高三数学下学期期中质量检测试题(重点班)文

陕西省延安市黄陵县2017届高三数学下学期期中质量检测试题（重

点班）文

一、选择题（60分）

1.抛物线y ＝4ax 2

(a ≠0)的焦点坐标是( ) A.(0，a ) B.(a ，0) C.? ??

??0，116a

D.?

??

?

?116a ，0

2.执行如图所示的算法框图，输出的n 为( )

A.3

B.4

C.5

D.6

3.在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →

＝(2，1)，则AD →·AC →

等于( ) A.5

B.4

C.3

D.2

4.向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，(a ＋b )⊥(2a －b )，则向量a 与b 的夹角为( ) A .45°

B.60°

C.90°

D.120°

5.已知抛物线C ：y 2

＝4x 的焦点为F ，直线y ＝3(x －1)与C 交于A ，B (A 在x 轴上方)两点.若AF →＝mFB →

，则实数m 的值为( )

A. 3

B.32

C.2

D.3 6.某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元.为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为( ) A.10

B.11

C.13

D.21

7.若函数f (x )＝ax 2

－x －1有且仅有一个零点，则实数a 的取值为( )

A.0

B.－14

C.0或－1

4

D.2

8.第31届夏季奥运会于2016年8月5日在巴西里约热内卢举行.运动会期间来自A 大学2名和B 大学4名共计6名大学生志愿者，现从这6名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务，至少有一名A 大学志愿者的概率是( ) A.115

B.25

C.35

D.1415

9..设z 是复数，则下列命题中的假命题是( ) A.若z 2

≥0，则z 是实数 B.若z 2

＜0，则z 是虚数 C.若z 是虚数，则z 2

≥0

D.若z 是纯虚数，则z 2

＜0

10.已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b

2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2

＝2py (p >0)的焦点

到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( ) A.x 2

＝833y

B.x 2

＝1633y

C.x 2

＝8y

D.x 2

＝16y

11.已知抛物线y 2

＝2px (p >0)的焦点F 恰好是双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，两

条曲线的交点的连线过点F ，则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.1＋ 2

D.1＋ 3

12.已知等差数列{a n }中，a 5＝13，S 5＝35，则公差d ＝( ) A.－2

B.－1

C.1

D.3

二、填空题（20分）

13.设抛物线C ：y 2

＝4x 的焦点为F ，M 为抛物线C 上一点，且点M 的横坐标为2，则|MF |＝________.

14.如图所示，平面α，β，γ两两相交，a ，b ，c 为三条交线，且a ∥b ，则a 与c ，b 与c 的位置关系是________.

15.已知向量OA →⊥AB →， |OA →|＝3，则OA →·OB →

＝________.

16.从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________.

三、解答题（70题，17题10分，其余12分）

17.双曲线y 2a 2－x 24

＝1(a >0)的离心率为5，抛物线C ：x 2

＝2py (p >0)的焦点在双曲线的顶点

上.

(1)求抛物线C 的方程；

(2)过M (－1，0)的直线l 与抛物线C 交于E ，F 两点，又过E ，F 作抛物线C 的切线l 1，

l 2，当l 1⊥l 2时，求直线l 的方程.

18.已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |；

(3)若AB →＝a ，BC →

＝b ，求△ABC 的面积.

19.已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ? ????ωx ＋π6＋a (ω＞0)图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求a 和ω的值；

(2)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间.

20.在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝? ????22

，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈? ????0，π2.

(1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π

3，求x 的值.

21.在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ? ????θ－π4＝2 2. (1)求C 1与C 2交点的极坐标；

(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点.已知直线PQ 的参数方程为????

?x ＝t 3

＋a ，y ＝b 2

t 3

＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值.

22.已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1

y

的最小值.

参考答案

1.解析 抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)化为标准方程x 2

＝14a y ，因此其焦点坐标? ????0，116a ，故选C.

