2014年中考数学经典题解析

2014年全国中考数学经典题解析

（一）

1、如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CB，CA分别相交于点E，F，则线段EF长度的最小值是（）

A、B、4.75 C、5 D、4.8

解：如图，∵∠ACB=90°，

∴EF是直径，

设EF的中点为O，圆O与AB的切点为D，连接OD，CO，CD，则OD⊥AB．

∵AB=10，AC=8，BC=6，

∴∠ACB=90°，

∴EF为直径，OC+OD=EF，

∴CO+OD＞CD，

∵当点O在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，EF=CD有最小值

∴由三角形面积公式得：CD=BC?AC÷AB=4. 8

故选D．

2、已知边长为a的正三角形ABC，两顶点A B

、分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连结OC，则OC的长的最大值是．

解：取AB 的中点D ，连接CD 、OD ， 则OD=

21AB= 2

1

a ， 在等边△ABC 中，CD=

2

3

a ， 根据三角形三边关系，OD+CD ≥OC ， 所以，当OC 过点D 时OC 最大， 此时OC=OD+CD= 21a+ 23a=

a 2

3

1+

3、如图，已知正方形ABCD 的边长为1，以顶点A 、B 为圆心，1为半径的两弧交于点E ，以顶点C 、D 为圆心，1为半径的两弧交于点F ，则EF 的长为 。

4、如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点P 在AB 上从A 向B 运动，连接DP 交AC 于点Q ． （1）试证明：无论点P 运动到AB 上何处时，都有△ADQ ≌△ABQ ；

（2）当点P 在AB 上运动到什么位置时，△ADQ 的面积是正方形ABCD 面积的

6

1； （3）若点P 从点A 运动到点B ，再继续在BC 上运动到点C ，在整个运动过程中，当点P 运动到什

么位置时，△ADQ 恰为等腰三角形．

（1）证明：在正方形ABCD 中，

无论点P 运动到AB 上何处时，都有

AD =AB ∠D A Q

=∠BAQ AQ =AQ ∴△ADQ ≌△ABQ

(2)解法一：△ADQ 的面积恰好是正方形ABCD 面积的

6

1

时， 过点Q 作Q E ⊥AD 于E ,QF ⊥AB 于F ，则QE = QF

21QE AD ?=ABCD 正方形S 61=3

8 ∴QE =3

4

由△DEQ ∽△DAP 得 DA

DE

AP QE = 解得2=AP ∴2=AP 时，△ADQ 的面积是正方形ABCD 面积的6

1

解法二：以A 为原点建立如图所示的直角坐标系，过点Q 作QE ⊥y 轴于点E ，QF ⊥x 轴于点F ．

21QE AD ?=ABCD 正方形S 61=3

8

∴QE =34 ∵点Q 在正方形对角线AC 上 ∴Q 点的坐标为44()33

，

∴ 过点D （0，4），Q ()3

4

,34两点的函数关系式为：42+-=x y

当0=y 时，2=x ∴P 点的坐标为（2，0） ∴2=AP 时，△A D Q 的面积是正方形A B C D 面积的

6

1

． （3）若△ADQ 是等腰三角形，则有 QD =QA 或DA =DQ 或AQ =AD ①当点P 运动到与点B 重合时，由四边形ABCD 是正方形知 QD =QA

此时△A D Q 是等腰三角形

②当点P 与点C 重合时，点Q 与点C 也重合，

此时DA =DQ , △ADQ 是等腰三角形 ③解法一：如图，设点P 在BC 边上运动到x CP =时，有AD =AQ

∵ AD ∥BC ∴∠A D Q =∠CPQ 又∵∠AQD =∠CQP ∠A D Q =∠AQD ∴∠CQP =∠CPQ ∴ CQ =CP =x

∵AC =24 AQ = AD =4 ∴424-=-==AQ AC CQ x

即当424-=CP 时，△ADQ 是等腰三角形

解法二：以A 为原点建立如图所示的直角坐标系，设点P 在BC 上运动到y BP =时，有AD =AQ ． 过点Q 作QE ⊥y 轴于点E ，QF ⊥x 轴于点F ,则QF QE =

