第2章 第8讲第八讲 函数与方程

第二章 第八讲

A 组基础巩固

一、选择题

1．(教材改编题)如图所示的函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是导学号 30070429( B )

A ．①②

B ．①③

C ．①④

D ．③④

[解析] 根据零点存在性定理可知答案为B.

2．(2017·重庆市第一中学期中数学试题)函数f (x )＝ln x －1

x 的零点所在的大致区间是

导学号 30070430( B )

A ．(1

e

，1)

B ．(1，e )

C ．(e ，e 2)

D ．(e 2，e 3)

[解析] 因f (1)＝－1<0，f (e )＝1－1

e

>0，故应选B.

3．(2017·云南省昆明三中期中数学试题)设函数f (x )＝?

????

－x ，x <1

(x －1)2

，x ≥1，若f (a )＝1，则实数a 的值为导学号 30070431( B )

A ．－1或0

B ．2或－1

C ．0或2

D ．2

[解析] 通过分段函数以及f (a )＝1，即可求解a 的值．

解：函数f (x )＝?

????

－x ，x <1

(x －1)2

，x ≥1，若f (a )＝1， 当a ＜1时，－a ＝1，a ＝－1，成立． 当a ≥1时，(a －1)2＝1，解得a ＝2， 综上a 的值为：2或－1. 故选B.

[点拨] 本题考查分段函数的应用，函数的零点，基本知识的考查．

4．(教材改编题)为了求函数f (x )＝2x ＋3x －7的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x 和函数f (x )的部分对应值如下表所示：

则方程2x ＋3x ＝7的近似解可取为导学号 30070432( C ) A ．1.32

B ．1.49

C ．1.4

D ．1.3

[解析] 通过表格得知f (1.375)<0，f (1.4375)>0，所以函数唯一的零点x 0在区间(1.375,1.4375)内．故选C.

5．(2016·威海一模)用二分法研究函数f (x )＝x 5＋8x 3－1的零点时，第一次经过计算得f (0)<0，f (0.5)>0，则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为导学号 30070433( D )

A ．(0,0.5)，f (0.125)

B ．(0.5,1)，f (0.875)

C ．(0.5,1)，f (0.75)

D ．(0,0.5)，f (0.25)

[解析] ∵f (x )＝x 5＋8x 3－1，f (0)<0，f (0.5)>0，

∴f (0)·f (0.5)<0，∴其中一个零点所在的区间为(0,0.5)，第二次应计算的函数值应为f (0.25)，故选D.

6．(2017·云南省昆明三中期中数学试题)已知函数f (x )＝?????

|x ＋1|，x ≤0|log 2x |，x >0

，若方程f (x )＝a

有四个不同的解x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1＜x 2＜x 3＜x 4，则x 3(x 1＋x 2)＋1

x 23x 4

的取值范围是

导学号 30070434( B )

A ．(－1，＋∞)

B ．(－1,1]

C ．(－∞，1)

D ．[－1,1)

[解析] 作函数f (x )＝?

????

|x ＋1|，x ≤0

|log 2x |，x >0的图象如下，由图象可得x 1＋x 2＝－2，x 3x 4＝1；1

＜x 4≤2；从而化简x 3(x 1＋x 2)＋

1

x 23x 4

，利用函数的单调性求取值范围．

解：作函数

f (x )＝?

????

|x ＋1|，x ≤0

|log 2x |，x >0，的图象如下，

由图可知，x 1＋x 2＝－2，x 3x 4＝1；1＜x 4≤2； 故x 3(x 1＋x 2)＋

1x 23x 4＝－2

x 4

＋x 4， 其在1＜x 4≤2上是增函数， 故－2＋1＜－2

x 4＋x 4≤－1＋2；

即－1＜－2

x 4＋x 4≤1；

故选B.

[点拨] 本题考查了分段函数的应用，属于中档题．

7．(2016·郑州一模)已知函数f (x )＝?

????

x ＋2，x >a ，

x 2＋5x ＋2，x ≤a ，函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不

同的零点，则实数a 的取值范围是导学号 30070435( D )

A ．[－1,1)

B ．[0,2]

C ．[－2,2)

D ．[－1,2)

[解析] 解法一：由题意知g (x )＝?

????

2－x ，x >a ，

x 2＋3x ＋2，x ≤a ，因为g (x )恰有三个不同的零点，

所以2－x ＝0，当x >a 时，有一个解，由x ＝2得a <2.由x 2＋3x ＋2＝0得x ＝－1或x ＝－2，由x ≤a 得a ≥－1.综上，实数a 的取值范围为[－1,2)，故选D .

解法二：利用排除法，在同一平面直角坐标系内作出函数y ＝x ＋2，y ＝x 2＋5x ＋2的图象和直线y ＝2x ，如图所示．由图可知，当a <2时，直线y ＝2x 与y ＝x ＋2在(a ，＋∞)上有一个交点，当a ≥－1时，直线y ＝2x 与y ＝x 2＋5x ＋2的图象在(－∞，a ]上有两个交点，由于函数g (x )＝f (x )－ 2x 恰有三个不同的零点，即函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝2x 恰有三个交点，故－1≤a <2.

8．(2017·湖北荆州中学模底)若函数y ＝f (x )满足f (x ＋1)＝f (x －1)且x ∈[－1,1]时，f (x )＝1－x 2，函数g (x )＝????

?

lg x ，x >0－1x

，x <0，则实数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]内零点的个数为

导学号 30070436( C )

A ．5

B ．7

C ．8

D ．10

[解析] 依题意得，函数f (x )是以2为周期的函数，在同一坐标系下画出函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象，结合图象，当x ∈[－5,5]时，它们的图象的公共点共有8个，即函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]内的零点个数是8.故选C.

[易错提醒] 根据函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象容易忽视第二象限中函数图象的交点．

二、填空题

9．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )>0的解集是 {x |－

3

2

[解析] 因为f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2,3，所以－2,3是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两

根．由根与系数的关系知????? －2＋3＝－a ，－2×3＝b .所以?????

a ＝－1，

b ＝－6.

所以f (x )＝x 2－x －6.因为不等式af (－2x )>0，即－(4x 2＋2x －6)>0，化简得2x 2＋x －3<0，所以解集为{x |－3

2

10．在用二分法求方程x 2＝2的正实数根的近似解(精确度0.001)时，若我们选取初始区间是[1.4,1.5]，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是_7_.导学号 30070438

[解析] 设至少需要计算n 次，由题意知1.5－1.4

2n

＜0.001，即2n ＞100.由26＝64,27＝128，知n ＝7.

