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常用积分公式

常用积分公式
常用积分公式

§3-6 常用积分公式表·例题和点评

d k x kx c =+? (k 为常数)

⑵1

1

d (1)1

x x x c μ

μμμ+≠-=++? 特别,2

11

d x

c x x =-+?,

32

23

x x c =

+, x c = ⑶

1d ln ||x x c x =+?

⑷d ln x

x

a

a x c a

=+?, 特别,e d e x x

x c =+? ⑸sin d cos x x x c =-+?

⑹cos d sin x x x c =+? ⑺

2

2

1d csc d cot sin x x x x c x ==-+??

2

2

1d sec d tan cos x x x x c x

==+??

⑼arcsin (0)x x c a a

=+>,特别,arcsin x x c =+ ⑽

2211d arctan (0)x x c a a a a x =+>+?,特别,2

1

d arctan 1x x c

x =++?

22

11d ln (0)2a x

x c a a a x a x +=+>--?

22

11d ln (0)2x a

x c a a x a x a -=+>+-?

tan d ln cos x x x c =-+? ⒀cot d ln sin x x x c =+?

⒁ln csc cot 1csc d d ln tan sin 2x x c

x x x x

c x ?-+?=

=?+????

⒂πln sec tan 1sec d d ln tan cos 24x x c

x x x x c x ?++?

=

=??

?++ ??

???

?

?

⒃(0)

a x >==

?ln x c +

+

⒄2(0)

arcsin 2a a x x c a >==+

x

2(ln 2

a a x c >==+

⒆2222sin cos e sin d e sin cos e cos d e ax

ax ax ax a bx b bx bx x c a b b bx a bx bx x c a b -?=+??+?+?=+?+?

?

?

12222212

123

d ()2(1)()2(1)n

n n n x n x c a x n a a x n a I I ---==+++-+-?

(递推公式) 跟我做练习

(一般情形下,都是先做恒等变换或用某一个积分法,最后套用某一个积分公式)

例24

2)x x =

-

[套用公式⒅]

1

ln (2)2

x =

-

⑵[1

(24)42

x x x =

-+

??

2145)2

2

x x x =

-++

=(请你写出答案

)

2)x x =

-

ln (2)x ?=-?

[

套用公式⒃]

1

2x x =

2122x =

+

=

(请你写出答案)

2)x x =

-

232arcsin

23x -=+[套用公式⒄]

⑹[1(42)42

x x x =

---

?

?

214)2

2

x x x =-

+-+

=(请你写出答案

)

=

=[套用公式⑼]2

arcsin

3x -=

(42)4d 12

x x --=

-

212

2

=

+-

=(请你写出答案)

例25 求原函数4

1

d 1x x +?

. 解 因为

)21)(21()2()1(2)21(1222222424x x x x x x x x x x +-++=-+=-

++=+

所以令

411x ++为待定常数)D C B A ,,,(

=

从恒等式1)12)(()12)((22≡+++++-+x x D x C x x B Ax (两端分子相等),可得方程组

???

??

?

?

=+=+++-=++-=+(三次项系数)(二次项系数)(一次项系数)

常数项0022022)(1C A D C B A D C B A D B 解这个方程组(在草纸上做),得21,2

21,21,221

=-===

D C B A . 因此,

4

1

d 1x x +

?

x x =+

右端的第一个积分为

1

4

x x x

==+

22

11

d

4

x

x

=+

?

++

??

?

(套用积分公式

)

21)1)

x+++

类似地,右端的第二个积分为

21)1)

x x

=+-

?

所以

4

1

d

1

x

x

+

?1)1)

++-

1x

=

-

(见下注)

【注】根据

tan tan

tan()

1tan tan

αβ

αβ

αβ

+

+=

-?

,则

22 tan1)1)

2(1)1

x x ??

