求解物理极值问题数学方法小结

高考物理中求解极值问题数学方法几例

摘 要：高考物理中经常需要通过对物理极值问题的探索和求解总结出物理学的基本

规律。本文通过几个物理题目作为例子，介绍求解高考物理中极值问题的数学方法。

关键词：高考物理 极值问题 数学方法

正 文：

一．引言

物理极值问题，就是求某物理量在某过程中的极大值或极小值。物理极值问题是物理学中的一个重要内容，涉及的知识面广，综合性强。在科学领域中，数学因为其众所周知的准确而成为研究者们最广泛用于交流的语言。如果在解决这些问题时能与数学知识灵活地整合，运用适合的方法，将会拓展解决物理问题的思路，提高运用数学知识解决物理问题的能力。

二．数学知识求解物理极值问题的几个例子 （一）利用求导的方法求极值

通过高等数学知识可知，如果当Δx →0时，有极限，我们把这个极限叫做f(x)在该点(x=x 0)的导数。它正是曲线在该点处切线的斜率tan α。如果f '(x 0) =0, 则在x 0处函数有极值。

例1：如图1所示，相距2L 的A 、B 两点固定着两个正点电荷，带电量均为Q 。在它们的中垂线上的C 点，由静止释放一电量为q ，质量为m 的正检验电荷（不计重力） 。试求检验电荷运动到何处加速度最大，最大加速度为多少？

解：由于对称性，在AB 的中点受力为零，在AB 中垂线上的其它点所受合力均是沿中垂线方向的。当q 运动到中垂线上的D 点时，由图可

知

θθθsin )

cos /(2sin 22

1L kQq

F F ==合 故其加速度为：

)sin (sin 2cos sin 23

2

2

2θθθ

θ-=

=

=

m L

kQq m L kQq m

F a 合 发现加速度是一个关于θ的函数，令θθθ3sin sin )(-=f

θθθθθcos sin 3cos )('(2-=f ）f 的导数为则 0cos sin 3cos ,0)('2=-=θθθθ即令f 3

3sin =

θ：解得，（不合题意有极值,900=θ） 即392

3333)(33arcsin 2

=???? ??-=有极大值为时θθ，f 所以当33arcsin

=θ时，加速度有最大值为：3942mL

KQq

（二）用图像法求极值

通过分析物理过程遵循的物理规律，找到变量之间的函数关系，做出其图像，由图像可求得极值。

例2：从车站开出的汽车作匀加速运动，它开出一段时间后，突然发现有乘客未上车，于是立即制动做匀减速运动，结果汽车从开动到停下来共用20秒，前进了50米。求这过程中汽车达到的最大速度。

解：设最大速度为v m ,即加速阶段的末速度为v m ：画出其速度时间图象，如图2所示，图线与t 轴围成的面积等于位移。即：

m V t S ??=

2

1

即：s m ：V V m

m /5202

1

50=?=解得

(三) 利用三角函数求极值

例3：物体放置在水平地面上，物理与地面之间的动摩擦因数为μ，物体重为G ，欲使物体沿水平地面做匀速直线运动，所用的最小拉力F 为多大？ 该题的已知量只有μ和G ，说明最小拉力的表达式中最多只含 有μ和G ，但是，物体沿水平地面做匀速直线运动时，拉力F 可由夹角的不同值而有不同的取值。因此，可根据题意先找到 与夹角有关的关系式再作分析。

t

解：设拉力F 与水平方向的夹角为θ，根据题意可列平衡方程式， 即 0cos =-f F θ ①

G F N =+θsin ② N f μ= ③ 由联立①②③式解得：

)sin cos cos (sin 1cos sin 2φθφθμμθθμμ++=+=

G G F )

sin(12φθμμ++=

G

, 其中μ

φ1

tan =

, 所以 G F 2

min 1μ

μ

+=

(四) 利用矢量求极值

矢量是物理学中常用的数学工具，有时使用

矢量可以求出某些极值问题。对于例3，我们也可以用矢量知识求极值。

将摩擦力f 和地面对木块的弹力N 合成一个力F'，如图4，F ’与竖直方向的夹角为

μφ==

N

f

tan （为一定值）。这样木块可认为受到三个力:重力G ,桌面对木块的作用力F'和拉力F 的作用。尽管F 大小方向均未确定，F ’方向一定，但大小未定，但三力首尾相连后必构成三角形，如图5所示。只用当F 与F ’垂直时，即拉力与水平方向成φ角时，拉力F 最小为φsin G F = 而2

2

1tan 1tan sin μ

μ

φ

φφ+=

+=

故2

1sin μ

μφ+=

=G

G F

(五) 利用不等式求极值

例5：一轻绳一端固定在O 点，另一端拴一小球，拉起小球使轻 绳水平，然后无初速度的释放，如图6所示，小球在运动至轻绳 达到竖直位置的过程中，小球所受重力的瞬时功率在何处取得最 大值？

解：当小球运动到绳与竖直方向成θ角的C 时，重力的功率为：

F

f

G

图4

B

图6

P=mg υcosα=mgυsinθ ①

小球从水平位置到图中C 位置时，机械能守恒有：

2

2

1cos mv mgL =

θ ② 解①②可得：θθ2sin cos 2gL mg P = 令y=cosθsin θ

)sin sin cos 2(2

1

)sin cos 2(2

1

sin cos 222422θθθθθθθ??=

=

=y

2)cos (sin 2sin sin cos 222222=+=++θθθθθ 又 根据基本不等式abc c b a 3≥++，可知：

当且仅当θθ2

2sin cos 2=，y 有最大值

3

3cos cos 1cos 222=

-=θθθ：得由 结论：当3

3

cos =

θ时，y 及功率P 有最大值。 三．小结

以上求极值的方法是求解高考物理极值的常用方法。当然，除了以上方法还可以用配方法、函数法等方法求极值问题。在使用中，必须考虑实际问题，找出符合物理规律的物理方程或物理图象，利用恰当的数学模型，使用合适而有效的方法，提高计算的效率。

