时间序列分析方法第11章向量自回归
第十一章 向量自回归
前一章我们讨论了向量随机过程的基本性质。本章我们将深入分析向量自回归模型，这种模型更适合于估计和预测。由于Sims(1980)年在经济中的出色运用，向量自回归模型在分析经济系统的动态性上得到了广泛的应用。
§11.1 无限制向量自回归模型的极大似然估计和假设检验
按照时间序列模型极大似然估计方法，我们首先分析向量自回归模型的条件似然估计。 11.1.1 向量自回归模型的条件似然函数
假设t y 表示一个包含时间t 时n 个变量的1?n 的向量。假设t y 的动态过程可以由下面的p 阶高斯向量自回归过程：
t t t 1t 1εy Φy Φy Φc y +++++=---p p t 22，)(~Ω0,εt N
假设我们已经在)(p T +个时间间隔中观测到这些n 个变量的观测值。如同标量过程时的情形，最简单的方法是将前p 个样本(表示为021,,,y y y +-+-p p )做为条件，然后利用后面的T 个样本(表示为T y y y ,,,21 )形成参数估计。我们的目的是构造下面的条件似然函数：
);(θy ,y ,y |y ,,y ,y 1p 1011T T Y ,Y ,Y |Y ,,Y ,Y 1p 1011T T +---+--- f
这里参数向量为)(Ω,Φ,,Φ,Φc,θp 21 =，我们在上述函数中相对于参数θ进行极大化。一般情形下，向量自回归模型是在条件似然函数基础上，而不是在无条件似然函数基础上进行估计的。为了简单起见，我们将上述“条件似然函数”称为“似然函数”，相应的“条件极大似然估计”称为“极大似然估计”。
向量自回归与标量自回归过程的似然函数的计算方法是类似的。基于时刻1-t 以前观测值，时刻t 的t y 值等于常数向量：p t p t t ---++++y Φy Φy Φc 2211，加上一个多元正态分布的随机向量)(~Ω0,εt N ，因此条件分布为：
),(~|22Ωy Φy Φy Φc y ,,y y t t 1t 11p p p t t t N -----++++
我们可以将上述条件分布表示成为更为紧凑的形式。假设向量t x 是常数向量和t y 滞后值向量构成的综合向量：
),1(1'''≡--p t t t y ,,y x
这是一个维数为]1)1[(?+np 的列向量。假设Π'表示下述)]1([+?np n 维矩阵：
],,,,[21p ΦΦΦc Π ≡'
这时条件均值可以表示为t x Π'，Π'的第j 行包含V AR 模型第j 个方程中的参数。使用这样的符号，我们可以把条件分布表示成为紧凑形式：
),(~|Ωx Πy ,,y y 1t p t t t N '--
因此第t 个观测值的条件分布可以表示成为：
)]
())(2/1exp{(||)2()
;,|(12/112/21|11t t t t n p t t t p t t f x Πy Ωx Πy Ωθy ,y ,y y 1Y ,,Y ,Y '-''--=---+---+--π
这是基于条件),,,{110+--p y y y 的观测值从1到t 的联合概率分布为：
)
;();()
;(121110121110112121θy ,y ,y |y θy ,y ,y |y ,,y ,y θy ,y ,y |y ,,y ,y 1p 1p 1011p 1011Y ,Y ,Y |Y Y ,Y ,Y |Y ,,Y ,Y Y ,Y ,Y |Y ,,Y ,Y +---+----+---+---+----+---?=p t t t p t t p t t t t t t t t t f f f
连续叠代利用上述公式，可以获得全部样本11,,,y y y -T T 基于),,,{110+--p y y y 的联合条件分布是单独条件密度函数的乘积：
∏=+---+---+---+---=T t p t t t p T T t t t T T f f 112111011)
;()
;(21θy ,y ,y |y θy ,y ,y |y ,,y ,y 1p 1p 1011Y ,Y ,Y |Y Y ,Y ,Y |Y ,,Y ,Y
因此，样本对数似然函数为：
[]∑∑=--=+---'-''--+-==+---T t t t t t T
t p t t t T Tn f L t t t 1
111121)()(21||log 2)2log(2)
;(log )(21x Πy Ωx Πy Ωθy ,y ,y |y θ1p Y ,Y ,Y |Y π
11.1.2 Π的极大似然估计 我们首先考虑Π的极大似然估计，它包含常数向量c 和自回归系数j Φ。我们的结论是它可以利用下述公式给出：
1
11)]1([?-==+???????'??????'=∑∑'T t t t T t t t np n x x x y Π 这可以当作t y 基于常数和t x 母体线性投影的样本估计，Π
?'的第j 行是： 1
11)]1(1[?-==+???????'??????'=∑∑'T t t t T t t jt np y j x x x π 这正是t j y 基于常数和t x 进行线性回归的普通最小二乘估计(OLS)的估计系数向量。因此，V AR 模型第j 个方程系数的极大似然估计可以从t j y 基于常数项和该系统所有变量的p 阶滞后变量进行线性回归得到的OLS 估计获得。
为了验证上述结论，我们将似然函数中的最后一项表示成为：
11
1111
()()????()()????[()][()]T t t t t t T
t t t t t t t t t T t t t t t -=-=-='''??--????'''''''=-+--+-????'''=+-+-??∑∑∑y
Πx Ωy Πx y Πx Πx Πx Ωy Πx Πx Πx εΠΠx ΩεΠΠx 这里的1?n 向量t ε
?的第j 个元素是从t j y 基于常数和t x 进行线性回归得到的观测值t 的样本残差：
t
t t x Πy ε'-≡?? 进一步将上式化简为：
[]∑∑∑∑=-=-=-=-'--'+'-'+'=''-+''-+T t t
t T t t t T t t t T
t t t t t 1111111
1)?()?()?(?2??])?(?[])?(?[x ΠΠΩΠΠx x ΠΠΩεεΩεx ΠΠεΩx ΠΠε
考虑上式的中间项，由于这是一个标量，利用“迹算子”进行计算数值不改变：
??????''-=??????''-=??????'-'='-'∑∑∑∑=-=-=-=-T t t t T t t t T t t t T
t t t 11111111?)?(trace ?)?(trace )?(?trace )?(?εx ΠΠΩεx ΠΠΩx ΠΠΩεx ΠΠΩε 注意到在线性回归中，普通最小二乘估计下的样本残差与解释变量是正交的，即对所有的j 有：
0ε
x =∑=T t jt t 1
? 因此也有： 0εx =∑=T t t t 1
? 这样就有： []∑∑∑=-=-=-'--'+'='-''-T t t t T t t t T t t t t t 11111
1)?()?(??)()(x ΠΠΩΠΠx εΩεx Πy Ω
x Πy 因为Ω是正定矩阵，它的逆矩阵1-Ω也是正定矩阵。因此，定义一个1?n 维向量： t t x ΠΠ
x )?(*'-≡ 则上式最后一项可以表示成为：
∑∑=-=-'''='--'T
t t
t T t t t 1*1*11][][)?()?(x Ωx x ΠΠΩΠΠx 因此，上式达到最小值时要求：0x =*
t ，即：ΠΠ?=，这意味着OLS 回归估计为向量
自回归系数提供了极大似然估计。
11.1.3 Ω的极大似然估计
我们可以利用矩阵导数的一些公式来获得Ω的极大似然估计。在Π的极大似然估计Π
?处，条件似然函数为：
∑=--'-+-=T t t t T Tn L 1
11??21||log 2)2log(2)?,(εΩεΩΠΩπ
上述矩阵的第i 行和第j 列元素的估计为：
∑='=T t jt it ij εεT 1
??1?σ 这里残差t i ε
?是V AR 模型中第i 个变量基于常数和所有变量的p 阶滞后进行回归普通最小二乘估计得到的残差。
11.1.4 向量自回归模型的似然比检验 Likelihood Ratios Tests 为了实施似然比检验，我们需要计算极大似然函数的具体数值，为此，我们考虑：
∑=--'-+-=T t t t T Tn L 1
11???21|?|log 2)2log(2)?,?(εΩεΩΠΩπ 上式中的最后一项是：
[]
[]2trace 21)?(?trace 21???trace 21???trace 21???211111111n T T T n T t t t T t t t T t t t ===??????'=??????'='-=-=-=-∑∑∑I ΩΩεεΩεΩεεΩε
这使得似然比检验比较容易进行。假设我们希望检验的原假设是一组变量是由具有0p 阶滞后变量的高斯V AR 模型产生，而备选假设是滞后变量阶数为01p p >。为了在原假设下估计系统，我们对系统中的每一个变量基于常数和所有其他变量及其0p 阶滞后变量进行最
小二乘回归，设∑='=T
t t t p p T 1000
])(?[)(?)/1(?εεΩ是从这些回归中得到的残差的方差-协方差矩阵。因此在原假设0H 下对数似然估计的极大值是：
2
|?|log 2)2log(2100Tn T Tn L -+-=-*Ωπ 类似，该模型系统可以利用最小二乘估计对包括所有变量1p 阶滞后变量进行线性估计，得到备选假设下对数似然函数的最大值是：
2
|?|log 2)2log(2111Tn T Tn L -+-=-*
Ωπ 这里∑='=T
t t t p p T 1111
])(?[)(?)/1(?εεΩ是从第二组变量集合中获得的方差-协方差矩阵。则似然比对数的二倍可以表示为：
112210100110????2()2log ||2log ||{log ||log ||}~[()]22
T T L L T n p p χ**---=-=--ΩΩΩΩ 在原假设下，似然比统计量具有-2χ分布的渐近分布，自由度是附加在原假设0H 上约束的数目，系统中每个方程在原假设0H 上的约束条件是每个变量减少了)(01p p -个滞后变量，因此一个方程中的参数零约束是)(01p p n -，因此整个V AR 模型系统的约束条件数目)(012p p n -，因此上述似然比统计量在原假设成立时的渐近分布是)]([0122p p n -χ。
例如，假设在滞后3阶和4阶的情形下估计一个二元V AR 模型，这时的参数阶数为：
2=n ，30=p ，41=p ，
假设原始样本中每个变量包含50个观测值，表示为4623,y ,,y y --，观测值1至46用于估计滞后3阶和4阶指定时的系统参数，因此这时46=T 。假设)(?0p it ε
表示t 时it y 基于常数、t y 1的3阶滞后和t y 2的3阶滞后进行回归的残差，假设计算得到：
0.2)](?[11201=∑=T t t p εT ，5.2)](?[11
202=∑=T t t p εT ，0.1)](?)][(?[110201=∑=T t t t p εp εT 则有：
??
