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新七年级数学暑假培训班讲义

前言

同学们已经有了六年学习数学的经验，你认为数学是个什么样子的呢？

为什么“学数学可以使人‘变得更聪明’呢”？

数学有非常广泛的用途，数学的内涵极其丰富，“生活中处处都有数学”，你同意这种观点吗？

请同学们来讨论下面的几个问题：

（1）几个老人去赶集，半路买了一堆梨，每人一个多一个，每人两个少两个，请你用心想一想究竟有几个老人几个梨?

（2）你能将两个同样大小的正方形适当地分割，再拼成一个较大的正方形么？你还能将三个同样大小的正方形适当分割后，再将其拼成一个较大正方形么?

（3）有这样一个故事：太平洋中有A、B两个靠得较近的小岛．A岛居民都是诚实的人，向他们问问题都能得到真实的答案；而B岛的居民则恰恰相反，都不诚实，向他们问问题都不会得到真话回答．某天一个旅游者独自登上了A、B两岛中的一个，但不能分辨这个岛是A岛还是B岛，而且这个岛上的人既有该岛的居民，也有从另一个岛来的客人．旅游者想问岛上的人“这是A岛还是B岛？”却又无法判断被问者的答案是否正确．旅游者动了动脑筋，想了想，终于想出一个好办法：他只需问遇到的任何一个人一句话，就能从对方的回答中断定这里是A岛还是B岛．

你知道这个旅游者问的问题是什么吗？他又是怎样做出判断的呢？

数学所包括的内容是丰富多彩的，既有关于数的问题，如第（1）题；也有关于图形的问题，如第（2）题；也有关于逻辑推理的问题，如第（3）题，等等．

此外，数学的运用也是非常广泛的．我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学．”

下面我们来尝试解答以上三个问题。

第（1）题可能有下面几种不同的解法，如果学生给出我们可能没有想到的“新”解法，则需要老师灵活处理．

法一：由于梨的总数与人数不变，而两种不同的分梨方法使得梨的总数量相差3个，而每人所分得的梨的个数相差1个，因此由3÷1=3可知有3个老人，于是由3×2－2=4可知有4个梨．

法二：假设有2个老人，借助检验可以发现与实际情形不相符；假设有3个老人，借助检验可以发现老人的数量与题目叙述是一致的，于是可以在此基础上求得一共有4个梨．法三：假设有x个老人，则有（x+1）个梨；而每人分2个梨，于是一共有（2x－2）个梨．从而有方程2x－2＝x＋1，解此方程得x = 3．因此，我们知道一共有3个老人，4个梨．按照假设法解答这个问题，答案正确是予肯定的．但假设法并不能说明除此解之外，就一定没有其他符合这个问题的解了．因此，还需要做更深入的继续思考．

假设法虽然有一定的局限性，但是也有其合理性，当你还不能全面把握这个问题之前，试探性地假设一些数据去探索这个问题的属性，有助于我们更深刻地揭示问题的本质，进而在把握问题本质的基础上去寻找解决的方法，因此假设法对我们解决数学问题是有帮助的，而且也是我们常用的一种数学问题解决的途径之一．

设未知数列方程来解答数学问题，也是一种很好的解决数学的途径之一，而且这种方法也是初中数学常用的一种重要的方法，在七年级第一学期将要重要学习，需要同学们引起足够的重视．

对于第（2）个问题，我们可以通过动手操作来解决问题。

比如先可以将三个正方形中的两个沿对角线剪开，如图1，然后再拼成图2的形状．再在图2的基础上，连结AB 、BC 、CD 、DA ，将画阴影的四个三角形剪掉，补到黑色部分上去，如图3，这样所得到的四边形ABCD 就是一个符合条件的较大的正方形了．

这个问题的求解过程，作为图形的拼合时

用到了旋转的方法；若要证明最后拼合而成的四边形是一个正方形的话，则需要用到全等或者图形的旋转等．不论是旋转变换，还是全等

等方法都是初中数学所不可回避的重要内容．

第（3）题是一道逻辑推理题，可以先把

学生分成小组让他们讨论几分钟，让他们相互

交流一下思想，然后再找学生来谈自己的想法

或推导过程，教师再在此基础上综合学生的发

言，进行适当的补充或深化．

我们在下表中列出了在不同的地点，不同的被访问者，针对同一问题的不同回答．

借助这张表我们可以一目了然地得到这样的一个结论：如果这个问题是在A 岛提出来的，那么不论是A 岛的居民，还是B 岛的居民，给出的答案都应该是“是”；如果这个问题在B 岛提出来的，答案总“不是”．

