量子力学导论第4章答案

第四章 力学量用算符表达与表象变换 4.1）设A 与B 为厄米算符，则

()BA AB +2

1和

()BA AB i

-21也是厄米算符。由此证明，任何一个算符F 均可

分解为-

+

+=iF F F ，+

F 与-

F 均为厄米算符，且

()()+

+

+-=

+=

F

F

i

F F

F

F 21

,2

1

证：ⅰ）()()()()BA AB AB BA B A A B BA AB +=+=+=??

?

???++++++

21212121

()BA AB +∴2

1

为厄米算符。

ⅱ）()()()()BA AB i AB BA i B A A B i BA AB i -=--=--=??

?

???-+++++

21212121

()BA AB i

-∴21

也为厄米算符。

ⅲ）令AB F =，则()BA A B AB F ===+

+

+

+

， 且定义 ()()+

+

+

-=

+=

F

F

i

F F

F F 21

,2

1 （1）

由ⅰ），ⅱ）得-+

-+++==F F F F

,，即+

F 和-

F 皆为厄米算符。

则由（1）式，不难解得 -

+

+=iF F F

4.2）设),(p x F 是p x ,的整函数，证明

[][]F , F,,p

i F x x

i F p ??=??-=

整函数是指),(p x F 可以展开成∑

∞

==0

,),(n m n

m

mn p x

C p x F 。

证： （1）先证[][

]1

1

, ,,--=-=n n

m m

p

ni p

x x

mi x

p 。

[][][][][][][][

]()()

[

]()1

1

1

1

113

3

1

3323

12

22

1

1

1

1,1,3,,2,,,,,------------------=---=+--==+-=++

-=++-=+=m m m m m m m m m m m m m m m m m m

x

mi x

i x

i m x

x p x i m x

x

p x

i x x p x x p x

x i x x p x x p x x

i x

x p x p x x p

同理，

[][][][][][

]1

2

2

1222

111

,2,,,,,--------==+=++=+=

n n n n n n n n n

p

ni p

p

x p i p p x p p x p

p i p p x p x p

p x

现在，

[][]()∑∑∑∞

=-∞

=∞

=-=

=

??

?

???=0

,1

0,0,,,,n m n

m mn

n m n

m

mn

n m n m mn p

x

mi C p

x p C p x C p F p

而 ()∑∞

=--=

??-0

,1

n m n

m mn

p

x

mi C x

F i

。

[]F , x

i F p ??-=∴

又

[][]

()

∑∑∑∞

=-∞

=∞

==

=

??

?

???=0

,1

,0,,,,n m n m

mn

n m n

m

mn

n m n m mn p ni x

C

p x x

C

p x C x F x

而 ()∑∞

=-=

??0

,1

n m n m

mn

p ni x

C

p

F i

[]F , p

i F x ??=∴

4.3）定义反对易式[]BA AB B A +=+

,，证明

[][][][][][]

+

+

+

+

-=-=C A B C B A BC A B

C A C B A C AB ,,,,,,

证：

[][][]()()[][]B

C A C B A B CA AC CB BC A CAB ACB ACB ABC B

C A C B A C AB ++-=+-+=-+-=-=,,,,, [][][]()()[][]

+

+

-=+-+=-+-=+=C A B C B A CA AC B C BA AB BCA

BAC BAC ABC C A B C B A BC A ,,,,,

4.4）设A ，B ，C 为矢量算符，A 和B 的标积和矢积定义为

()

∑∑

=

?=

?αβγ

βααβγ

α

ααεB A B A B A B A ,

z y x ,,,,=γβα，αβγε为Levi-civita 符号，试验证

()()

γαβγ

βααβγ

εC B A C B A C B A ∑=

??=?? （1）

()[]()()α

α

C

B A

C B A C B A ?-?=?? （2）

()[]

()()

C B A C B A C B A ?-?=??ααα

（3）

证：

（1）式左端()

()()()x y y x z z x x z y z y z y x C B C B A C B C B A C B C B A C B A -+-+-=??=

γαβγ

βααβγ

εC B A ∑=

（1）式右端也可以化成 ()

γαβγ

βααβγεC B A C B A ∑=??。 （1）式得证。

（2）式左端()[]

()

()

β

γγ

βα

C

B A C

B A C

B A ?-?=??= （3,2,1===γβα）

()()()αγγββγαγβαβγααγγαββαβC B A B A C B A C B A C B C B A C B C B A +-+=---=（2）式右

端()()

ααC B A C B A ?-?=

()α

γγββγαγβαβαγγαββαααγαγβαβαααC B A B A C B A C B A C B A C B A C B A C B A C B A C B A +-+=---++=

故（2）式成立。

（3）式验证可仿（2）式。

4.5）设A 与B 为矢量算符，F 为标量算符，证明

[][][]B F A B A F B A F ,,,?+?=? （1） [][][]B F A B A F B A F ,,,?+?=? （2）

证：（1）式右端()()

F B B F A B F A A F -?+?-=

F B A B F A B F A B A F ?-?+?-?=

[]

=?=?-?=B A F F B A B A F ,（1）式左端

（2）式右端 ()()

F B B F A B F A A F -?+?-= F B A B F A B F A B A F ?-?+?-?=

[]

=?=?-?=B A F F B A B A F ,（2）式左端

4.6）设F 是由r ，p 构成的标量算符，证明

[]F

r i p p

F i F L ??

-???= , （1） 证：[]

[][][]k F L j F L i F L F L z y x ,,,,++= （2）

[][][][][]

[])

2.4( ,,,,,,题???

? ????-??-???

? ????-??=??-??+??+??-=--+=-=y F z z F y i p p F p p F i p p F i y

F z

i p y

F i z

F y i p F z F p z p F y F p y F zpy ypz

F Lx y z z y y z

z y y z z

x

x

r i p i ? ???-?

??? ??= （3） 同理可证，[]y

y

y F

r i p F i F L ?? ????-???????= , （4） []z

z

z F r i p F

i F L ?

????-???????= , （5） 将式（3）、（4）、（5）代入式（2），于是（1）式得证。

4.7）证明 p i p L L p 2=?+?

()[

]

p L p L L p i ,2

=?-? 。

证：()

[][]

z y z y y z z y y z z y x

p L L p p L p L L p L p p

L L p ,,+=-+-=?+?

