利用基本不等式求最值的类型及方法
本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持！
利用基本不等式求最值的类型及方法
一、几个重要的基本不等式：
①，、)(2
22
22
2
R b a b a ab ab b a ∈+≤?≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，
、)(222
+
∈??
? ??+≤?≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(3
33
333
3
3
+∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；
④)(333
3+
∈??
? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立.
注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；
② 熟悉一个重要的不等式链：b
a 112
+2a b
+≤≤≤
2
2
2b a +。 二、函数()(0)b
f x ax a b x
=+
>、图象及性质 (1)函数()0)(>+
=b a x
b
ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+
=b a x
b ax x f 、性质：
①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab Y ；
②单调递增区间：(,-∞
，)+∞
；单调递减区间：(0,
，[0). 三、用均值不等式求最值的常见类型
类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。 例1、求函数2
1
(1)2(1)y x x x =+
>-的最小值。
解析：21(1)2(1)y x x x =+
>-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-2
111
1(1)222(1)
x x x x --=+++>-
1≥312≥+52=， 当且仅当
211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是5
2
。 评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。 类型Ⅱ：求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值：
①23
(32)(0)2
y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<<
解析：①30,3202
x x <<
->Q ∴， ∴23(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=??-3
(32)[]13
x x x ++-≤=，
当且仅当32x x =-即1x =时，“=”号成立，故此函数最大值是1。
②0,sin 0,cos 02
x x x π
<<
>>Q ∴，则0y >，欲求y 的最大值，可先求2y 的最大值。
2
4
2
sin cos y x x =?2
2
2
sin sin cos x x x =??222
1(sin sin 2cos )2
x x x =??22231sin sin 2cos 4()2327x x x ++≤?=,
当且仅当22
sin 2cos x x =(0)2
x π
<
<
tan x ?=
x arc = “=”号成立，故
评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。 类型Ⅲ：用均值不等式求最值等号不成立。
例3、若x 、y +
∈R ，求4
()f x x x
=+
)10(≤ f x ax a b x =+>、图象及性质知，当(0,1]x ∈时，函数 4 ()f x x x =+是减函数。证明：任取12,(0,1]x x ∈且1201x x <<≤，则 12121244 ()()()( )f x f x x x x x -=-+-211212()4x x x x x x -=-+?1212124()x x x x x x -=-?， ∵1201x x <<≤，∴121212 4 0, 0x x x x x x --<<，则1212()()0()()f x f x f x f x ->?>， 本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持！ 即4()f x x x =+ 在(0,1]上是减函数。故当1x =时，4 ()f x x x =+在(0,1]上有最小值5。 解法二：（配方法）因01x <≤，则有4 ()f x x x = +24=+， 易知当01x <≤ 时，0μ= 且单调递减，则2()4f x =+在(0,1]上也是减函数， 即4()f x x x =+ 在(0,1]上是减函数，当1x =时，4 ()f x x x =+在(0,1]上有最小值5。 解法三：（拆分法）4 ()f x x x =+ )10(≤ +31≥5=， 当且仅当1x =时“=”号成立，故此函数最小值是5。 评析：求解此类问题，要注意灵活选取方法，特别是单调性法具有一般性，配方法及拆分法也是较为简洁实用得方法。 类型Ⅳ：条件最值问题。 例4、已知正数x 、y 满足81 1x y +=，求2x y +的最小值。 解法一：（利用均值不等式）2x y +8116()(2)10x y x y x y y x =++=+ +1018≥+=, 当且仅当81 1 16x y x y y x ?+=??? ?=??即12,3x y ==时“=”号成立，故此函数最小值是18。 解法二：（消元法）由811x y +=得8x y x =-，由00088 x y x x x >?>>?>-又，则 2x y +22(8)161616 2(8)108888 x x x x x x x x x x -+=+ =+=++=-++--- -1018≥=。 当且仅当16 88 x x -= -即12,3x y ==此时时“=”号成立，故此函数最小值是18。 解法三：（三角换元法）令228sin 1cos x x x y ?=????=??则有228sin 1cos x x y x ?=??? ?= ?? 