这就为旅游者判断提问的地方是哪个岛提供了依据，于是“问路问题”就得到了解决．聪明的旅游者的问话是“你是这个岛的居民吗？”如果对方回答“是”，那么这个岛一定是A 岛；如果对方回答“不是”，那么这个岛就一定是B 岛．

学习数学是件很有趣的事情，数学可以让我们变得聪明，“数学是思维的体操”，只要我们多与数学打交道，与数学交朋友，坚持用数学的眼光去看问题，用数学的头脑去想问题我们就一定能感受到数学的魅力与乐趣，就一定能够学好数学，成为主宰世界未来的科学家。

拓展练习

（1）如图4，要在所有的台阶上铺上地毯，至少需要长为

多少米地毯？（2）用火柴棒拼成图5所示的“田”字形图，拼1个“田”

字要12根火柴棒，拼2个这样的田字形图，需要多少根火柴棒？

拼3个呢？4个呢？5个呢？你能从中找到规律，拼写n 个这样的田字形图，需要多少根火柴棒吗？

（3）扑克牌游戏：在扑克牌1~k 中，请你任抽一张，点数

记在心，然后做下面的计算：把这张牌的点数乘以2，再加上3，

把得数乘以5，最后减去25．我将这个得数加上10后再除以

10就可以知道你抽取的牌的点数了，你知道个中的缘由吗? 图153421图2 图3 图5

图4

2.8米

北师大七年级数学培优题

七年级培优题 1、如图，在一个正方体的两个面上画了两条对角线AB ，AC ，那么这两条对角线的夹角等于度。 2.。. 221x x x ++-+-的最小值是_______ 3、已知0132 =+-x x , 则 =++1 3242 x x x 。 4,一个长方体的长、宽、高分别为9cm, 6cm, 5cm ，先从这个长方体上尽可能大的切下一个正方体，再从剩余部分上又尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余部分上又尽可能大的切下一个正方体，那么经过三次切割后剩余部分的体积为 cm 3. 5、如图，三角形ABC 的面积为1，BD ∶DC=2∶1，E 为AC 的中点，AD 与BE 相交于P ，那四边形PDCE 的面积为。 6、如图，已知梯形ABCD ，AD ∥BC ，∠B+∠C=90°，EF=10，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，则BC －AD ＝________ 7、如图，正方形ABCD 的边长为1，P 为AB 上的点， Q 为AD 上的点，且△APQ 的周长为2，则∠PCQ=_______ 8、在长方形内画一些直线，已知边上有三块面积分别为13，35，49，图中的数据表示所在的小块面积，则图中的阴影部分的面积为。 9、如图，设O 是等边三角形ABC 内一点，已知∠AOB=115°，∠BOC=125°，则以 OA ，OB ，OC 为边所构成的三角形的各内角的度数分别为。 10、已知a 、b 、c 都不等于零，且c c b b a a m ||||||++= ，| |abc abc n =，那么n m +=_______ 11如果a 、b 、c 满足a +2b +3c =12，且a 2+b 2+c 2=ab +ac +bc ，则代数式a +b 2+c 3=_______ 12.如图，在长方形ABCD 中，已知AD=12、AB=5、BD=AC=13，P 是AD 上任意一点，PE ⊥BD 、PF ⊥AC ，那么PE+PF=_______ 【提示长方形的对角线相等且互相平分】 13.在⊿ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，AB+BD=DC ，求证 ∠B=2∠C 14、已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ．（1）直接写出线段EG 与CG 的数量关系；（2）将图1中△BEF 绕B 点逆时针旋转45o ，如图2所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ．你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）将图1中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？ A D E G 图1 F A D C E G 图2 F A E 图3 D