利用基本对易式 [][]γαβγβαβαεp i L p p L ==,, 即得 ()

x x

p i p

L L p 2=?+? 。

因此 p i p L L p 2=?+? 其次，由于x p 和x

L 对易，所以

[][][][

][]

[][]

()()()[]

()

x

y z z y y z z y y z z y z y y z x z z z x z x y y y x y x Z x y x p

L L p i p L p L L p L p i p L L p p L L p i p L L L p L p L L L p L p L p L p L

?-?=---=++--=+++=+= ,,,,,,,2

2

2

因此，()[]

p L p L L p i ,2=?-?

4.8）证明()

p r i p r p r L ?+?-= 2

22 （1）

()()

()()

2

22

2

p L L p p L L p p L =???-=?=? （2）

()()

2

2

2

2

4p p L p L L p +=???- （3）

()()2

p

L i p L p L -=??? （4）

证: （1）利用公式 ，(

)()

C B A C B A ??=??，有

()()()[]()()[]()()()

p r r p P r p p

r r p r r p p r r p p r r p L

??-?=?-?=???-=???-=2

2

其中 ()r i p r r i p r r p 22222-=?-=

()

i p r r i p r r p 3-?=??-?=?

因此 ()

p r i p

r p r L ?+?-?= 2

2

2

2

（2）利用公式， ()()

0=??=??p p L p p L （Δ） 可得 ()()()[]

L p p L L p p L ???-=???-

()()[](

)

[]()0

2

,L

02

22

==?-=??-?=P

p L L p L L p p L p p L ①

()()()()[]p L p L p L p L p L ???=???=?2

()[

]

[

]()0

2

,L

2

22

==?-?=P

p L p L p L p L ②

()()()()[]L p L p L p L p L p ???=???=?2

()[

]

2

22

p L L p L p p L =??-= ③

由①②③，则（2）得证。 （3）(

)()()()p i L p L p p

L L p 2)

1( ) 7.4-??????-

()()()2

2

2

22

22

4222)

()1( ) 7.4p

p L p p L p i i p L p

L p i L p

+??--??-?=?

（4）就此式的一个分量加以证明，由4.4）（2），

()[]

()()

ααα

C B A C B A C B A ?-?=??

()()[]()()()[]x

x

x

p

L p L p L p L p L p L ??-??=??? ，

其中(

)

y y z z x x e p e p i L p p L -+=

（即[]

k p i j p i k p j p i p L y z z y x x -+=++0,）

()()[]()()()()[]()[]()()[]()2

2

p

L i p L i p p L p p L i p p L i p

L p L e p e p p L i L p p L p L p L x

x

x

x

z

y

y

z

z

x

x

-=-=?-?=??=??--??+??=???

类似地。可以得到y 分量和z 分量的公式，故（4）题得证。

4.9）定义径向动量算符 ??

?

???+?=

r r p p r r p r 1121 证明：()r r

p p a =+

， ()??? ??+??

-=r r

i p b r 1 ，

()[] i p r c r =, ，

()r r r r r r r p d r

????-=???? ?

???+??-=222222

2

12

， ()2

22

2

1

r p L r

p

e +=

证：()()

+

+

+

+

=A B C a ABC

，

r 1121112111 21 p p r r r r p p r r r r p r r p p r r p

r

=??

?

???+?=

???????????? ??+??? ???=??? ???+?=∴++

+

++++

+

即r p 为厄米算符。

()?

?? ??+??

-=???

??--??-=???? ???--??

-=??

??????+??-

??-=???? ????-?=??

?

?

???????? ????-+???? ???+???? ???=??? ???+?=r r

i r r i r i r r r r i r i r r r r i r r i r r i p r r

r r i p r r p r r r r p p r r p b 11323211

22211121 3r

()[]

i r r r r i r r r r i r r i r r r i p r c r =??

? ????--??-=??

? ????-??-=????????-=??????+??-=

1,1,,

())

(2

221

b r r p d r

??? ??+??-= ???

? ??+??+??+??-=22

2

2111r r r r r r

???

? ????+??-=???? ??+-??+??+??-=r r r r r r r r r r 2111122

222222

r

r

r

r

????-=2

2

2

1

()e 据4.8）

（1），()

p r i p

r p r L ?+?-?= 2

2

2

2

。

其中 r

r

i r i p r ??-=??-=? ，

因而 r

r

r r

r

r

p r L ??+??? ?

?????+=2

2

2

2

2

???

?

????+??+=r r r r p r 22

222

2

2

以2

-r

左乘上式各项，即得

???

? ????+??-=

r r r L r

p 21222

2

2

2

()

d

)9.4=

2

22

1r p L r

+

4.10)利用测不准关系估算谐振子的基态能量。 解：一维谐振子能量 2

22

2

12x m m

p E x

x ω+

=

。

又02

2==

?

+∞

∞

--dx xe

x x

απ

α奇，

ω

αm =

，0=x p ，

（由(3.8)、(3.9)题可知0,0==x p x ） x x x x =-=?∴ ，x x x x p p p p =-=?，

由测不准关系，,2

=??x p x 得 x

p x 2

=。

222

21221 x m x m E x

ω+??? ??=∴ 028232

=+??? ??-=

x m x m dx

dE x

ω

，得 ωm x 22

=

ωωωω

212212822

0=??? ??+??? ??=

m m m m E x 同理有ω 2

10=

y E ，ω 2

10=

z E 。

∴谐振子（三维）基态能量ω 230000=

++=z y x E E E E 。

4.11) 利用测不准关系估算类氢原子中电子的基态能量。 解：类氢原子中有关电子的讨论与氢原子的讨论十分相似，只是把氢原子中有关公式中的核电荷数e +换成ze +（z 为氢原子系数）而u 理解为相应的约化质量。故玻尔轨迹半径 2

2

0ue

a

=，在类氢原子中变为z

a a 0

=

。

类氢原子基态波函数a

r e a

-=

3

1001

πψ，仅是r 的函数。

而r

ze u

p

H 2

2

2-

=

，如果只考虑基态，它可写为

r

ze u

p H r

2

2

2-

=

，??

?

??+

-=r dr

d i p r 1 r p 与r 共轭，于是 ~r p r ??，r r ~?，

r ze r m r

ze u

p E r

2

2

22

2

2~

2-

-

=

（1）

求极值 r

ze r

m r

E 2

3

20+-=??=

由此得a z

a mze

r ==

=0

2

2

（0

a ：玻尔半径；a ：类氢原子中的电子基态“轨迹”半径）

。代入（1）式，得

基态能量，a ze

e

mz E 22~2

2

4

2-=-

运算中做了一些不严格的代换，如

r

r

1

~1，作为估算是允许的。

4.12)证明在分立的能量本征态下动量平均值为0。 证：设定态波函数的空间部分为ψ，则有ψψE H = 为求p 的平均值，我们注意到坐标算符i x 与H 的对易关系：

[]()

u p i x V u p p x H x i j j j i i =??

