东北师大附中09-10高二上学期期中考试
数学(理)试题
命题人:毕伟 李海军 审题人:刘桂英
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共4页,试卷满分120分,答题时间为120分钟. 注意事项:
1.答题前,考生必须将自己的姓名、准考号、班级和登录账号填写在答题纸和答题卡的指定位置. 2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦
干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效.
3.非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字迹工整,笔迹清楚,请按照题号顺序在各个
题目的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效.
第Ⅰ卷(选择题,共48分)
一、选择题(本卷共12小题,每小题4分,共48分。在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的) (1)命题“001
,sin 2
x R x ?∈≤
”的否定是 (A )1,sin 2x R x ?∈>
(B )1,sin 2x R x ?∈≤ (C )01,sin 2x R x ?∈> (D )不存在1
,sin 2
x R x ∈>
(2)椭圆22
153
x y +=的离心率是
(A )
25 (B (C )23
(D (3)设,a b R ∈,则“0ab >”是“a b a b +=+”的
(A )充要条件 (B )必要不充分条件 (C )充分不必要条件 (D )既不充分也不必要条件 (4)用辗转相除法(或更相减损术)求得78和36的最大公约数数是
(A )24 (B )18 (C )12 (D )6
(5)阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,若8.0=p ,则输出的n 值为
(A ) 3 (B ) 4 (C ) 5 (D ) 6
(6)10名工人某天生产同一零件,生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平
均数为a ,中位数为b ,众数为c ,则有
(A )c b a >> (B )a c b >> (C )b a c >> (D )a b c >> (7)已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%。现采用随机模拟的方法估计该运动员三
次投篮恰有两次命中的概率:先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数,用1,2,3,4表示命中,用5,6,,7,8,9,0表示不命中;再以每三个随机数为一组,代表三次投篮的结果。经随机模拟产生了20组随机数:
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为
(A )0.35 (B )0.30 (C )0.25 (D )0.20 (8)命题“若0≤m 或0≤n ,则0≤+n m ”的逆否命题是
(A )若0>+n m ,则0≤m 或0≤n (B )若0>m 或0>n ,则0m n +> (C )若0>+n m ,则0>m 且0>n (D )若0>m 且0>n ,则0m n +> (9)3名学生排成一排,其中甲、乙两人相邻的概率是
(A )
16 (B )13 (C )12 (D )2
3
(10)如果事件A 与B 是互斥事件,且事件A B +的概率是0.8,事件A 的概率是事件B
的概率的3倍,则事件A 的概率是
(A )0.2 (B )0.4 (C )0.6 (D )0.8
(11)用秦九韶算法求多项式2
3
4
5
6
()1235879653f x x x x x x x =+-++++在4x =- 的
值时,其中2v 的值是
开始
输入
输出
结束
否
是
(A )-22 (B )34 (C )-57 (D )220 (12)已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点,满足120MF MF ?=的点M 总在椭圆内部,则椭圆
离心率的取值范围是
(A )(0,1) (B )1
(0,]2 (C )2(0,
)2 (D )2[,1)2
第Ⅱ卷(非选择题,共72分)
二.填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分,把正确答案填在答题卡的横线上) (13)某小组共有8名同学, 其中男生6人, 女生2人, 现从中按性别用分层抽样方法从中
抽取4人参加社区志愿者服务, 则男生抽取 人;女生抽取 人.
(14)已知椭圆
22
1369
x y +=的左右两个焦点分别为12,F F ,P 是椭圆上一点,且1260F PF ∠=,则△12F PF 的面积为 .
(15)在检查产品尺寸过程中,将其尺寸分成若干组,[,)a b 是其中一组,检查出的个体在
该组上的频率为m ,该组的直方图的高为h ,则a b -= .
(16)点A 为周长等于3的圆周上的一个定点,若在该圆周上随机取一点B ,则劣弧AB 的
长度小于1的概率为 .
