概率论第二章练习题

第 二 章

一、基本题目

1. 做一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p ，求：

(1) n 次试验中成功次数X 的分布律；

(2)在n 次成功之前已经失败次数Y 的分布律；

(3)不断试验至首次成功时试验次数Z 的分布律。

2. 一批产品共有25件，其中5件次品，从中随机地一个一个取出检查，共取4次，设X 为其中的次品数，若

（1） 每次取出的产品仍放回；

（2） 每次取出的产品不再放回。

写出两种情况下X 的分布律。

3. 某公司有400台计算机, 在一天中任一台报修的概率是. 请给出一天中报修台数X 的分布律(需陈述建立过程和依据), 并计算报修不超过3台计算机的概率.

4.设每天到达炼油厂的油船数服从λ=2的泊松分布. 现港口有三台设备, 一天内一台设备只能为一条油船服务, 若一天中有多于三艘油船到达,多余的油船必需调往其他港口. 求:

(1) 某天必需调离油船的概率.

(2) 为在90%的日子里能容许安排所有的油船,现有设备应增设至几台

(3) 每天最可能到达的油船数是几艘并给出其概率.

解 已知到达炼油厂的油船数X ~P (2)

5. 从一批子弹中任意抽出10发试射，若至多只有一发子弹落在靶心2厘米以外，则接受该批子弹。设弹着点与靶心的距离X （厘米）的概率密度为

??

???<<=-其他,030,)(2

x Axe x f x 试求：(1)系数A ；（2）该批子弹被接受的概率.

6. 在长为L 的线段上随机选取一点，将其分为两段，求短的一段与长的一段之比小于1/4的概率

7.两台新的电子仪器寿命分别为21,X X ,)36,42(~1N X ,)9,45(~2N X , 若需连续使用仪器46小时，问选用哪一台仪器较好

8. 设测量误差)10,0(~2N X ，求在100次独立重复测量中至少有3次测量误差的绝对值大于的概率，并用泊松分布求其近似值.

9. 设某电子元件寿命X （小时）服从参数为λ的指数分布.若要求该元件寿命在1200小时以上的概率达到

(1)求λ的最大取值（λ称为该元件的失效率）；

(2) 若一个该种元件已使用300小时，求它能用到900小时以上的概率。

10. 设随机变量X 的概率密度为?

??<≤-=其他,010),1(6)(x x x x f (1)求X 的分布函数；(2) 确定满足}{}{b X P b X P >=≤的数b.

11. 设某动物生的蛋数目)(~λP X .若每个蛋能发育成小动物的概率是p ，且各个蛋能否发育成小动物是相互独立的。证明：该动物恰有k 个后代的概率分布是参数为p λ的泊松分布.

12. 设)(),(21x F x F 为两个分布函数，（1）)()(21x F x F +是否分布函数

（2）)()(21x F x F 是否分布函数 给出证明.

13. 假设一大型设备在任何长为t 的时间内发生故障的次数N (t ) 服从参数为λt 的泊松分布.

(1) 求相继两次故障之间的时间间隔T 的概率分布；

(2) 求在设备已无故障工作8小时的情况下，再无故障运行8小时的概率。

二、思考问题：

1. 为什么说随机变量的分布函数是概率 将概率的性质及有关结论与分布函数的性质及结论进行类比.

2. 在有限重或无限重贝努利实验中，可以考虑哪些随机变量这些随机变量各服从什么样的分布

3. 二项分布和泊松分布有什么关系, 你认为现实中哪类随机变量可以用泊松分布描述, 请举出实例.

4. 随机变量的函数是否一定是随机变量 随机变量是否只有离散型和连续型两种试分析以下函数是否是分布函数，是否是连续型随机变量的分布函数

??

???≤<≤<=.2,1;21,

ln ;1,0)(x x x x x F 5. 连续型随机变量X 的函数必定是连续型随机变量吗其概率密度是否惟一试举例说明.