2019年辽宁省鞍山市中考数学试卷

2019年辽宁省鞍山市中考数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（3分）在有理数2，0，﹣1，﹣中，最小的是（）

A．2B．0C．﹣1D．﹣

2．（3分）2019年6月9日中央电视台新闻报道，端午节期间天猫网共计销售粽子123000000个，将数据123000000用科学记数法表示为（）

A．12.3×107B．1.23×108C．1.23×109D．0.123×109 3．（3分）如图，这是由7个相同的小正方体搭成的几何体，则这个几何体的左视图是（）

A．B．C．D．

4．（3分）下列运算正确的是（）

A．（﹣a2）3＝﹣a6B．3a2?2a3＝6a6

C．﹣a（﹣a+1）＝﹣a2+a D．a2+a3＝a5

5．（3分）如图，某人从点A出发，前进8m后向右转60°，再前进8m后又向右转60°，按照这样的方式一直走下去，当他第一次回到出发点A时，共走了（）

A．24m B．32m C．40m D．48m

6．（3分）如图，AB∥CD，EF与AB，CD分别交于点G，H，∠CHG的平分线HM交AB 于点M，若∠EGB＝50°，则∠GMH的度数为（）

A．50°B．55°C．60°D．65°

7．（3分）如图，若一次函数y＝﹣2x+b的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，点A的坐标为（0，3），则不等式﹣2x+b＞0的解集为（）

A．x＞B．x＜C．x＞3D．x＜3

8．（3分）如图，正方形ABCD和正方形CGFE的顶点C，D，E在同一条直线上，顶点B，C，G在同一条直线上．O是EG的中点，∠EGC的平分线GH过点D，交BE于点H，连接FH交EG于点M，连接OH．以下四个结论：①GH⊥BE；②△EHM∽△GHF；

③＝﹣1；④＝2﹣，其中正确的结论是（）

A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

9．（3分）函数中，自变量x的取值范围是．

10．（3分）一个不透明的口袋中有红球和黑球共25个，这些球除颜色外都相同．进行大量的摸球试验（每次摸出1个球）后，发现摸到黑球的频率在0.6附近摆动，据此可以估计黑球为个．

11．（3分）关于x的方程x2+3x+k﹣1＝0有两个相等的实数根，则k的值为．12．（3分）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD，DC的中点，若BD＝4，EF＝3，则

菱形ABCD的周长为．

13．（3分）如图，AC是⊙O的直径，B，D是⊙O上的点，若⊙O的半径为3，∠ADB＝30°，则的长为．

14．（3分）为了美化校园环境，某中学今年春季购买了A，B两种树苗在校园四周栽种，已知A种树苗的单价比B种树苗的单价多10元，用600元购买A种树苗的棵数恰好与用450元购买B种树苗的棵数相同．若设A种树苗的单价为x元，则可列出关于x的方程为．

15．（3分）如图，正方形A0B0C0A1的边长为1，正方形A1B1C1A2的边长为2，正方形A2B2C2A3的边长为4，正方形A3B3C3A4的边长为8……依此规律继续作正方形A n B n?n A n+1，且点A0，A1，A2，A3，…，A n+1在同一条直线上，连接A0C1交A1B1于点D1，连接A1C2交A2B2于点D2，连接A2C3交A3B3于点D3……记四边形A0B0C0D1的面积为S1，四边形A1B1C1D2的面积为S2，四边形A2B2C2D3的面积为S3……四边形A n﹣1B n﹣1C n﹣1D n的面积为S n，则S2019＝．

16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点M，N分别在AD，BC上，且AM ＝AD，BN＝BC，E为直线BC上一动点，连接DE，将△DCE沿DE所在直线翻折得到△DC′E，当点C′恰好落在直线MN上时，CE的长为．

三、解答题（本大题共2小题，共16分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝3+．

18．（8分）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，4），B（1，1），C（3，2）．（1）作出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1，并写出点C1的坐标．（2）已知△A2B2C2与△ABC关于直线l对称，若点C2的坐标为（﹣2，﹣3），请直接写出直线l的函数解析式．

