超越方程真的无解析解吗
超越方程真的无解析解吗?（观点互通有无，欢迎交流）
（P君，从未见过数学大海的内陆市民；M君，专业数学工作者,可以经常乘海轮一游之人；H君，有心天涯游却无缘一张船票，只好一叶扁舟漂游者。一天三人偶遇，便有以下对话。）H君：今有一事讲给二位，不知感兴趣否？
P君M君：尽管讲来。
H君：我可以给出超越方程之解析解。
P君：是数学问题，我不感兴趣。
M君：是特例还是一般情况？
H君：当然是一般情况。
M君：这不可能，因为这早已有定论。
H君：假若人类在认识复数之前，有人问你有解吗？你该如何回答？
M君：这倒也是，回答很可能是没有解。
H君：是否说无解已有定论？
M君：有这种可能。
H君：再问一个问题：在人类认识非欧几何之前，如果有人说存在内角和不等于180°的三角形，你会相信吗？
M君：确实与前一个问题的情形类似。
H君：当我们被局限在某一范围时，是很难想象更广范围的事情。在历史发展的任一阶段，对于尚未认识的更广范围，我们总是处于一个相对的局限范围内。因而某一阶段的定论只具有相对性，即定论只在一定条件下成立，不是这样吗？
M君：你且细细讲来。
H君：先从aX2+bX+c=0这一方程谈起。我想让每一位稍有数学知识的人都能听懂。
P君：这不是什么高深的东西，这样的方程连我都会解，
x=(-b±√b2-4ac)/2a (1)
如果考数学只考这么简单的问题，说不定我在咱们三人中还有机会得第一呢。
M君：有这个可能，不过还是听H君下文如何。
H君：多项式代数方程，即形如
a
0+a1x+a2x2+…+a n (2)
之方程无公式解，或称无解析解。
P君：这个我是今天才知道。不过有无公式或解析解又有何关系呢？难道比明天的股市行情重要，比明天的世界杯比赛结果重要？
M君：准确的说法是我们无法找到由a0,a1,a2,…,a n这些系数及一些常数与＋﹑－﹑×﹑÷﹑**﹑√ˉ及㏒（加﹑减﹑乘﹑除﹑乘方﹑开方及对数运算）组成的有限表达式的解。
H君：解方程说得通俗一点就是将X单独放在等式的一边，而将所有已知的东西搬运到等式的另一边。这搬运当然是在一定规则下进行的。就解方程而言，数学家就是符号搬运工。M君：历史上求解三﹑四次方程时，这搬运工作将数学前辈们累得够呛。不管怎样，总算大功告成。但当着手求解五次方程时，这符号搬来搬去，怎么也不成功。
H君：解不出五次以上方程确实让人感到心有不甘。人类智力在抽象世界的挑战面前是那样软弱无力，束手无策。
P君：他们实在是没事找事，要是我才不去将符号搬来搬去折磨自己。
M君：好在阿贝耳老前辈多了个心眼，他觉察到五次以上方程原本无根式解，群论创立后，他从理论上严格证明了他的猜测。这个问题早已告一段落。
H君：这确实苦了那些数学前辈，原本无根式解，害得他们去找，你说上帝是否在作弄人? M君：这可冤枉了上帝。科学上常有这种事,有时在问题的提法还不明确或存在性问题都未搞清时就着手进行研究，往往会走弯路。
H君：这多项式代数方程无根式解，一般超越方程亦无解析解。后来接触到微分方程时，给不出解析解或显式解的方程更是信手拈来。
M君：确实如此。你若感到难以接受可以理解，我第一次明确意识到这一点时也有同样感觉，只不过很快就过去了。
P君：你们扯得太远，我不听了。
H君：这样吧，我们先把问题局限在代数方程的范围内，免得P君抗议。
M君：我同意。
H君：你说五次以上方程无公式解，那么是谁将运算局限在+﹑-﹑×﹑÷﹑**﹑√ˉ及㏒这几种运算之内呢？即是说不存在根式解，完全有可能存在其他形式的解析解（五次代数方程有椭圆函数解）。我当时对这一问题闪出过一个念头，即运算扩充（即定义出更多的新的运算）以后必定可以给出一般代数方程的解析解。
M君：你得确实给出才是。
H君：听我慢慢道来，你们得有些耐心。
P君：尽量简单，否则我是不会听的。
H君：在谈这一问题之前，我想先谈另一个问题，即方程解的存在与数的范围的扩充的关系。M君：这是大家都熟知的。
P君：可我还是不明白。
H君：我看还是照顾一下P君。你知道，x＋2=0,这个方程无正整数解。若要让这个方程有解，就须将数的范围扩充到负整数。可得x=-2。
P君：这很简单，谁都知道。
H君：很多东西看起来简单，但在数学历史的发展进程中要让人接纳它却是非常困难的。你说负数很简单，可先贤牛顿却接受不了它。他老人家画数轴时大笔向右一挥，原点左边的负数统统不存在。
P君：你在糊弄老百姓，反正我不懂数学，随你怎么讲。好在我相信不相信并不重要。
M君：我可以作证，H君说的是实话。
P君：那就将就着相信吧。
H君：有了负数，数的范围还可扩充向有理数，即分数。2X =3在整数范围内是无解的，要使它有解，须将数的范围扩充至有理数，可得x=2/ 3 。
P君：这个我知道，至少到目前为止，你讲的我都能听明白。数学若只此简单明白就好了，不至于让少数人独享。像我这样的人周末又多一项娱乐：数学王国快乐游。
M君：你不肯动脑筋还想享受数学，我看你只配听H君讲一些一知半解的东西。
H君：我可要抗议。本来向大众传播数学知识是你们的事，我现在是在帮忙。还是言归正传。数的范围还可扩充下去，方程x2=2 在有理数范围内无解。为使它有解，必须将数的范围扩充至实域，即x=√2。
P君：这个亦很简单。上中学时学习根式的情形至今还记忆犹新。
H君：你又说简单。先入为主,囫囵吞枣式地接受一个东西当然简单。你全然不知历史在产生一个新概念及接纳一个新概念时所涉及的方面及复杂艰难的程度。√2 这种数不能用十
进制数的有限形式表示出来，这一点数学家们很难接受。他们觉得这样会破坏数学的完美与
和谐。无理数这顶帽子本身就记载了对√2这类数的不平待遇。
P君：数学家们也是没事找事，你说表达一个量值，若保留十位小数不够精确，可以保留百位甚至千位小数。你来个无穷位，那不累死人？
H君：是这么回事。故而有人讲，自然数是上帝创造的，其余数都是人创造的。
M君：话不能这么说。数学的真正意义在于他的无限扩张性。当你从最简单的公理出发进行推理以后，会导出很多东西。有时不是说你在某一阶段想停下来就能停下来。导出过程中发现了问题你须再扩张去解决这些问题。同时有些意外收获是扩张前很难想象得出的。数的范围不扩充到实数，那里会来微积分。
P君：不要扯得太远，我不懂微积分。
H君：进一步的扩充是到复域的扩充。x2=-1在实数范围内无解，要使其有解，须引进虚
单位i。可得x=√-1=i 。
P君：这就怪了。＋1乘＋1得＋1，-1乘-1也得＋1，怎么会有一个数自乘得-1呢？不是又在糊弄我吧？
H君：这个怪物让历史接受所费时间更长。虚数，你只要听一下这个称谓，就会明白历史可能是怎么回事。假若你站在别人面前，别人称你为虚人，那不等同于鬼？
P君：你们谈论数学问题，我的存在就等同于虚人，而数学科学在我眼中也是虚科学，太抽象了。
H君：我接受i也用了很长时间，直到看到一个数学家在一本书中这样的描述后才算完全接受。他说，一个数乘以-1，就好比向后转，而乘以i就好比向左转，向左转两次即为向后转，
即 i2=-1 。
M君：你说了这么些关于数的扩充，想说明什么呢？
H君：我其所以要讲以上这些是想说明两个问题，一是说明方程解的存在与数的范围的扩充是互相推动，互相成全的。二是想说明在数学发展的历史进程中，每一步扩充是多么艰难,而要让人类接纳它更是难上加难。的确，我们想象不来他们的难度，站在更广范围看问题的我们是很难想象局限于某一范围内看问题的他们的难度的。√2 和i，放在你们二位当时能接受吗？
