等比数列练习题及答案
[
等比数列
一、选择题：
1．{a n }是等比数列，下面四个命题中真命题的个数为
（ ）
①{a n 2
}也是等比数列 ②{ca n }(c ≠0)也是等比数列 ③{
n
a 1
}也是等比数列 ④{ln a n }也是等比数列
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
2．等比数列{a n }中，已知a 9 =－2，则此数列前17项之积为
（ ）
A ．216
B ．－216
C ．217
D ．－217
~
3．等比数列｛a n ｝中，a 3=7，前3项之和S 3=21， 则公比q 的值为
（ ）
A ．1
B ．－
2
1
C ．1或－1
D ．－1或
2
1 4．在等比数列{a n }中，如果a 6=6，a 9=9，那么a 3等于
（ ）
A ．4
B ．
2
3
C ．
9
16 D ．2
5．若两数的等差中项为6，等比中项为5，则以这两数为两根的一元二次方程为 （ ）
A ．x 2
－6x ＋25=0 B ．x 2
＋12x ＋25=0 C ．x 2＋6x －25=0
D ．x 2
－12x ＋25=0
6．某工厂去年总产a ，计划今后5年内每一年比上一年增长10%，这5年的最后一年该厂的总产
值是
（ ）
#
A ． 4
a B ． 5 a C ． 6
a
D ． (1＋ 5
)a
7．等比数列{a n }中，a 9＋a 10=a (a ≠0)，a 19＋a 20=b ，则a 99＋a 100等于 （ ）
A ．89
a
b
B ．(a
b )
9
C ．910a
b
D ．(
a
b )10
8．已知各项为正的等比数列的前5项之和为3，前15项之和为39，则该数列的前10项之和为
（ ）
A ．32
B ．313
C ．12
D ．15
9．某厂2001年12月份产值计划为当年1月份产值的n 倍，则该厂2001年度产值的月平均增长
率为
（ ）
A ．
11
n B ．11n C ．112-n D ．111-n
10．已知等比数列
{}n a 中，公比2q =，且30123302a a a a ???
?=，那么36930a a a a ???
? 等
于
（ ）
{
A ．102
B ．20
2
C ．162
D ．15
2
11．等比数列的前n 项和S n =k ·3n
＋1，则k 的值为
（ ）
A ．全体实数
B ．－1
C ．1
D ．3
二、填空题：
12．在等比数列{a n }中，已知a 1=
2
3
，a 4=12，则q =_____ ____，a n =____ ____． 13．在等比数列{a n }中，a n ＞0，且a n ＋2=a n ＋a n ＋1，则该数列的公比q =___ ___． 14．在等比数列｛a n ｝中，已知a 4a 7＝－512，a 3＋a 8＝124，且公比为整数，求a 10＝ ．
15．数列｛n a ｝中，31=a 且n a a n n (2
1
=+是正整数)，则数列的通项公式=n a ．
￥
三、解答题：
16．已知数列满足a 1=1，a n ＋1=2a n ＋1(n ∈N *)
(1) 求证数列{a n ＋1}是等比数列； (2) 求{a n }的通项公式．
17．在等比数列｛a n ｝中，已知S n ＝48，S 2n ＝60，求S 3n ．
&
18．求和：S n ＝1＋3x ＋5x 2＋7x 3＋…＋(2n －1)x n －1
(x ≠0)．
。
19．在等比数列｛a n ｝中，a 1＋a n =66，a 2·a n －1=128，且前n 项和S n =126，求n 及公比q ．
`
参考答案
<
一、选择题： BDCAD BACDB BC 二、填空题：， 3·2n －2
． 14.2
51+． ．16.1
23-n ． 三、解答题：
17.(1)证明： 由a n ＋1=2a n ＋1得a n ＋1＋1=2(a n ＋1)
又a n ＋1≠0 ∴
1
1
1+++n n a a =2
即{a n ＋1}为等比数列．
(2)解析： 由(1)知a n ＋1=(a 1＋1)q n －1
即a n =(a 1＋1)q n －1－1=2·2n －1－1=2n
－1
{
18.解析： 由a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n
－1 ①
n ∈N*知a 1＝1
且a 1＋a 2＋…＋a n －1＝2n －1
－1 ②
由①－②得a n ＝2n －1
，n ≥2
又a 1＝1，∴a n ＝2n －1
，n ∈N*
212
2
2
1)
2()2(-+=n n n
n a a ＝4 即｛a n 2
｝为公比为4的等比数列
∴a 12＋a 22＋…＋a n 2
＝
)14(3
141)41(2
1-=--n n a %
19.解析一： ∵S 2n ≠2S n ，∴q ≠1
|
根据已知条件??
?
??=-=--q a q q a n
n 60)1(481)
1(211
①
②÷①得：1＋q n
＝
45即q n
＝4
1 ③
③代入①得
q
a -11
＝64
④
∴S 3n ＝
q a -11 (1－q 3n
)＝64(1－34
1)＝63 [
解析二： ∵｛a n ｝为等比数列
∴(S 2n －S n )2
＝S n (S 3n －S 2n )
∴S 3n ＝48
)4860()(2
2222-=
+-n n n n S S S S ＋60＝63 20.解析：当x =1时，S n =1＋3＋5＋…＋(2n －1)=n 2
当x ≠1时，∵S n =1＋3x ＋5x 2＋7x 3＋…＋(2n －1)x n －1
， ① 等式两边同乘以x 得：
xS n =x ＋3x 2＋5x 3＋7x 4＋…＋(2n －1)x n ． ②
①－②得： ；
(1－x )S n =1＋2x (1＋x ＋x 2
＋…＋x
n －2
)－(2n －1)x n =1－(2n －1)x n
＋
1
)
1(21---x x x n ，
∴S n =2
1)
1()1()12()12(-+++--+x x x n x n n n ． 21.解析：∵a 1a n =a 2a n －1=128，又a 1＋a n =66，
∴a 1、a n 是方程x 2
－66x ＋128=0的两根，解方程得x 1=2，x 2=64， ∴a 1=2，a n =64或a 1=64，a n =2，显然q ≠1．
若a 1=2，a n =64，由q
q
a a n --11=126得2－64q =126－126q ，
∴q =2，由a n =a 1q
n －1
得2
n －1
=32， ∴n =6．
若a 1=64，a n =2，同理可求得q =
2
1
，n =6． 综上所述，n 的值为6，公比q =2或2
1
．
22.解析：依题意，每年年底的人口数组成一个等比数列{a n }：a 1=50，q =1＋1%=1．01，n =11
则a 11=50×1．0110=50×(1．015)2
≈(万)，
又每年年底的住房面积数组成一个等差数列{b n}：b1=16×50=800，d=30，n=11∴b11=800＋10×30=1100(万米2)
因此2000年底人均住房面积为：1100÷≈19．95(m2)