初三数学相似三角形专题

初三数学相似三角形专题

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初三数学相似三角形专题练习题

1．在△ABC 中，AB=A Ｃ＝１0，点D 是边B Ｃ上一动点(不与B ，C 重合)，连结A Ｄ，作∠ＡＤE ＝∠B ＝α，ＤＥ交ＡC 于点E ，且cos α＝54

．有下列结论：①△ADE ∽△ACD; ②当BD=6时,△A ＢD 与△DC Ｅ全等；③当△D ＣE 为直角三角形时，BD=8;④3.６≤ＡE ＜１０．其中正确的结论是( ）

A.①③

B.①④ C ．①②④ D.①②③

2.如图所示,在正方形A ＢCD 中,E 是ＢC 的中点，F 是CD 上的一点,ＡE ⊥EF,下列结论:①∠BAE ＝3０°；②CE 2

＝AB CF ;③CF ＝

3

1

F Ｄ; ④△AB Ｅ∽△AEF.其中正确的有

Ａ． 1个 Ｂ. 2个 C. 3个 D. 4个

3．如图,每个小正方形边长均为1,则下列图中的三角形（阴影部分)与左图中△ABC 相似的是( ）

4.如图，已知R ｔ△AB Ｃ,D １是斜边A Ｂ的中点，过Ｄ1作Ｄ1E 1⊥A Ｃ于E 1，连接BE 1交C Ｄ1于D 2；过D 2作D 2E 2⊥AC 于E 2,连接ＢE 2交ＣD 1于D ３;过D ３作D 3E 3⊥AC 于Ｅ3，……,如此继续,可以依次得到点D 4、Ｄ５、……、D n ,分别记△BD 1E 1、△BD 2E 2、△BD 3E ３、……、△BD n E ｎ的面积为S 1、S 2、S 3，……Ｓn ,则( ）

F

E

B

C

A

D

A ．ABC n S n

S Δ41

= B.ABC n S n S Δ3

1

+=

C.ABC n S n S Δ)

1(21

+=

D ．ABC n S n S Δ2

)1(1

+=

５．如图，在平行四边形ABCD 中，E 是CD 上的一点，DE ∶EC =2∶3， 连接

,,AE BE BD ,且AE BD ，交于点F ,则DEF S △∶EBF S △∶ABF S △ ＝（ ）

A.2∶５∶25 Ｂ．４∶9∶25 Ｃ．2∶3∶５ D.４∶1０∶2５

6．如图，在□ABCD 中,点Ｅ是边AD 的中点,EC 交对角线BD 于点F,则ＥＦ∶F Ｃ等于 （ ）

Ａ.3∶２ B.3∶1 C.1∶2 D ．1∶1 ７.如图,点P 在△ABC 的边AC 上,要判断△ＡB Ｐ∽△ＡＣB ，添加一个条件，不正确的是( )

Ａ．∠ＡＢP=∠C Ｂ.∠ＡＰB＝∠ABＣ C．= D.＝

8．（２014?宿迁)如图,在直角梯形ＡBCD中，AＤ∥BC,∠ＡBＣ=90°，AB=8，AD=3,BC=４,点P为ＡＢ边上一动点，若△PＡD与△PBC是相似三角形,则满足条件的点Ｐ的个数是( )

A.1个B．2个 C.3个Ｄ．4个

9．如图,△ABC中,∠Ｃ=90°,ＡC＝6,BC＝8，将△AＢC沿DE折叠，使点Ｂ落在AC边上的Ｆ处,并且DF∥ＢC,则BD的长是( )

Ａ．40

9

B．

50

9

C．

15

4

D.

25

4

１０.如图，已知△ABＣ中，∠ABC=45°，Ｆ是高AD和BE的交点，CD=4，则线段DＦ的长是．

11．已知正方形ABC1D1的边长为１,延长C1D1到Ａ1,以Ａ１Ｃ1为边向右作正方形A1Ｃ1Ｃ2D2,延长C2Ｄ2到A２，以Ａ2Ｃ2为边向右作正方形A２C2C3Ｄ3（如图所示),以此类推…,若A1C1=2，且点A,D2, Ｄ3，…，D10都在同一直线上，则正方形A9C9Ｃ10Ｄ１０的边长是＿_＿___

12．如图,点P 是平行四边形ABCD 中边A Ｂ上的一点,射线CP 交的延长线于点，若

，则 .

13．如图，△A ＢC 与△A ＥF 中,AB=AE,BC=EF ，∠B=∠E ，AB 交ＥF 于D ．给出下列结论:

①∠A ＦC=∠C; ②D Ｅ=CF; ③△ADE ∽△FDB; ④∠ＢFD=∠C ＡF

其中正确的结论是 ．

14.如图，△A ＢC 中,D 为ＢC 上一点，∠BAD=∠C ，AB=6，BD ＝4,则ＣD 的长为＿__

＿__＿__.

DA E 2

5

AP CD =AEP BCP

S

S ??=

１５.如图,在矩形AＢCD中,E是AＤ边的中点，BＥ⊥AC于点F，连接DF,分析下列五

个结论:①△AEF∽△CＡB;②CF=2AF；③ＤF＝DC；④S四边形ＣＤＥF=5

2

Ｓ△ABＦ,其中正确的结

论有个．

1６.如图，正方形ＡBCＤ的边长为４,Ｅ是ＢC边的中点，点Ｐ在射线ＡD上,过P作PF ⊥AE于F,设PA=x。

（1）求证:△PFA∽△ABE；

(2）若以P，Ｆ,E为顶点的三角形也与△AＢE相似，试求x的值；

17．小强遇到这样一个问题：如图1,在△ABC中，点D在线段ＢC上，∠BAD=７5°，∠ＣAD=3０°，ＡD＝2,BＤ=2DC，求ＡＣ的长．

A D P F

B E C

小强发现,过点C 作CE ∥A Ｂ，交A Ｄ的延长线于点E,通过构造△AC Ｅ,经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2)．

（１)请回答：∠ACE 的度数为 ，ＡＣ的长为 . 参考小强思考问题的方法，解决问题：

（2)如图３，在四边形AB ＣD 中,∠ＢA Ｃ=９0°，∠ＣAD=3０°,∠ADC=7５°，A Ｃ与BD 交于点E,AE=２，BE=２E Ｄ,求BC 的长.

