(完整版)计算方法试题集及答案
复习试题
一、填空题：
1、?????
?????----=410141014A ，则A 的LU 分解为
A ???
?????????=?
??????????
?。
答案：
??
????????--??????????--=1556141501
4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得
?≈3
1
_________
)(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。
答案：2.367，0.25
3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2
x 的系数为 ，
拉格朗日插值多项式为 。
答案：-1，
)2)(1(21
)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=
x x x x x x x L
4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；
5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；
答案
)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---
=+
6、对1)(3
++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；
7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；
8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为
( 1
2+-n a b )；
9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为
( )]
,(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f h
y y )；
10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、 两点式高斯型求积公式?1
d )(x
x f ≈(
?++-≈1
)]
321
3()3213([21d )(f f x x f )，代数精
度为( 5 )；
12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均
不为零)。
13、 为了使计算
32)1(6
)1(41310--
-+-+
=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表
达式改写为
11
,))64(3(10-=
-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式
19992001-改写为
199920012
+ 。
14、 用二分法求方程01)(3
=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间
为 0.5，1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5，0.75 。 15、 计算积分?1
5
.0d x
x ,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 0.4268 ，
用辛卜生公式计算求得的近似值为 0.4309 ，梯形公式的代数精度为 1 ，辛卜生公式的代数精度为 3 。
16、 求解方程组??
?=+=+042.01532121x x x x 的高斯—塞德尔迭代格式为
?????-=-=+++20/3/)51()1(1)1(2)(2)1(1
k k k k x x x x ，该迭
代格式的迭代矩阵的谱半径)(M ρ= 121
。
17、 设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l )2()(1--=x x x l ，)(x f 的二次牛顿
插值多项式为 )1(716)(2-+=x x x x N 。
18、 求积公式
?∑=≈b
a k n
k k x f A x x f )(d )(0
的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高，具
有( 12+n )次代数精度。
19、 已知f (1)=1,f (3)=5,f (5)=-3,用辛普生求积公式求?5
1
d )(x
x f ≈( 12 )。
20、 设f (1)=1， f (2)=2，f (3)=0，用三点式求≈')1(f ( 2.5 )。
21、如果用二分法求方程043
=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ 10 ）
次。
22、已知?????≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(2
33x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则
a =( 3 )，
b =（ 3 ），
c =（ 1 ）。
23、)(,),(),(10x l x l x l n Λ是以整数点n x x x ,,,10Λ为节点的Lagrange 插值基函数，则
∑==
n
k k
x l
)(( 1 )，∑==
n
k k j
k x l
x 0
)((
j
x )，当2≥n 时=
++∑=)()3(20
4
x l x x
k k n
k k ( 32
4++x x )。
24、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=??=?的改进欧拉法?????++=+=++++)],(),([2),(]
0[111]
0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是
2 阶方法。
25、区间[]b a ,上的三次样条插值函数)(x S 在[]b a ,上具有直到_____2_____阶的连续导数。 26、改变函数f x x x ()=
+-1 (x >>1)的形式，使计算结果较精确
()x x x f ++=
11
。
27、若用二分法求方程()0=x f 在区间[1,2]内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分 10
次。
28、设
()???≤≤+++≤≤=21,10,22
3
3x c bx ax x x x x S 是3次样条函数，则 a= 3 , b= -3 , c= 1 。
29、若用复化梯形公式计算
?10
dx
e x ，要求误差不超过6
10-，利用余项公式估计，至少用 477
个求积节点。
30、写出求解方程组
??
?=+-=+24.01
6.12121x x x x 的
Gauss-Seidel 迭代公式
()()
()()Λ,1,0,4.026.111112211=???+=-=+++k x x x x k k k k ，迭代矩阵为
????
??--64.006.10，此迭代法是否收敛 收敛 。
31、设
A =?? ???
5443,则=∞A 9 。
32、设矩阵
482257136A ????=??
????的A LU =，则U = 4820161002U ??
????=??
??-???? 。 33、若4
321()f x x x =++，则差商2481632[,,,,]f = 3 。
34、数值积分公式1
12
18019()[()()()]f x dx f f f -'≈-++?的代数精度为 2 。
35、
线性方程组121015112103x ????
????????=?????
???????的最小二乘解为
11??
?
?? 。
36、设矩阵
321204135A ??
??=??
????分解为A LU =，则U = 32141003321002??
????
??-??????
?
? 。 二、单项选择题：