（吴振兴）

高考物理数学物理法解题技巧讲解及练习题

高考物理数学物理法解题技巧讲解及练习题 一、数学物理法 1．如右图所示，一位重600N 的演员，悬挂在绳上．若AO 绳与水平方向的夹角为 37?，BO 绳水平，则AO 、BO 两绳受到的力各为多大？若B 点位置往上移动，则BO 绳的 拉力如何变化？(孩子：你可能需要用到的三角函数有： 3375 sin ?=，4cos375?=，3374tan ?=，4 373cot ?=) 【答案】AO 绳的拉力为1000N ，BO 绳的拉力为800N ，OB 绳的拉力先减小后增大. 【解析】 试题分析：把人的拉力F 沿AO 方向和BO 方向分解成两个分力，AO 绳上受到的拉力等于沿着AO 绳方向的分力，BO 绳上受到的拉力等于沿着BO 绳方向的分力．根据平衡条件进行分析即可求解． 把人的拉力F 沿AO 方向和BO 方向分解成两个分力．如图甲所示 由平衡条件得：AO 绳上受到的拉力为21000sin 37 OA G F F N == = BO 绳上受到的拉力为1cot 37800OB F F G N === 若B 点上移，人的拉力大小和方向一定不变，利用力的分解方法作出力的平行四边形，如图乙所示： 由上图可判断出AO 绳上的拉力一直在减小、BO 绳上的拉力先减小后增大．

2．［选修模块3-5］如图所示，玻璃砖的折射率2 3 n = ，一细光束从玻璃砖左端以入射角i 射入，光线进入玻璃砖后在上表面恰好发生全反射．求光速在玻璃砖中传播的速度v 及入射角i ．(已知光在真空中传播速度c =3.0×108 m/s ，计算结果可用三角函数表示)． 【答案】83310/v m s =?；3 sin i = 【解析】 【分析】 【详解】 根据c n v = ，83310/v m s =? 全反射条件1 sin C n =，解得C=600，r =300， 根据sin sin i n r = ，3 sin 3 i = 3．质量为M 的木楔倾角为θ (θ < 45°)，在水平面上保持静止，当将一质量为m 的木块放在木楔斜面上时，它正好匀速下滑．当用与木楔斜面成α角的力F 拉木块，木块匀速上升，如图所示(已知木楔在整个过程中始终静止)． (1)当α＝θ时，拉力F 有最小值，求此最小值； (2)求在(1)的情况下木楔对水平面的摩擦力是多少？ 【答案】（1）min sin 2F mg θ= （2）1 sin 42 mg θ 【解析】 【分析】 （1）对物块进行受力分析，根据共点力的平衡，利用正交分解，在沿斜面和垂直斜面两方向列方程，进行求解． （2）采用整体法，对整体受力分析，根据共点力的平衡，利用正交分解，分解为水平和竖直两方向列方程，进行求解． 【详解】 木块在木楔斜面上匀速向下运动时，有mgsin mgcos θμθ＝，即tan μθ＝ (1)木块在力F 的作用下沿斜面向上匀速运动，则：

数学物理方法作业

数学物理方法简答题 1.复数有哪几种表达方式？在复数的开方运算和对数函数的计算中，应特别 注意复数的什么性质？（复习掌握复数运算和几种基本函数的定义和计算） 书上列出了三种：代数式，三角式，指数式。其实还可以用级数式表示复数。 注意角度是除以/乘以一个数。 2.复变函数可导的充分必要条件是什么？可导与解析这两个概念有什么联 系和区别？（复习掌握柯西-黎曼条件以及求解解析函数的实部或虚部的方法） 复变函数可导的充分必要条件：函数的偏导数存在且连续，并满足柯西-黎曼方程。 联系与区别：对于一个点，函数解析必定可导，反之不一定；对于一个区域，解析和可导等价。 3.解析函数的两条性质是什么？ 一：函数的实部和虚部分别等于一个常数，这个两个曲线族在其区域B上是相互正交的。 二：函数的实部和虚部均为其区域B上的调和函数。 4.已知某函数在某一回路上的积分为零，可否据此对此函数的解析性质作出 判断？为什么？（复习掌握柯西定理、柯西公式） 可以，根据柯西定理，在闭单连通区域上的解析函数回路积分为零，可以据此对函数解析性质做出判断。 5.什么情况下某一积分回路的内部一定是复连通的区域？ 在回路内有奇点，则该回路积分会等于对其内部奇点所有回路积分之和。 6.收敛的幂级数和双边幂级数的收敛区域分别是什么类型的区域？在收敛 区域的境界线和外部是否一定发散？（复习掌握计算泰勒展开和洛朗展开的基本方法，特别是有理分式的展开） 一个是圆一个是环。在幂级数的境界线上要具体分析，其余都发散。 7.奇点可分为哪几类？孤立奇点可分为哪几类？简要说明它们之间的区别。

奇点分为孤立奇点和非孤立奇点，。函数在点z不可导，若在z的任意小领域除点z外处处可导，则为孤立奇点，若在任意小领域内可以找到除z以外不可导的点，则z为非孤立奇点。 孤立奇点根据挖去该点而形成环域上的解析函数的洛朗展开级数中负幂项情况，可以分为可取奇点（没有负幂项）、极点（有限个负幂项）、本性奇点（无限个负幂项）。 8.如何判断极点的阶数？ 函数在该极点上的洛朗展开，最低次幂项的次数的绝对值是极点的阶数。 9.试用文字说明什么是留数？（复习掌握留数计算相关公式） 被积函数在回路上的积分，将被积函数展开后逐项积分，除去留下来的项其他都为零，则这个不为零的项除以一常数后称之为留数/残数。 10.留数定理将回路积分归结成什么？对于回路积分的计算有什么意义？（复 习掌握留数定理计算回路积分和实函数积分的相关公式） 将回路积分归结成根据极点求留数，简化了对回路积分的计算。

高考物理高考物理数学物理法解题技巧讲解及练习题

高考物理高考物理数学物理法解题技巧讲解及练习题 一、数学物理法 1．如图所示，一束平行紫光垂直射向半径为1m R =的横截面为扇形的玻璃砖薄片（其右侧涂有吸光物质），经折射后在屏幕S 上形成一亮区，已知屏幕S 至球心距离为 (21)m D =+，玻璃半球对紫光的折射率为2n =，不考虑光的干涉和衍射。求： (1)若某束光线在玻璃砖圆弧面入射角30θ=o ，其折射角α； (2)亮区右边界到P 点的距离d 。 【答案】(1)π 4 α=；(2)1m 【解析】 【分析】 【详解】 (1)据折射定律得 sin sin n α θ= 得 π4 α= (2)如图，紫光刚要发生全反射时的临界光线射在屏幕S 上的点E 到G 的距离d 就是所求宽度。 设紫光临界角为C ∠，由全反射的知识得 1sin C n ∠= 得