七年级上数学辅导资料

第一章有理数课题：1.1 正数和负数正数和负数的表示方法一般地，我们把上升、运进、零上、收入、前进、高出等规定为正的，而与它相反的量，如：下降、运出、零下、支出、后退、低于等规定为负的。正的量就用小学里学过的数表示，有时也在它前面放上一个“+”（读作正）号，如前面的5、7、50；负的量用小学学过的数前面放上“—”（读作负）号来表示，如上面的—3、—8、—47。正数、负数的概念 1）大于0的数叫做，小于0的数叫做。 2）正数是大于0的数，负数是的数，0既不是正数也不是负数。【课堂练习】： 1．小明的姐姐在银行工作，她把存入3万元记作+3万元，那么支取2万元应记作_______,-4万元表示________________。 2．已知下列各数：51-，432-，3.14，+3065，0，-239；则正数有_____________________；负数有____________________。 3．下列结论中正确的是 …………………………………………（） A ．0既是正数，又是负数 B ．O 是最小的正数 C ．0是最大的负数 D ．0既不是正数，也不是负数 5．给出下列各数：-3，0，+5，213-，+3.1，2 1-，2004，+2010；其中是负数的有 ……………………………………………………（） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个【拓展训练】： 1．零下15℃，表示为_________，比O℃低4℃的温度是_________。 2．地图上标有甲地海拔高度30米，乙地海拔高度为20米，丙地海拔高度为-5米，其中最高处为_______ 地，最低处为_______地． 3．“甲比乙大-3岁”表示的意义是______________________。 4．如果海平面的高度为0米，一潜水艇在海水下40米处航行，一条鲨鱼在潜水艇上方10米处游动，试用正负数分别表示潜水艇和鲨鱼的高度。我们知道在实际生产和生活中存在着两种不同意义的量,为了区分它们,我们用__________ 和___________ 来分别表示它们。例 (1)一个月内,小明体重增加2kg,小华体重减少1kg,小强体重无变化,写出他们这个月的体重增长值；解:(1)这个月小明体重增长__________ ,小华体重增长_________ ,小强体重增长_________ （2)2001年下列国家的商品进出口总额比上一年的变化情况是: 美国减少6.4%, 德国增长1.3%, 法国减少2.4%, 英国减少3.5%, 意大利增长0.2%, 中国增长7.5%. 写出这些国家2001年商品进出口总额的增长率；美国 -6.4% 德国__________ 法国___________ 英国__________ 意大利__________ 中国__________ 1）甲冷库的温度是-12°C,乙冷库的温度比甲冷酷低5°C,则乙冷库的温度是；

人教版七年级数学上册培优资料(精华)

七年级数学上册培优训练

第一讲有理数（一）一、【问题引入与归纳】 1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。 2、有理数的两种分类： 3、有理数的本质定义，能表成 m n （0,,n m n ≠互质）。 4、性质：① 顺序性（可比较大小）； ② 四则运算的封闭性（0不作除数）； ③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。 5、绝对值的意义与性质： ① (0) ||(0) a a a a a ≥?=?-≤? ② 非负性 2(||0,0)a a ≥≥ ③ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。 ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。二、【典型例题解析】： 1、若|||||| 0,a b ab ab a b ab +- 则的值等于多少？ 2．如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 3、已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求 220062007 ()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。 4、如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（ ) A.2a B.2a - C.0 D.2b 5、已知2(3)|2|0a b -+-=，求b a 的值是（） A.2 B.3 C.9 D.6 6、有3个有理数a,b,c ，两两不等，那么,,a b b c c a b c c a a b ------中有几个负数？

7、设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示为0， b a ， b 的形式，求20062007a b +。 8三个有理数,,a b c 的积为负数，和为正数，且 ||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac = +++++则321ax bx cx +++的值是多少？ 9、若,,a b c 为整数，且20072007||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。三、课堂备用练习题。 1、计算：1+2-3-4+5+6-7-8+…+2005+2006 2、计算：1×2+2×3+3×4+…+n(n+1) 3、计算：5917336512913248163264 +++++- 4、已知,a b 为非负整数，且满足||1a b ab -+=，求,a b 的所有可能值。 5、若三个有理数,,a b c 满足||||||1a b c a b c ++=，求 || abc abc 的值。