????+=

∑2,,。

这里已用到最基本的对易关系[]ij j i i p x δ =,，由此

[

](

)()0

,=ψ

ψ-ψ

ψ=

ψ

ψ-ψ

ψ=ψψ=

ψψ=∧

i i

i i i i i Ex E x i u Hx H x i u H x i u p p

这里用到了H 的厄米性。

这一结果可作一般结果推广。如果厄米算符∧

C 可以表示为两个厄米算符∧A 和∧

B 的对易子??

?

???=∧∧∧

B A i

C ,，则在∧

A

或∧B 的本征态中，∧

C 的平均值必为0。

4.13）证明在的本征态下，0==y x L L 。 （提示：利用x y z z y L i L L L L =-，求平均。）

证：设ψ是z L 的本征态，本征值为 m

，即ψψ m L z =

[]

x L i =-=y z z y z y L L L L L ,L ， []y L i =-=z x x z x z L L L L L ,L ，

(

)(

)()0

111 =ψ

ψ-ψψ=

ψ

ψ-ψψ=ψψ-ψψ=

∴y y y z z y

y z z y

x L m L m i L L L L i L L L L i L

同理有：0=y L 。

4.14) 设粒子处于()?θ,lm Y 状态下，求()2

x L ?和()2

y L ?

解：记本征态lm Y

为lm ，满足本征方程

()lm l l lm L 2

2

1 +=

，lm m lm L z =

，lm m L lm z =，

利用基本对易式 L i L L =?，

可得算符关系 ()()x y z x z y x y z z y x x x L L L L L L L L L L L L L i L i -=-== 2

()x y z z x y y x y z y z x y L L L L L L L i L L L L i L L L -+=-+=2

将上式在lm 态下求平均，因z L

作用于lm 或lm 后均变成本征值 m ，使得后两项对平均值的贡献互相抵消，

因此

2

2

y

x

L L =

又()[

]2

2

2

2

2

1

m

l l L L L z

y

x -+=-=+

()[]2

2

2

2

12

1

m l l L L y

x

-+=

=∴

上题已证

0==y x L L 。

()()

()[]2

2

2

2

2

2

2

12

1

m l l L L L L L L x

x

x x

x x -+=

=-=-=?∴

同理 ()()[]2

2

2

12

1

m l l L y -+=

?。

4.15)设体系处于202111Y C Y C +=ψ状态（已归一化，即12

2

2

1=+C C ），求

（a ）z L 的可能测值及平均值; （b ）2L 的可能测值及相应的几率； （c ）x L 的可能测值及相应的几率。

解：112

1122 Y Y L =，202

202

6 Y Y L =；

1111 Y Y L z =，20200 Y Y L z =。

（a ）由于ψ已归一化，故z L 的可能测值为 ，0，相应的几率为21C ，22C 。平均值 2

1C L z =。 （b ）2

L 的可能测值为2

2 ，2

6 ，相应的几率为21C ，2

2C 。

（c ）若1C ，2C 不为0，则x L （及y L ）的可能测值为： 2， ，0， -， 2-。

1）x L 在1=l 的空间，()

z L L ,2

对角化的表象中的矩阵是????

?

??01

0101

010

2 求本征矢并令1= ，则????

? ??=????? ???????

??c b a c b a λ01

101

010

21， 得，a b λ2=，b c a λ2=+，c b λ2=。1,0±=λ。

ⅰ）取0=λ，得a c b -== ,0，本征矢为????? ??-a a 0，归一化后可得本征矢为?

???

?

??-10121。

ⅱ）取1=λ，得c a b 22=

=，本征矢为????? ??a a a 2，归一化后可得本征矢为?

???

?

??12121。

ⅲ）取1-=λ，得c a b 22-=-=，归一化后可得本征矢为????

?

??-12121。

在???

?

? ??=001111

1C Y C 态下， x L 取0的振幅为()

2

1012100

1

11C C =????

?

??-，x L 取0的几率为

2

2

1

C ；x L 取

的振幅为()21212100

1

11C C =?

???

?

??，相应的几率为4

2

1

C

；

x L 取 -的振幅为()21212100

1

11C C =?

???

?

??-，相应的几率为4

2

1

C

。总几率为2

1C 。

2）x L 在2=l 的空间，()z L L ,2

对角化表象中的矩阵

利用 ()()1211++-=

+m j m j m j j m

j x ()()12

11+-+=

-m j m j m j j m j x

11222 =∴x j ，2

30212=x j ，2

31202=

-x j ，12212=--x j 。

????????? ??=010

102

30002

302

30

002

30100010

x L ，本征方程???????? ??=??????

??

???????

???

?

??e d c b a e d c b a λ010

00

102

30002

302

30002

301000

10 a b λ=，b c a λ=+2

3，

()c d b λ=

+2

3，

d e c λ=+2

3，e d λ=，2,1,0±±=λ。

ⅰ）0=λ，0=b ，

c a 2

3-=，0=d ，

c e 2

3-=本征矢为

?????

?

??

? ?

?

-103201

83。在?????

??? ??=001002202C Y C 态下，测得0=x L

的振幅为()

2103201

8300

100

22C C -=???

?

??

??

? ?

?-。几率为4

2

2

C ；

ⅱ）1=λ，a b =，0=c ，b d -=，e d =，本征矢为???????

?

??--1101121。在202Y C 态下，测得 =x L 的振幅为

()0110112100

100

2=???????

?

??--C ，几率为0。

ⅲ）1-=λ，a b -=，0=c ，b d -=，d e -=，本征矢为???????

?

??--110112

1，在202Y C 态下，测得 -=x L 几率为0。

ⅳ）2=λ，a b 2=，a c 6=

，a e d 22==，a c

e ==6

，

本征矢为???????

? ??1262141，在202Y C 态下，测得 2=x L 的振幅为()2246126214100

100

C C =

?????

??

? ?

?。几率为2

283C ；

ⅴ）2-=λ，a b 2-=，a c 6=

，a d 2-=，a e =，本征矢为???????

?

??--1262141

，在202Y C 态下，测得 2-=x L 的

几率为

2

2

8

3C 。

2

2

2

2

418383 C C =??

?