18.如图，已知矩形ABCD 的边长3cm 6cm AB BC ==，.某一时刻，动点M 从A 点出发沿AB 方向以1cm/s 的速度向B 点匀速运动；同时,动点N 从D 点出发沿DA 方向以2cm /s 的速度向A 点匀速运动，问：

（１）经过多少时间，AMN △的面积等于矩形ABCD 面积的

19

？ （2）是否存在时刻t,使以A,M,Ｎ为顶点的三角形与ACD △相似？若存在,求t 的值;若不存在，请说明理由．

１９．如图,四边形ＡB ＣD 中，AC 平分∠DAB ，∠ADC ＝∠ACB ＝90°，E 为AB 的中点．

（１）求证:AC2=ＡB ＡＤ; (2）求证:ＣE∥ＡＤ;

(3）若AD=5,AB=7，求AC

AF

的值．

20.如图，在△ABC中，AB=5,ＡC=6，BC=7,点D，E分别在AB,AC上，DE∥ＢC．

（1）当AＤ:DB=4:3时，求DE长;

(2）当△ＡＤE的周长与四边形BＣＥD的周长相等，求ＤE的长. 21．(2015?南京)如图，△ABC中，CＤ是边AB上的高，且=．

(1)求证：△A ＣＤ∽△C ＢD ； (2）求∠A ＣB 的大小.

22.如图△ＡＢC 中，ＤE ∥BC,

2

3

AD AB ,M 为ＢC 上一点，AM 交DE 于N ．

（１）若ＡE=4,求EC 的长； (2)若M 为BC 的中点，ABC

S =３6，求ADN S △

2３．如图,△ABC是等边三角形，D、E在BC边所在的直线上，且BC2=BD?ＣE.

（1）求∠DAＥ的度数

（2)求证：AD2=DB?DＥ

参考答案

1.C

【解析】

试题分析:根据题意可得∠AＤE=∠B＝∠C，∠DAE=∠ＣAD，则△AＤＥ∽△ACD;当BD=6时，则△ABＤ和△DCE全等，ＡE的取值范围为3.６≤AE＜１０.

考点：三角形相似.

2.C

【解析】

试题分析：因为正方形ABＣD中,E是BC的中点，所以tan∠BAE=

1

2

BE

AB

=，所以∠Ｂ

AE≠30°，故①错误;因为∠ＢAE＋∠BEA=90°，∠BEA+∠CEF=90°；所以∠BＡE=∠ＣEF，又因为∠B=∠C=9０°，所以△ABE∽△ECF则AＢ：BE=EC:ＣF，因为BＥ=ＣE,所以AB:CE ＝ＥＣ：CＦ,即CE2＝AB?CＦ,所以②正确;

设CF＝a，则BE=CE=2a,AＢ=CD＝AＤ=4a，DF=3a，∴AE=２5a，EF＝5ａ,A

Ｆ=5a,∴

2525

55

AE a

AF a

==,

225

5

5

BE a

EF a

==，∴

BE AE

EF AF

=,∴△ABE∽△AEF，

故④正确．∴CF=1

2

EC=

1

4

ＣD，∴CF＝

3

1

FＤ;故③正确;故选：C.

考点：１.正方形的性质2.相似三角形的判定与性质.

3．B

【解析】

试题分析：两个三角形的三边分别对应成比例，则两个三角形相似.本题只要分别求出这五个三角形的三边长,然后判断边是否成比例即可得出答案．

考点:三角形相似的判定

4．Ｄ.

【解析】

试题解析:∵Ｓ△BDnＥn=1

2

Ｓ△CＤnEn?CEn,

∴Dn Ｅn=Ｄ1E １?ＣＥｎ?

111D E CE ,而Ｄ１E 1=12ＢC,ＣE 1=1

2

AC ， ∴S △BDnEn ＝

12×12BC ×12

n CE AC ?ＣEn ＝12×?n BC CE AC ?CEn ＝1

2BC ?AC[

n CE AC ]2 =S △ＡBC ?[

n CE AC

］2

, 延长CD １至F 使得Ｄ1Ｆ=CD １，

∴四边形AC ＢF 为矩形．

∴1

111n n n n n n n CE CE D E CE BF CE AC AF AF CE AC

----=++==, 对于

1

1n n n n n CE D E CE AC AF CE AC

--==+, 两边均取倒数,

∴

1

1n n AC AC CE CE -=+， 即是

1

1n n AC AC

CE CE --= ∴

n

AC

CE 构成等差数列．

而

n

AC

CE =2, 故

n

AC

CE =2+1?(n-1)=n+1, ∴Ｓ△BDnE ｎ=Ｓ△ABC ?[

n CE AC

]2

, 则S ｎ＝

2

1

(n 1)

+S △ABC . 故选D ．

考点:1.相似三角形的判定与性质；2.三角形的重心． 5．D. 【解析】

试题解析：根据图形知：△DE Ｆ的边ＤＦ和△BF Ｅ的边BF 上的高相等,并设这个高为h,

∵四边形A ＢCD 是平行四边形， ∴D Ｃ=AB ，DC ∥A Ｂ, ∵ＤE ：E Ｃ=2：3， ∴DE ：A Ｂ=2:5, ∵ＤC ∥ＡB ， ∴△D ＥF ∽△BAF ，

∴

24(

)25DEF ABF

D S

AB S E ==，2

5

DE DF AB BF ==,

∴

1

2

1

24

10

2

5 DEF

EBF

DF h

S

S BF

F

B

h

D

F

??

?

==

?

==

∴S△DEF：Ｓ△EBF:S△AＢF=４：10：25，

故选D.

考点：１．相似三角形的判定与性质;2.三角形的面积；3.平行四边形的性质.６．C

【解析】

试题分析:根据平行四边形可得:ＤE=1

2

AＤ=

1

2

BC，△ＥFD∽△CFB，则：EF：FC=EＤ:Ｂ

C=1

2

BC：ＢC=１：２.

考点：三角形相似.