七年级下册数学资料

前言教学总目标：通过本期的培训，同步跟进学校教学进度，在打牢基础的情况下，进行加深拓展。帮助学生构建知识网络，掌握数学学习方法，提高数学成绩，获得数学学习的成就感，提高学生学习兴趣。教学思路：从初一下册开始，我们就基本完成了由小学到初中的过渡，接下来所学的知识的难度将会增大。为了帮助同学们进一步提高数学成绩，竟才修业理科教研组依据中学数学教学大纲和湖南省中考考纲要求，精心编写本教学资料。本资料紧扣教材重点，以课本知识点和中考考点为主，帮助同学们为两年后的中考打下坚实的基础。资料特点： 1．选题上注重知识的灵活运用，紧扣中考考纲，以中考中高档难题为主； 2．资料所编内容，由浅入深，起点低，容易被学生接受，落点适中，能够满足6A班学生的能力要求；3．注重思维训练，提高学生的逻辑思维能力，； 4．关注社会生活、关注实践应用，引用了大量的社会生活素材，创设了丰富的教学情境，能激发学生学习的兴趣；说明：1. 老师在教学的过程中，根据学生的具体情况和教学进度灵活的处理资料，要求讲清讲透，不能盲目的赶资料的进度。 2. 为了丰富内容，绝大部分资料按120分钟／次编排，老师可以根据学生实际从中选取80分钟内

第一讲相交线与平行线一、课标要求通过本节课的学习了解同一平面内两条直线存在的位置关系，什么是邻补角、对顶角，什么是垂线及垂线段，平行线的性质和判定方法。平移的性质及作图。教学重点：对顶角的性质.平行线的性质和判定教学难点：平行线的性质和判定二、知识疏理 1.温故知新（1）同一平面内两条直线的位置关系为。（2）对顶角与邻补角（3）垂线与垂足当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做。垂线性质1：过一点有且只有条直线与已知直线垂直(与平行公理相比较记) 垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。（4）在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线。平行公理：经过直线一点，有且只有条直线与这条直线平行平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相。（5）三线八角：同位角是“A”型；内错角是“Z”型；同旁内角是“U”型。（6）平行线的性质有：、、。平行线的判定有：；；；（7）命题：命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题。每个命题都是、两部分组成。是已知事项；是由已知事项推出的事项。命题常写成“如果……，那么……”的形式。 (8)平移：平移变换 ①把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的和完全相同。 ②新图形的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是点。 ③连接各组对应点的线段且。

七年级下册数学讲义

目录第一讲同底数幂的乘法 (1) 第二讲幂的乘方与积的乘方 (5) 第三讲同底数幂的除法 (9) 第四讲整式的乘法 (13) 第五讲平方差公式（1） (18) 第六讲平方差公式（2） (22) 第七讲完全平方式(1) (26) 第八讲完全平方式(2) (29) 第九讲整式的除法 (33) 第十讲单元测试 (37) 第十一讲两条直线的位置关系 (41) 第十二讲平行线的性质 (47) 第十三讲平行线的判定(1) (52) 第十四讲平行线的判定(2) (57) 第十五讲本章复习 (61) 第十六讲用表格表示的变量间关系 (66) 第十七讲用关系式表示的变量间关系 (70)

第一讲同底数幂的乘法 1. 同底数幂的乘法性质：a m ? a n = a m +n (其中 m , n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. ? 1 ?3 ? 1 ?4 例 1. 计算：（1） - ? ? 2 ? ? - ? ? 2 ? （2） a 2 ? a ? a 7 （3） - a 2 ? (- a )3 （4） 32 ? 27 ? 81 2. 同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. 例 2. 计算： (1)(x - 2 y )2 (2 y - x ) 3 (2)(a - b - c )(b + c - a )2 (c - a + b )3 3. 三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即 a m ? a n ? a p = a m +n + p （ m , n , p 都是正整数）. 例 3. 计算：（1） (- 2)2 ? (- 2)3 ? (- 2) = ；（2） a ? a 3 ? a 5 = ；（3） (a + b )(a + b )m (a + b )n = ；（4） a 4n a n +3 a = ； 4. 逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即 a m +n = a m ? a n （ m , n 都是正整数）. 例 4. 已知 a m = 2, a n = 3 ，求下列各式的值。（1） a m +1 （2） a 3+n （3） a m +n +3 1 知识点梳理

(完整)初一数学复习资料

七年级数学（上）知识点人教版七年级数学上册主要包含了有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的认识初步四个章节的内容. 第一章有理数一、知识框架二．知识概念 1.有理数： (1)凡能写成)0p q ,p (p q ≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数； (2)有理数的分类: ① ??? ? ????? ????负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ② ???????????????负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3．相反数： (1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； (2)相反数的和为0 ? a+b=0 ? a 、b 互为相反数. 4.绝对值： (1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； (2) 绝对值可表示为：?????<-=>=) 0a (a )0a (0) 0a (a a 或???<-≥=)0a (a )0a (a a ；绝对值的问题经常分类讨论； 5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数＞ 0，小数-大数＜ 0.