??++∴。

在202111Y C Y C +=ψ态中，测x L （和y L ）的可能值及几率分别为：

222

1

2

2

2

1

2

1

2

2

8

34

14121418320

2C C C C C C +

--

4.16）设属于能级E 有三个简并态1ψ，2ψ和3ψ，彼此线形独立，但不正交，试利用它们构成一组彼此正交归一的波函数。 解： ()

11111,1

ψψψψ?=

=a

()12

12

'

2,?ψ?ψ

?-=，()

'

2'

2

'2

2,1

???

?=

，

()()2321313'

3,,?ψ??ψ?ψ?--=，()

'

3'

3

'3

3,1

???

?=

。

321,,???是归一化的。

()()

()()()[]0,,,,1

,112121'

2

'2

21=

-=

??ψ?ψ???

??，

()()

()()()()()[]0,,,,,,1

,2132113131'

3

'3

31=--=??ψ???ψ?ψ?????， ()()

()()()()()[]0,,,,,,1

,2232123132'

3

'3

32=--=

??ψ???ψ?ψ???

??。

∴它们是正交归一的，但仍然是简并的（可验证：它们仍对应于同一能级）。

4.17）设有矩阵S C B A ,,,等，证明 ()()()B A AB det det det ?=，()A AS S det det 1

=-，

()()BA Tr AB Tr =，()TrA AS S

Tr =-1

，()()()CAB Tr BCA Tr ABC

Tr ==，

A det 表示矩阵A 相应的行列式得值，TrA 代表矩阵A 的对角元素之和。

证：（1）由定义()n n

ni i i i i n a a a i i

P A 211211

det ∑=

，

()()()()()??

?

??-=

011

11

111其他情形的奇置换是当的偶置换是当n i i n i i i i P n n n

故上式可写成：()()n n n

i j i j i j i i n n a a a j j P i i

P A 2211111

det ∑=

，

其中()n j j 1是()n 1的任意一个置换。

()()n n

ni i i i i n C C C i i

P AB C 211211

det det ∑=

=∴ ()

∑∑=

n

n

n n n i i j j i j nj i j j i j j n b a b a b a

i i

P 11222111

211

()∑

∑??

????=

n

n n n n

j j i i i j i j i j n nj j j b b b i i P a a a 11221121121 ()()()∑

∑??

?

???=

n

n n n n j j i i i j i j i j n n nj j j n b b b j j P i i P a a a j j P 1122112111211

B A det det ?=

（2）()A S S S A S AS S det det det det det det det 111??=??=---

()A A S S

det det det 1

=?=-

（3）()()BA Tr a b

b a

AB Tr ik

ik ki

ik

ki ik

∑∑==

=

（4）()()[

]()[]()TrA

ASS

Tr S AS Tr AS S Tr AS S

Tr ====----1

11

1

（5）()()()CAB Tr b a c BCA

Tr a c b

c b a ABC Tr jk

ij ijk

ki ij ijk

ki jk

ijk

ki

jk ij ====

=∑∑∑

简述建立量子力学基本原理的思想方法

简述建立量子力学基本原理的思想方法 摘要：量子力学是大学物理专业的一门必修理论基础课程，它研究的对象是分子、原子和基本粒子。本文对建立量子力学基本原理的思想方法作一简单叙述，供学员在学习掌握量子力学的基本理论和方法时参考。 关键词：量子力学；力学量；电子；函数 作者简介 0引言 19世纪末，由于科学技术的发展，人们从宏观世界进入到微观领域，发现了一系列经典理论无法解释的现象，比较突出的是黑体辐射、光电效应和原子线光谱。普朗克于1900年引进量子概念后，上述问题才开始得到解决。爱凶斯坦提出了光具有微粒性，从而成功地解释了光电效应。 1量子力学 量子力学是研究微观粒子的运动规律的物理学分支学科，它主要研究原子、分子、凝聚态物质，以及原子核和基本粒子的结构、性质的基础理论，它与相对论一起构成了现代物理学的理论基础。量子力学不仅是近代物理学的基础理论之一，而且在化学等有关学科和许多近代技术中也得到了广泛的应用。 2玻尔的两条假设 玻尔在前人工作的基础上提出了两条假设，成功地解释了氢原子光谱，但对稍微复杂的原予(如氦原子)就无能为力。直到1924年德布罗意提出了微观粒子具有波粒二象性之后才得到完整解释。 1924年，德布罗意在普朗克和爱因斯坦假设的基础上提出了微观粒子具有波粒二象性的假设，即德布罗意关系。1927年，戴维孙和革末将电子作用于镍单晶，得到了与x射线相同的衍射现象，从而圆满地说明了电子具有波动性。 2.1自由粒子的波动性和粒子性 它的运动是最简单的一种运动，它充分地反映了自由粒子的波动性和粒子性，将波(平面波)粒( p，E) 二象性统一在其中。如果粒子不是自由的，而是在一个变化的力场中运动，德布罗意波则不能描写。我们将用一个能够充分反映二象性特点的

量子力学教程课后习题答案

量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)()(5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλ λρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ

? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=h v ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ

量子力学简明教程

量子力学教案 主讲周宙安 《量子力学》课程主要教材及参考书 1、教材： 周世勋，《量子力学教程》，高教出版社，1979 2、主要参考书： [1] 钱伯初，《量子力学》，电子工业出版社，1993 [2] 曾谨言，《量子力学》卷I，第三版，科学出版社，2000 [3] 曾谨言，《量子力学导论》，科学出版社，2003 [4] 钱伯初，《量子力学基本原理及计算方法》，甘肃人民出版社，1984 [5] 咯兴林，《高等量子力学》，高教出版社，1999 [6] L. I.希夫，《量子力学》，人民教育出版社 [7] 钱伯初、曾谨言，《量子力学习题精选与剖析》，上、下册，第二版，科学出版社，1999 [8] 曾谨言、钱伯初，《量子力学专题分析（上）》，高教出版社，1990 [9] 曾谨言，《量子力学专题分析（下）》，高教出版社，1999 [10] P.A.M.Dirac,The Principles of Quantum Mechanics (4th edition), Oxford University Press (Clarendon),Oxford,England,1958；（《量子力学原理》，科学出版社中译本，1979） [11]https://www.sodocs.net/doc/f010746020.html,ndau and E.M.Lifshitz, Quantum Mechanics (Nonrelativistic Theory) (2nd edition),Addison-Wesley,Reading,Mass,1965；（《非相对论量子力学》，人民教育出版社中译本，1980）