++-===??--

因此

,

1)1)

++-=

例26 求

d

(01)

1cos

x

x

ε

ε

<<

-

?. [关于d(01)

1cos

x

x

ε

ε

<<

+

?,见例17]

解令tan

2

x

t=(半角替换),则

222

22

22

cos cos sin2cos111

222sec1tan

22

x x x

x

x x

=-=-=-=-

+

2

2

1

1

t

t

-

=

+

2

2

d d(2arctan)d

1

x t t

t

==

+

于是,

222

2

d12d

d2

1

1cos1(1)(1)

1

1

x t

t

t

x t t

t

εεε

ε

==

-

-+-++

-

+

???2

2d

1

1

1

t

t

ε

ε

ε

=

-

++

+

?

c =

+2x

c +

【点评】求初等函数的原函数的方法虽然也有一定的规律,但不像求它们的微分或导数那样规范化.这是因为从根本上说,函数()y y x =的导数或微分可以用一个“构造性”的公式

()()

()lim

h y x h y x y x h

→+-'= 或d ()d y y x x '=

确定下来,可是在原函数的定义中并没有给出求原函数的方法.积分法作为微分法的逆运算,其运算结果有可能越出被积函数所属的函数类.譬如,有理函数的原函数可能不再是有理函数,初等函数的原函数可能是非初等函数(这就像正数的差有可能是负数、整数的商有可能是分数一样).有的初等函数尽管很简单,可是它的原函数不能表示成初等函数 ,譬如

2

1

e sin e

d ,

d ,d ,d ln x

x x

x x x x x

x

x

-?

?

?

?

等 都不能表示成初等函数.因此,一般说来求初等函数的原函数要比求它们的微分或导数困难得多.我们用上面那些方法能够求出原函数的函数,只是初等函数中的很小一部分.尽管如此,我们毕竟可以求出足够多函数的原函数,而这些正好是应用中经常遇到的函数.因此,读者能够看懂前面那些例题并能够基本完成各节后的练习就足够了.

积分大全

常 用 积 分 公 式 (一)含有ax b +的积分(0a ≠) 1. d x ax b +?=1 ln ax b C a ++ 2.()d ax b x μ +? = 11 ()(1) ax b C a μμ++++(1μ≠-) 3. d x x ax b +?=21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4.2d x x ax b +? =22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ?? +-++++???? 5. d ()x x ax b +?=1ln ax b C b x +-+ 6. 2 d () x x ax b +? =21ln a ax b C bx b x +-++ 7. 2 d ()x x ax b +?=21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8.22 d ()x x ax b +?=2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9. 2d ()x x ax b +? = 2 11ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10. x C + 11.x ?=2 2(3215ax b C a - 12.x x ?=2223 2(15128105a x abx b C a -+ 13. x ? =22 (23ax b C a -

14 . 2x ? =2223 2 (34815a x abx b C a -+ 15 .? (0) (0) C b C b ?+>< 16 . ? 2a b - 17. d x x ? =b ?18. 2d x x ? =2a + (三)含有2 2 x a ±的积分 19. 22d x x a +?=1arctan x C a a + 20. 22d ()n x x a +?=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+? 21. 22d x x a -?=1ln 2x a C a x a -++ (四)含有2 (0)ax b a +>的积分 22.2d x ax b +? =(0) (0) C b C b ?+>+< 23. 2d x x ax b +?=2 1ln 2ax b C a ++

常用的积分公式

常 用 积 分 公 式 (一)含有ax b +的积分(0a ≠) 1.d x ax b +?=1ln ax b C a ++ 2.()d ax b x μ +?=11()(1)ax b C a μμ++++(1μ≠-) 3.d x x ax b +?=21(ln )ax b b ax b C a +-++ 4.2d x x ax b +?=22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ??+-++++???? 5.d ()x x ax b +?=1ln ax b C b x +-+ 6.2d ()x x ax b +?=21ln a ax b C bx b x +-++ 7.2d ()x x ax b +?=21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8.22d ()x x ax b +?=231(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++

9.2d ()x x ax b +?=211ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10 .x ? =C 11 .x ? =22(3215ax b C a -+ 12 .x x ? =22232(15128105a x abx b C a -+ 13 .x ? =22(23ax b C a - 14 . 2x ? =22232(34815a x abx b C a -+ 15 .? (0)(0)C b C b ?+>+< 16 .? =2a bx b -- 17 .x ? =b

18 .x ? =2a + (三)含有22x a ±的积分 19.22d x x a +?=1arctan x C a a + 20.22d ()n x x a +?=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+? 21.22d x x a -?=1ln 2x a C a x a -++ (四)含有 2(0)ax b a +>的积分 22.2d x ax b +? =(0)(0)C b C b ?+>+< 23.2d x x ax b +?=21ln 2ax b C a ++ 24.22d x x ax b +?=2d x b x a a ax b -+? 25.2d ()x x ax b +?=221ln 2x C b ax b ++ 26.22d ()x x ax b +?=21d a x bx b ax b --+?

