(完整版)等差等比数列练习题(含答案)以及基础知识点
、等差等比数列基础知识点
（一）知识归纳：
1概念与公式：
①等差数列：1 ° ?定义：若数列｛a n｝满足a n, a n d（常数）,则｛a n｝称等差数列;
2° ?通项公式：a n a i（n 1）d a k （n k）d;
2 ?简单性质:
②中项及性质:
④顺次n项和性质:
偶数时这个结论不成立）
⑤若｛a n｝是等比数列,
则顺次n项的乘积：a1a2 a n,a n 1a n 2a2n , a2n 1a2n 2
n2
a3n组成公比这q的等比数列.
②等比数列:
a n ae n1 a k q n ?前n项和公式：公式：S
k;3°
.定义若数列｛a n｝满足
?前n项和公式：S n
a n)
2
a n 1
a n
印a.q
1 q
na1
2
（常数），则｛a n｝称等比数列；2 °
a1(1 q n) (q 1),当qh 时S
n na1. q
?通项公式：
①首尾项性质：设数列{a n} : a i,a2,a3,，a n ,
1°若｛a n｝是等差数列，则印a n a2 a n 1 a3 a n 2 2°若｛a n｝是等比数列，则a1a n a2 a n 1 a3 a n
1 ° .设a, A , b成等差数列，则A称a、b的等差中项,
2° ?设a,G,b成等比数列，则G称a、b的等比中项，且
③设p、q、r、s为正整数，且p s,
1° ?若｛a n｝是等差数列，则a p a q a r a s；
2° .若｛a n｝是等比数列，则a p a q a r a s；
1°若｛a n｝是公差为d的等差数列,
2n
a k , a k,
k n 1 k
3n
2n
a k组成公差为
1
n2d的等差数列;
3n
2° .若｛a n｝是公差为q的等比数列,
2n
a k , a k,
k n 1 k 2n
a k组成公差为
1
q n的等比数列.（注意: 当q= —1, n为
4 ⑥ 若｛a n ｝是公差为d 的等差数列，
1° ?若n 为奇数，则S n na 中且S 奇S 偶a 中(注：a 中指中项，即a 中a n 1,而S 奇、S 偶指所有奇数项、所有偶
数项的和)；
2°若n 为偶数，则S 偶 S 奇 —
.
2
(二)学习要点：
1 ?学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用基本公式，注意①公差 d 工0的等差数列的通项公式是项 n 的一
次函数a n =an+b;②公差d 丰0的等差数列的前 n 项和公式项数 n 的没有常数项的二次函数 S n =an 2+bn;③公比q 丰1的等 比数列
的前n 项公式可以写成“ S n =a(1-q n )的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的
2?解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确，绝对不能用课外的需要证 明的性质解题?
3 .巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例如：①三数成等差数列，可设三数为“
a,a+m,a+2m (或
a
a-m,a,a+m )”②三数成等比数列，可设三数为“ a,aq,aq 2(或
，a,aq) ”③四数成等差数列，可设四数为
q
“ a, a m,a 2m,a 3m(或a 3m,a m, a m,a 3m); ” ④四数成等比数列，可设四数为
a
,aq, aq 3), ”等等；类似的经验还很多,
q
［例1］解答下述问题:
(I)已知
1 1 1 a
' b ' c
成等差数列，求证
/八 b c
c a a b 亠
(1) -
J
J
成等差数
a
b c (2) a -
b c
—成等比数列.
2 2
2
［解析］该问题应该选择“中项”的知识解决,
山,c a ,a b
成等差数列; a b c
⑵(a b )(c b ) ac b
(a c)
2 2 2
a
2,2,c
2成等比数列.
［评析］判断(或证明)一个数列成等差、等比数列
主要方法有：根据“中项”性质、根据“定义”判断,
(H)等比数列的项数 n 为奇数，且所有奇数项的
乘积为
1 1
2 a c
2
2ac a c
b
ac
b
⑴b
a c a
b b
c 2 2 c a a
c
ac
2(a c)2 2(a c)
b(a c)
b
b(a ①c),
② 2 2 ab b(a c) a 2 c 2
ac
a, aq, aq 2,aq 3(或弓, q 应在学习中总结经验
1024,所有偶数项的乘积为
128-.2，求项数n.