4 OAF △中 π 4 AOF AFO ∠=∠= π cos 4 R OF= GF D OF =- 得 1m GF= FGE △中 π 4 GFE GEF ∠=∠= d GE GF == 得 1m d= 2．如图所示，在x≤0的区域内存在方向竖直向上、电场强度大小为E的匀强电场，在x>0的区域内存在方向垂直纸面向外的匀强磁场。现一带正电的粒子从x轴上坐标为（-2l，0）的A点以速度v0沿x轴正方向进入电场，从y轴上坐标为（0，l）的B点进入磁场，带电粒子在x>0的区域内运动一段圆弧后，从y轴上的C点（未画出）离开磁场。已知磁场的磁感应强度大小为，不计带电粒子的重力。求： (1)带电粒子的比荷； (2)C点的坐标。 【答案】(1) 2 2 v q m lE =；(2)（0，-3t） 【解析】 【详解】 (1)带电粒子在电场中做类平抛运动，x轴方向 2l v t = y轴方向

数理方程关于振动方程的分析matlab

数理方程基于MATLAB 的问题分析报告 一、问题的提出、背景、意义 振动是指物体经过它的平衡位置所作的往复运动或某一物理量在其平衡值附近的来回变动。而波动则是一种能量传播的方式。虽然形式不同，但是两者的联系十分紧密，振动是波动的根源，波动是振动的传播形式。因此在分析问题乃至实际操作中，往往是把两者放在一起分析的，首先讨论振动的各方面特性，这样就相当于已知了波动一点上的相应特性，再对波动进行分析时，就只用讨论距

离的影响了。一般来说，振动只受时间影响，加上距离的参数，最终波动就只受两个变量影响，而且也知道了它们是无关的，就可以使用分离变量法进行求解。弦振动是波动的一类特殊形式，它在音乐物理学、材料学、地理学、物质分析学等许多领域都得到了应用，而弦振动所属声学又是力学的一个非常独立的分支，因此它在各领域的作用几乎是不可取代的。由于近年来的各方面硬件设施和软件的发展，曾经停止发展很长一段时间的对弦振动的分析又开始体现出它独特的优势。 在产生音乐的过程中，琴弦的振动是很常见的一种方式，本文就将对琴弦振动进行一定的研究，通过对弦振动方程的理解，给出不同初始条件，并分析出琴弦不同地方产生波的特性，再用MATLAB做好程序，画出相应的图像，经比较后得到琴弦的拨发与产生声音的联系。 二、问题分析思路 2.1建立偏微分方程 分析一根琴弦的振动问题，通过针对具体要分析的问题，可以列出弦振动方程以 及初始条件 2,0,0 (0,)0,(,)0 (,0)(),(,0)() tt xx t u a u x L t u t u L t u x x u x x ? ?=<<> ? == ? ?==ψ ? （L为弦的长度，因为是两端固定的弦， 初始条件一定有(0,)0,(,)0 u t u L t ==），用分离变量法很容易求得它相应的解，即弦振动的函数。 2.2对琴弦参数的求解 已知常量T=128N，普通钢琴弦密度3 7.9/ g cm ρ=， 根据琴弦传播速度公式 v=v。

2017年高三物理总复习(专题攻略)之数学方法在物理学中的应用及高考题型答题技巧 数学方法在物理

数学方法在物理学中的应用（一） 物理学中的数学方法是物理思维和数学思维高度融合的产物,借助数学方法可使一些复杂的物理问题显示出明显的规律性,能达到打通关卡、快速简捷地解决问题的目的。高考物理试题的解答离不开数学知识和方法的应用,借助物理知识渗透考查数学能力是高考命题的永恒主题。可以说任何物理试题的求解过程实质上都是一个将物理问题转化为数学问题,然后经过求解再次还原为物理结论的过程。复习中应加强基本的运算能力的培养,同时要注意三角函数的运用,对于图象的运用要重视从图象中获取信息能力的培养与训练。在解决带电粒子运动的问题时,要注意几何知识、参数方程等数学方法的应用。在解决力学问题时,要注意极值法、微元法、数列法、分类讨论法等数学方法的应用。 一、极值法 数学中求极值的方法很多，物理极值问题中常用的极值法有：三角函数极值法、二次函数极值法、一元二次方程的判别式法等。 1．利用三角函数求极值 y ＝acos θ＋bsin θ ＝ ( + ) 令sin φ＝，cos φ＝ 则有：y ＝ (sin φcos θ＋cos φsin θ)＝ sin (φ＋θ) 所以当φ＋θ＝π2 时，y 有最大值，且y max ＝。 【典例1】在倾角θ=30°的斜面上,放置一个重量为200 N 的物体,物体与斜面间的动摩擦因数为μ=3 3,要使物体沿斜面匀速向上移动,所加的力至少要多大?方向如何?

解得:F =α μαθμθsin cos cos (sin ++mg 因为θ已知,故分子为定值,分母是变量为α的三角函数 y=cos + = ( cos + sin ) = (sin cos + cos sin ) = sin(+ ) 其中 sin = ，cos =，即 tan = 。 当+ = 90 时，即 = 90 - 时，y 取最大值 。 F 最小值为 ,由于 = ，即 tan = ，所以 = 60。 带入数据得 F min = 100 N,此时 = 30 。 【答案】 100 N 与斜面夹角为30 【名师点睛】 根据对物体的受力情况分析,然后根据物理规律写出相关物理量的方程,解出所求量的表达式,进而结合三角函数的公式求极值,这是利用三角函数求极值的常用方法,这也是数学中方程思想和函数思想在物理解题中的重要应用。 2．利用二次函数求极值 二次函数：y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x 2 ＋b a x ＋b 24a 2)＋c －b 24a ＝a (x ＋b 2a )2＋4ac －b 24a (其中a 、b 、c 为实常数)，