????=5.20.10.10.2?0Ω 计算这个矩阵的对数行列式值为：386.14log |?|log 0
==Ω。类似地，假设将变量的滞后4阶变量加入到回归方程中来，则可以得到残差的协方差矩阵为：
??
????=2.29.09.08.1?1Ω 这个矩阵的对数行列式值为：147.1|?|log 1
=Ω。则有：
99.10)147.1386.1(46)(201=-=-**
L L
检验统计量的自由度为4)34(22=-，由于49.9)4(99.10205.0=>χ，因此拒绝原假设，
认为模型的动态性没有被V AR(3)描述，这时采用V AR(4)更为合适。
Sims(1980)提出了一种修正的似然比检验，该检验考虑了小样本带来的偏差。他建议的统计量为：
220110
??(){log ||log ||}~[()]T k n p p χ---ΩΩ，11p n k += 这里的k 是每个方程中需要估计的参数个数。这个修正后的统计量保持原来的渐近分布，但是降低了小样本情形下拒绝原假设的可能性。对上面的例子而言，检验统计量为：
84.8)147.1386.1)(946(=--
此时我们将得到相反的检验结果，这时原假设是被接受的。
§11.2 二元Granger 因果关系检验 Bivariate Granger Causality Tests
一个能够利用V AR 模型处理的关键问题是如何描述一些变量预测其他变量时的有用程度。下面我们主要分析由Granger(1969)提出的，由Sims(1972)推广的预测两个变量之间关系的方法。
11.2.1 二元Granger 因果关系的定义 Definition of Bivariate Granger Causality
我们在这里分析的主要问题是一个标量随机变量y 对于预测另外一个标量随机变量x 是否有帮助？如果没有任何帮助，则称变量y 没有Granger 影响变量x 。更为正式地，如果对所有0>s ，s t x +基于),,(1 -t t x x 进行预测的均方误差(MSE)与s t x +基于),,(1 -t t x x 和),,(1 -t t y y 进行预测的均方误差是一样的，则称变量y 无法Granger 影响变量x (y fails to Granger-cause x )。
如果我们将预测限于线性预测，则当：
)],,,;,,|(?[)],,|(?[1
11 --+-+=t t t t s t t t s t y y x x x E MSE x x x E MSE 则称变量y 无法Granger 影响变量x 。
等价地，如果上述预测无助性成立，这时我们也称“变量x 在时间序列意义上相对于变量y 是外生的(x is exogenous in the time series sense with respect to y )。
与上述意义相同的第三种表示是：如果上述预测无助性成立，则称y 关于将来的x 是非线性信息化的(y is not linearly informative about future x )。
提出如此定义的Granger 观点是：如果一个事件Y 是另外一个事件X 的原因，则事件Y 应该发生在事件X 之前。但是，即使人们从哲学角度同意这样的观点，但在使用累积时间序列数据来实现这样的观点上遇到了巨大的障碍。为此，我们首先需要考虑二元系统中表示Granger 因果关系的时间序列表示的机理。
11.2.2 Granger 因果关系的另外一种启示 Alternative Implications of Granger Causality 在描述x 和y 的二元V AR 模型中，如果对所有j ，下述模型中的系数矩阵j Φ是下三角矩阵，则称变量y 无法Granger 影响变量x 。
??
????+????????????++????????????+????????????+??????=??????------t t p t p t p p p t t t t t t y x y x y x c c y x 21)(22)(21)(1122)2(22)2(21)2(1111)1(22)1(21)1(1121000εεφφφφφφφφφ 从这个模型系统的第一行可知，变量x 的一阶段向前预测仅依赖自身的滞后值，不依赖变量y 的任何滞后值：
1)(11
1)2(11)1(111111),,,;,,|(?+----+++++=p t p t t t t t t t x x x c y y x x x E φφφ 进一步，从模型中可以获得2+t x 的值为：
2,12)(11)2(111)1(1112++-+++++++=t p t p t t t x x x c x εφφφ
根据投影的叠代法则，以t 时刻的),,,;,,(11 --t t t t y y x x 为基础的预测也仅仅依赖),,,(11+--p t t t x x x 。通过归纳，上述推断对任何s 步长的预测都是成立的，因此上述断言成立：如果对所有j ，上述模型中的系数矩阵j Φ是下三角矩阵，则变量y 无法Granger 影响变量x 。
根据向量回归方程中的结论，我们有下面的公式成立：
p s p s s s ---+++=ΨΦΨΦΨΦΨ 2211， ,2,1=s
这里0Ψ是单位矩阵，0Ψ=s ，0
????????????+??????=??????t t t t L L L y x 212221
1121)()(0)(εεψψψμμ
这里：
++++=3)3(2)2(1)1()0()(L L L L j i j i j i j i j i ψψψψψ，1)0(22)0(11==ψψ，0)0(21=ψ
Sims (1972) 给出了Granger 影响关系的另外一种启示。这样的启示可以从下面的命题得到。
命题11.1 考虑变量t y 依赖过去、当前和将来t x 的线性投影：
t j j t j j j t j t x d x b c y η+++=∑∑∞
=+∞=-10
这里系数j b 和j d 定义为母体投影系数，即对所有的t 和τ，有：
0)(=τηx E t
则“变量y 非Granger 影响变量x ”的充分必要条件是：
0=j d ， ,2,1=j
11.2.3 Granger 因果关系的计量检验 Econometric Tests for Granger Causality
计量检验两个具体的可以观测到变量之间是否具有“变量y 非Granger 影响变量x ”的关系，都可以在上面论述的三种Granger 影响关系的意义上进行。最简单也可能是最好的方法是使用字回归方程中的下三角指定。为了进行这样的检验，我们假设一个特殊的滞后阶数为p 的自回归方程并利用OLS 估计下面的方程：
t p t p t t p t p t t t u y y y x x x c x +++++++++=------βββααα 221122111
我们然后对下述原假设进行F —检验：
0H ：021====p βββ
根据前面的命题8.2，实施检验的一种方法是计算上述回归的残差平方和：
∑==T t t u
RSS 1
21? 将这个平方和与仅依赖t x 进行回归的残差平方和进行比较：
∑==T
t t e
RSS 120?
这里的单变量回归方程是：
t p t p t t t e x x x c x +++++=---γγγ 22110
定义F —统计量为：
220111011
1()/??~(,21) ,/(21)T T t t t t RSS RSS p S F p T p RSS u RSS e RSS T p ==-≡--==--∑∑其中， 如果该统计量大于)12,(--p T p F 分布的%5临界值，则我们拒绝“变量y 非Granger 影响变量x ”的原假设。这就是说，当1S 充分大的时候，我们能够得到“变量y 确实Granger 影响变量x ”的结论。
对于具有固定回归因子和高斯扰动时，上述检验统计量在原假设成立时具有精确的F —分布，然而，如果在Granger 因果回归中具有滞后相依变量的话，那么上述检验只是渐近的。渐近的等价检验统计量为：
)(~)(21
102p RSS RSS RSS T S χ-≡ 如果2S 大于)(2p χ分布的5%临界值，则拒绝原假设“变量y 非Granger 影响变量x ”。 另外一种方法是利用基于Sims 形式的检验来代替基于Granger 形式的检验。与Sims 形式有关的一个问题是，其中的误差项在一般情况下是自相关的。因此检验“0=j d ， ,2,1=j ”的标准F —检验无法给出正确的答案。解决这种问题的一种方法是可能存在自相关性的误差项进行变换，假设误差项t η具有Wold 表示：t t v L 222)(ψη=，在模型两端乘以逆算子：122)]([)(-≡L L h ψ，得到：
t j j t j j j t j j j t j t v x d x b y h c y 21
012+++-=∑∑∑∞=+*∞=-*∞=- 这时上述模型中的误差项t v 2是白噪声过程，并且与其它解释变量无关。进一步，这时也有：“对任意j ，0=j d ”的充分必要条件是“对任意j ，0=*j d ”
。因此，对上述模型中的无限求和在某个整数q 上截断，就可以利用检验“021====***q d d d ”的F —统计量
来检验原假设“变量y 非Granger 影响变量x ”。
在Granger 影响关系的经验检验中，人们发现检验结果对选取的滞后阶数q 是比较敏感的，同时检验结果也依赖处理可能数据存在非平稳性的方法。这些都是在使用Granger 影响关系检验中应该注意的问题。
11.2.4 解释Granger 因果关系检验 Interpreting Granger-Causality Tests
“Granger 因果关系”与因果关系的标准含义是如何产生关系的？我们通过几个例子来说明这个问题。
(1) Granger 因果关系检验和前瞻行为
我们继续考虑股票投资者的例子。假设在时刻t ，一个投资者以价格t P 购买一股股票，则在时刻1+t ，投资者可以获得红利1+t D ，并以价格1+t P 出售这股股票。这种股票的事前收益率(ex post rate of return ，表示为1+t r )可以按照下式定义：
111)1(++++≡+t t t t D P P r
如果在所有时刻股票的预期收益率是常数r ，则下列一个简单的股票价格模型成立： ][)1(11+++=+t t t t t D P E P r
这里t E 表示股票市场参与者利用时刻t 能够获得的所有信息做出的期望。在上述公式中包含的逻辑关系是，如果投资者在时刻t 获得的信息促使他们推测股票将具有高于正常的
收益率，则他们将在在时刻t 购买更多的股票。这样的购买将促使股票价格t P 上升，直到上述公式得到满足。这样的观点有时被称为有效市场假说。
如果满足有界性条件，则股票价格路径满足：
∑∞=+??
