群论和晶体

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74201901-02十四种空间格 （布拉维晶格）

祖母绿晶体

（By:Аружан Жамбулатова）

冰晶的微观结构

（By:Brocken Inaglory）

黄金晶体

（By：Alchemist-hp）

食盐（氯化钠）晶体

（By:Didier Descouens）

钻石 “希望”莫桑石 （碳化硅）

晶体对称性与空间群表

晶体对称性与空间群表 表3.1.七个晶系 三斜 triclinic a≠b ≠c; α≠β≠γ 单斜 monoclinic a≠ b≠ c; α = γ = 90o,β≠ 90o 正交 orthorhombic a≠b≠c; α= β = γ = 90o 四方 tetragonal a = b≠c; α = β = γ = 90o 六方 hexagonal a = b≠c;α = β = 90o, γ = 120o 三方 trigonal a = b = c; α=β= γ≠ 90o 立方 cubic a = b = c; α= β= γ= 90o 注释：表中“≠”仅指不需要等于。 表3.2.七个晶系的特征对称元素 晶系特征对称元素 三斜无 单斜一个二次对称轴或对称面 正交三个互相垂直的二次对称轴或两个互相垂直的对称面四方有一个四次对称轴 六方有一个六次对称轴 三方有一个三次对称轴 立方四个立方体对角线上有三次轴 注：对称轴包括旋转、螺旋轴；对称面包括镜面和滑移面。

cP cF cI 图3.5.14种Bravais晶格。aP = 三斜（triclinic）, mP = 简单单斜（monoclinic primitive）, mC = 底心单斜（monoclinic C-centered），oP = 简单正交（orthorombic primitive），oC = C 底心正交（orthorombic C-centered，取轴方法不同，可以相当于A心底），oI = 体心正交（orthorombic body-centered），oF = 面心正交（orthorombic face-centered），tP = 简单四方（tetragonal primitive），tI = 体心四方（tetragonal body-centered），hP = 简单三方或六方（trigonal or hexagonal primitive），hR = 菱面体、按六方取晶胞（Rhombohedral hexagonal setting），cP = 简单立方（cubic primitive），cI = 体心立方（cubic body-centered），cF = 面 心立方（cubic face-centered）。

晶体结构的对称性

晶体的对称性 1. 晶体的宏观和微观对称性 晶体的对称性最直观地表现在其几何外形上，由于晶体外形为有限的几何图形，故晶体外形上所体现的对称性与分子一样为点对称性，称为宏观对称性。有四种类型的对称操作和对称元素 旋转旋转轴 反映反映面(镜面) 反演对称中心 旋转反演反轴 由于晶体内部结构为点阵结构，点阵结构是一种无限的几何对称图形。故晶体结构具有这种基本的空间对称性(通过平移对称操作能使点阵结构复原)，常称为晶体的微观对称性。有三种类型的对称操作和对称元素 平移点阵 螺旋螺旋轴 滑移滑移面 2. 晶体和晶体结构对称性的有关定理 晶体和晶体结构的对称元素及相应的对称操作有上述七种。晶体中点阵与对称元素的制约关系为： 对称面和对称轴的取向定理 在晶体结构的空间点阵图形中，对称轴必与一组直线点阵平 行，并与一组平面点阵垂直；对称面则必与一组直线点阵垂 直，并与一组平面点阵平行。(对称轴包括旋转轴、反轴和螺 旋轴；对称面包括反映面、滑移面)

?对称轴的轴次定理 在晶体结构中存在的对称轴，其轴次只能为1、2、3、4、6 这五种。 3. 7个晶系和32个晶体点群 ?根据晶体的对称性，可将晶体分为7个晶系，每个晶系有它自己的特征对称元素。 晶体特征对称元素 立方晶 系 四个按立方体的对角线取向的3重轴 六方晶 系 唯一的6重轴 四方晶 系 唯一的4重轴 三方晶 系 唯一的3重轴 正交晶系三个互相垂直的2重轴或二个互相垂直的对称 面 单斜晶 系 一个2重轴或对称面 三斜晶 系 无 ?由于晶体的对称性定理，限制了对称轴的轴次只能为1、2、 3、4、6；又由于反轴中只有4重反轴是独立的对称元素，所 以在晶体的宏观对称性中，只能找到8个独立的对称元素： 1、2、3、4、6、m、i、。 ?与分子所含的对称元素相比，晶体中所含的对称元素有限，这八个对称元素按一定的组合规则组合后只能产生32个对称类型(对称元素系)，每个对称类型所具有的对称元素所对应的对称操作构成一个群。由于晶体的宏观外形为有限图形，故各种对称元素至少要相交于一点，故称为32个晶体点群。 ?对于晶体点群，除了用和分子点群一样的符号(Sch?nflies)表示外，还用晶体点群的国际上通用的符号——国际符号表示。国