4
a 1 a 3 a 5 a n
［解析］设公比为q,亠」」
a 2a 4
a n 1
1024 128、2
4.2
n 1
a 1 q 2
4-2 (1)
而a 1a 2a 3
n
q 2
(a 1 5n 2
(川 a n
1 ■)n
35
2y
5
1024 128,2
35
2T , 将(1)代入得(22)n a i 1 2 3
I q
35
2T ,
35
(n 1) 2
a k 1 , a k 2 ,
35
得
,得n
2
等差数列｛a n ｝中， 7.
此数列中依次取出部分项组 成的数列
,a k n 恰为等比数列，
其中k 1 1,k 2 5,k 3 17,
求数列｛k n ｝的前n 项和. ［解析］a i ，a 5，
a i 7成等比数列, 2 a 5 a 1 印7 , 2
(a 1 4d) a 1 (a 1
d 0, a 1 2d, 16d) d(a i 2d) 0 数列｛a k
｝的公比
q
a k n a
1 而 a k n
a 1
3n 1 2d
a 5 a 1
3n 1 a 1
a 1
4d
3,
(k n 由①，②得k n 1)d 2 3n 2d
1)
d
｛k n ｝的前n 项和S n
2
1 1,
3n 1
3 1
3n n 1.
［评析］例2是一组等差、等比数列的基本问题，熟练运用概念、 ［例3］解答下述问题：
(I)三数成等比数列，若将第三项减去
32,则成等差数列；再将此等差数列的第二项减去
求原来的三数? ［解析］设等差数列的三项，要比设等比数列的三项更简单， 设等差数列的三项分别为 公式及性质是解决问题的基本功 4, 又成等比数列,
原三数为 a -d, a, a+d ，则有 32) a 2 d 2
d)(a d) 8a 64 0, d 8或d 亠2 26 338
9
公差为
8得a 10或互,
3 9
(a d )(a d 2 (a 4) (a 32d 32a 0 16 d 2
2 3d 32d 9 9 (n)有四个正整数成等差数列, 10,这四个数的平方和等于一个偶数的平方，求此四数
［解析］设此四数为a 15,a 5,a
5,a 15(a 15),
5、 已知数列
a n 的前n 项和为S n , S 2n 1
4n 2 2n ,则此数列的通项公式为
(A)
a n 2n 2
(B) a n
8n
n 1
(C) a n 2
(D ) a n
n 2
6、 已知(z
x)2
4(x y)(y z)，则
(A ) x, y, z 成等差数列
(B ) x, y,z 成等比数列
(C )丄,丄丄成等差数列
x ' y ' z
(D )
-成等比数列
x y z
7、 数列a n 的前n 项和S n a n 1，则关于数列 a n
的下列说法中，正确的个数有
①一定是等比数列，但不可能是等差数列 ④可能既不是等差数列，又不是等比数列
②一定是等差数列，但不可能是等比数列 ③可能是等比数列，也可能是等差数列
(A) 4
(B ) 3
⑤可能既是等差数列，又是等比数列
(C) 2 (D ) 1
(a 152) (a 5)2 (a 5) (a 15) (2m)2 (m N )
4a ' -500 4m (m a)(m a) 125,
125 1 125 5 25,
m a 与m a 均为正整数,且m a m a,
m a 1 m a 2
m a 125
m a 25
解得a 62或a
12(不合),所求四数为
47， 57， 67， 77
［评析］巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法，特别是求若干个数成等差、等比数列的问题中是主 要方法?
、等差等比数列练习题
一、选择题
1、 如果一个数列既是等差数列, (A )为常数数列 又是等比数列，则此数列
(B )为非零的常数数列
(C )存在且唯一
(D )不存在
2.、 在等差数列 a n 中,
a i 4,且a i ,a 5,a i3成等比数列，贝U
a n 的通项公式为 (A) a n 3n 1
(B ) a n n
(C ) a n
3n 1 或a n
4 (D)
a n n
3或 a n 4
3、 已知a,b,c 成等比数列，且 x, y 分别为
a c
a 与
b 、b 与
c 的等差中项，则
的值为
x y
4、 (B)
2 (C )2
(D ) 不确定
互不相等的三个正数 a,b,c 成等差数列,
x 是a,b 的等比中项，y 是b,c 的等比中项，那么
，b 2，
2
y 三个数(
(A) (C) 成等差数列不成等比数列
既成等差数列又成等比数列 (B )成等比数列不成等差数列
(D )既不成等差数列，又不成等比数列