第一章绪论 量子力学的研究对象： 量子力学是研究微观粒子运动规律的一种基本理论。它是上个世纪二十年代在总结大量实验事实和旧量子论的基础上建立起来的。它不仅在进到物理学中占有及其重要的位置，而且还被广泛地应用到化学、电子学、计算机、天体物理等其他资料。 §1.1经典物理学的困难 一、经典物理学是“最终理论”吗？ 十九世纪末期，物理学理论在当时看来已经发展到相当完善的阶段。那时，一般物理现象都可以从相应的理论中得到说明： 机械运动（v<

量子力学导论第6章答案

第六章 中心力场 6.1) 利用6.1.3节中式（17）、（18），证明下列关系式 相对动量 ()21121p m p m M r p -==? μ （1） 总动量 1p p R M P +==? （2） 总轨迹角动量p r P R p r p r L L L ?+?=?+?=+=221121 （3） 总动能 μ 22222 22 221 21p M P m p m p T + =+= （4） 反之，有 ,11r m R r μ+ = r m R r 2 2μ-= （5） p P m p +=2 1μ ，p P m p -= 1 2μ （6） 以上各式中，()212121 ,m m m m m m M +=+=μ 证： 2 12 211m m r m r m R ++= ， （17） 21r r r -=， （18） 相对动量 ()211221212 11p m p m M r r m m m m r p -=??? ? ??-+= =? ?? μ （1’） 总动量 ()212 1221121p p m m r m r m m m R M P +=+++==? ?? （2’） 总轨迹角动量 221121p r p r L L L ?+?=+= )5(2211p r m u R p r m u R ???? ? ??-+????? ?? += () () 2112 211p m p m M r p p R -? ++?= ) 2)(1(p r P R ?+?= 由（17）、(18)可解出21,r r ，即（5）式；由（1’）（2’）可解出（6）。 总动能()22 11 2 262221212222m p P m m p P m m p m p T ??? ? ??-+ ? ?? ? ??+=+= μμ 2 12 2 2 2 2 122 11 2 2 2 2 12 2222m m p P u m p P m m u m m p P u m p P m m u ?- + + ?+ + =

量子力学习题集及答案

09光信息量子力学习题集 一、填空题 1． 设电子能量为4电子伏，其德布罗意波长为（ 6.125ο A ）。 2． 索末菲的量子化条件为=nh pdq ），应用这量子化条件求得一维谐振 子的能级=n E （ ηωn ）。 3． 德布罗意假说的正确性，在1927年为戴维孙和革末所做的（ 电 ）子衍 射实验所证实，德布罗意关系（公式）为（ ηω=E ）和（ k p ρηρ = ）。 4． 三维空间自由粒子的归一化波函数为()r p ρ ρψ=（ r p i e ρ ρη η?2 /3) 2(1π ）， () ()=? +∞ ∞ -*'τψψd r r p p ρρρρ（ )(p p ρ ρ-'δ ）。 5． 动量算符的归一化本征态=)(r p ρ ρψ（ r p i e ρ ρηη?2/3)2(1π ），=' ∞ ?τψψd r r p p )()(*ρρρρ（ )(p p ρ ρ-'δ ）。 6． t=0时体系的状态为()()()x x x 2020,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i e x e x ωωψψ2 522 0)(2)(--+ ）。 7． 按照量子力学理论，微观粒子的几率密度w =2 ），几率流密度= （ () ** 2ψ?ψ-ψ?ψμ ηi ）。 8． 设)(r ρψ描写粒子的状态，2)(r ρψ是（ 粒子的几率密度 ），在)(r ρψ中F ?的平均值为F =（ ??dx dx F ψψψψ* *? ） 。 9． 波函数ψ和ψc 是描写（ 同一 ）状态，δψi e 中的δi e 称为（ 相因子 ）， δi e 不影响波函数ψ1=δi ）。 10． 定态是指（ 能量具有确定值 ）的状态，束缚态是指（无穷远处波函数为 零）的状态。 11． )i exp()()i exp()(),(2211t E x t E x t x η η-+-=ψψψ是定态的条件是 （ 21E E = ），这时几率密度和（ 几率密度 ）都与时间无关。 12． （ 粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象 ）称为隧道效应。 13． （ 无穷远处波函数为零 ）的状态称为束缚态，其能量一般为（ 分立 ）谱。 14． 3．t=0时体系的状态为()()()x x x 300,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i e x e x ωωψψ2 732 0)()(--+ ）。 15． 粒子处在a x ≤≤0的一维无限深势阱中，第一激发态的能量为

量子力学导论 答案

第六章 中心力场 6.1) 利用6.1.3节中式（17）、（18），证明下列关系式 相对动量 ()21121p m p m M r p -==? μ （1） 总动量 1p p R M P +==? （2） 总轨迹角动量p r P R p r p r L L L ?+?=?+?=+=221121 （3） 总动能 μ 22222 22 221 21p M P m p m p T + = + = （4） 反之，有 ,11r m R r μ+ = r m R r 2 2μ-= （5） p P m p += 2 1μ ，p P m p -= 1 2μ （6） 以上各式中，()212 121 ,m m m m m m M +=+=μ 证： 2 12211m m r m r m R ++= ， （17） 21r r r -=， （18） 相对动量 ()211221212 11p m p m M r r m m m m r p -=??? ? ??-+= =? ?? μ （1’） 总动量 ()212 1221121p p m m r m r m m m R M P +=+++==? ?? （2’） 总轨迹角动量 221121p r p r L L L ?+?=+= )5(2211p r m u R p r m u R ????? ? ?-+????? ?? += () () 2112 211p m p m M r p p R -? ++?= ) 2)(1(p r P R ?+?= 由（17）、(18)可解出21,r r ，即（5）式；由（1’）（2’）可解出（6）。 总动能()2 2 11 2 262221212222m p P m m p P m m p m p T ??? ? ??-+ ? ?? ? ??+=+= μμ 2 12 2 2 2 2 122 11 2 2 2 2 12 2222m m p P u m p P m m u m m p P u m p P m m u ?- + + ?+ + =

量子力学教程第二版答案及补充练习

第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)() (5 -?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλ λλρλ ρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ

? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ

最新量子力学导论期末考试试题内含答案

量子力学试题(1)(2005) 姓名 学号 得分 一. 简答题（每小题5分，共40分） 1. 一粒子的波函数为()()z y x r ,,ψψ=? ，写出粒子位于dx x x +~间的几率。 2. 粒子在一维δ势阱 )0()()(>-=γδγx x V 中运动，波函数为)(x ψ，写出)(x ψ'的跃变条件。 3. 量子力学中，体系的任意态)(x ψ可用一组力学量完全集的共同本征态)(x n ψ展开： ∑=n n n x c x )()(ψψ， 写出展开式系数n c 的表达式。 4. 给出如下对易关系： [][][] ?,? ,? ,===z x y z L L p x p z 5. 何谓几率流密度？写出几率流密度),(t r j ? ?的表达式。 6. 一维运动中，哈密顿量)(22 x V m p H +=，求[][]?,?,==H p H x 7. 一质量为μ的粒子在一维无限深方势阱?? ?><∞<<=a x x a x x V 2,0, 20,0)( 中运动，写出其状态波函数和能级表达式。 8. 已知厄米算符A 、B 互相反对易：{}0,=+=BA AB B A ；b 是算符B 的本征态： b b b B =，本征值 0≠b 。求在态b 中，算符A 的平均值。

二. 计算和证明题 1. 设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。 2. 考虑如下一维波函数：0/0()n x x x x A e x ψ-?? = ??? ， 其中0,,A n x 为已知常数。利用薛定谔 方程求位势()V x 和能量E 。对于它们，该波函数为一本征函数（已知当,()0x V x →∞→）。 3.一质量为m 的粒子沿x 正方向以能量E 向0=x 处 的势阶运动。当0≤x 时，该势为0；当0>x 时，该势为 E 4 3 。问在0=x 处粒子被反射的的几率多大？（15分） 0 X 4.设粒子处于()?θ,lm Y 状态下， 1)证明在的本征态下，0==y x L L 。（提示：利用x y z z y L i L L L L η=-， []y L i η=-=z x x z x z L L L L L ,L 求平均。） 2)求()2 x L ?和() 2 y L ? (附加题)5. 设),(p x F 是p x ,的整函数，证明 [][]F , F,,p i F x x i F p ?? =?? -=η η 整函数是指),(p x F 可以展开成∑∞ ==0 ,),(n m n m mn p x C p x F 。

结构化学练习之量子力学基础习题附参考答案

结构化学练习之量子力学基础习题附参考答案

量子力学基础习题 一、填空题（在题中的空格处填上正确答案）1101、光波粒二象性的关系式为_______________________________________。1102、德布罗意关系式为____________________；宏观物体的λ值比微观物体的λ值_______________。1103、在电子衍射实验中，│ψ│2对一个电子来说，代表___________________。 1104、测不准关系是_____________________，它说明了_____________________。 1105、一组正交、归一的波函数ψ1，ψ2，ψ3，…。 正交性的数学表达式为，归一性的表达式为。1106、│ψ(x1，y1，z1，x2，y2，z2)│2

代表______________________。 1107、物理量xp y- yp x的量子力学算符在直角坐标系中的表达式是_____。 1108、质量为m的一个粒子在长为l的一维势箱中运动， (1)体系哈密顿算符的本征函数集为_______________________________ ； (2)体系的本征值谱为____________________，最低能量为____________ ； (3)体系处于基态时，粒子出现在0 ─l/2间的概率为_______________ ； (4)势箱越长，其电子从基态向激发态跃迁时吸收光谱波长__________ ； (5)若该粒子在长l、宽为2l的长方形势箱

中运动， 则其本征函数集为____________，本征 值 谱 为 _______________________________。 1109、质量为m 的粒子被局限在边长为a 的立方箱中运动。波函数ψ 211(x ，y ，z )= _________________________；当粒子处于状态 ψ 211 时，概率密度最大处坐标是 _______________________；若体系的能量为 2 247ma h ，其简并度是_______________。 1110、在边长为a 的正方体箱中运动的粒子，其能级E = 2 243ma h 的简并度是_____，E '= 2 2827ma h 的简 并度是______________。 1111、双原子分子的振动，可近似看作是质量为μ= 2 121m m m m +的一维谐振子，其势能为V =kx 2/2，它 的 薛 定 谔 方 程 是

量子力学教程高等教育出版社周世勋课后答案详解

量子力学课后习题详解 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)() (5 -?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλ λλρλ ρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：

011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ ? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ

量子力学导论习题答案(曾谨言)

第五章 力学量随时间的变化与对称性 5.1）设力学量A 不显含t ，H 为本体系的Hamilton 量，证明 [][]H H A A dt d ,,2 2 2 =- 证.若力学量A 不显含t ，则有[]H A i dt dA ,1 =, 令[]C H A =, 则 [][]H C H C i dt C d i dt A d ,1 ,112 22 -===, [][]H H A A dt d ,, 2 2 2 =-∴ 5.2）设力学量A 不显含t ，证明束缚定态，0=dt dA 证：束缚定态为:：() () t iE n n n e t -=ψψ,。 在束缚定态()t n ,ψ，有()()()t E t t i t H n n n n ,,,ψψψ=?? = 。 其复共轭为()()()t r E e r t i t r H n n t iE n n n ,,** * * ψψψ=?? -= 。 ??? ??=n n dt dA dt dA ψψ,()??? ??-??? ??-=??n n n n n n A A A dt d ψψψψψψ,,, ?? ? ??-??? ??-= n n n n H i A A H i dt dA ψψψψ 1,,1 []()()n n n n AH i HA i H A i t A ψψψψ,1 ,1,1 -++??= []()()n n HA AH i H A i ψψ--= ,1,1 [][]() 0,,1=-=A H H A i 。 5.3）(){} x x iaP x a a D -=? ?? ??? ??-=exp exp 表示沿x 方向平移距离a 算符.证明下列形式波函数（Bloch 波函数）()()x e x k ikx φψ=,()()x a x k k φφ=+ 是()a D x 的本征态，相应的本征值为ika e - 证：()()()() ()a x e a x x a D k a x ik x +=+=+φψψ ()()x e x e e ika k ikx ika ψφ=?=,证毕。

量子力学教程周世勋_课后答案

量子力学课后习题详解 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)() (5 -?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλ λλρλ ρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 '=???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλπρ

? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m = λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2 c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 6 1051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ

量子力学思考题及解答

量子力学思考题 1、以下说法是否正确： （1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系； （2）量子力学适用于 不能忽略的体系，而经典力学适用于 可以忽略的体系。 解答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。 （2）对于宏观体系或 可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已 经过渡到经典力学，二者相吻合了。 2、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？ 解答：按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述了体系的量子态。如已知单粒子（不考虑自旋）波函数)(r ψ，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如粒子的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过)(r ψ而完全确定。由于量子理论和经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息。从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数。 3、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。 解答：设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示，可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布由222112 ψψψ c c +=确定，2 ψ中 出现有1ψ和2ψ的干涉项]Re[2* 21* 21ψψc c ，1c 和2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。 4、量子态的叠加原理常被表述为：“如果1ψ和2ψ是体系的可能态，则它们的线性叠加 2211ψψψc c +=也是体系的一个可能态”。 （1）是否可能出现)()()()(),(2211x t c x t c t x ψψψ+=； （2）对其中的1c 与2c 是任意与r 无关的复数，但可能是时间t 的函数。这种理解正确吗？ 解答：（1）可能，这时)(1t c 与)(2t c 按薛定谔方程的要求随时间变化。 （2）如按这种理解 ),()(),()(),(2211t x t c t x t c t x ψψψ+=

最新量子力学导论习题答案(曾谨言)(1)

第九章 力学量本征值问题的代数解法 9—1） 在8.2节式（21）中给出了自旋（2 1）与轨迹角动量（l ）耦合成总角动量j 的波函数j ljm φ，这相当于2 1,21===s j l j 的耦合。试由8.2节中式（21）写出表9.1（a ）中的CG 系数 jm m m j 21121 解：8.2节式（21a ）（21b ）: ()21),0( 21+=≠-=m m l l j j j ljm φ???? ??-+++=+11121 lm lm Y m l Y m l l () ????? ??-++---+=+=21,2121,212121,21j j m j j m j j Y m j Y m j j m j m l j （21a ） ()21-= j l j ljm φ???? ??++---=+11121 lm lm Y m l Y m l l () ????? ??+++--+++-++=≠-=21,2121,211122121),0( 21j j m j j m j j Y m j Y m j j m j m l l j （21b ） ()21++j l 此二式中的l 相当于CG 系数中的1j ，而2 12==s j ,21,~,,~21±=m m m m j 。 因此，（21a ）式可重写为 jm ∑=222112 211m jm m j m j m j m j 2 12121212121212111111111--+=m j jm m j m j jm m j ??????? ? ??-???? ??++-???? ??++++=+=212112212121122111211111211121121),21(m j j m j m j j m j j l j a （21a ’） 对照CG 系数表，可知：当21121+=+=j j j j ,212=m 时 ， 21111112212121??? ? ??++=＋j m j jm m j 而2 12-=m 时，

曾谨言《量子力学导论》习题解答

曾谨言《量子力学导论》习题解答第三章一维定态问题 3.1)设粒子处在二维无限深势阱中， ,,,,0, 0xa,0yb,V(x,y), ,,, 其余区域, a,b求粒子的能量本征值和本征波函数。如，能级的简并度如何, 解:能量的本征值和本征函数为 2222nn,,yx(，)E, nn22xy2mab ny,nx,2yx,sinsin, n,n,1,2,？ ,nnxyxyabab 22,,22a,bE,(n，n)若，则 nnxy2xy2ma ny,nx,2yx,sinsin ,nnxyaaa n,10,n,5这时，若n,n，则能级不简并;若n,n，则能级一般是二度简并的(有偶然简并情况，如xyxyxy ''n,11,n,2与) xy 3.2)设粒子限制在矩形匣子中运动，即 ,,,,,,0, 0xa,0yb,0zc,,V(x,y,z) ,,, 其余区域, a,b,c求粒子的能量本征值和本征波函数。如，讨论能级的简并度。 解:能量本征值和本征波函数为 22222nnn,,yxzE, ,(，，)222nnnm2abcxyz ny,nxnz,,8yxz,sinsinsin,,nnn abcabcxyz n,n,n,1,2,3,？xyz a,b,c当时， 22,,222 E,(n，n，n)xyz2nnn2maxyz 32ny,nxny,,2,,yxz ,sinsinsin,,,nnnaaaaxyz,,

n,n,n时，能级不简并; xyz n,n,n三者中有二者相等，而第三者不等时，能级一般为三重简并的。 xyz 三者皆不相等时，能级一般为6度简并的。 n,n,nxyz 222222,5，6，8,3，4，10(1,7,9),(1,3,11)如 ,22222210，12，16,6，8，20(1,5,10),(3,6,9), 3.3)设粒子处在一维无限深方势阱中， 0, 0,x,a,V(x,y), ,,, x,0,x,a, 证明处于定态的粒子 ,(x)n 2aa62x,,,, (x-x)(1) 22212n,讨论的情况，并于经典力学计算结果相比较。n , , 证:设粒子处于第n个本征态，其本征函数 ,2n(x),sinx. ,naa 2aa2n,a分部2 (1) ,,sin xxdxxxdx,n,,002aa 2a2a2222(,),,,,, xxxxxdxn,04 2a212n,xa2,,(1,cos), xdx ,024aa 2a6,,(1) (2) 22n,12 在经典情况下，在区间粒子除与阱壁碰撞(设碰撞时间不计，且为弹性碰撞，即粒子碰撞后仅运动方向改，，0, a dxxxdx,，变，但动能、速度不变)外，来回作匀速运动，因此粒子处于范围的几率为，故 a adxa ， (3) ,,,xx,02a 2adxa22,,,xx， ,03a 222aa22() (4) x,x,x,x,,34 当时，量子力学的结果与经典力学结果一致。 n,,

周世勋量子力学习题及解答

量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 6 1051.0?， 因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 在这里，利用了 以及 最后，对

量子力学导论习题答案(曾谨言)

第三章一维定态问题 3.1）设粒子处在二维无限深势阱中， ?? ?∞<<<<=其余区域 ,0,0 ,0),(b y a x y x V 求粒子的能量本征值和本征波函数。如b a = ，能级的简并度如何？ 解：能量的本征值和本征函数为 m E y x n n 222π = )(2 22 2b n a n y x + ,2,1, ,sin sin 2== y x y x n n n n b y n a x n ab y x ππψ 若b a =，则 )(22 22 22y x n n n n ma E y x +=π a y n a x n a y x n n y x ππψsin sin 2= 这时，若y x n n =，则能级不简并;若y x n n ≠，则能级一般是二度简并的（有偶然简并情况，如5,10==y x n n 与2,11' ' ==y x n n ） 3.2）设粒子限制在矩形匣子中运动，即 ? ??∞<<<<<<=其余区域 ,0,0,0 ,0),,(c z b y a x z y x V 求粒子的能量本征值和本征波函数。如c b a ==，讨论能级的简并度。 解：能量本征值和本征波函数为 )(222 2 222 22c n b n a n m n n n E z y x z y x + +=π , ,3,2,1,, , sin sin sin 8 == z y x z y x n n n c z n b y n a x n abc n n n z y x πππψ 当c b a ==时， )(2222222z y x n n n ma n n n E z y x ++=π a y n a y n a x n a n n n z y x z y x πππψsin sin sin 22 3 ??? ??= z y x n n n ==时，能级不简并； z y x n n n ,,三者中有二者相等，而第三者不等时，能级一般为三重简并的。

《量子力学简明教程》授课教案

《量子力学》电子教案 杨子元编 宝鸡文理学院物理系

一、简单介绍《量子力学》在物理学中的地位与作用 1．物理学课程体系中，分为基础课与专业课 基础课包括力、热、光、电、原子物理 专业课——四大力学：理论、热统、电动、量子力学 2．大学四年中所学所有课程大多为经典物理（即十八、九世纪物理） 只有在量子力学中才涉及近代物理的内容 3．量子力学是从事物理教学及其研究中的一门基础专业学科（讲授意义） 二、学习中应注意的几个问题 1．关于“概念”问题； 量子力学中物理概念距离我们的生活越来越远，因此更加抽象。例“波函数” 概念（与经典概念比较，例“力”概念） 2．克服经典物理思想的束缚，防止用经典物理方法解决量子力学问题。 例：①轨道概念在量子力学已抛弃；②K P E E E +=不再成立，而用 P K E E E +=表示 3．必要的数学知识：偏微分方程，勒让德多项式，贝塞尔函数，矩阵（尤其是矩阵的对角化），厄米多项式，傅里叶变换。 三、教材与参考书 1．张怿慈 《量子力学简明教程》 人民教育出版社 2．曾谨言 《量子力学》上、下册 科学出版社 3．蔡建华 《量子力学》上、下册 人民教育出版社 4．梁昆淼 《物学物理方法》 人民教育出版社 5．[美]玻姆 量子理论 商务印书馆 6．大学物理（93.9—95.4） 《量子力学自学辅导》

第一章 绪 论 量子力学是反映微观粒子（分子、原子、原子核、基本核子等）运动规律的基础理论，它是本世纪二十年代总结大量事实和旧量子的基础上建立起来的，它不仅是近代物理学的基础，而且被广泛的应用于化学和电子学等领域。 在介绍量子力学之前，首先回顾一下量子力学产生的历史过程。 §1.1 经典物理学的困难 一、困难 1687年，牛顿的划时代巨著《自然哲学的教学原理》在伦敦出现。当时，自然科学没有完全从哲学分划出来，而用了哲学这个名称。 牛顿经典力学的主要内容是它的三大定律，到了十九世纪末，二十世纪初牛顿建立的力学大厦远远超出了这三条定律，可以说整个经典物理的大厦已竣工。 机械运动——牛顿力学 电磁现象——麦氏方程 光 学——波动理论 热 学——完整热力学和玻耳兹曼和吉布斯建立的统计物理学 当时物理学家非常自豪和得意，因为当时几乎所有的新发现都能很好地套进现有的模子中。然而正当经典物理大厦逐渐升高时，它庞大的躯体却产生了两大裂痕。 其一是迈克尔逊——莫雷关于地球相对于以太漂移速度零的结果。 经典力学相对原理表明，力学规律在不同参照系中应有相同形式 S 系 a m F = Ｓ/ 系 a m F '=' 也就是说对一切力学现象而言，一切惯性系都是等价的。 麦氏电磁理论中，有一光速C （常数），在伽利略变换下，由麦氏方程推出的波动

量子力学试题及答案

2002级量子力学期末考试试题和答案 B 卷 一、（共25分） 1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特点？（4分） 2、什么样的状态是束缚态、简并态和偶宇称态？（6分） 3、全同玻色子的波函数有什么特点？并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。（4分） 4、在一维情况下，求宇称算符P ?和坐标x 的共同本征函数。（6分） 5、简述测不准关系的主要内容，并写出时间t 和能量E 的测不准关系。（5分） 二、（15分）已知厄密算符B A ?,?，满足1??22==B A ，且0????=+A B B A ，求 1、在A 表象中算符A ?、B ?的矩阵表示； 2、在A 表象中算符B ?的本征值和本征函数； 3、从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵S 。 三、（15分）线性谐振子在0=t 时处于状态 )21exp(3231)0,(2 2x x x ααπαψ-??????-=，其中 ημω α=，求 1、在0=t 时体系能量的取值几率和平均值。 2、0>t 时体系波函数和体系能量 的取值几率及平均值 四、（15分）当λ为一小量时，利用微扰论求矩阵

??? ?? ? ?++λλλλλλ23303220 21的本征值至λ的二次项，本征矢至λ的一次项。 五、（10分）一体系由三个全同的玻色子组成, 玻色子之间无相互作用. 玻色子只有两个可能的单粒子态. 问体系可能的状态有几个? 它们的波函数怎样用单粒子波函数构成? 一、1、厄密算符的本征值是实数，本征矢是正交、归一和完备的。 2、在无穷远处为零的状态为束缚态；简并态是指一个本征值对应一个以上本征函数的情况；将波函数中坐标变量改变符号，若得到的新函数与原来的波函数相同，则称该波函数具有偶宇称。 3、全同玻色子的波函数是对称波函数。两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数为： [])()()()(21 12212211q q q q S ????φ+= 4、宇称算符P ?和坐标x 的对易关系是：P x x P ?2],?[-=，将其代入测不准关系知，只有当0?=P x 时的状态才可能使P ?和x 同时具有确定值，由)()(x x -=δδ知，波函数)(x δ满足上述要求，所以)(x δ是算符P ?和x 的共同本征函数。 5、设F ?和G ?的对易关系k ?i F ?G ?G ?F ?=-，k 是一个算符或普通的数。以F 、G 和k 依次表示F ?、G ?和k 在态ψ中的平均值，令 F F ?F ?-=?，G G ?G ?-=?， 则有 42 2 2 k )G ?()F ?(≥???，这个关系式称为测不准关系。 时间t 和能量E 之间的测不准关系为： 2η ≥ ???E t 二、1、由于1?2=A ，所以算符A ?的本征值是1±，因为在A 表象中，算符A ?的矩阵是对角矩阵，所以，在A 表象中算符A ?的矩阵是：???? ??-=1001)(?A A