“三角形的面积计算”教学研究

从忘记“÷2”说起

——关于“三角形的面积计算”的教学研究

华中科技大学附属小学冯胜杨道吉

摘要：本研究从学生在计算三角形面积时，出现忘记“÷2”的现象入手，比较数学知识的形成过程以及学生的已经经验，思考学生数学学习的障碍，探寻三角形的面积计算的有效教学策略。

关键词：典型错误，教材分析，教学建议，实验结果

在教学中，我们会发现有些学生在计算三角形面积时，会直接用“底×高”。如果我们让学生检查，他们会很快发现自己忘记“÷2”，并很快订正。通常，我们把这样的错误看作是学生“粗心”造成的，真的是粗心吗？为什么有些学生经过反复训练后，还在出现此类错误呢？

面对这样的现象，笔者认为我们不能简单地站在“成人视角”去理解，而应更多以“儿童视角”来分析产生此类错误的原因，以便我们运用更适合儿童心理的教学方法，尽量避免孩子们在认识上“少走弯路”。

基于这样的认识，笔者开展了有关“三角形的面积计算”的教学研究，准备从学生作业错例分析入手，结合对教学内容的再次思考，探寻学生错误的真实原因，提出较为合理的教学建议。

一、三角形面积计算的典型错误和错因分析

（一）测试的问题及意图

在设计测试的问题时，我们将三角形的面积计算的数学运用分为了三个层次。

（二）测试的对象和过程

2013年11月，我们选择了使用人教版课标教材小学数学五年级上册的F小学五年级3个教学班。其中2个班的学生作为对照班在没有使用本研究的教学建议学习“三角形面积计算”后完成测试，另一个班的学生作为实验班在使用本研究的教学建议学习“三角形面积计算”后完成测试。

测试后我们对学生的解题情况进行初步整理，在整理的基础上选择了部分学生单独进行访谈，测试与访谈在同一天完成。

（三）测试的结果与分析

1．三角形的面积计算运用的整体掌握情况

我们将对照班的78名学生的测试卷的三个问题从正确率、错误率以及“算法”错误率三个方面进行了初步的数据统计，其中“算法错误”指运用三角形面积计算公式时，列式造成的错误。（“错误率”的计算方法：三角形面积计算列式错误人数÷被测学生人数×100%）。有关统计数据如下。

F小学五年级部分学生“三角形的面积计算”测试数据分析（1）

由上表可知：学生对三角形的面积计算运用的掌握情况是有层次的。其中“算法”错误有下面两类典型错误。

针对以上错误，还进行了学生进行了访谈。在访谈时，多数学生看到自己出现的第一类错误，随即就说“老师，我忘记除以2了”。当我们追问：“你为什么会忘记除以2呢？”，学生答到“和平行四边形的面积计算方法弄混了”。继续针对学生出现的第二类错误访谈“你为什么这样做？”，学生说到“原来，求长方形和平行四边形的，也是这样算的”。由此可见，学生对三角形的面积计算公式的运用，很容易受已有对长方形和平行四边形的面积计算公式的影响。

2．三角形的面积计算在不同背景中运用的掌握情况

为进一步探索学生在不同背景中，三角形面积计算公式正向和逆向运用的相互影响关系。我们关注了测试答卷中以下三类情况，学生答题过程中“算法”错误统计，如下表。

F小学五年级部分学生“三角形的面积计算”测试数据分析（2）

从上表可知：（1）部分学生虽然能直接正向运用三角形面积计算公式，但在具体情况中正向运用时错误较多。出现该现象的原因是具体情境中运用公式时，易受情境信息和干扰因素等影响。（2）部分学生对三角形的面积计算的逆向运用掌握情况低于正向运用。（3）当学生不同背景中，能克服干扰因素和复杂背景正确的正向运用三角形的面积计算公式时，三角形的面积计算公式的逆向运用掌握也较高。

也许我们会有这样的疑问：为什么教学过程中学生操作了，教师演示了，还有学生出错呢？真的是学生无法跨越这道坎吗？下面是笔者观察到的教学片断，也许会引起我们一些新思考。

【教学现象】

（1）每个组准备了一些三角形，请同学们摆一摆，拼一拼，看能不能拼成我们学过的平面图形（学生合作探究）。

（2）交流汇报，每个小组选代表到黑板上演示。

（3）小结：两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。

（4）自主探究：三角形与所拼成的平行四边形有什么关系？

（5）合作探究：通过“转化”“找关系”，你能推导出三角形面积计算公式吗？

（6）板书：三角形的面积=底×高÷ 2

S=ah÷2

【分析与思考】

在这个教学片断中，学生充分经历了三角形面积计算公式的推导过程吗？我认为学生只是被动的按教师的设计机械地完成了一系列的操作，没有充分经历计算公式的探究过程。在这一过程中，学生只是“操作工”，对于“为什么会想用两个完全一样的三角形来拼？”、“还有其他推导方法吗？”等问题学生没有主动地思考，更谈不上猜想和创造。这样肤浅的操作导致学生没有深刻的理解，记忆也不深刻的。这样看来，学生作业时会忘记“÷2”也是情有可原。