P君：我想，√2 我一定能接受，i我现在还是接受不了。
M君：可能很难，也许有可能吧？
H君：还是回到第一个问题，即方程解的存在与数的范围的扩充的关系。方程解不存在时，危机发生了。为解决危机，就须扩充数的范围。每次危机都导致了数的范围的扩充，危机实际上是机遇。倘使无方程解的存在的危机，数还会只局限在自然数的范围内，也即只存在上帝创造的那些数，而无我们人类自己的。重要的是危机来时，我们要敏锐地觉察到是机会来了，必须很好地抓住它。倘使有人扩充了它，我们要能谨慎接受，至少不将它先入为主地视为怪物。不要再让“无理”﹑“虚”这样的帽子有市场。
M君：你到底想讲什么？
H君：以
(3)
为例（a,b为实数），这个方程不存在解析解。这不是危机吗？也不就是机会吗？
若将问题局限在实数范围内,式子
X1ФX2=X0 （4）
中当Ф为+﹑-﹑×﹑÷﹑**﹑√ˉ及㏒时，这些运算实际上是表示一种对应关系。对每一组
符合以上关系的X1，X2及X0都表示坐标O X1X2X0中的一个空间点，所有这些点即为一空间曲面，且我们称这一空间曲面为Ф运算之空间曲面。你想，这空间曲面之形状多么丰富，可我们为什么只有几个少得可怜的运算呢？
M君：现代数学中关于一般运算已有定义，
f(x,y,z)=0 （5）
该式中f不同，即定义了一个z与x、y之间不同的运算。这个你不知道吗？
H君：我知道，你且听我是如何定义的，又是如何用它给出方程之解析解的。然后再告诉你我的定义与已有的定义多么不同。
M君：果真能像你所说的那样给出解析解？
H君：我可以肯定地说，能给出！只是数的扩充与方程解的存在之间的关系较简单，而运算的扩充与方程解的解析表达之间的关系较复杂。方程解不存在时，可以直截了当地给出数的扩充。数的范围一旦扩充，方程就有了解，逻辑上比较简单。方程X+2=0 无解，这可直接引发正整数扩充到负整数。而一旦引进负整数，方程X+2=0即可有解。数的范围扩充向有理数、实数及复数之情形类似。方程解的解析表达不存在时，需要对运算进行扩充。但不是说給出一种扩充，就可以使得某一方程有解析解。而是必须给出所有相关扩充以后，才可以給出方程之解析解。因而在方程解的解析表达不存在时我们并不是很容易看出此时需要对运算进行扩充。即使觉察到需对运算进行扩充，但并不知道需要进行怎样的扩充。
M君：你赶快说怎么一个扩充法，又怎么使方程解的表达存在？
P君：我也等着听。至少到目前为止，我还听得懂。
H君：我讲上边那些话是让你们有个心理准备，免得讲以下扩充时你们接受不了。这扩充有四种方式，其中两种你们已经见过。
P君：你又在糊弄我。我以为多复杂，原来扩充只有四种，且两种我们已经见过，那不才两种吗？数的扩充像你刚才讲的那样至少有四个，所以论个数并不比数的扩充更复杂。
M君：且听他如何讲。
H君：在讲四种扩充之前，我们先约定一个记法。一个运算与运算参数（运算参数指参加运算的数，下文中也可指其它运算元素）的位置是有关系的。或者说一般运算无交换律。比如说8÷4≠4÷8 , 为了反映这种特征，我们引进记法
①②（6）
Ф
即第一个运算参数放在①之位置，第二个运算参数放在②之位置，运算符放在⊥之位置，运算结果放在等式的另一侧（实际上是对位置进行编码）。
P君：这挺麻烦的。
H君：这种记法对多参运算（一个运算参数对应一个运算结果称为单参运算，m个运算参数对应一个运算结果称为m参运算，本文只限于讨论单参运算及两参运算，对单参运算其位置就不用进行编码）极为方便，对两参运算而言，无多大便利。一些书中将它称为运算式树，只是通常不用罢了。但这种记法对运算关系反映得异常清晰，故暂且用之。我们称这种记法为树式记法，而称原记法为传统记法。（本文中对复杂式子用树式记法，而对一些简单式子
用传统记法。）
P君：这由你了。反正我们大众从来不去创造什么记号，都是你们给的。将就着用吧。
H君：有了这样一套记法以后，运算扩充的第一种方式就好讲了。这第一种扩充你们见过，称为换位法。即从‘+’运算到‘－’运算及从‘x’运算到‘÷’运算的扩充。
P君：你讲明白些，怎么一下子就冒出个换位法。
H君：对式子
①②（7）
φ
交换运算参数X1及运算结果X0的位置且保持原有数量关系不变从而引进新运算φe1：
①②（8）
φe1
且将“由运算Ф得到其换位扩充φe1”这一事实用式子进行表达：
φe1 = =φR1 （9）
φ R1
（树式记法中位置未编码，而其中φR1为传统记法，表示φ经换位变换R1得到新运算φR1即φe1）。用此方法我们由‘+’导出了‘-’﹑由‘×’导出了‘÷’﹑由‘**’导出了‘√ˉ’。即+ = - R1 ×=÷R1 ** =√ˉ R1 。你很容易知道这种方法为什么叫换位法。M君：这样说不为过。但要给出数学意义上的严格定义，对每一种运算而言，定义域及值域须明确，多值问题须考虑，而且从叙述语言上最好用集合论的语言，否则别人不承认的。P君：最好还是用大众语言，否则我听不懂。好在目前为止我还听得懂。
H君：有些工作得一步一步来。当初牛顿及莱布尼茨创立微积分时并没有建立起严密的体系，甚至‘δ-ε’语言系统也是后世数学工作者给出的，更不用说用集合论的语言描述了。
M君：时代不同了，一百年前你骑自行车是一种时髦，现在由北京去上海让你骑自行车你乐意吗？
S君：我看还是不要纠缠这样的问题。我本来是帮你们忙，你们反倒隔岸观火。这种扩充原则上是没有问题的，不管对任何一个已知运算，都可以用这种方式扩充。你们且记，为了要让方程之解可用解析式子表达，运算是越多越好，最好是来者不拒。你设想自己是韩信，运算是兵，不是有韩信用兵，多多益善吗？免得你当符号搬运工时又说上帝在作弄你。
M君：这第一种扩充是否就这些？
S君：大抵如此。但你注意到，对于两个运算参数及运算结果的位置变化有六种可能，包括原地不动的那种。即φ、φe1、φe2、φe3、φe4及φe5，其中φ表示原地不动的那种运算。当然对‘+’这样的运算，它符合交换律，所以有些扩充是等同的。知道这些就够了。但对一种扩充要真正熟悉，你必须接触许多具体的运算，自己扩充一下，获得感性认识。这样才能印象深刻，理解透彻。这就像学习功课一样，上课听讲，做作业等。
M君：这些是小菜一碟，无需多讲。
P君：这对我很有必要。毕竟我原来只知道六七个运算，现在至少多了近两倍，够消化了。H君：这第二种扩充称为降参扩充。假若我们要问如何才能得到一些单参运算呢？一个很简单的方法是从已知的两参运算得到。比如我们已知一两参运算φd，运算结果X0是与运算参数X1及运算参数X2有关的。若将其中一个运算参数（比如X1）固定为常数a，则X0
只与另一运算参数X2有关，这不就得到X0与X2之间的一个单参运算φs吗？
①②= （10）
Фd X2 Фs
并且我们将“由两参运算Фa得到单参运算φs”这一事实用式子进行表达：
Фs = ①②（11）
Фd D1
P君：前面我听得懂，最后一步这一式子让人困惑。
H君：这没有什么，式子（11）只是一种记法，它表示了Фs与Фd及a之间的一种对应关系。已知φd及a，你完全知道如何去对应出怎样一个φs, 这就足够了。
P君：还是不明白。
H君：以‘+’运算为例，你能从它得到一些单参运算吗？
