经典数学悖论
经典数学悖论
古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。
本文将根据悖论形成的原因，粗略地把它归纳为六种类型，分上、中、下三个部份。这是第一部份：由概念自指引发的悖论和引进无限带来的悖论
（一）由自指引发的悖论
以下诸例都存在着一个概念自指或自相关的问题：如果从肯定命题入手，就会得到它的否定命题；如果从否定命题入手，就会得到它的肯定命题。
１－１谎言者悖论
公元前六世纪，哲学家克利特人艾皮米尼地斯（Ｅｐｉｍｅｎｉｄｅｓ）：“所有克利特人都说谎，他们中间的一个诗人这么说。”这就是这个著名悖论的来源。
《圣经》里曾经提到：“有克利特人中的一个本地中先知说：…克利特人常说谎话，乃是恶兽，又馋又懒?”（《提多书》第一章）。可见这个悖论很出名，但是保罗对于它的逻辑解答并没有兴趣。
人们会问：艾皮米尼地斯有没有说谎？这个悖论最简单的形式是：
１－２“我在说谎”
如果他在说谎，那么“我在说谎”就是一个谎，因此他说的是实话；但是如果这是实话，他又在说谎。矛盾不可避免。它的一个翻版：
１－３“这句话是错的”
这类悖论的一个标准形式是：如果事件Ａ发生，则推导出非Ａ，非Ａ发生则推导出Ａ，这是一个自相矛盾的无限逻辑循环。拓扑学中的单面体是一个形像的表达。
哲学家罗素曾经认真地思考过这个悖论，并试图找到解决的办法。他在《我的哲学的发展》第七章《数学原理》里说道：“自亚里士多德以来，无论哪一个学派的逻辑学家，从他们所公认的前提中似乎都可以推出一些矛盾来。这表明有些东西是有毛病的，但是指不出纠正的方法是什么。在１９０３年的春季，其中一种矛盾的发现把我正在享受的那种逻辑蜜月打断了。”
他说：谎言者悖论最简单地勾画出了他发现的那个矛盾：“那个说谎的人说：…不论我说什么都是假的?。事实上，这就是他所说的一句话，但是这句话是指他所说的话的总体。只是把这句话包括在那个总体之中的时候才产生一个悖论。” （同上）
罗素试图用命题分层的办法来解决：“第一级命题我们可以说就是不涉及命题总体的那些命题；第二级命题就是涉及第一级命题的总体的那些命题；其余仿此，以至无穷。”但是这一方法并没有取得成效。“１９０３年和１９０４年这一整个时期，我差不多完全是致力于这一件事，但是毫不成功。”（同上）
《数学原理》尝试整个纯粹的数学是在纯逻辑的前提下推导出来的，并且使用逻辑术语说明概念，回避自然语言的歧意。但是他在书的序言里称这是：“发表一本包含那么许多未曾解决的争论的书。”可见，从数学基础的逻辑上彻底地解决这个悖论并不容易。
接下来他指出，在一切逻辑的悖论里都有一种“反身的自指”，就是说，“它包含讲那个总体的某种东西，而这种东西又是总体中的一份子。”这一观点比较容易理解，如果这个悖论是克利特以为的什么人说的，悖论就会自动消除。但是在集合论里，问题并不这么简单。
１－４理发师悖论
在萨维尔村，理发师挂出一块招牌：“我只给村里所有那些不给自己理发的人理发。”有人问他：“你给不给自己理发？”理发师顿时无言以对。
这是一个矛盾推理：如果理发师不给自己理发，他就属于招牌上的那一类人。有言在先，他
应该给自己理发。反之，如果这个理发师给他自己理发，根据招牌所言，他只给村中不给自己理发的人理发，他不能给自己理发。
因此，无论这个理发师怎么回答，都不能排除内在的矛盾。这个悖论是罗素在一九○二年提出来的，所以又叫“罗素悖论”。这是集合论悖论的通俗的、有故事情节的表述。显然，这里也存在着一个不可排除的“自指”问题。
１－５集合论悖论
“Ｒ是所有不包含自身的集合的集合。”
人们同样会问：“Ｒ包含不包含Ｒ自身？”如果不包含，由Ｒ的定义，Ｒ应属于Ｒ。如果Ｒ包含自身的话，Ｒ又不属于Ｒ。
继罗素的集合论悖论发现了数学基础有问题以后，１９３１年歌德尔（Kurt Godel ，１９０６－１９７８，捷克人）提出了一个“不完全定理”，打破了十九世纪末数学家“所有的数学体系都可以由逻辑推导出来”的理想。这个定理指出：任何公设系统都不是完备的，其中必然存在着既不能被肯定也不能被否定的命题。例如，欧氏几何中的“平行线公理”，对它的否定产生了几种非欧几何；罗素悖论也表明集合论公理体系不完备。
１－６书目悖论
一个图书馆编纂了一本书名词典，它列出这个图书馆里所有不列出自己书名的书。那么它列不列出自己的书名？
这个悖论与理发师悖论基本一致。
１－７苏格拉底悖论
有“西方孔子”之称的雅典人苏格拉底（Ｓｏｃｒａｔｅｓ，公元前４７０－前３９９）是古希腊的大哲学家，曾经与普洛特哥拉斯、哥吉斯等著名诡辩家相对。他建立“定义”以对付诡辩派混淆的修辞，从而勘落了百家的杂说。但是他的道德观念不为希腊人所容，竟在七十岁的时候被当作诡辩杂说的代表。在普洛特哥拉斯被驱逐、书被焚十二年以后，苏格拉底也被处以死刑，但是他的学说得到了柏拉图和亚里斯多德的继承。
苏格拉底有一句名言：“我只知道一件事，那就是什么都不知道。”
这是一个悖论，我们无法从这句话中推论出苏格拉底是否对这件事本身也不知道。古代中国也有一个类似的例子：
１－７“言尽悖”
这是《庄子·齐物论》里庄子说的。后期墨家反驳道：如果“言尽悖”，庄子的这个言难道就不悖吗？我们常说：
１－７“世界上没有绝对的真理”
我们不知道这句话本身是不是“绝对的真理”。
１－８“荒谬的真实”
有字典给悖论下定义，说它是“荒谬的真实”，而这种矛盾修饰本身也是一种“压缩的悖论”。悖论（ｐａｒａｄｏｘ）来自希腊语“para＋dokein”，意思是“多想一想”。
这些例子都说明，在逻辑上它们都无法摆脱概念自指所带来的恶性循环。
1.唐·吉诃德悖论
小说《唐·吉诃德》里描写过一个国家，它有一条奇怪的法律，每个旅游者都要回答一个问题：“你来这里做什么？”回答对了，一切都好办；回答错了，就要被绞死。
一天，有个旅游者回答：“我来这里是要被绞死。”
旅游者被送到国王那里。国王苦苦想了好久：他回答得是对还是错？究竟要不要把他绞死。如果说他回答得对，那就不要绞死他——可这样一来，他的回答又成了错的了！如果说他回答错了，那就要绞死他——但这恰恰又证明他回答对了。实在是左右为难！
2.梵学者的预言
一天，梵学者与他的女儿苏耶发生了争论。
苏椰：你是一个大骗子，爸爸。你根本不能预言未来。
学者：我肯定能。
苏椰：不，你不能。我现在就可以证明它！
苏椰在一张纸上写了一些字，折起来，压在水晶球下。她说：
“我写了一件事，它在3点钟前可能发生，也可能不发生。请你预言它究竟是不是会发生，在这张白卡片上写下…是?字或…不?字。要是你写错了，你答应现在就买辆汽车给我，不要拖到以后好吗？”
“好，一言为定。”学者在卡片上写了一个字。
3点钟时，苏椰把水晶球下面的纸拿出来，高声读道：“在下午3点以前，你将写一个…不?字在卡片上。”
学者在卡片上写的是“是”字，他预言错了：“在下午3点以前，写一个…不?字在卡片上”这一件事并未发生。但如果他在卡片上写的是“不”呢？也还错！因为写“不”就表示他预言卡片上的事不会发生，但它恰恰发生了——他在卡片上写的就是一个…不?字。
苏椰笑了：“我想要一辆红色的赛车，爸爸，要带斗形座的。”
3.意想不到的老虎
公主要和迈克结婚，国王提出一个条件：
“我亲爱的，如果迈克打死这五个门后藏着的一只老虎，你就可以和他结婚。迈克必须顺次序开门，从1号门开始。他事先不知道哪个房间里有老虎，只有开了那扇门才知道。这只老虎的出现将是料想不到的。”
迈克看着这些门，对自己说道：
“如果我打开了四个空房间的门，我就会知道老虎在第五个房间。可是，国王说我不能事先知道它在哪里，所以老虎不可能在第五个房间。”
“五被排除了，所以老虎必然在前四个房间内。同样的推理，老虎也不会在最后一个房间——第四间内。”