群论在化学中的应用

4.5.4 群论在化学中的应用实例 增加如下内容： 4. 构成对称性匹配的分子轨道 我们知道，原子轨道构成分子轨道的前提是对称性匹配。在简单情况下，这很容易看出来，但在复杂情况下，要使原子轨道构成对称性匹配的分子轨道（亦称对称性匹配的线性组合，SALC），就需要借助于系统的群论方法。下面以环丙烯基C3H3为例来说明：假设该分子为D3h群，垂直于分子平面的碳原子p轨道φ1、φ2、φ3如何构成对称性匹配的π型分子轨道。 （1）首先以φ1、φ2、φ3为基，记录它们在D3h群各种对称操作下的特征标，得到可约表示： E2C33C2σh2S33σv D 3h φ1 1 0 -1 -1 0 1 φ2 1 0 0 -1 0 0 φ3 1 0 0 -1 0 0 Γ 3 0 -1 -3 0 1 需要注意的是，3C2这个类的可约表示特征标是（-1）而不是（-3），这是因为，我们可以从这个类的3个对称操作C2中任选1个作为代表，对基集合φ1、φ2、φ3进行操作，结果是只有1个φ被改变符号而其余两个φ被改变位置，从而得到可约表示特征标为（-1）。但是，不能用该类中3个不同的C2分别作用来得到（-3）。根据同样的理由，3σv这个类的可约表示特征标是1而不是3。

（2）利用D 3h 的特征标表 将可约表示约化为如下不可约表示： （3）构成这些具有确定对称性的分子轨道，必须采用投影算符。投影算符有不同的形式，最便于使用的形式是只利用特征标的投影算符： 其中l j 是第j 个不可约表示的维数， 代表对称操作， 是第j 个不可约表示的特征标。注意：投影算符中的求和必须对所有对称操作进行，而不能像约化公式中那样改为乘以类的阶后对于类求和，这是因为：尽管同一类中各个对称操作的特征标相同，但各个对称操作的操作效果却不同。 接下来的做法是：从3个p 轨道φ1、φ2、φ3的集合中任意取1个，例如φ1，将第j 个不可约表示的投影算符作用于它，就会得出属于这个不可约表示的对称性匹配分子轨道（SALC ）的基本形式，然后加以归一化即可。对于一维不可约表示A 2”, 这是非常简单的事，因为它只需要构成1 个 2"" A E Γ=⊕????()j j j R l P R R h χ=∑?()j R χ?R

晶体的宏观对称性

晶体的宏观对称性 物理科学学院 季淑英 31 摘 要: 晶体是内部原子或离子在三维空间呈周期性重复排列的固体，通过对晶体三类宏观对称操作的介绍，找出了晶体的8种基本宏观对称操作。 关键词：对称中心； 反映面； 旋转轴 一 什么是晶体 人们最早认识晶体是从石英开始的，只知道它天然的具有规则的几何多面体，真正揭开晶体内部结构是在1914年，人类首次测定了Nacl 的晶体结构。此后，人们积累大量测定资料开始认识到：无论晶体的外形是否规则，它们内部的原子有规则地在三维空间呈周期性重复排列。 所以，晶体是内部原子或离子在三维空间呈周期性重复排列的固体，或着说晶体是具有格子结构的固体。而晶体的规则几何外形，只是晶体内部格子构造的外在部表现。 二 晶体的宏观对称 对称性是晶体的基本性质之一，一切晶体都是对称的；但不同的晶体的对称性往往又是互有差异的。 1 对称操作 对一种晶体而言,其内部结构的质点表现出某种对称性的规律排列,当在进行某种操作（线性变换）后能使自身复原,这种对称性是晶体的一个客观存在的基本性质,是晶体内部结构的规律在几何形状上的表现,晶体的许多宏观性质都与其结构上的对称性有密切关系。 对称操作：维持整个物体不变而进行的操作称作对称操作，物体在某一正交变换下保持不变，即：操作前后物体任意两点间的距离保持不变的操作。一个物体的对称操作越多，其对称性越高。例如密度ρ作为位矢r 的函数，即）r （ρ。我们可以定义一个引起坐标变换的操作g 满足 ’r gr r =→，