1、 Jacobi 迭代法解方程组b x =A 的必要条件是（ C ）。 A ．A 的各阶顺序主子式不为零 B ． 1)( 2、设 ?? ??? ?????--=700150322A ，则)(A ρ为( C )． A ． 2 B ． 5 C ． 7 D ． 3 3、三点的高斯求积公式的代数精度为( B )。 A ． 2 B ．5 C ． 3 D ． 4 4、求解线性方程组A x =b 的LU 分解法中，A 须满足的条件是( B )。 A ． 对称阵 B ． 正定矩阵 C ． 任意阵 D ． 各阶顺序主子式均不为零 5、舍入误差是( A )产生的误差。 A. 只取有限位数 B ．模型准确值与用数值方法求得的准确值 C ． 观察与测量 D ．数学模型准确值与实际值 6、3.141580是π的有( B )位有效数字的近似值。 A ． 6 B ． 5 C ． 4 D ． 7 7、用 1+x 近似表示e x 所产生的误差是( C )误差。 A ． 模型 B ． 观测 C ． 截断 D ． 舍入 8、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是( A )。 A ．控制舍入误差 B ． 减小方法误差 C ．防止计算时溢出 D ． 简化计算 9、用1+3x 近似表示3 1x 所产生的误差是( D )误差。 A ． 舍入 B ． 观测 C ． 模型 D ． 截断 10、-324．7500是舍入得到的近似值，它有( C )位有效数字。 A ． 5 B ． 6 C ． 7 D ． 8 11、设f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,则抛物插值多项式中x 2的系数为( A )。 A ． –0．5 B ． 0．5 C ． 2 D ． -2 12、三点的高斯型求积公式的代数精度为( C )。 A ． 3 B ． 4 C ． 5 D ． 2 13、( D )的3位有效数字是0.236×102。 (A) 0.0023549×103 (B) 2354.82×10－2 (C) 235.418 (D) 235.54×10－1 14、用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程f(x)=0表示成x=?(x)，则f(x)=0的根是 ( B )。 (A) y=?(x)与x 轴交点的横坐标 (B) y=x 与y=?(x)交点的横坐标 (C) y=x 与x 轴的交点的横坐标 (D) y=x 与y=?(x)的交点 15、用列主元消去法解线性方程组??? ??-=+--=-+-=+-1 340921433 21321321x x x x x x x x x ，第1次消元，选择主元为 ( A ) 。 (A) －4 (B) 3 (C) 4 (D)－9 16、拉格朗日插值多项式的余项是( B ),牛顿插值多项式的余项是( C ) 。 (A) f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x －x1)(x －x2)…(x －xn －1)(x －xn)， (B) )!1() ()()()()1(+= -=+n f x P x f x R n n n ξ (C) f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x －x0)(x －x1)(x －x2)…(x －xn －1)(x －xn)， (D) ) ()!1() ()()()(1)1(x n f x P x f x R n n n n +++= -=ωξ 17、等距二点求导公式f '(x1) ≈( A )。 1011 0101 0010 101)()() D ()()() C ()()() B () ()() A (x x x f x f x x x f x f x x x f x f x x x f x f +--+---- 18、用牛顿切线法解方程f(x)=0，选初始值x0满足( A ),则它的解数列{xn}n=0,1,2,… 一定收敛到方程f(x)=0的根。 )()()D (0 )()()C (0 )()()B (0 )()()A (0000<'<''>'>''x f x f x f x f x f x f x f x f 19、为求方程x3―x2―1=0在区间[1.3,1.6]内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立 相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A )。 (A) 1 1:,1 1 12-=-=+k k x x x x 迭代公式 (B)21211:,11k k x x x x +=+ =+迭代公式 (C) 3 /12123) 1(:,1k k x x x x +=+=+迭代公式 (D) 11:,12 2 1 2 3+++==-+k k k k x x x x x x 迭代公式 20、求解初值问题?? ?=='0 0y x y y x f y )(),(欧拉法的局部截断误差是();改进欧拉法的局部截断误差 是();四阶龙格－库塔法的局部截断误差是( A ) (A)O(h2) (B)O(h3) (C)O(h4) (D)O(h5) 21、解方程组b Ax =的简单迭代格式g Bx x k k +=+)() 1(收敛的充要条件是（ ）。 （1）1)(A ρ, (4) 1)(>B ρ 22、在牛顿-柯特斯求积公式： ? ∑=-≈b a n i i n i x f C a b dx x f 0 )() ()()(中，当系数)(n i C 是负值时，公式的 稳定性不能保证，所以实际应用中，当（ ）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。 （1）8≥n ， （2）7≥n ， （3）10≥n ， （4）6≥n ， （1）二次； （2）三次； （3）四次； （4）五次 24、若用二阶中点公式)) ,(2,2(1n n n n n n y x f h y h x hf y y +++=+求解初值问题1 )0(,2=-='y y y ， 试问为保证该公式绝对稳定，步长h 的取值范围为（ ）。 (1)10≤ , (2)10≤≤h , (3)10< (4)10<≤h 251732.≈ 计算4 1)x =，下列方法中哪种最好？（ ） (A)28-； (B)24(-； (C ) ； (D) 26、已知 33 0221224()()()x x S x x a x b x ?≤≤=?-+-+≤≤?是三次样条函数，则,a b 的值为( ) (A )6，6； (B)6，8； (C)8，6； (D)8，8。 (A)； (B)4； (C) ； (D ) 2。 28、形如112233()()()() b a f x dx A f x A f x A f x ≈++? 的高斯（Gauss ）型求积公式的代数精度为 （ ） (A)9； (B)7； (C ) 5； (D) 3。 29 的Newton 迭代格式为( ) (A) 132k k k x x x += +；(B )1322k k k x x x +=+；(C) 122k k k x x x +=+；(D) 133k k k x x x +=+。 30、用二分法求方程32 4100x x +-=在区间12[,]内的实根，要求误差限为31102ε-=?，则对分 次数至少为( ) (A )10； (B)12； (C)8； (D)9。 31、经典的四阶龙格—库塔公式的局部截断误差为 ( ) (A)4()O h ； (B)2()O h ； (C ) 5()O h ； (D) 3()O h 。 32、设()i l x 是以019(,,,)k x k k ==L 为节点的Lagrange 插值基函数，则9 0()i k kl k == ∑( ) (A)x ； （B ）k ； （C ）i ； （D ）1。 33、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式，至少具有( )次代数精度 (A )5； (B)4； (C)6； (D)3。 34、已知 3 3 02 21224()()()x x S x x a x b x ?≤≤=?-+-+≤≤?是三次样条函数，则,a b 的值为( ) (A )6，6； (B)6，8； (C)8，6； (D)8，8。 35、已知方程3250x x --=在2x =附近有根，下列迭代格式中在0 2x =不收敛的是( ) (A)1k x +=； (B)1k x += (C )315k k k x x x +=--； (D) 3 1225 32k k k x x x ++=-。 (A ) 4； (B)2； (C)1； (D)3。 37、5个节点的Gauss 型求积公式的最高代数精度为( ) (A)8； (B )9； (C)10； (D)11。 三、是非题（认为正确的在后面的括弧中打√，否则打?） 1、已知观察值)210()(m i y x i i ，，，， ，Λ=,用最小二乘法求n 次拟合多项式)(x P n 时，)(x P n 的次数n 可以任意取。 ( ) 2、用1-22 x 近似表示cos x 产生舍入误差。 ( ) 3、))(() )((210120x x x x x x x x ----表示在节点x 1的二次(拉格朗日)插值基函数。 ( √ ) 4、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。 ( √ ) 5、矩阵A =? ???? ? ?-521352113具有严格对角占优。 ( ) 四、计算题： 1、用高斯-塞德尔方法解方程组 ??? ??=++=++=++2252182411 24321321321x x x x x x x x x ，取T )0,0,0()0(=x ，迭代四次(要求按五位有效数字计算)。 答案：迭代格式 ??? ??? ???--=--=--=++++++)222(51) 218(41)211(41)1(2)1(1)1(3 )(3)1(1)1(2) (3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x 2、求A 、B 使求积公式 ?-+-++-≈1 1)]21 ()21([)]1()1([)(f f B f f A dx x f 的代数精度尽量高,并求其代数精度；利用此公式求 ? =2 1 1dx x I (保留四位小数)。 答案：2 ,,1)(x x x f =是精确成立，即 ??? ??=+=+32212222B A B A 得98,91==B A 求积公式为)]21 ()21([98)]1()1([91)(1 1f f f f dx x f +-++-=?- 当3)(x x f =时，公式显然精确成立；当4 )(x x f =时，左=52，右=31。所以代 数精度为3。 69286.0140 97 ] 3 21132/11[98]311311[9131111322 1 ≈= +++-++++-≈+=??--=dt t dx x x t 3、已知 分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求)(x f 的三次插值多项式)(3x P ，并求)2(f 的近似值（保留四位小数）。 答案： )53)(43)(13() 5)(4)(1(6 )51)(41)(31()5)(4)(3(2 )(3------+------=x x x x x x x L )45)(35)(15() 4)(3)(1(4 )54)(34)(14()5)(3)(1(5 ------+------+x x x x x x 差商表为 ) 4)(3)(1(41 )3)(1()1(22)()(33---+----+==x x x x x x x N x P 5.5)2()2(3=≈P f 4、取步长2.0=h ，用预估-校正法解常微分方程初值问题 ?? ?=+='1)0(32y y x y )10(≤≤x 答案：解： ?????+++?+=+?+=++++)]32()32[(1.0) 32(2.0)0(111)0(1n n n n n n n n n n y x y x y y y x y y 即 04.078.152.01++=+n n n y x y 5、已知 求)(x f 的二次拟合曲线)(2x p ，并求)0(f '的近似值。 答案：解： 正规方程组为 ??? ? ?=+==+41 34103101510520 120a a a a a 1411,103,710210=== a a a 221411103710)(x x x p ++= x x p 711 103)(2+=' 103 )0()0(2 ='≈'p f 6、已知x sin 区间[0.4，0.8]的函数表 如用二次插值求63891.0sin 的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。 答案：解： 应选三个节点，使误差 |)(|!3|)(|33 2x M x R ω≤ 尽量小，即应使|)(|3x ω尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点 }7.0,6.0,5.0{最好，实际计算结果 596274.063891.0sin ≈， 且 4 1055032.0)7.063891.0)(6.0963891.0)(5.063891.0(! 31 596274 .063891.0sin -?≤----≤ - 7、构造求解方程0210=-+x e x 的根的迭代格式Λ,2,1,0),(1==+n x x n n ?，讨论其收敛 性，并将根求出来，4 110||-+<-n n x x 。 答案：解：令 010)1(, 02)0(, 210e )(>+=<-=-+=e f f x x f x . 且 010e )(>+='x x f )(∞+-∞∈?，对x ，故0)(=x f 在(0,1)内有唯一实根.将方程0)(=x f 变形为 )e 2(101 x x -= 则当)1,0(∈x 时 )e 2(101 )(x x -= ?， 1 10 e 10e |)(|<≤-='x x ? 故迭代格式 )e 2(101 1n x n x -= + 收敛。取5.00=x ，计算结果列表如下： 且满足 6671095000000.0||-<≤-x x .所以008525090.0*≈x . 8﹑利用矩阵的LU 分解法解方程组 ??? ??=++=++=++20 53182521432321321321x x x x x x x x x 。 答案：解： ?? ????????--??????????-==244132 11531 21LU A 令b y =L 得T )72,10,14(--=y ，y x =U 得T )3,2,1(=x . 9﹑对方程组 ? ?? ??=-+=--=++841025410151023321321321x x x x x x x x x （1） 试建立一种收敛的Seidel 迭代公式，说明理由； （2） 取初值T )0,0,0()0(=x ，利用（1）中建立的迭代公式求解，要求 3)()1(10||||-∞+<-k k x x 。 解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优 ??? ??=++=-+=--15 1023841025410321321321x x x x x x x x x 故对应的高斯—塞德尔迭代法收敛.迭代格式为 ??? ??? ???+--=++-=++=++++++)1523(101)842(101)54(101)1(2)1(1)1(3) (3)1(1)1(2 ) (3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x 取T )0,0,0() 0(=x ,经7步迭代可得： T )010000.1,326950999.0,459991999.0()7(*=≈x x . 10、已知下列实验数据 试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据。 解：当0 d e 1 0?有一位整数. 要求近似值有5位有效数字，只须误差 4) (11021 )(-?≤ f R n . 由 )(12)()( 2 3 ) (1ξf n a b f R n ''-≤，只要 4 22) (1102112e 12e ) e (-?≤≤≤n n R x n ξ 即可，解得 ???=?≥ 30877.67106e 2n 所以 68=n ，因此至少需将 [0,1] 68等份。 11、用列主元素消元法求解方程组 ??????????--=??????????????????? ?--11124112345111321x x x 。 解： ??? ?? ?????----???→??????????? ?----111124111123451111212345411121r r ??????????????? ?-----???→?????????? ??? ?????------???→?-585 25 10 57951513 012345579515 130585251 0123455 2 51 321312r r r r r r ?????? ?? ??????? ?----?? ?→?+135 1350579515 13 0123 45131 23r r 回代得 3,6,1123==-=x x x 。 12、取节点1,5.0,0210===x x x ,求函数x x f -=e )(在区间[0,1]上的二次插值多项式 )(2x P ,并估计误差。 解： )15.0)(05.0() 1)(0()10)(5.00()1)(5.0()(5.002----? +----? =--x x e x x e x P )5.0(2)1(4)1)(5.0(2) 5.01)(01() 5.0)(0(15.01-+----=----? +---x x e x x e x x x x e 又 1 |)(|max ,)(,)(] 1,0[3='''=-='''=∈--x f M e x f e x f x x x 故截断误差 |)1)(5.0(|!31 |)(||)(|22--≤ -=-x x x x P e x R x 。 