按同样的理由推下去，迈克证明老虎不能在第三、第二和第一个房间。迈克十分快乐，他满怀信心地去看门。使他惊骇的是，老虎从第二个房间跳了出来。
迈克的推理并没有错，但他失败了。老虎的出现完全出乎意料，表明国王遵守了他的诺言。也许，迈克进行推理的本身就与国王关于老虎“料想不到”的条件发生了矛盾。迄今为止，逻辑学家对于迈克究竟错在哪里还末得到一致意见。
4.钱包游戏
史密斯教授和两个学生一道吃午饭。教授说：“我来告诉你们一个新游戏。把你们的钱包放在桌子上，我来数里面的钱。钱少的人可以赢掉另一个钱包中的所有钱。”
学生甲想：“如果我的钱多，就会输掉我这些钱；如果他的多，我就会赢多于我的钱。所以赢的要比输的多，这个游戏对我有利。”
同样的道理，学生乙也认为这个游戏对他有利。
请问，一个游戏怎么会对双方都有利呢？
5.一块钱哪儿去了？
一个唱片商店里，卖30张老式硬唱片，一块钱两张；另外30张软唱片是一块钱三张。那天，这60张唱片卖光了。30张硬唱片收入15元，30张软唱片收入10元，总共是25元。
第二天，老板又拿出60张唱片。他想：“如果30张唱片是一块钱卖两张，30张是一块钱卖三张，何不放在一起，两块钱卖5张呢？”这一天，60张唱片全按两块钱5张卖出去了。老板点钱时才发现，只卖得24元，而不是25元。
这一块钱到哪儿去了呢？
6.惊人的编码
外星的一位科学家基塔先生，来到地球收集人类的资料，遇到了赫尔曼博士。
赫尔曼：“你何不带一套大英百科全书回去？这套书最全面地汇总了我们的所有知识。”
基塔：“可惜，我带不走那么重的东西。不过，我可以把整套百科全书编码，然后只要在这根金属棒上作个标记，就代表了百科全书中的全部信息。”真是再简单不过了！
基塔先生是怎样做到的呢？
基塔：“我先把每个字母、数字、符号，都用一个数来代表，零用来隔开它们。例如cat一词就编为3－0－1－0－22。我用高级袖珍计算机快速扫描，就能把百科全书的全部内容转变为一个庞大的数字。前面加一个小数点，就使它变成了一个十进制的分数，例如0.2015015011……
基塔先生在金属棒上找到了一个点，这个点将棒分为a和b两段，而a／b刚好等于上面那个十进制分数值。
基塔：“回去后，测出a和b的值，就求出了它们的比值；根据编码的规定，你们的百科全书就被破译出来了。”
这样，基塔离开地球时只带了一根金属棒，而他却已“满载而归”了！
7.不可逃遁的点
帕特先生沿着一条小路上山。他早晨七点动身，当晚七点到达山顶。第二天早晨沿同一小路下，晚上七点又回到山脚，遇见了拓扑学老师克莱因。
克莱因：“帕特，你可曾知道你今天下山时走过这样一个地点，你通过这点的时刻恰好与你昨天上山时通过这点的时刻完全相同？”
帕特：“这绝不可能！我走路时快时慢，有时还停下来休息。”
克莱因：“当你开始下山时，设想你有一个替身同时开始登山，这个替身登山的过程同你昨天登山时完全相同。你和这个替身必定要相遇。我不能断定你们在哪一点相遇，但一定会有这样一点。……”
帕特明白了。你明白了吗？
8.橡皮绳上的蠕虫
橡皮绳长1公里,一条蠕虫在它的一端。蠕虫以每秒1厘米的稳定速度沿橡皮绳爬行；而橡皮绳每过1秒钟就拉长1公里。如此下去，蠕虫最后究竟会不会到达终点呢？
乍一想，随着橡皮绳的拉伸，蠕虫离终点越来越远了。但细心的读者会想到：随着橡皮绳的每次拉伸，蠕虫也向前挪了。
如果用数学公式表示，蠕虫在第n秒未在橡皮绳上的位置，表示为整条绳的分数就是（推导过程从略）：
当n足够大（约为e100000）时，上式的值就超过了1，也就是说蠕虫爬到了终点。
9.棘手的电灯
一盏电灯，用按钮来开关。假定把灯拧开一分钟，然后关掉半分钟，再拧开1/4分钟，再关掉1／8分钟，如此往复，这一过程的末了恰好是两分钟。
那么，在这一过程结束时，电灯是开着，还是关着？这个问题实在是难！
回数猜想
一提到李白，人们都知道这是我国唐代大诗人的名字。如果把“李白”两字颠倒一下，变成“白李”，这也是一个人的名字，此人姓白名李。像这样正着念、反着念都有意义的文字叫做“回文”。王融作有《春游回文诗》；“风朝指锦幔，月晓照莲池。”反过来读：“池莲照晓月，幔锦指朝风。”回文与数学里的“对称” 相似。
如果一个数，从左右来读都一样，就称它为回文式数。比如、101、32123、9999等都是回文式数。数学中有名的“回数猜想”之谜，至今没有解决。你任取一个数，再把这个数倒过
来，并将这两个数相加；然后这个和数再倒过来，与原来的和数相加。重复这个过程，一定能获得一个回文式数。
举个例了，比如68，按上述做法进行运算，只需要3步就可以得到一个回文式数1111。68＋86=154
154＋451=605
605＋506=1111
至今没有人能确定这个猜想是对还是错。196这个三位数也许能成为“回数猜想”不成立的反证。因为用电子计算机对这个数进行了几十万步计算，仍没有获得回文式数。但是也没有人能证明这个数永远产生不了回文式数。
数学家对同时是质数的回文式数进行了研究，但是还没有人能证明这种想法是对的。数学家还猜想有无穷个回文质数对，比如30103和30203，它们的特点是中间的数字是连续的，而其他数字都是相等的。
在回文式数中平方数是非常多的，比如：
121=11的平方
12321=111的平方
1234321=1111的平方
……
12345678987654321=111111111的平方
立方数也有类似情况，如：
1331=11的立方
1367631=111的立方
有趣的回文数，至今还有许多不解之谜。我们寄希望于未来的数学家去解开这个谜。
托尼对做统计工作的爸爸斯坦·斯达特曼说：“爸爸，请你给我和弟弟查理出几道趣题，好吗?”“当然好。”爸爸说，“我很乐意接受你的提议。”
于是，父子之间有关趣题的讨论便开始了。
1、“先说第一道。”爸爸说，“有一位女士养了10只母狗，却没有1只母狗生了10只小狗。必定至少有两只母狗生有同样多的小狗，是吗?”
“未必。”托尼答道。
“我认为必定是这样。”查理持不同意见。
兄弟俩谁说的对?为什么?
2、“在第一题中，”爸爸补充说，“如果10只母狗每只至少生有1只小狗，但最多不到10只小狗。你俩想一想，答案又如何呢?”
“必定至少有两只母狗生有同样多的小狗。”托尼的回答很肯定。
“未必是这样。”查理答道。
兄弟俩谁说的对?为什么?
3、“有甲、乙两个人在喝茶。”爸爸接着又出题了，“其中甲对乙说：…我敢跟你打赌，此时此刻我衣袋里的钱至少是你的两倍!?乙听后很不服气，对甲说：…我也敢跟你打赌，此时此刻我衣袋里的钱刚好是你的两倍!?”
“结果，”爸爸继续说，“这两个人要么就都赢了，要么就都输了。你们能说出这两个人是都赢了还是都输了呢?”
“能说出，显然都输了。”托尼说。
“不能说出，也有可能都赢了。”查理说。
兄弟俩谁说的对?为什么?
4、“昨天，我去拜访了一位叫吉米的朋友，吉米的家有两个花园。”爸爸的新题又开始了，“我数了一下其中一个花园里的花，刚好是50朵。不过这些花只有两种颜色——红的和蓝的。然后我观察到，不论我摘哪两朵花，其中必定有1朵是蓝的。据此，你们能说出红花和蓝花各有多少吗?” “不能说出，由于这道题所给的条件不够充分，因此无法解。”托尼摇着头说。“完全能说出，由于这道题所给的条件足够充分，因此可以解。”查理点着头说。
兄弟俩谁说的对?为什么?
5、“在吉米家的另一个花园里，种有红、黄、蓝3种花。”爸爸眯缝着眼，一字一顿地微笑道，“我观察到，不论我摘哪3朵花，至少有1朵是蓝的；我还观察到，不论我摘哪3朵花，至少有1朵是红的。据此就可以类推——不论我摘哪3朵花，至少有1朵是黄的吗?”
“可以类推。”托尼说。
“不能类推。”查理说。
兄弟俩谁说的对?为什么?