三、解答题(本大题共6小题,共56分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (17)(本题满分8分)
某地有A 、B 、C 、D 四人先后感染了甲型H1N1流感,其中只有A 到过疫区,B 肯定是受A 感染的.对于C,因为难以判定他是受A 还是受B 感染的,于是假定他受A 和受B 感染的概率都是
12.同样也假设D 受A 、B 和C 感染的概率都是1
3
. (Ⅰ)试写出A 、B 、C 、D 都被感染所有可能情况;(例如A B C D →→→, )
(Ⅱ)求A 直接感染2人的概率.
C
A B D
(18)(本题满分8分)
过点(2,4)P 作两条互相垂直的直线12,l l ,1l 与x 轴交于点A ,2l 与y 轴交于点B ,求线段AB 的中点M 的轨迹方程.
(19)(本题满分10分)
在区间(1,1)-中随机地取出两个数,m n ,求使方程22210x mx n +-+=无实根的概率。
(20)(本题满分10分)
某校高二年级共有1200名学生,为了分析某一次数学考试情况,今抽查100份试卷,成绩分布如下表:
成绩 [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 人数 4 5 6 9 21 27 15 9 4 频率
0.04
0.05
0.06
0.09
0.21
0.27
0.15
0.09
0.04
(Ⅰ)画出频率分布直方图;
(Ⅱ)由频率分布表估计这次考试及格(60分以上为及格)的人数;
(Ⅲ)由频率分布直方图估计这考试的平均分.
(21)(本题满分10分)
如图,四棱锥P ABCD
-的底面ABCD是一个边长为4的正方形,侧面PAD是正三角形,侧面PAD⊥底面ABCD.
(Ⅰ)求四棱锥P ABCD
-的体积;
(Ⅱ)求直线PA与平面PBC所成的角的正弦值.
(22)(本题满分10分)
已知椭圆C:
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的左、右焦点为
1
F、
2
F,椭圆C上的点
263
(
33
P满足
12
PF PF
?=.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)自定点(0,2)
Q-作一条直线l与椭圆C交于不同的两点A、B(点B在点A的下
方),记||
||
QB QA λ=
,求λ的取值范围. 参考答案
一、选择题:ABCDB DCCDC BC
二、填空题:(13)3, 1 (14)33 (15)
h m (16)3
2
三、解答题
(17)解:(I )共有6种情形
(Ⅱ)记“A 直接感染2人”的事件为A ,
由(I )知A 、B 、C 、D 四人先后感染共有6种不同的情形,A 直接感染2人有3
种情形
所以,31()62
P A =
=. 答:A 直接感染2人的概率为
12
. (18)解法一:设点(,)M x y
∵M 为AB 的中点,∴ (2,0),(0,2)A x B y ∴ (22,4),(2,24)CA x CB y =--=-- ∵CA CB ⊥,∴0CA CB ?=
∴2(22)4(24)0x y ----=,即250x y +-= 故,点M 的轨迹方程为250x y +-=。 解法二:设点,A M 的坐标分别为(,0),(,)t x y (1)当2t ≠时,直线1l 的斜率为142k t =-,所以直线2l 的斜率为224
t k -= 直线2l 的方程为2
4(2)4
t y x --=
-. D A B C A B C D C
A B D C A B D C A B D C A B D
令0x =,得5
2t y =-
,即点B 的坐标为(0,5)2
t -. 由于点M 是线段AB 的中点,由中点坐标公式得,5,224
t t
x y ==- 由2t x =
得2t x =,代入524
t
y =-,得250x y +-=. (2)当2t =时,可得点A 、B 的坐标分别为(2,0),(0,4),
此时点M 的坐标为(1,2),它然适合方程250x y +-=.
由(1)(2)可知,方程250x y +-=就是所求的点M 的轨迹方程,他表示一条直线. (19)解:记“方程22210x mx n +-+=无实根”的事件为A
每个基本事件发生是等可能的
区域11(,)11m D m n n ??-<??