则：22 822sin cos x y x x += +222222 8csc 2sec 8(1cot )2(1tan )108cot 2tan x x x x x x =+=+++=++ 10≥+18≥，易求得12,3x y ==此时时“=”号成立，故最小值是18。 评析：此类问题是学生求解易错得一类题目，解法一学生普遍有这样一种错误的求解方法： 812()(2)8x y x y x y +=++≥=。原因就是等号成立的条件不一致。 类型Ⅴ：利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。 例5、已知正数x y 、满足3xy x y =++，试求xy 、x y +的范围。 解法一：由0,0x y >>，则3xy x y =+ +3xy x y ?-=+≥， 即2 30-≥ 13≤-≥(舍)， 当且仅当3x y xy x y ==++且即3x y ==时取“=”号，故xy 的取值范围是[9,)+∞。 又2 3( )2 x y x y xy +++=≤2()4()120x y x y ?+-+-≥2()6x y x y ?+≤-+≥舍或， 当且仅当3x y xy x y ==++且即3x y ==时取“=”号，故x y +的取值范围是[6,)+∞。 解法二：由0,0x y >>，3(1)3xy x y x y x =++?-=+知1x ≠， 则：31x y x += -，由3 0011 x y x x +>?>?>-， 则：2233(1)5(1)44 (1)51111 x x x x x xy x x x x x x ++-+-+=?===-++--- -59≥=， 当且仅当4 1(0)31 x x x x -= >=-即，并求得3y =时取“=”号，故xy 的取值范围是[9,)+∞。 314441(1)2261111x x x y x x x x x x x x +-++=+ =+=++=-++≥=----， 当且仅当4 1(0)31 x x x x -= >=-即，并求得3y =时取“=”号，故xy 的取值范围是[9,)+∞。 评析：解法一具有普遍性，而且简洁实用，易于掌握，解法二要求掌握构造的技巧。 四、均值不等式易错例析： 例1. 求函数()() y x x x = ++49的最值。 错解：()()y x x x x x x = ++=++491336 2=++≥+?=133********x x x x 本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持！ 当且仅当x x = 36 即x =±6时取等号。所以当x =±6时，y 的最小值为25，此函数没有最大值。 分析：上述解题过程中应用了均值不等式，却忽略了应用均值不等式求最值时的条件导致错误。因为函数()() y x x x = ++49的定义域为()()-∞+∞，，00Y ，所以须对x 的正负加以分类讨论。 正解：1）当x >0时，25362133613=?+≥+ +=x x x x y 当且仅当x x = 36 即6=x 时取等号。所以当x =6时，y min =25 2）当x <0时，->- >x x 036 0，， ()()-+-?? ???≥--?? ???=x x x x 3623612 当且仅当-=- x x 36 ，即x =-6时取等号，所以当x =-6时，y max =-=13121. 例2. 当x >0时，求y x x =+49 2的最小值。 错解：因为x y x x x x x >=+ ≥?=049249622， 所以当且仅当492x x =即x =943 时，y x min ==6 2183。 分析：用均值不等式求“和”或“积”的最值时，必须分别满足“积为定值”或“和为定值”，而上述解法中4x 与 9 2 x 的积不是定值，导致错误。 正解：因为x y x x x x x x x x >=+=++≥??=0492293229 3362223 3， 当且仅当29 2x x =，即x =3623时等号成立，所以当x =3623 时，y min =3363。 例3. 求y x x x R = ++∈22 54 ()的最小值。 错解：因为y x x x x x x = ++=++ +≥+? +=22 22 22 54 414 2 414 2，所以y min =2 分析：忽视了取最小值时须 x x 2 2 414 += +成立的条件，而此式化解得x 2 3=-，无解，所 以原函数y 取不到最小值2。 正解：令()t x t = +≥242，则y t t t =+≥1 2() 又因为t ≥1时，y t t =+1是递增的。所以当t =2，即x =0时，y min =5 2 。 例4.已知+ ∈R y x ,且 14 1=+y x ，求y x u +=的最小值. 错解：44411≥?≥+= xy xy y x Θ ,82≥≥+=∴xy y x u ,u ∴的最小值为8. 分析：解题时两次运用均值不等式，但取等号条件分别为y x 4 1=和y x =，而这两个式子不能同时成立，故取不到最小值8. 正解：94545)41)( (=+≥++=++=x y y x y x y x u 当且仅当 x y y x =4即6,3==y x 时等号成立. u ∴的最小值为9. 综上所述，应用均值不等式求最值要注意： 一要正：各项或各因式必须为正数； 二可定：必须满足“和为定值”或“积为定值”，要凑出“和为定值”或“积为定值”的式子结构，如果找不出“定值”的条件用这个定理，求最值就会出错； 三能等：要保证等号确能成立，如果等号不能成立，那么求出的仍不是最值。 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x --g 不是常数，所以对42x -要进行 拆、凑项，5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--?? 231≤-+=， 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 技巧二：凑系数 例2. 当时，求(82)y x x =-的最大值。 解析：由知，，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。 当 ，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。 本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持！ 技巧三： 分离 例3. 求2 710 (1)1 x x y x x ++= >-+的值域。 解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x ＋1）的项，再将其分离。 