ＋1a n ＝1

2

. 故{a n }是首项为1，公比为1

2的等比数列，

因此a n ＝1

2

n －1.

13．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n ＋1＝? ??

??12n ，记T 2n 为{a n

}的前2n 项的和，

b n ＝a 2n ＋a 2n －1，n ∈N *. (1)判断数列{b n }是否为等比数列，并求出b n ； (2)求T 2n .

解 (1)∵a n ·a n ＋1＝? ????12n

，

∴a n ＋1·a n ＋2＝? ??

??12n ＋1

，

∴

a n ＋2a n ＝12，即a n ＋2＝1

2

a n . ∵

b n ＝a 2n ＋a 2n －1，

∴b n ＋1b n ＝a 2n ＋2＋a 2n ＋1a 2n ＋a 2n －1＝12a 2n ＋1

2a 2n －1

a 2n ＋a 2n －1＝1

2， ∵a 1＝1，a 1·a 2＝12，

∴a 2＝12?b 1＝a 1＋a 2＝32

.

∴{b n }是首项为32，公比为1

2的等比数列．

∴b n ＝32×? ????12n －1＝3

2n .

(2)由(1)可知，a n ＋2＝1

2

a n ，

∴a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，以12为公比的等比数列；a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝1

2为首项，

以1

2

为公比的等比数列， ∴T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n ) ＝1－? ????12n 1－12

＋

12??????1－? ????12n 1－12

＝3－32n .

2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(数列)

2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全 一、选择题 1．（2018北京文、理）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音 的频率的比都等于．若第一个单音的频率f ，则第八个单音频率为（ ） A B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】因为每一个单音与前一个单音频率比为，()12n n a n n -+∴=≥∈N ，， 又1a f =，则7 781a a q f ===，故选D ． 2．（2018浙江）已知1234,,,a a a a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则（ ） A ．1324,a a a a << B ．1324,a a a a >< C ．1324,a a a a <> D ．1324,a a a a >> 答案：B 解答：∵ln 1x x ≤-，∴1234123123ln()1a a a a a a a a a a +++=++≤++-， 得41a ≤-，即311a q ≤-，∴0q <.若1q ≤-，则212341(1)(1)0a a a a a q q +++=++≤， 212311(1)1a a a a q q a ++=++≥>，矛盾.∴10q -<<，则2131(1)0a a a q -=->，2241(1)0a a a q q -=-<.∴13a a >，24a a <. 3．（2018全国新课标Ⅰ理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若3243S S S =+，12a =，则 =5a （ ） A ．12- B ．10- C ．10 D ．12 答案：B 解答：

高三等比数列复习专题

一、等比数列选择题 1．已知单调递增数列{}n a 的前n 项和n S 满足()( )* 21n n n S a a n =+∈N ，且0n S >，记 数列{} 2n n a ?的前n 项和为n T ，则使得2020n T >成立的n 的最小值为（ ） A ．7 B ．8 C ．10 D ．11 2．在等比数列{}n a 中，24a =，532a =，则4a =（ ） A ．8 B ．8- C ．16 D ．16- 3．已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9＝ （ ） A ．4 B ．5 C ．8 D ．15 4．已知数列{}n a 满足112a = ，* 11()2 n n a a n N +=∈.设2n n n b a λ-=，*n N ∈，且数列 {}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞ B ．3 (1,)2 - C ．3(,)2 -∞ D ．(1,2)- 5．已知数列{}n a 满足：11a =，*1()2 n n n a a n N a +=∈+．则 10a =（ ） A ． 11021 B ． 11022 C ．1 1023 D ．1 1024 6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足111 30(2),3 n n n a S S n a -+=≥=，下列命题中错误的是（ ） A ．1n S ?????? 是等差数列 B ．13n S n = C ．1 3(1) n a n n =- - D ．{} 3n S 是等比数列 7．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=7，S 6=63，则数列{na n }的前n 项和为（ ） A ．-3+(n +1)×2n B ．3+(n +1)×2n C ．1+(n +1)×2n D ．1+(n -1)×2n 8．设a ，0b ≠，数列{}n a 的前n 项和(21)[(2)22]n n n S a b n =---?+，*n N ∈，则 存在数列{}n b 和{}n c 使得（ ） A ．n n n a b c =+，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 B ．n n n a b c =+，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列 C ．· n n n a b c =，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 D ．· n n n a b c =，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列 9．公比为(0)q q >的等比数列{}n a 中，1349,27a a a ==，则1a q +=（ ）