数学物理方法第二次作业答案

第七章 数学物理定解问题 1．研究均匀杆的纵振动。已知0=x 端是自由的，则该端的边界条件为 __ 。 2．研究细杆的热传导，若细杆的0=x 端保持绝热，则该端的边界条件为 。 3．弹性杆原长为l ，一端固定，另一端被拉离平衡位置b 而静止，放手任其振动，将其平衡位置选在x 轴上，则其边界条件为 00,0x x l u u ==== 。 4．一根长为l 的均匀弦，两端0x =和x l =固定，弦中张力为0T 。在x h =点，以横向力0F 拉弦，达到稳定后放手任其振动，该定解问题的边界条件为___ f (0)=0,f (l )=0; _____。 5、下列方程是波动方程的是 D 。 A 2tt xx u a u f =+； B 2 t xx u a u f =+； C 2t xx u a u =； D 2tt x u a u =。 6、泛定方程20tt xx u a u -=要构成定解问题，则应有的初始条件个数为 B 。 A 1个； B 2个； C 3个； D 4个。 7．“一根长为l 两端固定的弦，用手把它的中点朝横向拨开距离h ，（如图〈1〉所示）然后放 手任其振动。”该物理问题的初始条件为( D )。 A ．?????∈-∈==] ,2[),(2]2,0[,2l l x x l l h l x x l h u o t B ．???? ?====00 t t t u h u C ．h u t ==0 D ．???????=???? ?∈-∈===0 ],2[),(2]2,0[,200t t t u l l x x l l h l x x l h u 8．“线密度为ρ，长为l 的均匀弦，两端固定，开始时静止，后由于在点)0(00l x x <<受谐变力t F ωsin 0的作用而振动。”则该定解问题为( B )。 A ．?????===<<-=-===0 ,0,0)0(,)(sin 0000 2 t l x x xx tt u u u l x x x t F u a u ρ δω u x h 2 /l 0 u 图

物理解题常用的方法和技巧

物理解题常用的方法和技巧 1、正交分解法 在两个互相垂直的方向上，研究物体所受外力的大小及其对运动的影响，既好操作，又便于计算。 2、画图辅助分析问题的方法 分析物体的运动时，养成画v-t图和空间几何关系图的.习惯，有助于对问题进行全面而深刻的分析。 3、平均速度法 处理物体运动的问题时，借助平均速度公式，可以降二次方程为一次方程，以简化运算，极大提高运算速度和准确率。 4、巧用牛顿第二定律 牛顿第二定律是高中阶段最重要、最基本的规律，是高考中永恒不变的热点，至少应做到在以下三种情况中的熟练应用：重力场中竖直平面内光滑轨道内侧最高点临界条件，地球卫星匀速圆周运动的条件，带电粒子在匀强磁场中匀速圆周运动的条件。 5、回避电荷正负的方法 在电场中，电荷的正负很容易导致考生判断失误，在下列情景中可设法回避：比较两点电势高低时，无论场源电荷的正负，只需记住“沿电场线方向电势降低”;比较两点电势能多少时，无论检验电荷的正负，只需记住“电场力做正功电势能减少”。 6、“大内小外”

在电学实验中，选择电流表的内外接，待测电阻比电流表内阻大很多时，电流表内接;待测电阻比电压表内阻小很多时，电流表外接。 7、针对选择题常用的方法 ①特殊值验证法：对有一定取值范围的问题，选取几个特殊值进行讨论，由此推断可能的情况以做出选择。 ②选项代入或选项比较的方法：充分利用给定的选项，做出选择。 ③半定量的方法：做选择题尽量不进行大量的推导和运算，但是写出有关公式再进行分析，是避免因主观臆断而出现错误的不二法门，因此做选择题写出物理公式也是必不可少的。 二.物理基本性质 物理学是人们对自然界中物质的运动和转变的知识做出规律性的总结，这种运动和转变应有两种。一是早期人们通过感官视觉的延伸;二是近代人们通过发明创造供观察测量用的科学仪器，实验得出的结果，间接认识物质内部组成建立在的基础上。物理学从研究角度及观点不同，可大致分为微观与宏观两部分：宏观物理学不分析微粒群中的单个作用效果而直接考虑整体效果，是最早期就已经出现的;微观物理学的诞生，起源于宏观物理学无法很好地解释黑体辐射、光电效应、原子光谱等新的实验现象。它是宏观物理学的一个修正，并随着实验技术与理论物理的发展而逐渐完善。

数学物理方程的感想

数学物理方程的感想 通过对数学物理方程一学期的学习，我深深的感受到数学的伟大与博大精深。 当应用数学发展到一定高度时，就会变得越来越难懂，越来越抽象，没有多少实际的例子来说明；物理正好也要利用数学来进行解释和公式推导，所以就出现了数学物理方法。刚开始到结束这门课程都成了我的一大问题。很难理解它的真正意义（含义），做题不致从何入手，学起来越来越费劲。让我很是绞尽脑汁。 后来由于老师耐心的指导与帮助下我开始有了点理解。用数学物理方法来解释一些物理现象，列出微分方程，当然这些微分方程是以物理的理论列出来的，如果不借助于物理方法，数学也没有什么好办法来用于教学和实践，而物理的理论也借助于数学方法来列出方程，解出未知的参数。这就是数学物理方法的根本实质所在。真正要学好数学物理方程不仅要数学好物理也不能够太差。 接下来我想先对数学物理方程做一个简单的介绍与解释说明。 数学物理方程——描述许多自然现象的数学形式都可以是偏微分方程式 特别是很多重要的物理力学及工程过程的基本规律的数学描述都是偏微分方程，例如流体力学、电磁学的基本定律都是如此。这些反映物理及工程过程的规律的偏微分方程 人们对偏微分方程的研究，从微分学产生后不久就开始了。例如，18世纪初期及对弦线的横向振动研究，其后，对热传导理论的研究，以及和对流体力学、对位函数的研究，都获得相应的数学物理方程信其有效的解法。到19世纪中叶，进一步从个别方程的深入研究逐渐形成了偏微分的一般理论，如方程的分类、特征理论等，这便是经典的偏微分方程理论的范畴。 然而到了20世纪随着科学技术的不断发展，在科学实践中提出了数学物理方程的新问题，电子计算机的出现为数学物理方程的研究成果提供了强有力的实现手段。又因为数学的其他分支（如泛函分析、拓扑学、群论、微分几何等等）也有了迅速发展，为深入研究偏微分方程提供了有力的工具。因而，20世纪关于数学物理方程的研究有了前所未有的发展，这些发展呈如下特点和趋势： 一、在许多自然科学及工程技术中提出的问题的数学描述大多是非线性偏微分方程，即使一些线性偏微分方程作近似处理的问题，由于研究的深入，也必须重新考虑非线性效应。对非线性偏