在Rt △AQF 中，4=AQ ，∠QAF =45° ∴QF =45sin ?AQ °=22 ∴Q 点的坐标为（22，22）

∴过D 、Q 两点的函数关系式：x y )21(-=+4

当x =4时，248-=y ∴P 点的坐标为（4，8-42）． ∴当点P 在BC 上运动到248-=BP 时，△ADQ 是等腰三角形．

5、如图，平行四边形ABCD 中，AB=5，BC=10，BC 边上的高AM=4，E 为BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合）．过E 作直线AB 的垂线，垂足为F ．FE 与DC 的延长线相交于点G ，连接DE ，DF ． （1）求证：△BEF ∽△CEG ；

（2）当点E 在线段BC 上运动时，△BEF 和△CEG 的周长之间有什么关系？并说明你的理由； （3）设BE=x ，△DEF 的面积为y ，请你求出y 和x 之间的函数关系式，并求出当x 为何值时，y 有最大值，最大值是多少？

（1） 因为四边形ABCD 是平行四边形， 所以AB DG

所以,B G C E G B F E

∠=∠

∠=∠ 所以BEF CEG △∽△

（2）BEF CEG △与△的周长之和为定值．

理由一：

过点C 作FG 的平行线交直线AB 于H ， 因为GF ⊥AB ，所以四边形FHCG 为矩形．所以 FH ＝CG ，FG ＝CH 因此，BEF CEG △与△的周长之和等于BC ＋CH ＋BH 由 BC ＝10，AB ＝5，AM ＝4，可得CH ＝8，BH ＝6， 所以BC ＋CH ＋BH ＝24 理由二：

由AB ＝5，AM ＝4，可知 在Rt △BEF 与Rt △GCE 中，有：

4343

,,,5555

EF BE BF BE GE EC GC CE ====，

所以，△BEF 的周长是125BE ， △ECG 的周长是12

5

CE

A M x

H G

F E

D

C

B

又BE ＋CE ＝10，因此BEF CEG 与的周长之和是24．

（3）设BE ＝x ，则43

,(10)55

EF x GC x =

=- 所以21143622

[(10)5]2255255

y EF DG x x x x ==

-+=-- 配方得：2655121

()2566y x =--+．

所以，当55

6x =时，y 有最大值．

最大值为121

6

．

（二）

1、关于x 的一元二次方程（a ﹣6）x 2﹣8x+9=0有实根． （1）求a 的最大整数值；

（2）当a 取最大整数值时，①求出该方程的根；②求的值．

解：（1）根据题意△=64﹣4×（a ﹣6）×9≥0且a ﹣6≠0，

解得a ≤

且a ≠6，

所以a 的最大整数值为7；

（2）①当a=7时，原方程变形为x 2﹣8x+9=0， △=64﹣4×9=28， ∴x=， ∴x 1=4+

，x 2=4﹣

；

②∵x 2﹣8x+9=0， ∴x 2﹣8x=﹣9， 所以原式=2x 2﹣

=2x 2﹣16x+ =2（x 2﹣8x ）+

=2×（﹣9）+

=﹣

．

2、如图，在等腰梯形ABCD中，已知AD//BC，AB=DC，AC与BD交于点O，廷长BC到E，使得CE=AD，连接DE。

（1）求证：BD=DE。

（2）若AC⊥BD，AD=3，S=16，求AB的长。

3、如图所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在图的半径的活动。小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高（弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长）为2米，求小桥所在圆的半径。

解：∵小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，

∴8米高旗杆DE的影子为：12m，

∵测得EG的长为3米，HF的长为1米，

∴GH=12-3-1=8（m），

∴GM=MH=4m．

如图，设小桥的圆心为O，连接OM、OG．

设小桥所在圆的半径为r，

∵MN=2m，

∴OM=（r-2）m．

在Rt△OGM中，由勾股定理得：

∴OG2=OM2+42，

∴r2=（r-2）2+16，

解得：r=5，

答：小桥所在圆的半径为5m．

4、分别以?ABCD（∠CDA≠90°）的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角三角形，△ABE，△CDG，△ADF．（1）如图1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF，EF．请判断GF与EF的关系（只写结论，不需证明）；

（2）如图2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF，EF，（1）中结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．