高考等比数列专题及答案百度文库

一、等比数列选择题 1．在流行病学中，基本传染数R 0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.初始感染者传染R 0个人，为第一轮传染，这R 0个人中每人再传染R 0个人，为第二轮传染，…….R 0一般由疾病的感染周期?感染者与其他人的接触频率?每次接触过程中传染的概率决定.假设新冠肺炎的基本传染数0 3.8R =，平均感染周期为7天，设某一轮新增加的感染人数为M ，则当M >1000时需要的天数至少为（ ）参考数据：lg38≈1.58 A ．34 B ．35 C ．36 D ．37 2．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2 6780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且 77b a =，则3810b b b =（ ) A ．1 B ．8 C ．4 D ．2 3．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还多少升粟？（ ） A ． 503 B ． 507 C ． 100 7 D ． 200 7 4．已知{}n a 是正项等比数列且1a ，312a ，22a 成等差数列，则91078 a a a a +=+（ ） A 1 B 1 C ．3- D ．3+5．在等比数列{}n a 中，132a =，44a =．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （ ） A ．有最大项，有最小项 B ．有最大项，无最小项 C ．无最大项，有最小项 D ．无最大项，无最小项 6．已知等比数列{}n a 满足12234,12a a a a +=+=，则5S 等于（ ） A ．40 B ．81 C ．121 D ．242 7．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件 11a >，66771 1, 01 a a a a -><-，则下列结论正确的是（ ） A ．681a a > B ．01q << C ．n S 的最大值为7S D ．n T 的最大值为7T 8．在数列{}n a 中，12a =，对任意的,m n N * ∈，m n m n a a a +=?，若 1262n a a a ++???+=，则n =（ ）

2019高三第一轮复习：等比数列

2019高三第一轮复习：等比数列 1．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =（ ） A ．16 B ．8 C ．4 D ．2 2．已知等差数列的公差为，若成等比数列，则的值为（ ） A ． B ． C ． D ． 3．已知数列是公比为的等比数列，且成等差数列，则公比的值为( ) A ． B ．-2 C ．1或 D ．-1或 4．已知等比数列满足，则（ ） A ．243 B ．128 C ．81 D ．64 5．在正项等比数列{}n a 中，若657,3,a a a 依次成等差数列，则{}n a 的公比为（ ） A ．2 B ．1 2 C ． 3 D ．1 3 6．等差数列的公差是2，若成等比数列，则的前项和（ ） A ． B ． C ． D ． 7．若等差数列的公差且成等比数列，则（ ） A ． B ． C ． D ．2 8．已知等比数列{}n a 满足122336a a a a +=+=，，则7a =（ ） A ．64 B ．81 C ．128 D ．243 9．如果数列的前n 项和为，则这个数列的通项公式是（） A ． B ． C ． D ． 10．记为数列的前项和，若，则等于 A ． B ． C ． D ． 11．若公差为的等差数列的前项和为,且成等比数列，则 A ． B ． C ． D ． 12．等比数列中，，则的前4项和为（ ） A ．48 B ．60 C ．81 D ．124

13．已知是等比数列前项的和，若公比，则（ ） A ． B ． C ． D ． 14．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且13a =，*12()n n a a n N +=∈，则5S 等于（ ） A ．32 B ．48 C ．62 D ．93 15．等比数列{}n a 的各项均为正数，且544a a =，则212822log log log a a a ++?+=（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 16．等比数列中，．（1）求的通项公式；（2）记为的前项和．若，求． 17．已知数列满足，，设． （1）求 ；（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；（3）求的通项公式． 18．已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，且，，. （1）若，求的通项公式；（2）若，求.