11．(2017·江苏省南京十三中高一上学期期中数学试题)若函数y ＝(1

2)|x |＋m 有零点，则实

数m 的取值范围是_[－1,0)_.导学号 30070439

[解析] 由题意转化为方程(1

2)|x |＝－m 有解，从而结合指数函数的性质判断取值范围即

可．

解：∵函数y ＝(1

2)|x |＋m 有零点，

∴方程(1

2)|x |＋m ＝0有解，

即方程(1

2

)|x |＝－m 有解，

∵|x |≥0，∴0＜(1

2

)|x |≤1，

∴0＜－m ≤1，故－1≤m ＜0，故答案为：[－1,0)． 三、解答题

12．(2016·郑州模拟)已知y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2

－2x .导学号 30070440

(1)写出函数y ＝f (x )的解析式；

(2)若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，求a 的取值范围． [解析] (1)当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)． 因为y ＝f (x )是奇函数，

所以f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－2(－x )]＝－x 2－2x ，

所以f (x )＝?????

x 2

－2x ，x ≥0，

－x 2－2x ，x <0.

(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1， 最小值为－1；

当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－x 2－2x ＝1－(x ＋1)2，最大值为1.

所以据此可作出函数y ＝f (x )的图象(如图所示)，根据图象，若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，则a 的取值范围是(－1,1)．

13．已知函数f (x )＝－x 2－2x ，g (x )＝?????

x ＋14x

，x ＞0，

x ＋1，x ≤0.导学号 30070441

(1)求g [f (1)]的值；

(2)若方程g [f (x )]－a ＝0有4个实数根，求实数a 的取值范围． [答案] (1)－2 (2)[1，5

4

)

[解析] (1)∵f (1)＝－12－2×1＝－3， ∴g [f (1)]＝g (－3)＝－3＋1＝－2.

(2)令f (x )＝t ，则原方程化为g (t )＝a ，易知方程f (x )＝t 在t ∈(－∞，1)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y ＝g (t )(t ＜1)与y ＝a 的图象有2个不同的交点，作出函数y ＝

g (t )(t ＜1)的图象，如图所示，由图象可知，当1≤a ＜5

4时，函数y ＝g (t )(t ＜1)与y ＝a 有2个

不同的交点，即所求a 的取值范围是[1，5

4

)．

B 组能力提升

1．(2017·山东省济南市历城区期中数学试题)已知函数f (x )与g (x )的图象在R 上不间断，由表知函数y ＝f (x )－g (x )在下列区间内一定有零点的是导学号 30070442( B )

A.(－1,0)

[解析] 分别计算x ＝－1,0,1,2,3时函数y 的符号，结合零点存在定理，即可得到所求区间．

解：当x ＝－1时，f (－1)－g (－1)＜0； 当x ＝0时，f (0)－g (0)＜0； 当x ＝1时，f (1)－g (1)＞0； 当x ＝2时，f (2)－g (2)＞0； 当x ＝3时，f (3)－g (3)＞0，

且函数f (x )与g (x )的图象在R 上不间断， 由零点存在定理可得，函数y 在(0,1)存在零点． 故选B.

[点拨] 本题考查函数的零点的范围，注意运用零点存在定理，考查运算能力，属于基础题．

2．设f (x )＝1－(x －a )(x －b )(a ＜b )，m ，n 为y ＝f (x )的两个零点，且m ＜n ，则a ，b ，m ，n 的大小关系是导学号 30070443( B )

A ．a ＜m ＜n ＜b

B ．m ＜a ＜b ＜n

C ．a ＜b ＜m ＜n

D ．m ＜n ＜a ＜b

[解析] 因为函数f (x )＝1－(x －a )(x －b )的图象开口向下，且f (a )＝f (b )＝1＞0，所以在区间[a ，b ]上，f (x )＞0恒成立，所以函数f (x )＝1－(x －a )(x －b )的两个零点在区间[a ，b ]的两侧，即m ＜a ＜b ＜n .故选B.

3．(2016·大连模拟)设方程log 4x －(14)x ＝0，log 14x －(1

4)x ＝0的根分别为x 1，x 2，则

导学号 30070444( A )

A ．0

B ．x 1x 2＝1

C ．1

D ．x 1x 2≥2

[解析] 在同一坐标系内画出函数y ＝(1

4)x ，y ＝log 4x ，y ＝log 14

x 的图象，如图所示，

则x 1>1>x 2>0，则log 4x 1＝(14)x 1，log 14x 2＝(14)x 2，得log 4(x 1x 2)＝(14)x 1－(1

4)x 2<0，

所以0

4．(2015·高考湖南卷)已知函数f (x )＝?

???

?

x 3，x ≤a ，x 2，x >a .若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b

有两个零点，则a 的取值范围是_(－∞，0)∪(1，＋∞)_.导学号 30070445

[解析] 令φ(x )＝x 3(x ≤a )，h (x )＝x 2(x >a )，函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，即函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝b

有两个交点，结合图象(图略)可得a <0或φ(a )>h (a )，即a <0或a 3>a 2，解得a <0或a >1，故a ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．

5．已知函数f (x )＝－x 2

＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2

x

(x ＞0).导学号 30070446

(1)若y ＝g (x )－m 有零点，求m 的取值范围；

(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根． [答案] (1)m ≥2e (2)(－e 2＋2e ＋1，＋∞)

[解析] (1)方法一 ∵g (x )＝x ＋e 2

x ≥2e 2＝2e ，

等号成立的条件是x ＝e ， 故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，

因而只需m ≥2e ，则y ＝g (x )－m 就有零点．

方法二 作出g (x )＝x ＋e 2

x (x ＞0)的大致图象如图．

可知若使y ＝g (x )－m 有零点，则只需m ≥2e.

(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异实根，即g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点， 作出g (x )＝x ＋e 2

x

(x ＞0)的大致图象如图．

∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2. ∴其图象的对称轴为x ＝e ，开口向下， 最大值为m －1＋e 2.

