矩阵论的应用
矩阵论的应用
摘要
矩阵论是工程数学中的重要组成部分，而矩阵函数理论是矩阵理论的一个重要组成部分。矩阵函数把对矩阵的研究带入分析领域。同时也解决了数学领域及工程技术等其它领域的计算难题。本文介绍借助矩阵函数，简述其在微积分运算在求解一阶线性常系数微分方程组。
关键词：矩阵论矩阵函数一阶微分方程
一、矩阵论的发展史简介
矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语。而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好相反。
1850年，英国数学家西尔维斯特(SylveSter，1814--1897)在研究方程的个数与未知量的个数不相同的线性方程组时，由于无法使用行列式，所以引入了矩阵的概念。
1855年，英国数学家凯莱(Caylag，1821--1895)在研究线性变换下的不变量时，为了简洁、方便，引入了矩阵的概念。1858年，凯莱在《矩阵论的研究报告》中，系统地阐述了关于矩阵的理论。文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念，指出了矩阵加法的可交换性与可结合性。另外，凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根
（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果。
1855 年，埃米特(C.Hermite，1822-1901) 证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。后来，克莱伯施(A.Clebsch,1831-1872) 、布克海姆(A.Buchheim) 等证明了对称矩阵的特征根性质。泰伯(H.Taber) 引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论。
在矩阵论的发展史上，弗罗伯纽斯(G.Frobenius,1849- 1917) 的贡献是不可磨灭的。他讨论了最小多项式问题，引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质。1854 年，约当研究了矩阵化为标准型的问题。1892 年，梅茨勒(H.Metzler) 引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式。傅立叶、西尔和庞加莱的著作中还讨论了无限阶矩阵问题，这主要是适用方程发展的需要而开始的。
矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质，矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展，现在已成为独立的一门数学分支——矩阵论。而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论。矩阵及其理论现已广泛地应用于现代科技的各个领域。
二、矩阵函数在微分方程中的应用
矩阵函数定义的引出把矩阵理论的研究延伸到分析领域，从而使对矩阵的研究又提高到一个新的层次，增加了新的手段，同时也使矩阵理论在数学、物理、工程技术等许多领域有了新的应用。
对于一阶线性常系数非其次微分方程组
()()()??
?
??
???
???
++++=++++=++++=t a a a dt d t a a a dt d t a a a dt
d n n nn n n n
n n n n βξξξξβξξξξβξξξξ
2211222221212
112121111 （1）
其中()n j i a ij ,2,1,=都是复数，()t i β(i =1,2…，n )是t 的已知函数，ξi =ξi (t)(i=1,2…，n)是t 的未知函数。方程组（1）可写为如下的矩阵方程
()t b Ax dt
dx
+= （2） 这里()n n ij a A x =,()()T n t x x ζζζ,,,21 ==,()()()()()T n t t t t b βββ,,,21 =。
根据高等数学里的经验，这里我们先求（1）对应的其次微分方程组的解。 设一阶线性常系数其次微分方程组为
??
?
??
???
??
?
+++=+++=+++=n nn n n n
n n n n a a a dt d a a a dt d a a a dt
d ζζζζζζζζζζζζ
221122221212
12121111 （3）
其中()n j i a ij ,2,1,=都是复数，()()n i t i i ,,2,1 ==ζζ是t 的未知函数。
令()()T n t x x ζζζ,,,21 ==,()n n ij a A x =,则方程组（3）可改写为
Ax dt
dx
= （4）
满足初始条件c =（γ1，γ2，…，γn )T ，其中i γ=i ζ(0)(i =1,2…，n )。再将每个()t i ζ展开为麦克劳林级数
()()()()()n i i i i i i i ,,2,10!
21
t 0t 2 =+''+'+=ζζζζ （5）
从而有
()() +''+
'+=0!
2102
x t x t c x （6）
又由式（4）得 ,,3233222x A dt d A dt x d x A dt d A dt x d ====于是有()()()
,0,0,032c A x c A x Ac x ='''=''='代
入
式
（
6
），
得
c e c A t tAc c x tA =+++= 2
2!
2 （7）
就是说，方程（4）的解，即方程组（3）的解一定是式（7）。反之，易证式（7）确实是式（4）的解。利用矩阵函数微分的性质，证明过程如下：
由矩阵微分的性质有
()
Ax c Ae c e dt d c dt d e c e dt d c e dt d x At At At At At ==??
?
???=+??????==
' （8）
由于矩阵函数At e 可逆，所以她的n 个列向量()()()t x t x t x n ,,,21 线性无关。故存在向量()T
n c γγγ,,,21 =，使得
()()()()t x t x t x c e t x n n tA γγγ+++== 2211 (9)
设()t x x ~~=是方程（2）的一个特解，()t x x =是方程（2）的通解，那么
()()x x A x x dt
d
~~-=- （10）
即x x ~- 是方程（4）的解。根据式（9）可得x x ~-=c e tA 也就是说 x c e xt tA ~+= （11）
为确定方程（2）中特解x ~，采取常向量变易法。设()t c e x tA =~其中()t c 为待定向量带入方程（2）可得 ()()()()t b x A t c dt
d
e x A t c dt d e t c Ae x dt d tA tA tA +=+=+=~~~ （12）
从而
()()t b t c dt
d
e tA
= (13) 解得()()ds s b e t c t
sA ?-=0，故方程组的一个特解是()ds s b e e x t
sA tA ?-=0
~，则
()()ds s b e
e
c e t x t
sA
tA
tA
?-+=0
（14）
为方程组（1）的通解这里()T
n c γγγ,,,21 =是任意常数向量。所以满足初始条件()00x t x =的解为
()()()ds s b e e x e t x t
sA tA A t t ?--+=000 （15）
也可写成
()()ds s b e e x e t x t
sA tA tA ?-+=00 （16）
至此，关于一阶线性非齐次微分方程组的解法讨论完毕，我们以后就可以直接套用公式进行求解。
小结：求解一阶线性非其次微分方程组可分为以下几步：
1、根据题意首先找到系数矩阵、初始条件、非其次方程的常量；
2、求解矩阵函数tA e （有多种求法，包括待定系数法、数项级数求和法、对角形法、Jordan 标准形法）；
3、计算()s b e sA -，然后计算积分
()ds s b e t
sA ?
-0
；
4、把计算的结果代入()()ds s b e e x e t x t sA tA tA ?-+=0
0，写出最后结果。