注：点A1，B1，C1及点A2，B2，C2分别是点A，B，C按题中要求变换后对应得到的点．

四、解答题（本大题共2小题，共20分.解答应写出必要的文字说明、证明过

19．（10分）随着人民生活水平的不断提高，外出旅游已成为家庭生活的一种方式．某社区为了解每户家庭旅游的消费情况，随机抽取部分家庭，对每户庭的年旅游消费金额进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图表．

组别家庭年旅游消费金额x/元户数

A0≤x≤500036

B5000＜x≤1000027

C10000＜x≤15000m

D15000＜x≤2000033

E x＞2000030

请你根据统计图表提供的信息，解答下列问题：

（1）本次被调查的家庭有户，表中m＝．

（2）本次调查数据的中位数落在哪一组？请说明理由．

（3）在扇形统计图中，D组所对应扇形的圆心角是多少度？

（4）若该社区有3000户家庭，请你估计年旅游消费在10000元以上的家庭户数．

20．（10分）妈妈给小红和弟弟买了一本刘慈欣的小说《流浪地球》，姐弟俩都想先睹为快．于是小红对弟弟说：我们利用下面中心涂黑的九宫格图案（如图所示）玩一个游戏，规则如下：我从第一行，你从第三行，同时各自任意选取一个方格，涂黑，如果得到的新图案是轴对称图形，我就先读，否则你先读．小红设计的游戏对弟弟是否公平？请用画树状图或列表的方法说明理由．（第一行的小方格从左至右分别用A，B，C表示，第三行的小方格从左至右分别用D，E，F表示）

五、解答题（本大题共2小題，共20分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与y轴交于点C，与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A，B两点，点A在第一象限，纵坐标为4，点B在第三象限，BM⊥x轴，垂足为点M，BM＝OM＝2．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式．

（2）连接OB，MC，求四边形MBOC的面积．

22．（10分）如图为某海域示意图，其中灯塔D的正东方向有一岛屿C．一艘快艇以每小时20nmile的速度向正东方向航行，到达A处时得灯塔D在东北方向上，继续航行0.3h，到达B处时测得灯塔D在北偏东30°方向上，同时测得岛屿C恰好在B处的东北方向上，此时快艇与岛屿C的距离是多少？（结果精确到1nmile．参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）

六、解答题（本大题共2小题，共20分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC上一点，过B，C，D三点的⊙O交AB于点E，连接ED，EC，点F是线段AE上的一点，连接FD，其中∠FDE＝∠DCE．

（1）求证：DF是⊙O的切线．

（2）若D是AC的中点，∠A＝30°，BC＝4，求DF的长．

24．（10分）某商场销售一种商品的进价为每件30元，销售过程中发现月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系如图所示．

（1）根据图象直接写出y与x之间的函数关系式．

（2）设这种商品月利润为W（元），求W与x之间的函数关系式．

（3）这种商品的销售单价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少？

七、解答题（本大题共1小题，共12分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤25．（12分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是△ABC内一点，连接AD，BD．在BD左侧作Rt△BDE，使∠BDE＝90°，以AD和DE为邻边作?ADEF，连接CD，DF．

（1）若AC＝BC，BD＝DE．

①如图1，当B，D，F三点共线时，CD与DF之间的数量关系为．

②如图2，当B，D，F三点不共线时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由．

（2）若BC＝2AC，BD＝2DE，＝，且E，C，F三点共线，求的值．

八、解答题（本大题共1小题，共14分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

26．（14分）在平面直角坐标系中，过点A（3，4）的抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点B （﹣1，0），与y轴交于点C，过点A作AD⊥x轴于点D．

（1）求抛物线的解析式．

（2）如图1，点P是直线AB上方抛物线上的一个动点，连接PD交AB于点Q，连接AP，当S△AQD＝2S△APQ时，求点P的坐标．

（3）如图2，G是线段OC上一个动点，连接DG，过点G作GM⊥DG交AC于点M，过点M作射线MN，使∠NMG＝60°，交射线GD于点N；过点G作GH⊥MN，垂足为点H，连接BH．请直接写出线段BH的最小值．