2018年高考数学试题分类汇编数列

2018试题分类汇编---------数列 一、填空题 1.（北京理4改）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理 论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122．若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为__________． 1.1272f 2.（北京理9）设{}n a 是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则{}n a 的通项公式为__________． 2．63n a n =- 3.（全国卷I 理4改）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a __________． 3.10- 4.（浙江10改）．已知1234,,,a a a a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则13,a a 的大小关系是_____________，24,a a 的大小关系是_____________． 4.1324,a a a a >< 5.（江苏14）．已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将A B 的所有元素从小到大依 次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为__________． 5．27 二、解答题 6.（北京文15）设{}n a 是等差数列，且123ln 2,5ln 2a a a =+=. （1）求{}n a 的通项公式； （2）求12e e e n a a a +++. 6．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，∵235ln 2a a +=，∴1235ln 2a d +=， 又1ln 2a =，∴ln 2d =.∴1(1)ln 2n a a n d n =+-=. （2）由（I ）知ln 2n a n =，∵ln2ln2e e e =2n n a n n ==， ∴{e }n a 是以2为首项，2为公比的等比数列.∴2 12ln2ln2ln2e e e e e e n n a a a ++ +=++ + 2=222n +++1=22n +-.∴12e e e n a a a +++1=22n +-. 7.(全国卷I 文17)已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设n n a b n = ． （1）求123b b b ， ，； （2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； （3）求{}n a 的通项公式． 7．解：（1）由条件可得a n +1=2(1) n n a n +．将n =1代入得，a 2=4a 1，而a 1=1，所以，a 2=4． 将n =2代入得，a 3=3a 2，所以，a 3=12．从而b 1=1，b 2=2，b 3=4． （2）{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． 由条件可得121n n a a n n +=+，即b n +1=2b n ，又b 1=1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． （3）由（2）可得12n n a n -=，所以a n =n ·2n -1． 8.（全国卷II 理17）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值． 8. 解：（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得13315a d +=-.由17a =-得d =2.所以{}n a 的通项公式为 29n a n =-.（2）由（1）得228(4)16n S n n n =-=--，所以当n =4时,n S 取得最小值,最小值为?16.

2018年高考理科数学江苏卷(含答案与解析)

数学试卷 第1页（共26页） 数学试卷 第2页（共26页） 绝密★启用前 江苏省2018年普通高等学校招生全国统一考试 数 学 本试卷共160分.考试时长120分钟. 参考公式： 锥形的体积公式13 V Sh =,其中S 是椎体的底面积,h 是椎体的高。 一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共计70分. 1.已知集合{0,1,2,8}A =,{1,1,6,8}B =-,那么A B = . 2.若复数z 满足i 12i z =+,其中i 是虚数单位,则z 的实部为 . 3.已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁判打出的分数的平均数为 . 4.一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的S 的值为 . 5. 函数()f x =的定义域为 . 6.某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为 . 7.已知函数ππsin(2)()22y x ??=+-<<的图象关于直线π 3 x =对称,则?的值是 . 8.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线22 221(0)x y a b a b -=>>0,的右焦点(,0)F c 到一条 ,则其离心率的值是 . 9.函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ,且在区间(2,2]-上, ()cos (2)2102x x f x x x π??? =? ?+?? 0＜≤，(-2＜≤)，,则((15))f f 的值为 . 10.如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 . 11.若函数32()21()f x x ax a =-+∈R 在(0,)+∞内有且只有一个零点,则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为 . 12.在平面直角坐标系xOy 中,A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点,点(5,0)B ,以 AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若0AB CD =,则点A 的横坐标 为 . 13.在ABC △中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,120ABC ∠=,ABC ∠的平分线交AC 于点D ,且1BD =,则4a c +的最小值为 . 14.已知集合{21,}A x x n n ==-∈*N ,{2,}n B x x n ==∈*N .将A B 的所有元素从小 到大依次排列构成一个数列{}n a ,记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则使得112n n S a +＞成立的n 的最小值为 . 毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________ -------------在 --------------------此-------------------- 卷-------------------- 上--------------------答-------------------- 题-------------------- 无-------------------- 效----------------