解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，∠DAB+∠ADC=180°，

∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形，

∴DG=CG=AE=BE，DF=AF，∠CDG=∠ADF=∠BAE=45°，

∴∠GDF=∠GDC+∠CDA+∠ADF=90°+∠CDA，

∠EAF=360°﹣∠BAE﹣∠DAF﹣∠BAD=270°﹣（180°﹣∠CDA）=90°+∠CDA，

∴∠FDG=∠EAF，

∵在△EAF和△GDF中，

，

∴△EAF≌△GDF（SAS），

∴EF=FG，∠EFA=∠DFG，即∠GFD+∠GFA=∠EFA+∠GFA，

∴∠GFE=90°，

∴GF⊥EF；

（2）GF ⊥EF ，GF=EF 成立； 理由：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB=CD ，∠DAB+∠ADC=180°， ∵△ABE ，△CDG ，△ADF 都是等腰直角三角形， ∴DG=CG=AE=BE ，DF=AF ，∠CDG=∠ADF=∠BAE=45°， ∴∠BAE+∠FDA+∠EAF+∠ADF+∠FDC=180°， ∴∠EAF+∠CDF=45°， ∵∠CDF+∠GDF=45°， ∴∠FDG=∠EAF ， ∵在△EAF 和△GDF 中，

，

∴△EAF ≌△GDF （SAS ）， ∴EF=FG ，∠EFA=∠DFG ，即∠GFD+∠GFA=∠EFA+∠GFA ， ∴∠GFE=90°， ∴GF ⊥EF ．

（三）

1、如图，已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 匀速运动，其中点P 运动的速度是1cm/s ，点Q 运动的速度是2cm/s ，当点Q 到达点C 时，P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为t （s ），解答下列问题：

（1）当t ＝2时，判断△BPQ 的形状，并说明理由； （2）设△BPQ 的面积为S （cm 2），求S 与t 的函数关系式；

（3）作QR //BA 交AC 于点R ，连结PR ，当t 为何值时，△APR ∽△PRQ ？

解：(1)△BPQ 是等边三角形，当t=2时，AP=2×1=2，BQ=2×2=4, ∴BP=AB-AP=6-2=4, ∴BQ=BP.

又∵∠B=600,

∴△BPQ 是等边三角形.

(2)过Q 作QE ⊥AB,垂足为E, 由QB=2y,得QE=2t·sin600=3t, 由AP=t,得PB=6-t, ∴S △BPQ=

21×BP×QE=21(6-t)×3t=－2

3t 2

+33t ； (3)∵QR ∥BA,

∴∠QRC=∠A=600，∠RQC=∠B=600， 又∵∠C=600,

∴△QRC 是等边三角形, ∴QR=RC=QC=6-2t. ∵BE=BQ·cos600=

2

1

×2t=t,

∴EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t, ∴EP ∥QR,EP=QR,

∴四边形EPRQ 是平行四边形, ∴PR=EQ=3t,又∵∠PEQ=900, ∴∠APR=∠PRQ=900. ∵△APR ～△PRQ, ∴∠QPR=∠A=600, ∴tan600=

PR QR ,即

3326=-t

t

, ∴t=56, ∴当t=5

6

时, △APR ～△PRQ

2、如图，抛物线92

3

212--=

x x y 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC 、AC 。 （1）求AB 和OC 的长；

（2）点E 从点A 出发，沿x 轴向点B 运动（点E 与点A 、B 不重合）。过点E 作直线l 平行BC ，交AC 于点D 。设

AE 的长为m ，△ADE 的面积为s ，求s 关于m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；

（3）在（2）的条件下，连接CE ，求△CDE 面积的最大值；此时，求出以点E 为圆心，与BC 相切的圆的面积（结

果保留π）。 解：（1）令y=0，即

092

3

212=--x x ， 整理得 01832

=--x x ， 解得：31-=x ，62=x ， ∴ A （—3，0），B （6，0）

令x = 0，得y = —9， ∴ 点C （0，—9）

∴ 9)3(6=--=AB ，99=-=OC

（2）2

81992121=??=?=

?OC AB S ABC ， ∵ l ∥BC ，[来源:https://www.sodocs.net/doc/e418760965.html,]

∴ △ADE ∽△ACB ，

∴

2

2AB AE

S S ABC

=

?，即22

92

81m S = ∴ 2

2

1m S =

，其中90<

812921219212

2+??? ??--=-??=-=???m m m S S S ADE

ACE CDE ，

∵ 02

1

<-

∴ 当29=m 时，S △CDE 取得最大值，且最大值是881。

这时点E （2

3

，0），

∴2

9

236=-=-=OE OB BE ，133962222=+=+=OC OB BC ，

作EF ⊥BC ，垂足为F ，

∵∠EBF=∠CBO ，∠EFB=∠COB ， ∴△EFB ∽△COB ，

∴CB BE OC EF =，即13

329

9=EF

∴1326

27

=

EF ， ∴ ⊙E 的面积为：πππ527291326272

2

=??