7．Ｄ

【解析】

试题分析：分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．

解:A、当∠ABP＝∠Ｃ时，又∵∠A=∠Ａ,∴△ABP∽△ACB,故此选项错误；

B、当∠ＡPB=∠ABC时，又∵∠A=∠A,∴△ABＰ∽△ＡCB，故此选项错误；

Ｃ、当=时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；

Ｄ、无法得到△ＡBＰ∽△ACＢ,故此选项正确．

故选：D．

考点：相似三角形的判定.

8．Ｃ

【解析】

试题分析：由于∠PAD=∠PＢC=90°,故要使△PAD与△PBC相似，分两种情况讨论：①△A ＰD∽△BＰC,②△ＡPD∽△ＢCP,这两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等求出A Ｐ的长,即可得到P点的个数.

解：∵AB ⊥B Ｃ， ∴∠B ＝９０°. ∵AD ∥BC,

∴∠Ａ＝180°﹣∠B ＝9０°，

∴∠P ＡD ＝∠P ＢＣ=90°.A Ｂ=８，A Ｄ＝3，BC ＝4, 设A Ｐ的长为x ，则ＢP 长为8﹣ｘ．

若A Ｂ边上存在P 点，使△PA Ｄ与△PBC 相似，那么分两种情况:

①若△A ＰD ∽△BPC ，则ＡＰ:BP=ＡＤ：B Ｃ，即x ：(8﹣x)=３：4，解得x ＝;

②若△APD ∽△ＢCP,则AP:BC=AD ：BP,即x ：4=3：(8﹣x ），解得ｘ=2或ｘ=６. ∴满足条件的点Ｐ的个数是３个， 故选:C.

考点:相似三角形的判定；直角梯形． 9.A 【解析】

试题分析:本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、翻折的性质、勾股定理的应用,利用相似三角形的性质列出关于ｘ的方程是解题的关键．先利用勾股定理求得A Ｂ的长,然后由翻折的性质可知DF=DB ，由DF ∥BC 可知△A ＦＤ∽△AC Ｂ,利用相似三角形的性质列出方程求解即可．

解:在Ｒt △ABC 中,由勾股定理得:AB ＝22AC BC +=2268+＝1０．

由翻折的性质可知:D Ｆ=ＤB. 设B Ｄ=ｘ，则ＤＦ=x ． ∵D Ｆ∥B Ｃ，

∴△AF Ｄ∽△ACB. ∴

AD AB ＝DF BC ,即1010x -＝8

x

． 解得:x=

40

9

． 故选：A ．

考点：翻折变换(折叠问题）. 10.4 【解析】

试题分析:根据题意可得AD ＝B Ｄ，根据垂直可得∠C=∠B ＦD ，∠BDF=∠ＡDC ＝90°,则△ＡDC ≌△B ＤF,则DF=ＣD=4. 考点：三角形全等

11．8

732

．

【解析】

试题解析:延长D 4A 和C 1B 交于O,

∵AB ∥A 2Ｃ1,

∴△ＡOB ∽△D 2ＯＣ2，

∴

222

OB AB

OC D C =， ∵AB=ＢC 1=1,D 2C 2

＝Ｃ1Ｃ2=2，

∴

2221

2

OB AB OC D C == ∴OC ２=2OB ， ∴ＯB=B Ｃ2=３， ∴ＯC 2=６,

设正方形A 2C 2C 3D 3的边长为x １, 同理证得:△Ｄ2O Ｃ2∽△D 3OC 3，

∴

11

266x x =+,解得,x 1=3, ∴正方形A ２C 2C ３Ｄ３的边长为3， 设正方形A 3C 3C 4D 4的边长为x 2, 同理证得:△D 3ＯC 3∽△Ｄ4O Ｃ４,

∴

22399x x =+，解得x 2=92

， ∴正方形A ３C ３C 4D 4的边长为

9

2

; 设正方形A 4C ４C 5D 5的边长为x ３， 同理证得:△D ４OC ４∽△Ｄ5O Ｃ5,

∴33

927

22272

x x

=

+，解得x=274, ∴正方形Ａ4C ４C 5Ｄ5的边长为274

; 以此类推….

正方形Ａn-１Ｃn-1C n D n 的边长为2

332

n n --;

∴正方形A 9C ９Ｃ10D １0的边长为8

732

.

考点：1.相似三角形的判定与性质;2.正方形的性质． 1２.

49

． 【解析】

试题解析:∵四边形ＡBCD 是平行四边形， ∴AB ∥C Ｄ,ＡB=CD ， ∴△ＡＥＰ∽△CBP ， ∵

2

5AP CD =, ∴

2

5AP AB =, ∴

2

3AP PB =， ∴

2224(

)()39

AEP BCP

S AP S

PB ===. 考点:１.相似三角形的判定与性质；2.平行四边形的性质. １３．①③④ 【解析】

试题分析：先根据已知条件证明△ＡEF ≌△ABC,从中找出对应角或对应边．然后根据角之间的关系找相似,即可解答． 解：在△ＡBC 与△AEF 中 ∵AB=A Ｅ，BC=E Ｆ,∠B=∠Ｅ ∴△AEF ≌△ABC, ∴A Ｆ=ＡＣ, ∴∠AF Ｃ=∠C;

由∠B＝∠E，∠ADE=∠FDB,

可知:△ADＥ∽△FDＢ；

∵∠ＥＡＦ=∠BAC，

∴∠EAD=∠ＣＡF，

由△ADE∽△FＤ,B可得∠EＡD=∠BFD,

∴∠BFD=∠CAF.

综上可知：①③④正确.

考点:相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．１４.5．

【解析】

试题解析：∵∠BAD=∠C,∠B=∠B，

∴△BAD∽△BＣA,

∴BA BD BC BA

=.