2019年辽宁省鞍山市中考数学试卷（详细答案）

1．C 根据有理数比较大小的方法，可得﹣1＜﹣＜0＜2，故最小的有理数是﹣1．故选C．

2．B 将数据1 2300 0000用科学记数法表示为1.23×108．故选B．

3．C 从左面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形．故选C．

4．A A、原式＝﹣a6，符合题意；B、原式＝6a5，不符合题意；C、原式＝a2﹣a，不符合题意；D、原式不能合并，不符合题意，故选A．

5．D 依题意可知，某人所走路径为正多边形，设这个正多边形的边数为n，则60n＝360，解得n＝6，故他第一次回到出发点A时，共走了：8×6＝48（m）．故选D．

6．D∵AB∥CD，∴∠EHD＝∠EGB＝50°，∴∠CHG＝180°﹣∠EHD＝180°﹣50°＝130°．∵HM平分∠CHG，∴∠CHM＝∠GHM＝∠CHG＝65°．∵AB∥CD，∴∠GMH ＝∠CHM＝65°．故选D．

7．B ∵一次函数y＝﹣2x+b的图象交y轴于点A（0，3），∴b＝3，令y＝﹣2x+3中y＝0，则﹣2x+3＝0，解得x＝，∴点B（，0）．观察函数图象，发现：当x＜时，一次函数图象在x轴上方，∴不等式﹣2x+b＞0的解集为x＜．故选B．

8．A 如图，∵四边形ABCD和四边形CGFE是正方形，

∴BC＝CD，CE＝CG，∠BCE＝∠DCG，在△BCE和△DCG中，

∴△BCE≌△DCG（SAS），∴∠BEC＝∠BGH，

∵∠BGH+∠CDG＝90°，∠CDG＝∠HDE，∴∠BEC+∠HDE＝90°，∴GH⊥BE．故

①正确；

∵△EHG是直角三角形，O为EG的中点，∴OH＝OG＝OE，∴点H在正方形CGFE的外接圆上，∵EF＝FG，∴∠FHG＝∠EHF＝∠EGF＝45°，∠HEG＝∠HFG，

∴△EHM∽△GHF，故②正确；

∵△BGH≌△EGH，∴BH＝EH，又∵O是EG的中点，∴HO∥BG，

∴△DHN∽△DGC，∴＝，

设EC和OH相交于点N．设HN＝a，则BC＝2a，设正方形ECGF的边长是2b，则NC ＝b，CD＝2a，∴＝，即a2+2ab﹣b2＝0，解得a＝b＝（﹣1+）b，或a＝（﹣1﹣）b（舍去），则＝﹣1，∴＝﹣1，故③正确；

∵△BGH≌△EGH，∴EG＝BG，∵HO是△EBG的中位线，∴HO＝BG，∴HO＝EG，设正方形ECGF的边长是2b，∴EG＝2b，∴HO＝b，

∵OH∥BG，CG∥EF，∴OH∥EF，∴△MHO∽△MFE，∴＝＝＝，∴EM＝OM，∴＝＝＝﹣1，∴＝﹣1，

∵EO＝GO，∴S△HOE＝S△HOG，∴＝﹣1，故④错误，故选A．

9．【解析】根据题意得x+4≥0，解得x≥﹣4．

【答案】x≥﹣4

10．【解析】由题意可得，黑球有25×0.6＝15（个），

【答案】15

11．【解析】根据题意得△＝32﹣4×1×（k﹣1）＝0，解得k＝

【答案】

12．【解析】如图，连接AC，

∵E，F分别是AD，DC的中点，EF＝3，∴AC＝2EF＝6.