P君：这个我会。X0=3+X2 , 这就给出了X0与X2之间的一种单参运算，X0与X2之间的运算关系是很明确的。
H君：这就足够了。由于是从一两参运算得到一单参运算，故称为降参扩充。其几何意义为：用平行于oXZ或oYZ之平面去切两参运算φd之空间曲面得到一曲线，该曲线表示的就是一单参运算。为使问题简单，在此我们只涉及如何由两参运算得到单参运算。现在讲第三种扩充即简便扩充，这种扩充你们已经见过。
P君：这还差不多，毕竟见过的东西要容易一些。
P君：这第三种扩充尽管见过，但的确有一点难度。这种扩充是‘+’到‘x’以及‘x’到‘**’的扩充。
①②（12）
当两个运算参数相同时，我们给一种简便运算‘x’，记为
①②（13）
我们从‘+’运算得到一种新运算‘x’（这是大家所熟知的），且我们说‘x’运算是‘+’的简便运算。这就是我们为什么称这种扩充为简便扩充。我们将“由‘+’运算得到其简便扩充‘x’运算”这一事实用式子进行表达：
x = + = +I （14）（+I为传统记法）
I
‘x’到‘**’是一个道理，且有
** = x = xI （15）（xI为传统记法）
I
M君：这没有什么新东西，而且有无必要，也值得怀疑。
P君：连我都看出很简单，这叫什么第三种扩充？不是又在糊弄我们吧？
H君：倘若只局限于‘+’‘x’‘**’几种运算，当然与不扩充没有什么两样。问题是对所有已知运算都可按此方法进行扩充。你从‘+’得到‘x’，从‘x’得到‘**’，若记‘+’为φ0，‘x’为φ1，‘**’为φ2，那么有了φ0，φ1，φ2，为什么不可以有φ3，φ4，．．．φ
n．．．呢？你可以看到，这种扩充与从0，1导出整个自然数是类似的。
M君：这个原则上也没有错，只是有何实际意义呢？
P君：你们随意折腾吧？反正我要是觉得惨不忍睹，就会将眼睛闭上。好在现在还可以忍受。H君：这一切当然是围绕方程解的表达进行的。为了给出方程的解的解析表达，你不能限制
我做这些扩充。试想一下，有了这种扩充及换位扩充，从‘+’运算出发，我们可以得到多
少个运算，怎么样？P君, 开了点眼界吧？
P君：我觉得这运算的扩充也要讲点计划生育，正如生孩子，生下来要喂养它，教育他，总
之得对他负责任。+﹑-﹑×﹑÷﹑**﹑√ˉ及㏒几个运算生出的方程都解不了，整出这么
多运算，麻烦不说，你就不怕生出更多的不可解的方程吗？
H君：运算多了，麻烦再多你不用怕，M君他们会为我们解决的。从这点来讲，我们还真
应该感谢这些甘于寂寞，抛弃许多常人乐趣的群体呢。至于你担心会出现更多的不可解的方
程之事，那你怎见得扩充以后就不会让所有方程都有解析解呢？
M君：这些我都可以理解，只是我不太相信依靠四种扩充就可以给出方程之解析解，是真
是假赶快给我们说说。
H君：这种扩充还有一件事要交待，交待了才算完整。尽管有些难但没有它照样可以解方程。P君：不管怎样讲，解方程所涉及的东西越简单越好，否则我就没有兴趣听。
H君：若已知Фm,你定义其简便扩充Ф(m+1)时可以定义出
①②Ф（m+1）（16）
a n
（第二运算参数为2 时的定义已有，由类推法可给出第二运算参数为n 时的定义。）
一个显而易见的问题是，当第二运算参数为非整时如何定义，因为从简便扩充的定义中看不出。寻求这个定义，我花费了很长时间，你看，M君，这也算是给你们帮忙了。这里我只
f(x)，若有g(x)，使得
g(g(x))=f(x)，则记，且称g(x)为f(x)之半函数。可以肯定地说，对给定的f(x)，g(x)是确定的。至于具体求法是另一回事。如何使第二运算参数为非整时有定义呢？若定义
单参运算
f= ①②（17）
Фm a D2
则注意到
①②
a n Ф(m+1)
作用一个f时，第二运算参数就要加1, 即
f =
①②①②
a n Ф(m+1) ①②Фm a D2
a n Ф(m+1)
= ①② = （18）
a Фm
①②
①② a n+1 Ф(m+1)
a n Ф(m+1)
现在我们定义作用时，第二运算参数就要增加0。5，即
①②= ①②（19）
a n Ф(m+1) a n +0.5 Ф(m+1)
显然第二参数增加任一有理数时之定义类似。
M君：这样定义未有矛盾之处，也许可以。
P君：我听不懂，反正与解方程无关。
M君：这样做是必要的。严格来讲，那样只是定义了第二参数为有理数时的情形。
H君：我只是谈一下梗概。好了，我还是谈谈第四种扩充。这又是一个以前未见过的扩充。P君：我又要一头雾水了。还是那句话，听不懂就不听了。
H君：假若我们现在已经知道一个两参运算Фd及一个单参运算Фs，我们能否由它们定义出一个新的两参运算呢？
M君：你的意思是尽量从已知的运算定义出新运算？
P君：这不是韩信招兵买马吗？
H君：确实是这样，你们看式子
①② =X0 （20）
X2 Фd
X1 Фs
是否定义了X0与X1，X2之间的一个两参运算呢？
M君：确实是这样，Фd、Фs已知，则X0与X1,X2之间的对应关系是确定的。
H君：我们记新得到的两参运算为Фd′,且将“从已知两参运算Фd及单参运算Фs导出新运算Фd′”这一事实用式子表示
Фd′=①②（21）
ФdФs A1
Фd′是由两参运算Фd加进一个单参运算Фs而得到的，故而称为加单参扩充（完全可以将Фs加到参数②中而得到另一加单参扩充。）
P君：不是很难理解。
H君：其实是很简单。以‘+’运算为例，我们可以通过它导出Фt，X1Фt X2=(X1x5)+X2 Фt运算是由”+”运算导出的，Фt运算与‘+’运算的差别在于第一个运算参数多乘以5,即多作用了一个单参运算
Фf=①②（22）
x 3 D2
Фt= ①② A1 （23）
+
①② D2
x 3
你看，这样可以由‘+’运算及‘由x与3导出之单参运算’确定出新运算‘Фt’，不是很明确吗？
M君：确实是这样，可以这么说。
P君：单就式子X1Фt X2=(X1x5)+X2 而言，倒不难理解。‘+’运算我知道，在进行‘+’运算之前，先将第一个加数乘以5，这样就是一个新运算。我算明白了这一点。
H君：在上述所有引进或定义新运算的式子中，只要我们知道要确定出的东西是确定的而且知道如何确定出它就可以了。实际上可以说四种扩充就是定义了四种“运算的运算”，也就是如何由已知运算确定出未知运算。
P君：也许这么说更容易理解些。
M君：就这四种扩充？
H君：是的，只这四种扩充，而且每种扩充所得到之新运算都可以用一式子表达。这一点非常重要。
P君：我以为有多难，就这么点东西，尽管有点晕乎，可还承受得了。
M君：有了这四种扩充，就能把方程之解析解表达出来？
P君：我看不太信。
H君：当然可以。在解之前，我再汇总一下四种扩充。第一是换位扩充，将运算参数的位置变一变，仅此而已；第二种扩充是降参扩充，将两参运算之一个运算参数取为常数，即得到一单参运算，这也很简单；第三种为简便扩充，相同运算参数之个数即为新运算的第二个运算参数，从‘＋’到‘×’到‘**’，就是这种扩充，也很简单。第二参数为非整时之定义有点难度，但解方程时可以不用它；这第四种扩充为加单参扩充。有点新意，也有点难消化。但任何事，总得有点难度，有点刺激，才有意思。
P君：是有点难度。
H君：尚能没有这加单参扩充那最好，但离开它方程就解不出了。
P君：那就只好由着你了。我已经说过，我们只管用就是了。哎，数学虚人没发言权哪！
H君：四种扩充已备，就可以解方程了。以（3）式之方程为例