积分公式表,常用积分公式表

积分公式表 1、基本积分公式: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (8) (10) (11) 2、积分定理: (1)()()x f dt t f x a ='??????? (2)()()()()[]()()[]()x a x a f x b x b f dt t f x b x a '-'='??????? (3)若F (x )是f (x )的一个原函数,则)()()()(a F b F x F dx x f b a b a -==? 3、积分方法 ()()b ax x f +=1;设:t b ax =+

()()222x a x f -=;设:t a x sin = ()22a x x f -=;设:t a x s e c = ()22x a x f +=;设:t a x t a n = ()3分部积分法:??-=vdu uv udv 附:理解与记忆 对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式(1)为常量函数0的积分,等于积分常数. 公式(2)、(3)为幂函数 的积分,应分为与 . 当 时, , 积分后的函数仍是幂函数,而且幂次升高一次. 特别当 时,有 . 当 时, 公式(4)、(5)为指数函数的积分,积分后仍是指数函数,因为 ,故 ( , )式右边的 是在分 母,不在分子,应记清. 当 时,有 . 是一个较特殊的函数,其导数与积分均不变.

应注意区分幂函数与指数函数的形式,幂函数是底为变量,幂为常数;指数函数是底为常数,幂为变量.要加以区别,不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式(6)、(7)、(8)、(9)为关于三角函数的积分,通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式(10)是一个关于无理函数的积分 公式(11)是一个关于有理函数的积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质,举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析:该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解: (为任意常数) 例2 求不定积分. 分析:先利用恒等变换“加一减一”,将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式.

常用积分公式

常用积分公式表·例题和点评 ⑴ d k x kx c =+? (k 为常数) ⑵ 1 1d (1)1 x x x c μμμμ+≠-= ++? 特别, 211d x c x x =-+? , 3 22 3 x x c =+, x c =+ ⑶ 1 d ln ||x x c x =+? ⑷ d ln x x a a x c a =+? , 特别,e d e x x x c =+? ⑸ sin d cos x x x c =-+? ⑹ cos d sin x x x c =+? ⑺ 22 1 d csc d cot sin x x x x c x ==-+? ? ⑻ 22 1 d sec d tan cos x x x x c x ==+? ? ⑼ arcsin (0)x x c a a =+>,特别, arcsin x x c =+ ⑽ 2211d arctan (0)x x c a a x a a =+>+?,特别, 2 1 d arctan 1x x c x =++? ⑾ 2211d ln (0)2a x x c a a x a a x +=+>--? 或 2211d ln (0)2x a x c a x a a x a -=+>-+? ⑿ tan d ln cos x x x c =-+?

⒀ cot d ln sin x x x c =+? ⒁ ln csc cot 1csc d d ln tan sin 2x x c x x x x c x ?-+?= =?+?? ?? ⒂ ln sec tan 1sec d d πln tan cos 24x x c x x x x c x ?++?= =??? ++ ?? ??? ? ? ⒃ (0) ===ln a x x c >+ ⒄ 2(0) ===arcsin 2a a x x c a >+ ⒅ 2(ln 2 a a x x c >±+ ⒆2222sin cos e sin d e sin cos e cos d e ax ax ax ax a bx b bx bx x c a b b bx a bx bx x c a b -?=+??+?+?=+?+? ?? ⒇ 12222212 123 d ()2(1)()2(1)n n n n x n x c a x n a a x n a ---==+++-+-? I I (递推公式) 跟我做练习 (一般情形下,都是先做恒等变换或用某一个积分法,最后套用某一个积分公式) 例24 ⑴ 2)x x = -[套用公式⒅] 1 ln (2)2 x = - ⑵ [ 1 (24)42 x x x = -+??