二、三角形面积计算的教学内容和教材分析

从以上测试，我们发现部分学生习惯于将“平行四边形的面积计算公式直接运用于三角形的面积计算”中的现象。为此，我们将平行四边形和三角形的面积计算公式的推导过程、面积计算公式的数学结构以及公式的变式运用等三个方面来对比分析，再次思考学生错误的真实障碍。具体分析如下。

平行四边形和三角形的面积计算学习内容的对比分析

图1

图2

从以上对比中，我们可以发现：

1. 在平行四边形的面积计算公式推导过程中，我们将平行四边形转化成长方形，虽然转化前后图形的形状发生了变化，但前后两个图形的面积没有发生改变。这样的图形面积计算公式的推导方法，称为等积变换。但在三角形的面积计算公式推导过程中，将两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形，进而推导三角形的面积计算公式。像这样通过图形的拼组推导面积计算公式的方法，称为图形重组。我们可以发现，三角形的面积计算公式的推导过程与平行四边形的有明显的差异。

2．从两个计算公式的数学结构来看，由于S=12 ah 前面有系数“12

”，公式本身也比前者复杂。因此，在计算公式的逆运用时，需要先将系数“12

”转化成1，即2S=ah 。而学生在长方形或平行四边形的面积计算公式逆运用时，都直接是将面积除以一个变量，如a=S ÷b 。回顾这些学生原有面积计算的经历，发现像三角形的面积计算公式这样的数学结构还是学生第一次接触。

综上分析，我们可以知道三角形面积计算公式的推导过程、数学结构等方面都比平行四边形的复杂，对于学生的数学经历是一次跨越。

三、“三角形面积计算”的教学建议和实验结果

通过对平行四边形和三角形面积计算的多角度比较、分析，找到了学生数学学习的障碍，更为我们解决问题找到了方向。下面笔者对如何帮助学生理解三角形的面积计算公式以及克服已有学习经验的负迁移，提出几点建议。

（一）完善结论的推导过程，丰富数学体验。

在以上分析过程中，我们可以知道要帮助学生在解决问题中克服忘记“÷2”的习惯，应该有效帮助学生理解为什么“÷2”，也就是理解三角形面积计算公式的推导过程。

那么这一过程核心问题是什么？探究的起点在哪里？三角形的面积计算公式推导过程较平行四边形的复杂，其原因是需要用两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形。如果不是学生提前已知或预习，这样的联想对于学生还是有一定难度的，因此，“为什么会想用两个完全一样的三角形来拼？”是核心问题。学生的探究起点在哪里呢？在探究平行四边形面积时，学生是沿平行四边形的高剪开，通过割补转化成为长方形。在探究三角形面积时，学生很自然也会联想到沿三角形的高剪开，此时剪下后两个直角三角形无法拼出规则图形，但利用同伴剪下后的直角三角形拼成了一个平行四边边（长方形），这样的探究经验应该充分迁移。根据这样的思考，设计了如下教学思路。

【改进思路】

（1）寻找思路

①唤醒旧知：复习三角形分类，底和高的相关知识。

②提出猜测：三角形的面积计算公式。

③寻找转化思路：我们可以将三角形转化成会求面积的图形。我们会求哪些图形的面积呢？（生：平行四边形、长方形和正方形）

（2）第一次探究（剪拼）

①学生动手操作。（此时每个学生只有一个锐角三角形，且同桌之间的三角形是完全一样的。）

②反馈剪拼方法。

第一层次：学生通过动手操作，发现将这个三角形沿高剪开后很难转化。

第二层次：用沿高剪开后的直角三角形和同桌剪下的直角三角形拼成一个平行四边形（或长方形）。

师：虽然不能求出原来三角形的面积，但给了我们一个提示，像这样两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形（或长方形）。

第三层次：用自己和同桌的三角形拼成了一个平行四边形。

教师请学生把他的拼法详细介绍，引导学生进行第二次探究。

师：用这样的两个三角形可以拼成一个平行四边形。是不是其他类型的三角形都可以这样拼呢？

（3）第二次探究（拼组）（略）

这样的教学思路，尊重和有效利用了学生的学习经验，引导充分经历探究过程，并激发学生产生“用两个完全一样的三角形可以拼出平行四边形”的联想，丰富了学生的数学体验。

（二）沟通知识间的异同点，理解数学本质。

在沟通平行四边形和三角形面积计算公式时，我们可以从以下两个方面进行比较：

1、计算公式的数学结构。有关公式的数学结构前面已经进行叙述，此处不赘述。需要关注的有两点：第一，引导学生说清为什么“÷2”；第二，通过对比练习发现它们面积之间的关系，如“一个平行四边形的面积是50平方厘米，与它等底等高的三角形面积是（）平方厘米”。这样的练习，不仅可以帮助学生理解平行四边形和三角形之间的关系，而且帮助学生理解两者的计算公式。

2、计算公式的内涵。虽然两者的面积计算公式有差异，但它们都是根据图形的核心要素“底”和“高”来计算图形的面积。这种探索平面图形面积计算公式的思路，可以迁移到学生后续学习梯形、圆等图形面积计算公式之中。

