排列组合常见模型

排列组合常用模型

题型一 特殊优先问题

1.如果三位正整数如“abc ”满足,a b b c <>,则这样的三位数称为凸数(如120,352)

那么,所有的三位凸数的个数为 ( ) (A)240 (B)204 (C)729 (D)920 〖解〗A

2.由数字0,1,2,3,4,5组成的奇偶数字相间且无重复数字的六位数的个数是( ) A.72 B.60 C.48 D.12 〖解〗B

3.有5名同学被安排在周一至周五值日,已知同学甲只能值周一或周二,那么5名同学值日顺序的编排方案

共有

A.24种

B.48种

C.96种

D.120种 〖解〗B

4.某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日(端午节假期)值班,每天安排2人,每人值班1天 . 若6位员工中的甲不值14日,乙不值16日,则不同的安排方法共有 (A)30种 (B)36种 (C)42种 (D)48种 〖解〗C

5.由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是

(A )36 (B )32 (C )28 (D )24

6.解析:如果5在两端,则1、2有三个位置可选,排法为2×2

2

32A A =24种

如果5不在两端,则1、2只有两个位置可选,3×22

22A A =12种 共计12+24=36种 答案:A

7.用5,6,7,8,9组成没有重复数字的五位数,其中恰好有一个奇数夹在两个偶数之

间的五位数的个数为

(A)120 (B)72 (C)48 (D)36 〖解〗D

8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？

解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：

①若甲乙都不参加，则有派遣方案4

8A 种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有38A 方法，所以共有383A ；③若乙参加而甲不参加同理也有3

83A 种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种，共有2

87A 方法.所以共有不同的派遣

方法总数为4332

88883374088A A A A +++=种.

题型二 正难则反

1.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有

A 、140种

B 、80种

C 、70种

D 、35种

解析1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的

取法共有333

94570C C C --=种,选.C

解析2：至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；甲型2台乙型1台；故

不同的取法有2112

545470C C C C +=台,选C .

2.用数字2,3组成四位数,且数字2,3至少都出现一次,这样的四位数共有______个.(用数字作答) 〖解〗14

3.对于各数互不相等的整数数组

)

,,,,(321n i i i i (n 是不小于3的正整数),对于任意的

,{1,2,3,

,}p q n ∈,当q p <时有q p i i >,则称p i ,q i 是该数组的一个“逆序”,一个数组中所有“逆

序”的个数称为该数组的“逆序数”,则数组(2,4,3,1)中的逆序数等于 _____;若数组123(,,,

,)

n i i i i 中

的逆序数为n ,则数组

11(,,,)

n n i i i -中的逆序数为_________.

〖解〗4,2

32

n n -

4.以正方体的顶点为顶点的四面体共有

A 、70种

B 、64种

C 、58种

D 、52种

解析：正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成4

8C 四面体，但6个表面和6个对角面的四个

顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有4

81258C -=个.

5.四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有

A 、150种

B 、147种

C 、144种

D 、141种

解析：10个点中任取4个点共有4

10C 种，其中四点共面的有三种情况：①在四面体的四个面上，每面内四点共面的情况为46C ，四个面共有4

64C 个；②过空间四边形各边中点的平行四边形共3个；③过棱上

三点与对棱中点的三角形共6个.所以四点不共面的情况的种数是44

106436141C C ---=种.

题型三 相邻问题捆绑法

1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有

A 、60种

B 、48种

C 、36种

D 、24种

解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4

424A =种，答案：D .

2.有10本不同的书：其中数学书4本，外语书3本，语文书3本。若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有( )种。

解析：这是一个排序问题，书本之间是不同的，其中要求数学书和外语书都各自在一起。为快速解决这个问题，先将4本数学书看做一个元素，将3本外语书看做一个元素，然后和剩下的3本语文书共5个元素进行统一排序，方法数为，然后排在一起的4本数学书之间顺序不同也对应最后整个排序不同，所以在4本书内部也需要排序，方法数为，同理，外语书排序方法数为。而三者之间是分步过程，故而用乘法原理得。

3. 5个人站成一排，要求甲乙两人站在一起，有多少种方法？

解析：先将甲乙两人看成1个人，与剩下的3个人一起排列，方法数为，然后甲乙两个人也有顺序要求，方法数为，因此站队方法数为。

4.一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目，4个舞蹈节目要排在一起，有多少不同的安排节目的顺序？

5. 6个不同的球放到5个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球，一共有多少种方法？

解析：按照题意，显然是2个球放到其中一个盒子，另外4个球分别放到4个盒子中，因此方法是先从6个球中挑出2个球作为一个整体放到一个盒子中，然后这个整体和剩下的4个球分别排列放到5个盒子中，故方法数是。

题型四 相离问题插空排

1.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是

A 、1440种

B 、3600种

C 、4820种

D 、4800种

解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有2

6A 种，不同的排法种数是

52563600A A 种，选B .

2.马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？

解析：把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯3

5C 种方法,所以满足条件的关灯方案有10种.

说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题容易解决.

3.8名学生和2位老师站成一排合影,2位老师不相邻的排法种数为

A.8289A A

B.8289A C

C.8287A A

D.82

87A C

〖解〗

A

4.某展室有9个展台,现有3件展品需要展出,要求每件展品独自占

用1个展台,并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻,则不同 的展出方法有______种;如果进一步要求3件展品所选用的展台之间间隔

不超过两个展位,则不同的展出方法有____种. 〖解〗60,48

5.某单位有7个连在一起的车位,现有3辆不同型号的车需停放,如果要求剩余的4个车位连在一起,则不同的停放方法的种数为 ( ) A.16 B.18 C.24 D.32

〖解〗C

6.某会议室第一排共有8个座位,现有3人就座,若要求每人左右均有空位,那么不同的坐法种数为

A.12

B.16

C.24

D.32 〖解〗C

7.若有A 、B 、C 、D 、E 五个人排队，要求A 和B 两个人必须不站在一起，则有多少排队方法？

解析：题中要求AB 两人不站在一起，所以可以先将除A 和B 之外的3个人排成一排，方法数为，然后再将A 和B 分别插入到其余3个人排队所形成的4个空中，也就是从4个空中挑出两个并排上两个人，其方法数为，因此总方法数。