∵四边形ABCD为矩形，BD＝4，∴AC⊥BD，AO＝3，BO＝2，

∴AB＝＝，∴周长为4，

【答案】4

13．【解析】由圆周角定理得∠AOB＝2∠ADB＝60°，∴∠BOC＝180°﹣60°＝120°，∴的长＝＝2π.

【答案】2π

14．【解析】设A种树苗的单价为x元，则B种树苗的单价为（x﹣10）元，所以用600元购买A种树苗的棵数是，用450元购买B种树苗的棵数是．

由题意，得＝．

【答案】＝

15．【解析】∵四边形A0B0C0A1与四边形A1B1C1A2都是正方形，

∴A1D1∥A2C1，∴＝，∴＝，∴A1D1＝，

同理可得：A2D2＝，∴S1＝1﹣×1×＝40﹣×40，S2＝4﹣×4，S3＝42﹣×42，…，S n＝4n﹣1﹣×4n﹣1＝×4n﹣1，∴S2019＝×42018，

【答案】×42018

16．【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴DC＝AB＝5，∠A＝90°，AD＝BC＝6，

∵AM＝AD＝2，BN＝BC＝2，∴AM＝BN，∵AM∥BN，∴四边形ABNM的矩形，∴∠NMA＝∠NMD＝90°，MN＝AB＝5，∵将△DCE沿DE所在直线翻折得到△DC′E，∴DC′＝DC＝5，C′E＝CE，∵AM＝2，∴DM＝AD﹣AM＝6﹣2＝4，

如图1，在Rt△C′MD中，C′M＝＝＝3，

∴C′N＝MN﹣C′M＝5﹣3＝2，∵∠CDM＝∠DCN＝∠NMD＝90°，

∴四边形CDMN是矩形，∴CN＝DM＝4，∠CNM＝90°，NE＝CN﹣CE＝4﹣CE，在Rt△C′NE中，∵NE2+C′N2＝C′E2，∴（4﹣CE）2+22＝CE2，

解得CE＝．

如图2，在Rt△C′MD中，C′M＝＝＝3，∴C′N＝MN+C′M＝5+3＝8，∵∠CDM＝∠DCN＝∠NMD＝90°，∴四边形CDMN是矩形，

∴CN＝DM＝4，∠CNM＝∠MNE＝90°，NE＝CE﹣CN＝CE﹣4，

在Rt△C′NE中，∵NE2+C′N2＝C′E2，∴（CE﹣4）2+82＝CE2，

解答CE＝10，

【答案】或10

17.解:原式＝[﹣]?＝?＝?

＝，当x＝3+时，原式＝．

18．解:（1）如图，△A1B1C1为所作，C1（﹣1，2）；

（2）如图，△A2B2C2为所作，

∵C（3，2），C2（﹣2，﹣3），△A2B2C2与△ABC关于直线l对称，

∴直线l垂直平分直线CC2，∴直线l的函数解析式为y＝﹣x．

19．解:（1）本次被调查的家庭有36÷24%＝150（户），m＝150﹣36﹣27﹣33﹣30＝24，故答案为150，24。

（2）本次调查数据的中位数落在C组，理由：∵本次抽查了150户，36+27＝63，36+27+24＝87，∴本次调查数据的中位数落在C组。

（3）在扇形统计图中，D组所对应扇形的圆心角是：360°×＝79.2°；

（4）3000×＝1740（户），答：年旅游消费在10000元以上的家庭有1740户．20．解:不公平，理由如下：

根据题意，画树状图如图：

由树状图可知，共有9种等可能出现的情况，其中得到轴对称图案的情况有5种，分别为（A、D）、（A、F）、（B、E）、（C、D）、（C、F）．

∴P（小红涂）＝．P（弟弟涂）＝．∵＞．∴小红设计的游戏对弟弟不公平．21．解:（1）∵BM＝OM＝2，∴点B的坐标为（﹣2，﹣2），

∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点B，则﹣2＝，得k＝4，

∴反比例函数的解析式为y＝，∵点A的纵坐标是4，

∴4＝，得x＝1，∴点A的坐标为（1，4），

∵一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象过点A（1，4）、点B（﹣2，﹣2），

∴，解得，即一次函数的解析式为y＝2x+2。

（2）∵y＝2x+2与y轴交于点C，∴点C的坐标为（0，2），∵点B（﹣2，﹣2），点M （﹣2，0），∴OC＝MB＝2，∵BM⊥x轴，∴MB∥OC，∴四边形MBOC是平行四边形，∴四边形MBOC的面积是：OM?OC＝4．