∵ＡB=６，BD=4，

∴

64

6 BC

=

∴BC=9，

∴CＤ=BC－BＤ=９－４=5．

考点：相似三角形的判定与性质. 15.4

【解析】

试题解析：过D作DM∥BE交AC于N，

相似三角形培优拔高题(精编文档).doc

【最新整理，下载后即可编辑】 第一讲 相似三角形 1、已知432z y x ==，且1032=+-z y x ，则z y x ++= 。 2、已知△ABC 中，AB=AC,∠BAC=120°，求AB:BC 的值。 3、若点P 在线段AB 上，点Q 在线段AB 的延长线上，AB=10， 23==BQ AQ BP AP ,求线段PQ 的长。 4、若55432+==+c b a ，且2132=+-c b a ，试求a:b:c 。 5、△ABC 为等边三角形，点E 在BA 的延长线上，点D 在BC 边上，且ED=EC 。若△ABC 的边长为4，AE=2，则BD 的长 为 。 6、点D,E 分别在△ABC 的边AB ，AC 上，DE ∥BC ，点G 在边BC 上，AG 交DE 于点H ，点O 是线段AG 的中点，若 13=DB AD ,则 =OH AO

7、在正方形ABCD 中，P 是CD 的中点，连接AP 并延长交BC 的延长线于点E ，连接DE ，取DE 的中点Q ，连接PQ ，求证： PQ=PC. 8、四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似，相似比为2:3，四边形A 1B 1C 1D 1与四边形A 2B 2C 2D 2相似，相似比为5:4，则四边形ABCD 与四边形A 2B 2C 2D 2相似且相似比为 。 9、已知矩形ABCD 中，AB=1，在BC 上取一点E ，沿 AE 将△ABE 向上折叠，使B 点落在AD 上的F 处。若 四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，则AD= 10、已知∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE 11、点C 、D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形

初三数学相似三角形知识点归纳

初三数学相似三角形知 识点归纳 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998

初三数学《相似三角形》知识提纲 (何老师归纳) 一：比例的性质及平行线分线段成比例定理 （一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段 的比是，或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离 3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：c d a b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。 ③ 比例中项:若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质:bc ad d c b a =?= 2. 合比：若 ，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比：若 ……（若……）a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 4、黄金分割： 把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的 比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC= 2 1 5-≈， (三)平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到 = . = ， = ， n m b a =

初中数学相似三角形练习题附参考答案

经典练习题相似三角形 一．解答题（共30小题） 1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC． 2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF； （2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD 的长． 3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．

求证：△ABC∽△FDE． 4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD． 5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点． （1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形； （2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立； （3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．

6．如图，E是?ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明． 7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． （1）填空：∠ABC=_________ °，BC= _________ ； （2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．

8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB 方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问： （1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的 （2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． 9．如图，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形．

相似三角形培优训练含答案

相似三角形分类提高训练 一、相似三角形中的动点问题 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动 点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C 沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作 EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒． （1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度； （2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值． 2.如图，在△ABC中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C 移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒． （1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积； ②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式； （2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值． 3.如图1，在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE平分CDB交边BC 于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N． （1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC； （2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？ 4.如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着 AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的 速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x． （1）当x为何值时，PQ∥BC？ （2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由．

(完整版)初三数学相似三角形典型例题(附含答案解析)

2 初三数学相似三角形 （一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是： 1. 理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割。 2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。 3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。 4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题 本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。 相似三角形是平面几何的主要内容之一， 在中考试题中时常与四边形、 圆的知识相结合 构成高分值的综合题，题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在 10%左右，有时也单独成题，形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。 （二）重要知识点介绍： 1. 比例线段的有关概念： 在比例式 a b c (a ： bc ：d )中， a 、 d 叫外项， d b 、 c 叫内项， a 、c 叫前项， b 、 d 叫后项， d 叫第四比例项，如果 b=c ，那么 b 叫做 a 、 d 的比例中项。 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ，使 AC=AB BC ，叫做把线段 AB 黄金分割， C 叫做线段 AB 的黄金分割点。 2. 比例性质： ①基本性质： a c b d ②合比性质： a c b d ad bc a b c d b d ③等比性质： a c ? b d m (b d ? n n ≠ 0) a c ? m a b d ? n b 3. 平行线分线段成比例定理： ①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图： l 1∥ l 2∥ l 3 。 AB 则 BC DE ， AB EF AC DE ， BC DF AC EF ，? DF

初三数学相似三角形练习题集

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相似三角形练习题 1．如图所示，给出下列条件： ①；②；③；④． 其中单独能够判定的个数为（） A．1 B．2 C．3 D．4 2.如图，已知，那么下列结论正确的是（） A．B．C．D． 3. 如图，已知等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线，则下面四个结论： （1）DE=1，（2）△CDE∽△CAB，（3）△CDE的面积与△CAB的面积之比为 1：4.其中正确的有：（） A．0个B．1个C．2个D．3个 4.若△ABC∽△DEF, △ABC与△DEF的相似比为１∶2，则△ABC与△DEF的周长比为（） A．1∶4B．1∶2C．2∶1D．１∶ 5.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（） D B C A N M O

A．只有1个 B．可以有2个 C．有2个以上但有限 D．有无数个 6.如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、AD 的中点，连接OM、ON、MN，则下列叙述正确的是（） A．△AOM和△AON都是等边三角形 B．四边形MBON和四边形MODN都是菱形 C．四边形AMON与四边形ABCD是位似图形 D．四边形MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形 7.如图，在方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图② 中所示的位置，与三角形乙拼成一个矩形，那么，下面的平 移方法中，正确的是（） A．先向下平移3格，再向右平移1格 B．先向下平移2格，再向右平移1格 C．先向下平移2格，再向右平移2格 D．先向下平移3格，再向右平移2格 8.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（） A．12.36cm B.13.6cm C.32.36cm D.7.64cm 9.小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B 时，要使眼睛O、准星A、目标B在同一条直线上，如图4所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星A偏离到A′，若OA=0.2米，OB=40米， AA′=0.0015米，则小明射击到的点B′偏离目标点B的长度BB′为 （） A．3米B．0.3米C．0.03米D．0.2米 10、在比例尺为1︰10000的地图上，一块面积为2cm2的区域表示的实际面积是（）

