二次函数图像与性质完整归纳
二次函数图像与性质完整归纳
二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式：2
y ax =的性质：
a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2
y ax
c
=+的性质：
上加下减。
a
的
符号 开口方向 顶点
坐标
对称轴
性质 0
a > 向上
()00，
y
轴
x >时，y 随x 的增大而增
大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最
小值0．
a < 向下
()00，
y
轴
x >时，y 随x 的增大而减
小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最
大值0．
a
的
符号 开口方向 顶点
坐标
对称轴
性质
3. ()2
y a x h =-的性质：
左加右减。
a > 向上
()0c ，
y
轴
x >时，y 随x 的增大而增
大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最
小值c ．
a < 向下
()0c ，
y
轴
x >时，y 随x 的增大而减
小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最
大值c ．
a
的
符号 开口方向 顶点
坐标
对称轴
性质 0
a > 向上
()0h ，
X=h
x h
>时，y 随x 的增大而增
大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最
小值0．
a < 向下
()0h ，
X=h
x h
>时，y 随x 的增大而减
小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最
大值0．
4. ()
2
y a x h k
=-+的性质：
二、二次函数图象的平移
1. 平移步骤：
方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式
()2
y a x h k
=-+，确定其顶点坐标()h k ，；
⑵ 保持抛物线2
y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：
a
的
符号 开口方向 顶点
坐标
对称轴
性质 0
a > 向上
()h k ，
X=h
x h
>时，y 随x 的增大而增
大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最
小值k ．
a < 向下
()h k ，
X=h
x h
>时，y 随x 的增大而减
小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最
大值k ．
向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位
向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位
向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位
向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位
向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位
向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位
y=a (x-h )2+k
y=a (x-h )2
y=ax 2+k
y=ax 2
2. 平移规律
在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；
k
值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c
bx ax
y ++=2
沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c
bx ax y ++=2变成
m
c bx ax y +++=2（或m
c bx ax
y -++=2
） ⑵c
bx ax
y ++=2
沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，
c
bx ax y ++=2变成c
m x b m x a y ++++=)()
(2
（或
c
m x b m x a y +-+-=)()(2）
三、二次函数()2
y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较
从解析式上看，
()2
y a x h k
=-+与2
y ax
bx c
=++是两种不同
的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即
2
2424b ac b y a x a a -??=++
??
?，其中
2
424b ac b h k a a
-=-=
，．
四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.
一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，
、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，
、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.
五、二次函数2y ax bx c =++的性质
1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为
2424b ac b a
a ??
-- ?
??，．
当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，
y
随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值2
44ac b a
-．
2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为
2424b ac b a
a ??
-- ?
??，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而
增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，
y
有最大值
2
44ac b a
-．
六、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式：2
y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）； 3. 两根式：1
2
()()y a x x x x =--（0a ≠，1
x ，2
x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式
或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即2
40b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交
点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