2021版高三数学(新高考)一轮复习检测 (35)第5章第三讲等比数列及其前n项和

[练案35]第三讲等比数列及其前n项和 A组基础巩固 一、单选题 1．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于( A ) A．－24 B．0 C．12 D．24 [解析] 由x,3x＋3,6x＋6成等比数列，知(3x＋3)2＝x·(6x＋6)，解得x ＝－3或x＝－1(舍去)．所以此等比数列的前三项为－3，－6，－12.故第四项等于－24，故选A. 2．(2020·广东百校联考)在等比数列{a n }中，a 1 ＝2，公比q＝2.若a m ＝ a 1a 2 a 3 a 4 (m∈N*)，则m＝( B ) A．11 B．10 C．9 D．8 [解析] 因为a m ＝a 1 a 2 a 3 a 4 ＝a4 1 q6＝24×26＝210＝2·2m－1＝2m，所以m＝10，故 选B. 3．(2020·贵州贵阳期中)设S n 为等比数列{a n }的前n项和，8a 2 ＋a 5 ＝0，则 S 5 S 2 ＝( C ) A．11 B．5 C．－11 D．－8 [解析] 设等比数列{a n }的公比为q，∵8a 2 ＋a 5 ＝0， ∴q3＝－8，∴q＝－2，∴S 5 S 2 ＝ 1－q5 1－q2 ＝－11，故选C. 4．(2020·陕西西安远东中学期中)已知等比数列{a n }的前n项和为S n ，S 3 ＝a 2＋10a 1 ，a 5 ＝9，则a 1 ＝( C ) A． 1 3 B．－ 1 3 C． 1 9 D．－ 1 9 [解析] 设数列{a n }的公比为q，∵S 3 ＝a 2 ＋10a 1 ，

∴a 3＝9a 1，∴q 2＝9，又a 5＝9，∴a 1q 4＝9， ∴a 1＝1 9 ，故选C. 5．(2020·甘肃天水二中月考)已知数列{a n }的首项a 1＝2，数列{b n }为等比数列，且b n ＝ a n ＋1 a n ，若b 10b 11＝2，则a 21＝( C ) A ．29 B ．210 C ．211 D ．212 [解析] ∵b 10b 11＝2，∴b 1·b 2·……·b 10·b 11·……·b 19·b 20＝210，又b n ＝a n ＋1a n ，∴a 2a 1·a 3a 2·……·a 20a 19·a 21a 20＝210，∴a 21 a 1 ＝210，又a 1＝2，∴a 21＝211，故选C. 6．(2020·河南省信阳高中、商丘一中高三上学期第一次联考)设等比数列{a n }的公比为q>0，且q ≠1，S n 为数列{a n }前n 项和，记T n ＝a n S n ，则( D ) A ．T 3≤T 6 B ．T 3T 6 [解析] T 6－T 3＝a 6(1－q )a 1(1－q 6)－a 3(1－q )a 1(1－q 3)＝q 5(1－q )1－q 6－q 2(1－q )1－q 3＝－q 2(1－q ) 1－q 6 ，由于q>0且q ≠1，所以1－q 与1－q 6同号，所以T 6－T 3<0，∴T 6

