刚体力学基础-习题-解答
衡水学院 理工科专业 《大学物理B 》 刚体力学基础 习题
命题教师：郑永春 试题审核人：张郡亮
一、填空题（每空1分）
1、三个质量均为m 的质点，位于边长为a 的等边三角形的三个顶点上。此系统对通过三角形中心并垂直于三角形平面的轴的转动惯量J 0＝__ ma 2 _，对通过三角形中心且平行于其一边的轴的转动惯量为J A ＝__
12
ma 2
_，对通过三角形中心和一个顶点的轴的转动惯量为J B ＝__
2
1ma 2
。 2、两个质量分布均匀的圆盘A 和B 的密度分别为ρA 和ρB (ρA >ρB )，且两圆盘的总质量和厚度均相同。设两圆盘对通过盘心且垂直于盘面的轴的转动惯量分别为J A 和J B ，则有J A < J B 。
3、 一作定轴转动的物体，对转轴的转动惯量J ＝3.0 kg ·m 2，角速度ω0＝6.0 rad/s ．现对物体加一恒定的制动力矩M ＝－12 N ·m ，当物体的角速度减慢到ω＝2.0 rad/s 时，物体已转过了角度?θ＝__4.0rad
4、两个滑冰运动员的质量各为70 kg ，均以6.5 m/s 的速率沿相反的方向滑行，滑行路线间的垂直距离为10 m ，当彼此交错时，各抓住一10 m 长的绳索的一端，然后相对旋转，则抓住绳索之后各自对绳中心的角动量
L ＝__2275 kg·m 2·s 1 _；它们各自收拢绳索，到绳长为5 m 时，各自的速率υ ＝__13 m·s 1_。
5、有一质量均匀的细棒，可绕垂直于棒的一端的水平轴转动。如将此棒放在水平位置，然后任其下落，则在下落过程中的角速度大小将 变大 ，角加速度大小将 变小 。 二、单项选择题（每小题2分）
（ A ）1、有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上，下列说法正确的是：
A.这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零；
B.这两个力都垂直于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零；
C.当这两个力的合力为零时，它们对轴的合力矩也一定是零；
D.当这两个力对轴的合力矩为零时，它们的合力也一定是零。
（ C ）2、一轻绳绕在有水平轴的定滑轮上，滑轮的转动惯量为J ，绳下端挂一物体。物体所受重力为P ，滑轮的角加速度为α．若将物体去掉而以与P 相等的力直接向下拉绳子，滑轮的角加速度α将 A.不变； B.变小； C.变大； D.如何变化无法判断。 （ C ）3、关于刚体的转动惯量，下列说法中正确的是
A.只取决于刚体的质量，与质量的空间分布和轴的位置无关；
B.取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关；
C.取决于刚体的质量、质量的空间分布和轴的位置；
D.只取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间分布无关。
（ C ）4、一人造地球卫星到地球中心O 的最大距离和最小距离分别是R A 和R B ．设卫星对应的角动量分别是L A 、L B ，动能分别是E KA 、E KB ，则应有
A.L B > L A ，E KA = E KB ；
B.L B < L A ，E KA = E KB ；
C.L B = L A ，E KA < E KB ；
D.L B = L A ，E KA > E KB ． （ C ）5、一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴O 转动，如图1射来两个质量 相同，速度大小相同，方向相反并在一条直线上的子弹，子弹射入圆盘并且留在盘内，
O
M
m
m
图1
图2
则子弹射入后的瞬间，圆盘的角速度ω
A.增大；
B.不变；
C.减小；
D.不能确定。 三、判断题（每小题1分）
（ √ ）1、刚体平动过程中,可用刚体上任意一点的运动来描述平动刚体的整体运动情况。 （ √ ）2、刚体定轴转动时,刚体上所有质元都在垂直于转轴的平面上作圆周运动。 （ × ）3、刚体的转动惯量J 是矢量，不但有大小还有方向。
（ √ ）4、刚体的转动惯量相当于质点平动时的质量，它是物体在转动中惯性大小的量度。 （ × ）5、定轴转动刚体的角动量守恒的条件是刚体所受外力之和为零。 四、简答题
1、（6分）如图2所示，一匀质木球固结在一细棒下端，且可绕水平光滑固定轴O 转动，今有一子弹沿着与水平面成一角度的方向击中木球而嵌于其中，之后棒和球升高。试分析击中和升高两过程中，系统的守恒情况及相应的原因。
答:击中过程角动量守恒（1分），原因是木球和细棒系统受到的重力和来自转轴的力对O 点转轴都不产生力矩。（2分）
升高过程机械能守恒（1分），原因是木球、细棒和地球组成的系统只有重力做功，使动能变为势能。（2分） 2、（4分）花样滑冰运动员想高速旋转时，她先把一条腿和两臂伸开，并用脚蹬冰使自己转起来，然后她再收拢腿和臂，她的转速就明显地加快了，说明她速度加快的道理？
答：忽略她收拢腿和臂时用脚蹬冰过程中的摩擦力矩，合外力矩为零，因而她对中心轴线的的角动量守恒（2分）。运动员收拢腿和臂时的转动惯J 2显然小于一条腿和两臂伸开时转动惯量J 1，因此运动员收拢腿和臂时的转动惯ω2显然大于一条腿和两臂伸开时转动惯量ω1 （2分）。 五、计算题
1、（10分）飞轮的质量m ＝60kg ，半径R ＝0.25m ，绕其水平中心轴O 转动，转速为900转/分。利用一制动的闸杆，在闸杆的一端加一竖直方向的制动力F ，可使飞轮减速。已知闸杆的尺寸如图3所示，闸瓦与飞轮之间的摩擦系数
μ=0.4，飞轮的转动惯量可按21
2
J mR =计算。试求F ＝100 N ，可使飞轮在多长时间内停止转动?