（三）运用合理的解答方法，克服思维定势。

学生在逆用三角形面积计算公式时，出现像错例中直接用“面积÷底=高”的思路。其原因：一是学生对计算公式没有充分理解；二是受求长方形的长（或宽）以及平行四边形底（或高）的思路的影响，出现了思维定势。

因此，在教学中关注对这一计算公式的变式“2s=a×h”的理解，引导学生认识在已知三角形面积和底（或高）的情况下，求高（或底），可以用三角形的面积×2÷底（或高）。另一方面，要引导学生运用合理的解答方法，克服思维定势的干扰。通过引导学生主动运用列方程解答的方法解决此类问题。这样不仅克服了学生逆向思考和思维定势的干扰，还可以通过方程的变换，使学生加深对“2s=a×h”这一数学结构的理解。

在探寻本研究教学策略后，我们在F小学选择了与前面测试班级学业水平无明显差异的实验班（48人）结合提出的教学建议进行了教学，并利用以上测试题进行测试，将有关数据整理见下表。

对照班学生与实验班学生测试结果统计

从以上统计结果，可以看出本研究的教学建议对于学生学习三角形的面积计算这一内容是有一定的促进作用。

一直以来，“三角形的面积计算”这一教学内容因其教学内容的“探究性”和“开放性”被许多老师“热捧”为优质课或研究课的执教内容，也被挂上“自主、合作、探究”的外衣。什么样的教学方式才是真正的探究式教学？探究式教学的探究起点是什么？学生对于每个学习内容存在怎样的困难？这些问题都是值得我们去深思的吧！

总之，学生在数学学习过程中，会出现的各式各样错误或问题，面对这些问题我们不应停留在表面的肤浅认识，而应结合学生已有经验和教学内容本身等诸多方面去思考和改进自己的教学行为，这样才能不断提高教学质量，促进教师专业发展。

最全面的三角形面积公式 一提到三角形面积公式，大家都知道。 ① 已知三角形的底边长为a , 高为h ，则 三角形面积S= 底 ? 高 ÷2 2 ah = B 实际上，三角形面积公式太多啦，上面得公式是最基本的公式，根据条件不同，三角形面积公式也不同。 ②已知三角形的周长为l ，内切圆半径为r ，则三角形面积2 lr S = ③已知三角形的三边长的乘积为L ，外接圆半径为R ，则三角形面积4L S R = ④已知三角形AOB 中，向量 OA a =uu r r ，OB b =u u u r r ，则三角形面积S = 此公式也适用于空间三角形求面积。 ⑤已知在平面直角坐标系中，三角形ABC 的三顶点坐标分别为，11(,)A x y ，22(,)B x y ， 33C(,)x y , 则三角形面积1 1223 31 1121 x y S x y x y = 的绝对值1223311321321 2 x y x y x y x y x y x y =++---。

特别地，当(0,0)C ，或经过平移后(0,0)C ，此时，三角形面积12211 2S x y x y =-。 ⑥海伦（Heran ）公式，已知△ABC 中，1 ,,,()2 AB c BC a CA b p a b c ====++，则 三角形面积S 我国宋朝时期也有类似的三角形面积公式，即秦九韶公式，也叫三斜求积公式。 S = ⑦已知三角形两边及夹角，则三角形面积公式为 111 sin sin sin 222 S ab C bc A ca B = == ⑧已知三角形两角及夹边，则三角形面积公式为 222sin sin sin sin sin sin 2sin()2sin()2sin() c A B b A C a B C S A B A C B C === +++ ⑨已知三角形两角A 、B 及其中一边的对边a ，则三角形面积公式为 2sin()sin 2sin a A B B S A += ⑩已知空间三角形ABC 的顶点111222333(,,), (,,),(,,)A x y z B x y z C x y z 。 则三角形面积212121313131 11 22 i j k S AB AC x x y y z z x x y y z z =?=------ 的绝对值

三角形的面积计算 （本教案由北堡小学顾琴老师提供）教学内容：九年义务教育课本五年级第一学期（试用本）第61～62页 教材分析： 三角形的面积是在学生已掌握三角形的底和高的概念以及长方形、正方形和平行四边形面积计算的基础上进行教学的。通过对这部分内容的教学，使学生理解并掌握三角形面积计算公式，会应用公式计算三角形的面积，同时加深三角形与平行四边形之间内在联系的认识，培养学生的实际操作能力。进一步发展学生的空间观念和思维能力，提高学生的数学素养。学情分析： 教学目标： 1、探索三角形面积计算公式的推导过程，渗透转化的数学思想。 3、在动手操作中，使学生理解三角形面积公式的推导过程，并能正确地计算三角形的面积。 4、通过自主探究，交流，培养探索意识、发现能力和主动获取知识的能力。 5、在探索三角形面积计算公式的过程中，让每个学生体验成功的快乐。 6、培养学生爱学数学，乐学数学的情感。 7、培养学生分析、推理的能力和实际操作的能力。