当 ,即 时,4 21)591 y x x ≥+? +=+（（当且仅当x ＝1时取“＝”号）。 技巧四：换元 解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t =x ＋1，化简原式在分离求最值。 当 ,即t = 时,4 59y t t ≥? =（当t =2即x ＝1时取“＝”号）。 技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a f x x x =+的单调性。例：求函数22 4 y x = +的值域。 2 4(2)x t t +=≥，则224 y x = +221 4(2)4 x t t t x =+=+≥+ 因1 0,1t t t >?=，但1t t =解得1t =±不在区间[)2,+∞，故等号不成立，考虑单调性。 因为1y t t =+在区间[)1,+∞单调递增，所以在其子区间[)2,+∞为单调递增函数，故52 y ≥。 所以，所求函数的值域为5,2??+∞???? 。 技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。 2：已知0,0x y >>，且 19 1x y +=，求x y +的最小值。 解：19 0,0,1x y x y >>+=Q ，()1991061016y x x y x y x y x y ??∴+=++=++≥+= ??? 当且仅当 9y x x y =时，上式等号成立，又191x y +=，可得4,12x y ==时，()min 16x y += 。 巩固练习： 1、已知：b n m a y x =+=+2 2 2 2 ,且b a ≠，则ny mx +的最大值为( ) (A)ab (B)2b a + (C)2 2 2b a + (D)222b a + 2、若+ ∈R y x a ,,，且y x a y x +≤+恒成立，则a 的最小值是( ) (A)22 (B)2 (C)2 (D)1 3、已知下列不等式：①)(233 + ∈>+R x x x ；②),(3 2 2 3 5 5 + ∈+≥+R b a b a b a b a ； ③)1(22 2 --≥+b a b a .其中正确的个数是( ) (A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个 4、设+ ∈R b a ,，则下列不等式中不成立的是( ) (A)4)11)((≥++b a b a (B) ab ab b a 222≥+ (C)21≥+ab ab (D)ab b a ab ≤+2 5、设+ ∈R b a ,且2242,12b a ab S b a --==+的最大值是( ) (A)12- (B) 212- (C)12+ (D)2 1 2+ 6、若实数b a ,满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是( ) (A)18 (B)6 (C)32 (D)432 7、若正数b a ,满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 . 8、若+ ∈R y x ,,且12=+y x ，则 y x 1 1+的最小值为 . 利用基本不等式求最值的技巧 在运用基本不等式ab b a 222≥+与2b a ab +≤ 或其变式解题时,要注意如下技巧 1：配系数 【例1】已知2 30< 【解】由于2>x ,所以, 3124)2(2124)2(2)2(3)22(26322=+-?-≥+-+-=---+-=-+-=x x x x x x x x x x y 当且仅当2 42-=-x x 即4=x 时，3min =y . 4:巧用”1”代换 【例4】已知正数y x ,满足12=+y x ,求y x 21+的最小值. 【解】注意到844244)21()2(21=+?≥++=+?+=+x y y x x y y x y x y x y x ,当且仅当x y y x =4即2 1,41==y x 时，8)21(min =+y x . 一般地有,2)())((bd ac y d x c by ax +≥++,其中d c b a y x ,,,,,都是正数.这里巧妙地利用”1”作出了整体换元,从而使问题获得巧解. 【例5】已知正数z y x ,,满足1=++z y x ，求z y x 941++的最小值. 【解】注意到y z z y x z z x x y y x z y x z y x z y x 499414)941()(941++++++=++?++=++ 36492924214=?+?+?+≥y z z y x z z x x y y x ,当且仅当x y y x =4,x z z x =9,y z z y 49=即2 1,31,61===z y x 时，36)941(min =++z y x . 5:换元 【例6】已知c b a >>,求c b c a b a c a w --+--=的最小值. 【解】设c b y b a x -=-=,,则c a y x -=+,y x ,都是正数,所以42≥++=+++=x y y x y y x x y x w ,当且仅当x y y x =即b c a 2=+时， 基本不等式应用利用基本不等式求最值的技巧题型 分析 The latest revision on November 22, 2020 基本不等式应用 一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和 为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋ 12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：（1）y ＝3x 2＋ 1 2x 2 ≥23x 2· 1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4 x <，求函数14245 y x x =-+ -的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42) 45 x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 高三理应培优 （用均值不等式求最值的类型及解题技巧） 均值不等式是《不等式》一章重要内容之一，是求函数最值的一个重要工具，也是高考常考的一个重要知识点。要求能熟练地运用均值不等式求解一些函数的最值问题。 一、几个重要的均值不等式 ①，、)(2 22 22 2 R b a b a ab ab b a ∈+≤?≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②， 、)(222 + ∈?? ? ??+≤?≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③， 、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； ④)(333 3 + ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立. 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链： b a 11 2 +2 a b ab +≤≤≤2 2 2b a +。 二、函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+=b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ； ②单调递增区间：(,]b a -∞- ，[,)b a +∞；单调递减区间：(0,]b a ，[,0)b a -. 三、用均值不等式求最值的常见类型与解题技巧 类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。 例1、求函数2 1 (1)2(1)y x x x =+ >-的最小值。 （技巧1：凑项）解：21(1)2(1)y x x x =+ >-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-2 111 1(1)222(1) x x x x --=+++>- x a b ab 2-ab 2a b - o y 利用基本不等式求最值的类型及方法 一、几个重要的基本不等式： ①，、)(2 22 22 2 R b a b a a b ab b a ∈+≤ ?≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②， 、)(222 + ∈?? ? ??+≤?≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； ④)(333 3 + ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立. 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链：b a 112 +2a b ab +≤≤≤ 2 2 2b a +。 二、函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ； ②单调递增区间：(,]b a -∞，[,)b a +∞；单调递减区间：(0,b a ，[,0)b a . 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。 例1、求函数2 1 (1)2(1)y x x x =+ >-的最小值。 解析：21(1)2(1)y x x x =+ >-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-2 111 1(1)222(1)x x x x --=+++>- 3 2 111 31 222(1)x x x --≥??-312≥+52=， 当且仅当 211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是5 2 。 评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。 类型Ⅱ：求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值： ①23 (32)(0)2 y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<< 解析：① 30,3202 x x <<->∴， ∴23(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=??-3 (32)[]13 x x x ++-≤=， 当且仅当32x x =-即1x =时，“=”号成立，故此函数最大值是1。 ② 0,sin 0,cos 02 x x x π << >>∴，则0y >，欲求y 的最大值，可先求2y 的最大值。 2 4 2 sin cos y x x =?2 2 2 sin sin cos x x x =??222 1(sin sin 2cos )2 x x x =??22231sin sin 2cos 4()2327x x x ++≤?=, 当且仅当22 sin 2cos x x =(0)2 x π << tan 2x ?=2x arc = “=”号成立，故 23 评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要 通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。 类型Ⅲ：用均值不等式求最值等号不成立。 例3、若x 、y + ∈R ，求4 ()f x x x =+ )10(≤ 基本不等式应用 一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab (当且仅当 b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：（1）y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 均值不等式求最值的方法 均值不等式是求函数最值的一个重要工具，同时也是高考常考的一个重要知识点。下面谈谈运用均值不等式求解一些函数的最值问题的方法和技巧。 一、几个重要的均值不等式 ①，、)(2 22 22 2 R b a b a ab ab b a ∈+≤?≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②， 、)(222 + ∈?? ? ??+≤?≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； ④)(333 3 + ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=” 号成立. 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链：b a 112 +2a b +≤≤≤ 2 2 2b a +。 