2018年全国2卷文科数学十年真题分类汇编6 数列

6 数列 一．基础题组 1. 【2014全国2，文5】等差数列的公差是2，若成等比数列，则的前项和（ ） A. B. C. D. 【答案】A 2. 【2010全国2，文6】如果等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7等于( ) A ．14 B ．21 C ．28 D ．35 【答案】： C 【解析】∵{a n }为等差数列，a 3＋a 4＋a 5＝12，∴a 4＝4. ∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝ ＝7a 4＝28. 3. 【2006全国2，文6】已知等差数列中，，则前10项的和＝( ) （A ）100 (B)210 (C)380 (D)400 【答案】B 【解析】依题意可知：，，解得：， ∴. 4.【2005全国2，文7】如果数列是等差数列，则（ ） (A) (B) (C) (D) 【答案】B 【解析】∵数列是等差数列，∴， ∴. 5. 【2012全国新课标，文14】等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3S 2＝0，则公比q ＝__________． 【答案】：－2 【解析】：由S 3=－3S 2，可得a 1+a 2+a 3=－3(a 1+a 2)， 即a 1(1+q +q 2 )=－3a 1(1+q )， {}n a 248,,a a a {}n a n S =(1)n n +(1)n n -(1)2n n +(1) 2 n n -177() 2 a a +{}n a 247,15a a ==10S 217a a d =+=41315a a d =+=14,3d a ==101109109 1030421022 S a d ??=+ =+?={}n a 1845a a a a +<+1845a a a a +=+1845a a a a +>+1845a a a a ={}n a m n p q m n p q a a a a +=+?+=+1845a a a a +=+

高三数学等比数列问题常见错误

等比数列问题常见错误剖析 一、概念不明 例1 若2233k k k ++， ，是一个等比数列的前三项，则k = ． 错解：依题意22k +是k 和33k +的等比中项， 2(22)(33)k k k +=+∴，整理得2540k k ++=， 解得1k =-或4k =-． 剖析与正解：此解忽视了等比数列任意一项都不为0这一条件，所以1k =-不适合题意，应舍去，答案为4k =-． 二、忽视隐含条件 例2 已知等比数列{}n a ，若1237a a a ++=，1 238a a a =··，求n a ． 错解：2132a a a =∵·，312328a a a a ==∴··， 22a =∴，1313 54a a a a +=??=?，，∴· 解得1314a a =??=?，，或13 41a a =??=?，． 231a a q =∵，2q =±∴或12 q =±， 12n n a -=∴或1(2)n n a -=-或32n n a -=或3(2)n n a -=-． 剖析与正解：由上面求出的123a a a ，，的值，可得到题目的一个隐含条 件0q >，所以2q =或12 q =，所以12n n a -=或32n n a -=． 三、忽视公式的使用范围 例3 已知等差数列{}n a 的首项12a =，公差为d ，2n a n b =，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 错解：11()1222n n n n a a a n a n b b ++-+==∵，∴数列{}n b 是一个首项为124a =，公比为2d 的

等比数列， 4(12)12 nd n d S -=-∴． 剖析与正解：等比数列的前n 项和公式1(1)1n n a q S q -=-只在1q ≠时适用，当1q =时，1n S na =． 4(0)4(12)(0)12nd n d n d S d =??=?-≠??-∴ ，． 例4 已知数列{}n a 的前n 项和为n S 满足2log (1)1n S n +=+，求数列{}n a 的通项公式． 错解：由2log (1)1n S n +=+，得121n n S +=-， 1121(21)2n n n n n n a S S +-=-=---=∴， ∴数列{}n a 的通项公式为2n n a =． 剖析与正解：错因在于忽略了公式1n n n a S S -=-成立的条件为1n >． 当1n =时，113a S ==，不满足2n n a =，所以数列{}n a 的通项公式为 3(1)2(1) n n n a n =?=?>?，．

最新高考数学分类理科汇编

精品文档 2018 年高考数学真题分类汇编 学大教育宝鸡清姜校区高数组2018 年7 月

1.（2018 全国卷 1 理科）设Z = 1- i + 2i 则 Z 1+ i 复数 = （ ） A.0 B. 1 C.1 D. 2 2（2018 全国卷 2 理科） 1 + 2i = ( ) 1 - 2i A. - 4 - 3 i B. - 4 + 3 i C. - 3 - 4 i D. - 3 + 4 i 5 5 5 5 5 5 5 5 3（2018 全国卷 3 理科） (1 + i )(2 - i ) = （ ） A. -3 - i B. -3 + i C. 3 - i D. 3 + i 4（2018 北京卷理科）在复平面内，复数 1 1 - i 的共轭复数对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5（2018 天津卷理科） i 是虚数单位，复数 6 + 7i = . 1+ 2i 6（2018 江苏卷）若复数 z 满足i ? z = 1 + 2i ，其中 i 是虚数单位，则 z 的实部为 ． 7（2018 上海卷）已知复数 z 满足（1+ i )z = 1- 7i （i 是虚数单位），则∣z ∣= ． 2