这是个超越方程，a, b为实数，如前文我们记…+?为Ф0,…x?为Ф1,…**?为Ф2，则有
①②Ф0 = -b （24）
X
①②
X a Ф2
对Ф2进行降参扩充则有：
①② = -b (25)
X Ф0
X
①②
Ф2 a D2
注意
①②D2
Ф2 a
为一单参运算，它与Ф0进行加单参扩充则有：
①② = -b (26)
X X
①② A1
Ф0
①②
Ф2 a D2
注意
①② A1 (27)
Ф0
①②
Ф2 a D2
为一经以上两个扩充而得到之新运算，记其为W（注意只是为书写方便，并未引进新东西,你完全可以不用此简记形式），且经简便扩充得：
①②= －b （28）
X 2 WI
经换位扩充后方程即可得解:
①②= X （29）
-b 2 WI R1
你看，解的过程就这么简单，这样的符号搬运并不费劲。
M君：有点不可思议，真能这么表达吗？
P君：四种扩充我未犯晕，怎么现在有点晕。
H君：这不是变魔术，每一步都清清楚楚，降参、加单参、简便及换位四个扩充依序各用一次，别的任何东西都没有。四个扩充既已承认，还有什么问题？逻辑上有问题还是不够简单明了？
P君：M君，你是专家，你说吧，你有发言权，我相信你。
M君：从手续上讲，算交待清楚了。严密性上我不再说了，免得你又说是在帮忙，喊冤叫屈。你可否回答，你现在定义的新运算与已有的一般运算之定义有何区别？
H君：我正要讲这一问题，f (x, y ,z) = 0 , 这只是一个很空泛的定义。给了这么一个定义以后，我们确实有了一般运算的概念，可是这样一个定义可以用来做什么呢？什么也不能什么也没有做。而现在给出的导出新运算之定义，则有本质的不同。首先你可以看到，为进行运算的扩充所引进的新东西是有限的，即只涉及四种基本扩充R、D、I 及A，且每一运算导出之步骤也是有限的。其次，所有新运算的来源都是清楚的。所有这些新运算都是从‘+’运算出发，运用四种基本扩充导出的。第三，这些导出运算之间也是有内在联系的，因为导出的出发点相同（从‘+’运算出发），导出手段（即四种基本扩充）相同，只是运用扩充的次数及顺序不同。第四，由于每一运算是通过四种扩充的式子导出的，因而可以说每一运算之来源都可以用解析式子来表达；第五，你也可以看到它是为给出代数方程之解析解而引入，并成功地给出了代数方程之解析解，因而可以说这些运算有助于方程解析解的表达。归纳起来可以说新运算具有五个特点：即导出步骤及引进之定义有限，来源清楚，互有关联，其来源可解析表达，对方程解析解的表达有用。这五点是f (x, y，z ) = 0 这样的定义所不具有的。
P君：我算明白了一些东西。所谓超越方程给不出公式解或解析解只是在一定条件下得出之结论。现在以给出解析解为目的引进新的运算，就可以给出解析解了。
H君：确实是这样，正如一开始所讲的那样。
H君：在对这一结果进行更深入探讨之前，我们对数学之几个相关分支作一些讨论。
P君：太深奥了吧，你们说，我不听了。
M君：我们还是尽量讲得简单些吧，让P君能听懂。H君，还是你来说，那样更通俗易懂。要让我说，若太正规严格，你们说我是讲天书，太通俗，我又觉得不是在讲数学。
H君：那我就说吧！与之相关的四个分支是，一般代数系统、微分方程、泛函分析及运算子理论。P君，你知道函数y = f (x) 吗？其中x称为自变量，y称为因变量。其中x, y均为数。P君：这个我知道，上了几年学，还有点印象。
H君：如果把自变量换为函数，因变量仍然为数，y=f ( g )，即一个函数g对应一个数y，这样f 即称为泛函。
P君：好像也不难。
H君：若因变量也换为一函数，h=f(g), 即一个函数g对应一个函数h，这样即为运算子理论。P君：也很简单嘛，那么微分方程是怎么回事？
H君：要知道微分方程是怎么回事，须先了解导函运算。给一实变函数（自变量及因变量均为实数之函数）f (x ) ，其曲线上任一点处可作一条切线（对光滑曲线而言），切线之斜率称为f (x ) 在此点处之导数，所有点的导数构成另外一个函数，称为f (x ) 的导函数，且记为f`ˊ(x) 或f x(x) 。
P君：有点晕，不知如何求它。`
H君：求它就不要问了。总之给定的函数与其导函数之间是一种对应关系，称为导函运算。你可以看出，它实际上是一种特殊的运算子。而含有未知函数及其导函运算的等式称为微分方程。
P君：只能算明白个大概。
H君：这一般代数系统指的是，若干元素作为研究对象，M君他们称为集合。在其中定义一个或几个运算，且满足一些规定，这集合与运算就构成了一个代数系统。不同的集合与运算即为不同的代数系统。代数的任务之一是对它们进行分类并研究，但这太过于一般。目前真正有重要意义且具有丰富内容的仅是些特殊的代数系统。
P君：原来数学还有这么多东西，我现在也有一种感觉，就是了解得越多，明白自己不知道的东西也越多。
H君：P君，你对代数系统，微分方程，泛函分析及运算子理论总算有一个大概了解吧。
P君：当然知其一二了。但本人无缘享受那些东西，也许只有学数学的人有这个福份吧。
H君：可不是那样。学得越多，欢喜固然有，但我觉得所添烦恼更多。
P君：这是为什么？
H君：让你束手无策的东西愈来愈多，你若不信去问M君。面对很多不可求解或不可研究的东西，总让人有一种压抑之感觉，处处碰壁，使人觉得有几份苦涩。
M君：的确是这样。
P君：你能否讲具体点？
H君：代数方程不可解到处都是。微分方程不可解也是一样。我们能给出解析解或显式解的微分方程的形式是很有限的。想当初学微积分时，微积分的精美确实让人感到神往，可以说微积分是数学中最美妙的一部分。但许多微分方程不存在解析解却让你无话可说。
P君：我未学过微积分，不知其妙其乐，也未有其苦。
H君：代数系统的割裂状态已经谈了。对真正的一般运算（往往代数系统中所含之一个或几个运算要具备一定性质，如交换律、结合律或分配律）是不去研究的。
M君：目前之研究现状的确如此。在未有好的方法之前，是不可能研究的。
H君；这泛函分析及运算子理论所处情况有些类似，首先线性的研究得多一些，非线性的研究的很少。在泛函分析中，有一求极值问题。即对某一范围之函数求出使泛函值最大之函数。对一般形式的泛函极值问题研究得还很不彻底，关于极值条件的研究至今还不全面。即使就最简泛函作出的几个准则，使用起来也很不方便。研究泛函给人一种举步维艰之感觉，你若不信，随便翻翻一本关于泛函方面的书就知道了。
M君：泛函研究远没有微积分研究那样完善。
H君：运算子理论中，也是从整个运算子中分出一些特殊的进行研究。而且往往只给出定性结果。不知你注意到没有，在泛函分析及运算子理论中，很少出现较长的解析式子，这也从一个侧面反映了解析表达的贫乏和软弱无力。
M君：代数系统﹑微分方程﹑泛函分析及运算子理论的研究的确像你所说的那样。对非线性不是不想去研究，而是没有好的办法去研究。至于割裂状态，那不是数学科学的本来面目，而是由于认识的局限不得己而为之。
P君：M君，你们可有义务把它搞完美。我原以为你们搞的东西有多么深奥，怎么存在这么多问题。
H君：我个人认为尚使对某一研究对象我们感到无从把握时，那是因为我们没有合理的、强有力的概念去描述它。我们对数的运算的描述的贫乏，必然导致了对函数运算的描述的贫乏。可以说对数的运算的描述的贫乏这一逻辑环节的缺失导致了以上四个数学分支的尴尬局面。我们说数学是思辩的，那我们拿什么思辩呢？是它的符号形式，即解析式子，而不是别的什么。解析式子是否丰富，直接决定我们对数量关系进行思维所展开的程度。689 x 896 这一简单的算术运算如果我们不会速算又不借助笔算式子, 是无法得到它的结果的。从这点就可以看出思维对符号表达的依赖程度。可以说没有符号表达我们就根本无法进行思维。
