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2014-2015-1工科高数(2-1)期末考试A卷参考答案

2014-2015-1工科高数(2-1)期末考试A卷参考答案
2014-2015-1工科高数(2-1)期末考试A卷参考答案

2014—2015学年第一学期《高等数学(2-1)》期末考试A卷

( 工科类 )

参考答案及评分标准

各章所占分值如下:

第一章函数与极限16 %;第二章一元函数的导数与微分16 %;第三章微分中值定理与导数的应用14 %;第四章不定积分15 %;第五章定积分及其应用26 % . 第六章常微分方程13 % .

一.(共3小题,每小题4分,共计12 分)判断下列命题是否正确

在 题后的括号内打“√”或“?” ,如果正确,请给出证明,如果不正确请举一个反例进行说明 .

1.极限x

x 1

sin

lim 0→不存在. ( √ )--------------------------------------------------(2分)

证 设x x f 1sin )(= ,取π

n x n 21=,2

21

ππ+

=n y n ,),2,1( =n

0lim =∞

→n n x ,0lim =∞

→n n y ,

但)(lim n n x f ∞→n n x 1

sin lim ∞→=02sin lim ==∞

→πn n ,

)(lim n n y f ∞→n n y 1

sin

lim ∞→=1)22sin(lim =+=∞

→ππn n , 由海涅定理,x

x 1

sin lim 0→不存在. ---------------------------------------------------------------(2分)

2.若曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点处存在切线,则)(x f 在0x 点必可导. ( ? )

--------------------------------------------------------(2分) 例:3x y =在)0,0(点处有切线0=x ,但3x y =在0=x 处不可导.

---------------------------------------------------------(2分)

3.设函数)(x f 在],[b a 上连续且下凸,在),(b a 内二阶可导,则

),(b a x ∈?有0)(>''x f . (

? )

----------------------------------------------------------(2分)

例:4)(x x f =在]3,2[-上连续且下凸,但 0)0(=''f .

. ---------------------------------------------------------(2分)

二.(共3小题,每小题6分,共计18分) 1. 求极限)!sin()11

(

lim n n

n

n ?-∞

→ .

解 ,0)11(lim =-∞→n

n n

,1)!s i n (≤n ------------------------------------------------------(3分)

.0)!sin()11

(lim =?-∴∞

→n n

n n ----------------------------------------------------------------(3分)

2.求极限4

4)1(lim

x

dt

e t x x t x ?

-+∞

→+.

解 4

4

)1(l i m

x dt

e

t x x

t x ?-+∞

→+??

?

??∞∞+=?+∞

→x

x t x e x dt e t 40

4)1(lim

----------------------------(2分)

x

x

x e x x e x )4()1(lim

434++=+∞→---------------------------------------------------------------------(2分)

.141lim 4

34

=++=+∞→x x x x --------------------------------------------------------------------(2分)

3.求极限)21(

lim 222222n

n n

n n n n n ++++++∞→ . 解 )21(lim 2

22222

n n n

n n n n n ++++++∞→ ∑=∞→???

?

??+=n

i n n n i 121

11lim ------------------------------------------------------------------(2分) ?+=102

1x dx ---------------------------------------------------------------------(2分) 4

arctan 10

π

=

=x

. ----------------------------------------------------------------(2分)

1.求函数()x

x e

e

x f 11211++=

的间断点并判断其类型.

解 0=x 是)(x f 的间断点,---------------------------------------------------------------------(3分)

又 )(lim 0

x f x +→21211lim 11

=

++=+

→x

x x e

e

,)(lim 0

x f x -→1211lim 110=++=-→x

x

x e e , 0=∴x 是)(x f 的跳跃间断点. ---------------------------------------------------------------(3分)

2.设??

???=≠-=0,00

,1

)(2

x x x e x f x ,求 .)(x f '

解 当0≠x 时,2)1(2)(22x e x x e x f x x --?='2

122

2

x e e x x --

=----------------- (3分 ) 当0=x 时,0)0()(lim )0(0--='→x f x f f x x

x e x x 1lim 2

0-=→

2

01lim

2x e x x -=→122lim 2

0==→x xe x

x ,

??

???=≠--='∴.0,1,0,1

2)(22

2x x x e e x f x x ------------------------------------------------ ( 3分 )

3.设方程ln(sin )cos sin x t y t t t =??=+?

确定y 为x 的函数,求dy dx 与22

d y

dx . 解

()sin ()

dy y t t t dx x t '==' , --------------------------------------------------------------------(3分)

22

d y d dy dx dx dx ??= ???

()sin d

t t dx =()sin d dt t t dt dx =?sin cos ()t t t x t +='sin tan sin t t t t =+. -----------------------------------------------------------------------(3分)

1.求不定积分?

+dx e x

x ln 2.

解 ?

+dx e x

x

ln 2

??=dx e e x x ln 2?=dx x e x 2

-----------------------------------------------(3分)

)(2122

?=

x d e x -------------------------------------------------------------------------(2分) .2

12

C e x += ----------------------------------------------------------------------(1分)

2.求不定积分?

dx x x 2

cos .

?

dx x x 2

cos ?+=dx x

x 2

2cos 1 -------------------------------------------------------(2分) ?+=)2(sin 41

412x xd x ---------------------------------------------------(2分) ?-+=dx x x x x 2sin 41

2sin 41412 C x x x x +++=2cos 8

1

2sin 41412.------------------------------------(2分)

3.设)(x f 在]1,1[-上连续,求定积分

dx x x x f x f }1sin )]()([{211

-+-+?

-.

解1

dx x x x f x f }1sin )]()([{211-+-+?

- dx x x f x f sin )]()([11

-+=?

-dx x 211

1-+?

-------------------------------(2分)

dx x 210

120-+=?

(上半单位圆的面积)-----------------------------------(3分)

2

4

π

=

?

=.------------------------------------------------------------------------------(1分)

解2

dx x x x f x f }1sin )]()([{211-+-+?

- dx x x f x f sin )]()([11

-+=?

-dx x 211

1-+?

-----------------------------(2分)

+=0dx x 211

1-+?

-(上半单位圆的面积)-------------------------------(3分)

2

π

=

.-------------------------------------------------------------------------------------(1分)

五.(本题8分)设由曲线 x y ln = 与直线 0=-ey x 及 x 轴 所围平面图形为 D (1) 求D 的面积S ;(4分)

(2) 求D 绕直线e x =旋转所得旋转体的体积 V .(4分)

解 曲线x y ln =与直线 0=-ey x 的交点为)1,(e ----------------------(1分)

.12

-=

e

------------------------------------------(3分) (2) ??

---=-=1

210

2

21)()(dy e e dy ey e V V V y ππ------------------------------(2分)

??

+---=1

2210

2

2

)2()1(dy e ee e dy y e y y ππ

.)3125(6

)2212(3222

+-=---=e e e e e π

ππ----------------------(2分)

x

x ?-=1

)()1(dy

y e e S y 1

2

]

2[e y

e y -=

六.(共2小题,每小题6分,共计12分)

1.设有半径为R 的半球形蓄水池中已盛满水 (水的密度为ρ), 求将池中水全部抽出所做的功.

解 过球心的纵截面建立坐标系如图,

则半圆方程为222x y R +=. --------------------------------------------------(1分)

.4

4gR ρπ

=---------------------------------------------------------------------------(2分)

2.设有质量为m 的降落伞以初速度0v 开始降落,若空气的阻力与速度成正比(比例系数为0>k ),求降落伞下降的速度与时间的函数关系.

解 设降落伞下降的速度为)(t v ,则根据牛顿第二运动定律,有 kv mg dt

dv

m

-=,其中g 为重力加速度,-------------------------------------------(2分) 分离变量,得

m dt

kv mg dv =- , 两端积分 ??

=-m dt

kv mg dv , 1ln 1C m t kv mg k +=-- , 1ln kC t m

k

kv mg --=-, t m

k Ce

kv mg -=- (其中1

kC e

C -=,0>-kv mg )---------------------------------(2分)

由已知0)0(v v =,代入上式,得0kv mg C -=,

故 .)(0t

m k

e k

mg v k mg v --+=------------------------------------------------------------(2分)

y

,],0[R x ∈?所做功的微元:

取],[dx x x +(其中g x dx x R g dW ?-=)(22πρ分)

(3)(3

2

dx x x R g -=πρ2

3

()R

W g R x x dx

ρπ=-?故

七.(本题6分)求微分方程2106652+-=+'-''x x y y y 的通解.

解 特征方程为:,0652=+-r r 特征根:.3,221==r r

对应齐次方程的通解为:.3221x x e C e C y +=----------------------------------------(3分) 而0不是特征根,可设非齐次方程的特解为C Bx Ax y ++=21,----------------(1分)

B Ax y +='21

,A y 21='',代入原方程得, 2106)(6)2(5222+-=++++-x x C Bx Ax B Ax A , 2106652)106(622+-=+-+-+x x C B A x A B Ax ,

比较同次幂的系数,得??

?

??=+--=-=.2652,10106,

66C B A A B A

解之得,.0,0,1===C B A .21x y =∴

故所要求的通解为.23221x e C e C y x x ++=---------------------------------------------(2分)

八.(本题8分)设L 是一条平面曲线,其上任意一点)0(),(>x y x 到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y 轴上的截距且L 经过点)0,2

1

(. (1)试求曲线L 的方程;

(2)求L 位于第一象限的一条切线,使该切线与L 以及两坐标轴所围图形的面积最小. 解(1)过曲线L 上点),(y x 处的切线方程为:)(x X y y Y -'=-, 令0=X ,得切线在y 轴上的截距:y x y Y '-=,

由题意,得y x y y x '-=+2

2

,即dx dy x y x y -=??

?

??+2

1,)0(>x ------------(2分)

u x y =,则,12x dx u du -=+)0(>x ,12??-=+?x dx

u

du )0(>x

C x u u ln ln )1ln(2+-=++?,C u u x =++?)1(2,将x

y

u =

代入并化简,得 C y x y =++2

2,由L 经过点)0,21(,令21=x ,0=y ,得21=C ,

故曲线L 的方程为:,2122=++y x y 即 2

4

1x y -=.----------------------------------(2分)

(2)曲线L :2

4

1x y -=在点),(y x 处的切线方程为:)(x X y y Y -'=-,

即)(2)41(2x X x x Y --=--,亦即 )2

10(4122

≤<+

+-=x x X x Y , 切线与x 轴及y 轴的交点分别为:)0,241(2x

x +

,).41,0(2+x -----------------------(2分)

所求面积?--+?=210222)41(2)41(21)(dx x x

x x S ,)0(>x

)413)(41(41)41

(2)41(441)(222

22222-+=+-+?='x x x x x x x x S ,)0(>x 令0)(='x S ,得)(x S 符合实际意义唯一驻点:6

3

=

x , 即6

3

=

x 为)(x S 在)21,0(内的最小值点, 故所求切线方程为: 41363632++?

-=X Y ,即.3

1

33+-=X Y ---------------------------------------------(2分)

最新高数期末考试题.

往届高等数学期终考题汇编 2009-01-12 一.解答下列各题(6*10分): 1.求极限)1ln(lim 1 x x e x ++ →. 2.设?? ? ??++++=22222ln a x x a a x x y ,求y d . 3.设?????-=-=3 232t t y t t x ,求22d d x y . 4.判定级数()()0!1 2≥-∑∞ =λλλn n n n n e 的敛散性. 5.求反常积分() ?-10 d 1arcsin x x x x . 6.求?x x x d arctan . 7.?-π 03d sin sin x x x . 8.将?????≤≤<=ππ πx x x x f 2,02,)(在[]ππ,-上展为以π2为周期的付里叶级数,并指出收敛于()x f 的区间. 9.求微分方程0d )4(d 2=-+y x x x y 的解. 10.求曲线1=xy 与直线0,2,1===y x x 所围平面图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积. 二.(8分)将()()54ln -=x x f 展开为2-x 的幂级数,并指出其收敛域. 三.(9分)在曲线()10sin 2≤≤=x x y 上取点() ()10,sin ,2≤≤a a a A ,过点A 作平行于ox 轴的直线L ,由直线L ,oy 轴及曲线()a x x y ≤≤=0sin 2所围成的图形记为1S ,由直线L ,直线1=x 及曲线 ()1sin 2≤≤=x a x y 所围成的图形面积记为2S ,问a 为何值时,21S S S +=取得最小值. 四.(9分)冷却定律指出,物体在空气中冷却的速度与物体和空气温度之差成正比,已知空气温度为30℃时,物体由100℃经15分钟冷却至70℃,问该物体冷却至40℃需要多少时间? 五.(8分)(学习《工科数学分析》的做(1),其余的做(2)) (1)证明级数∑∞ =-02n nx e x 在[),0+∞上一致收敛. (2)求幂级数()∑ ∞ =-----1 221 21212)1(n n n n x n 的收敛域及和函数. 六.(6分)设()[]b a C x f ,2∈,试证存在[]b a ,∈ξ,使()()()()?''-+ ??? ??+-=b a f a b b a f a b dx x f ξ324 1 2

安徽大学高等数学3期末考试试卷

安徽大学2011—2012学年第一学期 《高等数学A (三)》考试试卷(A 卷) 院/系 年级 专业 姓名 学号 答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线---------------------------------------- (闭卷 时间120分钟) 考场登记表序号 题 号 一 二 三 四 五 总分 得 分 阅卷人 得分 一、选择题(每小题2分,共10分) 1.设A 为阶可逆矩阵,则下列各式正确的是( )。 n (A); (B)1(2)2A ?=1A ?11(2)(2)T T A A ??=; (C); (D)。 1111(())(())T T A A ????=11(())(())T T T A A ???=1 2.若向量组12,,,r αα α可由另一向量组12,,,s ββ β线性表示,则下列说法正确的是 ( )。 (A); (B)r ; r s ≤s ≥(C)秩(12,,,r ααα )≤秩(12,,,s ββ β); (D)秩(12,,,r ααα ≥)秩(12,,,s ββ β)。 3.设,A B 为阶矩阵,且n A 与B 相似,E 为阶单位矩阵,则下列说法正确的是( )。 n (A)E A E B λλ?=?; (B)A 与B 有相同的特征值和特征向量; (C)A 与B 都相似于一个对角矩阵; (D)对任意常数,与k kE A ?kE B ?相似。 4.设123,,ααα为3R 的一组基,则下列向量组中,( )可作为3R 的另一组基。 (A)11212,,3ααααα??; (B)1212,,2αααα+; (C)12231,,3αααααα++?; (D)12231,,3αααααα+++。 5.设,,()0.8P A =()0.7P B =(|)0.8P A B =,则下列结论正确的是( )。 (A)事件A 与B 互不相容; (B)A B ?; (C)事件A 与B 互相独立; (D)。 ()()()P A B P A P B =+∪

同济大学大一 高等数学期末试题 (精确答案)

学年第二学期期末考试试卷 课程名称:《高等数学》 试卷类别:A 卷 考试形式:闭卷 考试时间:120 分钟 适用层次: 适用专业; 阅卷须知:阅卷用红色墨水笔书写,小题得分写在每小题题号前,用正分表示,不 得分则在小题 大题得分登录在对应的分数框内;考试课程应集体阅卷,流水作业。 课程名称:高等数学A (考试性质:期末统考(A 卷) 一、单选题 (共15分,每小题3分) 1.设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ,00(,)y f x y 都存在,则 ( ) A .(,)f x y 在P 连续 B .(,)f x y 在P 可微 C . 0 0lim (,)x x f x y →及 0 0lim (,)y y f x y →都存在 D . 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在 2.若x y z ln =,则dz 等于( ). ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x x y y C y ydx dy x + ln ln ln ln . x x y y y x D dx dy x y + 3.设Ω是圆柱面2 2 2x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域,则 (),,(=??? Ω dxdydz z y x f ). 21 2 cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz π θθθθ? ? ? 21 2 cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz π θθθθ? ? ? 212 2 cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz π θπθθθ-?? ? 21 cos .(cos ,sin ,)x D d rdr f r r z dz πθθθ?? ? 4. 4.若1 (1)n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛,则此级数在2x =处( ). A . 条件收敛 B . 绝对收敛 C . 发散 D . 敛散性不能确定 5.曲线2 2 2x y z z x y -+=?? =+?在点(1,1,2)处的一个切线方向向量为( ). A. (-1,3,4) B.(3,-1,4) C. (-1,0,3) D. (3,0,-1) 二、填空题(共15分,每小题3分) 系(院):——————专业:——————年级及班级:—————姓名:——————学号:————— ------------------------------------密-----------------------------------封----------------------------------线--------------------------------

大一(第一学期)高数期末考试题及答案

( 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . (A )(0)2f '= (B )(0)1f '=(C )(0)0f '= (D )()f x 不可导. 2. ) 时( ,则当,设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. (A )()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B )()()x x αβ与是 等价无穷小; (C )()x α是比()x β高阶的无穷小; (D )()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. … 4. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?,其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ,则( ). (A )函数()F x 必在0x =处取得极大值; (B )函数()F x 必在0x =处取得极小值; (C )函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; (D )函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 5. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数,且设 (A )22x (B )2 2 2x +(C )1x - (D )2x +. 二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 6. , 7. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 8. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 9. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 10. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin - dx x x x . 三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 11. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定,求'()y x 以及'(0)y .

大一第二学期高数期末考试题(含答案)

大一第二学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . (A )(0)2f '= (B )(0)1f '=(C )(0)0f '= (D )()f x 不可导. 2. )时( ,则当,设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. (A )()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B )()()x x αβ与是等价无 穷小; (C )()x α是比()x β高阶的无穷小; (D )()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?,其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x , 则( ). (A )函数()F x 必在0x =处取得极大值; (B )函数()F x 必在0x =处取得极小值; (C )函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; (D )函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数,且设 (A )22x (B )2 2 2x +(C )1x - (D )2x +. 二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 1 2 12 211 arcsin - dx x x x . 三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定,求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. .  求,, 设?--??? ??≤<-≤=1 32 )(1020)(dx x f x x x x xe x f x 12. 设函数 )(x f 连续, =?1 ()()g x f xt dt ,且 →=0 () lim x f x A x ,A 为常数. 求'() g x

同济大学版高等数学期末考试试卷

同济大学版高等数学期 末考试试卷 Company number:【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

《高数》试卷1(上) 一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分). 1.下列各组函数中,是相同的函数的是( ). (A )()()2ln 2ln f x x g x x == 和 (B )()||f x x = 和 ( )g x =(C )()f x x = 和 ( )2 g x = (D )()|| x f x x = 和 ()g x =1 2.函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续,则a =( ). (A )0 (B )1 4 (C )1 (D )2 3.曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为( ). (A )1y x =- (B )(1)y x =-+ (C )()()ln 11y x x =-- (D )y x = 4.设函数()||f x x =,则函数在点0x =处( ). (A )连续且可导 (B )连续且可微 (C )连续不可导 (D )不连续不可微 5.点0x =是函数4y x =的( ). (A )驻点但非极值点 (B )拐点 (C )驻点且是拐点 (D )驻点且是极值点 6.曲线1 || y x = 的渐近线情况是( ). (A )只有水平渐近线 (B )只有垂直渐近线 (C )既有水平渐近线又有垂直渐近线 (D )既无水平渐近线又无垂直渐近线 7.211 f dx x x ??' ????的结果是( ). (A )1f C x ?? -+ ??? (B )1f C x ?? --+ ??? (C )1f C x ??+ ??? (D )1f C x ?? -+ ???

高数2-期末试题及答案

北京理工大学珠海学院 2010 ~ 2011学年第二学期《高等数学(A)2》期末试卷A (答案) 适用年级专业:2010级信息、计算机、机械与车、化工与材料学院各专业 一.选择填空题(每小题3分,共18分) 1.设向量 a =(2,0,-2),b = (3,-4,0),则a ?b = 分析:a ?b = 2 234 i j k -- = -6j – 8k – 8i = (-8,-6,-8) 2.设 u = 2 2 3 x xy y ++.则 2u x y ??? = 分析:u x ?? = 22x y +, 则2u x y ??? = 2' (2)x y += 2y 3.椭球面 2 2 2 2315x y z ++= 在点(1,-1,,2)处的切平面方程为 分析:由方程可得,2 2 2 (,,)2315F x y z x y z =++- ,则可知法向量n =( Fx, Fy, Fz ); 则有 Fx = 2x , Fy = 4y , Fz = 6z ,则过点(1,-1,,2)处的法向量为 n =(2,-4,,12) 因此,其切平面方程为:2(1)4(1)12(2)0x y z --++-= ,即 26150x y z -+-= 4.设D :y = x, y = - x, x = 2直线所围平面区域.则 (2)D y d σ+=??___________ 分析:画出平面区域D (图自画),观图可得, 2 (2)(2)8x x D y d dx y dy σ-+=+=???? 5.设L :点(0 , 0 )到点(1 , 1)的直线段.则 2L x ds =? _________ 分析:依题意可知:L 是直线y = x 上点(0 , 0 )与点(1 , 1)的一段弧,则有 1 1 2 L x ds x x === ? ?? 6.D 提示:级数 1 n n u ∞ =∑发散,则称级数 1 n n u ∞ =∑条件收敛 二.解答下列各题(每小题6分,共36分)

高数-下-期末考试试卷及答案

2017学年春季学期 《高等数学Ⅰ(二)》期末考试试卷(A ) 注意: 1、本试卷共 3 页; 2、考试时间110分钟; 3、姓名、学号必须写在指定地方 一、单项选择题(8个小题,每小题2分,共16分)将每题的正确答案的代号A 、B 、C 或D 填入下表中. 1.已知a 与b 都是非零向量,且满足-=+a b a b ,则必有( ). (A)-=0a b (B)+=0a b (C)0?=a b (D)?=0a b 2.极限2 2 22 00 1 lim()sin x y x y x y →→+=+( ). (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)不存在 3.下列函数中,d f f =?的是( ). (A )(,)f x y xy = (B )00(,),f x y x y c c =++为实数 (C )(,)f x y = (D )(,)e x y f x y += 4.函数(,))f x y y ,原点(0,0)是(,)f x y 的( ). (A )驻点与极值点 (B )驻点,非极值点 (C )极值点,非驻点 (D )非驻点,非极值点 5.设平面区域2 2 :(1)(1)2D x y -+-≤,若1d 4D x y I σ+= ??,2D I σ=,3D I σ=,则有( ). (A )123I I I << (B )123I I I >> (C )213I I I << (D )312I I I << 6.设椭圆L :13 42 2=+y x 的周长为l ,则22(34)d L x y s +=??( ). (A) l (B) l 3 (C) l 4 (D) l 12 7.设级数 ∑∞ =1 n n a 为交错级数,0()n a n →→+∞,则( ). (A)该级数收敛 (B)该级数发散 (C)该级数可能收敛也可能发散 (D)该级数绝对收敛 8.下列四个命题中,正确的命题是( ). (A )若级数 1n n a ∞ =∑发散,则级数21n n a ∞ =∑也发散 (B )若级数 21n n a ∞=∑发散,则级数1n n a ∞=∑也发散 (C )若级数 21n n a ∞ =∑收敛,则级数 1n n a ∞ =∑也收敛 (D )若级数 1 ||n n a ∞=∑收敛,则级数2 1 n n a ∞=∑也收敛 二、填空题(7个小题,每小题2分,共14分). 1.直线34260 30 x y z x y z a -+-=?? +-+=?与z 轴相交,则常数a 为 . 2.设(,)ln(),y f x y x x =+则(1,0)y f '=______ _____. 3.函数(,)f x y x y =+在(3,4)处沿增加最快的方向的方向导数为 . 4.设2 2 :2D x y x +≤,二重积分 ()d D x y σ-??= . 5.设()f x 是连续函数,22{(,,)|09}x y z z x y Ω=≤≤--,22()d f x y v Ω +???在柱面坐标系下 的三次积分为 . 6.幂级数11 (1)!n n n x n ∞-=-∑ 的收敛域是 . 7.将函数2 1,0 ()1,0x f x x x ππ --<≤??=?+<≤??以2π为周期延拓后,其傅里叶级数在点x π=处收敛 于 . 三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名 …………………….……答 题 不 要 超 过 密 封 线………….………………………………

历年高等数学期末考试试题

2008-2009学年第一学期期末试题 一、填空题(每题5分,共30分) 1.曲线1ln()y x e x =+的斜渐近线方程是________________________ 2.若函数)(x y y =由2cos()1x y e xy e +-=-确定,则在点(0,1)处的法线方程是________ 3.设()f x 连续,且21 40 ()x f t dt x -=? ,则(8)______f = 4.积分 20 sin n xdx π =? ___________________ 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_____________ 6 .曲边三角形y = 0,1y x ==绕x 轴旋转所得的旋转体体积为_________ 二.选择题(每题3分,共15分) 1.当0x +→ ) () A 1- () B () C 1 () D 1-2. 若1()(21)f x x x ??=-???? ,则()f x 在( )处不连续 ()A 3x = ()B 2x = ()C 12x = ()D 13 x = 3.若()sin cos f x x x x =+,则( ) ()A (0)f 是极大值,()2f π是极小值, ()B (0)f 是极小值,()2f π 是极大值 ()C (0)f 是极大值,()2f π 也是极大值 ()D (0)f 是极小值,()2 f π 也是极小值 4.设线性无关的函数123,,y y y 都是二阶非齐次线性方程()()()y p x y q x y f x '''++=的解, 12,c c 是任意常数,则该方程的通解为( ) ()A 11223c y c y y ++, ()B 1122123()c y c y c c y +-+, ()C 1122123(1)c y c y c c y +---, ()D 1122123(1)c y c y c c y ++--, 5.极限2 1 33lim ( )n n i i n n n →∞=-∑可表示为( ) ()A 2 2 13x dx -? ()B 1 2 03(31)x dx -? ()C 2 2 1 (31)x dx --? () D 1 20 x dx ?

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2011 学年第一学期 《高等数学( 2-1 )》期末模拟试卷 专业班级 姓名 学号 开课系室考试日期 高等数学 2010 年 1 月11 日 页号一二三四五六总分得分 阅卷人 注意事项 1.请在试卷正面答题,反面及附页可作草稿纸; 2.答题时请注意书写清楚,保持卷面清洁; 3.本试卷共五道大题,满分100 分;试卷本请勿撕开,否则作废.

本页满分 36 分 本 页 得 一.填空题(共 5 小题,每小题 4 分,共计 20 分) 分 1 lim( e x x) x 2 . 1. x 0 1 x 2005 e x e x dx x 1 2. 1 . x y t 2 dy 3.设函数 y y( x) 由方程 e dt x x 0 1 确定,则 dx x tf (t)dt f (x) 4. 设 f x 1 ,则 f x 可导,且 1 , f (0) . 5.微分方程 y 4 y 4 y 的通解为 . 二.选择题(共 4 小题,每小题 4 分,共计 16 分) . f ( x) ln x x k 1.设常数 k e 0 ,则函数 在 ( 0, (A) 3 个; (B) 2 个 ; (C) 1 2. 微分方程 y 4y 3cos2 x 的特解形式为( ( A ) y Acos2 x ; ( B ) y ( C ) y Ax cos2 x Bx sin 2x ; ( D ) y * 3.下列结论不一定成立的是( ) . ) 内零点的个数为( 个 ; (D) 0 个 . ) . Ax cos2x ; A sin 2x . ) . d b x dx ( A )若 c, d a,b , 则必有 f x dx f ; c a b x dx 0 (B )若 f (x) 0 在 a,b f 上可积 , 则 a ; a T T ( C )若 f x 是周期为 T 的连续函数 , 则对任意常数 a 都有 a f x dx x t dt (D )若可积函数 t f f x 为奇函数 , 则 0 也为奇函数 . 1 f 1 e x x 1 4. 设 2 3e x , 则 x 0 是 f ( x) 的( ). (A) 连续点 ; (B) 可去间断点 ; (C) 跳跃间断点 ; (D) 无穷间断点 . f x dx ; 三.计算题(共 5 小题,每小题 6 分,共计 30 分)

大学高等数学高数期末考试试卷及答案

大学高等数学高数期末考 试试卷及答案 Last updated on the afternoon of January 3, 2021

华南农业大学2010/2011学年第一学期经济数学期中考试试卷 一、选择题(每题3分,共30分) 1、设函数3()1f x x =-,则()f x -=() 31x -31x --31x -+31x +、函数y = A .3x < B .3x ≤ C .4x < D .4x ≤ 3、()中的两个函数相同. A .()f x x =,()g t =.2()lg f x x =,()2lg g x x = C .21()1x f x x -=+,()1g x x =- D .sin 2()cos x f x x =,()2sin g x x = 4、下列函数中()是奇函数。 A .3sin()4x x - B .1010x x -+ C .2cos x x - D . sin x x 5、1 lim(1)n n n →∞-=() A .1 B .2e C .1e - D .∞+ 6、下列函数在给定变化过程中是无穷大量的是() 1 sin (0)x x x →.(0)x e x → ln (0)x x +→.sin ()x x x →∞ 7、设10 ()10x e x f x x x ?+≤=?->?,则在0=x 处,)(x f () A .连续 B .左、右极限不存在 C .极限存在但不连续 D .左、右极限存在但不相等 8、若曲线()f x 在点0x x =处的切线平行于直线234x y +=,则0()f x '=() A .2 B .3 C . 23D .23 - 9、设()x f x e =,则[(sin )]f x '=()。 A .x e B .sin x e C .sin cos x x e D .sin sin x x e

大一高数同济版期末考试题(精) - 副本

高等数学上(1) 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . (A )(0)2f '= (B )(0)1f '=(C )(0)0f '= (D )()f x 不可导. 2. ) 时( ,则当,设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. (A )()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B )()()x x αβ与是等价无穷小; (C )()x α是比()x β高阶的无穷小; (D )()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?,其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ,则( ). (A )函数()F x 必在0x =处取得极大值; (B )函数()F x 必在0x =处取得极小值; (C )函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; (D )函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数,且设 (A )22x (B )2 2 2x +(C )1x - (D )2x +. 二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 5. = +→x x x sin 2 ) 31(l i m . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞-+++=2 2 221 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin - dx x x x . 三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定,求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. .  求,, 设?--?????≤<-≤=1 32 )(1020 )(dx x f x x x x xe x f x

(完整word版)同济大学版高等数学期末考试试卷

《高数》试卷1(上) 一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分). 1.下列各组函数中,是相同的函数的是( ). (A )()()2ln 2ln f x x g x x == 和 (B )()||f x x = 和 ( )g x =(C )()f x x = 和 ( )2 g x = (D )()|| x f x x = 和 ()g x =1 2.函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续,则a =( ). (A )0 (B )1 4 (C )1 (D )2 3.曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为( ). (A )1y x =- (B )(1)y x =-+ (C )()()ln 11y x x =-- (D )y x = 4.设函数()||f x x =,则函数在点0x =处( ). (A )连续且可导 (B )连续且可微 (C )连续不可导 (D )不连续不可微 5.点0x =是函数4 y x =的( ). (A )驻点但非极值点 (B )拐点 (C )驻点且是拐点 (D )驻点且是极值点 6.曲线1 || y x = 的渐近线情况是( ). (A )只有水平渐近线 (B )只有垂直渐近线 (C )既有水平渐近线又有垂直渐近线 (D )既无水平渐近线又无垂直渐近线 7. 211 f dx x x ??' ???? 的结果是( ). (A )1f C x ?? -+ ??? (B )1f C x ?? --+ ??? (C )1f C x ?? + ??? (D )1f C x ?? -+ ??? 8. x x dx e e -+?的结果是( ). (A )arctan x e C + (B )arctan x e C -+ (C )x x e e C --+ ( D )ln()x x e e C -++ 9.下列定积分为零的是( ).

高等数学二期末考试试题

华北科技学院12级《电子商务专业》高等数学二期末考试试题 一、选择题:1~10小题,每小题4分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内。 1、 .设函数25x y e =+,则'y = A.2x e B.22x e C. 225x e + D.25x e + 2、设y x =+-33,则y '等于( ) A --34x B --32x C 34x - D -+-334x 3、设f x x ()cos =2,则f '()0等于( ) A -2 B -1 C 0 D 2 4. 曲线y x =3的拐点坐标是( ) A (-1,-1) B (0,0) C (1,1) D (2,8) 5、sin xdx ?等于( ) A cos x B -cos x C cos x C + D -+cos x C 6、已知()3x f x x e =+,则'(0)f = A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7、下列函数在(,)-∞+∞内单调增加的是 A.y x = B.y x =- C. 2y x = D.sin y x = 8、1 20x dx =? A.1- B. 0 C. 13 D. 1 9、已知2x 是()f x 的一个原函数,则()f x = A.2 3 x C + B.2x C.2x D. 2 10. 已知事件A 的概率P (A )=0.6,则A 的对立事件A 的概率P A ()等于( ) A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7

二、填空题:11~20小题,每小题4分,共40分。把答案填写在题中横线上。 11、lim()x x x →-+=13 2____________________。 12、lim()x x x →∞-=13____________________。 13、函数y x =+ln()12的驻点为x =____________________。 14、设函数y e x =2,则y "()0=____________________。 15、曲线y x e x =+在点(0,1)处的切线斜率k =____________________。 16、()12 +=?x dx ____________________。 17、2031lim 1 x x x x →+-=+ 。 18、设函数20,()02,x x a f x x ≤?+=?>? 点0x =处连续,则a = 。 19、函数2 x y e =的极值点为x = 。 20、曲线3y x x =-在点(1,0)处的切线方程为y = 。 三、解答题:21~24小题,共20分。解答应写出推理、演算步骤。 21、(本题满分5分) 计算lim x x x x →-+-122321

大一上学期高数期末考试题

大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1.. (A)(B)(C)(D)不可导. 2.. (A)是同阶无穷小,但不是等价无穷小;(B)是等价无穷小; (C)是比高阶的无穷小;(D)是比高阶的无穷小. 3.若,其中在区间上二阶可导且,则(). (A)函数必在处取得极大值; (B)函数必在处取得极小值; (C)函数在处没有极值,但点为曲线的拐点; (D)函数在处没有极值,点也不是曲线的拐点。 4. (A)(B)(C)(D). 二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 5. . 6. . 7. . 8. . 三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 9.设函数由方程确定,求以及. 10. 11. 12.设函数连续,,且,为常数. 求并讨论在处的连续性. 13.求微分方程满足的解. 四、解答题(本大题10分) 14.已知上半平面内一曲线,过点,且曲线上任一点处切线斜率数值上等于此 曲线与轴、轴、直线所围成面积的2倍与该点纵坐标之和,求此曲线方程. 五、解答题(本大题10分) 15.过坐标原点作曲线的切线,该切线与曲线及x轴围成平面图形D. (1)求D的面积A;(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积 V. 六、证明题(本大题有2小题,每小题4分,共8分) 16.设函数在上连续且单调递减,证明对任意的,. 17.设函数在上连续,且,.证明:在内至少存在两个不同的点,使(提示: 设) 解答 一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)

1、D 2、A 3、C 4、C 二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 5. . 6.. 7. . 8.. 三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 9.解:方程两边求导 , 10.解: 11.解: 12.解:由,知。 ,在处连续。 13.解: , 四、解答题(本大题10分) 14.解:由已知且, 将此方程关于求导得 特征方程:解出特征根: 其通解为 代入初始条件,得 故所求曲线方程为: 五、解答题(本大题10分) 15.解:(1)根据题意,先设切点为,切线方程: 由于切线过原点,解出,从而切线方程为: 则平面图形面积 (2)三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1,则 曲线与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2 D绕直线x = e旋转一周所得旋转体的体积 六、证明题(本大题有2小题,每小题4分,共12分) 16.证明: 故有: 证毕。

《高等数学B》本科期末考试试卷A卷

西南科技大学2013-2014-2学期《高等数学B2》本科期末考试试卷(A卷) 2、设y z x =,求dz=__________。

3、求曲线23,,x t y t z t ===在点(1,1,1)处的切线方程________。 4、求函数3u xy z =在点(1,1,2)-处的梯度__________。 5、设,αβ为有向曲线弧L 在点(,)x y 处的切向量的方向角,则平面曲线L 上的两类曲线积分的关系(________________)L L Pdx Qdy ds +=??。 三、解答题(1-2小题每题8分,3-8小题每题9分,共70分) 1、 求曲面22214x y z ++=上平行于平面2320x y z ++=的切平面方程。 2、 设2 2 (,),z f x y xy = -,其中 f 具有连续的二阶偏导数,求2z x y ???。 3、 求函数4242z x xy y =-+的极值。 4、 计算|1|D I x y dxdy =+-??,其中[0,1][0,1]D =?。 5、 把二次积分4 2200 )dx x y dy +?化为极坐标形式,并计算积分值。

1、解:令222(,,)14F x y z x y z =++-, 在点000(,,)P x y z 处的法向量为000(,,)n x y z =r 000 123 x y z k ===令 ,代入方程22214x y z ++=中可得1k =±---————--4分, 在点(1,2,3)处的切平面为2314x y z ++=-————----2分, 在点(-1,-2,-3)处的切平面为23140x y z +++=----————-2分。 2、解:122(3)z xf yf x ?'' =+?分。 3、解:3440,440x y z x y z x y =-==-+=求得驻点为(0,0),(1,1),(-1,-1)。(3分) 212,4,4xx xy yy A z x B z C z ====-==,在点(0,0)处2160AC B -=-<没有极值,(3分) 在点(1,1)和(-1,-1)处2320,0AC B A -=>>,所以有极小值(1,1) 1.z ±±=-(3分) 4、解: 5 、解3334 4cos 22 3 4 2 200 )64cos 12dx x y dy d r dr d π π θ θθθπ+===??? ?分 分 分 。 6、解:131 lim 3 31n n n n n ρ+→∞==+,所以收敛半径为3,收敛区间为323x -<-<,即15 x -<<(3分) 当5x =时1131 3n n n n n n ∞ ∞ ===∑∑g 发散(2 分),当1x =-时11(3)(1)3n n n n n n n ∞ ∞ ==--=∑∑ g 收敛,(2分) 因此原级数的收敛域为[1,5)-。(2分) 7、解:42332,4,24Q P P xy y Q x xy x y x y ??=-=-==-??,所以该曲线积分和积分路径无关。(4分) 11 4 2 3 30 (23)(4)314)=3L xy y dx x xy dy dx y dy -++-=+-???((5 分) 8、解:由高斯公式得22322 ()2=()xy dydz x y z dzdx xydxdy x y dxdy ∑ Ω +-++????? ò(4分) 由柱面坐标224 22300 28()3 r x y dxdydz d r dz π π θΩ +== ?????(5分)

大一高等数学期末考试试卷及答案详解

大一高等数学期末考试试卷 (一) 一、选择题(共12分) 1. (3分)若2,0, (),0 x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. (3分)已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为( ). (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. (3 分)定积分22 π π -?的值为( ). (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. (3分)若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题(共12分) 1.(3分) 平面上过点(0,1),且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. (3分) 1 2 4 1(sin )x x x dx -+=? . 3. (3分) 2 1lim sin x x x →= . 4. (3分) 3 2 23y x x =-的极大值为 . 三、计算题(共42分) 1. (6分)求2 ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. (6 分)设1 y x = +求.y ' 3. (6分)求不定积分2ln(1).x x dx +?

4. (6分)求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ? ≤? =+??+>? 5. (6分)设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt + =?? 所确定,求.dy 6. (6分)设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. (6分)求极限3lim 1.2n n n →∞? ?+ ?? ? 四、解答题(共28分) 1. (7分)设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. (7分)求由曲线cos 2 2y x x π π?? =- ≤≤ ?? ? 与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋 转体的体积. 3. (7分)求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. (7 分)求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().2 2 b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''= ++ --? ? (二) 一、 填空题(每小题3分,共18分) 1.设函数()2 312 2 +--= x x x x f ,则1=x 是()x f 的第 类间断点. 2.函数()2 1ln x y +=,则= 'y . 3. =? ? ? ??+∞→x x x x 21lim . 4.曲线x y 1 = 在点?? ? ??2,21处的切线方程为 .

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