集合 1.（2018 全国卷1 理科）已知集合A ={x | x2 -x - 2 > 0 }则C R A =（） A. {x | -1 2} B. {x | -1 ≤x ≤ 2} D. {x | x ≤-1}Y{x | x ≥ 2} 2（2018 全国卷2 理科）已知集合A={(x,y)x2 元素的个数为（） +y2 ≤3,x ∈Z，y ∈Z}则中 A.9 B.8 C.5 D.4 3（2018 全国卷3 理科）已知集合A ={x | x -1≥0}，B ={0 ，1，2}，则A I B =（） A. {0} B．{1} C．{1，2} D．{0 ，1，2} 4（2018 北京卷理科）已知集合A={x||x|<2}，B={–2，0，1，2}，则A I B =( ) A. {0，1} B.{–1，0，1} C.{–2，0，1，2} D.{–1，0，1，2} 5（2018 天津卷理科）设全集为R，集合A = {x 0

解三角形、数列2018年全国数学高考分类真题(含答案)

解三角形、数列2018年全国高考分类真题（含答案）一．选择题（共4小题） 1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（） A．B．C．D． 2．在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（） A．4 B． C． D．2 3．已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），若a1＞1，则（） A．a1＜a3，a2＜a4B．a1＞a3，a2＜a4C．a1＜a3，a2＞a4D．a1＞a3，a2＞a4 4．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（）A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12 二．填空题（共4小题） 5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为． 6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=，b=2，A=60°，则sinB=，c=． 7．设{a n}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则{a n}的通项公式为．8．记S n为数列{a n}的前n项和．若S n=2a n+1，则S6=． 三．解答题（共9小题） 9．在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣． （Ⅰ）求∠A； （Ⅱ）求AC边上的高． 10．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过

点P（﹣，﹣）． （Ⅰ）求sin（α+π）的值； （Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值． 11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B ﹣）． （Ⅰ）求角B的大小； （Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值． 12．在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5． （1）求cos∠ADB； （2）若DC=2，求BC． 13．设{a n}是首项为a1，公差为d的等差数列，{b n}是首项为b1，公比为q的等比数列． （1）设a1=0，b1=1，q=2，若|a n﹣b n|≤b1对n=1，2，3，4均成立，求d的取值范围； （2）若a1=b1＞0，m∈N*，q∈（1，]，证明：存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，并求d的取值范围（用b1，m，q表示）．14．已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{b n}满足b1=1，数列{（b n+1﹣b n）a n}的前n项和为2n2+n． （Ⅰ）求q的值； （Ⅱ）求数列{b n}的通项公式． 15．设{a n}是等比数列，公比大于0，其前n项和为S n（n∈N*），{b n}是等差数列．已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2b6． （Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式； （Ⅱ）设数列{S n}的前n项和为T n（n∈N*）， （i）求T n； （ii）证明=﹣2（n∈N*）． 16．等比数列{a n}中，a1=1，a5=4a3．

高三第一轮复习等比数列教案

高三第一轮复习 《数列》5.3 等比数列 一、考点分布 1. 等比数列的概念（B ） 2. 等比数列的通项公式与前n 项和的公式（C ） 二、考试要求 1. 理解等比数列的概念； 2. 掌握等比数列的通项公式与前n 项和的公式 3. 能在具体问题情境中识别数列的等比关系，并能有关知识解决问题； 4. 了解等比数列与指数函数的关系. 三、重点与难点 1. 熟练运用等比数列的通项公式求解问题是复习重点； 2. 判断或证明数列的等比关系是复习的难点. 四、复习过程 2. 基础练习 （1）在等比数列{}n a 中，已知333 1,4 a S == ，则6a =__________. 提示：-8 方法一：基本量法列出1,a d 方程组；方法二：求和公式 （2）在等比数列{}n a 中，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则公比q =_________. 提示：由题意，得21111114()3()a a q a a a q a q +=+++，故(31)0q q -=. 又0q ≠,所以13 q = .