物理中常用的数学特殊方法

专题2 物理中常用的数学特殊方法 考点1. 利用数学方法求极值 1.利用三角函数求极值 (1)二倍角公式法:如果所求物理量的表达式可以化成y=A sin θcos θ,则根据二倍角公式,有y=A 2 sin 2θ,当θ=45°时,y 有最大值,y max =A 2 。 (2)辅助角公式法:如果所求物理量的表达式为y=a sin θ+b cos θ,通过辅助角公式转化为y=√a 2+b 2sin (θ+φ),当 θ+φ=90°时,y 有最大值y max =√a 2+b 2。 2.利用二次函数求极值 二次函数y=ax 2 +bx+c (a 、b 、c 为常数,且a ≠0),当 x=-b 2a 时,y 有极值 y m =4ac -b 2 4a (a>0时,y m 为极小值;a<0时,y m 为极大值)。 3.利用均值不等式求极值 对于两个大于零的变量a 、b ,若其和a+b 为一定值,则当a=b 时,其积ab 有极大值;若其积ab 为一定值,则当a=b 时,其和 a+b 有极小值。 1.(2019年衡水二调)(多选)如图甲所示,位于同一水平面上的两根平行导电导轨,放置在斜向左上方、与水平面成60°角足够大的匀强磁场中,现给出这一装置的侧视图,一根通有恒定电流的金属棒正在导轨上向右做匀速运动,在匀强磁场沿顺时针缓慢转过30°的过程中,金属棒始终保持匀速运动,则磁感应强度B 的大小变化可能是( )。 A .始终变大 B .始终变小 C .先变大后变小 D .先变小后变大 2.一个国际研究小组借助于智利的甚大望远镜,观测到了一组双星系统,它们绕两者连线上的某点O 做匀速圆周运动,如图所示。此双星系统中体积较小的成员能“吸食”另一颗体积较大的星体表面的物质,达到质量转移的目的,假设在演变的过程中两者球心之间的距离保持不变,则在最初演变的过程中( )。 A .它们做圆周运动的万有引力保持不变 B .它们做圆周运动的角速度不断变大 C .体积较大的星体做圆周运动的轨迹半径变大,线速度也变大 D .体积较大的星体做圆周运动的轨迹半径变大,线速度变小 3.(2019年湖北省宜昌市高三模拟)(多选)如图所示,斜面底端上方高h 处有一小球以水平初速度v 0抛出, 恰好垂直打在斜面上,斜面的倾角为30°,重力加速度为g ,下列说法正确的是( )。 A .小球打到斜面上的时间为 √3v 0 g B .要让小球始终垂直打到斜面上,应满足h 和v 0成正比 C .要让小球始终垂直打到斜面上,应满足h 和v 0的平方成正比 D .若高度h 一定,现小球以不同的初速度v 0平抛,落到斜面上的速度最小值为√(√21-3)gh 考点2.函数图象及应用 图象问题是高考命题的高频考点,年年皆有。不管怎么考,我们只要深刻理解图象中的基本要素便可应对,具体为图 象中的“点”“线”“斜率”“截距”“面积”等。 图象 函数形式 特例及物理意义 y=c 匀速直线运动的v-t 图象。“面积”表示位移 y=kx ①匀速直线运动的x-t 图象。斜率表示速度 ②初速度v 0=0的匀加速直线运动的v-t 图象。斜率表示加速度,“面积”表示位移

第七章 数学物理定解问题习题 数学物理方法梁昆淼

第七章 数学物理定解问题 1. 一根两端(左端为坐标原点而右端l x =）固定的弦，用手在离弦左端长为5/1处把弦朝横向拨开距离h ，然后放手任其振动。横向位移),(t x u 的初始条件为 ???≤<-≤≤==)5/()4/()(5)5/0(/5,0l x l l x l h l x l hx u u t 。 2.数学物理方程定解问题的适定性是指解的_存在性__，__唯一性__，__稳定性_。 3.一根两端(左端为坐标原点而右端l x =）固定的弦，用手在离弦左端长为3/l 处 把弦朝横向拨开距离h ，然后放手任其振动。横向位移),(t x u 的初始条件为 .0)0,(u ; )3/( ,2/)(3)0,( )3/0( ,/3)0,(t =≤≤-=≤≤=x l x l l x l h x u l x l hx x u 和 4. 一根两端(左端为坐标原点而右端l x =）固定的弦，用手在离弦左端长为5/9处 把弦朝横向拨开距离h ，然后放手任其振动。横向位移),(t x u 的初始条件为、 95,[0,]59(,)9()5,[,]49t hx l x l u x t h l x l x l l =?∈??=?-?∈??。 5. 一根两端(左端为坐标原点而右端l x =）固定的弦，用手在离弦左端长为3/2处把弦朝横向拨开距离h ，然后放手任其振动。横向位移),(t x u 的初始条件为 ???≤<-≤≤==)3/2(/)(3)3/20(2/3,0l x l l x l h l x l hx u u t 。 6.一根两端(左端为坐标原点而右端l x =）固定的弦，用手在离弦左端长为6/l 处 把弦朝横向拨开距离h ，然后放手任其振动。横向位移),(t x u 的初始条件为 。 7. 一根两端(左端为坐标原点而右端l x =）固定的弦，用手在离弦左端四分之一

高中物理数学物理法(一)解题方法和技巧及练习题及解析

高中物理数学物理法(一)解题方法和技巧及练习题及解析 一、数学物理法 1．如图所示，ABCD是柱体玻璃棱镜的横截面，其中AE⊥BD，DB⊥CB，∠DAE=30°， ∠BAE=45°，∠DCB=60°，一束单色细光束从AD面入射，在棱镜中的折射光线如图中ab所示，ab与AD面的夹角α=60°．已知玻璃的折射率n=1.5，求：（结果可用反三角函数表示） （1）这束入射光线的入射角多大？ （2）该束光线第一次从棱镜出射时的折射角． 【答案】（1）这束入射光线的入射角为48.6°； （2）该束光线第一次从棱镜出射时的折射角为48.6° 【解析】 试题分析：（1）设光在AD面的入射角、折射角分别为i、r，其中r=30°， 根据n=，得： sini=nsinr=1.5×sin30°=0.75 故i=arcsin0.75=48.6° （2）光路如图所示： ab光线在AB面的入射角为45°，设玻璃的临界角为C，则： sinC===0.67 sin45°＞0.67，因此光线ab在AB面会发生全反射 光线在CD面的入射角r′=r=30° 根据n=，光线在CD面的出射光线与法线的夹角： i′="i=arcsin" 0.75=48.6° 2．一玩具厂家设计了一款玩具，模型如下．游戏时玩家把压缩的弹簧释放后使得质量m＝0.2kg的小弹丸A获得动能，弹丸A再经过半径R0=0.1m的光滑半圆轨道后水平进入光滑水平平台，与静止的相同的小弹丸B发生碰撞，并在粘性物质作用下合为一体．然后从平台O点水平抛出，落于水平地面上设定的得分区域．已知压缩弹簧的弹性势能范围为