初三数学《相似三角形》专题复习

B C 初三数学期末复习 相似三角形及应用 一、比例的基本性质，线段的比、成比例线段，黄金分割． （1）比例的基本性质：b a =d c ?ad=bc （b d ≠0） 1、甲、乙两地的实际距离20千米，则在比例尺为 1∶1000000 的地图上两地间的距离应为 厘米． 2、若3a ＝5b ，则a b ＝ . 3、若线段a 、b 、c 、d 成比例且a ＝3cm ，b ＝6cm ，c ＝5cm ，则d ＝ cm ． 二、两个三角形相似的条件．常用基本图形——A 形、X 形…… 例1、已知如图(1)、(2)中各有两个三角形,其边长和角的度数已在图上标注,图(2)中AB 、CD 交于O 点,对于各图中的两个的两个三角形而言,下列说法正确的是( ) A.都相似 B.都不相似 C.只有(1)相似 D.只有(2)相似 2、如图, 小正方形的边长均为1, 则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是( ) 三、相似三角形的概念、性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积比等于对应边 比的平方． 例题1.△ABC 的三条边的长分别为3、4、5，与△ABC 相似的△A′B′C′的最长边为15． 求△ A′B′C′最短边的长． 变化:△ABC 的三条边的长分别为3、4、5，与△ABC 相似的△A′B′C′的一边长为15． 求△ A′B′C′的周长． 4、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ，BD 相交于点O ， 若1AD =，3BC =，则AO CO 的值为 (1) A B C D O 4 3 6 8 (2)

5、如图，□ ABCD 中，E 为DC 边的中点，AE 交BD 于O ，若DO ＝4cm ，BO ＝ cm ． 6、如图所示，在△ABC 中，∠C=90°，AC=3，D 为BC 上一点，过点D 作DE ⊥BC 交AB 于E ，若ED=1，BD=2，则DC 的长为________． 7、如图所示，在△ABC 中，∠C=90°，AC=3，D 为BC 上一点，过点D 作 DE ⊥AB 于E ，若ED=1，BD=2，则DC 的长为________． 8、如图，△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别交边AB 、AC 于D 、E 两点，若AD ：AB ＝1：3，则△ADE 与△ABC 的面积比为 ． 9、如图，DE 是△ABC 的中位线，S △ADE =2，则S △ABC =_______． 10、如图所示，已知点E F 、分别是ABC △中AC AB 、边的中点，BE CF 、相交于点G ， 2FG =，则CF =_______． 11、如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A 与点B 重合， 折痕为DE ，则S △BCE ：S △BDE 等于（ ） A . 2：5 B .14:25 C .16:25 D . 4:21 12、如图，△ABC,是一张锐角三角形的硬纸片，AD 是边BC 上的高，BC=40cm,AD=30cm,从这张硬纸片上剪下一个长HG 是宽HE 的2倍的矩形EFGH ，使它的一边EF 在BC 上，顶点G 、H 分别在AC ，AB 上，AD 与HG 的交点为M. （1）、求证：;AM HG AD BC = （2）、求这个矩形EFGH 的周长. A D E C B O A F E C B

相似三角形培优专题讲义

相似三角形培优专题讲义 知识点一：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念 1、两条线段的比：选用同一长度单位量得两条线段量得AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那 么就说这两条线段的比是AB:CD ＝m ：n 例：已知线段AB=2.5m,线段CD=400cm ，求线段AB 与CD 的比。 2.比例线段：四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即 d c b a =（或a ：b= c ： d ），那么，这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。（注意：在求线段 比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位，还要注意顺序。） 例：b,a,d,c 是成比例线段，其中a=2cm,b=3cm,c=6cm,求线段d 的长度。 （2）比例性质 1.基本性质: bc ad d c b a =?= （两外项的积等于两内项积） 2.反比性质： c d a b d c b a =?= (把比的前项、后项交换) 3.更比性质(交换比例的内项或外项)： ()()()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=???=??， 交换内项，交换外项． 同时交换内外项 4.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.） 如果 )0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ，那么 b a n f d b m e c a =++++++++ ． 注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法． (2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零． (3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．

上海市初三数学相似三角形经典题型

相似三角形的判定练习 例题分析： 例1：已知如图，在△ABC 中，D 是AB 上的一点，连结CD ，∠ACD=∠B,求证：2 AE AD AC = 例2：如图，在Rt ΔABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足为D ， (1)求证：△ACD ∽△ABC ∽△CBD (2)求证：222(1) (2) (3)AC AD AB CD AD DB BC BD AB === 例3：已知如图，点D 是AB 上的一点，CA ⊥AB,EB ⊥AB,CD ⊥DE,求证：△ACD ∽△BDE 例4：在△ABC 中，AB=6，AC=9，D 为AC 上的一点，AD=3，在AB 上找一点E ，使得△ADE 与△ABC 相似？并求出AE 的长。

两个三角形相似的六种图形： 1. 如图在△ABC中，D是BC边的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，交AB于点E，EC交AD于点F． 求证：△ABC∽△FCD； A E F B D C 2、已知：如图，△ABC中，∠ACB=900，AB的垂直平分线交AB于D，交BC延长线于F。 求证：CD2=DE·DF 3. 如图3，△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线FE交BC的延长线于E．求证：DE2＝BE·CE． 4.如图，已知△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，CF∥BA，BF交AD于P点，交AC于E点。求证：BP2=PE·PF。

5.如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB 6.如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于点F． 求证：AB DF AC AF ． 7.已知如图，在平行四边形ABCD中，,求证：△AOB∽△ABC 8. 已知:如图,ΔABC中,CE⊥AB,BF⊥AC.求证:(1)△AEC∽△AFB (2) △AEF∽△ACB

相似三角形练习题精选

# 相似三角形练习题精选 相似三角形 例题： 1、（2007杭州）如图，用放大镜将图形放大，应该属于（ ） Ａ．相似 Ｂ．平移 Ｃ．对称 Ｄ．旋转 # 2、(2008天津)如图，已知△ABC 中，EF ∥GH ∥IJ ∥BC ，则图中相似三角形共有 对． 跟踪练习： 1、（2007韶关）如图1，CD 是Rt △ABC 斜边上的高，则图中相似三角形的对数有（ ） 对 对 C. 2对 对 2、（2007上海）如图2，E 为平行四边形ABCD 的边BC 延长线上一点，连结AE ，交边CD 于点F ．在不添加辅助线的情况下，请写出图中一对相似三角形： ． 相似三角形的判定 例题： 1.下列各组图形有可能不相似的是( ). A ．各有一个角是50°的两个等腰三角形 B ．各有一个角是100°的两个等腰三角形 C ．各有一个角是50°的两个直角三角形 D ．两个等腰直角三角形 ~ 2、（2007永州）如图，添上条件：_______，则△ABC ∽△ADE 。 3. （2009新疆）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC △相似的是（ ） 4．（2010临沂） 如图，12∠=∠，添加一个条件使 得ADE ?∽ACB ? . 跟踪练习： 1．（2010陕西西安）如图，在ABC ?中，D 是AB 边上一点，连接CD ，要使ADC ?与 ~ ABC ?相似，应添加的条件是 。 （只需写出一个条件即可） 2、（2008 江西南昌）下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（ ） 2 1E D C B A A. 图1 D C B A A B D \ F