M君：以你的见解，应该如何去办呢？
H君：紧紧抓住方程解析解不存在的危机，适时地扩充运算。在历史发展的进程中，这样的
机会多少次地呈现在人们面前, 只是未觉察到, 未能抓住它。曾经有过的对给出方程解析解的尝试和热情，也被“一般方程不存在解析解”这样的定论无情地浇灭了, 运算扩充的线索也已断得无影无踪。
M君：扩充以后能将所有问题解决吗？
H君：未必能完全解决。我在此想提一下大家所熟知的特殊化方法及一般化方法。当我们对某一普遍问题感到难以研究时，可以分出一些特殊的类型进行研究, 往往会获得进展。在代数系统﹑微分方程﹑泛函分析及运算子理论研究中，这种特殊化方法用得很多。但在另一些情况下，我们感到问题难以解决时可以把情况推向一般，问题往往变得很简单。现在所需要的正是这种方法。代数方程给不出解析解, 但当运算扩充后，则可给出任一代数方程之解析解。
H君：其他几个分支也一样吗？
M君：有些类似，至少微分方程求解可以做到。微分方程求解与代数方程求解在形式上是完全相同的，只需借助四个扩充。但形式上太繁复，在此就不介绍了。
P君：一点不懂。
M君：形式上是给出了，但疑义很多。
H君：有何疑义你尽管可以问，不过你可不要过于为难我。
M君：四种扩充是否完全无问题？
H君：我已经说了，四种扩充中换位扩充及简便扩充已经用过了，不会不允许再用吧。降参扩充及加单参扩充尽管是新东西，但它的定义清清楚楚, 不是吗？降参扩充中若给出已知的两参运算及常数a，要确定出单参运算是很容易的。加单参扩充中由已知的两参运算及单参运算求出未知的两参运算也是很容易的。总而言之，我们说，扩充就是从已知的运算导出新的运算，而四种扩充的定义中，如何由已知运算导出新运算，交待的清清楚楚，应该是这样吧？
M君：可涉及到“运算的运算”。
P君：我也觉得这一点很糊涂。
H君：你要描述运算与运算之间的对应关系, 不引进“运算的运算”这样的提法行吗？上文提到四种扩充实际上是定义了四种最基本的“运算的运算”，这样理解更容易些。
P君：消化不了，但能明白大概是怎么回事。
M君：这四种基本扩充是否包含了所有扩充？
H君：还不十分清楚，但对方程求解而言，已经够用了。对所有方程，包括运算扩充以后所能构造出的方程都是可以给出解析解的。
M君：这样形式的解与的形式解有何区别？
H R、D、I及A，
再没有别的新东西。而之记法，方程形式变，f之定义也会变，这有何意义呢？M君：这样的结果可以直接拿来用吗？
H君：这种解主要用于推理思维，至于要真正实用，还得找到类似于台劳级数那样的东西对表达式进行展开，但这样的公式目前还未找到。
M君：你所说的代数方程及微分方程的形式解有何实用价值？现在有很完善的通用程序，对应用而言已经足够了。
H君：对代数方程而言，目前电脑的速度与容量可以使我们轻而易举地得到其精度达成百上千位的数值解，足够用了。但对微分方程而言，并不是这么回事，许多解的结构搞不清，分析软件是难以求出其数值解的。对一些工程应用而言，流行的数值方法如差分法及有限元素
法, 其缺陷是很明显的。
M君：这个我不是十分清楚。
H君：我与有限元素法打交道十多年，我始终认为用这种方法只是一种权宜之计。这种方法在我们想得到更精确的结果时，是无法通过细化单元实现的。因为有时单元划分得越细，结果越糟。另外从概念上讲不是很清晰。我的想法是真正的出路还是在微分方程求解上做文章，毕竟这才是数学发展的主流。不过从给出数值方法到编制出通用软件，还有很长的路要走，这点不是个人力量所能完成的。
P君：你们太喜欢多事，操劳过分会使人变老。
M君：我看H君也是喜欢幻想。
H君：的确是这样。我是一个理想主义者。这一点在我的数学经历和数学观点上体现得很强烈。每接触一个数学分支之前，我总把它设想得很完美。但当真正接触以后发现很多不完善，我内心就会非常失落、痛苦。但这种感觉时常成为我思考的动力。
M君：这种动力真能带来结果?
H君：至少有这种愿望。我不知你们对平面几何证明题还是否有印象。
P君：有一些印象，反正够倒腾人了。
H君：做几何证明题时给人一种进出迷宫的感觉，而学了解析几何以后则给人一种豁然开朗的感觉。现在人们在进行式子变形或者说符号搬运时，或者求解类似函数方程（其中一类函数方程是指含有未知函数的代数等式）的问题时，也有类似的感觉。我们知道的运算有限，许多实际存在的逻辑路径我们无法达到，正像在三维迷宫中我们行走在一些狭窄的崎岖通道上，也许其中的两条之间很近，我们却无法从这一条走向另一条。我的想法是，运算彻底扩充以后，能将这迷宫夷为平地, 从此不再有遮人耳目的东西。不知这点能否完全实现。
M君：难怪你说自己是个理想主义者。
H君：不知你注意到没有，将代数运算看作数运算，导函运算看作特殊的函数运算，即函数的单参运算，泛函分析及运算子理论看作函数运算。如果我们将所有运算及运算参数都一般化，则这四个分支可以统一起来。事实上在部分程度上已经实现了四个分支的统一。不是这样吗？
M君：有这个架势，但对你谈的所有东西我只能50% 相信50%怀疑。
H君：你以为其他的专业数学工作者如何看待这件事？对运算的扩张会接受吗？恕我直言，搞数学的人都很保守。
M君：我个人认为，扩张是数学科学的生命源泉，不扩张是不符合数学精神的。数学家们还是乐于接受扩充的。但问题是数学家们很严谨，他们不会轻易接受一个新东西, 故而给人一种保守的印象。这也可能是大众对我们的误解吧。
P君：我们不会拒绝新的东西。但我们的观点无足轻重, 我们是数学虚人。
H君：康托说“数学的本质是自由”，但人们往往对严谨的一面关注更多，在某些发展关头，对自由创造的一面体味不够。
M君：谁不想思维自由? 在内心深处我喜欢这么做，但现实生活使我不得不那样做。大家都在追逐某一东西，你不去追逐就显得落伍。从这个意义上讲，人在某种程度上受制于低级的欲念, 哪谈得上真正的思维自由。
H君：我觉得这也是人们难以沟通的原因之一。尽管几何距离很近，但心灵的距离却很远。M君：你对自己的东西确信无疑吗？
H君：我坚信自己的东西是正确的。人们有时拘泥于局部的逻辑，但很多时候一些大的数学理念起很重要的作用。我坚信抽象世界是一个统一的整体, 它是和谐的、简单的、有序的。不存在解析解这一点与统一简单性是不相符的。
P君：正确的东西就应该接纳。
H君：问题并没有那么简单，有人说：我们渴求真理但真理绊倒我们时，我们未必能认识它。P君：你把人说得那么笨。
H君：的确没那么笨，他怎么会把自己绊倒。他看见真理时，先是绕开走，回过头来再说那是个怪物。最笨的方法是什么都不说，也不至于把他绊倒。
M君：你看，又来了。我没有绕着走，也没有保持沉默。不是吗？
H君：今天谈得够多了。换一个方式我问你们一下。
M君：可以。
P君：早该如此。
H君：据说贝尔发明电话后,专利就是无人买，大家认为这东西只可拿来玩玩而已, 并派不上大的用场。要是你们二位当时有条件在这方面投资，你们会吗？
M君：那很难讲，我对投资一窍不通。
P君：我肯定能看出它潜在的商业价值。
H君：你说你比当时所有的人都聪明?