如果这导致 ）r （）gr （）’r （ρρρ== 那么g 是）r （ρ的一个对称操作。 2 对称元素 对称操作过程中保持不变的几何要素：对称点，反演中心（i ）；对称线，旋转轴（n 或者n C ）和旋转反演轴（n ）；对称面，反映面（m ）等。 以上，考察在一定几何变换之下物体的不变性，使用的几何变换（旋转和反射）都是正交变换——保持两点距离不变的变换： ???? ? ???????? ??=????? ??z y x a a a a a a a a a z y x 3332 31232221131211，，， 其中，M 为正交矩阵，???? ? ??=3332 312322 211312 11a a a a a a a a a M 对称中心和反演（i ） 取晶体中心为原点，将晶体中任一点()z ，y ，x 变成()z -，y -， x - ???? ? ??=1-0001-0001-M 对称面和反映（m ） 以0z =作为镜面，将晶体中的任何一点()z ，y ，x 变成()z -y x ， ， ???? ? ??=1-00010001M n 次旋转对称轴（n 或者n C ）和n 次旋转反演轴（n ） n 次旋转对称轴（n 或者n C ） 若晶体绕某一固定轴旋转角度/n π2=α以后能自身重合，则称该轴为n 次旋转对称轴。

二氧化硅晶体结构

(2)乙酸与醇反应生成乙酸酯,若产物为 (CH 3O O n R ,变式为(CH 2CO )n ·R (OH )n ,从式子 可看出,生成的酯比相应的醇的分子量增加42n ,若为一元醇则增加42。 五、从反应前后碳链结构看 在下列一系列变化中,分子中的碳链结构不变化:醇醛羧酸酯 所以酯中酯键两侧的碳骨架仍保持着醇的碳骨架 和酸的碳骨架。醇与它自身氧化成的羧酸酯化反应生 成的酯,酯键两侧碳数相同,碳骨架也相同。 六、从酯的特殊性看 甲酸酯中仍有醛基:H C O O R ,所以甲酸酯 能够发生银镜反应,等等,表现出醛的一些性质,同时它有酯的通性。另外,甲酸酯 水解生成甲酸或甲酸盐,所以其产物仍能发生银镜反应。 二氧化硅晶体结构 湖南衡阳县一中(421200)　陈吉秋 一、二氧化硅晶体平面 示意图 高级中学课本化学第二册P6有二氧化硅晶体平面示意图(见图1)。该图说明二氧化硅不是由单个“SiO 2”的 分子所组成的分子晶体,而是一种原子晶体。一个Si 原子跟4个O 原子形成4个共价 键。同时,一个氧原子又跟两个Si 原子形成两个共价键。但该图也有两处不足:①该图并没有反映出二氧化硅真实的三维空间结构。②该图中最小环上是4个Si 原子与4个O 原子交替连结,而实际上二氧化硅晶体中, 最小环上是6个Si 原子与6个O 原子交替连接。 二、二氧化硅晶体空间结构1.硅晶体结构 硅晶体结构与金刚石结构相似(见图2),在硅晶体中,每个硅原子都被相邻的4个硅原子包围,处于4个硅原子的中心,以共价键跟这4个硅原子结合,成为正四面体结构,这些正四面体结构向空间发展,构成一种坚实的,彼此联结的空间网状晶体。 2.二氧化硅晶体结构 如果在硅的晶体结构示意图中,将所有的Si -Si 键断裂,再在Si 原子与Si 原子之间连一个原子(每个O 原子形成的两个Si -O 键的键角不是180°)就可得到二氧化硅晶体结构示意图(见图3)。 因此,在二氧化硅晶体中,每个硅原子被相邻的4个氧原子包围,处于4个O 原子中心, 以共价键跟这4 个氧原子结合,成为正四面体结构(见图4)。 每个O 原子为两个四面体所共有(见图5)。 这样,许许多多四面体又通过顶点O 原子连成一个整体(见图6),在二氧化硅晶体中最小环上有6个O 原子和6个未画出的Si 原子以Si -O 键交替相连(见图6)。由图3与图7也可得出这个结论。 33 释疑解难★

1.2晶体的对称性晶系,点群,空间群一.对称性的概念

1.2 晶体的对称性：晶系，点群，空间群 一. 对称性的概念 二. 晶体中允许的对称操作 三. 晶体宏观对称性的表述：点群 四. 七个晶系和14种晶体点阵 五. 晶体的微观对称性：空间群 六. 点群对称性和晶体的物理性质 参考：黄昆书1.5－1.7 节 阎守胜 2.2 节 ?除去晶体点阵外，晶体的结构还能够用什么样的语言方便地描述?