13、用欧拉方法求 ?-=x t t x y 0 d e )(2 在点0.2,5.1,0.1,5.0=x 处的近似值。 解： ?-=x t t x y 0 d e )(2 等价于 ?????=='-0)0(e 2 y y x (0>x ) 记2 e ),(x y x f -=,取5.0=h ,0.2,5.1,0.1,5.0,043210=====x x x x x . 则由欧拉公式 ?? ?=+=+0) ,(01y y x hf y y n n n n , 3,2,1,0=n 可得 88940.0)0.1(, 5.0)5.0(21≈==≈y y y y , 12604.1)0.2(, 07334.1)5.1(43≈==≈y y y y 14、给定方程 01e )1()(=--=x x x f 1) 分析该方程存在几个根； 2) 用迭代法求出这些根，精确到5位有效数字； 3) 说明所用的迭代格式是收敛的。 解：1）将方程 01e )1(=--x x （1） 改写为 x x -=-e 1 （2） 作函数1)(1-=x x f ，x x f -=e )(2的图形（略）知（2）有唯一根)2,1(*∈x 。 2) 将方程（2）改写为 x x -+=e 1 构造迭代格式 ?? ?=+=-+5.1e 101x x k x k ),2,1,0(Λ=k 计算结果列表如下： 3) x x -+=e 1)(?，x x --='e )(? 当]2,1[∈x 时，]2,1[)]1(),2([)(?∈???x ，且 1e |)(|1<≤'-x ? 所以迭代格式 ),2,1,0()(1Λ==+k x x k k ?对任意]2,1[0∈x 均收敛。 15、用牛顿(切线)法求3的近似值。取x 0=1.7, 计算三次，保留五位小数。 解：3是03)(2 =-=x x f 的正根，x x f 2)(='，牛顿迭代公式为 n n n n x x x x 23 2 1 -- =+， 即 ) ,2,1,0(2321Λ=+=+n x x x n n n 取x 0=1.7, 列表如下： 16、已知f (-1)=2，f (1)=3，f (2)=-4，求拉格朗日插值多项式)(2x L 及f (1，5)的近似值，取五位小数。 解： )12)(12() 1)(1(4)21)(11()2)(1(3)21)(11()2)(1(2)(2-+-+? --+-+?+------? =x x x x x x x L )1)(1(34 )2)(1(23)2)(1(32-+--+---= x x x x x x 04167 .0241 )5.1()5.1(2≈=≈L f 17、n =3,用复合梯形公式求x x d e 10 ?的近似值（取四位小数）,并求误差估计。 解： 7342.1]e )e e (2e [3201d e 1210 310 ≈+++?-= ≈?T x x x x x f x f e )(,e )(=''=，10≤≤x 时，e |)(|≤''x f 05.0025.0108e 312e |e |||2 3≤==?≤ -=ΛT R x 至少有两位有效数字。 18、用Gauss-Seidel 迭代法求解线性方程组 ????? ? ?--411131103????? ??321x x x =? ???? ??--815， 取x (0)=(0,0,0)T ,列表计算三次，保留三位小数。 解：Gauss-Seidel 迭代格式为： ??? ??? ???-+-=----=+-=++++++)8(41)1(31)5(31)1(2)1(1)1(3) (3)1(1)1(2 ) (3)1(1k k k k k k k k x x x x x x x x 系数矩阵????? ???? ?--411131103严格对角占优，故Gauss-Seidel 迭代收敛. 取x (0)=(0,0,0)T ，列表计算如下: 19、用预估—校正法求解?? ?=+='1)0(y y x y (0≤x ≤1)，h =0。2，取两位小数。 解：预估—校正公式为 ??? ?? ???? ++==++=+),(),()(2 1121211 k y h x hf k y x hf k k k y y n n n n n n Λ,2,1,0=n 其中y x y x f +=),(，10=y ，h =0.2，4,3,2,1,0=n ，代入上式得： 20、（8 2 bx a y +=解： },1{x span =Φ ??? ???=22 2 2 38312519 1111T A []3.730.493.320.19=T y 解方程组 y A AC A T T = 其中 ??????=3529603339133914A A T ??????=7.1799806.173y A T 解得： ??????=0501025.09255577.0C 所以 9255577.0=a ， 0501025.0=b 21、（15分）用8=n 的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算dx e x ? -1 时，试用余项估计其误 差。用8=n 的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算出该积分的近似值。 解： 001302.07681 81121)(12][022==??≤''-- =e f h a b f R T η ] )()(2)([2)8(7 1∑=++=k k b f x f a f h T ]36787947.0)41686207.047236655.05352614.060653066.07788008.08824969.0(21[16 1 ++++++?+= 6329434.0= 22、（15分）方程013 =--x x 在5.1=x 附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）31 +=x x 对应迭代格式311+=+n n x x ；(2)x x 11+=对应迭代格式n n x x 111+=+；（3）13-=x x 对应 迭代格式13 1-=+n n x x 。判断迭代格式在5.10=x 的收敛性，选一种收敛格式计算5.1=x 附近的根， 精确到小数点后第三位。 解：（1）32 1(31 )(-+='）x x ?，118.05.1<='）（?，故收敛； （2）x x x 1 121 )(2+ - ='?，117.05.1<='）（?，故收敛； （3）23)(x x ='?，15.135.12>?='）（?，故发散。 选择（1）：5.10 =x ，3572.11=x ，3309.12=x ，3259.13=x ，3249.14=x ， 32476.15=x ，32472.16=x 23、（8分）已知方程组f AX =，其中 ??????????--=4114334A ，?? ??? ?????-=243024f （1） 列出Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法的分量形式。 （2） 求出Jacobi 迭代矩阵的谱半径。 解：Jacobi 迭代法：?? ???????=+-=+-=-=+++Λ,3,2,1,0)24(41)330(41)324(41) (2)1(3)(3)(1)1(2) (2)1(1k x x x x x x x k k k k k k k Gauss-Seidel 迭代法：?? ???????=+-=+-=-=+++++Λ,3,2,1,0)24(41)330(41)324(41) 1(2)1(3)(3)1(1)1(2) (2)1(1k x x x x x x x k k k k k k k ????? ? ????? ?--=+-=-0430430 430430)(1 U L D B J ， 790569 .0)4 10 (85)(==或J B ρ 24、1、（15分）取步长1.0=h ，求解初值问题?????=+-=1 )0(1y y dx dy 用改进的欧拉法求)1.0(y 的值；用经典的四阶龙格—库塔法求)1.0(y 的值。 解：改进的欧拉法：??? ??+=++=+=+=++++095.0905.0)],(),([21.09.0),() 0(111) 0(1n n n n n n n n n n n n y y x f y x f h y y y y x hf y y 所以1)1.0(1==y y ； 经典的四阶龙格—库塔法： 第一章 误差 1 问3.142，3.141，7 22分别作为π的近似值各具有几位有效数字？ 分析 利用有效数字的概念可直接得出。 解 π=3.141 592 65… 记x 1=3.142，x 2=3.141，x 3=7 22. 由π- x 1=3.141 59…-3.142=-0.000 40…知 34111 10||1022 x π--?<-≤? 因而x 1具有4位有效数字。 