P君：至少现在的我比当时的他们要聪明。
H君：．．．．．．。
此时，已近傍晚，M君及P君登上返回的客车。H君则拖着不算疲惫的身子但却疲惫的心灵，徒步返回，也许他正在盘旋着下个周末的沧海泛舟。
(这是一个孤独者的内心独白, 茫茫人海中, 可有知音否？)
二分法求方程的近似解(教案)
3.1.2 用二分法求方程的近似解 （一）教学目标 1、知识与技能 掌握应用二分法求方程近似解的原理与步骤，会用二分法求方程的近似解。2、过程与方法 体会通过取区间中点，应用零点存在性定理，逐步缩小零点所属区间的范围，而获得零点的近似值即方程的近似解的过程中理解二分法的基本思想，渗透算法思想。 3、情感、态度及价值观 在灵活调整算法，在由特殊到一般的认识过程中，养成良好的学习品质和思维品质，享受数学的无穷魅力。 （二）教学重点与难点 重点：用二分法求方程的近似解； 难点：二分法原理的理解 （三）教学过程 1、复习引入 （1）知识回顾 （a）函数的零点及其等价关系。 ＊对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点
（b ）连续函数在某个区间上存在零点的判别方法： ＊如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点。即存在c ∈(a,b)，使得f(c )=0，这个c 也就是方程f(x)=0的根。 （2）引例 （a ）从学校电房到学校食堂的电缆有5个接点。现在某处发生故障，需及时修理。为了尽快把故障缩小在两个接点之间，一般至少需要检查多少2次？ （b ）猜数字游戏，看谁先猜中 从1～1000这1000个自然数随机抽出１个数，谁能根据提示“大了”“小了”“对了”先猜出这个数？10次以内猜出，你们能做到吗 ？ 2、新课内容 设疑：一元二次方程可以用公式求根,但没有公式可用来求lnx+2x-6=0的根,能否利用函数的有关知识来求它根的近似值呢？ 函数：f(x)=Lnx+2x-6有零点 方程：Lnx+2x-6=0有解。 1、你能找出零点落在下列哪个区间吗？ 2、你能继续缩小零点所在的区间吗？ 解方程：Lnx+2x-6=0 找函数： f(x)=Lnx+2x-6的零点所在区间 逐步缩小函数： f(x)=Lnx+2x-6零点所在范围 3、几何画板演示缩小范围 ()()()()54433221,.,.,.,.D C B A
纳维-斯托克斯方程
纳维－斯托克斯方程 纳维－斯托克斯方程（Navier-Stokes equations），以克劳德-路易·纳维(Claude-Louis Navier)和乔治·加布里埃尔·斯托克斯命名，是一组描述像液体和空气这样的流体物质的方程。这些方程建立了流体的粒子动量的改变率(加速度)和作用在液体内部的压力的变化和耗散粘滞力(类似于摩擦力)以及引力之间的关系。这些粘滞力产生于分子的相互作用，能告诉我们液体有多粘。这样，纳维-斯托克斯方程描述作用于液体任意给定区域的力的动态平衡。 他们是最有用的一组方程之一，因为它们描述了大量对学术和经济有用的现象的物理过程。它们可以用于模拟天气，洋流，管道中的水流，星系中恒星的运动，翼型周围的气流。它们也可以用于飞行器和车辆的设计，血液循环的研究，电站的设计，污染效应的分析，等等。 纳维-斯托克斯方程依赖微分方程来描述流体的运动。这些方程，和代数方程不同，不寻求建立所研究的变量（譬如速度和压力）的关系，而是建立这些量的变化率或通量之间的关系。用数学术语来讲，这些变化率对应于变量的导数。这样，最简单情况的0粘滞度的理想流体的纳维-斯托克斯方程表明加速度（速度的导数，或者说变化率）是和内部压力的导数成正比的。 这表示对于给定的物理问题的纳维-斯托克斯方程的解必须用微积分的帮助才能取得。实用上，只有最简单的情况才能用这种方法解答，而它们的确切答案是已知的。这些情况通常涉及稳定态（流场不随时间变化）的非湍流，其中流体的粘滞系数很大或者其速度很小（小的雷诺数）。 对于更复杂的情形，例如厄尔尼诺这样的全球性气象系统或机翼的升力，纳维-斯托克斯方程的解必须借助计算机。这本身是一个科学领域，称为计算流体力学。 虽然湍流是日常经验中就可以遇到的，但这类问题极难求解。一个$1,000,000的大奖由克雷数学学院于2000年5月设立，奖给对于能够帮助理解这一现象的数学理论作出实质性进展的任何人。 目录 ? 1 基本假设 o 1.1 随体导数 o 1.2 守恒定律 ? 1.2.1 连续性方程 ? 1.2.2 动量守恒 ? 2 方程组 o 2.1 一般形式 ? 2.1.1 方程组的形式 ? 2.1.2 闭合问题
北师大版(2019)高一数学必修第一册第五章第一节方程解的存在性及方程的近似解 教案
第1节方程解的存在性及方程的近似解 5.1.1利用函数性质判定方程解的存在性 本部分内容是在学生学习了函数的定义、性质、图像、性质都已经熟悉的基础上，进一步研究函数与其他数学知识的有机联系，这里结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理(逻辑推理)，集中研究的是判定方程实数解的存在性，运用函数来解决实际问题。 (1)知识目标： 理解函数零点的意义，能够判定方程解的存在性。 (2)核心素养目标： 通过具体实例，感受数学的应用价值，养成严谨治学的态度和积极探索的精神。 重点：理解函数零点的意义，能够判定方程解的存在性。 难点：方程实数解的存在区间的求解。 多媒体课件 一、知识引入 函数零点：我们把函数y=f(x)的图像与横轴交点的横坐标称为这个函数的零点。函数y=f(x)的零点可以理解成方程f(x)=0的解。
你能从函数y=f(x)图像中找到函数零点吗？ 依据定义找到函数零点： -1,1,3。 1、观察上述三个函数图像中零点附近的图像你能得什么结论吗？ 零点附近的图像是从上到下或者从下到上地穿过x 轴。（零点即交点） 2、零点两侧的附近区间内自变量x 对应的函数值一正一负。（即f(a)f(b)﹤0） 3、此类零点称为变号零点。 作出函数x y 1 图像确定函数有没有零点？ 能否用上述结论中f(a)f(b)﹤0来判断函数有零点？ 得出结果：函数没有零点，用f(a)f(b)﹤0判断零点必须是在连续区间（a,b ）上。 零点的判断方法： （1）几何法：函数y=f(x)图像与x 轴交点横坐标，即有几个交点就有几个零点。 （2）代数法：零点存在定理 ①函数y=f(x)图像在(a,b)上是连续的。 ②满足f(a)f(b)﹤0 则函数f(x)在区间(a,b)上至少一个零点。 如何判定函数f(x)在区间(a,b)上有唯一零点？引导学生在上述基础上加入单调性，来确定唯一零点。 二、例题解析 例1 方程3x -x 2=0在区间[-1,0]内有没有解？为什么？
一阶常微分方程解法总结
页脚内容1 第 一 章 一阶微分方程的解法的小结 ⑴、可分离变量的方程： ①、形如 )()(y g x f dx dy = 当0)(≠y g 时，得到 dx x f y g dy )()(=，两边积分即可得到结果； 当0)(0=ηg 时，则0)(η=x y 也是方程的解。 例1.1、xy dx dy = 解：当0≠y 时，有xdx y dy =，两边积分得到)(2ln 2为常数C C x y += 所以)(11212 C x e C C e C y ±==为非零常数且 0=y 显然是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)(1212 为常数C e C y x = ②、形如0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M 当0)()(≠y N x P 时，可有dy y N y Q dx x P x M ) ()()()(=，两边积分可得结果； 当0)(0=y N 时，0y y =为原方程的解，当0(0=） x P 时，0x x =为原方程的解。 例1.2、0)1()1(22=-+-dy x y dx y x
页脚内容2 解：当0)1)(1(22≠--y x 时，有dx x x dy y y 1 122-=-两边积分得到 )0(ln 1ln 1ln 22≠=-+-C C y x ，所以有)0()1)(1(22≠=--C C y x ； 当0)1)(1(22=--y x 时，也是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)()1)(1(22为常数C C y x =--。 ⑵可化为变量可分离方程的方程： ①、形如)(x y g dx dy = 解法：令x y u = ，则udx xdu dy +=，代入得到)(u g u dx du x =+为变量可分离方程，得到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x x y f =。 ②、形如)0(),(≠+=ab by ax G dx dy 解法：令by ax u +=，则b du adx dy +=，代入得到)(1u G b a dx du b =+为变量可分离方程，得到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x by ax f =+。 ③、形如 )(222111c y b x a c y b x a f dx dy ++++= 解法：01、02211 =b a b a ，转化为)(by ax G dx dy +=，下同①； 02、0221 1 ≠b a b a ，???=++=++00222111c y b x a c y b x a 的解为),(00y x ，令???-=-=00y y v x x u
一阶常微分方程的奇解