二、用均值不等式求最值的常见的方法和技巧 1、求几个正数和的最小值。 例1、求函数2 1 (1)2(1) y x x x =+>-的最小值。 解析： 21(1)2(1)y x x x =+ >-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-2 111 1(1)222(1) x x x x --=+++>- 1 ≥312≥+52=，当且仅当211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是5 2 。 评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。 2、求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值： ①23 (32)(0)2 y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<< 解析： ①30,3202x x <<->∴，∴23 (32)(0)(32)2 y x x x x x x =-<<=??- 1 利用基本不等式求最值的类型及方法 1 解析：y x 2(x 1) (x 2(x 1) 1) 芳 1(x 1) -1 ?」1(x 1) 2 2 2(x 1) 、几个重要的基本不等式: ① a 2 b 2 2ab a 2 b 2 ab （a 、b R ）,当且仅当a = b 时，"=”号成立; 2 1 2 2(x 1) ② a b 2 ab 2 a b ab （a 、b R ），当且仅当a = b 时，“=”号成立; 2 当且仅当 1)即x 2时，“ 5 ”号成立，故此函数最小值是 -。 2 ③ a 3 b 3 c 3 3abc 3 abc ― b 3 3 3 c ( (a 、 立； ④ a b c 3v abc abc a b 3 c (a abc 3 a 、 b 、 c R ），当且仅当a = b = c 时，“=”号成 b 、 c R ）,当且仅当a = b = c 时，“=”号 成立? 注：①注意运用均值不等式求最值时的条件：一 “正”、二“定”、三“等”； 评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常 要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。 类型n ：求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值： ①y x 2 (3 2x)(0 x 2 ② y sin xcosx(0 x ) 2 ② 熟悉一个重要的不等式链: b 2 2 解析：①Q 0 x - ,? 3 2 2x ?- y 当且仅当 (3 2x)(0 x 3 2x 即 x ,?? sin x 2 3 x x (3 2x) 3 )x x (3 2x) [ ] 1 , 2 3 1时，“=”号成立，故此函数最大值是 1 。 0,cos x 0，则y 0 ,欲求y 的最大值，可先求y 2的最大值。 二、函数 f(x) ax X b 0）图象及性质 （1）函数 f(x) ax b a 、 X b 0图象如图： ⑵函数 f(x) ax b a 、 X b 0性质： ①值域：（ J 2 ab] [2 一ab,)； ②单调递增区间：（ 2 . 4 2 y sin x cos x 当且仅当 故此函数最大值是 sin 2 x sin 2 x coSx 1 2 2 2 (sin x sin x 2cosx) 2 1 sin 2 x sin 2x 2co^ x 3 4 「 -------- —) 刃 .2 sin x 2cos x (0 tan x 2，即 x arctan^^ 时“=”号成立, ）;单调递减区间: b ], a ，［ (0, ,0) ? 评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要 通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。 类型川：用均值不等式求最值等号不成立。 4 x — x 例 3、若 x 、y R ，求 f （x ） （0 x 1）的最小 值。 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型I ：求几个正数和的最小值。 解法一：（单调性法）由函数 f(x) K ax - （a 、b 0）图象及性质知，当 x （0,1］时，函数 x 例1、求函数y 1 x 2^（x 1） 的最小值。 f （x ） x -是减函数。证明: x 任取 X 2 (0,1]且 0 禺 X 2 1，则 f(xj f(X 2) (X 1 X 2) (— —) (X 1 X 2)4 匹 为 (X 1 X 2)4 , x-1 X 2 X !X 2 X 1X 2 利用基本不等式求最值的常用技巧及练习题（含解答）（经典） 一．基本不等式的常用变形 1.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=” ）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当 _____________时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当____________时取“=”） 2.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当____________时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当_________时取“=” ） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定植时， 可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等” 二、利用基本不等式求最值的技巧： 技巧一：直接求： 例1 已知,x y R + ∈，且满足 134 x y +=，则xy 的最大值为 ________。 解：因为x >0，y>0 ，所以 34x y +≥=当且仅当34x y =，即x=6，y=8时取等 号) 1， 3.xy ∴≤，故xy 的最大值3. 变式：若44log log 2x y +=，求11 x y +的最小值.