????+=111j j t j
t t D r E P 因此，按照有效市场假说，股票价格中包含将来所有红利现值的最优预测。如果这个预测是基于多余所有过去红利的信息基础上的，因为投资者企图推断红利中的变动，则股票价格将对红利产生Granger 影响。
为了比较简单地解释这一点，我们假设：
t t t t v u u d D +++=-1δ
这里和t u 和t v 是独立的高斯白噪声序列，d 是均值红利。假设投资者在时刻t 知道所有的},,{1 -t t u u 和},,{1 -t t v v 。则基于这些信息对红利j t D +的预测是： ?
??==+=+ ,3,,2,1,)(E j d j u d D t j t t δ 将这些预测值代入到股票价格的贴现公式，得到：
r
u r d P t t ++=1δ 因此，对这个例子而言，股票价格是白噪声，因此无法在滞后股票价格或者红利的基础上进行预测。没有序列能够对股票价格产生Granger 影响。
另一方面，注意到公式中的1-t u 能够从滞后股票价格中恢复出来。
d r
r P r u t t +-+=--1)1(11δ 上式说明，1-t u 中具有除了包含在},,{21 --t t D D 以外的有关t D 的信息。因此，股票价格对红利具有Granger 影响，虽然红利对股票价格没有Granger 影响。因此，二元V AR 模型具有下述形式：
??
????+++????????????++??????-=??????--t t t t t t t v u r u D P r r d r d D P )1/(0100//11δ 因此，在这个模型中，Granger 影响关系体现的因果关系是按照相反方向起作用的。红利没有对价格产生Granger 影响，即使投资者对红利的察觉是股票价格的唯一确定成分。另一方面，价格确实对红利产生了Granger 影响，虽然现实中股票的市场估价对红利过程没有任何影响。
一般地，例如股票和利率等反应前瞻性行为的时间序列经常被认为可以作为许多关键时间序列非常优秀的预测因子。显然这并不意味着这些时间序列促使GDP 或者通货膨胀率上升或者下降。取而代之的是，这些时间序列的数值反应了GNP 或者通货膨胀率的走势市场最优信息。对于评价有效市场观点，或者研究市场是否考虑或者能够预测GDP 或通货膨胀率等，对这些序列的Granger 影响关系检验时有帮助的，但不应该用于推断因果性的方向。
从来就没有那样的情景，Granger 因果关系用来为真实因果关系的方向提供有帮助的迹象。作为这种论题的示意，可以考虑试图度量石油价格上涨对经济的作用结果。
(2) 检验强经济计量外生性 Testing for Strict Econometric Exogeneity
二次世界大战以后，美国经济中偶然出现的经济衰退之前，经常伴随着原油价格的急剧上升，这意味着石油价格冲击是经济衰退的原因吗？
一种可能性是这种相关性是一种巧合，石油冲击和经济衰退只是偶然地在近似的时间内发生，而产生这两个时间序列的真实机制是不相关的。我们可以通过检验石油价格没有Granger 影响到GNP 这样的零假设来判断这样的假设。这样的假设被实际数据的检验所拒绝，即结论是石油价格有助于推断GNP 的取值，它们对推断的作用是显著的。这样的讨论反对相关性是一种偶然的论点。
为了对这种关系给出一种解释，我们需要确定石油价格中的上升并没有反映出那些确实是导致衰退的其他宏观经济影响。石油价格上升的主要原因出于一些十分清楚的历史事件的影响，例如1956—1957年的Suez 危机，1973—1974年的Arab-Israeli 战争等，人们可以接受这样的观点，即这些事件的形成原因完全属于美国经济以外的，而且是完全不可预测的。如果这个观点是正确的，则石油价格与经济衰退之间的历史相关性可以被解释为一种因果影响关系。这样的观点还具有一个可以辩论的支持，即没有时间序列能够Granger 影响到石油价格序列。经验上看，人们确实很少能够发现一些宏观时间序列能够有助于推断石油危机发生的时点。
这两个例子的主题是Granger 因果关系检验能够作为检验关于特定时间序列可推断性的假设的有效工具。另一方面，人们可能会怀疑他们作为建立任意两个时间序列之间影响关系方向的一般诊断机制的功效。出于这个原因，最好将这个检验描述为检验是否y 有助于预测x ，而不是检验是否y 影响x 。这样的检验对后一个问题有一定的启发，但只有附加其他假设才具有意义。
到目前为止，我们只考虑了两个变量x 和y ，将它们与其它变量分离开来。假设还有其他变量与x 或者y 产生交互影响，这会对预测x 和y 之间的关系产生什么样的影响呢？
(3) 缺损信息的作用 Role of Omitted Information
考虑下面三个变量构成的模型系统：
????
????????????????+=??????????t t t t t t L L L y y y 3213211001001εεεδ 假设残差向量满足：
?????????
?='232221000000)(σσσs t E εε，s t =；??????????='000000000)(s t E εε，s t ≠ 因此，上述模型表示3y 在预测1y 或者2y 的过程中，比仅仅使用1y 和2y 滞后值相比没有任何改进。
我们现在考虑检验变量1y 和3y 之间的Granger 影响关系，首先考虑关于1y 的过程： 121111--++=t t t t y εεδε
注意到过程1y 是一个一阶移动平均过程}{111-+t t εδε与一个不相关的白噪声过程}{12-t ε之和。我们已经证明了这样的过程仍然是一个一元)1(MA 过程，具有类似表示为：
11-+=t t t u u y θ
根据第四章的结论，可以知道预测误差可以表示为：
)()
()(42332222124133122111313212111 +-+-++-+-++-+-=-----------t t t t t t t t t t t t t u εθεθεθεεθεθεθεδεθεθεθε
当然，一元预测误差t u 与自身滞后值是无关的。但是，需要注意到它与1,3-t y 相关：
22
221313)])([()])([(σθεε-=+=---t t t t t u E y u E 因此，滞后的3y 可以有助于改进1y 的预测，而它原来是仅仅基于1y 滞后值进行预测的。这意味着在二元系统中3y 能够Granger 影响1y 。其原因是3y 的滞后值与省略变量2y 是相关的，这个省略的变量对预测1y 也是有帮助的。
§11.3 限制性向量自回归模型的极大似然估计 Maximum Likelihood Estimation of Restricted Vector Autoregressions
在第一届中我们讨论了无限制向量自回归模型的极大似然估计和假设检验问题。在这个V AR 模型中每个方程都具有相同的解释变量，即常数加上系统中所有变量的滞后变量。我们已经说明了如何计算线性约束的Wald 检验，但我们没有讨论系统具有约束条件时的参数估计问题。因此，这节中我们考虑限制性VAR 模型的估计问题。
11.3.1 多元情形下的Granger 因果关系 Granger-Causality in a Multivariate Context 作为一个我们在估计中感兴趣的限制性系统的例子，考虑前面已经讨论过问题在向量情形下的推广。考虑V AR 模型中的变量可以分成两个群体，利用11?n 维向量t 1y 和12?n 维向量t 2y 表示。这时V AR 模型可以表示为：
t t t t 12211
11εx A x A c y +'+'+= t t t t 22211
22εx B x B c y +'+'+= 这里t 1x 是包含t 1y 滞后值的)1(1?p n 向量，t 2x 是包含t 2y 滞后值的)1(2?p n 向量：
??????????????≡---p t t t t ,12,11,11y y y x ，??????
????????≡---p t t t t ,22,21,22y y y x 模型中11?n 维向量1c 和12?n 维向量2c 表示包含V AR 模型中的常数项。而矩阵2121,,,B B A A 包含自回归系数。
如果包含在2y 中的元素对于预测包含在1y 中的任意元素没有任何帮助，这种预测是仅仅依赖1y 中所有元素的滞后值的，这时我们称在时间序列的意义上，由变量1y 的一组变量相对于2y 中的变量是块外生的(block-exogenous)。在上述模型系统中，当矩阵0A =2时，1y 是块外生的。为了讨论受到这个约束限制的系统，我们首先关注非限制性极大似然估计计算和估计的另外一种形式。
11.3.2 极大似然函数的另外一种表示 An Alternative Expression for the Likelihood Function
我们在第一节中使用推断误差分解计算了VAR 模型的对数似然函数：
∑==T t t t t t f L 1
);(log )(θx |y θX |Y
这里),(21t t t y y y ''='，),,,(21p t t t t ---'''='y y y x ，函数形式为：
[]??