教学重点：推导三角形面积计算公式并会计算三角形的面积。 教学难点：推导三角形面积计算公式。 课前准备：课件、学具（完全一样的直角三角形、锐角三角形、钝角三角形各两个。）教学过程： 一、创设情景，引出新课 师：同学们今天动物们遇到了一个难题，不知同学们愿不愿意帮 助它们解决？ 生： 师：请看屏幕：小兔 小熊 小羊 师：先看一看它们各是什么三角形？ 生：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 师：小兔、小熊、小羊它们都认为自己做的三角形最大，于是它 们争吵不休。你们能不能帮助它们解决问题呀！ 生： 师：比三角形的大小，用数学中的话说就是比什么？ 生：比三角形的大小，用数学中的话说就是比三角形的面积。

“三角形的面积计算公式的推导”教学活动设计 一、活动主题的提出 数学实践活动是教师结合学生相关数学方面的生活经验和知识背景，引导学生以自主探索或合作交流的方式，展开形式多样、丰富多彩的学习活动。“三角形面积计算公式的推导”教材是通过拼的方法探究计算方法的，从表面上看，学生动手操作了，也探究了公式的形成过程，但实际上学生仅仅机械地拼了一拼，做了一次“操作工”，他们并没有自己的猜想和创造，没有真正参与知识的产生和形成，教材所提供的学习材料缺乏思维含量，缺少挑战性，学生体会不到思考的乐趣，思维得不到充分发展，为了培养学生的探究意识和探究水平，促动学生探究的有效性，特安排主题活动“三角形面积计算公式的推导”。 二、活动目标 1．探索并掌握三角形的面积计算公式，培养学生应用已有知识解决新问题的水平。 2．使学生经历操作、观察、讨论、归纳等数学活动，进一步体会转化方法的价值，发展学生的空间观点和初步的推理水平。 3．在探索活动中使学生获得积极地情感体验，感受数学的乐趣，体会成功的喜悦，进一步培养学生学习数学的兴趣。 三、课前准备 1．分组：每4人为一小组。 2．每人准备3张正方形纸片。 3．每位同学准备尺子、剪刀、铅笔。 四、时间：一课时（不包括活动前的准备） 五、活动过程 1．检查学生课前的准备情况。 2．揭示课题 师：三角形的面积能够怎样计算呢？这就是我们这节课要研究的问题。 板书课题：三角形面积的计算公式 3．探究操作 师：（先每4人一小组分好小组）每人拿出一张正方形纸片，在上面剪一刀，要求剪下一个三角形。当然你用笔和尺子把想剪的三角形在正方形上画出来，不剪也能够。（学生剪、画） 汇报展示。（选择如下三种图） ①②③ 师：这三种剪法中哪种剪法剪下的三角形面积你能计算？你是怎么知道的？ 学生观察、思考、分析、推理、小组讨论、汇报。 第三种（图③）剪法剪下的三角形面积能计算，三角形面积正好是这个正方形面积的一半，只要把剪下的两个三角形重叠在一起，就能够发现他们完全一样（形状

三角形面积的计算 五年级数学教案 教学目标 1．理解三角形面积公式的推导过程，正确运用三角形面积计算公式进行计算． 2．培养学生观察能力、动手操作能力和类推迁移的能力． 3．培养学生勤于思考，积极探索的 学习 精神． 教学重点 理解三角形面积计算公式，正确计算三角形的面积． 教学难点 理解三角形面积公式的推导过程． 教学过程 一、复习铺垫． （一）教师提问：我们学过了哪些平面图形的面积？计算这些图形面积的公式是什么？ 教师：今天我们一起研究“三角形的面积”（板书课题） （二）共同回忆平行四边形面积的计算公式的推导过程．

二、指导探索 （一）数方格面积． 1．用数方格的方法求出第69页三个三角形的面积．（小组内分工合作） 2．演示课件：拼摆图形 3．评价一下以上用“数方格”方法求出三角形面积． （二）推导三角形面积计算公式． 1．拿出手里的平行四边形，想办法剪成两个三角形，并比较它们的大小． 2．启发提问：你能否依照平行四边形面积的方法把三角形转化成已学过的图形，再计 算面积呢？ 3．用两个完全一样的直角三角形拼． （1）教师参与学生拼摆，个别加以指导 （2）演示课件：拼摆图形 （3）讨论 ①两个完全一样的直角三角形拼成一个大三角形（第三种拼法）能帮助我们推导出 三角形面积公式吗？为什么？ ②观察拼成的长方形和平行四边形，每个直角三角形的面积与拼成的平行四边形 的面积有什么关系？

4．用两个完全一样的锐角三角形拼． （1）组织学生利用手里的学具试拼．（指名演示） （2）演示课件：拼摆图形（突出旋转、平移） 教师提问：每个三角形的面积与拼成的平行四边形的面积有什么关系？ 5．用两个完全一样的钝角三角形来拼． （1）由学生独立完成． （2）演示课件：拼摆图形 6．讨论： （1）两个完全相同的三角形都可以转化成什么图形？ （2）每个三角形的面积与拼成的平行四边形的面积有什么关系？ （3）三角形面积的计算公式是什么？ （4）如果用S表示三角形面积，用a和h表示三角形的底和高，那么三角形面积的计算公式可以写成什么？ （三）教学例1． 例1．一种零件有一面是三角形，三角形的底是5.6厘米，高是4厘米．这个三角形的面积是多少平方厘米？ 1．由学生独立解答． 2．订正答案（教师板书） 5.6×4÷2＝11.2（平方厘米） 答：这个三角形的面积是11.2平方厘米．

三角形的面积计算公式 教学目标： １、使学生理解和掌握三角形面积计算的公式，能够应用公式计算三角形的面积２、经历探索三角形面积计算方法的过程，培养学生抽象概括的能力 ３、在解决实际问题的过程中体验数学与生活的联系 教学重点：探索并掌握三角形面积计算公式，能正确计算三角形的面积。 教学难点：理解三角形面积是同底（长）等高（宽）的平行四边形面积的一半。 教学关键：让学生经历操作、合作交流、归纳发现和抽象公式的过程。 教具准备：三组三角形（直角三角形，锐角三角形，钝角三角形） 学具准备:每个小组至少准备完全一样的直角三角形、锐角三角形、钝角三角形各两个 教学过程： 一、创设情境，揭示课题 复习：平行四边形的面积公式。

大家都是少先队员吗？是少先队员就要佩戴红领巾，那你有没有观察过你所戴的红领巾是什么形状的呢？（三角形）那你有办法计算出它的面积吗？今天就让我们来学习“三角形的面积”（板书课题） （屏幕出示红领巾图） 二、动手操作，自主探究 1、大家想一想，我们学过的三角形可以分成几类呢？（板书：锐角三角形，直角三角形和钝角三角形）此时在黑板上呈现出提前准备好的三角形教具，并贴在黑板上。（将三角形的高和底分别表在图上） 将任意一组三角形（大小相等）发给学生， 提问：上节课，我们把平行四边形转化成长方形来探索平行四边形面积的计算公式的。大家猜一猜：能不能把三角形也转化成已学过的图形来求面积呢？ 讨论并试着回答问题： （1）三角形的面积与转化后的图形的面积有什么关系？ （2）三角形的底与高和转化后的图形的（）与（）有关，有什么关系？（3）利用转化的图形，你能找到计算三角形面积的方法吗？ 2、分组实验，合作学习。 （1）提出操作和探究要求。

三角形的面积计算公式 三角形的面积计算公式1.已知三角形底a，高h，则 S＝ah/22.已知三角形三边a,b,c，则（海伦公式）（p=(a+b+c)/2）S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]=（1/4）√[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]3.已知三角形两边a,b,这两边夹角C，则S＝1/2 * absinC4.设三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为r则三角形面积=(a+b+c)r/25.设三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为R则三角形面积=a bc/4R6.S△=1/2 *| a b 1 || c d 1 || e f 1 || a b 1 || c d 1 | 为三阶行列式,此三角形ABC在平面直角坐标系内A(a,b),B(c,d), C(e,f),这里ABC| e f 1 |选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取，因为这样取得出的结果一般都为正值，如果不按这个规则取，可能会得到负值，但不要紧，只要取绝对值就可以了，不会影响三角形面积的大小！7.海伦--秦九韶三角形中线面积公式:S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3其中Ma,Mb,Mc为三角形的中线长.8.根据三角函数求面积S= ½ab sinC=2R² sinAsinBsinC= a²sinBsinC/2sinA注:其中R为外切圆半径。9.根据向量求面积SΔ)= ½√(|AB|*|AC|)²-（AB*AC）

小学数学《三角形面积计算公式》教学设计 刘河小学李志强 教学内容：人教版九年义务教育六年制小学数学第九册P84 -P85. 教材分析： 人教版五年级上册84、85页三角形的面积是本单元教学内容的第二课时，是在学生掌握了三角形的特征以及长方形、正方形、平行四边形面积计算的基础上学习的，是进一步学习梯形面积和组合图形面积的基础，教材首先由怎样计算红领巾的面积这样一个实际问题引入三角形面积计算的问题，接着根据平行四边形面积公式推导的方法提出解决问题的思路，把三角形也转化成学过的图形，通过学生动手操作和探索，推导出三角形面积计算公式，最后用字母表示出面积计算公式，这样一方面使学生初步体会到几何图形的位置变换和转化是有规律的，另一方面有助于发展学生的空间观念。 学情分析： 学生在以前的学习中，初步认识了各种平面图形的特征，掌握了长方形、正方形、平行四边形的面积计算，学生学习时并不陌生，在前面的图形教学中，学生学会了运用折、剪、拼、量、算等方法探究有关图形的知识，在学习方法上也有一定的基础，教学时从学生的现实生活与日常经验出发，设置贴近生活现实的情境，通过多姿多彩的图形，把学习过程变成有趣的、充满想象和富有推理的活动。 教学目标： 1、让学生经历三角形面积计算公式的探索过程，理解三角形面积公式的来源；并能灵活运用公式解决简单的实际问题。 2、在学习活动中，培养学生的实践动手能力，合作探索意识和能力，培养创新意识和能力。 3、通过实践操作，自主探究，使学生进一步学习用转化的思想方法解决新问题培养团结互助的合作思想品质。 教学重点：三角形面积计算公式的推导。 教学难点：运用拼、剪、平移、旋转等方法，发现正方形、长方形、平形四边形及三角形面 积的相互联系推导出三角形面积计算公式。 教具准备：多媒体课件一套。 学具准备：工具（尺、剪刀），三组学具（①完全相同的锐角三角形、直角三角形、钝角三