一.对称性的概念： 一个物体（或图形）具有对称性，是指该物体（或图形）是由两个或两个以上的部分组成，经过一定的空间操作（线性变换），各部分调换位置之后整个物体（或图形）保持不变的性质。对称操作：维持整个物体不变而进行的操作称作对称操作。即：操作前后物体任意两点间的距离保持不变的操作。 点对称操作：在对称操作过程中至少有一点保持不动的操作。有限大小的物体，只能有点对称操作。对称元素：对称操作过程中保持不变的几何要素：点，反演中心；线，旋转轴；面，反映面等。

● ●

以上，考察在一定几何变换之下物体的不变性，使用的几何变换（旋转和反射）都是正交变换——保持两点距离不变的变换：1112 132122 233132 33'''x a a a x y a a a y z a a a z ? ???????????=??? ???????????????i 11 121321 222331 3233i j a a a A a a a a a a ????=?????? 其中A ij 为正交矩阵从解析几何知道，符合正交 变换的是：绕固定轴的转动 (Rotation about an axis) 绕z 轴旋转θ角cos sin 0sin cos 0001i j A θ θθ θ?????=?????? 数学上可以写作：

硅的晶体结构

自然界物质存在的形态有气态物质、液态物质和固态物质。固态物质可根据它们 的质点(原子、离子和分子)排列规则的不同，分为晶体和非晶体两大类。具有确定的熔点的固态物质称为晶体，如硅、砷化镓、冰及一般金属等；没有确定的熔点、加热时在某一温度范围内就逐渐软化的固态物质称为非晶体，如玻璃、松香等。 所有晶体都是由原子、分子、离子或这些粒子集团在空间按一定规则排列而成的。这种对称的、有规则的排列，叫晶体的点阵或晶体格子，简称为晶格。最小的晶格，称为晶胞。晶胞的各向长度，称为品格常数。将晶格周期地重复排列起来，就构成为整个晶体。晶体又分为单晶体和多晶体。整块材料从头到尾都按同一规则作周期性排列的晶体，称为单晶体。整个晶体由多个同样成分、同样晶体结构的小晶体(即晶粒)组成的晶体，称为多晶体。在多晶体中，每个小晶体中的原子排列顺序的位向是不同的。非晶体没有上述特征，组成它们的质点的排列是无规则的，而是“短程有序、长程无序’’的排列，所以又称为无定形态。一般的硅棒是单晶硅，粗制硅(冶金硅)和利用蒸发或气相沉积制成的硅薄膜为多晶硅，也可以为无定形硅。 硅(S1)的原子序数为14，即它的原子核周围有14个电子。这些电子围绕着原子核按一层层的轨道分布，第一层2个，第二层8个，剩下的4个排在第三层，如图所示。另图为硅的晶胞结构。它可以看作是两个面心立方晶胞沿对角线方向上位移1／4互相套构而成。这种结构被称为金刚石式结构。硅(Si)锗(Ge)等重要半导体均为金刚石式结构。1个硅原子和4个相邻的硅原子由共价键联结，这 4个硅原子恰好在正四面体的4个顶角上，而四面体的中心是另一硅原子。 硅单晶的制备方法：按拉制方法不同分为无坩埚区熔(FZ)法与有坩埚直拉(CZ)法。区熔拉制的单晶不受坩埚污染，纯度较高，适于生产电阻率高于20欧/厘米的N型硅单晶（包括中子嬗变掺杂单晶）和高阻 P型硅单晶。由于含氧量低，区熔单晶机械强度较差。大量区熔单晶用于制造高压整流器、晶体闸流管、高压晶体管等器件。直接法易于获得大直径单晶，但纯度低于区熔单晶，适于生产20欧/厘米以下的硅单晶。由于含氧量高,直拉单晶机械强度较好。大量直拉单晶用于制造MOS集成电路、大功率晶体管等器件。外延片衬底单晶也用直拉法生产。硅单晶商品多制成抛光片，但对FZ单晶片与CZ单晶片须加以区别。外延片是在硅单晶片衬底（或尖晶石、蓝宝石等绝缘衬底）上外延生长硅单晶薄层而制成，大量用于制造双极型集成电路、高频晶体管、小功率晶体管等器件。

群论与化学复习题

群论与化学复习题 1、确定下列分子所属的点群，并指出其对称元素 (1) CH 2ClF; (2) 丙二烯； （3）1,3,5—三氯代笨; (4) 反—Pt(NH 3)2Cl 2 (看成正四边行, 忽略H) ; (5) 反—CoN 4A 2; (6) 交错—C 2H 6; (7) 顺式-- C 2H 2Cl 2; (8) SF 5Cl; (9) N 2F 2; (10) O 3; (11) CHCl 3; (12) BrF 5; (13) Ti(C 5H 5); (14) N 2O; (15) XeF 4; (16) I 3-; (17) 金刚烷 ; (18) (19) C C Cl Cl H H (20) 顺式二茂铁 (21) S 8 （22）P 4O 6 ; 2 写出BF 3的全部对称元素和对称操作 3、考虑位于下图的SO 2分子诸核上的基向量组（e 3, e 6, e 9垂直于纸面，且指向纸面外），构造一个SO 2所属点群的9维矩阵表示。 并判断该表示是否为不可约表示？若不是，请对该可约表示进行约化。 4 e 5 (e 9 4、根据广义正交定理及其推论，推导C 2h 群的特征标表。、 5、试画出笛卡尔坐标系的原基矢( e 1, e 2, e 3 )及其经过旋转、反映和中心反演作