????'-'--'-'--???????''-'--''-'----+-
=-)()()()(2
1log 21)2log(2);(log 2211222211111222112112211222211112221121121t t t t t t t t t t t t t t n n f t t x B x B c y x A x A c y ΩΩΩΩx B x B c y x A x A c y ΩΩΩΩθx |y X |Y π 另外，上述联合概率密度也可以表示成为t 1y 的边际分布密度与给定t 1y 条件下t 2y 的条件概率分布密度的乘积：
);,();();(12,1121θx y |y θx |y θx |y X Y |Y X |Y X |Y t t t t t t t t t t t t t t f f f =
基于条件t x ，t 1y 的条件概率密度为：
??
????'-'--''-'---?=---)()(21exp ||)2();(2211111112211112
/1112/111t t t t t t n t t t t f x A x A c y Ωx A x A c y Ωθx |y X |Y π 而给定t 1y 和t x 时t 2y 的条件概率密度也是正态的：
??
????-'--=---)()(21exp ||)2();,(221222/12/12,212t t t t n t t t t t t f m y H m y H θx y |y X Y |Y π 这个条件分布密度中的参数可以利用下面的公式求得，其中条件方差为：
121112122ΩΩΩΩH --=
而条件均值为：
)]([)(111112122t t t t t t E E x |y y ΩΩx |y m -+=-
注意到从方程中可以获得：
t t t t E 221111)(x A x A c x |y '+'+=
t t t t E 221122)(x B x B c x |y '+'+=
将这些表达式代入到条件均值中：
t
t t t t t t t t 22111022111111121221122)]([)(x D x D y D d x A x A c y ΩΩx B x B c m '+'+'+='+'+-+'+'+=- 这里：
1111212c ΩΩc d --=，111210-='ΩΩD ， 11112111A ΩΩB D '-'='-，21112122A ΩΩB D '-'='-
因此，联合概率密度的对数似然函数可以表示为边际密度对数和条件密度对数之和，表示为：
)
()()
;,(log );(log );(log 2112,1121θθθx y |y θx |y θx |y X Y |Y X |Y X |Y t t t t t t t t t l l f f f t t t t t t t +=+=
其中： []
)()(21||log 21)2log(2)(2211111112211111111t t t t t t t n l x A x A c y Ωx A x A c y Ωθ'-'--''-'-----=-π
221201112220111221()log(2)log ||221()()2t t t t t t t t t n l π-=--'''''''??---------?
?θH y d D y D x D x H y d D y D x D x 这样一来，样本对数似然函数可以表示为： ∑∑==+=T t t T
t t l l L 1211)()()(θθθ
注意到上面我们获得了似然函数的两种表达式，只要它们的参数矩阵之间具有上述之间的转换，那么两种似然函数的计算将得到同样的数值。如果一个似然函数通过选择参数向量
),,,,,,,,(221211212211ΩΩΩB B c A A c 来极大化，
那么同样的似然函数值可以通过选择参数向量),,,,,,,,,,(11210212211H ΩD D D B B c A A c 来极大化另外一个似然函数达到。
其中第二部分的似然函数的极大化很容易获得。由于参数
§11.4 冲击反应函数 The Impulse-Response Function
按照前面的论述，V AR 模型可以表示为向量)(∞MA 形式：
++++=--2211t t t t εψεψεμy
因此，矩阵s ψ可以解释为：
s t
s t ψεy ='??+ 表示成为分量形式为：
t
j s t i j i s y ,,)(ε??=+ψ 这是假设在所有时刻其他扰动保持不变，时刻t 出现在第j 个变量扰动(t j ε)的一个单位增加对s t +时刻第i 个变量(s t i y +,)的影响结果。
如果在相同时刻t ε的第一个元素改变1δ，第二个元素改变2δ，……，第n 个元素改变n δ，则这些改变对s t +y 的综合作用效果为：
δψy y y y s n nt
s t t s t t s t s t εεε=??++??+??=
?++++δδδ 2211，),,,(21'=n δδδ δ
s ψ的第i 行和第j 列元素]/[][)(,,t j s t i j i s y ε??=+ψ作为时间间隔s 的函数，我们称此函数为冲击反应函数(the impulse-response function)，
时间序列分析方法及应用7
青海民族大学 毕业论文 论文题目：时间序列分析方法及应用—以青海省GDP 增长为例研究 学生姓名：学号： 指导教师：职称： 院系：数学与统计学院 专业班级：统计学 二○一五年月日
时间序列分析方法及应用——以青海省GDP增长为例研究 摘要: 人们的一切活动，其根本目的无不在于认识和改造世界，让自己的生活过得更理想。时间序列是指同一空间、不同时间点上某一现象的相同统计指标的不同数值，按时间先后顺序形成的一组动态序列。时间序列分析则是指通过时间序列的历史数据，揭示现象随时间变化的规律，并基于这种规律，对未来此现象做较为有效的延伸及预测。时间序列分析不仅可以从数量上揭示某一现象的发展变化规律或从动态的角度刻画某一现象与其他现象之间的内在数量关系及其变化规律性，达到认识客观世界的目的。而且运用时间序列模型还可以预测和控制现象的未来行为，由于时间序列数据之间的相关关系（即历史数据对未来的发展有一定的影响），修正或重新设计系统以达到利用和改造客观的目的。从统计学的内容来看，统计所研究和处理的是一批有“实际背景”的数据，尽管数据的背景和类型各不相同，但从数据的形成来看，无非是横截面数据和纵截面数据两类。本论文主要研究纵截面数据，它反映的是现象以及现象之间的关系发展变化规律性。在取得一组观测数据之后，首先要判断它的平稳性，通过平稳性检验，可以把时间序列分为平稳序列和非平稳序列两大类。主要采用的统计方法是时间序列分析，主要运用的数学软件为Eviews软件。大学四年在青海省上学，基于此，对青海省的GDP十分关注。本论文关于对1978年到2014年以来的中国的青海省GDP（总共37个数据）进行时间序列分析，并且对未来的三年中国的青海省GDP进行较为有效的预测。希望对青海省的发展有所贡献。 关键词: 青海省GDP 时间序列白噪声预测
《时间序列分析》案例
《时间序列分析》案例案例名 称：时间序列分析在经济预测中的应用内容要 求：确定性与随机性时间序列之比较设计作 者：许启发，王艳明 设计时 间：2003年8月
案例四：时间序列分析在经济预测中的应用 一、案例简介 为了配合《统计学》课程时间序列分析部分的课堂教学，提高学生运用统计分析方法解决实际问题的能力，我们组织了一次案例教学，其内容是：对烟台市的未来经济发展状况作一预测分析，数据取烟台市1949—1998年国内生产总值（GDP）的年度数据，并以此为依据建立预测模型，对1999年和2000年的国内生产总值作出预测并检验其预测效果。国内生产总值是指一个国家或地区所有常住单位在一定时期内生产活动的最终成果，是反映国民经济活动最重要的经济指标之一，科学地预测该指标，对制定经济发展目标以及与之相配套的方针政策具有重要的理论与实际意义。在组织实施时，我们首先将数据资料印发给学生，并讲清本案例的教学目的与要求，明确案例所涉及的教学内容；然后给学生一段时间，由学生根据资料，运用不同的方法进行预测分析，并确定具体的讨论日期；在课堂讨论时让学生自由发言，阐述自己的观点；最后，由主持教师作点评发言，取得了良好的教学效果。 经济预测是研究客观经济过程未来一定时期的发展变化趋势，其目的在于通过对客观经济现象历史规律的探讨和现状的研究，求得对未来经济活动的了解，以确定社会经济活动的发展水平，为决策提供依据。 时间序列分析预测法，首先将预测目标的历史数据按照时间的先后顺序排列，然后分析它随时间的变化趋势及自身的统计规律，外推得到预测目标的未来取值。它与回归分析预测法的最大区别在于：该方法可以根据单个变量的取值对其自身的变动进行预测，无须添加任何的辅助信息。 本案例的最大特色在于：它汇集了统计学原理中的时间序列分析这一章节的所有知识点，通过本案例的教学，可以把不同的时间序列分析方法进行综合的比较，便于学生更好地掌握本章的内容。 二、案例的目的与要求 （一）教学目的 1．通过本案例的教学，使学生认识到时间序列分析方法在实际工作中应用的必要性和可能性； 2．本案例将时间序列分析中的水平指标、速度指标、长期趋势的测定等内容有机的结合在一起，以巩固学生所学的课本知识，深化学生对课本知识的理解； 3．本案例是对烟台市的国内生产总值数据进行预测，通过对实证结果的比较和分析，使学生认识到对同一问题的解决，可以采取不同的方法，根据约束条件，从中选择一种合适的预测方法； 4．通过本案例的教学，让学生掌握EXCEL软件在时间序列分析中的应用，对统计、计量分析软件SPSS或Eviews等有一个初步的了解； 5．通过本案例的教学，有助于提高学生运用所学知识和方法分析解决问题的能力、合作共事的能力和沟通交流的能力。 （二）教学要求 1．学生必须具备相应的时间序列分析的基本理论知识； 2．学生必须熟悉相应的预测方法和具备一定的数据处理能力； 3．学生以主角身份积极地参与到案例分析中来，主动地分析和解决案例中的问题； 4．在提出解决问题的方案之前，学生可以根据提供的样本数据，自己选择不同的统计分析方法，对这一案例进行预测，比较不同预测方法的异同，提出若干可供选择的方案； 5．学生必须提交完整的分析报告。分析报告的内容应包括：选题的目的及意义、使用数据的特征及其说明、采用的预测方法及其优劣、预测结果及其评价、有待于进一步改进的思路或需要进一步研究的问题。 三、数据搜集与处理 时间序列数据按照不同的分类标准可以划分为不同的类型，最常见的有：年度数据、季度数据、月度数据。本案例主要讨论对年度数据如何进行预测分析。考虑到案例设计时的侧重点，本案例只是对烟