摘要.................................................... 错误!未定义书签。 1.何谓奇解.............................................. 错误!未定义书签。 2.奇解的产生............................................ 错误!未定义书签。 3.包络跟奇解的关系...................................... 错误!未定义书签。 4.理论上证明C-判别曲线与P-判别曲线方法................. 错误!未定义书签。 克莱罗微分方程 ..................................... 错误!未定义书签。 5.奇解的基本性质........................................ 错误!未定义书签。 定理１ ............................................. 错误!未定义书签。 定理２ ............................................. 错误!未定义书签。 定理３ ............................................. 错误!未定义书签。 6.小结.................................................. 错误!未定义书签。参考文献：.............................................. 错误!未定义书签。
微分方程解析近似解的符号计算研究
微分方程解析近似解的符号计算研究 【摘要】：本文基于数学机械化思想,借助于符号计算软件,以非线性方程为对象,系统地研究了适用于强非线性问题的解析近似方法：Adomian分解方法(ADM)和同伦分析方法(HAM)的应用和机械化实现。第一章是与本文相关的研究背景。简要综述了计算机代数和孤立子理论的发展进程,针对性地介绍了近年来解析近似方法的研究成果和现状。第二章改进了Adomian分解方法,能够获得修正Korteweg-deVries(mKdV)方程和Kadomtsev-Petviashvili(KP)方程的双孤子解。通过引入自变量变换和行波变换,将Degasperis-Procesi(DP)方程短波模型化为常微分方程,应用Adomian分解方法求解之,获得其闭合形式的解析解,再经过反变换,能够获得其环状孤子解。以上结果表明了Adomian分解方法在求解方程特殊孤子解方面的有效性。对Adomian分解方法进行了推广,解决了方程中离散变量不同于连续方程中的变量问题,并与Pade近似结合,能够获得几个经典的非线性微分差分方程组的孤子解,显著提高了方程解析近似解的精度。同时,我们还讨论了Pade有理近似中出现的伪极点问题,给出了合适选择Pade 近似阶数的指导原则。获得的解析近似解与精确解符合得很好,表明了Adomian分解方法对复杂强非线性问题的有效性。第三章通过引入自变量变换和行波变换,将偏微分方程化为常微分方程,通过同伦分析方法求解之,再经过反变换,能够获得DP方程短波模型的环状孤子解和Camassa-Holm(CH)方程短波模型的尖状孤子解,结果表明了同伦
分析方法在求解方程特殊孤子解方面的有效性。对同伦分析方法进行了推广,解决了方程中离散变量不同于连续方程中的变量问题,改进了同伦分析方法选择初始猜测解的方法,能够获得离散修正KdV方程的亮孤子解,获得的解析近似解与精确解符合得很好,表明了同伦分析方法对复杂强非线性问题的有效性。第四章在计算机代数系统Maple 上实现了Biazar提出的求解Adomian多项式的算法,编制了构造微分方程(组)和积分方程(组)解析近似解的自动推导软件包,这个算法避免了Adomian多项式的计算膨胀问题,降低了计算难度并显著提高了计算速度,通过大量实例说明了该软件包的有效性和实用性。【关键词】：微分方程微分差分方程解析近似解符号计算孤立子 【学位授予单位】：华东师范大学 【学位级别】：博士 【学位授予年份】：2010 【分类号】：O175 【目录】：摘要6-7Abstract7-11第一章绪论11-181.1数学机械化与计算机代数12-131.2孤立子理论13-141.3求解非线性方程的解析近似方法14-161.3.1Adomian分解方法14-151.3.2同伦分析方法15-161.4本文的选题和主要工作16-18第二章Adomian分解方法在非线性系统中的应用18-592.1Adomian分解方法求解非线性微分方程18-322.1.1
总结一阶常微分方程奇解的求法
总结一阶微分方程奇解的求法 摘要：利用有关奇解的存在定理，总结出求一阶微分方程奇解的几种方法，并通过一些具体的例题说明这几种方法的应用 Using relevant theorems to develop several methods of finding singular solution of ordinary differential equation. In addition, illustrate the application of these methods through the concrete examples. 关键词：常微分方程 奇解 c-判别式 p-判别式 方法一：利用c-判别式求奇解 设一阶微分方程0, ,=?? ? ?? dx dy y x F ① 可求出方程①的通解为()0,,=c y x φ ② 如果()()???==0 ,,0,,' c y x c y x c φφ ③ 是微分方程①的解，且对③式满足：()()02 '2 '≠+y x φφ ④ 则③是微分方程①的奇解，且是通解②的包络。 例1：方程() 2 2 2 x x y dy dx dy dx + -= 的奇解 解：首先，本具题意求出该微分方程的通解为2 2 2 c cx y x ++= 与4 2 x y = 其中c 为任意常数 当时2 2 2 c cx y x ++= ， ()y c cx x c y x -++= 2 2 2 ,,φ 其相应的c -判别式为 ? ??=+=-++02022x 2 c x y c cx 易得到： ? ??=-=2 2c y c x
代入原微分方程，可知? ??=-=2 2c y c x 不是原微分方程的解； 当4 2 x y = 时，易求出2 ,1''x y x ==φφ，则有()()02 '2 '≠+y x φφ 故4 2 x y = 为原微分方程的奇解 例2：试求微分方程() () y y dy dx 9 42 2 1= -的奇解 解：首先，根据题意求出微分方程的通解为：()()0322=---y y c x 其中c 为任意常数 再由相应的c-判别式： ()()()? ??=--=---020 322c x y y c x 易求出：? ??==0y c x 或 ???==3y c x 当???==0y c x 时，代入原微分方程成立； 所以? ??==0y c x 为原微分方程的解 且有()02'=--=c x x φ；()()93232 '-=---=y y y y φ 满足(Φ‘ x )2 +(Φ‘ y )2≠0 易验证???==3y c x 不是原微分方程的解 故x=c, y=0 是元微分方程的奇解。 方法二：利用p-判别法求奇解 在微分方程①中，设y ′=p,则此方程的p-判别式为： ()()?????==0,,0 ,,' p y x F p y x F p ⑤ 消去p 之后得到的函数y=?(x)是微分方程①身为解，
高中数学教材必修一《用二分法求方程的近似解》教学设计
用二分法求方程的近似解 一、教学内容分析 本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学1必修本》的第三章3.1.2用二分法求方程的近似解．本节课要求学生根据具体的函数图象能够借助计算机或信息技术工具计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系；它既是本册书中的重点内容，又是对函数知识的拓展，既体现了函数在解方程中的重要应用，同时又为高中数学中函数与方程思想、数形结合思想、二分法的算法思想打下了基础，因此决定了它的重要地位． 二、学生学习情况分析 学生已经学习了函数，理解函数零点和方程根的关系, 初步掌握函数与方程的转化思想．但是对于求函数零点所在区间，只是比较熟悉求二次函数的零点，对于高次方程和超越方程对应函数零点的寻求会有困难．另外算法程序的模式化和求近似解对他们是一个全新的问题． 三、设计思想 倡导积极主动、勇于探索的学习精神和合作探究式的学习方式；注重提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识；与时俱进地认识“双基”，强调数学的内在本质，注意适度形式化；在教与学的和谐统一中体现数学的文化价值；注重信息技术与数学课程的合理整合. 四、教学目标 通过具体实例理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法，从中体会函数的零点与方程根之间的联系及其在实际问题中的应用；能借助计算器用二分法求方程的近似解，让学生能够初步了解逼近思想；体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一；通过具体实例的探究，归纳概括所发现的结论或规律，体会从具体到一般的认知过程． 五、教学重点和难点 1．教学重点：用“二分法”求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．2．教学难点：方程近似解所在初始区间的确定，恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解． 六、教学过程设计 （一）创设情境，提出问题 问题1：在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发