最新初三数学专题复习(相似三角形)

中考复习--相似三角形 【课前热身】 1．以下列长度（同一单位）为长的四条线段中，不成比例的是（ ） A ．2，5，10，25 B ．4，7，4，7 C ．2，0.5，0.5，4 D ．2，5，52，25 2．两地的距离是 500 米，地图上的距离为 10 厘米，则这张地图的比例尺为（ ） A ．1∶50 B ．1∶500 C ．1∶5000 D ．1∶50000 3．下列各组图形不一定相似的是（ ） A ．两个等边三角形 B ．各有一个角是100°的两个等腰三角形 C ．两个正方形 D ．各有一个角是45°的两个等腰三角形 4．△ABC 的三边之比为 3∶4∶5，若 △ABC∽△A'B'C' ，且△A'B'C' 的最短边长为6，则△A'B'C'的周长为 （ ） A ．36 B ．24 C ．18 D ．12 5．如图，在△ABC 中，若D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且DE∥BC，AD=1，DB=2， 则△ADE 与△ABC 的面积比为____________； 【中考考点链接】 一、相似三角形的定义 三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形． 二、相似三角形的判定方法 判定1. 两个角对应相等的两个三角形__________． 判定2. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似． 判定3. 三边对应成比例的两个三角形___________． 【拓展】常见的相似形式： 1. 若DE∥BC（A 型和X 型）则______________． 2. 射影定理：若CD 为Rt△ABC 斜边上的高（双直角图形） 则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD 且AC 2=________，CD 2=_______，BC 2=__ ____． 三、相似三角形的性质 1. 相似三角形的对应边_________，对应角________． 2. 相似三角形的对应边的比叫做________，一般用k 表示． 3. 相似三角形的对应角平分线，对应边的________线，对应边上的_______?线的比等于_______比，周长之比也等于________比，面积比等于_________． 【典例精析】 1、比例的性质 例1：若322=-y y x , 则_____=y x ； 变式1．若a ∶3 =b ∶4 =c ∶5 , 且6=-+c b a , 则___________,____,===c b a ； E D C B A 第5题图

相似三角形培优难题集锦(含答_案)

一、相似三角形中的动点问题 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC 方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F， G是EF中点，连接DG．设点D 运动的时间为t秒． （1）当t为何值时，AD=AB，并 求出此时DE的长度； （2）当△DEG与△ACB相似时， 求t的值． 2.如图，在△ABC 中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它 们都停止移动．设移动的时间为t 秒． （1）①当t=2.5s时，求△CPQ的 面积； ②求△CPQ的面积S（平方米）关 于时间t（秒）的函数解析式； （2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值． 3.如图1，在Rt△ABC中 ， ACB＝90°，AC＝6，BC＝ （1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC； （2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？ 4.如图所示，在△ABC中， BA＝BC＝20cm，AC＝ 30cm，点P从A点出发， 沿着AB以每秒4cm的速 度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x． （1）当x为何值时，PQ∥BC？ （2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由． 5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P 沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q 沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t ＜6）。 （1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？（2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？

初中数学相似三角形专项练习题

初中数学相似三角形专项练习题 1 / 3 第18.1课时 相似三角形 一．填空题（基础） 1． 如图，ABC ?∽MNP ?，则它们的对应角分别是A ∠与∠___M__,∠B 与∠___N__， C ∠与∠___P__；对应边成比例的是________=_________=_________;若AB =2.7cm,cm MN 9.0=,cm MP 1=,则相似比=_________,=BC _________cm . B A G F E D C B A N P M （第2题） （第1题） 2． 如图,四边形ABCD 中,AD ∥EF ∥BC ,AC 交EF 于G .图中能相似的三角形共有 _______对,它们分别是_________、___________,小明通过这两对相似三角形推出了比例 式： AB BE AD FG =，对不对，为什么？ 二．填空题 3． 如图，ABC ?和DEF ?的三边长分别为7、2、6和12、4、14，且两三角形相似，则A ∠与∠_____,∠B 与∠_____，C ∠与∠_____， ) ()()(AC DF AB ==。 （第5题） （第4题） （第3题） C G F E D C B A F E B A E F D C B A 4． 如图，ABC ?∽AEF ?，写出三对对应角：_________=_________,_________=________, ________=_________,并且 ) () ()()()(==AF ,若ABC ?与AEF ?的相似比是3：2，cm EF 8=，则________=BC 。 5． 如图，ABC ?中，点D 在BC 上，EF ∥BC ，分别交AB 、AC 、AD 于点E 、F 、 G ， 图中共有______对相似三角形，它们是______________________________________.

最新九年级数学专题复习 相似三角形解题技巧及口诀

F 相似三角形解题技巧及口诀 A 字形，A ’形，8 旋转形 双垂直结论:射影定理：①直角三角形中， 斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项 ⑴△ACD ∽△CDB →AD:CD=CD:BD →CD2=AD ?BD ⑵△ACD ∽△ABC →AC:AB=AD:AC →AC2=AD ?AB ⑶△CDB ∽△ABC →BC:AC=BD:BC →BC2=BD ?AB 结论：⑵÷⑶得AC2:BC2=AD:BD 结论：面积法得AB ?CD=AC ?BC →比例式 证明等积式(比例式)策略 直接法：找同一三角形两条边 变化：等号同侧两边同一三角形 三点定形法 2、间接法： ⑴3种代换 ①等线段代换； ②等比代换； ③等积代换； ⑵创造条件 ①添加平行线——创造“A ”字型、“8”字型 ②先证其它三角形相似——创造边、角条件 相似判定条件：两边成比夹角等、两角对应三边比 相似终极策略： 遇等积，化比例，同侧三点找相似； 四共线，无等边，射影平行用等比； 四共线，有等边，必有一条可转换； 两共线，上下比，过端平行条件边。 彼相似，我角等，两边成比边代换。 （3）等比代换：若是四条线段，欲证，可先证得 （ 是两 条线段）然后证，这 里把叫做中间比。 ①∠ABC=∠ADE ．求证：AB ·AE=AC ·AD ②△ABC 中，AB=AC ，△DEF 是等边三角形 求证： BD?CN=BM?CE ． ③等边三角形ABC 中，P 为BC 上任一点，AP 的垂直平分线交AB 、AC 于M 、N 两点。 求证：BP ?PC=BM ?CN ?有射影，或平行，等比传递我看行 ①在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ，E 为AC 的中点，求证：AB ?AF=AC ?DF