向量自回归模型简介
一、Var模型的基本介绍 向量自回归模型（Vector Autoregressive Models，VAR）最早由Sims（1980）提出。他认为，如果模型设定和识别不准确，那么模型就不能准确地反应经济系统的动态特性，也不能很好地进行动态模拟和政策分析。因此，VAR模型通常使用最少的经济理论假设，以时间序列的统计特征为出发点，通常对经济系统进行冲击响应（Impulse-Response）分析来了解经济系统的动态特性和冲击传导机制。由于VAR模型侧重于描述经济的动态特性，因而它不仅可以验证各种经济理论假设，而且在政策模拟上具有优越性。 VAR模型主要用于替代联立方程结构模型，提高经济预测的准确性。用联立方程模型研究宏观经济问题，是当前世界各国经济学者的一种通用做法，它把理论分析和实际统计数据结合起来，利用现行回归或非线性回归分析方法，确定经济变量之间的结构关系，构成一个由若干方程组成的模型系统。联立方程模型适合于经济结构分析，但不适合于预测：联立方程模型的预测结果的精度不高，其主要原因是需要对外生变量本身进行预测。与联立方程模型不同，VAR模型相对简洁明了，特别适合于中短期预测。目前，VAR模型在宏观经济和商业金融预测等领域获得了广泛应用。 二、VAR模型的设定 VAR模型描述在同一样本期间内的n个变量（内生变量）可以作为它们过去值的线性函数。 一个VAR(p)模型可以写成为： 或： 其中：c是n × 1常数向量，A i是n × n矩阵，p是滞后阶数，A(L)是滞后多项式矩阵，L是滞后算子。是n × 1误差向量，满足： 1. —误差项的均值为0 2. Ω—误差项的协方差矩阵为Ω（一个n × 'n正定矩阵） 3.（对于所有不为0的p都满足）—误差项不存在自相关 虽然从模型形式上来看比较简单，但在利用VAR模型进行分析之前，对模型的设定还需要意以下两点： 一是变量的选择。理论上来讲，既然VAR模型把经济作为一个系统来研究，那么模型中
资料：向量自回归模型__详解
第十四章 向量自回归模型 本章导读：前一章介绍了时间序列回归，其基本知识为本章的学习奠定了基础。这一章将要介绍的是时间序列回归中最常用的向量自回归，它独有的建模优势赢得了人们的广泛喜爱。 14.1 VAR 模型的背景及数学表达式 VAR 模型主要应用于宏观经济学。在VAR 模型产生之初，很多研究者（例如Sims ，1980 和Litterman ，1976；1986）就认为，VAR 在预测方面要强于结构方程模型。VAR 模型产生的原因在于20世纪60年代一大堆的结构方程并不能让人得到理想的结果，而VAR 模型的预测却比结构方程更胜一筹，主要原因在于大型结构方程的方法论存在着更根本的问题，并且结构方程受到最具挑战性的批判来自卢卡斯批判，卢卡斯指出，结构方程组中的“决策规则”参数，在经济政策改变时无法保持稳定，即使这些规则本身也是正确的。因此宏观经济建模的方程组在范式上显然具有根本缺陷。VAR 模型的研究用微观化基础重新表述宏观经济模型的基本方程，与此同时，对经济变量之间的相互关系要求也并不是很高。 我们知道经济理论往往是不能为经济变量之间的动态关系提供一个严格的定义，这使得在解释变量过程中出现一个问题，那就是内生变量究竟是出现在方程的哪边。这个问题使得估计和推理变得复杂和晦涩。为了解决这一问题，向量自回归的方法出现了，它是由sim 于1980年提出来的，自回归模型采用的是多方程联立的形式，它并不以经济理论为基础，在模型的每一个方程中，内生变量对模型的全部内生变量的滞后项进行回归，从而估计全部内生变量的动态关系。 向量自回归通常用来预测相互联系的时间序列系统以及分析随机扰动项对变量系统的动态影响。向量自回归的原理在于把每个内生变量作为系统中所有内生变量滞后值的函数来构造模型，从而避开了结构建模方法中需要对系统每个内生变量关于所有内生变量滞后值的建模问题。一般的VAR(P)模型的数学表达式是。 11011{,}t t p t p t t q t q t y v A y A y B x B x B x t μ----=++???++++???++∈-∞+∞ （14.1） 其中1t t Kt y y y =??????（）表示K ×1阶随机向量， 1A 到p A 表示K ×K 阶的参数矩阵， t x 表示M ×1阶外生变量向量， 1B 到q B 是K ×M 阶待估系数矩阵， 并且假定t μ是白噪声序列；即， ()0,t E μ= '(),t t E μμ=∑并且'()0,t s E μμ=)t s ≠（。 在实际应用过程之中，由于滞后期p 和q 足够大，因此它能够完整的反映所构造模型的 全部动态关系信息。但这有一个严重的缺陷在于，如果滞后期越长，那么所要估计的参数就会变得越多，自由度就会减少。因此需要在自由度与滞后期之间找出一种均衡状态。一般的准则就是取许瓦咨准则（SC ）和池此信息准则(AIC)两者统计量最小时的滞后期，其统计量见式(14-2)与式（14-3）。 2/2/AIC l n k n =-+ （14.2）
时间序列分析——最经典的
【时间简“识”】 说明：本文摘自于经管之家(原人大经济论坛) 作者：胖胖小龟宝。原版请到经管之家(原人大经济论坛) 查看。 1.带你看看时间序列的简史 现在前面的话—— 时间序列作为一门统计学，经济学相结合的学科，在我们论坛，特别是五区计量经济学中是热门讨论话题。本月楼主推出新的系列专题——时间简“识”，旨在对时间序列方面进行知识扫盲（扫盲，仅仅扫盲而已……），同时也想借此吸引一些专业人士能够协助讨论和帮助大家解疑答惑。 在统计学的必修课里，时间序列估计是遭吐槽的重点科目了，其理论性强，虽然应用领域十分广泛，但往往在实际操作中会遇到很多“令人发指”的问题。所以本帖就从基础开始，为大家絮叨絮叨那些关于“时间”的故事！ Long long ago，有多long估计大概7000年前吧，古埃及人把尼罗河涨落的情况逐天记录下来，这一记录也就被我们称作所谓的时间序列。记录这个河流涨落有什么意义当时的人们并不是随手一记，而是对这个时间序列进行了长期的观察。结果，他们发现尼罗河的涨落非常有规律。掌握了尼罗河泛滥的规律，这帮助了古埃及对农耕和居所有了规划，使农业迅速发展，从而创建了埃及灿烂的史前文明。
好~~从上面那个故事我们看到了 1、时间序列的定义——按照时间的顺序把随机事件变化发展的过程记录下来就构成了一个时间序列。 2、时间序列分析的定义——对时间序列进行观察、研究，找寻它变化发展的规律，预测它将来的走势就是时间序列分析。 既然有了序列，那怎么拿来分析呢 时间序列分析方法分为描述性时序分析和统计时序分析。 1、描述性时序分析——通过直观的数据比较或绘图观测，寻找序列中蕴含的发展规律，这种分析方法就称为描述性时序分析 描述性时序分析方法具有操作简单、直观有效的特点，它通常是人们进行统计时序分析的第一步。 2、统计时序分析 （1）频域分析方法 原理：假设任何一种无趋势的时间序列都可以分解成若干不同频率的周期波动 发展过程： 1）早期的频域分析方法借助富里埃分析从频率的角度揭示时间序列的规律 2）后来借助了傅里叶变换，用正弦、余弦项之和来逼近某个函数 3）20世纪60年代，引入最大熵谱估计理论，进入现代谱分析阶段 特点：非常有用的动态数据分析方法，但是由于分析方法复杂，结果抽象，有一定的使用局限性 （2）时域分析方法
季节性时间序列分析方法
季节性时间序列分析方 法 LG GROUP system office room 【LGA16H-LGYY-LGUA8Q8-LGA162】
第七章季节性时间序列分析方法 由于季节性时间序列在经济生活中大量存在，故将季节时间序列从非平稳序列中抽出来，单独作为一章加以研究，具有较强的现实意义。本章共分四节：简单随机时间序列模型、乘积季节模型、季节型时间序列模型的建立、季节调整方法X-11程序。 本章的学习重点是季节模型的一般形式和建模。 §1 简单随机时序模型 在许多实际问题中，经济时间序列的变化包含很多明显的周期性规律。比如：建筑施工在冬季的月份当中将减少，旅游人数将在夏季达到高峰，等等，这种规律是由于季节性（seasonality）变化或周期性变化所引起的。对于这各时间数列我们可以说，变量同它上一年同一月（季度，周等）的值的关系可能比它同前一月的值的相关更密切。 一、季节性时间序列 1．含义：在一个序列中，若经过S个时间间隔后呈现出相似性，我们说该序列具有以S为周期的周期性特性。具有周期特性的序列就称为季节性时间序列，这里S为周期长度。 注：①在经济领域中，季节性的数据几乎无处不在，在许多场合，我们往往可以从直观的背景及物理变化规律得知季节性的周期，如季度数据（周期为4）、月度数据（周期为12）、周数据（周期为7）；②有的时间序列也可能包含长度不同的若干种周期，如客运量数据（S=12，S=7） 2．处理办法： （1）建立组合模型； （1）将原序列分解成S个子序列（Buys-Ballot 1847）
