2018年四川大学附中自主招生数学试卷
2018年四川大学附中自主招生数学试卷
一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请把答案涂在答题卷的相应位置）
1．（5分）如图，若数轴上的两点A、B表示的数分别为a、b，则|a﹣b|+|b|等于（）
A．a B．a﹣2b C．﹣a D．b﹣a
2．（5分）如果|m+1|+（n﹣2018）2＝0，那么m n的值为（）
A．﹣1B．1C．2018D．﹣2018
3．（5分）由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三种视图如下，那么小正方体个数为（）
A．5个B．6个C．7个D．8个
4．（5分）有四张正面分别标有数字﹣2，﹣1，1，2的不透明卡片，它们除数字不同外其余相同．现将它们背面朝上，洗匀后小李从中任取两张，将两张卡片上的数字之和记为x，则小李得到的x值使分式的值为0的概率是（）
A．B．C．D．
5．（5分）已知a2+b2＝6ab且a＞b＞0，则的值为（）
A．B．±C．2D．±2
6．（5分）将边长分别为1、1、2、3、5的正方形依次选取2个、3个、4个、5个拼成矩形，按下面的规律依次记作矩形①、矩形②、矩形③、矩形④．若继续选取适当的正方形拼成矩形，那么按此规律，矩形⑧的周长应该为（）
A．288B．220C．178D．110
7．（5分）若对所有的实数x，x2+ax+a恒为正，则（）
A．a＜0B．a＞4C．a＜0或a＞4D．0＜a＜4
8．（5分）已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（）
A．7B．11C．12D．16
9．（5分）如图，点E、F分别为正方形ABCD中AB、BC边的中点，连接AF、DE相交于点G，连接CG，则cos∠CGD＝（）
A．B．C．D．
10．（5分）一次函数y＝﹣kx+4与反比例函数的图象有两个不同的交点，点（﹣，y1）、（﹣1，y2）、（，y3）是函数图象上的三个点，则y1、y2、y3的大小关系是（）
A．y2＜y3＜y1B．y1＜y2＜y3C．y3＜y1＜y2D．y3＜y2＜y1
11．（5分）如图，一个粒子从原点出发，每分钟移动一次，依次运动到（0，1）→（1，0）→（1，1）→（1，2）→（2，1）→（3，0）→……，则2018分钟时粒子所在点的横坐标为（）
A．886B．903C．946D．990
12．（5分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②当x≥1时，y随x 的增大而减小；③2a+b＝0；④b2﹣4ac＞0；⑤＜1，其中正确的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本大题共有4个小题，每题5分，共20分，请把答案直接填在答题卷相应位置）
13．（5分）如果ab＜0，那么++＝．
14．（5分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，D是AB边上的动点，E是AC边上的动点，则BE+ED的最小值为．
15．（5分）如图，矩形ABCD四个顶点均在函数y＝的图象上，且矩形面积为2，则x A＝．
16．（5分）两条平行线间的距离公式
一般地；两条平行线l1：Ax+By+C1＝0和l2：Ax+By+C2＝0间的距离公式是d＝如：求：两条平行线x+3y﹣4＝0和2x+6y﹣9＝0的距离．
解：将两方程中x，y的系数化成对应相等的形式，得2x+6y﹣8＝0和2x+6y﹣9＝0，因此，d＝两条平行线l1：3x+4y＝10和l2：6x+8y﹣10＝0的距离是．
三、解答题（本大题共有5个大题，共70分．请保留必要的步骤和过程，写在答题卷的对应题号的位置．注
意：写错位置一律不给分）
17．（5分）已知x2﹣4x+1＝0，求的值．
18．（5分）如果＝3+，求m的值．
19．（12分）植树节前夕，某校所有学生参加植树活动，要求每人植2～6棵．活动结束后，校学生会就本校学生的植树量进行了调查．经过对调查数据的分析，得到如图所示的两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息解答以下问题：
（1）求该校共有多少名学生；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）在扇形统计图中，计算出“3棵”部分所对应的圆心角的度数；
（4）在这次调查中，众数和中位数分别为多少？
（5）从该校中任选一名学生，其植树量为“6棵”的概率是多少？
20．（15分）如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连接EC，连结AP并延长AP交CD于F点，连接BP，交CE于点H．
（1）若∠PBA：∠PBC＝1：2，判断△PBC的形状并说明；