=???
-<???
?,区域2211(,)111m A x y n m n ??
?-<??=-<?????+??
. ()4
A P A D π
=
=的面积的面积.
答:方程22210x mx n +-+=无实根的概率为4
π. (20)解(Ⅰ)频率直方图见右图.
(Ⅱ)∵60分以上的频率约为0.270.150.090.040.55+++= ∴及格人数约为12000.55660?=.
(Ⅲ)平均分约为:
150.04250.05350.06450.21650.27750.15850.09950.0459.8
x =?+?+?+
?+?+?+?+?= (21)解:(1)过点P 作PE AD ⊥于点E ,则PE ⊥平面ABCD .
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0.004
0.005 0.009 0.006 0.015 0.021 0.027 成绩 分数
4
2
PE=?=.……………………………………2分正方形ABCD的面积4416
=?=.
所以四棱锥P ABCD
-的体积为
1
16
33
P ABCD
V
-
=?=.……4分
(2)过E作EF BC
⊥于F点,连PF,过E作
EG PF
⊥于G点,
因为BC⊥平面PEF,EG?平面PEF,所以EG BC
⊥.又PF BC
?于F 点,所以EG⊥平面PBC.……………………………………6分
在Rt PEF
?
中,PF==
所以EG==.………………………………………8分
所以,设求直线PA与平面PBC所成的角为θ,
则
7
sin
4
EG
PA
θ===.直线PA与平面PBC
所成的角的正弦值为
7
.…………10分
(22)解:(1)设
12
(,0),(,0)
F c F c
-,
其中c=
于是
1
2
(
PF c
=
+,2
2
(
PF c
=-,则由
1
2
PF PF
?=
可得2
)0
c c
+-+=,
所以23
c=.………………………………………………………
2分
又点P在椭圆C
上,所以
22
22
331
a b
+=,即
22
81
3
a b
+=.…………○1又2223
a b c
-==,所以,223
b a
=-.…………○2
○2代入○1整理得42
318240
a a
-+=,解得22
a=(舍),或24
a=.
所以,21b =.
于是,所求的椭圆C 的标准方程为2
214
x y +=.………………4分
(2
)由题可知,01λ<<.
于是,由||
||
QB QA λ=,则QB QA λ=,
(I )当直线l 的斜率不存在时, 容易求得,(0,1),(0,1)B A -, 所以||1,||3QB QA ==, 所以,此时||1
3
||QB QA λ=
=.……………………5分 (II )当直线l 的斜率存在时,设为k ,则直线l 的方程为2y kx =-.○
3 设点1122(,),(,)A x y B x y ,将○
3代入2
214x y +=消去y 得: 22(14)16120k x kx +-+=.
由2
2
2
16412(14)0k k ?=-??+>解得234
k >
. 122
1614k
x x k +=
+,…………○4 122
12
14x x k
=+,……………○5…………………………………………7分 又QB QA λ=,所以2211(,2)(,2)x y x y λ+=+,所以有
21x x λ=,…………………○
6 将○6代入○4得1
2
16(1)14k
x k λ+=+,…………○7 将○6代入○5得2
12
1214x k
λ=+,………………○8 联立○7○8,消去1
x 得222222
1612(1)(14)14k k k λλ?=+++,
所以,
2
22222
(1)16(14)12(14)k k k λλ
++=?+,化简得2164
21
3(4)k
λλ
+=-+,
因为21403k <<,2
116443k <+<,所以26410
22133(4)k
<-<+, 所以,110
23λλ<+<且01λ<<.………………9分
设1()f λλλ=+,则()f λ在(0,1)上为减函数,又110
(),(1)233
f f ==,
所以1
13
λ<<.(此处也可以通过解一元二次不等式求出λ的取值范围)
综合(I )、(II )可得,λ的取值范围是1
13
λ≤<.…………10分