对于这样每一个子序列都可以给它拟合ARIMA 模型，同时认为各个序列之间是相互独立的。但是这种做法不可取，原因有二：（1）S 个子序列事实上并不相互独立，硬性划分这样的子序列不能反映序列{}t x 的总体特征；（2）子序列的划分要求原序列的样本足够大。 启发意义：如果把每一时刻的观察值与上年同期相应的观察值相减，是否能将原序列的周期性变化消除（ 或实现平稳化），在经济上，就是考查与前期相比的净增值，用数学语言来描述就是定义季节差分算子。 定义：季节差分可以表示为S t t t S t S t X X X B X W --=-=?=)1(。 二、 随机季节模型 1．含义：随机季节模型，是对季节性随机序列中不同周期的同一周期点之间的相关关系的一种拟合。 AR （1）：t t S t S t t e W B e W W =-?+=-)1(11??，可以还原为：t t S S e X B =?-)1(1?。 MA （1）：t S t S t t t e B W e e W )1(11θθ-=?-=-，可以还原为：t S t S e B X )1(1θ-=?。 2．形式：广而言之，季节型模型的ARMA 表达形式为 t S t S e B V W B U )()(= （1） 这里，?? ? ??----=----=?=qS q S S S pS P S S S t d S t B V B V B V B V B U B U B U B U X W 2212211)(1)()(平稳。 注：（1）残差t e 的内容；（2）残差t e 的性质。 §2 乘积季节模型 一、 乘积季节模型的一般形式 由于t e 不独立，不妨设),,(~m d n ARIMA e t ，则有
Stata时间序列笔记
文档结尾是FAQ和var建模的15点注意事项 【梳理概念】 向量自回归（VAR, Vector Auto regression）常用于预测相互联系的时间序列系统以及分析随机扰动对变量系统的动态影响。 V AR模型: V AR方法通过把系统中每一个内生变量,作为系统中所有内生变量的滞后值的函数来构造模型，从而回避了结构化模型的要求。 V AR模型对于相互联系的时间序列变量系统是有效的预测模型，同时，向量自回归模型也被频繁地用于分析不同类型的随机误差项对系统变量的动态影响。如果变量之间不仅存在滞后影响，而不存在同期影响关系，则适合建立V AR模型，因为V AR模型实际上是把当期关系隐含到了随机扰动项之中。 协整： Engle和Granger（1987a）指出两个或多个非平稳时间序列的线性组合可能是平稳的。假如这样一种平稳的或的线性组合存在，这些非平稳（有单位根）时间序列之间被认为是具有协整关系的。这种平稳的线性组合被称为协整方程且可被解释为变量之间的长期均衡关系。 * 第六讲时间序列分析 *---- 目录----- * *-- 简介 * 6.1 时间序列数据的处理 *-- 平稳时间序列模型 * 6.2 ARIMA 模型 * 6.3 V AR 模型 *-- 非平稳时间序列模型——近些年得到重视，发展很快 * 6.4 非平稳时间序列简介 * 6.5 单位根检验——检验非平稳 * 6.6 协整分析——非平稳序列的分析 *-- 自回归条件异方差模型 * 6.7 GARCH 模型——金融序列不同时点上序列的差异
反映动态关系的时间数据顺序不可颠倒 cd d:\stata10\ado\personal\Net_Course\B6_TimeS *======================= * 时间序列数据的处理help time *======================= * 声明时间序列：tsset 命令 use gnp96.dta, clear list in 1/20 gen Lgnp = L.gnp(此时没办法生成之后一阶的变量，因为没有设定时间变量) tsset date（设定date为时间变量，timeseries） list in 1/20 gen Lgnp = L.gnp96 滞后一期，所以会产生1个缺失值 ●检查是否有断点——肉眼看不方便，用命令检查 use gnp96.dta, clear tsset date tsreport, report drop in 10/10 ——去掉断点成连续的，才能继续进行 list in 1/12 tsreport, report tsreport, report list/*列出存在断点的样本信息*/ ●填充缺漏值——接着上一步，看看stata如何填充缺漏值。一般用前面的数据的平均值或 预测等 Tsfill（以缺漏值的形式）
向量自回归模型讲义
第8章V AR模型与协整 1980年Sims提出向量自回归模型（vector autoregressive model）。这种模型采用多方程联立的形式，它不以经济理论为基础，在模型的每一个方程中，内生变量对模型的全部内生变量的滞后值进行回归，从而估计全部内生变量的动态关系。 8.1向量自回归（V AR）模型定义 8.1.1 模型定义 V AR模型是自回归模型的联立形式，所以称向量自回归模型。假设y1t，y2t之间存在关系，如果分别建立两个自回归模型 y1, t= f (y1, t-1, y1, t-2, …) y2, t= f (y2, t-1, y2, t-2, …) 则无法捕捉两个变量之间的关系。如果采用联立的形式，就可以建立起两个变量之间的关系。V AR模型的结构与两个参数有关。一个是所含变量个数N，一个是最大滞后阶数k。 以两个变量y1t，y2t滞后1期的V AR模型为例，
y 1, t = c 1 + π11.1 y 1, t -1 + π12.1 y 2, t -1 + u 1 t y 2, t = c 2 + π21.1 y 1, t -1 + π22.1 y 2, t -1 + u 2 t (8.1) 其中u 1 t , u 2 t ~ IID (0, σ 2), Cov(u 1 t , u 2 t ) = 0。写成矩阵形式是， ??????t t y y 21=12c c ??????+??????1.221 .211.121.11ππππ??????--1,21,1t t y y +?? ? ???t t u u 21 (8.2) 设， Y t =??????t t y y 21, c =12c c ?????? , ∏1 =??????1.221.211.121.11ππππ, u t =??? ???t t u u 21, 则， Y t = c + ∏1 Y t -1 + u t (8.3) 那么，含有N 个变量滞后k 期的V AR 模型表示如下： Y t = c + ∏1 Y t -1 + ∏2 Y t -2 + … + ∏k Y t -k + u t , u t ~ IID (0, Ω) (8.4) 其中， Y t = (y 1, t y 2, t … y N , t )' c = (c 1 c 2 … c N )' ∏j = ???? ?? ????????j NN j N j N j N j j j N j j ..2.1.2.22.21.1.12.11πππππππππΛ M O M M ΛΛ, j = 1, 2, …, k u t = (u 1 t u 2,t … u N t )',
时间序列分析法原理及步骤
时间序列分析法原理及步骤 ----目标变量随决策变量随时间序列变化系统 一、认识时间序列变动特征 认识时间序列所具有的变动特征, 以便在系统预测时选择采用不同的方法 1》随机性:均匀分布、无规则分布,可能符合某统计分布(用因变量的散点图和直方图及其包含的正态分布检验随机性, 大多服从正态分布 2》平稳性:样本序列的自相关函数在某一固定水平线附近摆动, 即方差和数学期望稳定为常数 识别序列特征可利用函数 ACF :其中是的 k 阶自 协方差,且 平稳过程的自相关系数和偏自相关系数都会以某种方式衰减趋于 0, 前者测度当前序列与先前序列之间简单和常规的相关程度, 后者是在控制其它先前序列的影响后,测度当前序列与某一先前序列之间的相关程度。实际上, 预测模型大都难以满足这些条件, 现实的经济、金融、商业等序列都是非稳定的,但通过数据处理可以变换为平稳的。 二、选择模型形式和参数检验 1》自回归 AR(p模型
模型意义仅通过时间序列变量的自身历史观测值来反映有关因素对预测目标的影响和作用,不受模型变量互相独立的假设条件约束,所构成的模型可以消除普通回归预测方法中由于自变量选择、多重共线性的比你更造成的困难用 PACF 函数判别 (从 p 阶开始的所有偏自相关系数均为 0 2》移动平均 MA(q模型 识别条件
平稳时间序列的偏相关系数和自相关系数均不截尾,但较快收敛到 0, 则该时间序列可能是 ARMA(p,q模型。实际问题中,多数要用此模型。因此建模解模的主要工作时求解 p,q 和φ、θ的值,检验和的值。 模型阶数 实际应用中 p,q 一般不超过 2. 3》自回归综合移动平均 ARIMA(p,d,q模型 模型含义 模型形式类似 ARMA(p,q模型, 但数据必须经过特殊处理。特别当线性时间序列非平稳时,不能直接利用 ARMA(p,q模型,但可以利用有限阶差分使非平稳时间序列平稳化,实际应用中 d (差分次数一般不超过 2. 模型识别 平稳时间序列的偏相关系数和自相关系数均不截尾,且缓慢衰减收敛,则该时间序列可能是 ARIMA(p,d,q模型。若时间序列存在周期性波动, 则可按时间周期进