神奇的“缺8数”
“缺8数”——12345679，颇为神秘，故许多人在进行探索。
清一色
菲律宾前总统马科斯偏好的数字不是8，却是7。于是有人对他说：“总统先生，你不是挺喜欢7吗？拿出你的计算器，我可以送你清一色的7。”接着，这人就用“缺8数”乘以63，顿时，777777777映入了马科斯先生的眼帘。
“缺8数”实际上并非对7情有独钟，它是“一碗水端平”，对所有的数都“一视同仁”的：你只要分别用9的倍数（9,18……直到81）去乘它，则111111111,222222222……直到999999999都会相继出现。
三位一体
“缺8数”引起研究者的浓厚兴趣，于是人们继续拿3的倍数与它相乘，发现乘积竟“三位一体”地重复出现。例如：
12345679×12=148148148
12345679×15=185185185
12345679×57=703703703
轮流“休息”
当乘数不是3的倍数时，此时虽然没有“清一色”或“三位一体”现象，但仍可看到一种奇异性质：乘积的各位数字均无雷同。缺什么数存在着明确的规律，它们是按照“均匀分布”出现的。另外，在乘积中缺3、缺6、缺9的情况肯定不存在。
让我们看一下乘数在区间[10—17]的情况，其中12和15因是3的倍数，予以排除。12345679×10＝123456790（缺8）
12345679×11＝135802469（缺7）
12345679×13＝160493827（缺5）
12345679×14＝172839506（缺4）
12345679×16＝197530864（缺2）
12345679×17＝209876543（缺1）
乘数在[19—26]及其他区间（区间长度等于7）的情况与此完全类似。
乘积中缺什么数，就像工厂或商店中职工“轮休”，人人有份，但也不能多吃多占，真是太有趣了！
一以贯之
当乘数超过81时，乘积将至少是十位数，但上述的各种现象依然存在，真是“吾道一以贯之”。
随便看几个例子：
（1）乘数为9的倍数
12345679×243＝2999999997，只要把乘积中最左边的一个数2加到最右边的7上，仍呈现“清一色”。
（2）乘数为3的倍数，但不是9的倍数
12345679×84＝1037037036，只要把乘积中最左边的一个数1加到最右边的6上，又可看到“三位一体”现象。
（3）乘数为3K＋1或3K＋2型
12345679×98＝1209876542，表面上看来，乘积中出现雷同的2，但据上所说，只要把乘积中最左边的数1加到最右边的2上去之后，所得数为209876543，是“缺1”数，而根据上面的“学说”可知，此时正好轮到1休息，结果与理论完全吻合。
走马灯
冬去春来，24个节气仍然是立春、雨水、惊蛰……其次序完全不变，表现为周期性的重复。“缺8数”也有此种性质，但其乘数是相当奇异的。
实际上，当乘数为19时，其乘积将是234567901，像走马灯一样，原先居第二位的数2却成了开路先锋。深入的研究显示，当乘数为一公差等于9的算术级数时，出现“走马灯”现象。例如：
12345679×28＝345679012
12345679×37＝456790123
回文结对携手同行
“缺8数”的“精细结构”引起研究者的浓厚兴趣，人们偶然注意到：
12345679×4＝49382716
12345679×5＝61728395
前一式的积数颠倒过来读（自右到左），不正好就是后一式的积数？（但有微小的差异，即5代以4，而根据“轮休学说”，这正是题中的应有之义。）这样的“回文结对，携手并进”现象，对13，14；22，23；31，32；40，41等各对乘数（每相邻两对乘数的对应公差均等于9）也应如此。例如：
12345679×67＝827160493
12345679×68＝839506172
遗传因子
“缺8数”还能“生儿育女”，这些后裔秉承其“遗传因子”，完全承袭上面的这些特性，所以这个庞大家族的成员几乎都同其始祖12345679具有同样的本领。
例如50672839是“缺8数”与41的乘积，所以它是一个衍生物。
我们看到，506172839×3＝1518518517。
如前所述，“三位一体”模式又来到我们面前。
追本穷源
“缺8数”实际上与循环小数是一根藤上的瓜，因为
1/81＝0.012345679。
在0.012345679中，为什么别的数码都不缺，应有尽有，而唯独缺少8呢？
我们看到，1/81＝1/9×1/9。
把1/9化成循环小数，其循环节只有一位，即1/9＝0.1。
如果你不怕麻烦，当然也可把它看成是0.1111……直到无穷。
无穷多个1的自乘，能办得到吗？不妨先从有限个1的平方来试试看。
很明显：11的平方=121，111的平方=12321，……，直到111111111的平方
=12345678987654321。
但现在是无穷个1相乘，长长的队伍看不到尽头，怎么办呢？
利用数学归纳法，不难证明，在所有的层次，8都被一一跳过。
循环小数与循环群、周期现象的研究正方兴未艾，它已引起许多人的浓厚兴趣与密切关注。由于计算机科学的蓬勃发展，人们越来越不满足于泛泛的几条性质，而更着眼于探索其精微结构。
数趣
“数字是万物之本”，数字学家毕达哥拉斯的这句话常常被人引证。甚至对于“什么是朋友”这样的问题，他也可用数字加以回答：“朋友就是你的另一个我，其关系就如220和284。”
友好数对
该数对的神秘在于：所有该数的整除数之和（包括1，但不包括该数本身）等于另一个数。220的整除数之和为1＋2＋4＋5＋10＋11＋20＋22＋44＋55＋110=284，284的整除数之和为1＋2＋4＋71＋142=220。有1800年之久，人们只知道这一数对是“友好”数对。直至1636年，业余数学家皮勒才成功地发现了第二数对：17296和18416。今天，数学家已发现了1200对这样的数对，其中最大的一对是111448537712和118853793424。
花瓣与小兔的数字之美
雷奥那多将阿拉伯数字引入欧洲，他自称费波南希。他在观察小白兔的繁殖时发现了值得注意的数字规律：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……其特点是前两个数字之和即为下一个数。直至今天，这一特性仍受到人们的关注，因为费波南希数字常常令人吃惊地出现在自然界中。比如：许多花瓣的数字正是这样。
为什么13是个倒霉的数字
它的基本设想来自威廉姆·福利斯、一位柏林医生的理论，即：人类发展史中的一切都可用一个简单公式“23X＋28Y”来计算，X和Y是正或负的整数。比如：一年有365天，因为365=23×11＋28×4；法国革命开始于23×23＋28×45=1789年；人类细胞核中有46对染色体=23×2+ 28×0；《圣经》中动物数是23×18＋28×9=666；而13是个倒霉的数字，因为13=23×3＋28×（-2），——式中出现了负数。
正如美国数学家诺伯特·维纳尔所指出的“数字是真理的源泉”，“但数字更多的是将人们引入超现实的境地。”
构建数学金字塔
用数字1、2、3……9能排出不少有趣的金字塔加法算式。大家都知道，做加法时非得要求把每个加数的个位对齐不可，所以我们等式中的金字塔都只能从侧面来欣赏，但是这并不影响它的赏心悦目。
一、把1、2、3……9这9个数字按照由小到大的顺序从上往下循环排列，逐步增加数字的个数，直到全部数字都出现在同一行中。这时又接着从大到小地往下排列各数，逐步减少数字，直到只剩下最后1个数字为止。你就获得了第一座金字塔，这座金字塔的和竟是——1234567890!你觉得惊奇吗?换一下排列的方向，你又能获得第二座金字塔，两座金字塔的结果相同。（图A）
二、让我们再来建造第二批金字塔。这次只限于使用所有的奇数数字1、3、5、7、9。我们依然由小到大从上往下排，在达到最高的9个数字时，再由大到小地排下去，它们每行的数字也依旧是从增加到减少，形成一个横卧的金字塔。我们依然也列出两种方向的排法。你猜怎么着?这次的结果依然和第一批金字塔相同：还是1234567890!真是十分奇妙!（图B）三、下面来换上所有的偶数如何?但是我们不得不排除掉数字0，因为它在加法中不起多大
作用。这时参加循环排列的数字只有2、4、6、8这4个，比刚才的奇数数字少了1个，但我们仍然由小到大从上往下排，待排到出现9个数字为止，然后再逐步递减到只剩下1个数字。真想不到，答案又是1234567890!这场“奇偶数大战”出人意料的以1∶1告终，双方谁也没有占到什么便宜。（图C）
四、如果你嫌刚才的金字塔不够壮观，那么这次可以让台阶更长一些，堆得也更高一些，排得最高时达到17个数字。不过如果你细心观察的话，这里的排列规律并没有什么区别，故不再详细介绍了。现在请你仔细看，这次的结果为112233445566778890，是个18位数。这两座金字塔可以说很壮观吧!（图D）
五、事实上，构建金字塔的材料是很多的，并不局限于以上所举的那一些。不妨选上3个数字，假定是1、4、7或者2、4、6，我们也可以拿它们来建塔。当然这里要做点变动，细心的读者会从以下的金字塔中发现有个别的数字并不服从总的规律。这样做完全是为了使结果符合理想数987654321。但如果粗心一点的话，你是不会发觉的。（图E）
用数字建造金字塔能使你感到数学既美丽又奇妙，希望你也能建造出类似的金字塔。
数的“金蝉出壳”法
数论中有许多题材使人沉湎其中，往往乐而忘返。所以，这门学科自古以来，就吸引着人们去探索。
通俗性与公证性是数论的两大特点，。这就是说，有些题目，虽然其推证方法与导出过程极其复杂深奥，可是它的结果却是人人都能理解、都能欣赏、都能鉴别的。这就像磁铁一样，有一种无形的吸引力，把越来越多的业余爱好者吸引了过去。
现在请看两组自然数，每组各有三个数，每个都是六位数字。把这两组数分别相加，就会发现它们的和是完全相等的，即：
123789+561945+642864=242868+323787+761943
这样的性质，自然算不上什么稀罕。可是，要知道它们各自的平方之和也是相等的，那就是说：
123789×123789+561945×561945+642864×642864
=242868×242868+323787×323787+761943×761943
如果不信，请算一算吧!算过以后，你也许会伸伸舌头，说一声：“妙啊!”