三角形面积公式的五种推导方法 摘自：《小学数学网》六年制小学数学第九册《三角形面积的计算》一节，教材上是这样安排的：一、明确目标； 二、用数格的方式不能确定三角形的面积；三、能否转化成以前学过的图形进行计算？四、拿两个全等的直角三角形可以拼成以前学习过的学习过的长方形和平行四边形，直角三角形的面积是长方形和平行四边形面积的一半；五、验证锐角三角形和钝角三角形是否也能拼成平行四边形； 六、三次试验确定所有类型的三角形能转化成平行四边形，两者的关系是“等底等高，面积一半”； 七、总结三角形的面积公式。 我们在多次的课堂教学实践和课下辅导过程中，发现上面的几个“环节”有些地方不太符合学生的认知特点。具体分析一下： 第一步没什么问题，每个教师都有自己的导入新课的方式。 第二步也没有什么：学生在学习长方形和正方形的面积时用的是“数格”的方式。学习平行四边形时用的是切割再组合的方式，就是所谓的“转化”。在大部分学生对面积这个概念的理解还不十分透彻的情况下，面对三角形，学生们的首选方法就是“数格”。因为这是学生学习有关面积计算的第一经验，第一印象，第一个技巧。也是最简单，最直接（当然也是最麻烦）的方法。关于第三步：教材上只有一句话：能不能把三角形转化成已经学过的图形再计算面积。这是化未知为已知的思维方式，我们常给初中学生提起这些认知策略，但它的基础却在小学阶段和学生的日常生活经验中。教材把这个重要的数学思想一笔带过，把挖掘其涵，为学生建立辩证观念的重任留给了老师。但很多老师并不特别重视这句话，只是把它当作一个过渡句，当成进入下面环节的引言。 第四步。转化是一定的。但是，转化成什么？怎么转化？把三角形转化成“能计算的图形”大致有五种情况。教材推荐的是第五种（如图）。教材上的引导方式只有教师的主导性，而忽视了学生的主体位置。 前面提到，学生计算三角形面积的首选方法是数格，那么次选方法是什么？他们的第二方案应该还是在自己的经验中寻找帮助。这些经验当中，与计算面积有关的直接、简单、容易操作的容就是在前面的几节课刚学过的“切割平行四边形成长方形”的方法。他们对“切割”这个动作记忆犹新。因为：一、这个技巧刚刚学过；二、切割是个动作，但这个动作能把不规则变规则，所以印象深刻；三、这个简单的动作能完成面积计算的任务。所以他们的下一步动作会是模仿上一节课的做法，想办法切割三角形的某一角移动填补另一角，变三角形成长方形或平行四边形。

麦档网文库https://www.sodocs.net/doc/e118181411.html, (3)三角形面积计算 教学内容：p.15、16的例4、例5，试一试和练一练，第17页的第1~3题 教学目标： 1、使学生经历操作、观察、填表、讨论、归纳等数学活动，探索并掌握三角形的面积公式，能正确地计算三角形的面积，并应用公式解决简单的实际问题。 2、使学生进一步体会转化方法的价值，培养学生应用已有知识解决新问题的能力，发展学生的空间观念和初步的推理能力。 3、培养学生良好的数学兴趣和探究意识，体验数学的价值。 教学重点：理解并掌握三角形面积的计算公式。 教学难点：理解三角形面积公式的推导过程。 教学准备：学生剪好例4的图形，和第127页上的三角形 教学过程： 一、复习： 老师先在黑板上分别画一组平行四边形，（图略，底和高分别为：3和2，2和3，1和6，6和1） 学生观察后，说说这一组平行四边形有什么联系？ （形状不同、面积相同） 指出：作业中有这类题的要求，有的学生只能画一些比较雷同的平行四边形。（举例几种比较雷同的形状） 小结：做这类题应该怎么思考？ 二、学习三角形的面积： 1、取其中一个三角形，示范“沿对角线”分。观察后说说得到了什么？（两个完全一样的三角形） 为什么说是完全一样？ （方法一：分别用底和高是多少来考虑。同时可以得出：三角形和平行四边形是同底和同高的。 方法二：可以用剪好的平行四边形来分一分，比一比。 ……） 2、说面积：平行四边形的面积是多少？三角形的面积是多少？你是怎么想的？ 指出：三角形的面积是平行四边形面积的一半，知道了平行四边形的面积，只要除以2就得到了三角形的面积。 3、利用黑板上的平行四边形，画好对角线，分别告诉学生平行四边形的面积，让学生说说三角形的面积；或是告诉三角形面积，让学生说说对应的平行四边形面积。 三、操作、练习： 1、取例4的三张平行四边形，让学生分别列式算出其中一个三角形的面积。 交流。注意要让学生用综合算式来列式。 2、取第127页上的六个三角形。用两个完全一样的三角形拼平行四边形。老师巡视、指导。提问：找其中最小的平行四边形，其中一半是多少面积？最大的呢？剩下的呢？ 补充：把这些三角形打乱，选两个不完全一样的三角形，能不能拼成平行四边形呢？你有什么发现？ （1、只有完全相等的三角形才能拼成平行四边形。 2、两个直角三角形可以拼成长方形。） 3、完成三角形面积计算公式：底×高÷2 字母表示：ah÷2 四、巩固练习： 1、完成试一试。学生把算式写在书上，指名交流。 2、完成练一练。指名说说自己是怎么想的。 3、学生独立完成练习三的第1~3题。指名交流。 五、全课总结： 这节课我们认识了三角形的面积，说说怎么算？要注意什么？ 1