七、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数a
二次函数2
y ax
bx c
=++中，a 作为二次项系数，
显然0a ≠．
⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．
总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．
2. 一次项系数b
在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．
⑴ 在0a >的前提下，
当0b >时，02b
a -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；
当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是
y
轴；
当0b <时，02b a ->，即抛物线对称轴在y 轴
的右侧．
⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即
当0b >时，02b
a
->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；
当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是
y
轴；
当0b <时，02b a -<，即抛物线对称轴在y 轴
的左侧．
总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．
ab
的符号的判定：对称轴a b x 2-=在y 轴左边则
>ab ，在y 轴的右侧则0 右异” 总结： 3. 常数项c ⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； 《二次函数的图像及性质》教学案例及反思 教师：同学们，我们上一节课一起研究了二次函数的表达式，那么我们一起来回忆一下表达式是什么？ 学生齐答：y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a不为0) 教师：好，那么请同学们在黑板上写出一些常数较简单的二次函数表达式. （学生表现很踊跃，一下写出了十多个） 教师：黑板上这些二次函数大致有几个类型？ 学生：（讨论了3分钟）四大类!有y=ax2+bx+c;y=ax2+bx;y=ax2+c;y=ax2! 教师：太棒了！同学们归纳的很好，今天我们就一起来研究比较简单的一种y=ax2的图像及性质！ 教师在学生板书的函数中选了四个，并把复杂的系数换成简单的常数，找到如下函数：y=x2;y=-x2;y=2x2;y=-2x2.(教师在这里让学生自己准备素材！) 教师启发学生利用函数中的“列表，描点，连线”的方法，把画上述四个函数的任务分配给A,B,C,D小组，一组一个在已画好的坐标系的小黑板上动手操作.生在自己提供的素材上进行再“加工”，兴趣很大，合作交流充分，课堂气氛活跃.教师到每组巡视、指导，在确认画图全部正确的情况下，提出了要求，开始了探究之旅. 教师：请同学们小组之间比较一下，你们画的图象位置一样吗？ 学生；不一样. 教师：有什么不一样？（开始聚焦矛盾） 学生:开口不一样. 学生A：走向不一样. 学生B：经过的象限不一样. 学生C：我们的图象在原点的上方，他们的图象在原点的下方. 教师：看来是有些不一样，那么它们位置的不一样是由什么要素决定的？（教师指明了探究方向，但未指明具体的探究之路，这是明智的） 学生：是由二次项系数的取值确定的. 教师：好了，根据同学们的回答，能得到图象或函数的那些结论？（顺水推舟，放手让学生一搏） 热烈讨论后，学生D回答并板书，当a>0时，图象在原点的上方，当a<0时，图象在原点的下方。 学生E:当a>0时，图象开口向上；当a<0时，图象开口向下. 学生A站起来补充:还有顶点,顶点坐标(0,0),对称轴为y轴! （这个过程约用了十多分时间，学生体会非常充分，从学生的神情看，绝大多数学生已接受了这几个学生的板书，但教师未对结论进行优化。怎么没有一个学生说出二次函数的性质呢？短暂停顿后，教师确定了思路） 教师：刚才你们是研究图象的性质，你们能否由图象性质得出相应的函数的性质？ 看着学生茫然的目光,我在思考是不是我的问题---- 教师：请看同学们的板书，能揣摩图象“走向”的意思吗？ 学生：（七嘴八舌）当a>0时，图象从左上向下走到原点后在向右上爬；当a<0时，图象从左下向上爬到原点后在向右下走（未出现教师所预期的结论） 教师：好，你们从图象的直观形象来理解的图象性质，很贴切，你们能从自变量与函数值之间的变化角度来说明“向上爬”和“向下走”吗？ 二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式 1.二次函数基本形式：2 =的性质： y ax 2.2 =+的性质： y ax c 上加下减。 =-的性质： y a x h 左加右减。 4.()2 y a x h k =-+的性质： 1.平移步骤： 方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标 ()h k ，； ⑵保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2.平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者 通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确 定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我 们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对 称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 五、二次函数2y ax bx c =++的性质 1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a -． 2.当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当2b x a <- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值2 44ac b a -． 六、二次函数解析式的表示方法 1.一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2.顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）； 二次函数的图像和性质 1.二次函数的图像与性质： 解析式 a 的取值 开口方向 函数值的增减 顶点坐标 对称轴 图像与y 轴的交点 时当0>a ；开口向上；在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的 右侧y 随x 的增大而增大。 时当0k 时向上平移；当0>k 时向下平移。 （2）抛物线2 )(h x a y +=的图像是由抛物线2 y ax =的图像平移h 个单位而得到 的。当0>h 时向左平移；当0 3.二次函数的最值公式： 形如 c bx ax y ++=2 的二次函数。时当0>a ，图像有最低点，函数有最小值 a b ac y 442-= 最小值 ；时当0?时抛物线与x 轴有两个交点；当0=?抛物线与x 轴有一个交点；当 0二次函数的图像及性质
二次函数图像与性质总结
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二次函数图像与性质