答案 C

2.解析 由算法框图可知：a ＝32，n ＝2；a ＝75，n ＝3，a ＝17

12，n ＝4，此时不满足条件，结

束循环，输出n ＝4，故选B. 答案 B

3.解析 ∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AC →＝AB →＋AD →

＝(1，－2)＋(2，1)＝(3，－1).∴AD →·AC →

＝2×3＋(－1)×1＝5，选A. 答案 A

4.解析 ∵(a ＋b )⊥(2a －b )，∴(a ＋b )·(2a －b )＝0，

∴2a 2

－a ·b ＋2b·a －b 2

＝0，∴a ·b ＝0，∴向量a 与b 的夹角为90°.故选C. 答案 C

5.解析 联立抛物线与直线方程得，??

?y ＝3（x －1），y 2＝4x ，

解得x A ＝3，x B ＝1

3，∵所给直线经

过抛物线的焦点F ，且其准线为x ＝－1，∴A 点到准线的距离为4，B 点到准线的距离为4

3，

据抛物线定义可有|AF |＝3|FB |，结合已知条件AF →＝mFB →

可得，m ＝3.故选D.

6.解析 设该企业需要更新设备的年数为x ，设备年平均费用为y ，则x 年后的设备维护费用为2＋4＋…＋2x ＝x (x ＋1)，所以x 年的平均费用为y ＝100＋0.5x ＋x （x ＋1）

x

＝x

＋

100x ＋1.5(x ∈N *

)，由基本不等式得y ＝x ＋100x

＋1.5≥2

x ·

100

x

＋1.5＝21.5，当且

仅当x ＝100

x

，即x ＝10时取等号，所以选A.

答案 A

7.解析 当a ＝0时，函数f (x )＝－x －1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点；

当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2

－x －1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax 2

－x －1＝0有两个相等实根.∴Δ＝1＋4a ＝0，解得a ＝－1

4

.

综上，当a ＝0或a ＝－1

4时，函数仅有一个零点.

答案 C

8.解析 记2名来自A 大学的志愿者为A 1，A 2，4名来自B 大学的志愿者为B 1，B 2，B 3，

B 4.从这6名志愿者中选出2名的基本事件有(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，B 4)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，B 4)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，B 4)，(B 2，B 3)，

(B 2，B 4)，(B 3，B 4)，共15种.其中至少有一名A 大学志愿者的事件有9种.故所求概率P ＝

915＝3

5

.故选C. 答案 C

9.解析 举反例说明，若z ＝i ，则z 2

＝－1＜0，故选C. 答案 C

10解析 ∵x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2，∴c a ＝2，即c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝4，∴b

a

＝ 3.

x 2

＝2py 的焦点坐标为? ????0，p 2，x 2

a 2－y

2

b

2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，即y ＝±3x .由题意

得

p

21＋（3）

2

＝2，

∴p ＝8.故C 2的方程为x 2

＝16y . 答案 D

11.解析 ∵两条曲线的交点的连线过点F ? ??

??p 2，0，∴两交点的横坐标为p

2，则其中一交点

为? ????p 2，p .代入双曲线方程得p 2

4a 2－p 2

b 2＝1.又p 2＝

c ，化简得c 4－6a 2c 2＋a 4

＝0，解得e ＝c a ＝1

＋ 2.故选C. 答案 C

12.解析 依题意，得?????a 1＋4d ＝13，5a 1＋10d ＝35，解得?

????a 1＝1，

d ＝3，选D.

答案 D

13.解析 由抛物线的定义可知|MF |＝x M ＋p

2＝2＋1＝3.

答案 3

14.解析 ∵a ∥b ，a ?α，b ?α，∴b ∥α.

又∵b ?β，α∩β＝c ，∴b ∥c .∴a ∥b ∥c . 答案 a ∥b ∥c

15.解析 因为OA →⊥AB →，所以OA →·AB →＝0.所以OA →·OB →＝OA →·(OA →＋AB →)＝OA →2＋OA →·AB →＝|OA →|2

＋0＝32

＝9. 答案 9

16解析 从四条线段中任取三条有4种取法：(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，其中能构成三角形的取法有3种：(2，3，4)，(2，4，5)，(3，4，5)，故所求的概率为34.

答案 34

17解 (1)双曲线的离心率e ＝

1＋4

a

2＝5，

又a >0，∴a ＝1，双曲线的顶点为(0，1)，又p >0， ∴抛物线的焦点为(0，1)， ∴抛物线方程为x 2

＝4y .