用后的新基矢(e 1’, e 2’, e 3’ ), 并求出相应的表示矩阵. 6、试画出笛卡尔坐标系的原基矢( e 1, e 2, e 3 )及其经过非真转动 S 3作用后的新基矢(e 1’, e 2’, e 3’), 并求出相应的表示矩阵. ( 已知 S 3 = σ C 3 , 其中C 3 绕e 3 轴转动, σ为垂直与该转轴的镜面 ) 7、将D 3群的表示χ5进化约化 8、试分别利用(和不利用)约化系数公式(a j = ∑g i χ*(C i ) χ (C i )/h)对D 2d 群的六维表示 D 6 进行约化, 已知该六维表示 D 6 的特征标和群 D 2d 不可约表示的特征标表如下 9、Γ1 、Γ2 和33v a b 3v 示 试将Γa 和Γb 10、请给出H 2O, NH 3和CH 4的全部对称元素，列出每个分子可进行对易操作的的对称操作名。 11、确定下列分子所属的点群 (a) CoN 6; (b) CoN 5A; (c) 顺-CoN 4A 2; (d) 反-CoN 4A 2; (e) 顺,顺-CoN 3A 3; (f) 反,顺-CoN 3A 3; 12、确定下列化合物的点群，并写出对称元素 (a) 椅式环己烷（不管H 原子）; (b) 船式环己烷（不管H 原子）; (c) 交错 C 2H 6; (d) 重叠 C 2H 6; (e) 交错与重叠之间的 C 2H 6。 13、确定下列点群，并写出对称元素 (a) 四方角锥; (b) 正圆锥; (c) 四方薄板; (d) 上边、下边涂不同色彩的四方薄

群论与化学

● 对称性与分子性质 1.偶极距 r q =μ r 为正负电中心距离 有反演中心 无偶极距——分子所在方向都对称 有四重反轴 两对称元素相交于唯一点 结论：只有属于n C 和nv C （包括s C ）这两类分子具有偶极距，其他分子的偶极距为0. 2.旋光性 有反演中心 无旋光性——非手性 有四重反轴 有镜面 注：不具有以上三种的，则可能有旋光性，即理论上有，但实验可能无法测出 ● 群论与原子轨道 1.原理——原子轨道变换性质 在组成分子后，各个原子轨道 xz yz xy y x z z y x d d d d d p p p s ,,,,,,,,222-仍然是分子所 属点群不可约表示的基。 对一个原子进行对称操作的的薛定谔方程描述： ()ψ =ψ∧ R D R 其中，∧ R 是对称操作，ψ 是原子波函数，()R D 是变换矩阵 变换矩阵的对角线之和，就是给定操作∧ R 的特征标χ。 2.以v 2C 点群为例（如O H 2）：

在v 2C 点群的所有对称操作下，分子的中心原子始终处于原来的位置，故取中心 原子为坐标原点。 对于s 轨道 s 轨道呈球形对称，所以无论进行何种操作，s 轨道都不变，所以得到()1=R χ的全对称表示，属于1A 类对称性。 对于p 轨道 中心原子的z y x p p p ,, 轨道波函数如下： ()() r x r f r f x p ==ψθcos ()()r y r f r f p ==ψ?θsin sin y ()() r z r f r f z p ==ψ?θcos sin 其中()r f 是函数的径向部分，仅取决于r ，在对称操作中不发生改变，则由上述式子可见，函数z y x p p p , ,的变换与函数z y x ,,的变换完全相同，因此这两 类函数所属的不可约表示也相同。故可以用z y x ,,的不可约表示分别代替 z y x p p p ,,的不可约表示。查特征标表中基函数为z y x ,,一栏，对应的对称性为2 11B B A ，，，所以x p 轨道属于1A ，y p 轨道属于1B ，z p 轨道属于2B 。 对于d 轨道采取同样方法。将所得结果列如下： 原子轨道在v 2C 点群中的对称性表 原子轨道所属对称性 原子轨道 1A 2 22,,y x z z d d p - 2 A xy d 1 B xz d 2 B yz d 群论与杂化轨道 n AB 型分子的σ杂化轨道 杂化轨道是中心原子的原子轨道以一定的线性组合形式组成，具有一定方向性，因为杂化轨道与分子中配位原子的位置有关(与分子的形状有关---与分子的对称性有关)。所以利用群论的方法很容易从分子的对称性群确定杂化轨道的组成。 步骤：

