Grannell-Griggs-Murphy定理的改进

Grannell-Griggs-Murphy定理的改进

丁士锋

【摘 要】摘要：利用Weil型特征标和数估计,证明Grannell-Griggs-Murphy定理对于一切满足

q≡7(mod 12)的素数幂q成立,改进了现有文献中所得到的定理对于不超过75079的12n+7型素数

p成立的结论.

【期刊名称】《高校应用数学学报A辑》

【年(卷),期】2013(028)001

【总页数】5

【关键词】Grannell-Griggs-Murphy定理;设计;Weil定理

§1 引言

一个2-(v,k,1)设计D是指集合对(P,B),其中P是由v个元素组成的有限集合(其元素称为点),B是由P的一些k-子集(称为区组)组成的集合,并且任意两点都包含在惟一的一个区组中. D的一个旗是指有序对(α,B),其中α和B分别为点和区组,且α∈B.为了去掉那些平凡的例子,在设计的研究中,一般都假设

3≤k＜v.

设D=(P,B)是一个2-(v,k,1)设计,g是P上的一个置换.如果对任何B∈B都有Bg {αg|α∈B}∈B,则g称为D的一个自同构.设计D的全体自同构组成群AutD.

2-(v,3,1)设计又称为v阶Steiner三元系.熟知,v阶Steiner三元系存在的充分必要条件是v≡1(mod 6)或v≡3(mod 6).文[1]研究了v阶Steiner三元系具有区组传递自同构群H时的分类.其中尚未最终确定的一类是:H≤AΓL(1,v),v≡7(mod 12)为素数幂.

本文恒设q≡7(mod 12)为素数幂,θ为有限域GF(q)的乘法群生成元.记M=〈θ3〉.用G= GF(q)+:〈θ6〉表示仿射群AGL(1,q)的一个由所有如下形式的映射g组成的子群:

文[2]中,为了搜寻完全Steiner三元系,M.Grannell,T.Griggs和J.Murphy得到了以下定理.

Grannell-Griggs-Murphy定理[2]p是素数,满足p≡7(mod 12).令θ为有限域GF(p)的乘法群生成元,M=〈θ3〉,G=GF(p)+:〈θ6〉.如果能找到元素β∈GF(p),使得集合{β,β-1}恰好是两个陪集Mθ和

Mθ2的代表元集合,令B={0,1,β},则(GF(p),BG)是一个2-(p,3,1)设计.

利用计算机搜索,M.Grannell等人检验了对不超过75079的素数p,定理中的β都存在.但对于β的普遍存在性证明,定理并未给出.

本文利用Weil型特征标和数估计([3]),证明Grannell-Griggs-Murphy定理中满足要求的元素β对于每一个满足q≡7(mod 12)的素数幂q都是存在的,并比较这些设计族和Netto系的关系.