说明：等比数列通项公式与和n S 之间的联系，注意0,0.n a q ≠≠ （3）已知数列{}n a 是等比数列,且>0n a ,*n N ∈,354657281a a a a a a ++=，则 46a a += 9 ． （4）设4710310()22222()n f n n N +=++++ +∈，则()f n 等于 （A ） 2(81)7n - （B ）12(81)7n +- （C ）32(81)7n +- （D ）42 (81)7n +- 3. 典型例题 例1.（1） 若等比数列{a n }的公比q ＜0，前n 项和为S n ，则S 2a 3与S 3a 2的大小关系是 (A) S 2a 3＞S 3a 2 (B) S 2a 3＜S 3a 2 (C) S 2a 3= S 3a 2 (D)不确定 （2）已知数列满足a 1=1，a n ＋1=2a n ＋3(n ∈N *)，则{a n }的通项公式为_______． 例2.若数列}{n a {}:n b 满足1211,(),(1,2,3,).n n n a a a a b a a n +===?=???为常数且 （Ⅰ）若{a n }是等比数列，试求数列{b n }的前n 项和S n 的公式； （Ⅱ）当{b n }是等比数列时，甲同学说：{a n }一定是等比数列；乙同学说：{a n }一定不是等比数列．你认为他们的说法是否正确？为什么？ 解：（1）因为{a n }是等比数列a 1=1,a 2=a .∴a ≠0，a n =a n －1. 又1n n n b a a +=?， 1 2112211211,n n n n n n n n n n b a a a a b a a a a b a a a a +++++-+?=?=====?则, 即}{n b 是以a 为首项, a 2为公比的等比数列. 22 (||1),(1) (||1). 1n n na a S a a a a =?? ∴=?-≠? -? （II ）甲、乙两个同学的说法都不正确，理由如下： 设{b n }的公比为q ，则 1122 10n n n n n n n n b a a a q a b a a a +++++===≠且 又a 1=1,a 2=a , a 1, a 3, a 5,…，a 2n －1，…是以1为首项，q 为公比的等比数列； 而a 2, a 4, a 6, …, a 2n , …是以a 为首项，q 为公比的等比数列， 即{a n }为：1，a , q, a q , q 2, a q 2, …. 当q=a 2时，{a n }是等比数列；当q≠a 2时，{a n }不是等比数列. 例3. 数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，11 3 n n a S +=，n =1，2，3，……， 求 （I ）a 2，a 3，a 4的值及数列{a n }的通项公式； （II ）13521n a a a a -+++ +的值.

2016-2018年全国卷高考数列题

2016—2018年全国卷数列高考汇编 8.【2016高考新课标1卷】已知等差数列{}n a 前9项的和为27,108a =,则100a = （ ） （A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97 4.【2016高考新课标1卷】设等比数列{}n a 错误！未找到引用源。满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2 …a n 的最大值为 ． 6.【2016高考新课标2理数】n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且17=128.a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg99=1，． （Ⅰ）求111101b b b ，，； （Ⅱ）求数列{}n b 的前1 000项和． 7.【2016高考新课标3理数】已知数列{}n a 错误！未找到引用源。的前n 项和1n n S a λ=+错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。其中0λ≠． （I ）证明{}n a 错误！未找到引用源。是等比数列，并求其通项公式；（II ）若53132 S =错误！未找到引用源。 ，求λ． 4．【2017高考新课标1理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 15. 【2017高考新课标2理数】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则

11n k k S ==∑ ． 9．【2017高考新课标3理数】等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为 A ．-24 B ．-3 C ．3 D ．8 4．【2018高考新课标1理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和. 若3243S S S =+，12a =，则5a = A ．12- B ．10- C ．10 D ．12 15．【2018高考新课标1理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和. 若21n n S a =+，则6S = ． 4．【2018高考新课标2文理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和. 若17a =-，315S =-. ⑴求{}n a 的通项公式； (2)求n S ，并求n S 的最小值. 17．（2018年全国卷3） 等比数列{}n a 中，12314a a a ==，． ⑴求{}n a 的通项公式； ⑵记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ．

