高二数学导数大题练习进步(详细规范标准答案)
1．已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所
示． （I ）求d c ,的值；
（II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式；
（III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y =与m x x f y ++'=5)(3
1的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．
2．已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=． （I ）求函数)(x f 的单调区间；
（II ）函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为
,2
3
若函数]2
)('[31)(23m
x f x x x g ++=
在区间（1，3）上不是单调函数，求m 的取值范围．
3．已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点，且在1=x 处取得极大值． （I ）求实数a 的取值范围； （II ）若方程9
)32()(2
+-
=a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式；
（III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、，求证：81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ．
4．已知常数0>a ，e 为自然对数的底数，函数x e x f x
-=)(，x a x x g ln )(2-=．
（I ）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a >； （II ）讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数．
5．已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+． （I ）当1k =时，求函数()f x 的最大值；
（II ）若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围；
6．已知2x =是函数2()(23)x f x x ax a e =+--的一个极值点（???=718.2e ）． （I ）求实数a 的值；
（II ）求函数()f x 在]3,2
3[∈x 的最大值和最小值．
7．已知函数)0,(,ln )2(4)(2≠∈-+-=a R a x a x x x f （I ）当a=18时，求函数)(x f 的单调区间； （II ）求函数)(x f 在区间],[2e e 上的最小值．
8．已知函数()(6)ln f x x x a x =-+在(2,)x ∈+∞上不具有．．．单调性． （I ）求实数a 的取值范围；
（II ）若()f x '是()f x 的导函数，设2
2
()()6g x f x x '=+-
，试证明：对任意两个不相
等正数12x x 、，不等式121238|()()|||27
g x g x x x ->-恒成立．
9．已知函数.1,ln )1(2
1)(2>-+-=a x a ax x x f （I ）讨论函数)(x f 的单调性；
（II ）证明：若.1)
()(,),,0(,,52
1212121->--≠+∞∈ 10．已知函数2 1()ln ,()(1),12 f x x a x g x a x a =+=+≠-． （I ）若函数(),()f x g x 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数a 的取值范围； （II ）若(1,]( 2.71828)a e e ∈=L ，设()()()F x f x g x =-，求证：当12,[1,]x x a ∈时，不 等式12|()()|1F x F x -<成立． 11．设曲线C ：()ln f x x ex =-（ 2.71828e =???），()f x '表示()f x 导函数． （I ）求函数()f x 的极值； （II ）对于曲线C 上的不同两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，12x x <，求证：存在唯一的 0x 12(,)x x ∈，使直线AB 的斜率等于0()f x '． 12．定义),0(,,)1(),(+∞∈+=y x x y x F y ， （I ）令函数22()(3,log (24))f x F x x =-+，写出函数()f x 的定义域； （II ）令函数322()(1,log (1))g x F x ax bx =+++的图象为曲线C ，若存在实数b 使得曲线C 在)14(00-<<-x x 处有斜率为－8的切线，求实数a 的取值范围； （III ）当,*x y ∈N 且x y <时，求证(,)(,)F x y F y x >． 答案 1．解：函数)(x f 的导函数为 b a c bx ax x f 2323)(2'--++= …………（2分） （I ）由图可知 函数)(x f 的图象过点（0，3），且0)1('=f 得 ? ??==??? ?=--++=03 23233c d b a c b a d …………（4分） （II ）依题意 3)2('-=f 且5)2(=f ? ? ?=+--+-=--+5346483 23412b a b a b a b a 解得 6,1-==b a 所以396)(23++-=x x x x f …………（8分） （III ）9123)(2+-='x x x f ．可转化为：()m x x x x x x +++-=++-534396223有三个 不等实根，即：()m x x x x g -+-=8723与x 轴有三个交点； ()()()42381432--=+-='x x x x x g ， ()m g m g --=-=?? ? ??164,2768 32． …………（10分） 当且仅当()016402768 32<--=>-= ?? ? ??m g m g 且时，有三个交点， 故而，27 6816<<-m 为所求． …………（12分） 2．解：（I ）)0() 1()('>-= x x x a x f （2分） 当(][)+∞>,1,1,0)(,0减区间为的单调增区间为时x f a 当[)(];1,0,,1)(,0减区间为的单调增区间为时+∞ （II ）32ln 2)(,22 3 43)4('-+-=-==- =x x x f a a f 得 2)4()(',2)22 (31)(223-++=∴-++=∴x m x x g x x m x x g （6分） 2)0(',)3,1()(-=g x g 且上不是单调函数在区间Θ ? ? ?><∴.0)3(', 0)1('g g （8分）?? ?? ?>-<∴,319, 3m m （10分）)3,319 (--∈m （12分） 3．解：（I ）, 23)(,00)0(2b ax x x f c f ++='=?=320)1(--=?='a b f ),323)(1()32(23)(2++-=+-+='∴a x x a ax x x f 由3 3210)(+-==?='a x x x f 或，因为当1=x 时取得极大值， 所以313 32-+-a a ，所以)3,(:--∞的取值范围是a ； （II ）由下表： 依题意得：9 )32()32(2762 +- =++a a a ，解得：9-=a 所以函数)(x f 的解析式是：x x x x f 159)(23+-= （III ）对任意的实数βα,都有,2sin 22,2sin 22≤≤-≤≤-βα 在区间[-2，2]有： 230368)2(,7)1(,7430368)2(=+-==-=---=-f f f ,7)1()(=f x f 的最大值是7430368)2()(-=---=-f x f 的最小值是 函数]2,2[)(-在区间x f 上的最大值与最小值的差等于81， 所以81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ． 4．解：（I ）01)(≥-='x e x f ，得)(x f 的单调递增区间是),0(+∞， …………（2分） ∵0>a ，∴1)0()(=>f a f ，∴a a e a >+>1，即a e a >． …………（4分） （II ）x a x a x x a x x g ) 22)(22(22)(-+ =-='，由0)(='x g ，得2 2a x = ，列表 x )22,0(a 2 2a ),2 2( +∞a )(x g ' - 0 + )(x g 单调递减 极小值 单调递增 当2 2a x = 时，函数)(x g y =取极小值)2 ln 1(2)22( a a a g -=，无极大值． 由（I ）a e a >，∵?? ???> >22a a e e a a ，∴22a e a >，∴22a e a > 01)1(>=g ，0))(()(22>-+=-=a e a e a e e g a a a a …………（8 分） （i ）当 12 2≤a