且慢，真正的妙事还在后头呢!请把每个数的最左边一位数字都抹掉，你会发现，对剩下的数来说，上述的奇妙关系仍然成立，即：
23789+61945+42864=42868+23787+61943
23789×23789+61945×61945+42864×42864=42868×42868+23787×23787+61943×61943
事情真怪。让我们再抹掉每个数最左边的一位数字试试看吧!通过计算，上述性质依然保存着：
3789+1945+2864=2868+3787+1943
3789×3789+1945×1945+2864×2864=2868×2868+3787×3787+1943×1943
现在，我们索性一不做、二不休，继续干下去了。我们发现，尽管每次抹掉最左边的一位数字，可是这种奇妙的性质总是被“原封不动”地保存了下来：
789+945+864=868+787+943
789×789+945×945+864×864=868×868+787×787+943×943
89+45+64=68+87+43
89×89+45×45+64×64=68×68+87×87+43×43
直到最后只剩下个位数，这一“性质”依旧“巍然不动”：
9+5+4=8+7+3
9×9+5×5+4×4=8×8+7×7+3×3
这就像“金蝉脱壳”一般，脱到最后一层，金蝉却还是货真价实的金蝉，其“个性”可谓“至死不变”矣。
现在我们还是从原来的两组数出发，可是这一次却“反其道而行之”，即把两组数的数字逐个逐个地从右边抹掉。
经过这样的剧烈变动，这种性质总不见得保持下来了吧?可是，与人们预料的相反，这种性质居然还是保存了下来：
12378+56194+64286=24286+32378+76194
12378×12378+561948×561948+64286×64286=24286×24286+32378×32378+76194×76194 ……
直到最后抹得只剩下个位数时也是如此：
1+5+6=2+3+7
1×1+5×5+6×6=2×2+3×3+7×7
这类问题在数论上叫做“等幂和问题”，在国内外，它一直吸引着大批爱好者，但至今仍未能彻底解决。
世界十大驳论的最终解答
（一）电车难题（The Trolley Problem） 引用： 一、“电车难题”是伦理学领域最为知名的思想实验之一，其内容大致是：一个疯子把五个无辜的人绑在电车轨道上。一辆失控的电车朝他们驶来，并且片刻后就要碾压到他们。幸运的是，你可以拉一个拉杆，让电车开到另一条轨道上。但是还有一个问题，那个疯子在那另一条轨道上也绑了一个人。考虑以上状况，你应该拉拉杆吗？ 解读： 电车难题最早是由哲学家Philippa Foot提出的，用来批判伦理哲学中的主要理论，特别是功利主义。功利主义提出的观点是，大部分道德决策都是根据“为最多的人提供最大的利益”的原则做出的。从一个功利主义者的观点来看，明显的选择应该是拉拉杆，拯救五个人只杀死一个人。但是功利主义的批判者认为，一旦拉了拉杆，你就成为一个不道德行为的同谋——你要为另一条轨道上单独的一个人的死负部分责任。然而，其他人认为，你身处这种状况下就要求你要有所作为，你的不作为将会是同等的不道德。总之，不存在完全的道德行为，这就是重点所在。许多哲学家都用电车难题作为例子来表示现实生活中的状况经常强迫一个人违背他自己的道德准则，并且还存在着没有完全道德做法的情况。 引用完毕。 Das曰： 人，应当为自己的行为负责，这里的“行为”是什么意思？人为自己的行为负责的理论依据是什么？ 承认人具有自由意识——这是法律和道德合理化的基础。不承认自由意识存在，也就否认了一切法律和道德的合理性。如果一个人杀人放火是由于童年的遭遇、社会的影响、政府的不公正待遇等外界客观因素所决定的——罪犯本身的原因不是决定性因素——我们就没有权利依据任何法律对这个人进行惩罚。他杀人放火是由于其他原因，是他本身不可改变的，惩罚这个人显然是不合理的，惩罚他也于事无补、毫无用处。 人具有自由意识，可以做出自由选择，并且他应当对自己的选择负责任——这是一切法律和道德合理化的最根本基础。 那么，我们现在可以解释“行为”是什么意思：行为，是人在所有可能性中做出的一个唯一的选择。 今天早晨你可以选择吃包子，也可以选择吃油条。结果你吃了包子，这是你的行为、你选择的结果。问题是吃包子或者吃油条，这并不是“所有可能性”，你也可以选择什么也不吃，选择饿肚子减肥。作为一个理性人，你应当预见到饿肚子减肥可能造成身体伤害，你选择了饿肚子减肥这种行为，就应当为这种行为负责。 行为并不是行动，你什么也不干也是一种选择，因而也是一种行为。 我们将这个思想实验稍作修改，就可以看到什么也不干确实是一种实实在在的行为：加入电车的前方帮着5个人，你拉动一下拉杆就能使将电车驶向岔道——而岔道上什么也没有，不会造成任何危害。这时候你动不动拉杆呢？如果你不拉，你什么也不干，眼睁睁看着五个人被轧死，这显然是不道德行为——你本来有选择的余地，轧死五个人并不是唯一可能的结果，你只要举手之劳就能挽救五个人的生命，但是你选择了什么也不干，你就应当
悖论及其对数学发展的影响
悖论及其对数学发展的影响 【开场白：一个传说】一个讼师招收徒弟时约定，徒弟学成后第一场官司如果打赢，则交给师傅一两银子，如果打输，就可以不交银子。后来，弟子满师后却无所事事，迟迟不参与打官司。老讼师得不到银子，非常生气，告到县衙里，和这位弟子打官司。这位弟子却不慌不忙地说：“这场官司如果我打赢了当然不给您银子，如果打输了按照约定也不交给您银子，反正我横竖不交银子。”一句话把老讼师给气死了。 类似的： 1)我正在说谎？！！ 2)鸡与鸡蛋何为先？ 一、悖论的定义 “悖论”（英语：Paradox，俄语：Πарадокс）的字面意思是荒谬的理论，然而其内涵远没有这么简单，它是在一定理论系统前提下的看起来没有问题的矛盾。 关于悖论，目前并没有非常权威性1 的定义，以下的解释，在一定程度上是合理的。 通常认为，一个论断，如果不论是肯定还是否定它，都会导出一个与原始判断相反的结论，而要推翻它却又很难给出正当的根据时，这种论断称为悖论；或者，如果一个命题及其否定命题均可以用逻辑上等效的推理加以证明，而其推导又无法明确提出错误时，这种自相矛盾的命题叫做悖论。这种“定义”，比单纯从字面理解有所细化，也比较容易理解，但仍不够准确。 下述说法是A.A.富兰克尔给出的：如果某种理论的公理及其推理规则看上去是合理的，但在这个理论中却推出了两个互相矛盾的命题，或者证明了这样一个复合命题，它表现为两个矛盾命题的等价式，我们称这个理论包含了一个悖论。这里强调了悖论是依赖于一定的理论体系的，但是，只是说，某个理论体系包含了悖论，而没有言明什么是悖论。 悖论不同于通常的诡辩或谬论。诡辩、谬论可以通过已有的理论、逻辑论述其错误的原因，是与现有理论相悖的；而悖论虽感其不妥，但从它所在的理论体系中，不能阐明其错误的原因，是与现有理论相容的。悖论是（在当时）解释不了的矛盾。 悖论蕴涵真理，但常被人们描绘为倒置的真理； 悖论富有魅力，既让您乐在其中，又使您焦躁不安，欲罢不能； 数学历史中出现的悖论，为数学的发展提供了契机。 二、悖论的起源 起源之一：芝诺悖论（公元前五世纪） 芝诺（Zenon Eleates，约公元前490年——约公元前429年）出生于意大利南部的埃利亚（Elea）城，是古希腊埃利亚学派的主要代表人物之一。他是古希腊著名哲学家巴门尼德（Parmennides）的学生。他否定现实世界的运动，信奉巴门尼德关于世界上真实的东西只能是“唯一不动的存在”的信条。在他那个时代，人们对时间和空间的看法有两种截然不同的观点。一种观点认为，空间和时间无限可分，运动是连续而又平顺的；另一种观点则认为，时间和空间是由一小段一小段不可分的部分组成，运动是间断且跳跃的。芝诺悖论是针对上述二观点而提出的。他关于运动的四个悖论，被认为是悖论的起源之一。其中前两个悖论是针对那种连续的时空观而提出的，后两个悖论则是针对间断时空观提出的。 （1） 一物体要从A点到达B D点；而要到达D点，又必先抵达其1/8处之E点。如此下去，永无止境，因此，运动不可能存在。
《四次数学危机与世界十大经典数学悖论》