p 04E ≤≤J ，距离抛出点正下方O 点右方0.4m 处的M 点为得分最大值处，小弹丸均看作 质点． (1)要使得分最大，玩家释放弹簧时的弹性势能应为多少? (2)得分最大时，小弹丸A 经过圆弧最高点时对圆轨道的压力大小． (3)若半圆轨道半径R 可调(平台高度随之调节)弹簧的弹性势能范围为p 04E ≤≤J ，玩家要使得落地点离O 点最远，则半径应调为多少?最远距离多大? 【答案】(1)2J (2) 30N (3) 0.5m ，1m 【解析】 【分析】 【详解】 (1)根据机械能守恒定律得： 2 1p 012 2E v mg R m = +? A 、B 发生碰撞的过程，取向右为正方向，由动量守恒定律有： mv 1=2mv 2 200122gt R = x =v 2t 0 解得： E p =2J (2)小弹丸A 经过圆弧最高点时，由牛顿第二定律得： 2 1N v F mg m R += 解得： F N =30N 由牛顿第三定律知： F 压=F N =30N (3)根据 2 p 1122 E mv mg R = +? mv 1=2mv 2 2R =1 2gt 2， x =v 2t

数学物理方法学习心得

竭诚为您提供优质文档/双击可除数学物理方法学习心得 篇一：数学物理方程的感想 数学物理方程的感想 通过对数学物理方程一学期的学习，我深深的感受到数学的伟大与博大精深。 当应用数学发展到一定高度时，就会变得越来越难懂，越来越抽象，没有多少实际的例子来说明；物理正好也要利用数学来进行解释和公式推导，所以就出现了数学物理方法。刚开始到结束这门课程都成了我的一大问题。很难理解它的真正意义（含义），做题不致从何入手，学起来越来越费劲。让我很是绞尽脑汁。 后来由于老师耐心的指导与帮助下我开始有了点理解。用数学物理方法来解释一些物理现象，列出微分方程，当然这些微分方程是以物理的理论列出来的，如果不借助于物理方法，数学也没有什么好办法来用于教学和实践，而物理的理论也借助于数学方法来列出方程，解出未知的参数。这就是数学物理方法的根本实质所在。真正要学好数学物理方程

不仅要数学好物理也不能够太差。 接下来我想先对数学物理方程做一个简单的介绍与解 释说明。数学物理方程——描述许多自然现象的数学形式都可以是偏微分方程式 特别是很多重要的物理力学及工程过程的基本规律的 数学描述都是偏微分方程，例如流体力学、电磁学的基本定律都是如此。这些反映物理及工程过程的规律的偏微分方程人们对偏微分方程的研究，从微分学产生后不久就开始了。例如，18世纪初期及对弦线的横向振动研究，其后，对热传导理论的研究，以及和对流体力学、对位函数的研究，都获得相应的数学物理方程信其有效的解法。到19世纪中叶，进一步从个别方程的深入研究逐渐形成了偏微分的一般理论，如方程的分类、特征理论等，这便是经典的偏微分方程理论的范畴。 然而到了20世纪随着科学技术的不断发展，在科学实践中提出了数学物理方程的新问题，电子计算机的出现为数学物理方程的研究成果提供了强有力的实现手段。又因为数学的其他分支（如泛函分析、拓扑学、群论、微分几何等等）也有了迅速发 展，为深入研究偏微分方程提供了有力的工具。因而，20世纪关于数学物理方程的研究有了前所未有的发展，这些发展呈如下特点和趋势：

高年级初中中学物理中常用的数学方法

初中物理中常用的数学方法简介 江苏省南通市第三中学：江宁 数学计算是指人们根据利用已有的知识，对一定的现象、规律进行数学计算，发现各个量之间的数学关系，从深一层次去认识新的事物的方法。 数学计算是研究性学习中必备的手段，是初中物理研究性学习中进一步认识事物中最可靠的工具。通过数学计算，学生可以从定性认识事物发展到定量认识事物，使感性认识上升到理性认识，从而更准确地认识事物各个量之间的内在规律。 以下所列是初中物理中常用的一些数学方法： 1、代入法 “代入法”是指在研究物理问题中，已知因变量与自变量之间关系公式，将物理量直接代入公式进行计算的方法。学会利用公式直接进行计算是学生解决问题的基本能力之一，它可以促进学生掌握物理量之间的来龙去脉，熟悉物理量在日常生活中的应用。 例：质量为的水，温度从 60℃降至40℃，会放出______J 的热量。若将这部分热量全部被初温为10℃、质量为的酒精吸收，则酒精的温度将上升______℃。[酒精的比热容为×103 J ／（kg ·℃），水的比热容为 ×103 J ／（kg ·℃）] 解：物体升、降温时吸、放的热量计算公式为：Q=c ·m ·Δt 应用“代入法”进行解题时，可以根据公式用自变量求因变量，也可以根据公式用因变量求自变量，但要注意在计算过程中，物理单位必统一。 2、比例法 “比例法”是指用两个已知的物理量的比值来表示第三个物理量的方法。比值法可以充分体现出在两个物理量同时变化的条件下影响物理过程的真正因素。 例：现有两杯质量不同的液体酒精和水，若两者的质量之比为2∶3，求两种液体的体积比？（ρ酒 精 = ×103kg/m 3，ρ水= ×103kg/m 3） 解：6 58.0132=?=?==酒水水酒水 水酒酒 水酒ρρρρm m m m V V 另外，初中物理中的许多物理量是通过比值来介绍的，如：速度、密度、热值、电阻等等。是中学生在初中物理学习中学到的第一个数学方法。 3、近似法 “近似法”是指在数学计算过程中，当个别量的微小变化并不影响整体结果时，为了计算与分析的方便，将个别量进行一定程度的近似代换或取舍的方法。利用近似法可以降低复杂的数学计算，帮助学生用最根本的数据去认识事物的内在规律，从而抓住各种物理现象中最本质的特征。 例：一位同学从一楼跑到三楼用了10s 时间，他的功率大概是多少？ 解：根据生活经验，一位中学生的质量约为50kg ，一层楼的高度约为3m ，g 取10N/kg 。 事实上，只要在误差允许范围内，任何一种测量和计算都是对所求物理量的实际情况的一个近似。运用近似法可以帮助学生理解物理研究中绝对性与相对性的真正含义。 4、方程法 “方程法”是指在求解某个物理量时，根据因变量与自变量之间的因果对应关系，列出方程，通过求解方程从而求出物理量的方法。方程法可以减少学生的数学过程思维，解决问题简捷明了，方便于学生发现因变量与自变量的因果关系。 W s m kg N kg t Gh t W P 300106/1050=??===