故当m －1＋e 2＞2e ，即m ＞－e 2＋2e ＋1时，g (x )与f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．

∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．

2019版同步优化探究文数(北师大版)练习：第二章 第八节 函数与方程及应用 含解析

课时作业 A 组——基础对点练 1．(2018·乌鲁木齐模拟)函数f (x )＝e x ＋2x －3的零点所在的一个区间是( ) A ．(－12 ，0) B ．(0，12) C ．(12，1) D ．(1，32 ) 解析：因为f (12)＝e 12－2＜0，f (1)＝e －1＞0，所以零点在区间(12 ，1)上． 答案：C 2．函数f (x )＝2x 6－x 4－1的零点个数是( ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．0 解析：函数f (x )＝2x 6－x 4－1的零点个数，就是方程2x 6－x 4－1＝0的实根的个数，变形为 2x 6＝x 4＋1，显然x ＝0不是方程的根；当x ≠0时，等价于2x 2＝1＋1x 4，令g (x )＝2x 2，h (x )＝1＋1x 4，作出函数g (x )和h (x )的图像如图所示，数形结合知函数g (x )和h (x )的图像有2个交点，即函数f (x )有2个零点． 答案：B 3．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x .则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( ) A ．{1,3} B ．{－3，－1,1,3} C ．{2－7，1,3} D ．{－2－7，1,3} 解析：当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ， 令g (x )＝x 2－3x －x ＋3＝0， 得x 1＝3，x 2＝1. 当x ＜0时，－x ＞0，∴f (－x )＝(－x )2－3(－x )， ∴－f (x )＝x 2＋3x ，∴f (x )＝－x 2－3x . 令g (x )＝－x 2－3x －x ＋3＝0， 得x 3＝－2－7，

教学案例《方程的根与函数的零点》

《方程的根与函数的零点》教学案例 肃南一中程斌斌 一、教学内容分析 本节课选自《普通高中课程标准实验教课书数学I必修本（A版）》第94-95页的第三章第一课时3.1.1方程的根与函数的的零点。 函数与方程是中学数学的重要内容，既是初等数学的基础，又是初等数学与高等数学的连接纽带。在现实生活注重理论与实践相结合的今天，函数与方程都有着十分重要的应用，再加上函数与方程还是中学数学四大数学思想之一，因此函数与方程在整个高中数学教学中占有非常重要的地位。 就本章而言，本节通过对二次函数的图象的研究判断一元二次方程根的存在性以及根的个数的判断建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后由特殊到一般，将其推广到一般方程与相应的函数的情形．它既揭示了初中一元二次方程与相应的二次函数的内在联系，也引出对函数知识的总结拓展。之后将函数零点与方程的根的关系在利用二分法解方程中（3.1.2）加以应用，通过建立函数模型以及模型的求解（3.2）更全面地体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系．渗透“方程与函数”思想。 总之，本节课渗透着重要的数学思想“特殊到一般的归纳思想”“方程与函数”和“数形结合”的思想，教好本节课可以为学好中学数学打下一个良好基础，因此教好本节是至关重要的。 二学生学习情况分析 地理位置：学生大多来自基层，学生接触面较窄，个性较活跃，所以开始可采用竞赛的形式调动学生积极性；学生数学基础的差异不大，但进一步钻研的精神相差较大，所以可适当对知识点进行拓展。 程度差异性：中低等程度的学生占大多数，程度较高的学生占少数。 知识、心理、能力储备：学生之前已经学习了函数的图象和性质，现在基本会画简单函数的图象，也会通过图象去研究理解函数的性质，这就为学生理解函数的零点提供了帮助，初步的数形结合知识也足以让学生直观理解函数零点的存在性，因此从学生熟悉的二次函数的图象入手介绍函数的零点，从认知规律上讲，应该是容易理解的。再者一元二次方程是初中的重要内容，学生应该有较好的基础对于它根的个数以及存在性学生比较熟悉，学生理解起来没有多大问题。这也为我们归纳函数的零点与方程的根联系提供了知识基础。但是学生对其他函数的图象与性质认识不深（比如三次函数），对于高次方程还不熟悉，我们缺乏更多类型的例子，让学生从特殊到一般归纳出函数与方程的内在联系，因此理解函数的零点、函数的零点与方程根的联系应该是学生学习的难点。加之函数零点的存在性的判定方法的表示抽象难懂。因此在教学中应加强师生互动，尽多的给学生动手的机会，让学生在实践中体验二者的联系，并充分提供不同类型的二次函数和相应的一元二次方程让学生研讨，从而直观地归纳、总结、分析出二者的联系。 三、设计思想 教学理念：培养学生学习数学的兴趣，学会严密思考，并从中找到乐趣 教学原则：注重各个层面的学生 教学方法：启发诱导式 四、教学目标

湖北省武汉市乐其教育培训学校八年级数学 一次函数讲义 第八讲 动点定线与动线定点(基础)(无答案)

【知识要点】第八讲动点定线与动线定点（基础） 运动路径与最值 一、运动与静止的统一 1．确定动点的运动轨迹（动点定线）：如何求定线解析式； 2．确定动线线上的定点（动线定点）：如何求动线上定点的坐标； 3．设定线上动点（任意点）的坐标； 4．设过定点的直线的解析式. 二、距离 1．点到点的距离：（1）定点到定点的距离；（2）定点到动点的距离的最小值； 2．点到线的距离：（1）定点到定线的距离；（2）定点到动线的距离的最大值； 3．两平行线之间的距离. ?起点 三、动点的运动路径长及几何最值：路径（定线）?. ?终点 【新知讲授】 例一、动点在定线上 已知无论a 取什么实数，点P( a -1，2 a -3)始终都在一条定直线l 上. 1．求定直线l 的函数解析式； 2．若点Q( m，n)也在直线l 上，则(2 m - n＋3)2 的值等于； 3．求OP 的最小值. 例二、动线过定点 : y =kx - 4k + 2 . 已知直线l 1 （1）求证：无论k 为何值，必过一个定点M，并求定点M 的坐标； : y =tx + 2t - 3 距离的最大值. （2）求点M 与动直线l 2