《“四次”数学危机与世界十大经典数学悖论》 “四次”数学危机 第一次危机发生在公元前580～568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。这个学派集宗教、科学和哲学于一体，该学派人数固定，知识保密，所有发明创造都归于学派领袖。当时人们对有理数的认识还很有限，对于无理数的概念更是一无所知，毕达哥拉斯学派所说的数，原来是指整数，他们不把分数看成一种数，而仅看作两个整数之比，他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比。该学派的成员希伯索斯根据勾股定理（西方称为毕达哥拉斯定理）通过逻辑推理发现，边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示。希伯索斯的发现被认为是“荒谬”和违反常识的事。它不仅严重地违背了毕达哥拉斯学派的信条，也冲击了当时希腊人的传统见解。使当时希腊数学家们深感不安，相传希伯索斯因这一发现被投入海中淹死，这就是第一次数学危机。 最后，这场危机通过在几何学中引进不可通约量概念而得到解决。两个几何线段，如果存在一个第三线段能同时量尽它们，就称这两个线段是可通约的，否则称为不可通约的。正方形的一边与对角线，就不存在能同时量尽它们的第三线段，因此它们是不可通约的。很显然，只要承认不可通约量的存在使几何量不再受整数的限制，所谓的数学危机也就不复存在了。 我认为第一次危机的产生最大的意义导致了无理数地产生，比如说我们现在说的，都无法用来表示，那么我们必须引入新的数来刻画这个问题，这样无理数便产生了，正是有这种思想，当我们将负数开方时，人们引入了虚数i（虚数的产生导致复变函数等学科的产生，并在现代工程技术上得到广泛应用），这使我不得不佩服人类的智慧。但我个人认为第一次危机的真正解决在1872年德国数学家对无理数的严格定义，因为数学是很强调其严格的逻辑与推证性的。 第二次数学危机发生在十七世纪。十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机。其实我翻了一下有关数学史的资料，微积分的雏形早在古希腊时期就形成了，阿基米德的逼近法实际上已经掌握了无限小分析的基本要素，直到2100年后，牛顿和莱布尼兹开辟了新的天地——微积分。微积分的主要创始人牛顿在一些典型的推导过程中，第一步用了无穷小量作分母进行除法，当然无穷小量不能为零；第二步牛顿又把无穷小量看作零，去掉那些包含它的项，从而得到所要的公式，在力学和几何学的应用证明了这些公式是正确的，但它的数学推导过程却在逻辑上自相矛盾．焦点是：无穷小量是零还是非零？如果是零，怎么能用它做除数？如果不是零，又怎么能把包含着无穷小量的那些项去掉呢？ 直到19世纪，柯西详细而有系统地发展了极限理论。柯西认为把无穷小量作为确定的量，即使是零，都说不过去，它会与极限的定义发生矛盾。无穷小量应该是要怎样小就怎样小的量，因此本质上它是变量，而且是以零为极限的量，至此柯西澄清了前人的无穷小的概念，另外Weistrass创立了极限理论，加上实数理论，集合论的建立，从而把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来，第二次数学危机基本解决。 而我自己的理解是一个无穷小量，是不是零要看它是运动的还是静止的，如果是静止的，我们当然认为它可以看为零；如果是运动的，比如说1/n，我们说，但n个1/n相乘就为1，这就不是无穷小量了，当我们遇到等情况时，我们可以用洛比达法则反复求导来考查极限，也可以用Taylor展式展开后，一阶一阶的比，我们总会在有限阶比出大小。 第三次数学危机发生在1902年，罗素悖论的产生震撼了整个数学界，号称天衣无缝，绝对正确的数学出现了自相矛盾。 我从很早以前就读过“理发师悖论”，就是一位理发师给不给自己理发的人理发。那
世界十大著名悖论
世界十大著名悖论。 来自: 哔。黑猫警嫂。(Dream maker, heart breaker.) 2011-11-30 18:34:34 十个著名悖论的最终解答 （一）电车难题（The Trolley Problem） 引用： 一、“电车难题”是伦理学领域最为知名的思想实验之一，其内容大致是：一个疯子把五个无辜的人绑在电车轨道上。一辆失控的电车朝他们驶来，并且片刻后就要碾压到他们。幸运的是，你可以拉一个拉杆，让电车开到另一条轨道上。但是还有一个问题，那个疯子在那另一条轨道上也绑了一个人。考虑以上状况，你应该拉拉杆吗？ 解读： 电车难题最早是由哲学家Philippa Foot提出的，用来批判伦理哲学中的主要理论，特别是功利主义。功利主义提出的观点是，大部分道德决策都是根据“为最多的人提供最大的利益”的原则做出的。从一个功利主义者的观点来看，明显的选择应该是拉拉杆，拯救五个人只杀死一个人。但是功利主义的批判者认为，一旦拉了拉杆，你就成为一个不道德行为的同谋——你要为另一条轨道上单独的一个人的死负部分责任。然而，其他人认为，你身处这种状况下就要求你要有所作为，你的不作为将会是同等的不道德。总之，不存在完全的道德行为，这就是重点所在。许多哲学家都用电车难题作为例子来表示现实生活中的状况经常强迫一个人违背他自己的道德准则，并且还存在着没有完全道德做法的情况。 引用完毕。 Das曰： 人，应当为自己的行为负责，这里的“行为”是什么意思？人为自己的行为负责的理论依据是什么？ 承认人具有自由意识——这是法律和道德合理化的基础。不承认自由意识存在，也就否认了一切法律和道德的合理性。如果一个人杀人放火是由于童年的遭遇、社会的影响、政府的不公正待遇等外界客观因素所决定的——罪犯本身的原因不是决定性因素——我们就没有权利依据任何法律对这个人进行惩罚。他杀人放火是由于其他原因，是他本身不可改变的，惩罚这个人显然是不合理的，惩罚他也于事无补、毫无用处。 人具有自由意识，可以做出自由选择，并且他应当对自己的选择负责任——这是一切法律和道德合理化的最根本基础。 那么，我们现在可以解释“行为”是什么意思：行为，是人在所有可能性中做出的一个唯一的选择。 今天早晨你可以选择吃包子，也可以选择吃油条。结果你吃了包子，这是你的行为、你选择的结果。问题是吃包子或者吃油条，这并不是“所有可能性”，你也可以选择什么也不吃，选择饿肚子减肥。作为一个理性人，你应当预见到饿肚子减肥可能造成身体伤害，你选择了饿肚子减肥这种行为，就应
几个有趣的悖论的数学辨析
几个有趣的悖论的数学辨析 数学悖论是数学发展过程中的一个重要的存在形态, 它是数学体系中出现的一种尖锐的矛盾, 对于这一矛盾的处理与研究, 丰富了数学的容, 促进了数学的发展。作为一名数学教师, 学习有关这方面的知识, 并进行研究, 既能提高自己的专业水平, 又能使授课容生动有趣; 作为学生了解这方面的容,不但能扩大知识面, 而且能提高学习兴趣 1 芝诺悖论 在西方的数学史上有一个非常有名的数学悖论——芝诺悖论。芝诺是公元五世纪古希腊埃利亚学派的代表人物。芝诺本人既不是一位科学家, 更不是一位数学家, 芝诺的老师是埃利亚学派的创始人巴门尼德。巴门尼德是个一神论者, 他认为世界的本原是“不生不灭、完整、唯一和不动的”。但世界显然是丰富多彩、复杂纷繁的,怎么会是“唯一” 的呢?一个完全不动的世界怎么可能呢? 于是引起同时代人的反驳。芝诺为了捍为他老师的学说, 提出了一些论述。其中最有名的有四个, 历史上称为芝诺悖论。作为巴门尼德的继承人, 他力图证明, 如果承认“ 多” 和“ 运动” , 就会招致更加荒谬的结果。限于篇幅, 在此只辑录其二。 二分法: 你不能在有限的时间穿过无穷的点。在你穿过一定的距离的全部之前, 你必须穿过这个距离的一半。这样做下去就会陷入无止境, 所以在任何一定的空间中都有无穷个点, 你不能在有限的时间中一个接一个地接触无穷个点。
阿喀琉斯追不上大乌龟: 阿喀琉斯是古希腊《荷马史诗》中一个跑得最快的大英雄, 他怎么会跑不过大乌龟呢? 假定他的速度是乌 龟的10倍, 阿喀琉斯与乌龟赛跑的路程是1千米, 让乌龟先跑1 10 千 米, 然后让阿喀琉斯去追。于是问题来了。当阿喀琉斯追到1 10 千 米的地方, 乌龟又向前跑了 1 100千米, 当阿喀琉斯又追到 1 100 千米时, 乌龟又向前跑了 1 10000千米, … …, 这样一来, 一直追下 去, 阿喀琉斯会追上大乌龟吗? 之所以说这两个论证是悖论, 是因为我们知道, 无论是谁, 不管身高身低, 只要一迈步, 都可以在有限的时间越过无穷多个点; 无论是谁, 都不会相信大英雄阿喀琉斯竟会跑不过大乌龟。然而在当时的人们的知识围, 却找不出芝诺的论证错在什么地方。 1 . 1 芝诺悖论的数学意义 芝诺的“二分法” 和“ 阿喀琉斯追不上大乌龟”的论证, 本意是要用结论的荒谬性来否定其前提关于时空的可无限分割的观点, 该两个论证与另外两个论证(“ 飞箭” 与“ 运动场” ) 组合得出了时空既是不可无限分割, 又是可以无限分割的矛盾结论。“ 芝诺悖论” 促进了以严格的思维规律为研究对象的逻辑学和以严格的求证思想为基础的数学的发展。芝诺论证问题的方法是我们今天数学中仍在使用的反证法。可以说, 这是对反证法的最早的运用。大家知道, 当一个数学命题无法直接证明时, 我们就求助于反证法。
数学悖论与三大危机