22．解:过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F，如图所示．

则DE∥CF，∠DEA＝∠CF A＝90°．∵DC∥EF，∴四边形CDEF为平行四边形．

又∵∠CFE＝90°，∴?CDEF为矩形，∴CF＝DE．

根据题意，得∠DAB＝45°，∠DBE＝60°，∠CBF＝45°．

设DE＝x（nmile），在Rt△DEA中，∵tan∠DAB＝，∴AE＝＝x（nmile）．在Rt△DEB中，∵tan∠DBE＝，∴BE＝＝x（nmile）．

∵AB＝20×0.3＝6（nmile），AE﹣BE＝AB，∴x﹣x＝6，解得x＝9+3，

∴CF＝DE＝（9+3）nmile．在Rt△CBF中，sin∠CBF＝，

∴BC＝＝＝9+3≈20（nmile）．

答：此时快艇与岛屿C的距离是20nmile．

23．解:（1）∵∠ACB＝90°，点B，D在⊙O上，∴BD是⊙O的直径，∠BCE＝∠BDE，∵∠FDE＝∠DCE，∠BCE+∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠BDE+∠FDE＝90°，

即∠BDF＝90°，∴DF⊥BD，又∵BD是⊙O的直径，∴DF是⊙O的切线．

（2）如图，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，

∴AB＝2BC＝2×4＝8，∴＝4，

∵点D是AC的中点，∴，∵BD是⊙O的直径，∴∠DEB＝90°，∴∠DEA＝180°﹣∠DEB＝90°，∴，

在Rt△BCD中，＝＝2，

在Rt△BED中，BE＝＝＝5，

∵∠FDE＝∠DCE，∠DCE＝∠DBE，∴∠FDE＝∠DBE，∵∠DEF＝∠BED＝90°，∴△FDE∽△DBE，∴，即，∴．

24．解:（1）当40≤x≤60时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，

将（40，140），（60，120）代入得，解得，

∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+180；

当60＜x≤90时，设y与x之间的函数关系式为y＝mx+n，

将（90，30），（60，120）代入得，解得，

∴y＝﹣3x+300；综上所述，y＝；

（2）当40≤x≤60时，W＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣x+180）＝﹣x2+210x﹣5400，当60＜x≤90时，W＝（x﹣30）（﹣3x+300）＝﹣3x2+390x﹣9000，

综上所述，W＝。

（3）当40≤x≤60时，W＝﹣x2+210x﹣5400，

∵﹣1＜0，对称轴x＝﹣＝105，

∴当40≤x≤60时，W随x的增大而增大，

∴当x＝60时，W最大＝﹣602+210×60﹣5400＝3600，

当60＜x≤90时，W＝﹣3x2+390x﹣9000，∵﹣3＜0，对称轴x＝﹣＝65，∵60＜x≤90，∴当x＝65时，W最大＝﹣3×652+390×65﹣9000＝3675，