常用求导积分公式及不定积分基本方法定稿版

常用求导积分公式及不定积分基本方法 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】

一、基本求导公式 1. ()1x x μμμ-'= ()ln 1x x '= 2. (sin )cos x x '= (cos )sin x x '=- 3. 2(tan )sec x x '= 2(cot )csc x x '=- 4. (sec )tan sec x x x '= (csc )cot csc x x x '=- 5. ()ln x x a a a '=,()x x e e '= 6. () 2arctan 11x x '+= ()arcsin x '= () 2arccot 11x x '+=- ()arccos x '= 二、基本积分公式 1. 1d (111)x x x C μμμμ+=+ =-/ +?, 1ln ||+dx x C x =? 2. d ln x x a a x C a =+?,d x x e x e C =+? 3. sin d cos x x x C =-+?, cos d sin x x x C =+? 4. 2sec d tan x x x C =+? 2csc d cot x x x C =-+? 5. tan d ln |cos |x x x C =-+? cot d ln |sin |x x x C =+?

6. sec d ln |sec tan |x x x x C =++? csc d ln |csc cot |x x x x C =-+? 7. 2 1d arctan 1x x C x =++? arcsin x x C =+ 2211d arctan x x C a x a a =++? arcsin x x C a =+ 8. ln x x C =+ ( ln x x C =++ 9. 221 1d ln 2x a x C a x a x a -=+-+? 三、常用三角函数关系 1. 倍角公式 21cos 2sin 2x x -= 21cos 2cos 2x x += 2. 正余切与正余割 正割 1 sec cos x x = 22sec 1tan x x =+ 余割 1csc sin x x = 22 csc 1cot x x =+ 四、常用凑微分类型 1. 1 1 ()d d ()ln ()()()f x x f x f x C f x f x '==+??;

积分常用公式

积分常用公式 一.基本不定积分公式: 1.C x dx +=? 2.111++= ? αα αx dx x 1(-≠α) 3.C x dx x +=?ln 1 4.C a a dx a x x +=?ln )1,0(≠>a a 5.C e dx e x x +=? 6.C x xdx +-=? cos sin 7.C x xdx +=? sin cos 8.C x dx x xdx +== ?? tan cos 1sec 22 9.C x dx x xdx +-==??cot sin 1csc 22 10.C x xdx x +=??sec tan sec 11.C x xdx x +-=?? csc cot csc 12. C x dx x +=-? arcsin 112 (或12 arccos 11C x dx x +-=-? ) 13. C x dx x +=+?arctan 112 (或12cot 11 C x arc dx x +-=+?) 14.C x xdx +=?cosh sinh 15.C x xdx +=? sinh cosh 二.常用不定积分公式和积分方法: 1.C x xdx +-=?cos ln tan 2.C x xdx +=? sin ln cot 3. C a x a x a dx +=+?arctan 122 4.C a x a x a a x dx ++-=-?ln 2122 5.C x x xdx ++=?tan sec ln sec 6.C x x xdx +-=? cot csc ln csc 7. C a x x a dx +=-? arcsin 2 2 8.C a x x a x dx +±+=±?222 2ln 9. C a x a x a x dx x a ++-=-?arcsin 2222 22 2 10. C a x x a a x x dx a x +±+ ±±= ±? 222 2 2 2 2 ln 2 2 11.第一类换元积分法(凑微分法):

积分公式表,常用积分公式表

积分公式表 1、基本积分公式: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (8) (10) (11) 2、积分定理: (1)()()x f dt t f x a ='??????? (2)()()()()[]()()[]()x a x a f x b x b f dt t f x b x a '-'='?? ????? (3)若F (x )是f (x )的一个原函数,则 3、积分方法 ()()b ax x f +=1;设:t b ax =+ ()()222x a x f -=;设:t a x sin = ()22a x x f -=;设:t a x sec = ()22x a x f +=;设:t a x tan = ()3分部积分法:??-=vdu uv udv

附:理解与记忆 对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式(1)为常量函数0的积分,等于积分常数. 公式(2)、(3)为幂函数的积分,应分为与 . 当时,, 积分后的函数仍是幂函数,而且幂次升高一次. 特别当时,有 . 当时, 公式(4)、(5)为指数函数的积分,积分后仍是指数函数,因为,故(,)式右边的是在分母,不在分子,应记清. 当时,有 . 是一个较特殊的函数,其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式,幂函数是底为变量,幂为常数;指数函数是底为常数,幂为变量.要加以区别,不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式(6)、(7)、(8)、(9)为关于三角函数的积分,通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式(10)是一个关于无理函数的积分 公式(11)是一个关于有理函数的积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质,举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分 . 分析:该不定积分应利用幂函数的积分公式.