数学悖论 默认分类2010-05-20 10:20:02 阅读20 评论0 字号：大中小订阅 数学的基础是什么？ 1. 定义 2. 公理 3. 逻辑 首先说公理的陈述，这就是一个很麻烦的事情。在你的公理中一定会有很多名词，比如点，线，等等，因此似乎需要先定义这些最基本的名词。但当你尝试作这样的定义的时候，你会发现你还是无从下手，无论你怎么定义它们，你都会引入其它未定义的名词。其实在逻辑上，对最基本的名词的定义就是不可能的事情。我们采用的办法就是使用未经定义的最基本的名词来陈述公理，在公理中同时也就给出了这些对象的 属性。 再说逻辑，比如最基本，最有名的三段论。 大前提：人都会死。 小前提：亚里士多德是人。 结论：亚里士多德会死。 粗看，我们得到这个结论一点问题都没有。但你仔细想想，是什么原因我们可以使用这样的推导？我们采用这样的方法进行推导就一定不会出现问题吗？能否证明这样的推导过程就一定是正确的？其实这是一个没有办法证明的问题。但我们的实践经验告诉我们这样的推导是不会有问题的，是正确的。因此我们也同样采用公理的方法确定下来三段论的逻辑推导方法是正确的。在逻辑上，这样的例子还有很多。 由此，可以看出，数学的基础就是公理。数学只是公理集之上的推导和演绎。推导和演绎的基础仍然是公 理。 “……古往今来，为数众多的悖论为逻辑思想的发展提供了食粮。”——N·布尔巴基 一、悖论的历史与悖论的定义 悖论的历史源远流长，它的起源可以一直追溯到古希腊和我国先秦时代。“悖论”一词源于希腊文，意为“无路可走”，转义是“四处碰壁，无法解决问题”。 在古希腊时代，克里特岛的哲学家伊壁门尼德斯（约公元前6世纪）发现的“撒谎者悖论”可以算作人们最早发现的悖论。公元前4世纪的欧布里德将其修改为“强化了的撒谎者悖论”。在此基础上，人们构造了一个与之等价的“永恒的撒谎者悖论”。埃利亚学派的代表人物芝诺（约490B.C.—430B.C.）提出的有关运动的四个悖论（二分法悖论、阿基里斯追龟悖论、飞矢不动悖论与运动场悖论）尤为著名，至今仍 余波未息。 在中国古代哲学中也有许多悖论思想，如战国时期逻辑学家惠施（约370B.C.—318B.C.）的“日方中方睨，物方生方死”、“一尺之棰，日取其半，万世不竭”；《韩非子》中记载的有关矛与盾的悖论思想等，这些悖论式的命题，表面上看起来很荒谬，实际上却潜伏着某些辨证的思想内容。 在近代，著名的悖论有伽利略悖论、贝克莱悖论、康德的二律背反、集合论悖论等。在现代，则有光速悖论、双生子佯谬、EPR悖论、整体性悖论等。这些悖论从逻辑上看来都是一些思维矛盾，从认识论上 看则是客观矛盾在思维上的反映。 尽管悖论的历史如此悠久，但直到本世纪初，人们才真正开始专门研究悖论的本质。在此之前，悖论只能引起人们的惊恐与不安；此后，人们才逐渐认识到悖论也有其积极作用。特别是本世纪60、70年代以 来，出现了研究悖论的热潮。
十大著名的哲学假设
世界上最著名的十大思想实验 思想实验，哲学家或科学家们常常用它来论证一些容易让人感到迷惑的理念或假说，主要用于哲学或理论物理学等较为抽象的学科，因为这类实验往往难以在现实世界中开展。这些实验看似简单，其间却蕴含着很多“剪不断、理还乱”的哲理。它们就像是一顿丰盛的精神盛宴，等待餐客前来饕餮。然而，这类盛宴往往菜式复杂，并非人人都能“饱餐一顿”。因此，我们列出世界上最有名的十大思想实验，并在哲学、科学或伦理方面对这些实验进行了阐释： 10. 电车难题（The Trolley Problem）
“电车难题”是十分有名的伦理学思想实验，其内容如下：一个疯子将5名无辜的人绑在一条手推车轨道上，而一辆失控的电车正向他们冲去。幸运的是，你可以拉动操纵杆将电车转至另一轨道。然而，该名疯子在那条轨道上也绑了一个人。此时此刻，这根操纵杆，你拉，还是不拉？ 深度解析： 这道“电车难题”由哲学家菲利帕·富特（Philippa Foot）提出，目的在于批判伦理学的主要理论，特别是其中的功利主义（utilitarianism）。此类理论认为，“将大多数人的利益最大化”才是最道德的。根据功利主义哲学，牺牲1个人可以挽救5个人，则毫无疑问应该拉动操纵杆。但这样做的问题在于，拉了操纵杆，你就成为杀死“1个人”的同谋，那么很明显你做了一件不道德的事，因为你对此人之死负有部分责任。同时，还有人认为，但凡遇到这种情况，你就必须有所作为，不作为同样会被视为不道德。简而言之，不管你做不做、怎样做，都无法让自己在道德的世界里无懈可击，而这正是问题之关键。很多哲学家都以“电车难题”来说明：在现实世界中，人们通常会让自己的道德标准不断妥协，因为真实而完满的道德，并不存在于这个世上。 9. 奶牛在田野（The Cow in the Field）
数学上的悖论谬论
这篇关于数学上的悖论谬论的论证的文章是由北大中文系Matrix67所写，读来感觉很有意思，和大家一起分享，来一场头脑风暴。 1=2？史上最经典的“证明” 设a = b，则a·b = a^2，等号两边同时减去b^2就有a·b - b^2 = a^2 - b^2。注意，这个等式的左边可以提出一个b，右边是一个平方差，于是有b·(a - b) = (a + b)(a - b)。约掉(a - b)有b = a + b。然而a = b，因此b = b + b，也即b = 2b。约掉b，得1 =2。 这可能是有史以来最经典的谬证了。TedChiang在他的短篇科幻小说DivisionbyZero中写到： 引用 There is a well-known “proof” that demonstrates that one equals two. It begins with somedefinitions: “Let a = 1; let b = 1.” It ends with the conclusion “a = 2a,” that is, one equalstwo. Hidden inconspicuously in the middle is a division by zero, and at that point the proofhas stepped off the brink, making all rules null and void. Permitting division by zero allowsone to prove not only that one and two are equal, but that any two numbers at all—real orimaginary, rational or irrational—are equal. 这个证明的问题所在想必大家都已经很清楚了：等号两边是不能同时除以a - b的，因为我们假设了a = b，也就是说a - b是等于0的。 无穷级数的力量(1) 小学时，这个问题困扰了我很久：下面这个式子等于多少？ 1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + … 一方面： 1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + … = [1 + (-1)] + [1 + (-1)] + [1 + (-1)] + … = 0 + 0 + 0 + …
数学悖论、数学危机及其对数学的推动作用
数学悖论、数学危机及其对数学的推动作用 数学悖论、数学危机及其对数学的推动作用 悖论是让数学家无法回避的问题。悖论出现使得数学体系出现不可靠性和失真理性，这就逼迫数学家投入最大的热情去解决它。而在解决悖论的过程中，各种理论应运而生了，因而悖论在推动数学发展中的巨大作用。现在我作如下简单阐述：毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”,而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。然而，毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”.毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2 的诞生。这却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。这一伟大发现不但对毕达哥拉斯学派的致命打击，也对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”. 二百年后，欧多克索斯提出的新比例理论暂时消除悖论。一直到18世纪，当数学家证明了圆周率是无理数时，拥护无理数存在的人才多起来。到十九世纪下半叶，现在意义上的实数理论建
立起来后，无理数本质被彻底搞清，无理数在数学中合法地位的确立，一方面使人类对数的认识从有理数拓展到实数，另一方面也真正彻底、圆满地解决了第一次数学危机。 伴随着人们科学理论与实践认识的提高，十七世纪微积分诞生，但是微积分理论是不严格的。理论都建立在无穷小分析之上，作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。因而，从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击。其中攻击最猛烈的是英国大主教贝克莱。 数学史上把贝克莱的问题称之为“贝克莱悖论”.笼统地说，贝克莱悖论可以表述为“无穷小量究竟是否为0”的问题：就无穷小量在当时实际应用而言，它必须既是0,又不是0.但从形式逻辑而言，这无疑是一个矛盾。这一问题的提出在当时的数学界引起了一定的混乱，由此导致了第二次数学危机的产生。 十八世纪开始微积分理论获得了空前丰富。然而，与此同时十八世纪粗糙的，不严密的工作也导致谬误越来越多的局面。当时数学中出现的混乱局面了。尤其到十九世纪初，傅立叶理论直接导致了数学逻辑基础问题的彻底暴露。这样把分析重新建立在逻辑基础之上就成为数学家们迫在眉睫的任务。到十九世纪，批判、系统化和严密论证的必要时期降临了。 使分析基础严密化的工作由法国著名数学家柯西迈出了第一大步。柯西于1821年开始给出了分析学一系列基本概念的严格定义。后来，德国数学家魏尔斯特拉斯给出更为完善的我们目前所
战略管理十大悖论(doc5)