并求x ,y 的值 解：∵44log log 2x y += 2log 4=∴xy 即xy=16 2 1211211==≥+∴xy y x y x 当且仅当x=y 时等号成立 技巧二：配凑项求 例2：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 基本不等式应用解题技巧归纳 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。 技巧三： 分离 例3. 求2710(1)1 x x y x x ++=>-+的值域。 技巧四：换元 技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a f x x x =+的单调性。例：求函数2 y = 练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值. （1）231,(0)x x y x x ++=> （2）12,33y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈ 2．已知01x <<，求函数y = 的最大值.；3．203x <<，求函数y =. 条件求最值 1.若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是 . 变式：若44log log 2x y +=，求11x y +的最小值.并求x ,y 的值 技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。 2：已知0,0x y >>，且 191x y +=，求x y +的最小值。 变式： （1）若+∈R y x ,且12=+ y x ，求y x 11+的最小值 (2)已知+∈R y x b a ,,,且1=+y b x a ，求y x +的最小值 技巧七、已知x ，y 为正实数，且x 2 ＋y 22 ＝1，求x 1＋y 2 的最大值. 技巧八：已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab 的最小值. 变式：1.已知a >0，b >0，ab －(a ＋b )＝1，求a ＋b 的最小值。 2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。 用均值不等式求最值的方法和技巧 一、几个重要的均值不等式 ①，、)(2 22 2 2 2 R b a b a a b ab b a ∈+≤?≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②， 、)(222 + ∈?? ? ??+≤?≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(3 33 33 3 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； ④) (333 3 +∈? ? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立. 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链：b a 112+ 2a b ab +≤≤≤ 2 2 2 b a +。 一、拼凑定和 通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。 例１ (1) 当时，求(82)y x x =-的最大值。 (2) 已知01x <<，求函数3 2 1y x x x =--++的最大值。 解：()()()()()()2 22 111111y x x x x x x x =-+++=+-=+- ()()3 11111322241422327 x x x x x x ++?? ++- ?++=???-≤= ? ??? 。 当且仅当1 12x x +=-，即13 x =时，上式取“=”。故max 3227 y = 。 评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，求“积”的最大值。 例2 求函数)01y x x =<<的最大值。 解： y ==。 因 ()()3 2222221122122327x x x x x x ??++- ???-≤= ? ? ? ?? ， 当且仅当 ()2 212 x x =-，即3x =时，上式 取“ =”。故max 9 y = 。 评注：将函数式中根号外的正变量移进根号内的目的是集中变元，为“拼凑定和”创造条件。 例3 已知02x <<，求函数()2 64y x x =-的最大值。 解：()()()2 2 2 22 2 2 36418244y x x x x x =-=?-- ()()3 2223 24418818327x x x ??+-+-?? ?≤=???? 。 当且仅当()2 2 24x x = -，即3x =时，上 式取“=”。 专题：基本不等式求最值的类型及方法 一、几个重要的基本不等式： ①，、)(2 22 22 2 R b a b a a b ab b a ∈+≤ ?≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②， 、)(222 + ∈?? ? ??+≤?≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③， 、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； ④)(333 3+ ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立. 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链： b a 11 2 +2 a b +≤≤≤2 2 2b a +。 二、函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+=b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ； ②单调递增区间：(,-∞ ，)+∞ ；单调递减区间：(0, ，[0). 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。 例1、求函数2 1 (1)2(1) y x x x =+ >-的最小值。 解析：21(1)2(1)y x x x =+ >-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-2 111 1(1)222(1)x x x x --=+++>- 1≥312≥+52=， 当且仅当 2 11 (1) 22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是52。 