例三、已知点 P （ x 0 ， y 0 ） 和直线 y = kx + b ， 则点 P 到直线 y = kx + b 的距离证明可用公式 d = 计算．例如：求点 P （﹣1，2）到直线 y =3x +7 的距离． 解：∵直线 y = 3x + 7 ，其中k =3， b =7， ∴点P （﹣1，2）到直线 y = 3x + 7 的距离为： d = = = ． 5 根据以上材料，解答下列问题： （1）求点 P （1，﹣1）到直线 y = x -1的距离； （2）已知直线 y = -2x + 4 与 y = -2x - 6 平行，求这两条直线之间的距离． （3）已知在□ABCD 中，点 A （0，-2）、点 B （ 3m ，4m +1 ）（ m ≠-1），点 C （6，2），求对角线 BD 的最小值． 例四、如图，矩形 O ABC ，A 点在 x 轴正半轴上，C 点在 y 轴正半轴上，B 点的坐标为（8，6），P 为 O A 边上 的一个动点，M 为线段 CP 的中点，将点 M 绕 P 点顺时针旋转 90°得到点 N . 当 P 点从 O 点运动到 A 点的过程中，求动点 N 的运动路径长. C y B M N O P A x

第六讲 函数与方程

函数与方程 一、函数的零点： 定义：一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值等于零即()0f a =，则a 叫做这个函数的零点。对于任意函数，只要它的图像是连续不间断的，其函数的零点具有下列性质：当它通过零点（不是偶次零点）时函数值变号；相邻两个零点之间的所有的所有函数值保持同号。 特别提醒： 函数零点个数的确定方法： 1、判断二次函数的零点个数一般由判别式的情况完成； 2、对于二次函数在某个闭区间上零点的个数以及不能用判别式判断的二次函数的零点，则要结合二次函数的图像进行； 3、对于一般函数零点的个数的判断问题不仅要在闭区间[] ,a b 上是连续不间断的，且f(a)?f （b ）＜0，还必须结合函数的图像和性质才能确定。函数有多少个零点就是其对应的方程有多少个实数解。 二、二分法： 定义：对于区间[] ,a b 上连续的，且()()0f a f b -<的函数()y f x =，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而等到零点近似值的方法，叫做二分法。 特别提醒： 用二分法求函数零点的近似值 第一步：确定区间[] ,a b ，验证：f(a)?f （b ）＜0，给定精确度； 第二步：求区间[] ,a b 得中点1x ； 第三步：计算()1f x ；若()1f x =0，则1x 就是函数零点；若f(a)?f （x 1）＜0，则令1b x =； 若f(x 1)?f （b ）＜0，则令1a x = 第四步：判断是否达到精确度ε，即若a b ε-<，则得到零点近似值a ()b 或，否则 重复第二、三、四步。 （20-40分钟） 类型一求函数的零点 例1：求函数y ＝x －1的零点：

方程的根与函数的零点

方程的根与函数的零点 教学重点：确定方程实数根的个数 教学难点：通过计算器或计算机做出函数的图象 教学方法：探讨法 教学过程： 引入问题 一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的图象有什么关系？ 通过复习二者之间的关系引出新课（板书课题）： 1．函数零点的定义： 对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点（zero point ）.这样，函数()y f x =的零点就是方程()0f x =的实数根，也就是函数()y f x =的图象与x 轴的交点的横坐标，故有 2．一般结论 方程()0f x =有实数根?函数()y f x =的图象与x 轴有交点?函数()y f x =有零点 3．函数变号零点具有的性质 对于任意函数()y f x =，只要它的图象是连续不间断的，则有 （1）当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号。如函数2()23f x x x =--的图象在零点1-的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点1-时，函数值由正变为负，再通过第二个零点3时，函数值又由负变成正（见教材第102页“探究”题）。 （2）在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号。 4．注意点 （1）函数是否有零点是针对方程是否有实数根而言的，若方程没有实数根，则函数没有零点。 （2）如方程有二重实数根，可以称函数有二阶零点。 5．勘根定理 如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不间断的一条曲线，并且有 ()()0f a f b ?<那么函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点， 即存在(,)c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的实数根。 例1．求函数()ln 26f x x x =+-的零点个数。 分析：求函数的零点个数实际上是判断方程有没有实数根，有几个实数根的方法，其步骤是：

第八讲二次函数综合

冲刺中考二轮复习课题8 二次函数（二） 考点解读（链接中考，精讲精练） 例1、如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）。 （1）求抛物线的表达式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标。

例2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线)0(32 ≠-+=a bx ax y 与x 轴交于点A （2-，0）、B （4，0）两点，与y 轴交于点C 。 （1）求抛物线的解析式； （2）点P 从A 点出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向B 点运动，同时点Q 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度向C 点运动。其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动.当△PBQ 存在时，求运动多少秒使△PBQ 的面积最大，最多面积是多少？ （3）当△PBQ 的面积最大时，在BC 下方的抛物线上存在点K ，使2:5S PBQ CBK =△△：S ，求K 点坐标。

例3、如图，已知抛物线的顶点为M（5，6），且经过点C（﹣1，0）。 （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线与y轴交于点A，过A作AB∥x轴，交抛物线于另一点B，则抛物线上存在点P，使△ABP的面积等于△ABO的面积，请求出所有符合条件的点P的坐标； （3）将抛物线向右平移，使抛物线经过点（5，0），请直接答出曲线段CM（抛物线图象的一部分，如图中的粗线所示）在平移过程中所扫过的面积。

高考理科数学专题二 函数概念与基本初等函数 第五讲函数与方程答案

专题二 函数概念与基本初等函数Ⅰ 第五讲 函数与方程 答案部分 1．C 【解析】函数()()=++g x f x x a 存在 2个零点，即关于x 的方程()=--f x x a 有2 个不同的实根， 即函数()f x 的图象与直线=--y x a 有2个交点，作出直线=--y x a 与函数()f x 的图象，如图所示， x y –1–2123 –1 –2 1 23O 由图可知，1-≤a ，解得1≥a ，故选C ． 2．C 【解析】令()0f x =，则方程1 12()2x x a e e x x --++=-+有唯一解， 设2 ()2h x x x =-+，1 1()x x g x e e --+=+，则()h x 与()g x 有唯一交点， 又1111 1()2x x x x g x e e e e --+--=+=+ ≥，当且仅当1x =时取得最小值2． 而2 ()(1)11h x x =--+≤，此时1x =时取得最大值1， ()()ag x h x =有唯一的交点，则1 2 a = ．选C ． 3．B 【解析】当01m <≤时， 1 1m ≥，函数2()(1)y f x mx ==-，在[0,1]上单调递减，函数()y g x x m ==，在[0,1]上单调递增，因为(0)1f =，(0)g m =，2(1)(1)f m =-，(1)1g m =+， 所以(0)(0)f g >，(1)(1)f g <，此时()f x 与()g x 在[0,1]x ∈有一个交点；当1m >时，1 01m <<，函数2 ()(1)y f x mx ==-，在 1[0, ]m 上单调递减，在1[,1]m 上单调递增，此时(0)(0)f g <，在1 [0,]m 无交点， 要使两个函数的图象有一个交点，需(1)(1)f g ≥，即2 (1)1m m -+≥，解得3m ≥． 选B ．