8.8个人排成一队，要求甲乙必须相邻且与丙不相邻，有多少种方法？

解析：甲乙相邻，可以捆绑看作一个元素，但这个整体元素又和丙不相邻，所以先不排这个甲乙丙，而是排剩下的5个人，方法数为，然后再将甲乙构成的整体元素及丙这两个元素插入到此前5人所形成的6个空里，方法数为，另外甲乙两个人内部还存在排序要求为。故总方法数为。

9. 5个男生3个女生排成一排，要求女生不能相邻，有多少种方法？

10.若有A 、B 、C 、D 、E 五个人排队，要求A 和B 两个人必须不站在一起，且A 和B 不能站在两端，则有多少排队方法？

解析：原理同前，也是先排好C 、D 、E 三个人，然后将A 、B 查到C 、D 、E 所形成的两个空中，因为A 、B 不站两端，所以只有两个空可选，方法总数为。

题型五 名额分配隔板法

1.某校召开学生会议，要将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，若每班至少1个名额，又有多少种不同分法？

解：名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，这样，把10相同的名额分配到6个不同的班级中，适合隔板法。将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，每班至少1个名额，可分以下两步完成。第一步：每班先给1个名额，仅有1种给法；第二步：将剩余的4个名额分到这6个班里，由隔板法知，此时，有C 5

9种不同分法。由分步计数原理知，共有C 5

9种不同分法。 C 5

9=C 4

9=

1

2346

789??????=126（种）。

2. 10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？

解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为

6984C =种.

3.把8个相同的球放入4个不同的盒子，有多少种不同方法？

解：取3块相同隔板，连同8个相同的小球排成一排，共11个位置。由隔板法知，在11个位置中任取3个位置排上隔板，共有C 3

11种排法。3

11C =

1

239

1011????=165(种)

所以，把8个相同的球放入4个不同的盒子，有165种不同方法。 3.求方程1x +2x +…+5x =7的正整数解的个数。

解：用7个相同的小球代表数7, 用5个标有1x 、2x 、…、5x 的5个不同的盒子表示未知数1x 、2x 、…、

5x ，要得到方程1x +2x +…+5x =7的正整数解的个数，将7个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种

放法，就对应着方程1x +2x +…+5x =7的每一组解（1k ，2k ，…，5k ）。 46C =2

6C =1

25

6??=15（个） 4.求10

521)(x x x +???++展开式中共有多少项？

解：用10个相同的小球代表幂指数10, 用5个标有1x 、2x 、…、5x 的5个不同的盒子表示数1x 、2x 、…、

5x ，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中，把标有i x （i=1,2,…,5）每个盒子得到的小球数i k （i=1，

2，…，5; i k N ∈），记作i x 的i k 次方。这样，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，

就对应着展开式中的每一项。由隔板法知，这样的放法共有4

14C 种，故10521)(x x x +???++的展开式中共

有414C 项。 4

14C =

1

23411

121314??????=1001（种）。

所以，10

521)(x x x +???++展开式中共有1001项。

题型六 定序问题缩倍法

1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数是

A 、24种

B 、60种

C 、90种

D 、120种

解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即

5

51602

A =种，选

B . 2.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法

解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总

排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：73

73/A A

(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有4

7A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1

种坐法，则共有4

7A 种方法。

思考:可以先让甲乙丙就坐吗?

（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法

3.10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ 5

10C

题型七 贺卡模型错位法

1.同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送的贺年卡，则四张不同的贺年卡不同的分配方式有：

A 、6种

B 、9种

C 、11种

D 、23种 错排问题：有n 个正整数1，2，3，……n ，将这n 个正整数重新排列，使其中的每一个数都不在原来的位置上，这种排列称为正整数1，2，3，……n 的错排，问这n 个正整数的排个数是多少？

设这n 个正整数的错排个数为a n ，为了探求a n 的表达式，我们先从最特殊的情形入手。 当n=1时，由于只有一个数1，不可能有错排，所以a 1=0. 当n=2时，两个数的错排是唯一的，所以a 2=1.

当n=3时，三个数1、2、3只有2、3、1和3、1、2两种错排，所以a 3=2.

当n=4时，四个数1、2、3、4的错排有：2、1、4、3；2、3、4、1；2、4、1、3；3、1、4、2；3、4、2、1；4、1、2、3；4、3、1、2；4、3、2、1，共有9种错排，所以a 4=9.

刚才提到的93年高考试题——贺卡问题，实际上求的就是a 4等于多少？

上面使用的是枚举法，当n 较大时，这种方法是很麻烦的、难以解决问题的，必须另辟蹊径，现在考虑用排除法求出1、2、3、4这四个正整数的错排的种数，从中摸索出规律。

对于四个正整数1、2、3、4，这四个数的全排列数为4！。

有一个数不错排的情况应排除，由于1排在第1位的有3！种，2排在第2位的有3！种，……4排在第4位的有3！种，所以共应排除4×3！种。

然而在排除有一个数不错排的情况时，把同时有两个数不错排的情况也排除了，应予以补上，由于1、2分别排在第1、第2位上的情况共有2！种，同理1、3分别排在第1、第3位上的情况也有2！种，……，这四个数中同时有两个数不错排的情况共有种，所以应补上2

44!

2!2!

C ?=

种。在补上同时有两个数不错排的情况时，把同时有三个数不错排的情况也补上了，应予以排除，四个数中有1、2、3不错排，1、2、4不错排，1、3、4不错排和2、3、4不错排共1

4C 种情况，所以应排除1

44!

1!3!

C ?=

种。 在排除同时有三个数不错排的情况时，把同时有四个数不错排的情况也排除了，所以应补上同时有四个数不错排的情况仅1、2、3、4这一种。

综上所述，44!4!4!4!4!

4!43!19.2!3!2!3!4!

a =-?+-+=-+= 由44!4!4!2!3!4!a =-+以及33!3!22!3!a ==-，22!

12!

a ==，我们猜想n 个正整数1、2、3、4、……、n

的错排的种数a n 的表达式为a n =

2

!