6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是 a 1 ；若ab=1? a 、b 互为倒数；若ab=-1? a 、b 互为负倒数. 7. 有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与0相加，仍得这个数. 8．有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）. 9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ）. 10 有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定. 11 有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba ；（2）乘法的结合律：（ab ）c=a （bc ）；（3）乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac . 12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，无意义即0 a . 13．有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时: (-a)n =-a n 或(a -b)n =-(b-a)n , 当n 为正偶数时: (-a)n =a n 或 (a-b)n =(b-a)n . 14．乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂； 15．科学记数法：把一个大于10的数记成a ×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法. 16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位. 17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字. 18.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减. 本章内容要求学生正确认识有理数的概念，在实际生活和学习数轴的基础上，理解正负数、相反数、绝对值的意义所在。重点利用有理数的运算法则解决实际问题. 体验数学发展的一个重要原因是生活实际的需要.激发学生学习数学的兴趣，教师培养学生的观察、归纳与概括的能力，使学生建立正确的数感和解决实际问题的能力。教师在讲授本章内容时，应该多创设情境，充分体现学生学习的主体性地位。

2017年人教版七年级下册数学总复习讲义Word版

第五章相交线与平行线 1、两条直线相交所成的四个角中，相邻的两个角叫做邻补角，特点是两个角共用一条边，另一条边互为反向延长线，性质是邻补角互补；相对的两个角叫做对顶角，特点是它们的两条边互为反向延长线。性质是对顶角相等。 2、三线八角：对顶角（相等），邻补角（互补），同位角，内错角，同旁内角。 3、两条直线被第三条直线所截：同位角F （在两条直线的同一旁，第三条直线的同一侧）内错角Z （在两条直线内部，位于第三条直线两侧）同旁内角U （在两条直线内部，位于第三条直线同侧） 4、两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角为90度，则称这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另外一条直线的垂线，他们的交点称为垂足。 5、垂直三要素：垂直关系，垂直记号，垂足 6、垂直公理：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 7、垂线段最短。 8、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。 9、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。如果b//a,c//a,那么b//c 10、平行线的判定： ①同位角相等，两直线平行。②内错角相等，两直线平行。 ③同旁内角互补，两直线平行。 11、推论：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。 12、平行线的性质： ①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补。 13、平面上不相重合的两条直线之间的位置关系为_______或________ 14、平移：①平移前后的两个图形形状大小不变，位置改变。②对应点的线段平行且相等。平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移平移变换，简称平移。对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。 15、命题：判断一件事情的语句叫命题。命题分为题设和结论两部分；题设是如果后面的，结论是那么后面的。命题分为真命题和假命题两种；定理是经过推理证实的真命题。用尺规作线段和角 1．关于尺规作图：尺规作图是指只用圆规和没有刻度的直尺来作图。 2．关于尺规的功能直尺的功能是：在两点间连接一条线段；将线段向两方向延长。圆规的功能是：以任意一点为圆心，任意长度为半径作一个圆；以任意一点为圆心，任意长度为半径画一段弧。第六章实数一、实数的概念及分类 1、实数的分类 2、无理数（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π+8等；

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人教版七年级数学知识点第一章有理数 1.1 正数和负数 ①把0 以外的数分为正数和负数。0 是正数与负数的分界。 ②负数：比0 小的数正数：比0 大的数 0 既不是正数，也不是负数 1.2 有理数 1.2.1 有理数 ①正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。 ②所有正整数组成正整数集合，所有负整数组成负整数集合。正整数，0，负整数统称整数。 1.2.2 数轴 ①具有原点，正方向，单位长度的直线叫数轴。 1.2.3 相反数 ①只有符号不同的数叫相反数。 ②0 的相反数是0 正数的相反数是负数负数的相反数是正数 1.2.4 绝对值 ①绝对值｜a｜ ②性质：正数的绝对值是它的本身负数的绝对值的它的相反数 0 的绝对值的0 1.2.5 数的大小比较 ①数学中规定：在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。 ②正数大于0，0 大于负数，正数大于负数。两个负数，绝对值大的反而小。 1.3 有理数的加减法 1.3.1 有理数的加法 ①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 ②绝对值不相等的异号两数相加，去绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0。 ③一个数同0 相加，仍得这个数。 ④加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。a+b=b+a ⑤加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。(a+b)+c=(a+c)+b 1.3.2 有理数的减法 ①减去一个数，等于加这个数的相反数。a-b=a+(-b) 1.4 有理数的乘除法 1.4.1 有理数的乘法 ①两数相乘，同号得正，异号的负，并把绝对值相乘。 ②任何数同0 相乘，都得0。