定积分公式

二、基本积分表(188页1—15,205页16—24) (1)kdx kx C =+? (k 是常数) (2)1 ,1 x x dx C μμ μ+=++? (1)u ≠- (3)1ln ||dx x C x =+? (4)2 tan 1dx arl x C x =++? (5) arcsin x C =+? (6)cos sin xdx x C =+? (7)sin cos xdx x C =-+? (8)2 1 tan cos dx x C x =+? (9)2 1 cot sin dx x C x =-+? (10)sec tan sec x xdx x C =+? (11)csc cot csc x xdx x C =-+? (12)x x e dx e C =+? (13)ln x x a a dx C a = +?,(0,1)a a >≠且 (14)shxdx chx C =+? (15)chxdx shx C =+? (16)2 2 11tan x dx arc C a x a a = ++?

(17)2 2 11ln | |2x a dx C x a a x a -= +-+? (18) sin x arc C a =+? (19) ln(x C =++? (20) ln |x C =++? (21)tan ln |cos |xdx x C =-+? (22)cot ln |sin |xdx x C =+? (23)sec ln |sec tan |xdx x x C =++? (24)csc ln |csc cot |xdx x x C =-+? 注:1、从导数基本公式可得前15个积分公式,(16)-(24)式后几节证。 2、以上公式把x 换成u 仍成立,u 是以x 为自变量的函数。 3、复习三角函数公式: 2 2 2 2 sin cos 1,tan 1sec ,sin 22sin cos ,x x x x x x x +=+==2 1cos 2cos 2 x x += , 2 1cos 2sin 2 x x -= 。 注:由[()]'()[()]() f x x dx f x d x ????= ?? ,此步为凑微分过程,所以第一 类换元法也叫凑微分法。此方法是非常重要的一种积分法,要运用自如,务必熟记基本积分表,并掌握常见的凑微分形式及“凑”的技巧。

常用基本初等函数求导公式积分公式

基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = ', (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =,)(x v v =都可导,则 (1) v u v u '±'='±)( (2) u C Cu '=')((C 是常数) (3) v u v u uv '+'=')( (4) 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则 若函数)(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?,则它的反函数)(x f y =在对应 区间 x I 内也可导,且 )(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1= 复合函数求导法则

设)(u f y =,而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导,则复合函数)]([x f y ?=的导数为 dy dy du dx du dx = 或 2. 双曲函数与反双曲函数的导数. 双曲函数与反双曲函数都是初等函数,它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出. 可以推出下表列出的公式:

微积分计算公式

§3-6 常用积分公式表·例题和点评 ⑴ d k x kx c =+? (k 为常数) ⑵1 1 d (1)1 x x x c μ μμμ+≠-= ++? 特别, 2 1 1d x c x x =- +?, 3 223 x x c = +? , x c =? ⑶ 1 d ln ||x x c x =+? ⑷d ln x x a a x c a = +?, 特别, e d e x x x c =+? ⑸sin d cos x x x c =-+? ⑹cos d sin x x x c =+? ⑺ 2 2 1 d csc d cot sin x x x x c x ==-+?? ⑻ 2 2 1 d sec d tan cos x x x x c x ==+?? ⑼arcsin (0)x x c a a =+>?,特别,arcsin x x c =+? ⑽2 2 1 1d arctan (0)x x c a a a a x = +>+?,特别, 21 d arctan 1x x c x =++? ⑾2 2 1 1d ln (0)2a x x c a a a x a x += +>--? 或 2 2 1 1d ln (0)2x a x c a a x a x a -= +>+-? ⑿ tan d ln cos x x x c =-+? ⒀cot d ln sin x x x c =+? ⒁ln csc cot 1csc d d ln tan sin 2x x c x x x x c x ?-+? = =?+?? ? ? ⒂πln sec tan 1 sec d d ln tan cos 24x x c x x x x c x ?++?= =?? ?++ ?????? ?

常用求导积分公式及不定积分基本方法

常用求导积分公式及不定积分基本方法 This model paper was revised by LINDA on December 15, 2012.

一、基本求导公式 1. ()1x x μμμ-'= ()ln 1x x '= 2. (sin )cos x x '= (cos )sin x x '=- 3. 2(tan )sec x x '= 2(cot )csc x x '=- 4. (sec )tan sec x x x '= (csc )cot csc x x x '=- 5. ()ln x x a a a '=,()x x e e '= 6. () 2arctan 11x x '+= ()arcsin x '= () 2arccot 11x x '+=- ()arccos x '= 二、基本积分公式 1. 1d (111)x x x C μμμμ+=+ =-/ +?, 1ln ||+dx x C x =? 2. d ln x x a a x C a =+?,d x x e x e C =+? 3. sin d cos x x x C =-+?, cos d sin x x x C =+? 4. 2sec d tan x x x C =+? 2csc d cot x x x C =-+? 5. tan d ln |cos |x x x C =-+? cot d ln |sin |x x x C =+?

6. sec d ln |sec tan |x x x x C =++? csc d ln |csc cot |x x x x C =-+? 7. 2 1d arctan 1x x C x =++? arcsin x x C =+ 2211d arctan x x C a x a a =++? arcsin x x C a =+ 8. ln x x C =+ ( ln x x C =++ 9. 221 1d ln 2x a x C a x a x a -=+-+? 三、常用三角函数关系 1. 倍角公式 21cos 2sin 2x x -= 21cos 2cos 2x x += 2. 正余切与正余割 正割 1 sec cos x x = 22sec 1tan x x =+ 余割 1csc sin x x = 2 2csc 1cot x x =+ 四、常用凑微分类型 1. 1 1 ()d d ()ln ()()()f x x f x f x C f x f x '==+??;

高数 常用积分公式

常 用 积 分 公 式 (一)含有ax b +的积分(0a ≠) 1.d x ax b +?=1 ln ax b C a ++ 2.()d ax b x μ +?=1 1()(1)ax b C a μμ++++(1μ≠-) 3.d x x ax b +?=21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4.2d x x ax b +?=22 311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ??+-++++???? 5.d ()x x ax b +?=1ln ax b C b x +-+ 6.2d ()x x ax b +?=2 1ln a ax b C bx b x +-++ 7.2d ()x x ax b +?=21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8.22d ()x x ax b +?=231(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9.2d ()x x ax b +?=2 11ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10 .x ? C 11 .x ? =2 2 (3215ax b C a -+

12 .x x ? =2223 2 (15128105a x abx b C a -+ 13 . x =2 2(23ax b C a - 14 . 2x =22232(34815a x abx b C a -++ 15 . =(0) (0) C b C b ?+>< 16 .? 2a bx b -- 17 . x =b 18 . x = 2a + (三)含有22 x a ±的积分 19.22d x x a +?=1arctan x C a a + 20.22d ()n x x a +?=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+? 21.22d x x a -?=1ln 2x a C a x a -++ (四)含有 2 (0)ax b a +>的积分 22.2 d x ax b +? =(0) (0) x C b C b ?+>+<

常用积分公式

常用积分公式 Company Document number:WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998

常用积分公式表·例题和点评 ⑴ d k x kx c =+? (k 为常数) ⑵ 1 1 d (1)1 x x x c μ μμμ+≠-=++? 特别, 2 11 d x c x x =-+? , 32 23x x c =+ , x c = ⑶ 1d ln ||x x c x =+? ⑷ d ln x x a a x c a = +?, 特别,e d e x x x c =+? ⑸ sin d cos x x x c =-+? ⑹ cos d sin x x x c =+? ⑺ 2 2 1 d csc d cot sin x x x x c x ==-+?? ⑻ 2 2 1 d sec d tan cos x x x x c x ==+?? ⑼ arcsin (0)x x c a a =+>, 特别,arcsin x x c =+ ⑽ 2211d arctan (0)x x c a a x a a =+>+?,特别,2 1 d arctan 1x x c x =++? ⑾ 22 11d ln (0)2a x x c a a x a a x +=+>--? 或 22 11d ln (0)2x a x c a x a a x a -=+>-+? ⑿ tan d ln cos x x x c =-+? ⒀ cot d ln sin x x x c =+? ⒁ ln csc cot 1csc d d ln tan sin 2x x c x x x x c x ?-+?= =?+?? ?? ⒂ ln sec tan 1sec d d πln tan cos 24x x c x x x x c x ?++?= =??? ++ ?? ??? ? ? ⒃ (0) ===ln a x x c >++

(整理)积分基本公式.

2.基本积分公式表 (1)∫0d x=C (2)=ln|x|+C (3)(m≠-1,x>0) (4)(a>0,a≠1) (5) (6)∫cos x d x=sin x+C (7)∫sin x d x=-cos x+C (8)∫sec2x d x=tan x+C (9)∫csc2x d x=-cot x+C (10)∫sec x tan x d x=sec x+C (11)∫csc x cot x d x=-csc x+C (12)=arcsin x+C (13)=arctan x+C 注.(1)不是在m=-1的特例. (2)=ln|x|+C,ln后面真数x要加绝对值,原因是(ln|x|)' =1/x. 事实上,对x>0,(ln|x|)' =1/x;若x<0,则 (ln|x|)' =(ln(-x))' =. (3)要特别注意与的区别:前者是幂函数的积分,后者是指数函数的积分. 下面我们要学习不定积分的计算方法,首先是四则运算.

6. 复合函数的导数与微分 大量初等函数含有复合函数的成分,它们的导数与微分计算法则具有特别重要的意义. 定理.(链锁法则)设z=f(y),y=?(x)分别在点y0=?(x0)与x0可导,则复合函数z=f[?(x)]在x0可导,且 或(f o?)' (x0)=f '(y0)??'(x0). 证.对应于自变量x0处的改变量?x,有中间变量y在y0=?(x0)处的改变量?y及因变量z在z0=f(y0)处的改变量?z,(注意?y可能为0).现 ?z=f'(y0)??y+v,?y='?(x0)?x+u, 且令,则v=?αy,(注意,当?y=0时,v=?αy仍成立).y在x 0可导又蕴含y在x0连续,即?y=0.于是 =f '(y0)?? '(x0)+0??'(x0)=f'(y0)??'(x0) 为理解与记忆链锁法则,我们作几点说明: (1) 略去法则中的x=x0与y=y0,法则成为公式 , 其右端似乎约去d y后即得左端,事实上,由前面定理的证明可知,这里并不是一个简单的约分过程. (2) 计算复合函数的过程:x→?y →?z 复合函数求导的过程:z→?y →?x :各导数相乘 例2.3.15求y=sin5x的导数.

(完整版)【经典】常用的求导和定积分公式(完美)

一.基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2 csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = ', (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =,)(x v v =都可导,则 (1) v u v u '±'='±)( (2) u C Cu '=')((C 是常数) (3) v u v u uv '+'=')( (4) 2 v v u v u v u '-'= ' ??? ?? 反函数求导法则 若函数 )(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?,则它的反函数)(x f y =在对应区间x I 内也可导,且

)(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1= 复合函数求导法则 设)(u f y =,而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导,则复合函数)]([x f y ?=的导数为 dy dy du dx du dx =g 或()()y f u x ?'''=g 二、基本积分表 (1)kdx kx C =+? (k 是常数) (2)1 ,1 x x dx C μμ μ+= ++? (1)u ≠- (3)1 ln ||dx x C x =+? (4)2 tan 1dx arl x C x =++? (5) arcsin x C =+ (6)cos sin xdx x C =+? (7)sin cos xdx x C =-+? (8)21 tan cos dx x C x =+? (9)21 cot sin dx x C x =-+? (10)sec tan sec x xdx x C =+? (11)csc cot csc x xdx x C =-+?

常用积分公式

常用积分公式 Company number:【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

常用积分公式表·例题和点评 ⑴ d k x kx c =+? (k 为常数) ⑵ 1 1 d (1)1 x x x c μ μμμ+≠-=++? 特别, 2 11 d x c x x =-+? , 32 23 x x c =+ , x c = ⑶ 1d ln ||x x c x =+? ⑷ d ln x x a a x c a = +?, 特别,e d e x x x c =+? ⑸ sin d cos x x x c =-+? ⑹ cos d sin x x x c =+? ⑺ 2 2 1 d csc d cot sin x x x x c x ==-+?? ⑻ 2 2 1 d sec d tan cos x x x x c x ==+?? ⑼ arcsin (0)x x c a a =+>, 特别, arcsin x x c =+ ⑽ 2211d arctan (0)x x c a a x a a =+>+?,特别,2 1 d arctan 1x x c x =++? ⑾ 22 11d ln (0)2a x x c a a x a a x +=+>--? 或 22 11d ln (0)2x a x c a x a a x a -=+>-+? ⑿ tan d ln cos x x x c =-+? ⒀ cot d ln sin x x x c =+? ⒁ ln csc cot 1csc d d ln tan sin 2x x c x x x x c x ?-+?= =?+?? ?? ⒂ ln sec tan 1sec d d πln tan cos 24x x c x x x x c x ?++?==??? ++ ????? ?? ⒃ (0) ===ln a x x c >+ ⒄ 2 (0)===arcsin 2a a x x c a >