时间序列分析方法第章预测
第四章 预 测 在本章当中我们讨论预测的一般概念和方法，然后分析利用),(q p ARMA 模型进行预测的问题。 §4.1 预期原理 利用各种条件对某个变量下一个时点或者时间阶段内取值的判断是预测的重要情形。为此，需要了解如何确定预测值和度量预测的精度。 4.1.1 基于条件预期的预测 假设我们可以观察到一组随机变量t X 的样本值，然后利用这些数据预测随机变量1+t Y 的值。特别地，一个最为简单的情形就是利用t Y 的前m 个样本值预测1+t Y ，此时t X 可以描述为： 假设*|1t t Y +表示根据t X 对于1+t Y 做出的预测。那么如何度量预测效果呢？通常情况下，我们利用损失函数来度量预测效果的优劣。假设预测值与真实值之间的偏离作为损失，则简单的二次损失函数可以表示为(该度量也称为预测的均方误差)： 定理4.1 使得预测均方误差达到最小的预测是给定t X 时，对1 +t Y 的条件数学期望，即： 证明：假设基于t X 对1+t Y 的任意预测值为： 则此预测的均方误差为： 对上式均方误差进行分解，可以得到： 其中交叉项的数学期望为(利用数学期望的叠代法则)： 因此均方误差为： 为了使得均方误差达到最小，则有： 此时最优预测的均方误差为： 211*|1)]|([)(t t t t t X Y E Y E Y MSE +++-= End 我们以后经常使用条件数学期望作为随机变量的预测值。 4.1.2 基于线性投影的预测 由于上述条件数学期望比较难以确定，因此将预测函数的范围限制在线性函数当中，我们考虑下述线性预测： 如此预测的选取是所有预测变量的线性组合，预测的优劣则体现在系数向量的选择上。 定义4.1 如果我们可以求出一个系数向量值α，使得预测误差)(1t t X Y α'-+与t X 不相关： 则称预测t X α'为1+t Y 基于t X 的线性投影。 定理4.2 在所有线性预测当中，线性投影预测具有最小的均方误差。
时间序列分析方法第章谱分析完整版
时间序列分析方法第章 谱分析 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
第六章 谱分析 Spectral Analysis 到目前为止，t 时刻变量t Y 的数值一般都表示成为一系列随机扰动的函数形式，一般的模型形式为： 我们研究的重点在于，这个结构对不同时点t 和τ上的变量t Y 和τ Y 的协方差具有什么样的启示。这种方法被称为在时间域(time domain)上分析时间序列+∞∞-}{t Y 的性质。 在本章中，我们讨论如何利用型如)cos(t ω和)sin(t ω的周期函数的加权组合来描述时间序列t Y 数值的方法，这里ω表示特定的频率，表示形式为： 上述分析的目的在于判断不同频率的周期在解释时间序列+∞∞ -}{t Y 性质时所发挥的重要程度如何。如此方法被称为频域分析(frequency domain analysis)或者谱分析(spectral analysis)。我们将要看到，时域分析和频域分析之间不是相互排斥的，任何协方差平稳过程既有时域表示，也有频域表示，由一种表示可以描述的任何数据性质，都可以利用另一种表示来加以体现。对某些性质来说，时域表示可能简单一些；而对另外一些性质，可能频域表示更为简单。 § 母体谱 我们首先介绍母体谱，然后讨论它的性质。 6.1.1 母体谱及性质 假设+∞∞-}{t Y 是一个具有均值μ的协方差平稳过程，第j 个自协方差为： 假设这些自协方差函数是绝对可加的，则自协方差生成函数为： 这里z 表示复变量。将上述函数除以π2，并将复数z 表示成为指数虚数形式)ex p(ωi z -=，1-=i ，则得到的结果(表达式)称为变量Y 的母体谱： 注意到谱是ω的函数：给定任何特定的ω值和自协方差j γ的序列+∞∞-}{j γ，原则上都可以计算)(ωY s 的数值。 利用De Moivre 定理，我们可以将j i e ω-表示成为： 因此，谱函数可以等价地表示成为： 注意到对于协方差平稳过程而言，有：j j -=γγ，因此上述谱函数化简为： 利用三角函数的奇偶性，可以得到： 假设自协方差序列+∞∞-}{j γ是绝对可加的，则可以证明上述谱函数
第六章时间序列分析
第六章时间序列分析 重点： 1、增长量分析、发展水平及增长量 2、增长率分析、发展速度及增长速度 3、时间数列影响因素、长期趋势分析方法 难点： 1、增长量与增长速度 2、长期趋势与季节变动分析 第一节时间序列的分析指标 知识点一：时间序列的含义 时间序列是指经济现象按时间顺序排列形成的序列。这种数据称为时间序列数据。 时间序列分析就是根据这样的数列分析经济现象的发展规律，进而预测其未来水平。 时间数列是一种统计数列，它是将反映某一现象的统计指标在不同时间上的数值按时间先后顺序排列所形成的数列。表现了现象在时间上的动态变化，故又称为动态数列。 一个完整的时间数列包含两个基本要素： 一是被研究现象或指标所属的时间； 另一个是该现象或指标在此时间坐标下的指标值。 同一时间数列中，通常要求各指标值的时间单位和时间间隔相等，如无法保证相等，在计算某些指标时就涉及到“权”的概念。 研究时间数列的意义：了解与预测。 [例题·单选题]下列数列中哪一个属于时间数列（）. a.学生按学习成绩分组形成的数列 b.一个月内每天某一固定时点记录的气温按度数高低排列形成的序列 c.工业企业按产值高低形成的数列 d.降水量按时间先后顺序排列形成的数列 答案：d 解析：时间序列是一种统计数列，它是将反映某一现象的统计指标在不同时间上的数值按时间先后顺序排列所形成的数列，表现了现象在时间上的动态变化。 知识点二：增长量分析（水平分析）
一.发展水平 发展水平是指客观现象在一定时期内（或时点上）发展所达到的规模、水平,一般用y t （t=1,2,3，…,n) 。 在绝对数时间数列中，发展水平就是绝对数； 在相对数时间数列中，发展水平就是相对数或平均数。 几个概念：期初水平y 0，期末水平y t ，期间水平(y 1 ,y 2 ,….y n-1 )； 报告期水平(研究时期水平)，基期水平（作为对比基础的水平）。 二.增长量 增长量是报告期发展水平与基期发展水平之差，增长量的指标数值可正可负，它反映的是报告期相对基期增加或减少的绝对数量，用公式表示为： 增长量＝报告期水平－基期水平 根据基期的不同确定方法，增长量可分为逐期增长量和累计增长量。 1.逐期增长量：是报告期水平与前一期水平之差，用公式表示为： △ = y n - y n-1 （i=1,2,…,n） 2.累计增长量：是报告期水平与某一固定时期水平（通常是时间序列最初水平）之差，用公式表示为： △ = y n - y （i=1,2,…,n）（i=1,2,…,n） 二者关系：逐期增长量之和=累计增长量 3.平均增长量 平均增长量是时间序列中的逐期增长量的序时平均数，它表明现象在一定时段内平均每期增加（减少）的数量。 一般用累计增长量除以增长的时期数目计算。 （y n - y ）/n [例题·单选题]某社会经济现象在一定时期内平均每期增长的绝对数量是（）。 a．逐期增长量 b．累计增长量 c．平均增长量 d．增长速度 答案：c 解析：平均每期增长的绝对数量是平均增长量。 知识点三：增长率分析（速度分析） 一.发展速度
向量自回归模型讲义.doc
向量自回归模型讲义 第八章V AR模型与协整1980年西姆斯提出向量自回归模型。该模型采用多路径联立方程的形式。它不是基于经济理论。在模型的每个方程中，内生变量回归模型所有内生变量的滞后值，从而估计所有内生变量的动态关系。8.1向量自回归(V AR)模型定义8.1.1模型定义V AR模型是自回归模型的联立形式，所以它被称为向量自回归模型。假设y1t和y2t之间存在关系，如果两个自回归模型Y1，T=F (Y1，T-1，Y1，T-2，)Y2，T=F (Y2，T-1，Y2，T-2，)分别建立，两个变量之间的关系就无法捕捉。如果采用联立方程，就可以建立两个变量之间的关系。V AR模型的结构与两个参数有关。以变量y1t和y2t滞后于第1阶段的V AR模型为例，Y1，T=C1P11.1Y1，T-1P12.1Y2，T-1U1TY2，T=C2P11.1Y1，T-1P22.1Y2，T-1U 22.1 Y2，T-1U2T (8.1)，其中U1T，U2T ~ IID (0，S2)，COV (U1T，U2T)=0。书面矩阵形式是，=(8.2)集，Yt=，c=，P1=，ut=，然后Yt=c P1 Yt-1 ut (8.3)。然后，具有延迟k个周期的n个变量的V AR模型表示如下:Yt=c P1 Yt- Yt=c P1 Yt:打开工作文件，单击快速键，并选择估计V AR函数。做出相应的选择后，就可以得到V AR的表格输出模式。点击查看，在风险值模型估计结果窗口中选择表示函数，得到风险值的代数输出结果。 8.1.2风险值模型的特征在于: (1)不是基于严格的经济理论。在建模过程中，只有两件事需要澄清:
向量自回归过程的时间序列分析word资料26页