(2)由题知，直线l 的斜率必存在，

设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)， ∵y ＝14x 2，∴y ′＝12

x ，

∴切线l 1，l 2的斜率分别为x 12，x 2

2，

当l 1⊥l 2时，x 12·x 2

2＝－1，

∴x 1x 2＝－4，

由?

????y ＝k （x ＋1），x 2＝4y 得x 2－4kx －4k ＝0， ∴Δ＝(－4k )2

－4(－4k )>0， ∴k <－1或k >0.① 由根与系数的关系得，

x 1·x 2＝－4k ＝－4，∴k ＝1，满足①，

即直线的方程为x －y ＋1＝0.

18解 (1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， ∴4|a |2

－4a ·b －3|b |2

＝61.

又|a |＝4，|b |＝3，∴64－4a ·b －27＝61， ∴a ·b ＝－6.∴cos θ＝

a ·

b |a ||b |＝－64×3＝－1

2

. 又0≤θ≤π，∴θ＝2π

3

.

(2)|a ＋b |2

＝(a ＋b )2

＝|a |2

＋2a ·b ＋|b |2

＝42

＋2×(－6)＋32

＝13，∴|a ＋b |＝13.

(3)∵AB →与BC →

的夹角θ＝2π3，∴∠ABC ＝π－2π3＝π3.

又|AB →|＝|a|＝4，|BC →

|＝|b |＝3，

∴S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin∠ABC ＝12×4×3×3

2

＝3 3.

19解 (1)f (x )＝4cos ωx ·sin ? ????ωx ＋π6＋a ＝4cos ωx ·? ????32sin ωx ＋12cos ωx ＋a ＝

23sin ωx cos ωx ＋2cos 2

ωx －1＋1＋a ＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋1＋a ＝2sin ?

????2ωx ＋π6＋1＋a .

当sin ? ????2ωx ＋π6＝1时，f (x )取得最大值2＋1＋a ＝3＋a ，

又f (x )图象上最高点的纵坐标为2， ∴3＋a ＝2，∴a ＝－1.

又f (x )图象上相邻两个最高点的距离为π， ∴f (x )的最小正周期T ＝π， ∴2ω＝2π

T

＝2，∴ω＝1.

(2)由(1)得f (x )＝2sin ? ????2x ＋π6， 由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π

2＋2k π，k ∈Z ， 得

π6＋k π≤x ≤2π

3

＋k π，k ∈Z . 令k ＝0，得π6≤x ≤2π3

，

∴函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为??????π6

，2π3.

20解 (1)因为m ＝? ????2

2

，－22，n ＝(sin x ，cos x )，m ⊥n .

所以m ·n ＝0，即

22sin x －2

2

cos x ＝0， 所以sin x ＝cos x ，所以tan x ＝1.

(2)因为|m |＝|n |＝1，所以m ·n ＝cos π3＝1

2，

即

22sin x －22cos x ＝12，所以sin ?

????x －π4＝12，

因为0

12

.

21解 (1)圆C 1的直角坐标方程为x 2

＋(y －2)2

＝4，直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝

0.解?????x 2

＋（y －2）2

＝4，x ＋y －4＝0，得?

????x 1＝0，y 1＝4，?????x 2＝2，y 2＝2. 所以C 1与C 2交点的极坐标为? ????4，π2，? ????22，π4，

注：极坐标系下点的表示不唯一.

(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0，2)，(1，3). 故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0， 由参数方程可得y ＝b 2x －ab

2

＋1，

所以?????b

2＝1，－ab 2＋1＝2，

解得a ＝－1，b ＝2.

22解 (1)∵x ＞0，y ＞0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .

∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，即xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时等号成立.因此有

?????2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得?

????x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10. ∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.

∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1.

(2)∵x ＞0，y ＞0，∴1x ＋1y ＝? ????1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120? ????7＋5y x ＋2x y ≥120? ??

??

7＋2

5y x

·2x y ＝

7＋21020，当且仅当5y x ＝2x

y

时等号成立.

由?????2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得?

????x ＝1010－20

3，y ＝20－4103

.∴1x ＋1y 的最小值为7＋210

20.