第8讲 函数与方程

第八讲《函数与方程》 【学习目标】理解零点与方程实数解的关系，掌握函数的概念，性质，图像和方法的综合问题，熟悉导数与零点的结合，方程，不等式，数列与函数结合的问题。【基础知识回顾】： 1、 2.用二分法求方程近似解的一般步骤：

【基础知识自测】 1、已知不间断函数)(x f 在区间[]b a ,上单调，且)()(b f a f ?<0，则方程0)(=x f 在区间??b a ,上 （ ） （A ） 至少有一实根 （ B ） 至多有一实根 （C ）没有实根 （ D ）必有唯一的实根 2、函数x x f x 2ln )(- =的零点所在的大致区间是（ ） （A ） （1，2） （ B ） （2，3） （ C ） （e,3） （ D ）(e,+∞) 4、若函数)(x f 的图像与函数)(x g 的图像有且只有一个交点，则必有（ ） （A ）、函数)(x f y =有且只有一个零点 （B ）、函数)(x g y =有且只有一个零点 C 、函数)()(x g x f y +=有且只有一个零点 D 、函数)()(x g x f y -=有且只有一个零点 5、已知y=x(x-1)(x+1)的图像如图所示，令f(x)=x(x-1)(x+1)+0.01,则下列关于f(x)=0的解得叙述正确的是 ① 有三个实根 ② 当x>1时，恰有一实根 ③当0

方程的根与函数的零点题型及解析

方程的根与函数的零点 题型及解析 标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]

方程的根与函数的零点题型及解析1.求下列函数的零点 （1）f（x）=x3+1；（2）f（x）=；（3）y=﹣x2+3x+4；（4）y=x2+4x+4． 分析：根据函数零点的定义解f（x）=0，即可得到结论． 解：（1）由f（x）=x3+1=0得x=﹣1，即函数的零点为﹣1；（2）由f（x）==0 得x2+2x+1=0得（x+1）2=0，得x=﹣1，即函数的零点为﹣1．（3）由y=﹣x2+3x+4=0，可得（x﹣4）（x+1）=0，所以函数的零点为4，﹣1；（4）y=x2+4x+4，可得（x+2）2=0，所以函数的零点为﹣2． 2.①求函数f（x）=2x+x﹣3的零点的个数；②求函数f（x）=log 2 x﹣x+2的零点的个数；③求函数的零点个数是多少？ 分析：①由题意可判断f（x）是定义域上的增函数，从而求零点的个数；②由题意可 得，函数y=log 2 x 的图象和直线y=x﹣2的交点个数，数形结合可得结论．③由函数 y=lnx 的图象与函数y=的图 象只有一个交点，可得函数f（x）=lnx-（1／x）的零点个数． 解：①∵函数f（x）=2x+x﹣3单调递增，又∵f（1）=0，故函数f（x）=2x+x﹣3 有且只有一个零点 ②函数f（x）=log 2x﹣x+2的零点的个数，即函数y=log 2 x 的图象和直线y=x﹣2 的交点个数，如图所示：故函数y=log 2 x 的图象（红色部分）和直线y=x﹣2（蓝 色部分）的交点个数为2，即函数f（x）=log 2 x﹣x+2的零点的个数为2；③函数 f（x）=lnx-（1／x）的零点个数就是函数y=lnx的图象与函数y=1／x的图象 的 交点的个数，由函数y=lnx 的图象与函数y=1／x的图象只有一个交点，如图 所示， 可得函数f（x）=lnx-（1／x）的零点个数是1 3.①已知方程x2﹣3x+a=0在区间（2，3）内有一个零点，求实数a的取值范围 ②已知a是实数，函数f（x）=﹣x2+ax﹣3在区间（0，1）与（2，4）上各有一个 零点，求a的取值． ③已知函数f（x）=x2﹣2ax+4在区间（1，2）上有且只有一个零点，求a的取值范围 分析：①由已知，函数f（x）在区间（2，3）内有一个零点，它的对称轴为x=3／2，得出不等式组，解出即可； ②若函数f（x）=﹣x2+ax﹣3在区间（0，1）与（2，4）上各有一个零点，则f（0）＜0，f（1）＞0，f（2）＞0，f（4）＜0，解得答案；③若函数f（x）=x2﹣2ax+4只有一个零点，则△=0，经检验不符合条件；则函数f（x）=x2﹣2ax+4有两个零点，进而f （1）f（2）＜0，解得答案 解：①若函数f（x）=﹣x2+ax﹣3在区间（0，1）与（2，4）上各有一个零点，则f （0）＜0，f（1）＞0，f（2）＞0，f（4）＜0，即-3＜0，a-4＞0，2a-7＞0，4a-19＜0，解得：a∈（4，19／4）；②∵令f（x）=x2﹣3x+a，它的对称轴为x=3／2，∴函数f （x）在区间（2，3）单调递增，∵方程x2﹣3x+a=0在区间（2，3）内有一个零点，∴函数f（x）在区间（2，3）内与x轴有一个交点，根据零点存在性定理得出：f（2）＜0，f（3）＞0，即a-2＜0，9-9+a＞0，解得0＜a＜2；③解：若函数f（x）=x2﹣2ax+4只有

北师大版初二数学秋季班(教师版) 第8讲 一次函数--尖子班

北师大初二数学8年级上册秋季版（教师版） 最 新 讲 义

第8讲一次函数 知识点1 一次函数的定义 一般地，形如y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）的函数叫做一次函数. 正比例函数也是一次函数，是一次函数的特殊形式. 【典例】 1.下列函数：①y=πx；②y=2x﹣1；③y=5 x ；④y=3x-3（x-5）；⑤y=x2﹣1；⑥y=（x+1）（x-1） -x2﹣2x；⑦y= 3 2 x 1 x +中，是一次函数的有________________. 【答案】①②⑥ 【解析】解：①y=πx是一次函数； ②y=2x﹣1是一次函数； ③y=5 x ，未知数出现在分母的位置，不是一次函数； ④原式可化简为y=15，不是一次函数； ⑤y=x2﹣1，为指数的系数不为1，不是二次函数， ⑥原式可化简为y=-2x-1，是一次函数. ⑦y= 3 2 x 1 x +，未知数出现在分母位置，不是一次函数. 故事一次函数的有①②⑥ 故答案为①②⑥. 【方法总结】 本题主要考查了一次函数的定义，一个函数为一次函数的条件是：