人教版七年级下册数学总复习讲义

第五章相交线与平行线 1、两条直线相交所成的四个角中，相邻的两个角叫做邻补角，特点是两个角共用一条边，另一条边互为反向延长线，性质是邻补角互补；相对的两个角叫做对顶角，特点是它们的两条边互为反向延长线。性质是对顶角相等。 2、三线八角：对顶角（相等），邻补角（互补），同位角，内错角，同旁内角。 3、两条直线被第三条直线所截：同位角F（在两条直线的同一旁，第三条直线的同一侧）内错角Z（在两条直线内部，位于第三条直线两侧）同旁内角U（在两条直线内部，位于第三条直线同侧） 4、两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角为90度，则称这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另外一条直线的垂线，他们的交点称为垂足。 5、垂直三要素：垂直关系，垂直记号，垂足 6、垂直公理：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 7、垂线段最短。 8、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。 9、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。如果b//a,c//a,那么b//c 10、平行线的判定： ①同位角相等，两直线平行。②内错角相等，两直线平行。③同旁内角互补，两直线平行。 11、推论：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。 12、平行线的性质： ①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补。 13、平面上不相重合的两条直线之间的位置关系为_______或________ 14、平移：①平移前后的两个图形形状大小不变，位置改变。②对应点的线段平行且相等。平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移平移变换，简称平移。对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。 15、命题：判断一件事情的语句叫命题。命题分为题设和结论两部分；题设是如果后面的，结论是那么后面的。命题分为真命题和假命题两种；定理是经过推理证实的真命题。用尺规作线段和角 1．关于尺规作图：尺规作图是指只用圆规和没有刻度的直尺来作图。 2．关于尺规的功能直尺的功能是：在两点间连接一条线段；将线段向两方向延长。圆规的功能是：以任意一点为圆心，任意长度为半径作一个圆；以任意一点为圆心，任意长度为半径画一段弧。第六章实数

(完整版)初一数学培优专题讲义

初一数学基础知识讲义第一讲和绝对值有关的问题一、知识结构框图：数二、绝对值的意义： (1)几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 (2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数； ③零的绝对值是零。也可以写成： () () () ||0 a a a a a a ? ?? =? ? - ?? 当为正数当为0 当为负数说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。三、典型例题例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：则代数式| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（A ）A．-3a B． 2c－a C．2a－2b D． b

解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a 分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。这道例题运用了数形结合的数学思想，由a 、b 、c 在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>，那么y x z y z x --+++ 的值（ C ） A ．是正数 B ．是负数 C ．是零 D ．不能确定符号解：由题意，x 、y 、z 在数轴上的位置如图所示：所以分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x 、y 、z 三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。解：设甲数为x ，乙数为y 由题意得：y x 3=，（1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧：若x 在原点左侧，y 在原点右侧，即 x<0，y>0，则 4y=8 ，所以y=2 ,x= -6 若x 在原点右侧，y 在原点左侧，即 x>0，y<0，则 -4y=8 ，所以y=-2,x=6 （2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧：若x 、y 在原点左侧，即 x<0，y<0，则 -2y=8 ，所以y=-4,x=-12 若x 、y 在原点右侧，即 x>0，y>0，则 2y=8 ，所以y=4,x=12 例4．（整体的思想）方程x x -=-20082008 的解的个数是（ D ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无穷多个分析：这道题我们用整体的思想解决。将x-2008看成一个整体，问题即转化为求方程a a -=的解，利用绝对值的代数意义我们不难得到，负数和零的绝对值等于它的相反数，所以零和任意负数都是方程的解，即本题的答案为D 。例5．（非负性）已知|a b －2|与|a －1|互为相互数，试求下式的值． ()()()()()() 1111 112220072007ab a b a b a b ++++++++++L 0)()(=--+-+=--+++y x z y z x y x z y z x