由π- x 2=3.141 59…-3.141=-0.000 59…知 223102 1||1021--?≤- 《数值计算方法》复习试题 一、填空题： 1、????? ?????----=410141014A ，则A 的LU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。 答案： ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：， 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ， 拉格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； （ 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为 ( )] ,(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y )； 10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( )； 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精 度为( 5 )； 12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均 不为零)。 13、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式 19992001-改写为 199920012 + 。 14、 用二分法求方程01)(3 =-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间 为 ，1 ,进行两步后根的所在区间为 ， 。 15、 、 16、 计算积分?1 5 .0d x x ,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 ，用辛卜 生公式计算求得的近似值为 ，梯形公式的代数精度为 1 ，辛卜生公式的代数精度为 3 。 17、 求解方程组?? ?=+=+042.01532121x x x x 的高斯—塞德尔迭代格式为 ?????-=-=+++20/3/)51()1(1)1(2)(2)1(1 k k k k x x x x ，该迭 代格式的迭代矩阵的谱半径)(M ρ= 121 。 18、 设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l )2()(1--=x x x l ，)(x f 的二次牛顿 插值多项式为 )1(716)(2-+=x x x x N 。 19、 求积公式 ?∑=≈b a k n k k x f A x x f )(d )(0 的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高，具 有( 12+n )次代数精度。 目录 第一章非线性方程求根 (3) 1.1迭代法 (3) 1.2牛顿法 (4) 1.3弦截法 (5) 1.4二分法 (6) 第二章插值 (7) 2.1线性插值 (7) 2.2二次插值 (8) 2.3拉格朗日插值 (9) 2.4分段线性插值 (10) 2.5分段二次插值 (11) 第三章数值积分 (13) 3.1复化矩形积分法 (13) 3.2复化梯形积分法 (14) 3.3辛普森积分法 (15) 3.4变步长梯形积分法 (16) 第四章线性方程组数值法 (17) 4.1约当消去法 (17) 4.2高斯消去法 (18) 4.3三角分解法 (20) 4.4雅可比迭代法 (21) 4.5高斯—赛德尔迭代法 (23) 第五章常积分方程数值法 (25) 5.1显示欧拉公式法 (25) 5.2欧拉公式预测校正法 (26) 5.3改进欧拉公式法 (27) 5.4四阶龙格—库塔法 (28) 数值计算方法 第一章非线性方程求根 1.1迭代法 程序代码： Private Sub Command1_Click() x0 = Val(InputBox("请输入初始值x0")) ep = Val(InputBox(请输入误差限ep)) f = 0 While f = 0 X1 = (Exp(2 * x0) - x0) / 5 If Abs(X1 - x0) < ep Then Print X1 f = 1 Else x0 = X1 End If Wend End Sub 例：求f(x)=e2x-6x=0在x=0.5附近的根（ep=10-10） 1.2牛顿法 程序代码： Private Sub Command1_Click() b = Val(InputBox("请输入被开方数x0")) ep = Val(InputBox(请输入误差限ep)) f = 0 While f = 0 X1 = x0 - (x0 ^ 2 - b) / (2 * b) If Abs(X1 - x0) < ep Then Print X1 f = 1 Else x0 = X1 End If Wend End Sub 例：求56的值。（ep=10-10） 《计算方法》期中复习试题 一、填空题： 1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：2.367，0.25 2、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ，拉 格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 5、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 7、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精度 为( 5 )； 12、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达 式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式1999 2001- 参考答案 第一章 1 *1x =1.7； * 2x =1.73； *3x =1.732 。 2． 3． （1） ≤++)(* 3*2*1x x x e r 0.00050； （注意：应该用相对误差的定义去求） （2） ≤)(*3*2*1x x x e r 0.50517； （3） ≤)/(*4*2x x e r 0.50002。 4．设6有n 位有效数字，由6≈2.4494……，知6的第一位有效数字1a =2。 令3)1()1(1* 102 1 102211021)(-----?≤??=?= n n r a x ε 可求得满足上述不等式的最小正整数n =4，即至少取四位有效数字，故满足精度要求可取6≈2.449。 5. 答：（1）*x (0>x )的相对误差约是* x 的相对误差的1/2倍； （2）n x )(* 的相对误差约是* x 的相对误差的n 倍。 6． 根据******************** sin 21)(cos 21sin 21)(sin 21sin 21)(sin 21)(c b a c e c b a c b a b e c a c b a a e c b S e r ++≤ =* *****) ()()(tgc c e b b e a a e ++ 注意当20* π < 7．设20= y ，41.1*0 =y ，δ=?≤--2* 00102 1y y 由 δ1* 001*111010--≤-=-y y y y ， δ2*111*221010--≤-=-y y y y M δ10*991*10101010--≤-=-y y y y 即当0y 有初始误差δ时，10y 的绝对误差的绝对值将减小10 10-倍。而110 10 <<-δ，故计算过程稳定。 8. 变形后的表达式为： （1）)1ln(2--x x =)1ln(2-+-x x （2）arctgx x arctg -+)1(=) 1(11 ++x x arctg （3） 1ln )1ln()1(ln 1 --++=? +N N N N dx x N N =ΛΛ+-+- +3 2413121)1ln(N N N N 1ln )11ln()1(-++ +=N N N N =1)1ln()1 1ln(-+++N N N （4）x x sin cos 1-=x x cos 1sin +=2x tg 《数值计算方法》复习试题 一、填空题: 1、????? ?????----=410141014A ,则A 的LU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。 