①能化成形如y=kx+b 的形式；②k、b为常数，k≠0. 注意：①未知数的次数为1，且不能出现在分母的位置； ②正比例函数是特殊的一次函数，一次函数不一定是正比例函数. 2.已知y=（m﹣3）x|m|﹣2+1是一次函数，则m的值是__________. 【解析】解：由y=（m﹣3）x|m|﹣2+1是一次函数，得 {|m|?2=1 m?3≠0， 解得m=﹣3，m=3（不符合题意的要舍去）． 故答案为-3. 【方法总结】 一次函数y=kx+b满足：①k、b为常数；②k≠0；③自变量次数为1，由此可得答案． 牢记一次函数的定义，掌握判定一个函数是一次函数需要满足的条件是解题的关键. 【随堂练习】 1．（2017秋?蚌埠期中）当k=_____ 时，函数y=（k+3）x|k+2|﹣5是关于x的一次函数． 【解答】解：由原函数是一次函数得， k+3≠0 且|k+2|=1 解得：k=﹣1 故答案是：﹣1． 2．（2017秋?句容市月考）若函数y=（m+3）x2m+1+4x﹣2（x≠0）是关于x的一次函数，m=_______． 【解答】解：∵函数y=（m+3）x2m+1+4x﹣2（x≠0）是关于x的一次函数， ∴2m+1=1，m+3+4≠0， 解得：m=0； 或2m+1=0， 解得：m=﹣； 或m+3=0， 解得：m=﹣3．

【2021高考数学】第8节 函数与方程

第8节函数与方程 考试要求结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二 . 次方程根的存在性及根的个数 1.函数的零点 (1)函数零点的概念 函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点. (2)函数零点与方程根的关系 方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图像与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点. (3)零点存在性定理 若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解. 2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像与零点的关系 Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0 1

二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图像 与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点 零点个数210 [常用结论与微点提醒] 1.若连续不断的函数f (x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根. 2.由函数y＝f(x)(图像是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不 一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x) 在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件. 3.周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点. 诊断自测 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数f(x)＝lg x的零点是(1，0).( ) (2)图像连续的函数y＝f(x)(x∈D)在区间(a，b)?D内有零点，则f(a)·f(b)<0.( ) (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点.( ) 解析(1)f(x)＝lg x的零点是1，故(1)错. (2)f(a)·f(b)＜0是连续函数y＝f(x)在(a，b)内有零点的充分不必要条件，故(2)错. 1

教师专用教案-第八讲--函数与方程

铁山兰教育五星级私人教师教案 教材梳理 知识点一零点与方程根 1.函数的零点: 如果函数在实数处的值等于零，即， 则叫做这个函数的零点. 归纳: 方程有实数根函数的图象与轴有交点 函数有零点． 2.求函数的零点 ①(代数法)求方程的实数根； ②(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来,

并利用函数的性质找出零点． 3.二次函数零点的判定 二次函数的零点个数,方程的实根个数见下表: 4.二次函数零点的性质 ①二次函数的图象是连续的,当它通过零点时（不是二重零点）,函数值变号. ②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号. 引伸:对任意函数,只要它的图象是连续不间断的,上述性质同样成立. 5.二次函数的零点的应用 ①利用二次函数的零点研究函数的性质,作出函数的简图. ②根据函数的零点判断相邻两个零点间函数值的符号,观察函数的一些性质. 引伸:二次函数的零点的应用可推广到一般函数. 6.零点存在性的探索 (1)观察二次函数的图象: ①在区间上有零点__________;_______， _______, ______0（＜或＞＝） ②在区间上有零点__________;_______0（＜或＞＝）． (2)观察下面函数的图象 ①在区间上______(有/无)零点；_______0（＜或＞＝）． ②在区间上______(有/无)零点；_______0（＜或＞＝）．

③在区间上______(有/无)零点；_______0（＜或＞＝）． 提出问题: ①由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？ ②怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点？ 7.零点存在定理:如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根. 知识点二用二分法求方程的近似解 1.二分法定义: 对于在区间上连续不断,且满足的函数,就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法. 2.二分法步骤: 给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下： (1)确定区间,验证,给定精度； (2)求区间的中点； (3)计算： ①若，则就是函数的零点； ②若，则令（此时零点）； ③若，则令（此时零点）； (4)判断是否达到精度；即若，则得到零点零点值（或）； 否则重复步骤 知识点三函数的模型及其应用 (1)几类不同增长的函数模型 利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。 (2)函数模型及其应用 建立函数模型解决实际问题的一般步骤： ①收集数据；

2.9 函数与方程—讲义

2.9 函数与方程 一．【目标要求】 ①结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系， ②判断一元二次方程根的存在性及根的个数． ③会理解函数零点存在性定理，会判断函数零点的存在性. 二．【基础知识】 1．函数零点的概念： 对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。 2．函数零点与方程根的关系： 方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有点?函数)(x f y =有零点 3．函数零点的存在性定理： 如果函数)(x f y =在区间[],a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有 0)()(<或恒成立，则没有零点。 三．【技巧平台】 1.对函数零点的理解及补充 （1）若)(x f y =在x a =处其函数值为0，即()0f a =，则称a 为函数()f x 的零点。 （2）变号零点与不变号零点 ①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点。 ②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点。 ③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线，则0)()(

《方程的根与函数的零点》测试题

《3.1.1 方程的根与函数的零点》测试题 一、选择题 1.(2012天津)函数在区间(0，1)内的零点个数是( ). A.0 B.1 C.2 D.3 考查目的：考查函数零点的概念与零点存在性定理的应用. 答案：B. 解析：∵函数在区间(0，1)上连续且单调递增，又∵，，∴根据零点存在性定理可知，在区间内函数零点的个数有1个，答案选B. 2.(2010浙江)已知是函数的一个零点.若，，则( ). A. B. C. D. 考查目的：考查函数零点的概念、函数的性质和数形结合思想. 答案：B. 解析：(方法1)由得，∴.在同一直角坐标系中，作出函数，的图象，观察图象可知，当时，；当时，，∴，. (方法2)∵函数、在上均为增函数，∴函数在上为增函数，∴由，得，由，得. 3.若是方程的解，则属于区间( ).