学而思初一数学资料培优汇总(精华) (1)

第一讲数系扩张--有理数（一）一、【问题引入与归纳】 1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。 2、有理数的两种分类： 3、有理数的本质定义，能表成（互质）。 4、性质：①顺序性（可比较大小）； ②四则运算的封闭性（0不作除数）； ③稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。 5、绝对值的意义与性质： ①②非负性 ③非负数的性质：i）非负数的和仍为非负数。 ii）几个非负数的和为0，则他们都为0。二、【典型例题解析】： 1、若的值等于多少？ 2．如果是大于1的有理数，那么一定小于它的（） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 3、已知两数、互为相反数，、互为倒数，的绝对值是2，求的值。 4、如果在数轴上表示、两上实数点的位置，如下图所示，那么化简的结果等于（ A. B. C.0 D. 5、已知，求的值是（） A.2 B.3 C.9 D.6 6、有3个有理数a,b,c，两两不等，那么中有几个负数？ 7、设三个互不相等的有理数，既可表示为1，的形式式，又可表示为0，，的形式，求。 8、三个有理数的积为负数，和为正数，且则的值是多少？ 9、若为整数，且，试求的值。三、课堂备用练习题。 1、计算：1+2-3-4+5+6-7-8+…+2005+2006 2、计算：1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)

3、计算： 4、已知为非负整数，且满足，求的所有可能值。 5、若三个有理数满足，求的值。第二讲数系扩张--有理数（二）一、【能力训练点】： 1、绝对值的几何意义 ①表示数对应的点到原点的距离。 ②表示数、对应的两点间的距离。 2、利用绝对值的代数、几何意义化简绝对值。二、【典型例题解析】： 1、（1）若，化简（2）若，化简 2、设，且，试化简 3、、是有理数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？（1）（2）（3）（4）若则（5）若，则（6）若，则 4、若，求的取值范围。 5、不相等的有理数在数轴上的对应点分别为A、B、C，如果，那么B点在A、C的什

人教版初一数学下册同步精编讲义

第1讲相交线知识点1 直线交点个数 1. 两条直线交于一点，我们称这两条直线相交，相对的，我们称这两条直线为相交线．【典例】 1.观察下列平面图形：第一个图2条直线相交，最多有1个交点；第二个图3条直线相交最多有3个交点；第三个图4条直线相交；最多有6个交点，…，像这样，则30条直线相交，最多交点的个数是_____________. 【方法总结】根据2条，3条，4条直线相交时最多的交点个数发现规律，根据规律，写出n条相交线交点最多的个数的表达式：1+2+3+4+5+…+（n﹣1），因为1+2+3+4+5+…+（n﹣1）=，所以n条相交线交点最多的个数为，令n=30即可求出答案.

【随堂练习】 1．在平面内，若两条直线的最多交点数记为a1，三条直线的最多交点数记为a2，四条直线的最多交点数记为a3，…，依此类推，则． 2．平面上有10条直线，其中4条直线交于一点，另有4条直线互相平行，这10条直线最多有几个交点？它们最多能把平面分成多少个部分？知识点2 邻补角与对顶角邻补角 1. 邻补角：两个角有一条公共边，他们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角. 2. 邻补角的模型： ∠1和∠3是邻补角，∠1和∠4是邻补角，∠2和∠3是邻补角，∠2和∠4是邻补角，特点：①成对出现；②两个角有公共的顶点；③两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线. 3. 邻补角的性质：两个角的和为180°.