最全面的三角形面积公式 河北邯郸 贾敬堂 一提到三角形面积公式，大家都知道。 ① 已知三角形的底边长为a , 高为h ，则 三角形面积S= 底 ? 高 ÷2 2 ah = B 实际上，三角形面积公式太多啦，上面得公式是最基本的公式，根据条件不同，三角形面积公式也不同。 ②已知三角形的周长为l ，内切圆半径为r ，则三角形面积2 lr S = ③已知三角形的三边长的乘积为L ，外接圆半径为R ，则三角形面积4L S R = ④已知三角形AO B 中，向量 O A a =uur r ，O B b =uu u r r ，则三角形面积S = 此公式也适用于空间三角形求面积。 ⑤已知在平面直角坐标系中，三角形ABC 的三顶点坐标分别为，11(,)A x y ，22(,)B x y ， 33C(,)x y ,

则三角形面积11223 3 1 112 1 x y S x y x y = 的绝对值12233113213212 x y x y x y x y x y x y =++---。 特别地，当(0,0)C ，或经过平移后(0,0)C ，此时，三角形面积122112S x y x y = -。 ⑥海伦（Heran ）公式，已知△ABC 中，1 ,,,()2 A B c B C a C A b p a b c ====++，则 三角形面积S = 。 我国宋朝时期也有类似的三角形面积公式，即秦九韶公式，也叫三斜求积公式。 S = ⑦已知三角形两边及夹角，则三角形面积公式为 111sin sin sin 2 2 2 S ab C bc A ca B = = = ⑧已知三角形两角及夹边，则三角形面积公式为 2 2 2 sin sin sin sin sin sin 2sin() 2sin() 2sin() c A B b A C a B C S A B A C B C = = = +++ ⑨已知三角形两角A 、B 及其中一边的对边a ，则三角形面积公式为 2 sin()sin 2sin a A B B S A += ⑩已知空间三角形ABC 的顶点111222333(,,), (,,),(,,)A x y z B x y z C x y z 。 则三角形面积212121313131 11 22 i j k S AB AC x x y y z z x x y y z z =?=------ 的绝对值

三角形面积计算练习题 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT

第六讲 三角形面积计算练习题 1、计算下面三角形的面积 2 3（1）270平方厘米＝（ ）平方分米 公顷＝（ ）平方米 （2）一个三角形的底是4分米，高是30厘米，面积是（ ）平方分米。 （3）一个三角形的高是7分米，底是8分米，和它等底等高的平行四边形的面积是（ ）平方分米。 （4）一个三角形的面积是平方米，与它等底等高的平行四边形的面积是（ ） （5）一个三角形的面积比它等底等高的平行四边形的面积少平方分米，平行四边形的面积是（ ）平方分米，三角形的面积是（ ）平方分米。 （6）一个三角形和一个平行四边形的面积相等，底也相等，如果三角形的高是10米，那么平行四边形的高是（ ）米；如果平行四边形的高是10米，那么三角形的高是（ ）米。 4、判断正误（对的打√，错的打×） 1．底和高都是分米的三角形的面积是平方米。（ ） 2．两个面积相等的三角形，它们的底和高也一定相等。（ ） 3．三角形的面积等于平行四边形的面积的一半。（ ） 4．一个平行四边形可以分成两个完全一样的三角形。（ ） 5．两个面积相等的三角形可以拼成一个平行四边形。（ ） 6.直角三角形的面积等于它的两条直角边的乘积的一半。（ ） 7．三角形的底和高都扩大2倍，面积也扩大2倍。（ ） 厘米 2厘米

8．如果三角形与平行四形的底相等，高也相等，那么它们的面积也相等。（） 9．三角形的面积是和它等底等高的平行四边形面积的一半。（） 10．两个等底等高的三角形能拼成一个平行四边形。（） 11．两个完全一样的三角形能够拼成一个平行四边形。（） 12．等底等高的三角形形状不一定相同，面积一定相等。（） 13．两个完全一样的直角三角形可以拼成一个长方形（） 5．根据三角形的已知条件和问题填表。 6．应用题。 （1）一块三角形地，底长38米，高是27米，如果每平方米收小麦千克，这块地可以收小麦多少千克 （2）人民医院用一块长60米，宽米的白布做成底和高都是米的包扎三角巾，一共可做多少块 （3）如图，一个三角形的底长5米，如果底延长1米，那么面积就增加平方米。那么原来三角形的面积是多少平方米 4．一块三角形稻田，底是 90米，相当于高的倍，如果每平方米施肥千克，这块田施肥多少千克 5．一个三角形，它的底是分米，高是5分米,有一个平行四边形与它等底等高，这个平行四边形面积是多少平方分米