A. B. C. D. 考查目的：考查函数零点的存在性定理. 答案：D. 解析：构造函数，由，知，属于区间(1.75，2). 二、填空题 4.若函数的零点位于区间内，则 . 考查目的：考查函数零点的存在性定理. 答案：2. 解析：∵函数在定义域上是增函数，∴函数在区间上只有一个零点. ∵，，，∴函数的零点位于区间内，∴. 5.若函数在区间(-2，0)与(1，2)内各有一个零点，则实数的取值范围. 考查目的：考查函数零点的概念，函数零点的存在性定理和数形结合思想. 答案：. 解析：由题意画出函数的草图，易得，即，解得. 6.已知函数，设函数有两个不同的零点，则实数 的取值范围是. 考查目的：考查函数零点的概念、函数与方程的关系和数形结合思想. 答案：.

解析：函数有两个不同的零点，即方程有两个不同的实数根，画出函数图象与直线，观察图象可得满足题意的实数的取值范围是. 三、解答题 7.利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根？ ⑴； ⑵. 考查目的：考查方程有实数根等价于函数的图象与轴交点的情况. 解析：⑴方程可化为，作出函数的图象，与轴有两个交点，故原方程有两个实数根； ⑵方程可化为，作出函数的图象，开口向上，顶点坐标为，与轴没有交点，故原方程没有实数根． 8.求出下列函数零点所在的区间. ⑴；⑵. 考查目的：考查函数零点的存在性定理. 解析：⑴∵函数的定义域为，且在定义域上单调递增，在 上最多只有一个零点.又∵，， ，∴函数的零点所在的区间为. ⑵∵函数的定义域为R，且在定义域上单调递减，∴函数在R上最多只有一个零点，又∵，，，∴函数零点所在的区间为.

数学必修1—9.函数与方程

第9讲 函数与方程（2） 考点1函数的零点 考法1函数零点的概念 1.把函数()y f x =的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点.也可说成是使函数值为零的自变量的值. 函数的零点是一个实数，而不是点，例如函数1y x =+的零点为1-，不是(1,0)-. 因此，函数()y f x =的零点就是方程()0f x =实数根.2()23f x x x =--的零点就是方程2230x x --=的两个实根. 2.并不是每一个函数都有零点，如函数2()1f x x =+没有零点. 3.若函数有零点，零点一定在定义域内. 考法2存在性定理 如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有()f a ()0f b ?<，那么，函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点，即存在(,)c a b ∈，使 ()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根． 函数在区间[,]a b 上有零点必须满足两个条件：①连续；②()()0f a f b ?<. 1.函数1()f x x =，易知(1)(1)0f f -?<，但1()f x x =在(1,1)-内没有零点. 2.函数()y f x =在区间(2,2)-内没有零点. 1.（2011·全国课标卷·文科）在下列区间中，函数34)(-+=x e x f x 的零点所在的区间为 C A.1(,0)4- B.1(0,)4 C.11(,)42 D.13(,)24 考法3唯一性定理

如果函数()y f x =在区间[,]a b 上连续且单调，如果有()()0f a f b ?<，那么函数()y f x =在区间(,)a b 内有且仅有一个零点. 1.（2014·北京卷·文科）已知函数26()log f x x x = -，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是 A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4,)+∞ 考点2判断函数的零点方法 考法1解对应的方程 1.求函数)1lg()(-=x x f 的零点． 2.求函数32()89f x x x x =--的零点. 考法2图像法 1.（2013·江西卷·理科）若a b c <<，则函数()()()()()f x x a x b x b x c =--+--+ ()()x c x a --两个零点分别位于区间 A A.(,)a b 和(,)b c 内 B.(,)a -∞和(,)a b 内 C.(,)b c 和(,)c +∞内 D.(,)a -∞和(,)c +∞内 2.（2010·天津卷·理科）函数()23x f x x =+的零点所在的一个区间是 B A.(2,1)-- B.(1,0)- C.(0,1) D.(1,2) 3.（2010·浙江卷·文科）已知0x 是函数1()21f x x =+-的一个零点，若10(1,)x x ∈ ，20(,)x x ∈+∞，则 B A.1()0f x <，2()0f x < B.1()0f x <，2()0f x > C.1()0f x >，2()0f x < D.1()0f x >，2()0f x > 4.设0x 是函数21()()log 3 x f x x =-的零点，若00a x <<,则()f a 的值满足 A.()0f a = B.()0f a < C.()0f a > D.符号不确定 考点3函数零点的应用 考法1判断函数零点的个数及所在的区间

高数多元函数微分学教案 第五讲 隐函数的求导公式

第五讲 隐函数的求导公式 授课题目： §8.4 隐函数的求导公式 教学目的与要求： 会求隐函数(包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数)的偏导数。 教学重点与难点： 重点：求由一个方程确定的隐函数的偏导数。 难点：求隐函数(包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数)的偏导数。 讲授内容： 一、一个方程的情形 隐函数存在定理1 设函数F (x , y )在点P (x 0, y 0)的某一邻域内具有连续偏导数, F (x 0, y 0)=0, F y (x 0, y 0)≠0, 则方程F (x , y )=0在点(x 0, y 0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y =f (x ), 它满足条件y 0=f (x 0), 并有 y x F F dx dy -=. （2） 公式（2）的推导：将y =f (x )代入F (x , y )=0, 得恒等式 F 【x , f (x )】≡0, 等式两边对x 求导得 0=???+??dx dy y F x F , 由于F y 连续, 且F y (x 0, y 0)≠0, 所以存在(x 0, y 0)的一个邻域, 在这个邻域同F y ≠0, 于是得 y x F F dx dy -= 例1 验证方程x 2+y 2-1=0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x =0时y =1的隐函数y =f (x ), 并求这函数的一阶与二阶导数在x =0的值. 解 设F (x , y )=x 2+y 2-1, 则F x =2x , F y =2y , F (0, 1)=0, F y (0, 1)=2≠0. 因此由