?

???=?=EF S 。

答：以点E 为圆心，与BC 相切的圆的面积为

π52

729

。

3、如图1和2，四边形ABCD 是菱形，点P 是对角线AC 上一点，以点P 为圆心，PB 为半径的弧，交BC 的延长线于点F ，连接PF ，PD ，PB.

（1）如图1，点P 是AC 的中点，请写出PF 和PD 的数量关系：__________; （2）如图2，点P 不是AC 的中点，

① 求证：PF=PD. ② 若∠ABC=40°，直接写出∠DPF 的度数.

（1）解：∵四边形ABCD 是菱形， ∴PB=PD ， ∵PB=PF ， ∴PF=PD ．

故答案为：PF=PD ；

（2）①证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB=AD ，∠BAC=∠DAC ． 在△ABP 和△ADP 中，

AB ＝AD ，∠BAP ＝∠DA ， P AP ＝AP ， ∴△ABP ≌△ADP （SAS ）， ∴PB=PD ， 又∵PB=PF ， ∴PF=PD ．

②解：以P 为圆心，PB 为半径作圆P ，则点B 、F 、D 都在圆P 上，连接BD ．

由圆周角定理，可得∠DPF=2∠DBF ， 又∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠ABC=2∠DBF ， ∴∠DPF=∠ABC=40°．

（四）

1、二次函数()

2

1

236

y x =+的图像的顶点为A ，与y 轴交于点B ，以AB 为边在第二象限内作等边三

角形ABC ．

（1）求直线AB 的表达式和点C 的坐标．

（2）点(),1M m 在第二象限，且△ABM 的面积等于△ABC 的面积，求点M 的坐标．

（3）以x 轴上的点N 为圆心，1为半径的圆，与以点C 为圆心，CM 的长为半径的圆相切，直接写出点N 的坐标．

解：（1）二次函数(2

1

6

y x =+的图像的顶点A ()

-，与y 轴的交点B ()0,2，

设直线AB 的表达式为(0)y kx b k =+≠，

可求得 k =

，2b =．所以直线AB 的表达式为2y x =

+

可得30BAO ∠=,∵60BAC ∠=, ∴90CAO ∠=．

在Rt △BAO 中，由勾股定理得：AB =4．

∴AC =4．点()

C -．

（2）∵点C 、M 都在第二象限，且△ABM 的面积等于△ABC 的面积， ∴CM ∥AB ．

设直线CM 的表达式为y x m =+，点()

C -在直线CM 上， 可得 6m =．

∴直线CM 的表达式为6y x =

+．

可得点M的坐标：()

-．

综上可知：

点N的坐标()

3-，()，)．--，()

3

2、学校为了响应国家阳光体育活动，选派部分学生参加足球、乒乓球、篮球、排球队集训．根据参加项目制成如下两幅不完整的统计图（如图1和如图2，要求每位同学只能选择一种自己喜欢的球类，图中用足球、乒乓球、篮球、排球代表喜欢这四种球类某种球类的学生人数）

请你根据图中提供的信息解答下列问题：

（2）喜欢排球队的人数在扇形统计图中所占的圆心角是多少度？并补全频数分布折线统计图．

（3）若足球队只剩一个集训名额，学生小明和小虎都想参加足球队，决定采用随机摸球的方式确定参加权，具体规则如下：一个不透明的袋子中装着标有数字1、2、3、4的四个完全相同的小球，小明随机地从四个小球中摸出一球然后放回，小虎再随机地摸出一球，若小明摸出的小球标有数字比小虎摸出的小球标有的数字大，则小明参加，否则小虎参加，试分析这种规则对双方是否公平？