第四章 向量自回归过程的时间序列分析 §1 向量自回归模型 有时我们需要考虑多个时间序列过程的组合。例如，宏观经济系统中， (,,,)t t t t y m p r 它们之间是一个相互联系的整体（IS —LM ）。多变量的时间序 列将会产生一些单变量不存在的问题。本章主要讨论平稳的自回归形式的多变量随机过程VAR 。 给一般的向量平稳过程，12(,,,) 0,1,2,t t t mt Y Y Y Y t '==±±L L L 。这里t Y 的协差矩阵定义为：()cov(,)[()()]t t k t t k k Y Y E Y Y μμ--'Γ==--仅依赖于k 。设， 1112121 22212 ()m m m m mm k k γγγγγγγγγ?? ? ?Γ= ? ???L L M M M M L ，于是得到矩阵序列{()}k Γ。又()() ij ji k k γγ=-Q ，()()k k '∴Γ=Γ-。设() k k +∞ =-∞ Ω= Γ∑，那么， 1 (0)[()()]k k k ∞ ='Ω=Γ+Γ+Γ∑。 称为t Y 的长期协差阵。且t Y 的谱定义为： 用1 1?()()(), 0,1,2,T t t k t k k Y Y Y Y k T -=+'Γ=--=∑L 作为()k Γ的估计，又M 是一个截 断，满足,M →∞且0M T →。再用1 ????(0)(1)[()()]1M k k k k M ='Ω =Γ+-Γ+Γ+∑作为Ω的一致估计。 相应于单变量平稳过程，我们同样定义向量的白噪声过程WN 和向量的鞅差分过程MDS 。 并进一步给出由它们的线性过程组成的其他的向量过程： (1)VAR 过程，1t t t Y Y φε-=+。这里φ是一个m m ?的矩阵，t ε是向量WN 。 平稳性要求φ的特征值的绝对值小于1。
时间序列分析法原理及步骤
时间序列分析法原理及步骤----目标变量随决策变量随时间序列变化系统 一、认识时间序列变动特征 认识时间序列所具有的变动特征，以便在系统预测时选择采用不同的方法 1》随机性:均匀分布、无规则分布，可能符合某统计分布(用因变量的散点图和直方图及其包含的正态分布检验随机性，大多服从正态分布 2》平稳性:样本序列的自相关函数在某一固定水平线附近摆动，即方差和数学期望稳定为常数 识别序列特征可利用函数ACF :其中是的k阶自 协方差，且 平稳过程的自相关系数和偏自相关系数都会以某种方式衰减趋于0,前者测度 当前序列与先前序列之间简单和常规的相关程度，后者是在控制其它先前序列的影响后，测度当前序列与某一先前序列之间的相关程度。实际上,预测模型大都难以满足这些条件，现实的经济、金融、商业等序列都是非稳定的，但通过数据处理可以变换为平稳的。 二、选择模型形式和参数检验 1》自回归AR(p模型
⑴模.式（■「越小越好*但不能为0： t为0表示只受以前Y的历史的形响不受具他内索感响） y产di卅I十中汕-寸+ 4syr+ ￡c 式中假设’兀的变化?上鉴匚时间序列的历史数据有关，与此它因素无 关* J不同时刻互不和关，F「与趴历史序列不相关。式中符号：P模型的阶次"滞后的时问周期，迪过实验和参数确定；久当前预测值 ?与自身过去观测值畑?“ y「是同一序列不同时刻的随机变呈，相互间冇 线性关系，也反映时间滞后关系： 弗小g、..... 、同一平稳序列fit去D个时期的观 测值； % ……* 0,自回归系數，通过计算得出的权数?表达头依赖十过去的程 度，」1?这种依赖关系恒定小变； 「随机十扰浜益项，是0沟值、常方茎凡独立的白噪声序利* Jjfi 过佈计 指定的模型扶得F 模型意义仅通过时间序列变量的自身历史观测值来反映有关因素对预测目标的影响和作用，不受模型变量互相独立的假设条件约束，所构成的模型可以消除普通回归预测方法中由 于自变量选择、多重共线性的比你更造成的困难用PACF函数 判别（从p阶开始的所有偏自相关系数均为0 2》移动平均MA（q模型 ⑴模或形式< j越小越好*但不能为0： v为。表小鼻受以前Y的历史的愚响不受其他 因素諺响） y产0|竹1十*浮心+.+ R|jr+ ￡t 式中假设^ 口的变化主要与时间斥列的刃史数拡启关，与人它冈素无关； E ；不同时刻互不和关，J打趴历史序列不和关。 式中符号=P模型的阶次”滞后的时间周期，通过实验和参数确定；乩肖前 预测值，与自身过去观测值y小…円趴屣同一序列不同时刻的随机变屋， 相互间有线性关系，也反映时问滞后关系： y小m ……> 冋一平稳序列过去D个时期的观 测任 小<11 ...... * 自1口1比1 玄劇r ?hWJ?driVilv *fr 生和ir 的
用EVIEWS处理时间序列分析
应用时间序列分析 实验手册
目录 目录 (2) 第二章时间序列的预处理 (3) 一、平稳性检验 (3) 二、纯随机性检验 (9) 第三章平稳时间序列建模实验教程 (10) 一、模型识别 (10) 二、模型参数估计（如何判断拟合的模型以及结果写法） (14) 三、模型的显著性检验 (17) 四、模型优化 (18) 第四章非平稳时间序列的确定性分析 (19) 一、趋势分析 (19) 二、季节效应分析 (34) 三、综合分析 (38) 第五章非平稳序列的随机分析 (44) 一、差分法提取确定性信息 (44) 二、ARIMA模型 (57) 三、季节模型 (62)
第二章时间序列的预处理 一、平稳性检验 时序图检验和自相关图检验 （一）时序图检验 根据平稳时间序列均值、方差为常数的性质，平稳序列的时序图应该显示出该序列始终在一个常数值附近随机波动，而且波动的范围有界、无明显趋势及周期特征 例2.1 检验1964年——1999年中国纱年产量序列的平稳性 1.在Eviews软件中打开案例数据 图1：打开外来数据 图2：打开数据文件夹中案例数据文件夹中数据
文件中序列的名称可以在打开的时候输入，或者在打开的数据中输入 图3：打开过程中给序列命名 图4：打开数据
2.绘制时序图 可以如下图所示选择序列然后点Quick选择Scatter或者XYline；绘制好后可以双击图片对其进行修饰，如颜色、线条、点等 图1：绘制散点图 图2：年份和产出的散点图
图3：年份和产出的散点图 （二）自相关图检验 例2.3 导入数据，方式同上； 在Quick 菜单下选择自相关图，对Qiwen 原列进行分析； 可以看出自相关系数始终在零周围波动，判定该序列为平稳时间序列。 图1：序列的相关分析
第七章季节性时间序列分析方法
第七章季节性时间序列分析方法 由于季节性时间序列在经济生活中大量存在，故将季节时间序列从非平稳序列中抽出来，单独作为一章加以研究，具有较强的现实意义。本章共分四节：简单随机时间序列模型、乘积季节模型、季节型时间序列模型的建立、季节调整方法X-11程序。 本章的学习重点是季节模型的一般形式和建模。 §1 简单随机时序模型 在许多实际问题中，经济时间序列的变化包含很多明显的周期性规律。比如：建筑施工在冬季的月份当中将减少，旅游人数将在夏季达到高峰，等等，这种规律是由于季节性（seasonality）变化或周期性变化所引起的。对于这各时间数列我们可以说，变量同它上一年同一月（季度，周等）的值的关系可能比它同前一月的值的相关更密切。 一、季节性时间序列 1．含义：在一个序列中，若经过S个时间间隔后呈现出相似性，我们说该序列具有以S为周期的周期性特性。具有周期特性的序列就称为季节性时间序列，这里S为周期长度。 注：①在经济领域中，季节性的数据几乎无处不在，在许多场合，我们往往可以从直观的背景及物理变化规律得知季节性的周期，如季度数据（周期为4）、月度数据（周期为12）、周数据（周期为7）；②有的时间序列也可能包含长度不同的若干种周期，如客运量数据（S=12，S=7） 2．处理办法： （1）建立组合模型； （1）将原序列分解成S个子序列（Buys-Ballot 1847）
对于这样每一个子序列都可以给它拟合ARIMA 模型，同时认为各个序列之间是相互独立的。但是这种做法不可取，原因有二：（1）S 个子序列事实上并不相互独立，硬性划分这样的子序列不能反映序列{}t x 的总体特征；（2）子序列的划分要求原序列的样本足够大。 启发意义：如果把每一时刻的观察值与上年同期相应的观察值相减，是否能将原序列的周期性变化消除？（或实现平稳化），在经济上，就是考查与前期相比的净增值，用数学语言来描述就是定义季节差分算子。 定义：季节差分可以表示为S t t t S t S t X X X B X W --=-=?=)1(。 二、 随机季节模型 1．含义：随机季节模型，是对季节性随机序列中不同周期的同一周期点之间的相关关系的一种拟合。 AR （1）：t t S t S t t e W B e W W =-?+=-)1(11??，可以还原为：t t S S e X B =?-)1(1?。 MA （1）：t S t S t t t e B W e e W )1(11θθ-=?-=-，可以还原为：t S t S e B X )1(1θ-=?。 2．形式：广而言之，季节型模型的ARMA 表达形式为 t S t S e B V W B U )()(= （1） 这里，?? ? ??----=----=?=qS q S S S pS P S S S t d S t B V B V B V B V B U B U B U B U X W ΛΛ2212211)(1)()(平稳。 注：（1）残差t e 的内容；（2）残差t e 的性质。 §2 乘积季节模型 一、 乘积季节模型的一般形式 由于t e 不独立，不妨设),,(~m d n ARIMA e t ，则有 t t d a B e B )()(Θ=?φ （2） 式中，t a 为白噪声；n n B B B B ???φ----=Λ22111)(；m m B B B B θθθ----=ΘΛ22111)(。 在（1）式两端同乘d B ?)(φ，可得： t S t d S t D S d S t d S a B B V e B B V X B U B W B U B )()()()()()()()(Θ=?=??=?φφφ （3） 注：（1）这里t D S S X B U ?)(表示不同周期的同一周期点上的相关关系；t d X B ?)(φ则表示同一周期内