答案: ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ,则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ,拉 格朗日插值多项式为 。 答案:-1, )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字; 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式就是( ); 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 ); 7、计算方法主要研究( 截断 )误差与( 舍入 )误差; 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时,二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b ); 10、已知f (1)＝2,f (2)＝3,f (4)＝5、9,则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0、15 ); 11、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均 不为零)。 12、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少,应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ,为了减少舍入误差,应将表达式 2020年奥鹏吉大网络教育《计算方法》大作业解答 (说明：前面是题目，后面几页是答案完整解答部分，注意的顺序。) 一、解线性方程 用矩阵的LU分解算法求解线性方程组 用矩阵的Doolittle分解算法求解线性方程组 用矩阵的Doolittle分解算法求解线性方程组 用高斯消去法求解线性方程组 用高斯消去法求解线性方程组 用主元素消元法求解线性方程组 用高斯消去法求解线性方程组 利用Doolittle分解法解方程组Ax=b，即解方程组 1、用矩阵的LU分解算法求解线性方程组 X1+2X2+3X3 = 0 2X1+2X2+8X3 = -4 -3X1-10X2-2X3 = -11 2、用矩阵的Doolittle分解算法求解线性方程组 X1+2X2+3X3 = 1 2X1– X2+9X3 = 0 -3X1+ 4X2+9X3 = 1 3、用矩阵的Doolittle分解算法求解线性方程组 2X1+X2+X3 = 4 6X1+4X2+5X3 =15 4X1+3X2+6X3 = 13 4、用高斯消去法求解线性方程组 2X 1- X 2+3X 3 = 2 4X 1+2X 2+5X 3 = 4 -3X 1+4X 2-3X 3 = -3 5、用无回代过程消元法求解线性方程组 2X 1- X 2+3X 3 = 2 4X 1+2X 2+5X 3 = 4 -3X 1+4X 2-3X 3 = -3 6、用主元素消元法求解线性方程组 2X 1- X 2+3X 3 = 2 4X 1+2X 2+5X 3 = 4 -3X 1+4X 2-3X 3 = -3 7、用高斯消去法求解线性方程组 123123123234 4272266 x x x x x x x x x -+=++=-++= 8、利用Doolittle 分解法解方程组Ax=b ，即解方程组 12341231521917334319174262113x x x x -? ????? ???? ??-??????=? ? ????--?????? --???? ?? 习题一 1. 什么叫数值方法？数值方法的基本思想及其优劣的评价标准如何？ 数值方法是利用计算机求解数学问题近似解的方法 x max x i , x ( x 1 , x 2 , x n ) T R n 及 A n R n n . 2. 试证明 max a ij , A ( a ij ) 1 i n 1 i n 1 j 证明： （ 1）令 x r max x i 1 i n n p 1/ p n x i p 1/ p n x r p 1/ p 1/ p x lim( x i lim x r [ ( ] lim x r [ lim x r ) ) ( ) ] x r n p i 1 p i 1 x r p i 1 x r p 即 x x r n p 1/ p n p 1/ p 又 lim( lim( x r x i ) x r ) p i 1 p i 1 即 x x r x x r ⑵ 设 x (x 1,... x n ) 0 ，不妨设 A 0 ， n n n n 令 max a ij Ax max a ij x j max a ij x j max x i max a ij x 1 i n j 1 1 i n j 1 1 i n j 1 1 i n 1 i n j 1 即对任意非零 x R n ，有 Ax x 下面证明存在向量 x 0 0 ，使得 Ax 0 ， x 0 n ( x 1,... x n )T 。其中 x j 设 j a i 0 j ，取向量 x 0 sign(a i 0 j )( j 1,2,..., n) 。 1 n n 显然 x 0 1 且 Ax 0 任意分量为 a i 0 j x j a i 0 j ， i 1 i 1 n n 故有 Ax 0 max a ij x j a i 0 j 即证。 i i 1 j 1 3. 古代数学家祖冲之曾以 355 作为圆周率的近似值，问此近似值具有多少位有效数字？ 113 解： x 325 &0.314159292 101 133 x x 355 0.266 10 6 0.5 101 7 该近似值具有 7 为有效数字。 计算方法上机报告 姓名： 学号： 班级： 目录 题目一------------------------------------------------------------------------------------------ - 4 - 1.1题目内容 ---------------------------------------------------------------------------- - 4 - 1.2算法思想 ---------------------------------------------------------------------------- - 4 - 1.3Matlab源程序----------------------------------------------------------------------- - 5 - 1.4计算结果及总结 ------------------------------------------------------------------- - 5 - 题目二------------------------------------------------------------------------------------------ - 7 - 2.1题目内容 ---------------------------------------------------------------------------- - 7 - 2.2算法思想 ---------------------------------------------------------------------------- - 7 - 2.3 Matlab源程序---------------------------------------------------------------------- - 8 - 2.4计算结果及总结 ------------------------------------------------------------------- - 9 - 题目三----------------------------------------------------------------------------------------- - 11 - 3.1题目内容 --------------------------------------------------------------------------- - 11 - 3.2算法思想 --------------------------------------------------------------------------- - 11 - 3.3Matlab源程序---------------------------------------------------------------------- - 13 - 3.4计算结果及总结 ------------------------------------------------------------------ - 14 - 