战略管理十大悖论 一、理论VS创造性 战略思维的本质应该是什么？无论是战略实践者还是战略理论研究人员对这一问题都存在着截然不同的认识。有人认为，战略思维是一种最为复杂的分析推理方式，它表现出建立在严谨推理基础上的理性；而另一些人则认为战略思维从本质上来讲就是打破正统的信条和思维模式，进行富有创造性和非常规的思维。因此对战略思维的不同认识便产生了理性与创造性之间的悖论。 基于理性的战略思维的认知模式是分析性的，其推理过程依赖于正式和固定的规则，表现出了计算的性质，同时强调严谨和一致性，对于现实的假设是客观和可认知的，战略决策完全基于计划，因此从这些方面来看，战略可以被认为是一门科学。 而与此相对应，基于创造性的战略思维的认知模式是直觉性的，其推理过程依赖于非正式和可变的规则，表现出了想象的性质，它强调的是非正统和洞察力，对于现实的假设则是主观和可创造性的，战略决策完全基于判断，因此在这里，战略变成了一门艺术。 二、深思熟虑VS随机应变 第一个悖论体现了表现在个体上的战略思维过程，而第二个悖论则反映了组织中的战略是如何形成的，以及形成过程的本质是什么。一方面，有人认为组织是以一种深思熟虑的方式来制定战略，即首先制定明晰的、综合全面的计划，然后再逐一实施而也有人认为现实中的大部分战略是在一段时间中实时出现的，它们之间呈现出一种不连续变化，甚至更有人极端地提出组织中事实上存在着“战略缺失”。 视战略形成的过程为深思熟虑的一派认为，战略是刻意设计的，而战略的形成是计算出来的，因此形成的过程是规范化和结构化的，其步骤是先思考后行动，因此他们视战略为一系列决策，强调资源的最优配置和协调，对未来的发展视为可预测的，因此对于未来的工作是积极投入，做好准备，战略实施则强调程序化和组织的效率。 与此相对应，视战略形成过程为随机应变的一派认为，战略是逐渐形成的，而战略的形成是发现出来的，形成的过程则是非结构化和分散的，其步骤是思考和行动结合在一起，他们视战略为一系列行动，强调不断的试验和首创行动，对未来的发展视为不可知和难以预测的，因此对于未来的工作是保持战略的柔性而非积极投人，战略实施则强调学习和组织的发展。 三、突变VS渐变 随着科技的迅速发展、竞争程度的不断加剧以及消费者偏好等的快速变化，企业所处的环境日益呈现出动态化的特征，因此企业的战略也不得不进行动态调整和更新，战略更新的方式便成了一个重要的研究内容。战略更新应该在企业现有的状态上逐渐演变还是进行脱胎换骨的突变？战略更新应该是逐渐的、连续的还是大幅度的、不连续的？对于战略更新的形式和性质存在着不同的看法和观点。 一部分战略学者认为，企业中的战略更新应该以一种突变的方式推进，通过采取激进的、快速的和全面的措施来实施战略更新；而另一部分战略学者认为，战略更新应该通过渐变的方式加以实施，更多地强调持续性的学习和连续性的改善，因此采用的是一种持续变化的方式。由此产生了战略更新的突变和渐变之间的悖论。 采用非连续变化视角的观点视战略更新为破坏性的创新和转折，因此战略更新过程就是
世界十个著名悖论的最终解答
世界十个著名悖论的最终解答 （一）电车难题（The Trolley Problem） 引用： 一、“电车难题”是伦理学领域最为知名的思想实验之一，其内容大致是：一个疯子把五个无辜的人绑在电车轨道上。一辆失控的电车朝他们驶来，并且片刻后就要碾压到他们。幸运的是，你可以拉一个拉杆，让电车开到另一条轨道上。但是还有一个问题，那个疯子在那另一条轨道上也绑了一个人。考虑以上状况，你应该拉拉杆吗？ 解读： 电车难题最早是由哲学家Philippa Foot提出的，用来批判伦理哲学中的主要理论，特别是功利主义。功利主义提出的观点是，大部分道德决策都是根据“为最多的人提供最大的利益”的原则做出的。从一个功利主义者的观点来看，明显的选择应该是拉拉杆，拯救五个人只杀死一个人。但是功利主义的批判者认为，一旦拉了拉杆，你就成为一个不道德行为的同谋——你要为另一条轨道上单独的一个人的死负部分责任。然而，其他人认为，你身处这种状况下就要求你要有所作为，你的不作为将会是同等的不道德。总之，不存在完全的道德行为，这就是重点所在。许多哲学家都用电车难题作为例子来表示现实生活中的状况经常强迫一个人违背他自己的道德准则，并且还存在着没有完全道德做法的情况。 引用完毕。 Das曰： 人，应当为自己的行为负责，这里的“行为”是什么意思？人为自己的行为负责的理论依据是什么？ 承认人具有自由意识——这是法律和道德合理化的基础。不承认自由意识存在，也就否认了一切法律和道德的合理性。如果一个人杀人放火是由于童年的遭遇、社会的影响、政府的不公正待遇等外界客观因素所决定的——罪犯本身的原因不是决定性因素——我们就没有权利依据任何法律对这个人进行惩罚。他杀人放火是由于其他原因，是他本身不可改变的，惩罚这个人显然是不合理的，惩罚他也于事无补、毫无用处。 人具有自由意识，可以做出自由选择，并且他应当对自己的选择负责任——这是一切法律和道德合理化的最根本基础。 那么，我们现在可以解释“行为”是什么意思：行为，是人在所有可能性中做出的一个唯一的选择。 今天早晨你可以选择吃包子，也可以选择吃油条。结果你吃了包子，这是你的行为、你选择的结果。问题是吃包子或者吃油条，这并不是“所有可能性”，你也可以选择什么也不吃，选择饿肚子减肥。作为一个理性人，你应当预见到饿肚子减肥可能造成身体伤害，你选择了饿肚子减肥这种行为，就应当为这种行为负责。 行为并不是行动，你什么也不干也是一种选择，因而也是一种行为。 我们将这个思想实验稍作修改，就可以看到什么也不干确实是一种实实在在的行为： 加入电车的前方帮着5个人，你拉动一下拉杆就能使将电车驶向岔道——而岔道上什么也没有，不会造成任何危害。这时候你动不动拉杆呢？如果你不拉，你什么也不干，眼睁睁看着五个人被轧死，这显然是不道德行为——你本来有选择的余地，轧死五个人并不是唯一可能的结果，你只要举手之劳就能挽救五个人的生命，但是你选择了什么也不干，你就应当为你的行为负责任，即使法律不去惩罚你，你的行为最
十大数学悖论
十大数学悖论 1．?理发师悖论（罗素悖论）：某村只有一人理发，且该村的人都需要理发，理发师规定，给且只给村中不自己理发的人理发。试问：理发师给不给自己理发？ 如果理发师给自己理发，则违背了自己的约定；如果理发师不给自己理发，那么按照他的规定，又应该给自己理发。这样，理发师陷入了两难的境地。 ???? 2．?说谎者悖论：公元前6世纪，古希腊克里特岛的哲学家伊壁门尼德斯有如此断言：“所有克里特人所说的每一句话都是谎话。”
如果这句话是真的，那么也就是说，克里特人伊壁门尼德斯说了一句真话，但是却与他的真话——所有克里特人所说的每一句话都是谎话——相悖；如果这句话不是真的，也就是说克里特人伊壁门尼德斯说了一句谎话，则真话应是：所有克里特人所说的每一句话都是真话，两者又相悖。? 所以怎样也难以自圆其说，这就是着名的说谎者悖论。?:? 公元前4世纪，希腊哲学家又提出了一个悖论：“我现在正在说的这句话是假的。”同上，这又是难以自圆其说！ ?????? 说谎者悖论至今仍困扰着数学家和逻辑学家。说谎者悖论
有许多形式。如：我预言：“你下面要讲的话是‘不’，对不对？用‘是’或‘不是’来回答。” 又如，“我的下一句话是错（对）的，我的上一句话是对（错）的”。 ????? 3．?跟无限相关的悖论： ????? {1，2，3，4，5，…}是自然数集： ????? {1，4，9，16，25，…}是自然数平方的数集。? 这两个数集能够很容易构成一一对应，那么，在每个集合中有一样多的元素吗？? ????????4.伽利略悖论：我们都知道整体大于部分。由线段BC上的点往顶点A连线，每一条线都会
十大数学悖论
… 十大数学悖论 1．理发师悖论（罗素悖论）：某村只有一人理发，且该村的人都需要理发，理发师规定，给且只给村中不自己理发的人理发。试问：理发师给不给自己理发？ 如果理发师给自己理发，则违背了自己的约定；如果理发师不给自己理发，那么按照他的规定，又应该给自己理发。这样，理发师陷入了两难的境地。 2．说谎者悖论：公元前6世纪，古希腊克里特岛的
哲学家伊壁门尼德斯有如此断言：“所有克里特人所说的每一句话都是谎话。” 如果这句话是真的，那么也就是说，克里特人伊壁门尼德斯说了一句真话，但是却与他的真话——所有克里特人所说的每一句话都是谎话——相悖；如果这句话不是真的，也就是说克里特人伊壁门尼德斯说了一句谎话，则真话应是：所有克里特人所说的每一句话都是真话，两者又相悖。 所以怎样也难以自圆其说，这就是著名的说谎者悖论。:
公元前4世纪，希腊哲学家又提出了一个悖论：“我现在正在说的这句话是假的。”同上，这又是难以自圆其说！ 说谎者悖论至今仍困扰着数学家和逻辑学家。说谎者悖论有许多形式。如：我预言：“你下面要讲的话是‘不’，对不对用‘是’或‘不是’来回答。” 又如，“我的下一句话是错（对）的，我的上一句话是对（错）的”。 3．跟无限相关的悖论： {1，2，3，4，5，…}
是自然数集： {1，4，9，16，25，…}是自然数平方的数集。 这两个数集能够很容易构成一一对应，那么，在每个集合中有一样多的元素吗 4.伽利略悖论：我们都知道整体大于部分。由线段BC上的点往顶点A连线，每一条线都会与线段DE(D点在AB 上,E点在AC上)相交，因此可得DE与BC一样长，与图矛盾。为什么 5.预料不到的考试的悖论：一位老师宣布说，在下一星期的五天
希帕索斯悖论与第一次数学危机