高三第一轮复习《等比数列》教学设计

高三第一轮复习《等比数列》教学设计 教学目标：1.使学生理解等比数列的概念，掌握其通项公式，并能运 用定义及其通项公式解决一些简单的实际问题。 2.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系 3.用类比的方法研究等比数列 ,使学生对数列建立起一个 知识体系,培养用不完全归纳法去发现并解决问题的能力和计算能力,多让学生动手,让学生在解题中,体会成功的快乐 教学重点：1.等比数列的通项公式及其推导过程 2.等比数列性质的应用 教学难点：等比数列的实际应用问题或与其他知识交汇题的题目 教学方法：自主探究、合作学习 教学过程： 一、知识点的整理: 1．等比数列的定义: 2．等比数列的通项公式 设等比数列{a n }的首项为a 1， 公比为q ，则它的通项a n ＝11-n q a 3.等比中项：若xy G =2，那么 G 叫做x 与y 的等比中项． 4．等比数列的常用性质 5．等比数列的前n 项和公式 二、典例分析 练习 （口答) 性质的应用 (1)．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝60，则a 7＋a 8＝________. (2)．若互不相等的实数a 、b 、c 成等差数列，c 、a 、b 成等比数列，且a ＋3b ＋c ＝10，则a ＝________. (3)．在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若S 3＝7，S 6＝63，则公比

q 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．3 D ．－3 (4)．在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)，且前n 项和S n ＝3n ＋k ，则实数k ＝________. 例1等比数列的基本量的运算 （1）已知等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1a 2a 3＝8，求a n （2）在等比数列中，若.14321=a a a a ，816151413=a a a a ，求44434241a a a a 例2等比数列的判定与证明 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1 (n ≥2)，且a n ＋S n ＝n . (1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式． 变式:设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1， S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式 课堂小结 通过本节课的学习，你对等比函数有什么认识？你有什么收获？ 1.设计意图： 等比数列在高中数学中占有很重要的位置.这一节的难点是对公式的理解及灵活应用,如何突破这一难点,就要让学生理解公式的由来和涉及的数学思想,比如累乘法.然后讲一些典型题,易错易漏题.本节课，力图让学生从不同的角度去研究数列，对等比数列进行一个全方位的研究，并通过类比的方法,把研究等差数列的方法迁移过来. 本课的教学中我努力实践以下两点： （1）.在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式. （2）.在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法. （3）.通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法.

高考数学压轴专题新备战高考《数列》易错题汇编含答案解析

新数学《数列》试卷含答案 一、选择题 1．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2611203a a a a --+=，则21S 的值为（ ） A ．63 B ．21 C ．63- D ．21 【答案】C 【解析】 【分析】 根据等差数列性质，原式可变为()220616113()a a a a a +-+-=，即可求得 21112163S a ==-. 【详解】 ∵261116203a a a a a ---+=， ∴()220616113()a a a a a +-+-=， ∴113a =-，∴21112163S a ==-， 故选：C ． 【点睛】 此题考查等差数列性质和求和公式，需要熟练掌握等差数列基本性质，根据性质求和. 2．在递减等差数列{}n a 中，2132 4a a a =-．若113a =，则数列1 1 { }n n a a +的前n 项和的最大值为 ( ) A ． 24143 B ． 1143 C ． 2413 D ． 613 【答案】D 【解析】 设公差为,0d d < ，所以由2 1324a a a =-，113a =，得 213(132)(13)42d d d +=+-?=- （正舍），即132(1)152n a n n =--=- ， 因为 111111()(152)(132)2215213n n a a n n n n +==----- ，所以数列11n n a a +?? ???? 的前n 项和等于 1111116 ()()213213213261313 n --≤--=-?- ，选D. 点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中 间若干项的方法，裂项相消法适用于形如1n n c a a +?? ???? (其中{}n a 是各项均不为零的等差数 列，c 为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类