【2021版 九年级数学培优讲义】专题16 相似三角形的性质

专题16 相似三角形的性质 阅读与思考 相似三角形的性质有： 1. 对应角相等； 2. 对应边成比例； 3. 对应线段（中线、高、角平分线）之比等于相似比； 4. 周长之比等于相似比； 5. 面积之比等于相似比的平方. 性质3主要应用于三角形内接特殊平行四边形的问题，性质5进一步丰富了面积的有关知识，拓展了我们研究面积问题的视角. 如图，正方形EFGH 内接于△ABC ，AD ⊥BC ，设BC a =，AD h =，试用a 、h 的代数式表示正方形的边长. H G E F D C B A 例题与求解 【例1】如图，已知□ABCD 中，过点B 的直线顺次与AC ，AD 及CD 的延长线相交于E ，F ，G ，若5BE =，2EF =，则FG 的长是 . （“弘晟杯”上海市竞赛试题） 解题思路：由相似三角形建立含FG 的关系式，注意中间比的代换. G E F D C B A

【例2】如图，已知△ABC 中，DE ∥GF ∥BC ，且::1:2:3AD DF FB =， 则:ADE DFGE S S △四边形:FBCG S =四边形（ ） （黑龙江省中考试题） A.1:9:36 B.1:4:9 C.1:8:27 D. 1:8:36 解题思路：△ADE ，△AFG 都与△ABC 相似，用△ABC 面积的代数式分别表示△ADE 、四边形DFGE 、四边形FBCG 的面积. G E F D C B A 【例3】如图，在△ABC 的内部选取一点P ，过P 点作三条分别与△ABC 的三边平行的直线，这样所得的三个三角形t 1，t 2，t 3的面积分别为4，9和49，求△ABC 的面积. （第二届美国数学邀请赛试题） 解题思路：由于问题条件中没有具体的线段长，所以不能用面积公式求出有关图形的面积，可考虑应用相似三角形的性质. t 1 t 2 t 3 I P H G E F D C B A 如图所示，经过三角形内一点向各边作平行线（也称剖分三角形），我们可以得到： ① △FDP ∽△IPE ∽△PHG ∽△ABC ； ② 1HG IE DF BC AC AB ++=； ③ 2DE FG HI BC AC AB ++=； ④ 2ABC S =△. 上述性质，叙述简捷，形式优美，巧妙运用它们解某些平面几何竞赛题，简明而迅速，奇特而匠心独

初三数学《相似三角形》知识点归纳

初三数学《相似三角形》知识提纲 (何老师归纳) 一：比例的性质及平行线分线段成比例定理 （一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段 的比是，或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离 3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：c d a b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。 ③ 比例中项:若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质:b c a d d c b a =?= 2. 合比：若 ，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比：若 ……（若……）a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 4、黄金分割： 把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=2 1 5-AB ≈0.618AB ， (三)平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到 = . = ， = ， 语言描述如下： = ， = ， = . （4）上述结论也适合下列情况的图形： n m b a =

相似三角形性质及其应用练习题

相似三角形性质及其应用 1.掌握相似三角形对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方等性质，能应用他们进行简单的证明和计算。 2.掌握直角三角形中成比例的线段：斜边上的高线是两条直角边在斜边上的射影的比例中项；每一条直角边是则条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项，会用他们解决线段成比例的简单问题。 考查重点与常见题型 1． 相似三角形性质的应用能力，常以选择题或填空形式出现，如： 若两个相似三角形的对应角的平分线之比是1∶2，则这两个三角形的对应高线之比是---------，对应中线之比是------------，周长之比是---------，面积之比是-------------，若两个相似三角形的面积之比是1∶2，则这两个三角形的对应的角平分线之比是----------，对应边上的高线之比是-------- 对应边上的中线之比是----------，周长之比是--------------， 2． 考查直角三角形的性质,常以选择题或填空题形式出现，如： 如图，在Rt ΔABC 中，∠ACB=90°, CD ⊥AB 与D ，AC=6，BC=8， 则AB=--------，CD=---------， AD=---------- ，BD=-----------。， 3． 综合考查三角形中有关论证或计算能力，常以中档解答题形式出现。 预习练习 1． 已知两个相似三角形的周长分别为8和6，则他们面积的比是（ ） 2． 有一张比例尺为1 4000的地图上，一块多边形地区的周长是60cm ，面积是250cm 2，则这个地区的实际周长-------- m ，面积是----------m 2 3． 有一个三角形的边长为3，4，5，另一个和它相似的三角形的最小边长为7，则另一个 三角形的周长为----------，面积是------------- 4． 两个相似三角形的对应角平分线的长分别为10cm 和20cm ，若它们的周长的差是60cm ， 则较大的三角形的周长是----------，若它们的面积之和为260cm 2，则较小的三角形的面积为 ---------- cm 2 5． 如图，矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，若BE=4，DE=9,则矩形的面积是----------- 6.已知直角三角形的两直角边之比为12，则这两直角边在 斜边上的射影之比------------- 考点训练 1．两个三角形周长之比为95，则面积比为（ ） （A ）9∶5 （B ）81∶25 （C ）3∶ 5 （D ）不能确定 2．Rt ΔABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，那么和ΔABC 相似但不全等的三角形共有（ ） (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 3．在Rt ΔABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于D ，下列等式中错误的是（ ） （A ）AD ? BD=CD 2 （B ）AC ?BD=CB ?AD （C ）AC 2 =AD ?AB （D ）AB 2 =AC 2 +BC 2 4．在平行四边形ABCD 中，E 为AB 中点，EF 交AC 于G ，交AD 于F ，AF FD =13 则CG GA 的比值 是（ ） （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 5．在Rt ΔABC 中，AD 是斜边上的高，BC=3AC 则ΔABD 与ΔACD 的面积的比值是（ ） （A ）2 （B ）3 （C ）4 （ D ）8