(1)!

n

k

k n k =-∑，下面我们来证明这个表达式。 一般来说，正整数1、2、3、……、n 的全排列有n ！种，其中第k 位是k 的排列有（n-1）！，当k 取1、2、3、……、n 时，共有n ×（n-1）！种排列，由于是错排，这些排列应排除，但是此时把同时有两个数不错排的排列多排除了一次，应补上；在补上时，把同时有三个数不错排的排列多补上了一次，应排除；……；继续这一过程，得到错排的排列种数为

!!!(1)2!3!!

n n n n n a n =

-+???+-， !!!!!!!!(1)(1)

1!2!3!!2!3!!n n n n n n n n n n a n n n =-+-+???+-=-+???+-，即2

!(1)!n

k n k n a k ==-∑. 计数是一种常见的数学问题，涉及计数问题的另一种思路是运用递推方法，应该说，利用递推方法是

解决计数问题的重要方法，下面我们再用递推关系求a n 的值。

由题意a 1=0，a 2=1，当n ≥3时，在错排中n 必不在第n 位，设n 放在第k 位上（1≤k ≤n-1），则第n 位上有两种可能：

（1）如果第n 位上不是k ，那么把第n 位看作第k 位，将n 以外的n －1个数进行错排，错排个数是a n-1；

（2）如果第n 位上是k ，那么除n 和k 以外的n －2个数的错排是a n-2，

所以n 在第k 位上的错排数共有a n-1＋a n-2，由于k 可取1、2、3、4、……、n －1共n －1种取法，所以n

个数的错排个数12(1)()n n n a n a a --=-+，其中n ≥3.

下面我们来求数列{a n }的通项。

为了方便起见，设!(1,2,,)k k a k b k n ==???, 则121

0,,2

b b ==

123,!(1)(1)(1),n n n n n b n n b n b --≥=--+-当时!! 即：12(1),n n n nb n b b --=-+

于是有1122111111()()()()()(1)13!n n n n n b b b b b b n n n n ----=--=???=--???--=--，

从而可求n b ，所以!!!

(1)2!3!!

n n n n n a n =

-+???+-。 2.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有

A 、6种

B 、9种

C 、11种

D 、23种

解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B . 3.设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？

解析：从5个球中取出2个与盒子对号有2

5C 种，还剩下3个球与3个盒子序号不能对应，利用枚举法分析，如果剩下3，4，5号球与3，4，5号盒子时，3号球不能装入3号盒子，当3号球装入4号盒子时，4，5号球只有1种装法，3号球装入5号盒子时，4，5号球也只有1种装法，所以剩下三球只有2种

装法，因此总共装法数为2

5220C =种.

4.现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座,每名同学可自由选择其中的一个讲座,不同选法的种数

是 A.65

B.56

C.

565432

2

????? D.65432????

〖解〗A

5.设有编号为1，2，3，4，5的五个茶杯和编号为1，2，3，4，5的五个杯盖，将五个杯盖盖在五个茶杯

上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有

A ．30种

B ．31种

C ．32种

D ．36种

〖解〗B

题型八 均分堆问题

1. 将6本不同的书按下列分法，各有多少种不同的分法？ ⑴分给学生甲3 本，学生乙2本，学生丙1本；

⑵分给甲、乙、丙3人，其中1人得3本、1人得2 本、1 人得1 本； ⑶分给甲、乙、丙3人，每人2本；

⑷分成3堆，一堆3 本，一堆2 本，一堆1 本； ⑸分成3堆，每堆2 本；

⑹分给分给甲、乙、丙3人，其中一人4本，另两人每人1本； ⑺分成3堆，其中一堆4本，另两堆每堆1本.

分析：①分书过程中要分清：是均匀的还是非均匀的；是有序的还是无序的. ②特别是均匀的分法中要注意算法中的重复问题.

解：⑴3

2

1

631C C C ＝60；

⑵3

3112336A C C C ?＝360；

⑶222

642C C C ＝90； ⑷3

2

1

631C C C ＝60；

⑸2223

6423C C C A ÷＝15；

⑹411362132

2

C C C A A ?＝90； ⑺411621

2

2

C C C A ＝15. 分组（堆）问题有六个模型：①有序不等分；②有序等分；③有序局部等分；④无序不等分；⑤无序等分；⑥无序局部等分.是排列、组合及其应用基本问题.在历年的各地高考试题中都有体现.

2. 将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有（ ）

（A ）30种 （B ）90种 （C ）180种 （D ）270种 解： B.

3.安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有 种.（用数字作答）

解：①将3名支教老师按（1～1～1）分为三组有1113213

3

1C C C A =种分法，再将三组依次分到学校有3

6120A =中分法，根据分步计数原理，共有1×120＝120种不同的分配方案；

②将3名支教老师按（2～1）分为两组有21313C C =种分法，再将两组依次分到学校有2

630A =中分

法，根据分步计数原理，共有3×30＝90种不同的分配方案.

再由分步计数原理，共有120+90＝210种不同的分配方案. 故填210.

4.某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有 种．（用数字作答）

解：由题意，先将5个班分为四组（2～1～1～1）有2111

5321

3

3

10C C C C A =种分法；再将这四组依次分配

到4个工厂有4

424A =种分配方法. 根据分步计数原理，共有10×24＝240种不同的进行社会实践分配方

案. 故填240.

点评：本题极易出错的解法是：先给4个工厂各分1个班有4

5120A =种分法，再将余下的一个班分配到4个工厂之一有1

44A =种方法. 最后根据分步计数原理，共有120×4＝480种不同的进行社会实践分

配方案. 恰是正确答案240的2倍. 请读者说明出现这种情况的原因.

一般地，对于分组（堆）的问题模型，其解题思路及步骤为：①明确每个人的分配数量时，依次选取即可；没有明确安排位置的分配数量时，要先分堆（组）再将各堆依次安排到对应位置，简称为“先分组，后到位”；②非均匀的分堆（组），依次选取出来即可；③均匀的分堆（组），先依次选取出来再去掉选出的顺序，即除以堆（组）数的全排列；④局部均匀的分堆（组），先依次选取出来再去掉均匀堆（组）选出的顺序，即除以均匀堆（组）数的全排列.

5.将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？

（5442

13842/C C C A ）

6.10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的 分组方法 （1540）

7.某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安 排2名，则不同的安排方案种数为______ （2

2

2

2

4262/90C C A A =）

题型九 投信模型求幂法

1.把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？

解析：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有6

7种不同方案. 2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法_______ 解：8

7

题型十 涂色问题

1.用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？

解:先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240???=

2.四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。 解：依题意只能选用4种颜色，要分四类： （1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有4

4A ； （2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ； （3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A ； （4）③与⑤同色、② 与④同色，则有44A ； （5）②与④同色、③与⑥同色，则有44A ； 所以根据加法原理得涂色方法总数为544A =120

3.如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？ 分析：依题意至少要用3种颜色

1) 当先用三种颜色时，区域2与4必须同色， 2) 区域3与5必须同色，故有3

4A 种； 3) 当用四种颜色时，若区域2与4同色，

4) 则区域3与5不同色，有4

4A 种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有4

4A 种，故用四种颜色

时共有24

4A 种。由加法原理可知满足题意的着色方法共有3

4A +24

4A =24+2 24=72

4.用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？ 分析：可把问题分为三类：

（1） 四格涂不同的颜色，方法种数为4

5A ；

（2） 有且仅两个区域相同的颜色，即只有一组对角小方格涂相同的颜色，涂法种数为1

2

542C A ； （3） 两组对角小方格分别涂相同的颜色，涂法种数为2

5A ，

①

②

③

④ ⑤

⑥

因此，所求的涂法种数为2122

55452260A C A A ++=

5.将一个四棱锥S ABCD -的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？ 解法一：满足题设条件的染色至少要用三种颜色。

1若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S ，再从余下的四种颜色中任选两种涂A 、B 、C 、D

四点，此时只能A 与C 、B 与D 分别同色，故有12

5460C A =种方法。

2若恰用四种颜色染色，可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S ，再从余下的四种颜色中任选两种染A 与B ，由于A 、B 颜色可以交换，故有2

4A 种染法；再从余下的两种颜色中任选一种染D 或C ，而D 与C ，而

D 与C 中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有1211

5422240C A C C =种方法。

3若恰用五种颜色染色，有5

5120A =种染色法 综上所知，满足题意的染色方法数为60+240+120=420

种。

解法二：设想染色按S —A —B —C —D 的顺序进行，对S 、A 、B 染色，有54360??=种染色方法。由于C 点的颜色可能与A 同色或不同色，这影响到D 点颜色的选取方法数，故分类讨论： C 与A 同色时（此时C 对颜色的选取方法唯一），D 应与A （C ）、S 不同色，有3种选择；C 与A 不同色时，C 有2种选择的颜色，D 也有2种颜色可供选择，从而对C 、D 染色有13227?+?=种染色方法。 由乘法原理，总的染色方法是607420?=

6.用红、黃、蓝、白四种颜色涂矩形ABCD 的四条边，每条边只涂一种颜色 ，且使相邻两边涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？

解法一：（1）使用四颜色共有4

4A 种 （2）使用三种颜色涂色，则必须将一组对边染成同色，故有1

1

2

423

C C A 种，（3）使用二种颜色时，则两组对边必须分别同色，有24A 种 因此，所求的染色方法数为

4112

24423484A C C A A ++=种

解法二：涂色按AB －BC －CD －DA 的顺序进行，对AB 、BC 涂色有4312?=种涂色方法。 由于CD 的颜色可能与AB 同色或不同色，这影响到DA 颜色的选取方法数，故分类讨论：

当CD 与AB 同色时，这时CD 对颜色的选取方法唯一，则DA 有3种颜色可供选择CD 与AB 不同色时，CD 有两种可供选择的颜色，DA 也有两种可供选择的颜色，从而对CD 、DA 涂色有13227?+?=种涂色方法。由乘法原理，总的涂色方法数为12784?=种

7.用六种颜色给正四面体A BCD -的每条棱染色，要求每条棱只染一种颜色且共顶点的棱涂不同的颜色，问有多少种不同的涂色方法？

解：（1）若恰用三种颜色涂色，则每组对棱必须涂同一颜色，而这三组间的颜色不同，

故有3

6A 种方法。（2）若恰用四种颜色涂色，则三组对棱中有二组对棱的组内对棱涂同色，但组与组之间不同色，故有3

4

66C A 种方法。（3）若恰用五种颜色涂色，则三组对棱中有一组对棱涂同一种颜色，故有1

5

36

C A 种方法。（4）若恰用六种颜色涂色，则有66A 种不同的方法。综上，满足题意的总的染色方法数为

4080665613462336=+++A A C A C A 种。

8.从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的6个面涂色，每两个具有公共棱的面涂成不同的颜色，则不同的涂色方案共有多少种？ 解：根据共用多少种不同的颜色分类讨论

（1）用了六种颜色，确定某种颜色所涂面为下底面，则上底颜色可有5种选择，在上、下底已涂好后，再确定其余4种颜色中的某一种所涂面为左侧面，则其余3个面有3！种涂色方案，根据乘法原理30!351=?=n

（2）共用五种颜色，选定五种颜色有65

6=C 种方法，必有两面同色（必为相对面），确定为上、下

底面，其颜色可有5种选择，再确定一种颜色为左侧面，此时的方法数取决于右侧面的颜色，有3种

选择（前后面可通过翻转交换）90355

62=??=C n

(3)共用四种颜色,仿上分析可得

9024463==C C n (4)共用三种颜色,203

64==C n

9.四棱锥P ABCD -，用4种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上，要求相邻不同色，有多少种涂法？

解：这种面的涂色问题可转化为区域涂色问题，

如右图，区域1、2、3、4相当于四个侧面，区域5相当于底面； 根据共用颜色多少分类：

（1） 最少要用3种颜色，即1与3同色、2与4同色，此时有3

4A

（2） 当用4种颜色时，1与3同色、2与4两组中只能有一组同色，此时有1424

C A ；

故满足题意总的涂色方法总方法交总数为314

42472A C A +=

题型十一 先组合后排列

1.若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大,则称这个数为“伞数”.现从1，2,3,4,5,6这六

个数字中任取3个数,组成无重复数字的三位数,其中“伞数”有 (A)120个 (B)80个 (C)40个 (D)20个 〖解〗C

2.将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中,若每个信封放2张,其中标号为1,2的卡片放

入同一信封,则不同的放法共有 (A)12种 (B)18种 (C)36种 (D)54种 〖解〗B

3.四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？

解析：“先取”四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有2

4C 种，“再排”在四个盒中每次排3

个有3

4A 种，故共有2344144C A =种.

2.9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？ 解析：先取男女运动员各2名，有2

2

54C C 种，这四名运动员混和双打练习有2

2A 中排法，故共有

222

542120C C A =种.

3.5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为 A 、480种 B 、240种 C 、120种 D 、96种 答案：B .

题型十二 圆排问题线排法

把n 个不同元素放在圆周n 个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首

B

C

位、末位之分，下列n 个普通排列：

12323411,,,;,,,,,;,,,n n n n a a a a a a a a a a a -在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认

为相同，n 个元素的圆排列数有

!

n n

种.因此可将某个元素固定展成线排，其它的1n -元素全排列. 1. 5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？

解析：首先可让5位姐姐站成一圈，属圆排列有4

4A 种，然后在让插入其间，每位均可插入其姐姐的左边和右边，有2种方式，故不同的安排方式5

242768?=种不同站法. 2. 8人围桌而坐,共有多少种坐法?

解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人4

4A 并从此位置把圆形展

成直线其余7人共有（8-1）！种排法即7！

A

B C D E A

H G F

3.6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 120

题型十三 合理利用分类与分步

1.有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是

A 、1260种

B 、2025种

C 、2520种

D 、5040种

解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外

的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有211

10872520C C C =种，选C .

2.12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有 A 、444

12

8

4C C C

种 B 、

44412

8

4

3C C C 种 C 、44312

8

3

C C A 种

D 、4441284

3

3

C C C A 种 答案：A .

3.4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？

解析：把四名学生分成3组有24C 种方法，再把三组学生分配到三所学校有33A 种，故共有23

4336

C A =种方法.

说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.

一般地,n 个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n 个不同元素中取出m 个元素作圆形排列共有1m n A n

4. 由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有 A 、210种 B 、300种 C 、464种 D 、600种

解析：按题意，个位数字只可能是0、1、2、3和4共5种情况，分别有5

5A 、1

1

3

433A A A 、1

1

3

333A A A 、

113233A A A 和1333A A 个，合并总计300个,选B .

5. 从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？

解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做{}7,14,21,98A =共有14个元素,不能被7整除的数组成的

集合记做{}1,2,3,4,

,100I A =e共有86个元素；由此可知，从A 中任取2个元素的取法有2

14

C ，从A 中任取一个，又从I A e中任取一个共有11

1486C C ，两种情形共符合要求的取法有2111414861295C C C +=种.

6. 1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？ 解析：老师在中间三个位置上选一个有1

3A 种，4名同学在其余4个位置上有4

4A 种方法；所以共有

143472A A =种

题型十四 交叉问题集合法

1.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？

解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：

()()()()n I n A n B n A B --+?4332

65

54252A A A A =--+=种. .

题型十五 多排问题单排法

1.6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是 A 、36种 B 、120种 C 、720种 D 、1440种

解析：前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共6

6720A =

种，选C .

2.8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？

解析：看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有2

4A 种，某1个元素排在后半段的四

个位置中选一个有14A 种，其余5个元素任排5个位置上有5

5A 种，故共有1254455760A A A =种排法.

3. 8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法

解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有2

4A 种,再排后4个位置上的特殊元素丙有1

4A 种,其余的5人在5个位置上任意排列有5

5A 种,则共有2

1

5

445A A A 种

前 排后 排

4.有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 解 346

题型十六 利用化归转化法 1.圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点最多有多少个？

解析：因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点，一个圆的内接四边形就对应着两条弦相交于圆内的一个交点，于是问题就转化为圆周上的10个点可以确定多少个不同的四边形，显然有4

10C 个，所以圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有4

10C 个.

2.某城市的街区有12个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从A 到B 的最短路径有多少种？

解析：可将图中矩形的一边叫一小段，从A 到B 最短路线必须走7小段，其中：向东4段，向北3段；而且前一段的尾接后一段的首，所以只要确定向东走过4段的走法，便能确定路径，因此不同走法有

47C 种.

A

B

一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研

高中数学100个热点问题(三)： 排列组合中的常见模型

第80炼 排列组合的常见模型 一、基础知识： （一）处理排列组合问题的常用思路： 1、特殊优先：对于题目中有特殊要求的元素，在考虑步骤时优先安排，然后再去处理无要求的元素。 例如：用0,1,2,3,4组成无重复数字的五位数，共有多少种排法？ 解：五位数意味着首位不能是0，所以先处理首位，共有4种选择，而其余数位没有要求， 只需将剩下的元素全排列即可，所以排法总数为44496N A =?=种 2、寻找对立事件：如果一件事从正面入手，考虑的情况较多，则可以考虑该事的对立面，再用全部可能的总数减去对立面的个数即可。 例如：在10件产品中，有7件合格品，3件次品。从这10件产品中任意抽出3件，至少有一件次品的情况有多少种 解：如果从正面考虑，则“至少1件次品”包含1件，2件，3件次品的情况，需要进行分类讨论，但如果从对立面想，则只需用所有抽取情况减去全是正品的情况即可，列式较为简 单。3310785N C C =-=（种） 3、先取再排（先分组再排列）：排列数m n A 是指从n 个元素中取出m 个元素，再将这m 个元素进行排列。但有时会出现所需排列的元素并非前一步选出的元素，所以此时就要将过程拆分成两个阶段，可先将所需元素取出，然后再进行排列。 例如：从4名男生和3名女生中选3人，分别从事3项不同的工作，若这3人中只有一名女生，则选派方案有多少种。 解：本题由于需要先确定人数的选取，再能进行分配（排列），所以将方案分为两步，第一步：确定选哪些学生，共有2143C C 种可能，然后将选出的三个人进行排列：33A 。所以共有213433108C C A =种方案 （二）排列组合的常见模型 1、捆绑法（整体法）：当题目中有“相邻元素”时，则可将相邻元素视为一个整体，与其他元素进行排列，然后再考虑相邻元素之间的顺序即可。 例如：5个人排队，其中甲乙相邻，共有多少种不同的排法

排列组合的21种例题

高考数学复习 解排列组合应用题的21种策略 排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略. 1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 例 1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有 A 、60种 B 、48种 C 、36种 D 、24种 2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 A 、1440种 B 、3600种 C 、4820种 D 、4800种 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法. 例 3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数是 A 、24种 B 、60种 C 、90种 D 、120种 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成. 例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有 A 、6种 B 、9种 C 、11种 D 、23种 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是 A 、1260种 B 、2025种 C 、2520种 D 、5040种 （2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有 A 、44412 8 4 C C C 种 B 、44412 8 4 3C C C 种 C 、44312 8 3 C C A 种 D 、4441284 3 3 C C C A 种 6.全员分配问题分组法: 例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？ （2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为 A 、480种 B 、240种 C 、120种 D 、96种 7.名额分配问题隔板法: 例7.10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？ 8.限制条件的分配问题分类法: 例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？

高中数学排列组合难题十一种方法

高考数学排列组合难题解决方法 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =+++ 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =??? 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有13C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113 4 34288C C A = C 14A 34C 13 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件

排列组合问题的常见模型(详解)

排列组合问题的常见模型 一、相异元素不许重复的排列组合问题 这类问题有两个条件限制，一是给出的元素是不同的，即不允许有相同的元素；二是取出的元素也是不同的，即不允许重复使用元素。这类问题有如下一些常见的模型。 模型１：从n 个不同的元素中每次取出m 个不同元素作排列或组合，规定某k 个元素都包含在内，则： 组合数：1m k n k N C --= 排列数：2m m k m n k N A C --= 例１．全组有12个同学，其中有３个女同学，现要选出５个，如果３个女同学都必须当选，试问在下 列情形中，各有多种不同的选法？ （１）组成一个文娱小组；（２）分别担任不同的工作． 解：（１）由于要选出的５人中，３个女同学都必须当选，因此还需要选２人．这可从９个男同学中 选出，故不同的选法有：53112336(N C --==种) （２）在上述组合的基础上，因为还需要考虑选出５人的顺序关系，故不同的选法有： 553522512359120364320(N A C A C --===?=种) 模型２．从n 个不同的元素中每次取出m 个不同元素作排列或组合，规定某k 个元素都不包含在内， 则： 组合数：1m n k N C -= 排列数：2m m m m n k n k N A C A --== 例２．某青年突击队有15名成员，其中有５名女队员，现在选出７人，如果５名女队员都不当选，试 问下列情形中，各有多少种不同的选法？ (1)组成一个抢修小组；（２）分别但任不同的抢修工作． 解：（１）由于５名女队员都不当选，因此只能从10名男同学选出，故不同的选法有： 77311551010120N C C C -====（种） （２）由于还需考虑选出的７个人的顺序问题，故不同的选法有： 7721551010987654604800N A A -===??????=（种） 模型３．从n 个不同的元素中每次取出m 个不同元素作排列或组合，规定每一个排列或组合，都只包 含某k 个元素中的某s 个元素。则组合数：1m s n k N C --= 排列数：2m m s m n k N A C --= 例3．全组12个同学，其中有3个女同学，现要选出5人，如果3个女同学中，只有甲当选，试问在 下列情形中，各有多少种不同的选法？ （１）组成一个数学小组；（２）分别担任不同的工作． 解：（１）由于女同学中只有甲当选，所以还需４人，这４人要从男同学中选，因此不同选法有： 514 11239126()N C C --===种 （２）由于选出的人要分别担任不同的工作，所以不同的选法有：55154251235915120()N A C A C --===种． 模型４．从n 个不同的元素中每次取出k 个不同元素作排列或组合，规定每一个排列或组合，都只包 含某r 个元素中的s 个元素。则：组合数：1s k s r n r N C C --= 排列数：2k s k s k r n r N A C C --= 例４．全组12个同学，其中有3个女同学，现要选出5人，如果3个女同学中，只有１人当选，试问 在下列情形中，各有多少种不同的选法？ （１）组成一个数学小组；（２）分别担任不同的工作．

排列组合21种方法

高考数学轻松搞定排列组合难题二十一种方法 排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。 教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有 m种不同的方法，在 1 第2类办法中有 m种不同的方法，…，在第n类办法中有n m种不同 2 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有 m种不同的方法，做 1 第2步有 m种不同的方法，…，做第n步有n m种不同的方法，那么2 完成这件事共有： 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素

总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 占了这两个位置. 先排末位共有13C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有3 4 A 由分步计数原理得113 4 34288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间， 也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也 看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素部进行自排。由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能 连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4 舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种4 6 A 443

排列组合题型分析还有21种常用方法的整理

排列组合应用题的类型及解题策略一．处理排列组合应用题的一般步骤为：①明确要完成的是一件什么事（审题）②有序还是无序③分步还是分类。 二．处理排列组合应用题的规律 （1）两种思路：直接法，间接法。 （2）两种途径：元素分析法，位置分析法。 解决问题的入手点是：特殊元素优先考虑；特殊位置优先考虑。 特殊优先法 列组合问题，我们可以从这些特殊的东西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法。 例1．电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有种不同的播放方式（结果用数值表示）. 解：分二步：首尾必须播放公益广告的有A22种；中间4个为不同的商业广告有A44种，从而应当填A22·A44＝48. 从而应填48． （3）对排列组合的混合题，一般先选再排，即先组合再排列。弄清要“完成什么样的事件”是前提。三．基本题型及方法： 1．相邻问题 （1）、全相邻问题，捆邦法 例2、6名同学排成一排，其中甲，乙两人必须排在一起的不同排法有（C ）种。 A）720 B）360 C）240 D）120

说明：从上述解法可以看出，所谓“捆邦法”，就是在解决对于某几个元素要求相邻问题时，可以整体考虑将相邻元素视作一个“大”元素。 （2）、全不相邻问题，插空法 例3、要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少不同的排法， 解：先将6个歌唱节目排好，其中不同的排法有6！，这6个节目的空隙及两端共有七个位置中再排4个舞蹈节目有4 7 A种排法，由乘法原理可知，任何两个舞蹈节目 不得相邻的排法为46 76 A A种 例4高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是 （A）1800 （B）3600 （C）4320 （D）5040 解：不同排法的种数为52 56 A A＝3600，故选B 说明：从解题过程可以看出，不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其它元素将它隔开，此类问题可以先将其它元素排好，再将特殊元素插入，故叫插空法。（3）．不全相邻排除法，排除处理 例5．五个人站成一排，其中甲、乙、丙三人有两人相 邻，有多少排法？解：53323 53323 72 A A A A A --= 222 232 或3A A A 例6．有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不．左右相邻，那么不同排法的种数是

巧解排列组合的21种模型

巧解排列组合的21种模型 排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握.实践证明，掌握题型和识别模式，并熟练运用，是解决排列组合的有效途径.下面就系统地介绍巧解排列组合的21种模型. 1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 例1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有 A 、60种 B 、48种 C 、36种 D 、24种 解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列， 4424A =种，答案：D . 2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 A 、1440种 B 、3600种 C 、4820种 D 、4800种 解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有2 6A 种，不同的排法种数是52 563600A A =种，选B . 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法. 例3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数是 A 、24种 B 、60种 C 、90种 D 、120种 解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即 5 51602 A =种，选 B . 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成. 例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，

解排列组合难题二十一方法

解排列组合难题二十一种方法 排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。 教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =+++ 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =??? 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.

排列组合常见21种解题方法

排列组合难题二十一种方法 排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。 教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有 m种不同的方法，在第2类 1 办法中有 m种不同的方法，…，在第n类办法中有n m种不同的方法，那么2 完成这件事共有： 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有 m种不同的方法，做第2步 1 有 m种不同的方法，…，做第n步有n m种不同的方法，那么完成这件事共2 有： 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.

排列组合—寻找合适的模型(精华)

排列组合——寻找合适的模型 在排列组合问题中，有一些问题如果直接从题目入手，处理起来比较繁琐。但若找到解决问题的合适模型，或将问题进行等价的转化。便可巧妙的解决问题 典型例题： 例1：设集合A 由n 个元素构成，即{}12,,,n A a a a = ，则A 所有子集的个数为_______思路：可将组成子集的过程视为A 中的元素一个个进行选择，要不要进入到这个子集当中，所以第一步从1a 开始，有两种选择，同样后面的23,,,n a a a 都有两种选择，所以总数2222n n N =???= 个 个答案：2n 例2：已知{}1,2,3,,40S = ，A S ?且A 中有三个元素，若A 中的元素可构成等差数列，则这样的集合A 共有（ ）个A.460 B.760 C.380 D.190 思路：设A 中构成等差数列的元素为,,a b c ，则有2b a c =+，由此可得,a c 应该同奇同偶，而当,a c 同奇同偶时，则必存在中间项b ，所以问题转变为只需在140-中寻找同奇同偶数的情况。,a c 同为奇数的可能的情况为220C ，同为偶数的可能的情况为2 20C ，所以一共有 2202380C ?=种答案：C 例3：设集合(){}{}{}12345,,,,|1,0,1,1,2,3,4,5i A x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为（ ）A.60 B.90 C.120 D.130 思路：因为0i x =或1i x =，所以若1234513x x x x x ≤++++≤，则在()1,2,3,4,5i x i =中至少有一个1i x =，且不多于3个。所以可根据i x 中含0的个数进行分类讨论。①五个数中有2个0，则另外3个从1,1-中取，共有方法数为23152 N C =?②五个数中有3个0，则另外2个从1,1-中取，共有方法数为32 252N C =?

排列组合常用方法总结

排列组合常用方法总结 排列组合是组合学最基本的概念。所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。下面是，请参考！ 一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于 (1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力； (2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解； (3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大； (4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。 二、两个基本计数原理及应用 (1)加法原理和分类计数法 1．加法原理 2．加法原理的集合形式 3．分类的要求 每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何

一种方法，都属于某一类(即分类不漏) (2)乘法原理和分步计数法 1．乘法原理 2．合理分步的要求 任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同 [例题分析]排列组合思维方法选讲 1．首先明确任务的意义 例1. 从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有________个。 分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。 设a,b,c成等差，∴ 2b=a+c, 可知b由a,c决定。 又∵ 2b是偶数，∴ a,c同奇或同偶，即：从1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，因而本题为2=180。 例2. 某城市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间的间距相同，如图。若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M到N有多少种不同的走法? 分析：对实际背景的分析可以逐层深入 （一）从M到N必须向上走三步，向右走五步，共走八步。

排列组合典型模型及解法

排列组合 安徽省马鞍山二中 刘向兵 加法原理：如果完成一件事情有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，......，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N +++= 21种不同的方法。 乘法原理：如果完成一件事情需要n 个步骤，第一步有1m 种不同的方法，第二步有2m 种不同的方法，......，第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N 21?=种不同的方法。 从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的一个排列 从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素的所有排列的个数叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的排列数，用符号m n P 表示 )1()2)(1(+---=m n n n n P m n 排列数公式 123)2)(1(??--= n n n P n n 全排列 加法法则 乘法法则 排列

)! (! m n n P m n -= 排列数公式 从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素组成一组，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的一个组合 从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素的所有组合的个数叫做从n 个不同的元素中取出 m 个元素的组合数，用符号m n C 表示 组合数公式 ! ) 1()2)(1(m m n n n n P P C m m m n m n +---= = )! (!! m n m n C m n -= 一、特殊元素和特殊位置优先策略 T ：排列组合的题型 组合 特殊元素和特殊位置优先策略

排列组合解题策略大全(十九种模型)

排列组合解题策略大全 一、合理分类与分步 1、五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有多少种？ 四位上，则有1 31333A A A 种排法，由分类计数原理，排法共有7813133344 =+A A A A （种） 解法二(排除法)：甲在排头：44A ,乙在排尾： 44A ,甲在排头且乙在排尾： 3 3A ,故符合题意的不同的排法为： 5443544378A A A A --+=.注： 甲在排头和乙在排尾都包含甲在排头的同时乙在排位,所以多减了要补回来. 2、从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？ 解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况： ① 若甲乙都不参加，则有派遣方案48A 种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有3 8A 方法， 所以共有383A ；③若乙参加而甲不参加同理也有3 83A ④（同例1）若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种，共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数4332 88883374088A A A A +++=（种） 二、特殊元素和特殊位置优先法 1、0，1，2，3，4，5能够组成多少个没有重复数字的五位奇数？ 分析：特殊元素：0，1，3，5；特殊位置：首位和末位 先排末位：13C ，再排首位：14C ，最后排中间三位：34A 共有：13C 14C 3 4A =288 2、7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 先种这两种特殊的花在除中间和两端外剩余的3个位置：24A ;再在其余5个位置种剩余的5种花：55A ；总共：24A 55A =1440 三、排列组合混合问题先选后排法 1、4个不同小球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，恰有一空盒的方法有多少种？ 解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想。

排列组合的二十种解法(最全的排列组合方法总结)

教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法，…，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.

先排末位共有 然后排首位共有 最后排其它位置共有 由分步计数原理得 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进 行自排。由分步计数原理可得共有种不同的排法 要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列. 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有种，第二步将4舞蹈插入

全国高考数学复习微专题：排列组合中的常见模型

排列组合的常见模型 一、基础知识： （一）处理排列组合问题的常用思路： 1、特殊优先：对于题目中有特殊要求的元素，在考虑步骤时优先安排，然后再去处理无要求的元素。 例如：用0,1,2,3,4组成无重复数字的五位数，共有多少种排法？ 解：五位数意味着首位不能是0，所以先处理首位，共有4种选择，而其余数位没有要求， 只需将剩下的元素全排列即可，所以排法总数为44496N A =?=种 2、寻找对立事件：如果一件事从正面入手，考虑的情况较多，则可以考虑该事的对立面，再用全部可能的总数减去对立面的个数即可。 例如：在10件产品中，有7件合格品，3件次品。从这10件产品中任意抽出3件，至少有一件次品的情况有多少种 解：如果从正面考虑，则“至少1件次品”包含1件，2件，3件次品的情况，需要进行分类讨论，但如果从对立面想，则只需用所有抽取情况减去全是正品的情况即可，列式较为简 单。3310785N C C =-=（种） 3、先取再排（先分组再排列）：排列数m n A 是指从n 个元素中取出m 个元素，再将这m 个元素进行排列。但有时会出现所需排列的元素并非前一步选出的元素，所以此时就要将过程拆分成两个阶段，可先将所需元素取出，然后再进行排列。 例如：从4名男生和3名女生中选3人，分别从事3项不同的工作，若这3人中只有一名女生，则选派方案有多少种。 解：本题由于需要先确定人数的选取，再能进行分配（排列），所以将方案分为两步，第一步：确定选哪些学生，共有2143C C 种可能，然后将选出的三个人进行排列：3 3A 。所以共有213433108C C A =种方案 （二）排列组合的常见模型 1、捆绑法（整体法）：当题目中有“相邻元素”时，则可将相邻元素视为一个整体，与其他元素进行排列，然后再考虑相邻元素之间的顺序即可。 例如：5个人排队，其中甲乙相邻，共有多少种不同的排法

排列组合问题的几种基本方法(复习归纳)

排列组合问题 1. 分组（堆）问题 分组（堆）问题的六个模型：①无序不等分；②无序等分；③无序局部等分；(④有序不等分；⑤有序等分；⑥有序局部等分.) 处理问题的原则： ①若干个不同的元素“等分”为 ｍ个堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m! ②若干个不同的元素局部“等分”有 ｍ个均等堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m! ③非均分堆问题，只要按比例取出分完再用乘法原理作积. ④要明确堆的顺序时，必须先分堆后再把堆数当作元素个数作全排列. 1. 分组（堆）问题 例1.有四项不同的工程，要发包给三个工程队，要求每个工程队至少要得到一项工程. 共有多少种不同的发包方式？ 解：要完成发包这件事，可以分为两个步骤： ⑴先将四项工程分为三“堆”，有 211421 2 2 6C C C A 种分法； ⑵再将分好的三“堆”依次给三个工程队， 有3!＝6种给法. ∴共有6×6＝36种不同的发包方式. 2.插空法： 解决一些不相邻问题时，可以先排“一般”元素然后插入“特殊”元素，使问题得以解决. ♀ ♀ ♀ ♀ ♀ ♀ ♀ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ 例2 . 7人排成一排.甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？ 解：分两步进行： 55A 有=120种排法 第1步，把除甲乙外的一般人排列： 第2步，将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中(插孔)： 26A 有=30种插入法

120303600∴?共有＝种排法 () 种不同的排法有22 5566P P P -∴ 3.捆绑法 相邻元素的排列，可以采用“局部到整体”的排法，即将相邻的元素局部排列当成“一个”元素，然后再进行整体排列. 例3 . 6人排成一排.甲、乙两人必须相邻,有多少种不的排法? ♀ ♀ ♀ ♀ ♀ ♀ ♀ ♀ 解：（1）分两步进行： 甲 乙 第一步，把甲乙排列(捆绑)： 22 A 有＝2种捆法 第二步，甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队： 55 A 有＝120种排法 几个元素不能相邻时,先排一般元素，再让特殊元素插孔. 几个元素必须相邻时,先捆绑成一个元素，再与其它的进行排列.

排列组合21种模型

排列组合21种模型 1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 例1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有 A 、60种 B 、48种 C 、36种 D 、24种 解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种，答案：D . 2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 A 、1440种 B 、3600种 C 、4820种 D 、4800种 解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不 同的排法种数是52563600A A =种，选B . 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法. 例3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数是 A 、24种 B 、60种 C 、90种 D 、120种 解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602 A =种，选 B . 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，

第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成. 例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有 A 、6种 B 、9种 C 、11种 D 、23种 解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B . 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是 A 、1260种 B 、2025种 C 、2520种 D 、5040种 解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有21110872520C C C 种，选C . （2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有 A 、4441284C C C 种 B 、44412843 C C C 种 C 、4431283 C C A 种 D 、444128433C C C A 种 答案：A . 6.全员分配问题分组法: 例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？

数学解排列组合应用题的21种策略

解排列组合应用题的21种策略 排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略. 1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 例1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有（ ） A 、60种 B 、48种 C 、36种 D 、24种 解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列， 4424A =种，答案：D . 2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例 2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ） A 、1440种 B 、3600种 C 、4820种 D 、4800种 解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同 的排法种数是525 63600A A =种，选B . 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法. 例3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数是（ ） A 、24种 B 、60种 C 、90种 D 、120种 解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602 A =种，选 B . 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成. 例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ） A 、6种 B 、9种 C 、11种 D 、23种 解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B . 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ）

排列组合的二十种解法(最全的排列组合方法总结)

教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2 类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有3 4A 由分步计数原理得113 434288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有 多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元 素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522 522480A A A =种不同的 排法