晶体的对称性与晶系

晶体的对称性与晶系 自然界不论是宏观物体还是微观粒子，普遍存在着对称性。晶莹的雪花、美丽的花朵、艳丽的蝴蝶都具有对称性，人体也具有对称性。地下的矿物，如水晶、钻石、闪锌矿……也都具有对称性。微观粒子如水分子、苯分子以及所有分子都具有对称性。对称性显示出物体的匀称和完美，为人们所喜爱和追求，因而设计师设计的宏伟建筑如天安门、人民大会堂、长江大桥……都呈现出对称性。 本文主要介绍晶体的宏观对称性，包括旋转轴、对称面和对称中心等，以及晶体宏观对称性与晶系的关系。 晶体的宏观对称性 晶体宏观对称性有旋转轴（也称对称轴）、对称面（也称镜面）和对称中心，分别介绍如下。 旋转轴 旋转轴是对称元素，绕旋转轴可做旋转操作。n 次旋转轴记为n ，απ 2=n ，α 称为基转角。例如NaCl 晶体的外形是立方体，立方体对应面中心联线方向有4次旋转轴，绕此轴每旋转90°后，晶体形状不变；立方体对角线联线方向有3次旋转轴，绕此轴每旋转120°后，晶体形状不变；立方体对应棱边中心联线方向有2次旋转轴，绕此轴每旋转180°，晶体形状不变。图6－4示出这3种旋转轴。可以证明在晶体宏观外形中存在的旋转轴有1，2，3，4和6次旋转轴5种，不存在5次轴和大于6次的旋转轴。 对称面 对称面是对称元素，对称面也称镜面，常用m 表示。凭借对称面可以做反映操作，如同物体与镜子中的像是反映关系。人的双手手心相对，平行放置，左右手就互为镜象。许多晶体中存在对称面，NaCl 晶体有9个对称面。 对称中心 对称中心也是对称元素，常用i 表示。通过对称中心可以做倒反操作。例如人的双手手心相对，逆平行放置，此时左右手构成倒反关系。NaCl 晶胞中，在体心位置存在对称中心。因此晶胞中任意一个原子与对称中心相连，在反方向等距离处必存在同样的原子。晶体有无对称中心对晶体的性质有较大的影响。 凭借上述三种对称元素所做的对称操作都是简单操作，如果连续做两个简单操作就成为复合操作。旋转倒反操作是复合操作，与它对应的对称元素称为反轴，记为n 。与旋转轴一

1第一章 晶体的结构及其对称性

第一章 晶体的结构及其对称性 复习思考题 1、凝聚态物质包括哪些？ 2、固体可分为哪些类型？ 3、简要说明固体物质的结构特点。 4、什么是晶格？什么是晶体结构？ 5、常见的晶体结构有哪些？ 6、什么是配位数？简单立方结构、体心立方结构、面心立方结构、六角密堆结构、金刚石结构等晶体结构中原子的配位数分别是多少？ 7、试画出简单立方结构、体心立方结构、面心立方结构、六角密堆结构、金刚石结构等晶体结构图。 8、举例说明什么是简单晶格？什么是复式晶格？ 9、什么是基元？简单晶格和复式晶格的基元各有什么特点？ 10、什么是结点？什么是点阵？点阵与晶体结构的逻辑关系是什么？ 11、什么是点阵的基矢？什么是破缺的平移对称性？ 12、对于一个点阵通常可以定义哪三种元胞？ 13、按通常约定，画图表示sc 、bcc 和fcc 点阵的基矢和元胞的选择方式。 14、按通常约定，写出sc 、bcc 和fcc 点阵的基矢和元胞体积。 15、什么是单胞？什么是晶轴？什么是晶格常数？ 16、sc 、bcc 和fcc 点阵的单胞和初基元胞有什么关系？ 17、简要说明维格纳-塞茨（W-S ）元胞的构造过程。 18、三维bcc 和fcc 点阵的维格纳-塞茨（W-S ）元胞分别是什么形状？ 19、什么是晶列？什么是晶向指数？ 20、在sc 点阵中表示出[100]、[110]和[111]等晶向。 21、什么是晶面？ 22、试证明用方向余弦和截距标志晶向是等价的。 23、试证明有理指数定律。 24、试证明晶面指数h 1、h 2、h 3必为互质的整数。 25、试在sc 点阵中标出（100）、（110）和（111）三个晶面族。 26、晶面指数和密勒指数有什么不同？ 27、什么是正空间？什么是倒空间？ 28、什么是正点阵？什么是倒点阵？ 29、试推导正点阵的傅里叶变换)(k ρ的具体形式。 30、由正点阵的基矢1a 、2a 、3a 定义的动量空间基矢是什么？ 31、试证明倒点阵的元胞体积反比于正点阵的元胞体积。 32、试证明正点阵的一族晶面(h 1h 2h 3)垂直于倒格矢332211b h b h b h K h ++=，且晶面间距h h h h K d π2321=