解：（1）∵结合折线图与扇形图得出参加乒乓球队的人数为20，占总数的20%，

∴总人数为：20÷20%=100人，

∴参加篮球队的有：100×40%=40人，

参加足球队的人数占全部参加人数的：30÷100×100%=30%，

故答案为：40，30；（2）喜欢排球队的人数在扇形统计图中所占的圆心角是百分比为：1-（40%+30%+20%）=10%，

圆心角度数=360×10%=36°；正确补全折线图中篮球、排球折线；

（3）用列表法

共有16种可能的结果，且每种结果的可能性相同，其中小明可能获得参加权的结果是六种，

分别是2，1；3，1；3，2；4，1；4，2；4，3；

∵P1＜P2

，

∴这个规则对双方不公平．

3、如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5，OA与⊙O相交于点

P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．

（1）试判断线段AB 与AC 的数量关系，并说明理由； （2）若PC=52，求⊙O 的半径和线段PB 的长；

（3）若在⊙O 上存在点Q ，使△QAC 是以AC 为底边的等腰三角形，求⊙O 的半径r 的取值范围．

解：（1）AB=AC 。理由如下： 连接OB 。

∵AB 切⊙O 于B ，OA ⊥AC ，∴∠OBA=∠OAC=90°。

∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠CPB=90°。 ∵OP=OB ，∴∠OBP=∠OPB 。 ∵∠OPB=∠APC ，∴∠ACP=∠ABC 。 ∴AB=AC 。

（2）延长AP 交⊙O 于D ，连接BD ，

设圆半径为r ，则由OA=5得，OP=OB=r ，PA=5－r 。

又∵PC=，

∴(2

22222222

2

AB OA OB 5r AC PC PA 5r =-=-=-=--，（） 。

由（1）AB=AC 得(2

222

5r 5r -=--（），解得：r=3。

∴AB=AC=4。

∵PD 是直径，∴∠PBD=90°=∠PAC 。

∵∠DPB=∠CPA ，∴△DPB ∽△CPA 。∴

CP AP

PD BP

=

2BP =，解得。 （3）作线段AC 的垂直平分线MN ，作OE ⊥MN ，

则OE=1

2

AC=12

又∵圆O 要与直线MN 交点，∴≤r ，

∴

又∵圆O 与直线l 相离，∴r ＜5。

∴⊙O 的半径r ＜5．

4、已知抛物线y=mx 2-（m-5）x-5（m ＞0）与x 轴交于两点A （x 1，0）、B （x 2，0）（x 1＜x 2），与y 轴交于点C ，且AB=6． （1）求抛物线解析式；

（2）求△ABC 的外接圆的圆心坐标；

（3）抛物线上是否存在点M ，过点M 作MN ⊥x 轴于点N ，使△MBN 被直线BC 分成面积比为1：3的两部分？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

（1）由题意得：12122155

,, 6.m x x x x x x m m

--+=

?=-= 2

2

1212520

()436,36,m x x x x m m -??+-=+

= ???

解得125

1,.7

m m ==-

经检验m =1，∴抛物线的解析式为：24 5.y x x =+- 或：

由2(5)50mx m x ---=得，1x =或5x m

-=

0,m >

5

16, 1.m m

-∴-

=∴= ∴抛物线的解析式为24 5.y x x =+- 由2450x x +-=得125, 1.x x =-= ∴A （-5，0），B （1，0），C （0，-5）. 设直线BC 的解析式为,y kx b =+

则5,5,0. 5.b b k b k =-=-??∴??

+==??

∴直线BC 的解析式为5 5.y x =-

（2）由题意，圆心P 在AB 的中垂线上，即在抛物线245y x x =+-的对称轴直线2x =-上，设P （-2，-h ）

（h ＞0），

连结PB 、PC ，则222222(12),(5)2PB h PC h =++=-+， 由22PB PC =，即2222(12)(5)2h h ++=-+，解得h =2. ∴P （-2，-2）

（3）设MN 交直线BC 于点E ，点M 的坐标为2(,45),t t t +-则点E 的坐标为(,55).t t - 若13,MEB ENB S S =D D ::则13.ME EN =::

24

34,45(55).3

EN MN t t t ∴=∴+-=

-:: 解得11t =（不合题意舍去），25,3t =540,.39M ??

∴ ???

若31,MEB ENB S S =D D ::则31.ME EN =::

214,454(55).EN MN t t t ∴=∴+-=-::

解得31t =（不合题意舍去），415,t =()15,280.M ∴

∴存在点M ，点M 的坐标为540,39??

???

或（15，280）

（五）

1、一个面上分别写上：1、

2、

3、

4、某同学把这写字一面朝下，先洗匀随机抽出一，放回洗匀后，再随机抽出一．求抽出两上数字之积小于6概率．（用树状图或列表法求解）

解：