（2）求证：四边形AECF为平行四边形．
21．（15分）如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点D，取CD的中点E，AE的延长线与BC的延长线交于点P．
（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）若OC＝CP，AB＝3，求CD的长．
22．（18分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，其中点B（2，0），交y轴于点C（0，﹣）．直线y＝mx+过点B与y轴交于点N，与抛物线的另一个交点是D，点P是直线BD下方的抛物线上一动点（不与点B、D重合），过点P作y轴的平行线，交直线BD于点E，过点D作DM⊥y轴于点M．
（1）求抛物线y＝x2+bx+c的表达式及点D的坐标；
（2）若四边形PEMN是平行四边形？请求出点P的坐标；
（3）过点P作PF⊥BD于点F，设△PEF的周长为C，点P的横坐标为a，求C与a的函数关系式，并求出C的最大值．
参考答案
一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请把答案涂在答题卷的相应位置）
1．（5分）如图，若数轴上的两点A、B表示的数分别为a、b，则|a﹣b|+|b|等于（）
A．a B．a﹣2b C．﹣a D．b﹣a
【答案】B
2．（5分）如果|m+1|+（n﹣2018）2＝0，那么m n的值为（）
A．﹣1B．1C．2018D．﹣2018
【答案】B
3．（5分）由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三种视图如下，那么小正方体个数为（）
A．5个B．6个C．7个D．8个
【答案】D
4．（5分）有四张正面分别标有数字﹣2，﹣1，1，2的不透明卡片，它们除数字不同外其余相同．现将它们背面朝上，洗匀后小李从中任取两张，将两张卡片上的数字之和记为x，则小李得到的x值使分式的值为0的概率是（）
A．B．C．D．
【答案】A
5．（5分）已知a2+b2＝6ab且a＞b＞0，则的值为（）
A．B．±C．2D．±2
【答案】A
6．（5分）将边长分别为1、1、2、3、5的正方形依次选取2个、3个、4个、5个拼成矩形，按下面的规律依次记作矩形①、矩形②、矩形③、矩形④．若继续选取适当的正方形拼成矩形，那么按此规律，矩形⑧的周长应该为（）
A．288B．220C．178D．110
【答案】C
7．（5分）若对所有的实数x，x2+ax+a恒为正，则（）
A．a＜0B．a＞4C．a＜0或a＞4D．0＜a＜4
【答案】D
8．（5分）已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（）
A．7B．11C．12D．16
【答案】D
9．（5分）如图，点E、F分别为正方形ABCD中AB、BC边的中点，连接AF、DE相交于点G，连接CG，则cos∠CGD＝（）
A．B．C．D．
【答案】D
10．（5分）一次函数y＝﹣kx+4与反比例函数的图象有两个不同的交点，点（﹣，y1）、（﹣1，y2）、（，y3）是函数图象上的三个点，则y1、y2、y3的大小关系是（）
A．y2＜y3＜y1B．y1＜y2＜y3C．y3＜y1＜y2D．y3＜y2＜y1
【答案】D
11．（5分）如图，一个粒子从原点出发，每分钟移动一次，依次运动到（0，1）→（1，0）→（1，1）→（1，2）→（2，1）→（3，0）→……，则2018分钟时粒子所在点的横坐标为（）
A．886B．903C．946D．990
【答案】D
12．（5分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②当x≥1时，y随x 的增大而减小；③2a+b＝0；④b2﹣4ac＞0；⑤＜1，其中正确的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
二、填空题（本大题共有4个小题，每题5分，共20分，请把答案直接填在答题卷相应位置）
13．（5分）如果ab＜0，那么++＝﹣1．
14．（5分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，D是AB边上的动点，E是AC边上的动点，则BE+ED的最小值为．
15．（5分）如图，矩形ABCD四个顶点均在函数y＝的图象上，且矩形面积为2，则x A＝．
16．（5分）两条平行线间的距离公式
一般地；两条平行线l1：Ax+By+C1＝0和l2：Ax+By+C2＝0间的距离公式是d＝如：求：两条平行线x+3y﹣4＝0和2x+6y﹣9＝0的距离．
解：将两方程中x，y的系数化成对应相等的形式，得2x+6y﹣8＝0和2x+6y﹣9＝0，因此，d＝两条平行线l1：3x+4y＝10和l2：6x+8y﹣10＝0的距离是1．