三角形的面积计算教案 发表日期：2008年12月25日作者：杨进秀【编辑录入：杨进秀】 三角形的面积 教学内容：课本94—95页例1、例2 教学目标：根据学过知识巧设问题情景，探究并理解平行四边形与三角形的关系，由已学的平行四边形的面积计算公式推导出三角形的面积计算公式。 教具准备：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形完全一样的各两个。 教学过程： 一、复习 说一说正方形、长方形、平行四边形的面积计算公式。 二、新授 1、引入新课：前面我们学习了平行四边形面积的计算，今天我们来学习三角形面积的计算。 2、教学三角形面积公式。 前面学习平行四边形的面积时，我们是怎样转化的？我们可以仿照前一节求平行四边形面积的方法，把三角形转化为我们已学过的图形，然后再来计算它的面积。 （2）通过操作总结三角形面积的计算公式。

A．让学生用两个完全一样的直角三角形拼成一个已学过的图形，巡堂检查。 投影出示可以拼出的三角形、长方形、平行四边形，问：这3种图形中哪些图形的面积我们会算？（长方形和平行四边形） 每个直角三角形的面积和拼出的图形面积有什么关系？ （每个直角三角形的面积是拼成的长方形或平行四边形面积的一半） B．让学生拿出两个完全一样的锐角三角形，问：用两个完全一样的锐角三角形能不能拼成一个平行四边形？ 要求：同桌两个学生一同拼摆。然后教师演示。 问：每个锐角三角形的面积和拼出的平行四边形的面积有什么关系？ （每个锐角三角形的面积是拼出的平行四边形面积的一半） C．让学生拿出两个完全一样的钝角三角形，问：用两个完全一样的钝角三角形能拼成我们学过的图形吗？ 要求：学生自己拼一拼，教师巡视，对有困难的学生给予帮助。 指一名学生在黑板用两个钝角三角形摆出一个平行四边形。 问：每个钝角三角形的面积和拼出的平行四边形的面积有

三角形面积计算练习（习题精选） 1．填空 （1）270平方厘米＝（）平方分米 1.4公顷＝（）平方米 （2）一个三角形的底是4分米，高是30厘米，面积是（）平方分米。 （3）一个三角形的高是7分米，底是8分米，和它等底等高的平行四边形的面积是（）平方分米。 （4）一个三角形的面积是4.8平方米，与它等底等高的平行四边形的面积是（） （5）一个三角形的面积比它等底等高的平行四边形的面积少12.5平方分米，平行四边形的面积是（）平方分米，三角形的面积是（）平方分米。 （6）一个三角形和一个平行四边形的面积相等，底也相等，如果三角形的高是10米，那么平行四边形的高是（）米；如果平行四边形的高是10米，那么三角形的高是（）米。 2．判断题。 （1）两个面积相等的三角形可以拼成一个平行四边形。（） （2）等底等高的两个三角形，面积一定相等。（） （3）三角形面积等于平行四边形面积的一半。（） （4）三角形的底越长，面积就越大。（） （5）三角形的底扩大2倍，高扩大3倍，面积就扩大6倍。（） 3．根据三角形的已知条件和问题填表。 底（厘米）64 高（厘米）53 面积（平方厘米）612.6 4．应用题。 （1）一块三角形地，底长38米，高是27米，如果每平方米收小麦0.7千克，这块地可以收小麦多少千克？

（2）人民医院用一块长60米，宽0.8米的白布做成底和高都是0.4米的包扎三角巾，一共可做多少块？ （3）如图，一个三角形的底长5米，如果底延长1米，那么面积就增加1.5平方米。那么原来三角形的面积是多少平方米？ （4）一个三角形的底是18厘米，面积是126平方厘米，高是多少厘米？ （5）一个等腰直角三角形的斜边长是6分米，这个等腰直角三角形的面积是多少？ 答案： 1．填空 （1）2.7；14000 （2）6 （3）56 （4）9.6平方米（5）25；12.5 （6）5；20 2．判断题。 （1）×（2）√（3）×（4）×（5）√ 3．根据三角形的已知条件和问题填表。 底（厘米）648.4 高（厘米）533 面积（平方厘米）15612.6 4．应用题。 （1）（千克） （2）（60×0.8）÷（0.4×0.4÷2）＝600（块） （3）（1.5×2÷1）×5÷2＝7.5（平方米） （4）126×2÷18＝14（厘米） （5）按常规方法，只有找出三角形的底和高才能求出三角形的面积，显然此种途径用小学所学的数学知识是行不通的。我们可以把四个完全一样的等腰直角三角形拼成一个正方形（如图） 边长是6分米的正方形是一个等腰直角三角形面积的4倍。 6×6÷4＝9（平方分米）