对顶角 1. 对顶角的模型： ∠1和∠2是对顶角，∠3和∠4是对顶角. 特点：①成对出现；②两个角有公共的顶点；③每个角的两边互为另一个角的反向延长线. 2. 对顶角的性质：对顶角相等. 【典例】 1.如图，直线AB、CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分．（1）直接写出图中∠AOC的对顶角：__________，∠EOB的邻补角：______________; （2）若∠AOC=70°且∠BOE：∠EOD=2：3，求∠AOE的度数．【方法总结】（1）根据对顶角和邻补角的定义直接写出即可；（2）根据对顶角相等求出∠BOD的度数，再根据∠BOE：∠EOD=2：3求出∠BOE的度数，然后利用互为邻补角的两个角的和等于180°即可求出∠AOE的度数．本题主要考查了对顶角和邻补角的定义，牢记“对顶角相等”和“互为邻补角的两个角的和等于180°”是解题的关键．

初一数学资料培优汇总(精华)

第一讲数系扩张--有理数(一）一、【典型例题解析】: 1、若|||||| 0,a b ab ab a b ab +- 则的值等于多少? 2．如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ) A ．相反数 B.倒数Ｃ.绝对值 D.平方３、已知两数a 、b 互为相反数,c 、d 互为倒数,x 的绝对值是2,求 220062007()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。 4、如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置,如下图所示,那么||||a b a b -++化简的结果等于（ A.2a B.2a - C.0 D.2b 5、已知2(3)|2|0a b -+-=,求b a 的值是( ) A.2 B.3 C.9 D ．6 ６、有３个有理数a,b,c,两两不等,那么 ,, a b b c c a b c c a a b ------中有几个负数？７、设三个互不相等的有理数,既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示为０，b a , b 的形式,求20062007a b +。 8、三个有理数,,a b c 的积为负数,和为正数,且 ||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac = +++++则321ax bx cx +++的值是多少？ 9、若,,a b c 为整数,且20072007||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。三、课堂备用练习题。 1、计算:１+２-3－4+５+6-７－８+…+2005＋２00６ 2、计算：1×2+2×3+３×4+…+n(n+1) 3、计算:59173365129 132******** +++++ - ４、已知,a b 为非负整数，且满足||1a b ab -+=,求,a b 的所有可能值。5、若三个有理数,,a b c 满足 ||||||1a b c a b c ++=,求||abc abc

七年级下册数学资料整理

七年级下册第六章：一元一次方程 1.等式的基本性质：（1）等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。如果a=b，那么a+c=b+c，a-c=b-c （2）等式两边都乘以或除以同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式。如果a=b，那么ac=bc，a/c=b/c (c不等于0) 2.由等式的基本性质得到方程的变形规则：（1）方程两边都加上或减去同一个数或同一个整式，方程的解不变。（2）方程两边都乘以或除以同一个不等于0的数，方程的解不变。移向：将方程的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，像这样的变形叫做移向。 3.一元一次方程的定义：都只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，像这样的方程叫做一元一次方程。 4.一元一次方程解决问题的过程：（1）弄清题意和其中的数量关系，用字母表示适当的未知数（设元）；（2）找出问题所给出的等量关系，它反映了未知量与已知量之间的关系；（3）对这个等量关系中涉及的量，列出所需的代数式，根据等量关系，列出方程。在设未知数和做出解答时，应注意量的单位。问题——方程——解答第七章：一次方程组 1.二元一次方程：两个方程都含有两个未知数，并且含有未知数项的次数都是1. 2.二元一次方程组：把这两个方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。 3.二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程组中两个方程的左右两边的值都相等的两个未知数的值。 4.三元一次方程组的解法：先消去一个或两个未知数，转化为一元或两元方程组，再进行求解。第八章：一元一次不等式

1.不等式的定义：用不等号“<”或“>”表示不等式关系的式子，叫做不等式。 2.不等式的解：不等式中含有未知数x，能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 3.不等式的解集定义：一个不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集。 4.不等式的性质（1）如果a>b,那么a-c>b-c 不等式的两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。（2）如果a>b,并且c>0,那么ac>bc，a/c>b/c （3）如果a>b,并且c<0,那么ac

人教版七年级数学上册辅导讲义

最新人教版七年级数学上册培优辅导讲义第1讲与有理数有关的概念考点·方法·破译 1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想. 3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数. 经典·考题·赏析【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量应该包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等” 解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克. 【变式题组】 01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（） A ．－18% B ．－8% C ．＋2% D ．＋8% 02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( ) A ．－5吨 B ．＋5吨 C ．－3吨 D ．＋3吨 03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间15：00，纽约时问是____ 【例２】在－22 7 ，π，0，0.033. 3这四个数中有理数的个数（ ) A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0???? ??? ???????? 正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；（2）按整数、分数分类，有理数????????????????? 正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－ 22 7是分数，0.033. 3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ．