中职数学平面向量复习
复习模块：平面向量
一、知识点
(1) 平面向量的概念及线性运算
平面向量两要素： 大小，方向。
零向量：记作0，手写时记做0，方向不确定。 平行的向量(共线向量)：
方向相同或相反
(2) 平面向量的坐标表示
则起点为A(X i , y i )，终点为B(X 2, y 2)的向量坐标为
UUU
AB (X 2 x i ，y 2
y i ).
设平面直角坐标系中，
a (x i ,y i )，
b (X 2,y 2)，则
0 时，a // b
x i y 2 X 2 y i 0.
(3) 平面向量的内积
UH UUU ULUT -—―UUU
a a
a
AB BC AC AB BC AC
iun AB HIT UUl UUl
UULT
AD AB BC AC UULT UUU AC AB UULT UUU AD =OA
UUU rUtffl ——UUU UUU OB OA OB BA
I a| | ||a|| a|
做a, b 的一个线性组合.如果
丨= a +
C
图3
0 a // b a b 线性组合： 一般地,
b ，则称丨可以用a , b 线性表示
a +
b 叫
a b (X i X 2,y i y ?) a b (X i X 2,y i y ?)
a ( X i , y i )
由此得到，对非零向量
a
、
b ，设 a (X i ,y i ),b
(X 2, y 2),若 a // b a b
的两个非零向量，记作
设点 A(为，％), B(X 2，y 2)
单位向量：模为1的向量
图2
向量a 与向量b 的夹角，记作
两个向量a,b 的模与匕们的夹角的余弦之积叫做向量 a 与向量b 的内积，匕是一
个数量，又叫做数量积.记作
a ? b,即a ?
b =| a|| b| cos
结论：（1） cos
.
|a||b|
C.— 1
b = (— y , x)(x , y 不同时为零),
（2）当b = a 时，有
a ? a = | a|| a| = | a|2，即 | a| = . a a (3)当 a,b
90o 时，a b ,
因此，a ? b = a b cos90o 0, b , a ? b = 0
对非零向量a , 平面向量的内积的坐标表示： 设平面向量a =（X 1,y 1）,b =（X 2,y 2） a b.
a ?
b = x i X 2+ y i y 2
夹角公式坐标表示： 当a 、b 是非零向量时,
相互垂直的向量坐标表示： a b a ? b = 0 向量的模坐标表示： 设a = （x,y ），则|a - x 2 y 2
练习题
1 ?下列命题正确的是 A. 单位向量都相等
B. 长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量 C 若 a b = 0,贝U a = 0 或 b = 0 a 、b ,必有 |a + b| < | a| + |b| 2?如图，四边形 A. AD 与 CB
C. A C 与 BD
D. AO 与 OC
cos 3 b = 竺 y 1y 2 |a ||b | VX 12 yj ^7 X 1 X 2 + y 1 y 2 = 0 . 3 ?下列命题中，正确的是 A.若| a| = | b|，则 a = b C 若| a| > | b|，则 a > b B.若a = b ，贝U a 与b 是平行向量 D.若a 与b 不相等，则向量 4 ?如图，设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心，在向量 OD ，Ofc, OF ，AB ，BC, CD ，E F ，D E ，F A 中与 O A 共线的向量有 5.若向量a =( x + 3, :2 — 3x — 4 ）与AB 相等，其中 (1， 2)， B （3，2），则x 等于（ 6.已知 a =( x , y ), 则a ，b 之间的关系是 ( B. OB 与 O D ABCD 中，AB = DC, a 与b 是不共线向量 OB ，oC, A.平行 B.不平行也不垂直 C 垂直 D.以上都不对 7?在四边形 ABCD 中，AB = DC ，且AC ? BD = 0,则四边形 ABCD 是 8 ?已知向量 a=(2, 1), b=(-1, k), a (2a-b)=0,则 k= A . -12 B. -6 C. 6 9. 已知向量 a=(1, 2), b=(1, 0), c=(3, 4),若 为实数，(a+ 1 A . 4 10. 若向量a , b , c 满足a / b 且a 丄c ,则c(a+2b)= A . 4 B. 3 C. 2 D . 0 11. 已知向量a=(1, k), b=(2, 2),且a+b 与a 共线，那么ab 的值为 A. 1 B . 2 C. 3 D . 4 1 12. 设向量 a, b 满足 | a|=| b|=1 ,ab=--，则| a+2b|= 2 13?已知向量a 、b 不共线，实数x 、y 满足向量等式 3xa + (10 — y)b = 2xb + (4y + 4)a ，贝U x= __ , y =_____ 14 .若 a 与 b 、c 的夹角都是 60 ° 而 b 丄 c ,且 | a| = | b| = | c = 1,则(a — 2c) (b + c) = _________ . 15. 若向量 a=(1, 1), b(-1, 2),贝 U ab 等于 ______________ . 16. 设向量a , b 满足|a|=2 .5 , b=(2, 1),且a 与b 的方向相反，贝U a 的坐标 为 ________ . 17. 已知向量 a=h/3 ,1),b=(0,-1),c=(k ,3),若 a-2b 与 c 共线，则 k= ____________ . 18. __________________ 已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a+b 与向量ka-b 垂直，则k= . 三、解答题 19 .已知a 和b 的夹角为 60 ° | a| = 10, | b| = 8,求: (1) |a + b| ； ( 2) a + b 与a 的夹角0的余弦值. 20. 已知 a = (3, 4), b = (4 , 3), c = xa + yb ，且 a 丄 c , | c| = 1,求 x 和 y 的值. 21 ?已知a =(入2), b = (-3, 5)且a 与b 的夹角是钝角，求实数 入的取值范围 A.矩形 B.菱形 C.直角梯形 D.等腰梯形 D. 12 b) // c,则 () =() C. 1 D. 2 A . 、2 B. 3 C. 5 22?若向量a=(1, 2), b=(1, -1),求2a+b 与a-b 的夹角 23.若|a| = |b| = 1, a丄b,且2a+ 3b与ka-4b也互相垂直，求k的值