群论在化学中的应用

群论在化学中的运用——对称性的直观运用 应化1101 杨欢 1505110326【摘要】分子的对称性依赖于分子构型，反映出分子中原子核和电子云的 分布状况。因而，分子的一切性质，或多或少的必然要受到分子对称性的深刻 影响。本文将要介绍如何根据分子对称性，直接判断该分子是否具有光学活性；是否具有偶极矩；可能有几种类型的取代产物；可能有哪些等价的波普行为等。 【关键词】群，对称性，对称操作，对称元素，运用 群论是近代数学的一个分支，它是一门抽象的数学，它是研究离散元素的 代数运算的数学。在近代物理学和化学的研究中，群论已经成为一个必不可少 的重要数学工具。群论与物理、化学的联系是与对称性紧密相关的，群论被用 作沟通体系存在的对称性与必然会具有的一些性质的桥梁。[1]对称性是物质世 界最普遍的性质之一，各种物体（分子、晶体或图形）都有一定的形状，属于 特定的对称性群。群论广泛用于基本粒子、核结构、原子结构和晶体结构等许 多学科的各个方面，群论已成为近代物理及化学理论研究的很重要的工具。首 先介绍一下群这一基本概念。群是由一定结合规则（乘法）联系起来的元素集合，它满足封闭性和结合律，但不一定满足交换律；在每一个集合中有单位元 素的存在，它和集合中的每一个元素相乘均为该元素本身。由于群论在化学中 的运用与对称性紧密相关，所以有必要先了解一下对称性。对称性是指物质具 有对称元素，可以进行对称操作的性质。而能使一个物体或分子复原的物理动 作叫对称操作。所谓复原，就是使物体恢复到原来的形状，用一句形象的话说，如果没有亲眼看见进行这个动作就以为物体没有动。对称操作不改变物体或分 子中任何两点间的相对位置，也不改变物体或分子任何物理、化学性质。有两 种类型的复原，一种是等价复原，即物体中的等价部分相互交换位置，使物体 复原；另一种是全等复原，即物体回到原来自己的位置。在进行对称操作时，

晶体的宏观对称性

晶体的宏观对称性 物理科学学院 季淑英 2014020231 摘 要: 晶体是内部原子或离子在三维空间呈周期性重复排列的固体，通过对晶体三类宏观对称操作的介绍，找出了晶体的8种基本宏观对称操作。 关键词：对称中心； 反映面； 旋转轴 一 什么是晶体 人们最早认识晶体是从石英开始的，只知道它天然的具有规则的几何多面体，真正揭开晶体内部结构是在1914年，人类首次测定了Nacl 的晶体结构。此后，人们积累大量测定资料开始认识到：无论晶体的外形是否规则，它们内部的原子有规则地在三维空间呈周期性重复排列。 所以，晶体是内部原子或离子在三维空间呈周期性重复排列的固体，或着说晶体是具有格子结构的固体。而晶体的规则几何外形，只是晶体内部格子构造的外在部表现。 二 晶体的宏观对称 对称性是晶体的基本性质之一，一切晶体都是对称的；但不同的晶体的对称性往往又是互有差异的。 1 对称操作 对一种晶体而言,其内部结构的质点表现出某种对称性的规律排列,当在进行某种操作（线性变换）后能使自身复原,这种对称性是晶体的一个客观存在的基本性质,是晶体内部结构的规律在几何形状上的表现,晶体的许多宏观性质都与其结构上的对称性有密切关系。 对称操作：维持整个物体不变而进行的操作称作对称操作，物体在某一正交变换下保持不变，即：操作前后物体任意两点间的距离保持不变的操作。一个物体的对称操作越多，其对称性越高。例如密度ρ作为位矢r 的函数，即）r （ρ。我们可以定义一个引起坐标变换的操作g 满足 ’r gr r =→， 如果这导致 ）r （）gr （）’r （ρρρ== 那么g 是）r （ρ的一个对称操作。 2 对称元素 对称操作过程中保持不变的几何要素：对称点，反演中心（i ）；对称线，旋转轴（n 或者n C ）和旋转反演轴（n ）；对称面，反映面（m ）等。 以上，考察在一定几何变换之下物体的不变性，使用的几何变换（旋转和反射）都是正交变换——保持两点距离不变的变换：