华东师大版数学九年级上册8.考点综合专题：相似三角形与其他知识的综合

考点综合专题：相似三角形与其他知识的综合 ◆类型一相似与四边形 1．如图，菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD，NF⊥AB.若NF＝NM＝2，ME ＝3，则AN＝（） A．3 B．4 C．5 D．6 第1题图 第2题图 2．如图，在?ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F.S△DEF∶S△ABF ＝4∶25.则DE∶EC＝. 3．如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且CF＝3FD，△ABE 与△DEF相似吗？为什么？ 4．(上海中考)如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE＝OB，连接DE. (1)求证：DE⊥BE； (2)如果OE⊥CD，求证：BD·CE＝CD·DE.

◆类型二相似与函数 5．(滨州中考)如图，在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转，若∠BOA 的两边分别与函数y＝－ 1 x、y＝ 2 x的图象交于B、A两点，则∠OAB的大小的变化趋势为（）A．逐渐变小B．逐渐变大 C．时大时小D．保持不变 第5题图 第6题图 6．(重庆模拟)如图，点A在双曲线y＝ 3 x上，点B在双曲线y＝ k x(k≠0)上，AB∥x轴，过点A作AD⊥x轴于D.连接OB，与AD相交于点C，若AC＝2CD，则k的值为（）A．6 B．9 C．10 D．12 7．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，O为矩形的对称中心，OE⊥OF，若设OE＝x，OF＝y，则x与y之间的函数关系为． 考点综合专题：相似三角形与其他知识的综合 1．B 2.2∶3

3．解：△ABE与△DEF相似．理由如下：∵四边形ABCD为正方形，∴∠A＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD.设AB＝AD＝CD＝4a，∵E为边AD的中点，CF＝3FD，∴AE＝DE＝ 2a，DF＝a，∴ AB DE＝ 4a 2a＝2， AE DF＝ 2a a＝2，∴ AB DE＝ AE DF，而∠A＝∠D，∴△ABE∽△DEF. 4．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝OD.∵OE＝OB，∴OE＝OD，∴∠OBE ＝∠OEB，∠OED＝∠ODE.∵∠OBE＋∠OEB＋∠OED＋∠ODE＝180°，∴∠BEO＋∠DEO ＝∠BED＝90°，∴DE⊥BE； (2)∵OE⊥CD，∴∠CEO＋∠DCE＝∠CDE＋∠DCE＝90°，∴∠CEO＝∠CDE.∵OB＝ OE，∴∠DBE＝∠CEO，∴∠DBE＝∠CDE.∵∠BED＝∠BED，∴△BDE∽△DCE，∴ BD CD ＝ DE CE，∴BD·CE＝CD·DE. 5．D 6．B解析： 过点B作BE⊥x轴于E，延长线段BA，交y轴于F.∵AB∥x轴，∴AF⊥y轴，∴四边形AFOD是矩形，四边形OEBF是矩形，∴AF＝OD，BF＝OE，∴AB＝DE，∵点A在双曲线y＝ 3 x上，∴S矩形AFOD＝3，同理S矩形OEBF＝k，∵AB∥OD，∴ OD AB＝ CD AC＝ 1 2，∴AB＝2OD，∴DE＝2OD，∴S矩形OEBF＝3S矩形AFOD＝9，∴k＝9.故选B. 7．y＝ 3 4x 8．解：如图，过点P作PM⊥AB，则∠PMB＝90°，当PM⊥AB时，PM最短，因为直 线y＝ 3 4x－3与x轴、y轴分别交于点A，B，可得点A的坐标为(4，0)，点B的坐标为(0，－3)．在Rt△AOB中，AO＝4，BO＝3，AB＝32＋42＝5.∵∠BMP＝∠AOB＝90°，∠ABO ＝∠PBM，PB＝OP＋OB＝7，∴△PBM∽△ABO，∴ PB AB＝ PM AO，即 7 5＝ PM 4，∴可得PM＝ 28 5. 8．(宿迁中考)如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(0，4)，直线y＝ 3 4x－3与x 轴、y轴分别交于点A、B，点M是直线AB上的一个动点，求PM长的最小值．

相似三角形的综合应用(培优提高)

相似三角形的应用 【学习目标】 1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算． 2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）． 【知识回顾】 一、相似三角形的性质 （1）对应边的比相等，对应角相等． （2）相似三角形的周长比等于相似比． （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方．．．．．． ． （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比． 二、相似三角形的应用: 1、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）； 2、利用三角形相似，求线段的长等 3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度．如求河的宽度、求建筑物的高度等． 【典型例题】 例1：如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120mm ， 高AD=80mm ， 要把它加工成矩形零件，使一边在BC 上，其余两个顶点分别在边AB 、AC 上， （1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？ （2）若这个矩形的长是宽的2倍，则边长是多少？ 【同步练习】如图，△ABC 是一块三角形余料，AB=AC=13cm ，BC=10cm ，现在要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在△ABC 的边上，其余两个顶点分别在三角形另外两条边上．试求正方形的边长是多少？ 例2：阅读以下文字并解答问题： 在“测量物体的高度” 活动中，某数学兴趣小组的4名同学选择了测量学校里的四棵树的高 A B C Q M D N P E

度．在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作： 小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如图1）． 小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图2），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米． 小丽：测量的丙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图3），测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，落在地面上的影长为4.4米． 小明：测得丁树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如图4）．身高是1.6m 的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2m ． （1）在横线上直接填写甲树的高度为 米． （2）求出乙树的高度（画出示意图）． （3）请选择丙树的高度为（ ） A 、6.5米 B 、5.75米 C 、6.05米 D 、7.25米 （4）你能计算出丁树的高度吗？试试看． 【同步练习】如图，有一路灯杆AB(底部B 不能直接到达)，在灯光下，小明在点D 处测得自己的影长DF ＝3m ，沿BD 方向到达点F 处再测得自己得影长FG ＝4m ，如果小明得身高为1.6m ，求路灯杆AB 的高度． 图1 图2 图3 图4