∵3675＞3600，∴当x＝65时，W最大＝3675，

答：这种商品的销售单价定为65元时，月利润最大，最大月利润是3675．25．解:（1）①如图1中，连接CF．设AC交BF于G．

∵四边形AFED是平行四边形，∴AF＝DE，DE∥AF，∵BD＝DE，∴AF＝BD，∵∠BDE＝90°，∴∠EDF＝∠DF A＝90°＝∠BCG，∵∠CGB＝∠AGF，

∴∠CBD＝∠CAF，∵BC＝AC，∴△BCD≌△ACF（SAS），

∴∠BCD＝∠ACF，CD＝CF，∴∠BCA＝∠DCF＝90°，

∴△CDF是等腰直角三角形，∴DF＝CD．故答案为DF＝CD．

②结论仍然成立．

理由：如图2中，连接CF．延长BD交AF的延长线于H，设AC交BH于G．

∵四边形AFED是平行四边形，∴AF＝DE，DE∥AF，∵BD＝DE，

∴AF＝BD，∵∠BDE＝90°，∴∠DEH＝∠DHA＝90°＝∠BCG，

∵∠CGB＝∠AGH，∴∠CBD＝∠CAF，∵BC＝AC，∴△BCD≌△ACF（SAS），∴∠BCD＝∠ACF，CD＝CF，

∴∠BCA＝∠DCF＝90°，∴△CDF是等腰直角三角形，∴DF＝CD．

（2）如图3中，延长BD交AF于H．设BH交AC于G．

∵四边形AFED是平行四边形，∴AF＝DE，DE∥AF，∵∠BDE＝90°，

∴∠DEH＝∠DHA＝90°＝∠BCG，∵∠CGB＝∠AGH，∴∠CBD＝∠CAF，

∵＝＝2，∴＝，∴△CBD∽△CAF，∴＝＝2，∠BCD＝∠ACF，∴∠BCA＝∠DCF＝90°，∵AD∥EF，∴∠ADC+∠DCF＝180°，

∴∠ADC＝90°，∵CD：AC＝4：5，设CD＝4k，AC＝5k，则AD＝EF＝3k，

∴CF＝CD＝2k，∴EC＝EF﹣CF＝k，∴DE＝AF＝＝＝k，∴＝＝．

26．解:（1）将点A（3，4），B（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+4，

得，解得，∴y＝﹣x2+3x+4.

（2）如图1，过点P作PE∥x轴，交AB于点E，

∵A（3，4），AD⊥x轴，∴D（3，0），∵B（﹣1，0），∴BD＝3﹣（﹣1）＝4，

∵S△AQD＝2S△APQ，△AQD与△APQ是等高的两个三角形，∴＝，

∵PE∥x轴，∴△PQE∽△DQB，∴＝＝，∴＝，∴PE＝2，

∴可求得直线AB的解析式为y＝x+1，

设E（x，x+1），则P（x﹣2，x+1），

将点P坐标代入y＝﹣x2+3x+4得﹣（x+2）2+3（x+2）+4＝x+1，

解得x1＝3+，x2＝3﹣，

当x＝3+时，x﹣2＝3+﹣2＝1+，x+1＝3++1＝4+，∴点P（1+，4+）；当x＝3﹣时，x﹣2＝3﹣﹣2＝1﹣，x+1＝3﹣+1＝4﹣，

∴P（1﹣，4﹣），

∵点P是直线AB上方抛物线上的一个动点，∴﹣1＜x﹣2＜3，

∴点P的坐标为（1+，4+）或（1﹣，4﹣）；

（3）由（1）得，抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4，∴C（0，4），

∵A（3，4），∴AC∥x轴，∴∠OCA＝90°，∴GH⊥MN，∴∠GHM＝90°，

在四边形CGHM中，∠GCM+∠GHM＝180°，∴点C、G、H、M共圆，

如图2，连接CH，

则∠GCH＝∠GMH＝60°，∴点H在与y轴夹角为60°的定直线上，

∴当BH⊥CH时，BH最小，过点H作HP⊥x轴于点P，并延长PH交AC于点Q，

∵∠GCH＝60°，∴∠HCM＝30°，又BH⊥CH，∴∠BHC＝90°，

∴∠BHP＝∠HCM＝30°，设OP＝a，则CQ＝a，∴QH＝a，

∵B（﹣1，0），∴OB＝1，∴BP＝1+a，

在Rt△BPH中，HP＝＝（a+1），BH＝＝2（1+a），

∵QH+HP＝AD＝4，∴a+（a+1）＝4，解得a＝，

∴BH最小＝2（1+a）＝．