晶体学课后习题参考答案

第一章习题 1.晶体与非晶体最本质的区别是什么?准晶体是一种什么物态? 答：晶体和非晶体均为固体，但它们之间有着本质的区别。晶体是具有格子构造的固体， 即晶体的内部质点在三维空间做周期性重复排列。而非晶体不具有格子构造。晶体具有 远程规律和近程规律，非晶体只有近程规律。准晶态也不具有格子构造，即内部质点也 没有平移周期，但其内部质点排列具有远程规律。因此，这种物态介于晶体和非晶体之 间。 2.在某一晶体结构中，同种质点都是相当点吗?为什么? 答：晶体结构中的同种质点并不一定都是相当点。因为相当点是满足以下两个条件的点：a.点的内容相同；b.点的周围环境相同。同种质点只满足了第一个条件，并不一定能够满 足第二个条件。因此，晶体结构中的同种质点并不一定都是相当点。 3.从格子构造观点出发，说明晶体的基本性质。 答：晶体具有六个宏观的基本性质，这些性质是受其微观世界特点，即格子构造所决定 的。现分别变述： a.自限性晶体的多面体外形是其格子构造在外形上的直接反映。晶面、晶棱与角顶分别 与格子构造中的面网、行列和结点相对应。从而导致了晶体在适当的条件下往往自发地 形成几何多面体外形的性质。 b.均一性因为晶体是具有格子构造的固体，在同一晶体的各个不同部分，化学成分与晶 体结构都是相同的，所以晶体的各个部分的物理性质与化学性质也是相同的。 c.异向性同一晶体中，由于内部质点在不同方向上的排布一般是不同的。因此，晶体的 性质也随方向的不同有所差异。 d.对称性晶体的格子构造本身就是质点周期性重复排列，这本身就是一种对称性；体现 在宏观上就是晶体相同的外形和物理性质在不同的方向上能够有规律地重复出现。 e.最小内能性晶体的格子构造使得其内部质点的排布是质点间引力和斥力达到平衡的 结果。无论质点间的距离增大或缩小，都将导致质点的相对势能增加。因此，在相同的 温度条件下，晶体比非晶体的内能要小；相对于气体和液体来说，晶体的内能更小。 f.稳定性内能越小越稳定，晶体的稳定性是最小内能性的必然结果。 4.找出图1-2a中晶体平面结构中的相当点并画出平面空间格子（即面网）。 答：取其中一个Si原子为研究对象，找出其相当点并画出其空间格子（见下图）

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【 第一章习题 1.晶体与非晶体最本质的区别是什么准晶体是一种什么物态 答：晶体和非晶体均为固体，但它们之间有着本质的区别。晶体是具有格子构造的固体，即晶体的内部质点在三维空间做周期性重复排列。而非晶体不具有格子构造。2晶体具有远程规律和近程规律，非晶体只有近程规律。准晶态也不具有格子构造，即内部质点也没有平移周期，但其内部质点排列具有远程规律。因此，这种物态介于晶体和非晶体之间。 2.在某一晶体结构中，同种质点都是相当点吗为什么 ? 答：晶体结构中的同种质点并不一定都是相当点。因为相当点是满足以下两个条件的点：a.点的内容相同；b.点的周围环境相同。同种质点只满足了第一个条件，并不一定能够满足第二个条件。因此，晶体结构中的同种质点并不一定都是相当点。 3.从格子构造观点出发，说明晶体的基本性质。 答：晶体具有六个宏观的基本性质，这些性质是受其微观世界特点，即格子构造所决定的。现分别叙述： a.自限性晶体的多面体外形是其格子构造在外形上的直接反映。晶面、晶棱与角顶分别与格子构造中的面网、行列和结点相对应。从而导致了晶体在适当的条件下往往自发地形成几何多面体外形的性质。 b.均一性因为晶体是具有格子构造的固体，在同一晶体的各个不同部分，化学成分与晶体结构都是相同的，所以晶体的各个部分的物理性质与化学性质也是相同的。 c.异向性同一晶体中，由于内部质点在不同方向上的排布一般是不同的。因此，晶体的性质也随方向的不同有所差异。 d.对称性晶体的格子构造本身就是质点周期性重复排列，这本身就是一种对称性；体现在宏观上就是晶体相同的外形和物理性质在不同的方向上能够有规律地重复出现。 — e.最小内能性晶体的格子构造使得其内部质点的排布是质点间引力和斥力达到平衡的结果。无论质点间的距离增大或缩小，都将导致质点的相对势能增加。因此，在相同的温度条件下，晶体比非晶体的内能要小；相对于气体和液体来说，晶体的内能更小。