数学物理方法作业

1、 下列式子在复数平面上各具有怎样的意义？（画图说明） （1） （2） 2、计算下列数值 （1） （2） （3） 3、解方程 1、设函数2222()()f z x axy by i cx dxy y =+++++问常数a ,b ,c ,d 取何值时, f (z )在复平面内处处解析? 2、如果f '(z )在区域D 处处为零, 证明f (z )在D 内为一常数. 3、(,)23()()0v x y xy x f z f i =+=判断是否可作为解析函数的虚部？为什么？若能， 求出一个解析函数，且满足 2、 1、求1()(12) z f z e i =-+的全部孤立奇点。 1Re 2z >arg ,Re (,,z a z b a b αβαβ<<<<和为实数） i i (13) Ln i -sin 2z =1、 求下列积分的值 （1）iz d , :i 1;i C e z C z z +=+? （2）2||2d (5)(i)z z z z z =--? （3）431 (1)(3)z z dz z z =-+-? （4）5 cos :1(1)C z dz C z r z π=>-? 2223713,(),'(1). C C x y f z d z f i ????+++==-+? 设表圆周求

2、32382(4) z z z +=--是的 阶极点。 3、确定下列函数的奇点，并求出函数在各奇点处的留数。 （1）2 (1)(2)z z z -- （2）1 1z e - 4、用留数定理计算下列积分。 （1）431 (1)(3)z z dz z z =-+-? （2）22()(3)z C e dz z i z i π-+? ，其中C 是|-1|3z =正向圆周. 1、求()=,0t f t e ββ->的傅立叶变换。 2、已知)(t f 的傅氏变换为[]00()()().F i ωπδωωδωω=+--，求)(t f 3、用拉普拉斯变换求解 4、质量为m 的物体挂在弹簧系数为k 的弹簧一端, 外力为f (t ), 物体自平衡位置x =0处开始运动, 求运动规律x (t )（用拉式变换求解） 1、用分离变量法求解混合问题 2、半径为a 的半圆形均匀薄板，板面绝缘，在半圆周的边界上保持恒定的温度0u ，在直径上保持零度，求板内的稳定温度分布。 1、设有两端固定的弦，其初始位移和初始速度为零，求在重力作用下该弦的振动。 22()()()(0)0(()) T t a T t g t T g t ω'?+=?=?已知()()()()20000,0,02,0sin ,0sin 0tt xx u a u x l t u t u l t t u x x u x x x l l l ππ??-= << , >? ??= , = 0≤????= , = ≤≤??

最新高考物理数学物理法解题技巧及练习题

最新高考物理数学物理法解题技巧及练习题 一、数学物理法 1．如图所示，圆心为O 1、半径4cm R =的圆形边界内有垂直纸面方向的匀强磁场B 1，边界上的P 点有一粒子源，能沿纸面同时向磁场内每个方向均匀发射比荷 62.510C/kg q m = ?、速率5110m/s v =?的带负电的粒子，忽略粒子间的相互作用及重力。其中沿竖直方向PO 1的粒子恰能从圆周上的C 点沿水平方向进入板间的匀强电场（忽略边缘效应）。两平行板长110cm L =（厚度不计），位于圆形边界最高和最低两点的切线方向上，C 点位于过两板左侧边缘的竖线上，上板接电源正极。距极板右侧25cm L =处有磁感应强度为21T B =、垂直纸面向里的匀强磁场，EF 、MN 是其左右的竖直边界（上下无边界），两边界间距8cm L =，O 1C 的延长线与两边界的交点分别为A 和O 2，下板板的延长线与边界交于D ，在AD 之间有一收集板，粒子打到板上即被吸收（不影响原有的电场和磁场）。求： (1)磁感应强度B 1的方向和大小； (2)为使从C 点进入的粒子出电场后经磁场偏转能打到收集板上，两板所加电压U 的范围； (3)当两板所加电压为(2)中最大值时，打在收集板上的粒子数与总粒子数的比值η。（可用反三解函数表示，如 π1arcsin 62 =） 【答案】(1)11B =T ，方向垂直纸面向里；(2)1280V 2400V U ≤≤； (3)17 arcsin arcsin 168π + 【解析】 【分析】 【详解】 (1)由题可知，粒子在圆形磁场区域内运动半径

r R = 则 2 1 v qvB m R = 得 11T B = 方向垂直纸面向里。 (2)如图所示 211()22L qU y mR v =? 且要出电场 04cm y ≤≤ 在磁场B 2中运动时 2 2v qvB m r =合 ，cos v v a =合 进入B 2后返回到边界EF 时，进出位置间距 2cos y r a ?= 得 2 2mv y qB ?= 代入得 8cm y ?= 说明与加速电场大小无关。要打到收集板上，设粒子从C 点到EF 边界上时所发生的侧移为y 0，需满足 04cm 8cm y ≤≤ 且