方程的根与函数的零点说课稿

《方程的根与函数的零点》说课稿 1 教材分析 1.1 地位与作用 本节内容为人教版《普通高中课程标准实验教科书》A版必修1第三章《函数的应用》第一节《函数与方程》的第一课时，主要内容是函数零点概念、函数零点与相应方程根的关系、函数零点存在性定理，是一节概念课． 新课标教材新增了二分法，也因而设置了本节课．所以本节课首先是为“用二分法求方程的近似解”打基础，零点概念与零点存在性定理的是二分法的必备知识．之前的教材虽然没有设置本节内容，但方程的根与函数的关系从来是重要且无法回避的，所以将本节课直接编入教材很有必要．本节课也就不仅为二分法的学习做准备，而且为方程与函数提供了零点这个连接点，从而揭示了两者之间的本质联系，这种联系正是“函数与方程思想”的理论基础．用函数的观点研究方程，本质上就是将局部的问题放在整体中研究，将静态的结果放在动态的过程中研究，这为今后进一步学习函数与不等式等其它知识的联系奠定了坚实的基础． 从研究方法而言，零点概念的形成和零点存在性定理的发现，符合从特殊到一般的认识规律，有利于培养学生的概括归纳能力，也为数形结合思想提供了广阔的平台． 1.2 教学重点 基于上述分析，确定本节的教学重点是：了解函数零点概念，掌握函数零点存在性定理． 2 学情分析 2.1 学生具备必要的知识与心理基础． 通过前面的学习，学生已经了解一些基本初等函数的模型，具备一定的看图识图能力，这为本节课利用函数图象，判断方程根的存在性提供了一定的知识基础．方程是初中数学的重要内容，用所学的函数知识解决方程问题，扩充方程的种类，这是学生乐于接受的，故而学生具备心理与情感基础． 2.2学生缺乏函数与方程联系的观点． 高一学生在函数的学习中，常表现出不适，主要是数形结合与抽象思维尚不能胜任．具体表现为将函数孤立起来，认识不到函数在高中数学中的核心地位． 例如一元二次方程根的分布问题，学生自然会想到韦达定理，而不是看二次函数的图象．函数与方程相联系的观点的建立，函数应用的意识的初步树立，就成了本节课必须承载的任务． 2.3直观体验与准确理解定理的矛盾． 从方程根的角度理解函数零点，学生并不会觉得困难．而用函数来确定方程根的个数和大致范围，则需要适应．换言之，零点存在性定理的获得与应用，必须让学生从一定量的具体案例中操作感知，通过更多的举例来验证．

【完成】第八讲函数图像的渐近线及其应用(教师版)

§8 函数图像的渐近线及其应用 秒杀知识点①② 知识点1：（渐近线的定义与类型） 1．若曲线C 上的动点P 沿着曲线无限地远离原点时，点P 与某一固定直线l 的距离趋于零，则称直线l 为曲线C 的渐近线． 2．渐近线分类：共分三类：水平渐近线（0α=），垂直渐近线π2α??= ??? 和斜渐近线（0πα<<），其中α为渐近线的倾斜角． 知识点2：（渐近线的求法） 设曲线()y f x =有斜渐近线y kx b =+．如图所示，曲线上动点P 到渐近线的距离 ()() cos PN PM f x kx b α==-+．① 根据渐近线定义，当x →+∞（对x →-∞的情形也有相应结果）时，0PN →，从而应有 ()()lim 0x f x kx b →+∞ -+=????，②或()lim x f x kx b →+∞-???=? ，③ 又由()()()1lim lim 00x x f x k f x kx b x x →+∞ →+∞?? -=-=?= ???． 得()lim x f x k x →+∞ =．④ 于是，若曲线()y f x =有斜渐近线y kx b =+，则k ，b 可由③，④确定，反之，若由④和③式求得k ，b ，再由②和①式得0PN →，从而直线y kx b =+为曲线()y f x =的渐近线．即斜渐近线问题就是③和④的极限问题． 若曲线()y f x =存在水平渐近线y b =，则有()lim x f x b →+∞ =或()lim x f x b →-∞ =，反之，则y b =是曲线() y f x =的水平渐近线． 若曲线()y f x =存在垂直渐近线0x x =，则有()0 lim x x f x →=∞或()0 lim x x f x +→=∞，()0 lim x x f x -→=∞，反之，则说

3.1.1方程的根与函数的零点教案(优秀教案)

《方程的根与函数的零点》的助学案 高一（8）班 授课教师 学习目标：1.掌握函数零点的概念；了解函数零点与方程根的关系； 2零点的概念及零点存在性的判定 学习难点：探究判断函数的零点个数和所在区间的方法. 预习案：先来画出几个具体的一元二次方程对应的二次函数的图象，并观察二次函数与x 轴交点个数？○ 1方程0322=--x x 与函数322 --=x x y ;○2方程0122=+-x x 与函数122+-=x x y ;○3方程0322=+-x x 与函数322+-=x x y 填下表？ 函数 322--=x x y 122+-=x x y 322+-=x x y 函数图象 函数与x 轴交点 f(x)=0的根 探究案： 探究1：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。 注意：①函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值；②存在性一致：方程f(x)＝0有实数根?函数y ＝f(x)的图象与x 轴有交点?函数y ＝f(x)有零点． 零点是针对函数而言的，根是针对方程而言的。 练习：求函数x x y 43 -=的零点

是不是所有的二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 都有零点？ ac b 42-=? 02=++c bx ax 的实根 )0(2≠++=a c bx ax y 图像与x 轴交点 0 (2≠++=a c bx ax y 有几个零点 ?>0 ?=0 ?<0 探究2:观察二次函数32)(2--=x x x f 的图象： ○1在区间()1,2-上有零点吗？______；=-)2(f _______， =)1(f _______,)2(-f ?)1(f _____0 （＜或＞）． ○2 在区间()4,2上有零点______；)2(f ?)4(f ____0 （＜或＞）． 观察下面函数)(x f y =的图象 ○1 在区间()b a ,上______(有/无)零点；)(a f ?)(b f _____0（＜或＞）． ○2 在区间()c b ,上______(有/无)零点；)(b f ?)(c f _____0（＜或＞）． ○3 在区间()d c ,上______(有/无)零点；)(c f ?)(d f _____0（＜或＞）． ○4()a f ?()c f _____0（＜或＞）．在区间()c a ,上______(有/无)零点？ ○5()()d f a f ? 0（＜或＞）。 思考：若函数)(x f y =满足()()0?n f m f ，在区间],[n m 上一定有零点吗？ 由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？ 训练案