解：图中N 、N '是正压力，r F 、r F '是摩擦力，x F 和y F 是杆在A 点转轴处所受支承力，R 是轮的重力，P 是轮在O 轴处所受支承力．
杆处于静止状态，所以对A 点的合力矩应为零，设闸瓦厚度不计，则有
F l l l N l N l l F 1
2
11210
)(+=
'='-+ （2分） 对飞轮，根据转动定律M J α=，有J R F r /-=α （2分）
12
1
r l l F N N F l μμμ
+'=== （2分） 21212()20.40(0.500.75)40
=100rad s 600.250.503
r F R l l F J mRl μα-+??+=-
=--?=-???（2分） 自施加制动闸开始到飞轮停止转动的时间为
000900239
==2.25=7.06s 60404
t ωωωπππαα--??=
==? （2分）
图3
2、（10分）如图4所示，一个质量为m 的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子质量可以忽
略，它与定滑轮之间无滑动。假设定滑轮质量为M 、半径为R ，其转动惯量为22
1
MR ，滑轮轴光
滑。试求该物体由静止开始下落的过程中，下落速度与时间的关系式。
解：以物体m 为研究对象，进行受力分析得： mg T ma -= (1) （2分） 以定滑轮为研究对象，应用转动定律M J α=得21
2
TR MR α= （2） （3分） 由线量和角量之间的关系和（1）、（2）式得： 22mg
a R M m
α==
+ （3分）
物体下落做匀变速直线运动： 02+2mgt
v v at M m
==+ （2分）
3、（10分）如图5所示，一匀质细杆质量为m ，长为l ，可绕过一端O 的水平轴自由转动，杆于水平位置由静止开始摆下，求：(1)初始时刻的角加速度；(2)杆转过θ角时的角速度。
解: (1)由转动定律M J α= （2分）
得：211
23mg l ml α= （2分）
l
g
23=α （1分）
(2)取杆水平开始摆下时重力势能为零，由机械能守恒定律得：
2211()sin 0232
l
ml mg ωθ-= （3分）
l
g θ
ωsin 3= （2分）
4、（10分）如图6所示，一长为l=1m 的均匀直棒可绕过其一端且与棒垂直的水平光滑固定轴转动。抬起另一端使棒
向上与水平面成600，然后无初转速地将棒释放。已知棒对轴的转动惯量为23
1
ml ，其中m 和l 分别为棒的质量和长度，
求：
(1) 放手时棒的角加速度； (2) 棒转到水平位置时的角加速度。
解：（1）当棒与水平面成60°角并开始下落时，根据转动定律 M J α= （2分）
得：211
cos6023
mgl ml α=o （2分）
237.35 rad/s 4M g
J l
α=
== （2分） （2）当棒转动到水平位置时，力矩1
2
M mgl =（2分）
根据转动定律得： 2314.7 rad/s 2M g J l
α=
== （2分）
m
M R 图4
图5
l O 60°
m g ?
图6
5、（10分）有一半径为R 的水平圆转台，可绕通过其中心的竖直固定光滑轴转动，转动惯量为J ，开始时转台以匀角速度ω0转动，此时有一质量为m 的人站在转台中心，人和转台对中心的角动量各是多少？随后人沿半径向外跑去，当人到达转台边缘时，转台的角速度为多少？
解：（1）根据角动量的定义得：0L rmv ==人； （2分） 0L J ω=转台 （2分）
（2）把转台和人作为一系统，人沿半径向外跑去过程中，重力和转轴的力对中心轴的力矩为零，所以
系统对轴的角动量守恒。 （2分）
ωω)(20mR J J += （3分）
所以当人到达转台边缘时，转台的角速度为
02
ωωmR
J J
+=
（1分）