(完整)高等数学常用积分公式查询表

导数公式: 基本积分表: 三角函数的有理式积分: a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

不定积分最全公式

常见不定积分公式 1)∫0dx=c 2)∫x^udx=(x^u+1)/(u+1)+c 3)∫1/xdx=ln|x|+c 4))∫a^xdx=(a^x)/lna+c 5)∫e^xdx=e^x+c 6)∫sinxdx=-cosx+c 7)∫cosxdx=sinx+c 8)∫1/(cosx)^2dx=tanx+c 9)∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c 10)∫1/√(1-x^2) dx=arcsinx+c 11)∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c 12)∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c 13)∫secxdx=ln|secx+tanx|+c 14)∫1/(a^2+x^2)dx=1/a*arctan(x/a)+c 15)∫1/√(a^2-x^2) dx=arcsin(x/a)+c 16) ∫sec^2 x dx=tanx+c; 17) ∫shx dx=chx+c; 18) ∫chx dx=shx+c; 19) ∫thx dx=ln(chx)+c; 1.∫adx = ax+C (a 为常数) 2.∫sin(x)dx = -cos(x)+C 3.∫cos(x)dx = sin(x)+C 4.∫tan(x)dx = -log e |cos(x)|+C = log e |sec(x)|+C

5. ∫cot(x)dx = log e |sin(x)|+C 6. ∫sec(x)dx = log e |sec(x)+tan(x)|+C 7. ∫sin 2(x)dx = 1 (x-sin(x)cos(x))+C 2 = 1 x - 1 sin(2x)+C 2 4 9. ∫cos 2(x)dx = 1 (x+sin(x)cos(x))+C 2 = 1 x + 1 sin(2x)+C 2 4 11.∫tan 2(x)dx = tan(x)-x+C 12.∫cot 2(x)dx = -cot(x)-x+C 13.∫sin(ax)sin(bx)dx = sin((a-b)x) - sin((a+b)x) +C 2(a-b) 2(a+b) 14.∫sin(ax)cos(bx)dx = - cos((a-b)x) - cos((a+b)x) +C 2(a-b) 2(a+b) 15.∫cos(ax)cos(bx)dx = sin((a-b)x) + sin((a+b)x) +C 2(a-b) 2(a+b) 16.∫xsin(x)dx = sin(x)-xcos(x)+C 17.∫xcos(x)dx = cos(x)+xsin(x)+C 18.∫x 2sin(x)dx = (2-x 2)cos(x)+2xsin(x)+C 19.∫x 2cos(x)dx = (x 2-2)sin(x)+2xcos(x)+C 20.∫e x dx = e x +C 21. ∫ a dx = a log |x| (a 为常数) x

常见不定积分的求解方法

常见不定积分的求解方法的讨论 马征 指导老师:封新学 摘要介绍不定积分的性质,分析常见不定积分的各种求解方法:直接积分法、第一类换元法(凑微法)、第二类换元法、分部积分法,并结合实际例题加以讨论,以便于在解不定积分时能快速选择最佳的解题方法。 关键词不定积分直接积分法第一类换元法(凑微法)第二类换元法分部积分法。 The discussion of common indefinite integral method of calculating Ma Zheng Abstract there are four solutions of indefinite integration in this discourse: direct integration; exchangeable integration; parcel integration. It discussed the feasibility which these ways in the solution of integration, and it is helpful to solve indefinite integration quickly. Key words Indefinite integration,exchangeable integration, parcel integration.

0引言 不定积分是《高等数学》中的一个重要内容,它是定积分、广义积分、狭积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的函数的基础,要解决以上问题,不定积分的问题必须解决,而不定积分的基础就是常见不定积分的解法。不定积分的解法不像微分运算时有一定的法则,它要根据不同题型的特点采用不同的解法,积分运算比起微分运算来,不仅技巧性更强,而且也已证明,有许多初等函数是“积不出来”的,就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示,例如 ?-x k dx 22sin 1(其中10<

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