数学物理方法典型习题

典型习题 一、填空题： 1 的值为 ， ， 。 2 、1-+的指数表示为_________ ,三角表示为 。 3、幂级数2 k k=1(k!)k z k ∞ ∑的收敛半径为 。 4、ln(5)-的值为 。 5、均匀介质球，半径为0R ，在其中心置一个点电荷Q 。已知球的介电常数为 ε，球外为真空，则电势所满足的泛定方程为 、 。 6、在单位圆的上半圆周，积分1 1||__________z dz -=?。 7、长为a 的两端固定弦的自由振动的定解问问题 。 8、具有轴对称性的拉普拉斯方程的通解为 。 9、对函数f(x)实施傅里叶变换的定义为 ，f （k ）的傅里叶逆变换为 。 10、对函数f(x)实施拉普拉斯变换的定义为 。 二、简答题 1、已知()f z u iv =+是解析函数，其中22 v(x,y)=x y +xy -，求 (,)u x y 。 2、已知函数1w z = ，写出z 平面的直线Im 1z =在w 平面中的,u v 满足的方程。 3、将函数21()56f z z z =-+在环域2||3z <<及0|2|1z <-<内展开成洛朗级数． 4、长为L 的弹性杆，一端x=0固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长p 后静止（在弹性限度内），突然放手后任其振动。试写出杆的泛定方程及定解条件。 三、计算积分： 1. ||22(1)(21)z zdz I z z ==-+? 2．||2sin (3)z zdz I z z ==+? 3.22202(1)x I dx x ∞ =+? 4.||1(31)(2) z zdz I z z ==++? 5. ||23cos z zdz I z ==? 6. 240x dx 1x I ∞=+? 7、0sin x dx x ∞ ? 8、20cos 1x dx x ∞+? 四、使用行波法求解下列方程的初值问题

数理方程总结完整终极版

00 |()()t t u x u x t ?ψ===????=?? ?k z j y i x ?????+??+??= ?u u ?=grad 拉普拉斯算子：2222222 z y x ??+??+??=???=?2 2 22 2y u x u u ??+??=? 四种方法: 分离变量法、 行波法、 积分变换法、 格林函数法 定解问题： 初始条件.边界条件.其他 波动方程的初始条

波动方程的边界条件:

(3) 弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为k 的弹簧的支承。 定解问题的分类和检验：(1) 初始 问题：只有初始条件，没有边界条 件的定解问题； (2) 边值问题：没有初始条件，只 有边界条件的定解问题； (3) 混合问题：既有初始条件，也 有边界条件的定解问题。 ?解的存在性：定解问题是 否有解； ?解的唯一性：是否只有一 解； ?解的稳定性：定解条件有 微小变动时，解是否有相应的微小变动。 分离变量法：基本思想：首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数。把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。适用范围：波动问题、热传导问题、稳定场问题等

分离变量法步骤：一有界弦的自由振动二有限长杆上的热传导三拉普拉斯方程的定解问题 常用本征方程齐次边界条件 2''0 (0)()0,/,1,2,sin k k X X X X l k l k X x λλββπβ+=?? ==? ====0,1,2,0,1,2,λ0,1,2,λ

非齐次方程的求解思路用分解原理得出对应的齐次问题。解出齐次问题。求出任意非齐次特解。叠加成非齐次解。 行波法：1.基本思想：先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定特解。这一思想与常微分方程的解法是一样的。2.关键步骤：通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐次二阶偏微分方程。3.适用范围：无界域内波动方程，等…

高考物理数学物理法常见题型及答题技巧及练习题

高考物理数学物理法常见题型及答题技巧及练习题 一、数学物理法 1．如图所示，ABCD是柱体玻璃棱镜的横截面，其中AE⊥BD，DB⊥CB，∠DAE=30°， ∠BAE=45°，∠DCB=60°，一束单色细光束从AD面入射，在棱镜中的折射光线如图中ab所示，ab与AD面的夹角α=60°．已知玻璃的折射率n=1.5，求：（结果可用反三角函数表示） （1）这束入射光线的入射角多大？ （2）该束光线第一次从棱镜出射时的折射角． 【答案】（1）这束入射光线的入射角为48.6°； （2）该束光线第一次从棱镜出射时的折射角为48.6° 【解析】 试题分析：（1）设光在AD面的入射角、折射角分别为i、r，其中r=30°， 根据n=，得： sini=nsinr=1.5×sin30°=0.75 故i=arcsin0.75=48.6° （2）光路如图所示： ab光线在AB面的入射角为45°，设玻璃的临界角为C，则： sinC===0.67 sin45°＞0.67，因此光线ab在AB面会发生全反射 光线在CD面的入射角r′=r=30° 根据n=，光线在CD面的出射光线与法线的夹角： i′="i=arcsin" 0.75=48.6° 2．质量为M的木楔倾角为θ，在水平面上保持静止，质量为m的木块刚好可以在木楔上表面上匀速下滑．现在用与木楔上表面成α角的力F拉着木块匀速上滑，如图所示，求：

(1)当α＝θ时，拉力F 有最小值，求此最小值； (2)拉力F 最小时，木楔对水平面的摩擦力． 【答案】(1)mg sin 2θ (2)1 2 mg sin 4θ 【解析】 【分析】 对物块进行受力分析，根据共点力平衡，利用正交分解，在沿斜面方向和垂直于斜面方向都平衡，进行求解采用整体法，对m 、M 构成的整体列平衡方程求解． 【详解】 (1)木块刚好可以沿木楔上表面匀速下滑时，mg sin θ＝μmg cos θ，则μ＝tan θ，用力F 拉着木块匀速上滑，受力分析如图甲所示，则有：F cos α＝mg sin θ＋F f ，F N ＋F sin α＝mg cos θ， F f ＝μF N 联立以上各式解得：() sin 2cos mg F θ θα= -． 当α＝θ时，F 有最小值，F min ＝mg sin 2θ． (2)对木块和木楔整体受力分析如图乙所示，由平衡条件得，F f ′＝F cos(θ＋α)，当拉力F 最小时，F f ′＝F min ·cos 2θ＝1 2 mg sin 4θ． 【点睛】 木块放在斜面上时正好匀速下滑隐含摩擦系数的数值恰好等于斜面倾角的正切值，当有外力作用在物体上时，列平行于斜面方向的平衡方程，结合数学知识即可解题． 3．图示为直角三角形棱镜的截面，90?∠=C ，30A ?∠=，AB 边长为20cm ，D 点到A 点的距离为7cm ，一束细单色光平行AC 边从D 点射入棱镜中，经AC 边反射后从BC 边上的F 点射出，出射光线与BC 边的夹角为30?，求： (1)棱镜的折射率； (2)F 点到C 点的距离。