评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。 类型Ⅱ：求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值： ①2 3 (32)(0)2 y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<< 解析：① 3 0,3202 x x <<->∴， ∴2 3(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=??-3(32)[ ]13 x x x ++-≤=， 当且仅当32x x =-即1x =时，“=”号成立，故此函数最大值是1。 ② 0,sin 0,cos 02 x x x π << >>∴，则0y >，欲求y 的最大值，可先求2y 的最大值。 2 4 2 sin cos y x x =?2 2 2 sin sin cos x x x =??222 1(sin sin 2cos )2x x x =??22231sin sin 2cos 4( )2327 x x x ++≤?=, 当且仅当22 sin 2cos x x =(0)2 x π < < tan x ?=tan x arc =时 “=”号成立，故 评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要 通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。 类型Ⅲ：用均值不等式求最值等号不成立。 例3、若x 、y + ∈R ，求4 ()f x x x =+ )10(≤ 【高考地位】 基本不等式是《不等式》一章重要内容之一，是求函数最值的一个重要工具，也是高考常考的一个重要知识点。应用基本不等式求最值时，要把握基本不等式成立的三个条件“一正二定三相等”，忽略理任何一个条件，就会导致解题失败，因此熟练掌握基本不等式求解一些函数的最值问题的解题策略是至关重要的。【方法点评】 方法一凑项法 使用情景：某一类函数的最值问题 解题模板：第一步根据观察已知函数的表达式，通常不符合基本不等式成立的三个条件“一正二定三相等”，将其配凑（凑项、凑系数等）成符合其条件； 第二步使用基本不等式对其进行求解即可； 第三步得出结论. 例1已知 5 4 x<，求函数1 42 45 y x x =-+ - 的最大值。 【答案】 max 1 y=. 第三步，得出结论： 故当1x =时，max 1y =。学#科网 点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 【变式演练1】【江苏省盐城市阜宁中学2017-2018学年高二上学期第一次学情调研数学（文）试题】函数 4 2(0)y x x x =-->的最大值为________. 【答案】-2 【解析】4422242y x x x x ?? =---+≤-- ??? ＝２＝， 当且仅当4 x x ＝ ，即x ＝２时，“＝”成立 【变式演练2】【2018届山西高三上期中数学（理）试卷】当1x >时，不等式1 1 x a x + ≥-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,2]-∞ B ．[2,)+∞ C ．[3,)+∞ D ．(,3]-∞ 【答案】D 【解析】 考点：均值不等式． 方法二 分离法 使用情景：某一类函数的最值问题 解题模板：第一步 首先观察已知函数的表达式的特征，如分子（或分母）是二次形式且分母（或分子）是一次形式； 第二步 把分母或分子的一次形式当成一个整体，并将分子或分母的二次形式配凑成一次形式的二次函数形式； 第三步 将其化简即可得到基本不等式的形式，并运用基本不等式对其进行求解即可得出所求的结果. 三元均值不等式求最值 三元均值不等式： 例1、求函数)0(,322>+=x x x y 的最大值 例2、求函数)01y x x =<<的最大值。 例3、 已知01x <<，求函数321y x x x =--++的最大值。 例4、已知02x <<，求函数()264y x x =-的最大值。 练习： 1、求函数)(,422+∈+=R x x x y 的最小值。 2、0>x 时，求236x x y += 的最小值。 3、求函数)20(,)2(2a x x a x y <<-= 的最大值。 4、若10< 绝对值不等式 例1、证明（1） b a b a +≥+，（2）b a b a -≥+ 例2、证明 b a b a b a +≤-≤-。 例3、证明 c b c a b a -+-≤-。 例4、已知 2,2c b y c a x <-<-，求证.)()(c b a y x <+-+ 例5、已知 .6,4a y a x <<求证：a y x <-32。 练习： 1、已知 .2,2c b B c a A <-<-求证：c b a B A <---)()(。 2、已知 .6 ,4c b y c a x <-<-求证：c b a y x <+--3232。 解含绝对值不等式 例1、解不等式213+<-x x 。 例2、解不等式x x ->-213。 例3、解不等式 52312≥-++x x 。 例4、解不等式 512≥-+-x x 。 例5、不等式 31++-x x >a ，对一切实数x 都成立，求实数a 的取值范围。 练习： 1、423+≤-x x . 2、x x -≥+21. 3、1422<--x x 4、212+>-x x . 5、 42≥-+x x 6、.631≥++-x x 7、 21<++x x 8、.24>--x x 专题：利用均值不等式求最值 基本公式: 1.x ，y ∈R +，x+y ≥2xy （当且仅当x =y 时取“=”号） 2.x ，y ∈R +，xy ≤2()2x y +（当且仅当x =y 时取“=”号） 3. 222()22x y x y ++≤（当且仅当x =y 时取“=”号） 题型1：和型b ax x +的最值 例1.⑴若x >3,求函数1y x =+的最小值； ⑵若x >3,求函数231x y x +=-的最小值； 解: ⑴11333533y x x x x =+=-++≥=-- 当且仅当133x x -=-,即4x =时,等号成立. ⑵223134411261111 x x y x x x x x x +-+===++=-++≥---- 当且仅当411x x -=-,即3x =时, 等号成立. 点评：用均值求最值时，要注意“一正．．，二定．．