题目四----------------------------------------------------------------------------------------- - 15 - 4.1题目内容 --------------------------------------------------------------------------- - 15 - 4.2算法思想 --------------------------------------------------------------------------- - 15 - 4.3Matlab源程序---------------------------------------------------------------------- - 15 - 4.4计算结果及总结 ------------------------------------------------------------------ - 16 - 题目五----------------------------------------------------------------------------------------- - 18 - 计算方法实验报告 班级： 学号： 姓名： 成绩： 1 舍入误差及稳定性 一、实验目的 （1）通过上机编程，复习巩固以前所学程序设计语言及上机操作指令； （2）通过上机计算，了解舍入误差所引起的数值不稳定性 二、实验内容 1、用两种不同的顺序计算10000 21n n -=∑，分析其误差的变化 2、已知连分数() 1 01223//(.../)n n a f b b a b a a b =+ +++，利用下面的算法计算f ： 1 1 ,i n n i i i a d b d b d ++==+ (1,2,...,0 i n n =-- 0f d = 写一程序，读入011,,,...,,,...,,n n n b b b a a 计算并打印f 3、给出一个有效的算法和一个无效的算法计算积分 1 041 n n x y dx x =+? (0,1,...,1 n = 4、设2 2 11N N j S j == -∑ ，已知其精确值为1311221N N ?? -- ?+?? （1）编制按从大到小的顺序计算N S 的程序 （2）编制按从小到大的顺序计算N S 的程序 （3）按两种顺序分别计算10001000030000,,,S S S 并指出有效位数 三、实验步骤、程序设计、实验结果及分析 1、用两种不同的顺序计算10000 2 1n n -=∑，分析其误差的变化 （1）实验步骤： 分别从1~10000和从10000~1两种顺序进行计算，应包含的头文件有stdio.h 和math.h （2）程序设计： a.顺序计算 #include 数值分析复习试题 第一章 绪论 一. 填空题 1.* x 为精确值 x 的近似值；() **x f y =为一元函数 ()x f y =1的近似值； ()**,*y x f y =为二元函数()y x f y ,2=的近似值，请写出下面的公式：**e x x =-： *** r x x e x -= ()()()*'1**y f x x εε≈? ()() () ()'***1**r r x f x y x f x εε≈ ? ()()()() ()* *,**,*2**f x y f x y y x y x y εεε??≈?+??? ()()()()() ** * *,***,**222r f x y e x f x y e y y x y y y ε??≈ ?+??? 2、 计算方法实际计算时，对数据只能取有限位表示，这时所产生的误差叫 舍入误 差 。 3、 分别用2.718281，2.718282作数e 的近似值，则其有效数字分别有 6 位和 7 位；又取 1.73≈-21 1.73 10 2 ≤?。 4、 设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x 的相对误差限为 0.0055 。 5、 设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x +的误差限为 0.01 。 6、 已知近似值 2.4560A x =是由真值T x 经四舍五入得 到,则相对误差限为 0.0000204 . 7、 递推公式,??? ? ?0n n-1y =y =10y -1,n =1,2, 如果取0 1.41y ≈作计算,则计算到10y 时,误 差为 81 10 2 ?;这个计算公式数值稳定不稳定 不稳定 . 8、 精确值 14159265.3* =π，则近似值141.3*1=π和1415.3*2=π分别有 3 : 第一次作业 1.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，指出他们有几位有效数字，并写出绝对误差限。 9800107480.566.385031.01021.1*65*5*4*3*2*1=?=====x x x x x x 解： 1* 11011021.01021.1?==x ，有5位有效数字，绝对误差限为4-5-1105.0105.0?=?； 1-* 2 1031.0031.0?==x ，有2位有效数字，绝对误差限为3-2-1-105.0105.0?=?； 3* 3103856.06.385?==x ；有4位有效数字，绝对误差限为-14-3105.0105.0?=?； 2* 41056480.0480.56?==x ；有5位有效数字，绝对误差限为3-5-2105.0105.0?=?； ; 65* 5 107.0107?=?=x ；有1位有效数字，绝对误差限为51-6105.0105.0?=?； 4* 6 109800.09800?==x ；有4位有效数字，绝对误差限为5.0105.04-4=?。 2.要使20的近似值的相对误差限小于%1.0，要取几位有效数字 解：由于110447213595.047213595.420??=?=，设要取n 位有效数字，则根据 定理，有()()%1.01081 1021111 计算方法大作业 题目：非线性方程求根的新方法 班级：xxx 学号：xxx 姓名：xxx 非线性方程求根的新方法 一、问题引入 在计算和实际问题中经常遇到如下非线性问题的求解： F(x)=0 (1) 我们经常采用的方法是经典迭代法： 经典迭代方法 不动点迭代方法是一种应用广泛的方法，其加速方法较多，如Stiffensen加速方法的局部收敛阶(以下简称为收敛阶)为2阶；牛顿迭代方法的收敛阶亦为2阶，且与其相联系的一些方法如简化牛顿法、牛顿下山法、弦截法的收敛阶阶数介于1和2之间；而密勒法的收敛阶与牛顿法接近，但计算量较大且涉及零点的选择问题，同时收敛阶也不够理想。 因此本文介绍一种新的迭代方法 从代数角度看，牛顿法和密勒法分别是将f(x)在xk附近近似为一线性函数和二次抛物插值函数，一种很自然的想法就是能否利用Taylor展开，将f(x)在xk附近近似为其他的二次函数?答案是肯定的.其中的一种方法是将f(x)在Xk处展开3项，此时收敛阶应高于牛顿法，这正是本文的出发点． 二、算法推导 设函数f(x)在xk附近具有二阶连续导数，则可将f(x)在xk处进行二阶Taylor展开，方程(1) 可近似为如下二次方程： f(xk)+f’(xk)(x-xk)+2^(-1)f’’(xk)(x-xk)^2=0，(2) 即 2^(-1)f’’(xk)x^2+(f’(xk)-xkf’’(xk))x+2^(-1)f’’(xk)xk^2-xkf’(xk)+f(xk)=0(3) 利用求根公式可得 X=xk-(f’’(xk))^(-1)(f’(xk))-sqrt((f’(xk)^2±2f’’(xk)f(xk)))(4) 其中±符号的选取视具体问题而定，从而可构造迭代公式 X k+1=xk-(f’’(xk))^(-1)(f’(xk))-sqrt((f’(xk)^2±2f’’(xk)f(xk)))(5) 确定了根号前正负号的迭代公式(5)，可称为基于牛顿法和Taylor展开的方法，简记为BNT 方法． 为描述方便起见，以下将f(xk)，f’(xk)，f’’(xk)分别记为f,f’,f’’．首先，二次方程(3)对应于一条抛物曲线，其开口方向由f’’(xk)，x∈U(xk)的符号确定，其中U(xk)为xk的某邻域，其顶点为 P(xk-(f’’)^(-1)f’，fk-(2f’’)^(-1)(f’)^2)．为使(5)式唯一确定x k+1，须讨论根式前正负号的取舍问题．下面从该方法的几何意义分析(5)式中正负号的取舍． 1)当f(xk)=o时，z。即为所求的根． 2)当f(xk)>O时，根据y=f(x)的如下4种不同情形(见图1)确定(5)式中根号前的符号． (a)当f’’(xk) 练习题与答案 练习题一 练习题二 练习题三 练习题四 练习题五 练习题六 练习题七 练习题八 练习题答案 练习题一 一、是非题 1.