希帕索斯悖论与第一次数学危机希帕索斯悖论的提出与勾股定理的发现密切相关。因此，我们从勾股定理谈起。勾股定理是欧氏几何中最著名的定理之一。天文学家开普勒曾称其为欧氏几何两颗璀璨的明珠之一。它在数学与人类的实践活动中有着极其广泛的应用，同时也是人类最早认识到的平面几何定理之一。在我国，最早的一部天文数学著作《周髀算经》中就已有了关于这一定理的初步认识。不过，在我国对于勾股定理的证明却是较迟的事情。一直到三国时期的赵爽才用面积割补给出它的第一种证明。 在国外，最早给出这一定理证明的是古希腊的毕达哥拉斯。因而国外一般称之为“毕达哥拉斯定理”。并且据说毕达哥拉斯在完成这一定理证明后欣喜若狂，而杀牛百只以示庆贺。因此这一定理还又获得了一个带神秘色彩的称号：“百牛定理”。 毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学 信仰的“掘墓人”。毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个
成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2的诞生。小小√2的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击。对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的√2的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。 课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换,可以在每天课
(完整版)解读战略管理的十大流派
解读战略管理的十大流派 明茨伯格（H．Mingt zberg）、阿尔斯特朗（BruceAhl strand）和拉蒙珀（Joseph Lampel）等，将战略管理的各种理论梳理成十大学派，即设计学派、计划学派、定位学派、企业家学派、认识学派、学习学派、权势学派、文化学派、环境学派和结构学派。各学派的代表人物都从不同视角，对战略管理提出了各自的主张，见仁见智，莫衷一是。明茨伯格认为，战略管理的真谛其实就象一头大象，十大流派只是从不同的侧面看到大象的局部，只有综合集成各派的观点，才能对大象有整体的认识和体悟。 一、设计学派（Design School） 设计学派把战略形成看作是一个主观概念作用的过程，主张战略形成应当深思熟虑，严谨缜密；同时，战略应该简明清晰，易于理解和传达，便于执行、检验和不断改进。事实上，设计学派的代表人物安德鲁斯（K．Andrews）提出的著名SWOT战略分析模型，就很好地体现了这些要求。设计学派强调，战略管理者应当是整个战略计划的顶层设计者，应切实地承担起应尽的责任，但不必承担具体战略计划的制定工作。设计学派的代表作包括菲利浦·塞兹尼克（P．Selznick）1957年出版的《经营管理中的领导力》、阿尔弗雷德·钱德勒（A．Chandler）1962年出版的《战略与结构》，以及肯尼斯·安德鲁斯1965出版的《经营策略：内容与案例》和1972年出版的《公司战略概念》。 二、计划学派（Planning School） 计划学派认为，战略的形成应当是一个受到控制的、有意识的、详细具体而正规化的过程。原则上，决策者对整个过程承担责任，并尽可能详尽清楚地阐明这一过程形成的战略，以便具体地落实战略目标、预算程序和各种运作计划。计划学派继承了设计学派SWOT分析的思想，但克服了设计学派过于主观的分析方法，引进了以决策科学为代表的数量分析方法，提出了许多制定企业战略的数学模型和定量分析工具。计划学派代表人物安索夫（Ansoff）1965年出版的《企业战略》堪称经典，申德尔和霍夫的《战略管理》（1979）亦是重要文献。此外，在斯坦纳（Steiner）、艾考夫（Ackoff）等人的推动下，计划学派的理论与实践紧密结合，产生了如经验曲线、增长-份额矩阵、市场份额与获利能力关系PIMS（Prof it impacto n market share）（PIMS）等概念和研究方法，进一步丰富了战略管理理论。 三、定位学派（Positioning School） 波特1980年出版的《竞争战略》，以及随后于1985年、1990年分别出版的《竞争优势》（和《国家竞争优势》，不仅使他本人声名远播，赢得了定位学派掌门人和“竞争战略之父”的美誉，同时也正是由于波特的这“三部曲”，确立了定位学派在整个战略管理理论中的占优地位。定位学派把战略形成看作是一个分析的过程，强调外部环境分析的重要性。波特指出，企业在考虑竞争战略时，必须将企业与所处的环境相联系；行业是企业经营的最直接的环境；行业的结构决定了企业的竞争范围，从而决定了企业的潜
世界十大著名战役
世界十大著名战役 世界十大著名战役 世界发展至今日，已经有很长的历史，世界格局在一次又一次的战争中也不断的发生变化。在过去几千年里，世界历史上的重大战役对后世有什么样的影响，只有去了解才能有深刻的认识。下面就去看看发生在世界各地的十次著名战争：一、古战场上升起不灭的圣火——马拉松大战。 一名战士成了奥林匹克马拉松竞赛的创始人，一个激动人心的“荷马史诗”的战争续篇。这次战役发生在公元前490年，是波斯帝国对雅典发动的侵略战争。雅典方面参战的一万一千人全部是重装步兵，他们按照惯例，在马拉松平原的西侧排出八行纵深的密集方阵。当时正值雨季，马拉松平原只有中间地势较高，两边都是泥沼地，雅典利用地形靠智谋获得胜利。 双方参战人数：希腊联军1.1万，波斯帝国约10万人。波斯军队阵亡6400人，雅典方面仅阵亡192人。双方阵亡数字的悬殊差距，充分体现了希腊密集阵对波斯方阵的压倒性优势。 此战对于希腊文明在之后三个世纪中所达到的辉煌成就而言，无疑是这一成就的最初台阶，这也是整个希腊第一次靠自己的力量击退波斯的一场会战。
二、惊天动地的空前大厮杀——长平血战。 两千多年前的黄土高坡上，一位古代名将用青铜剑拨开了世界上最大规模围歼战的序幕。公元前262年（周赧王五十三年），秦国攻打并占领了韩国野王（今河南沁阳），切断了韩国上党地区与韩国本土的联系。韩国国君韩桓惠王自知实力不济，不敢跟秦国较真，打算把上党郡让给秦国，以求息兵。上党地区军政一把手冯亭想利用赵国的力量抗击秦国，就写信给赵孝成王，表示愿把上党的十七座城池献给赵国。以为有便宜可占的赵孝成王派兵进驻上党，引发了此次战役。秦国名将白起率秦领军在长平（今山西省晋城高平市西北）同赵国的军队开展决战，赵军最终战败，秦军大获全胜进占长平。 参战双方兵对比：赵军包括支前民工超过45万，秦军正规军达60万再加上超过100万的平民。赵国被杀、和被俘后被坑杀40多万；秦军伤20多万。 长平之战赵国的军事力量基本损失殆尽，再也无力与秦国抗衡。而秦国则扫清了统一路上最大的绊脚石，因此可以说是秦国在统一中国的大决战提前了。 三、名垂史册的光辉一页——坎尼会战。 骑在大象上的战争，巧借东风赢得了地中海畔的“龙争虎斗”。该战役发生于公元前216年，是第二次布匿战争中的主要战役。此前迦太基军队主汉尼拨入侵意大利，并且屡败
数学悖论推理题
数学悖论推理题 1=2？史上最经典的“证明” 设 a = b ，则a·b = a^2，等号两边同时减去 b^2 就有a·b - b^2 = a^2 - b^2 。注意，这个等式的左边可以提出一个 b ，右边是一个平方差，于是有b·(a - b) = (a + b)(a - b) 。约掉 (a - b) 有 b = a + b。然而 a = b ，因此 b = b + b ，也即 b = 2b 。约掉 b ，得 1 = 2 。 这可能是有史以来最经典的谬证了。 Ted Chiang 在他的短篇科幻小说 Division by Zero 中写到： 引用 There is a well-known “proof” that demonstrates that one equals two. It begins with some definitions: “Let a = 1; let b = 1.” It ends with the conclusion “a = 2a,” that is, one equals two. Hidden inconspicuously in the middle is a division by zero, and at that point the proof has stepped off the brink, making all rules null and void. Permitting division by zero allows one to prove not only that one and two are equal, but that any two numbers at all—real or imaginary, rational or irrational—are equal. 这个证明的问题所在想必大家都已经很清楚了：等号两边是不能同时除以 a - b 的，因为我们假设了 a = b ，也就是说 a - b 是等于 0 的。 无穷级数的力量(1) 小学时，这个问题困扰了我很久：下面这个式子等于多少？ 1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + … 一方面：