，三相等．．． ” 练习:若0x <,求函数133y x x =+的最大值. 例2. 求函数2y 的最小值. 解 :2y 设2)t t ≥,则1y t t =+在[2,)+∞上单调递增, ∴当2t =,即0x =时,y 有最小值52 练习:该题不能使用均值不等式求最值(等号不成立) 错解: 22y 【练习】若k θπ≠,求函数24 sin sin y θθ=+的最小值. 题型2：积型()ax c dx -的最值 例3.⑴若0 基本不等式应用利用基本不等式求最值的技巧 题型分析 This model paper was revised by LINDA on December 15, 2012. 基本不等式应用 一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取 “=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时 取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植 时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋ 12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：（1）y ＝3x 2＋ 1 2x 2 ≥23x 2· 1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--?? 231≤-+= 专题：基本不等式求最值的类型及方法 解析：y x 1 2(x 1) (x 2(x 1) 1) 2(x L 2LJ 2 1(x 1) 2 2 2(x 1) 、几个重要的基本不等式: ①a 2 b 2 2ab ab a 2 b 2 (a 、 x 1 x 1 33 立; b R),当且仅当a = b 时，“=”号成立; 2 2(x 1) ③a 3 成立? 注: 二、函数 b 3 2 ab ab 2 (a 、 当且仅当 b R )，当且仅当a = b 时，“=”号成立; 2(x 2(x 1)2 1)即x 2时，“ 5 ”号成立，故此函数最小值是 - 2 3 c 3 3abc abc — b 3 c 3 3 -(a 、 b 、 R )，当且仅当a = b = c 时，“=”号成 评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常 要通过添加常数、拆项(常常是拆底次的式子)等方式进行构造。 类型n ：求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值： 3 3 ----- abc , b c 3v abc abc ---------------- (a 、 3 ① 注意运用均值不等式求最值时的条件: ② 熟悉一个重要的不等式链: ab f(x) ax b (a 、 x 0)图象及性质 (1)函数 f (x) ax a 、 0图象如图: (2)函数 f(x) ax a 、 0性质: ①值域: ,2 ab] [2 ab,); R ),当且仅当a = b = c 时，“=”号 定 、三 等 ; 2 2 a b J -------------- 2 ①y x 2 解析：①Q 0 ?- y (3 2x)(0 x x - ,? 3 2 当且仅当 2 . 4 2 y sin x cos x 当且仅当 故此函数最大值是 (3 2x)(0 ②单调递增区间：( );单调递减区间: :], (0, ］ ， ,0). 2x x 3 2x 即 x ,?? sin x 2 sin 2 x sin 2 x .2 sin x 2 ② y sin xcosx(0 x ) 2 3 x x (3 2x) 3 )x x (3 2x) [ ] 1 , 2 3 1时，“=”号成立，故此函数最大值是 1 。 0,cos x 0，则y 0 ,欲求y 的最大值，可先求y 2的最大值。 coSx 2cos x (0 1 2 2 2 (sin x sin x 2cosx) 2 1 sin 2 x sin 2x 2co^ x 3 4 二 -------- —) 刃 tan x 2，即 x arctan^^ 时“=”号成立, 评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要 通过乘以或除以常数、拆因式(常常是拆高次的式子)、平方等方式进行构造。 类型川：用均值不等式求最值等号不成立。 4 x — x 例 3、若 x 、y R ，求 f (x) (0 x 1)的最小值。 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型I ：求几个正数和的最小值。 解法一：(单调性法)由函数 f(x) K ax 一(a 、b 0)图象及性质知，当 x (0,1］时，函数 x 例1、求函数y x 1 2(x 1)的最小值。 2(x 1)2 f (x) x -是减函数。证明: x 任取 X 2 (0,1]且 0 禺 X 2 1，则利用基本不等式求最值的技巧Word文档
基本不等式应用利用基本不等式求最值的技巧题型分析
用均值不等式求最值的类型及方法
利用基本不等式求最值的类型及方法
(全)基本不等式应用_利用基本不等式求最值的技巧_题型分析
均值不等式求最值的方法
利用基本不等式求最值的类型及方法
均值不等式求最值的常用技巧及习题
基本不等式应用-解题技巧归纳
均值不等式求最值的十种方法
基本不等式求最值的类型与方法,经典大全
专题27 应用基本不等式求最值的求解策略高中数学黄金解题模板
三元均值不等式求最值及绝对值不等式
利用均值不等式求最值
基本不等式应用利用基本不等式求最值的技巧题型分析
基本不等式求最值的类型及方法,经典大全
相关文档
- 用基本不等式求最值的类型及方法OK(参考模板)
- 用基本不等式求最值六种方法
- 利用基本不等式求最值的类型及方法
- 用基本不等式求最值的常见类型及解题方法
- (全)基本不等式应用,利用基本不等式求最值的技巧,题型分析
- 利用基本不等式求最值
- 利用基本不等式求最值的类型及方法
- 利用基本不等式求最值技巧
- 利用基本不等式求最值的类型及方法
- 基本不等式求最值问题
- 用基本不等式求最值六种方法
- 用基本不等式求最值六种方法
- 利用基本不等式求最值的技巧
- 利用基本不等式求最值
- 利用基本不等式求最值的技巧
- 基本不等式求最值的类型及方法,经典大全
- 基本不等式应用利用基本不等式求最值的技巧题型分析
- 利用基本不等式求最值的技巧(题目)
- 均值不等式求最值的常用技巧及习题含解答：经典
- 利用基本不等式求最值