*x=–1 2.0326作为x的近似值一定具有6位有效数字，且其误差限 ≤ 4 10 2 1 - ? 。() 2.对两个不同数的近似数，误差越小，有效数位越多。( ) 3.一个近似数的有效数位愈多，其相对误差限愈小。( ) 4.用 2 1 2 x - 近似表示cos x产生舍入误差。( ) 5. 3.14和 3.142作为π的近似值有效数字位数相同。 ( ) 二、填空题 1. 为了使计算 ()()2334912111y x x x =+ -+ ---的乘除法次数尽量少，应将该 表达式改写为 ； 2. * x =–0.003457是x 舍入得到的近似值，它有 位有效数字，误差限 为 ，相对误差限为 ； 3. 误差的来源是 ； 4. 截断误差为 ； 5. 设计算法应遵循的原则是 。 三、选择题 1．* x =–0.026900作为x 的近似值，它的有效数字位数为( ) 。 (A) 7； (B) 3； (C) 不能确定 (D) 5. 2．舍入误差是( )产生的误差。 (A) 只取有限位数 (B) 模型准确值与用数值方法求得的准确值 (C) 观察与测量 (D) 数学模型准确值与实际值 3．用 1+x 近似表示e x 所产生的误差是( )误差。 (A). 模型 (B). 观测 (C). 截断 (D). 舍入 4．用s *=21 g t 2表示自由落体运动距离与时间的关系式 (g 为重力加速度)，s t 是在 时间t 内的实际距离，则s t - s *是（ ）误差。 (A). 舍入 (B). 观测 (C). 模型 (D). 截断 5．1.41300作为2的近似值，有( )位有效数字。 (A) 3； (B) 4； (C) 5； (D) 6。 四、计算题 工程计算方法与软件应用 本科生大作业 考核方式：考查（成绩按各软件的课外作业成绩综合给出）。 各软件讲完后1~2星期内上交作业。 一、CAD/CAE软件作业（每个学生完成下列任意一题） 题目一： 一端固定支撑，一端集中力的梁，横截面为10x10cm，长为150cm，受集中载荷作用，P=50N。弹性模量E=70GPa，泊松比r=0.2。用ABAQUS 软件建模并计算最大应力和最大位移的位置和大小。 （1）二维；（2）三维 图1梁受力简图 题目二： 图中所示为一个连接件，一端焊接到设备母体上，一端在圆柱销子作用下的圆孔，圆孔下半周受到30 kN的均布载荷作用，用ABAQUS 软件建模并计算最大应力和最大位移的位置和大小。 图2 连接件受力简图 题目三： 如图3所示为一薄壁圆筒，在圆筒中心受集中力F作用，对此进行受力分析，并给出应力、位移云图，并求A、B两点位移。 圆筒几何参数：长度L=0.2m；半径R=0.05m壁厚t=2.5mm。 材料参数：弹性模量E=120Gpa；泊松比0.3 载荷：F=1.5kN。 图3薄壁管受力简图 题目四： 如图4所示为一燃气输送管道截面及受力见图，试分析管道在内部压力作用下的应力场。 几何参数：外径0.6m，内径0.4m，壁厚0.2m 材料参数：弹性模量E=120Gpa；泊松比0.26 载荷P=1Mpa。 图4燃气管受力简图 题目五： 如图5为一三角桁架受力简图，途中各杆件通过铰链链接，杆件材料及几何参数见表1和表2所示，桁架受集中力F1=5kN、F2=2.5kN 作用，求桁架各点位移及反作用力。 图5 三角桁架受力简图 表1 杆件材料参数 表2 杆件几何参数 《计算方法》期末考试试题 一 选 择（每题3分，合计42分） 1. x* ＝ ，取x ＝，则x 具有 位有效数字。 A 、3 B 、4 C 、5 D 、6 2. 取73.13≈（三位有效数字），则≤-73.13 。 A 、30.510-? B 、20.510-? C 、10.510-? D 、 3. 下面_ _不是数值计算应注意的问题。 A 、注意简化计算步骤，减少运算次数 B 、要避免相近两数相 减 C 、要防止大数吃掉小数 D 、要尽量消灭误差 4. 对任意初始向量) 0(x 及常向量g ，迭代过程 g x B x k k +=+)()1(收敛的充分必要条件是_ _。 A 、11< B B 、1<∞B C 、1)( 6. 用选列主元的方法解线性方程组AX ＝b ，是为了 A 、提高计算速度 B 、简化计算步骤 C 、降低舍入误差 D 、 方便计算 7. 用简单迭代法求方程f (x )=0的实根，把方程f (x )=0转化为 x =(x ),则f (x )=0的根是： 。 A 、y =x 与y =(x )的交点 B 、 y =x 与y =(x )交点的横坐标 C 、y =x 与x 轴的交点的横坐标 D 、 y =(x )与x 轴交点的横坐标 8. 已知x 0＝2，f (x 0)=46，x 1＝4，f (x 1)=88，则一阶差商f [x 0, x 1] 为 。 A 、7 B 、20 C 、21 D 、42 9. 已知等距节点的插值型求积公式()()4 6 30 k k k f x dx A f x =≈∑?， 那么4 k k A ==∑_____。 A 、0 B 、2 C 、3 D 、9 10. 用高斯消去法解线性方程组，消元过程中要求____。 A 、0≠ij a B 、0)0(11 ≠a C 、0) (≠k kk a D 、0)1(≠-k kk a 练习题与答案练习题一 练习题二 练习题三 练习题四 练习题五 练习题六 练习题七 练习题八 练习题答案 练习题一 一、是非题 1.*x=–作为x的近似值一定具有6位有效数字，且其误差限 4 10 2 1 - ? 。 () 2.对两个不同数的近似数，误差越小，有效数位越多。 ( ) 3.一个近似数的有效数位愈多，其相对误差限愈小。 ( ) 4.用 2 1 2 x - 近似表示cos x产生舍入误差。 ( ) 和作为π的近似值有效数字位数相同。 ( ) 二、填空题 1.为了使计算 ()()23 34912111y x x x =+ -+ ---的乘除法次数尽量少，应将该表 达式改写为 ； 2.* x =–是x 舍入得到的近似值，它有 位有效数字，误差限 为 ，相对误差限为 ； 3.误差的来源是 ； 4.截断误差为 ； 5.设计算法应遵循的原则 是 。 三、选择题 1．* x =–作为x 的近似值，它的有效数字位数为( ) 。 (A) 7； (B) 3； (C) 不能确定 (D) 5. 2．舍入误差是( )产生的误差。 (A) 只取有限位数 (B) 模型准确值与用数值方法求得的准确值 (C) 观察与测量 (D) 数学模型准确值与实际值 3．用 1+x 近似表示e x 所产生的误差是( )误差。 (A). 模型 (B). 观测 (C). 截断 (D). 舍入 4．用s *=21 g t 2表示自由落体运动距离与时间的关系式 (g 为重力加速度)，s t 是 在时间t 内的实际距离，则s t s *是（ ）误差。 (A). 舍入 (B). 观测 (C). 模型 (D). 截断 5．作为2的近似值，有( )位有效数字。 (A) 3； (B) 4； (C) 5； (D) 6。 计算方法A 上机大作业 1. 共轭梯度法求解线性方程组 算法原理：由定理3.4.1可知系数矩阵A 是对称正定矩阵的线性方程组Ax=b 的解与求解二次函数1()2 T T f x x Ax b x =-极小点具有等价性，所以可以利用共轭梯度法求解1()2 T T f x x Ax b x = -的极小点来达到求解Ax=b 的目的。 共轭梯度法在形式上具有迭代法的特征，在给定初始值情况下，根据迭代公式： (1)()()k k k k x x d α+=+ 产生的迭代序列(1)(2)(3)x x x ，，，... 在无舍入误差假定下，最多经过n 次迭代，就可求得()f x 的最小值，也就是方程Ax=b 的解。 首先导出最佳步长k α的计算式。 假设迭代点()k x 和搜索方向()k d 已经给定，便可以通过()()()() k k f x d φαα=+的极小化 ()()min ()()k k f x d φαα=+ 来求得，根据多元复合函数的求导法则得: ()()()'()()k k T k f x d d φαα=?+ 令'()0φα=，得到: ()() ()()k T k k k T k r d d Ad α=，其中()()k k r b Ax =- 然后确定搜索方向()k d 。给定初始向量(0)x 后，由于负梯度方向是函数下降最快的方向，故第一次迭代取搜索方向(0) (0)(0)(0)()d r f x b Ax ==-?=-。令 (1)(0)00x x d α=+ 其中(0)(0)0(0)(0) T T r d d Ad α=。第二次迭代时，从(1) x 出发的搜索方向不再取(1)r ，而是选取(1) (1)(0)0d r d β=+，使得(1)d 与(0)d 是关于矩阵A 的共轭向量，由此可 求得参数0β:计算方法_习题第一、二章答案..
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