求方程的近似解
习题课 课时目标 1.进一步了解函数的零点与方程根的联系.2.进一步熟悉用“二分法”求方程的近似解.3.初步建立用函数与方程思想解决问题的思维方式． 1．函数f(x)在区间(0,2)内有零点，则() A．f(0)>0，f(2)<0 B．f(0)·f(2)<0 C．在区间(0,2)内，存在x1，x2使f(x1)·f(x2)<0 D．以上说法都不正确 2．函数f(x)＝x2＋2x＋b的图象与两条坐标轴共有两个交点，那么函数y＝f(x)的零点个数是() A．0 B．1 C．2 D．1或2 3．设函数f(x)＝log3x＋2 x－a在区间(1,2)内有零点，则实数a的 取值范围是() A．(－1，－log32) B．(0，log32) C．(log32,1) D．(1，log34) 4．方程2x－x－2＝0在实数范围内的解的个数是________________________________． 5．函数y＝(1 2) x与函数y＝lg x的图象的交点的横坐标是 ________．(精确到0.1) 6．方程4x2－6x－1＝0位于区间(－1,2)内的解有__________个． 一、选择题 1．已知某函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)有零点的区间大致是() A．(0,0.5)
B．(0.5,1) C．(1,1.5) D．(1.5,2) 2．函数f(x)＝x5－x－1的一个零点所在的区间可能是() A．[0,1] B．[1,2] C．[2,3] D．[3,4] 3．若x0是方程lg x＋x＝2的解，则x0属于区间() A．(0,1) B．(1,1.25) C．(1.25,1.75) D．(1.75,2) 4．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是() A．[－2,1] B．[－1,0] C．[0,1] D．[1,2] 5．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋2(a 《用二分法求方程的近似解》教学设计 广州市铁一中学 黄建武 一、学与教的基本面分析 1、学习内容及分析 本节课选自普通高中课程标准实验教科书数学（人教A 版）必修1第三章3.1.2用二分法求方程的近似解。 用二分法求方程的近似解的理论基础是函数零点存在性定理。 函数与方程是中学数学的重要内容之一，又是初等数学和高等数学衔接的枢纽，函数与方程思想是本节课要渗透的重要思想。 二分法在必修3算法一章中是贯穿整个一章的重要范例，为必修3的算法作准备，也为学生进入大学后进行计算方法的学习提供了初步认识。基于此，本节课的重点内容是二分法基本思想的理解，要求学生结合函数图象，通过数形结合处理方程的方法，用二分法求方程的近似解。 2、学生学习的起点知识与技能分析 学生在学习本节课内容之前已学习了函数的零点，理解方程的根与函数零点之间的关系，有一定的数形结合思想能力，在此基础上让学生了解算法这一数学思想以及逐渐逼近的数学思想，培养学生数形结合的能力。但学生对于合理运用科学计算器，将现代信息技术与数学课堂的整合缺乏一定的认识，这些都给学生用逼近法求方程的近似解造成一定困难。因此在教学过程中，为学生创设熟悉的问题情境，多处启发学生，让学生领会二分法思想和归纳二分法的步骤。 3、该专题的学习特点及分析 本节课在学习函数的零点的基础上，学习求方程近似解的方法——二分法，教学中要侧重以下几点： （1）、二分法求近似解的条件 学习本节课后，有可能有学生会问是不是所有的方程都可以用二分法来求近似解？用二分法求方程近似解的条件：对于在[]b a ,上连续函数)(x f y =，若0)()(。 （2）、初始区间的确定 若第一步初始区间完成了，接下来只需要迭代，也就是循环运算的过程，具体表现为不断“二分”搜索区间。教材中都是通过图象观察而得到方程的解的初始区间，因此如何作出函数图象是解决问题的前提。 （3）、二分法的终止 解题过程中，区间的“长度”被逐步缩小，直到区间符合精确度要求，我们就得到方程的近似解。 二、学与教的目标定位 本节课在教学内容上衔接了上节函数的零点与方程的根的联系，学生在学习了上一节的内容后，已初步 摘要 (2) 1.何谓奇解 (2) 2.奇解的产生 (3) 3.包络跟奇解的关系 (4) 4.理论上证明C-判别曲线与P-判别曲线方法 (5) 4.1 克莱罗微分方程 (9) 5.奇解的基本性质 (12) 5.1 定理１ (12) 5.2 定理２ (14) 5.3 定理３ (14) 6.小结 (14) 参考文献： (15) 一阶常微分方程的奇解 摘要 在常微分方程中，我们知道方程的解可以有多种，现在我们来讨论求奇解的方法。我们看到某些微分方程，会存在一些特殊的积分曲线，他并不属于这方程的积分曲线族，但是，在这些特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和他在此处相切。从而我们引出了积分曲线族的包络，而为了求微分方程的奇解，，我们应先求出他的通解，然后求通解的包络。 关键词：奇解，包络，C-判别式，P-判别式 1.何谓奇解 设一阶隐式方程),,(,y y x F =0有一特解 )(:x y ψ=Γ，j x ∈ 如果对每一点Γ∈P ，在P 点的任何一个领域，方程),,(,y y x F =0都有一个不同于Γ的解在P 点与Γ相切，则称Γ是微分方程的),,(,y y x F =0的奇解 定义：如果一个一阶微分方程的一个特解的积分曲线上的每一点都至少和这个微分方程的不同的积分曲线相切，并且这相切的积分曲线在切点的任何邻域都不重合，则称这个特解为这个微分方程的奇解 2.奇解的产生 先看一个例子，求方程 033=-?? ? ??y dx dy （1） 或与它等价的方程 3y dx dy = 的解。 经分离变量后，可得（1）的通解 3)(27 1c x y += 容易看出，y=0也是原方程的一个解。现在来研究这个解y=0有什么特殊的地方。由图我们看到，在解y=0上的每一 点)0,(0x 处相切，这种特殊的积分曲线y=0 称为奇积分曲线，他所对应的解就是奇 解，这就是奇解的产生。 我们现在给出曲线族包络的定义 某些微分方程，存在一些特殊的积分 曲线，会存在一些特殊的积分曲线，他并 不属于这方程的积分曲线族，但是，在这些特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和他在此处相切。在几何学里，这些特殊的积分曲线称为上述积分曲线族的包络，在微分方程里，这些特殊的积分曲线所对应的解酒称为方程的奇解。 二阶常微分方程解 ————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期: 第七节 二阶常系数线性微分方程 的解法 在上节我们已经讨论了二阶线性微分方程解的结构，二阶线性微分方程的求解问题,关键在于如何求二阶齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解。本节讨论二阶线性方程的一个特殊类型，即二阶常系数线性微分方程及其求解方法。先讨论二阶常系数线性齐次方程的求解方法。 §7.1 二阶常系数线性齐次方程及其求解方法 设给定一常系数二阶线性齐次方程为 ?? 22 dx y d +p dx dy ＋ｑy=０ (7.1) 其中p 、q 是常数,由上节定理二知,要求方程(7．1)的通解，只要求出其任意两个线性无关的特解y 1,ｙ2就可以了，下面讨论这样两个特解的求法。 我们先分析方程(7.1)可能具有什么形式的特解, 从方程的形式上来看，它的特点是22dx y d ，dx dy ,y 各乘以 常数因子后相加等于零，如果能找到一个函数ｙ,其 22dx y d ，dx dy ，ｙ之间只相差一个常数因子，这样的函数有可能是方程(７.1)的特解,在初等函数中,指数函数e rx ,符合上述要求，于是我们令 y=e r ｘ (其中r 为待定常数）来试解 将y ＝e rx ,dx dy =re r ｘ,22dx y d ＝r ２e r ｘ 代入方程(7.1) 得 r 2e ｒx ＋ｐre rx ＋ｑｅrx ＝０ 或 e r ｘ(r ２+pr+q ）＝0 因为e rx ≠０,故得 ? r 2 +pr ＋q=0 由此可见，若r 是二次方程 ?? r 2＋pr ＋q=０ (7．2) 的根，那么e r ｘ就是方程(7.１)的特解,于是方程（７.1)的求解问题，就转化为求代数方程(7.2）的根问题。称（7.2)式为微分方程(７.１)的特征方程。 特征方程(7.2)是一个以r 为未知函数的一元二次代数方程。特征方程的两个根r 1，r 2，称为特征根,由代数知识，特征根r １，r 2有三种可能的情况,下面我们分别进行讨论。 (1)若特证方程（7．2）有两个不相等的实根r 1， r 2，此时e r １ｘ ,e r2x 是方程（７.1)的两个特解。 《用二分法求方程的近似解》>教学设计 一、教材分析： 本节是人教A版《普通高中标准试验教科书·数学1（必修）》第三章“函数的应用”中第一节“函数与方程”的第二块内容，是在学习了集合与函数概念、基本初等函数后，研究函数与方程关系的内容。本节课的教学内容是：结合函数大致图象，能够借助计算器用二分法求出相应方程的近似解，理解二分法的思想及了解这种方法是求方程近似解的常用方法。 本节内容是课标教材中新增的内容。在初中，学生学习了简单的一元一次方程和一元二次方程等简单方程的求根问题，但是实际问题中，有具体求根公式的方程是很少的。对于这类方程，我们只能根据根的存在性定理判断根的存在，在利用二分法可以求出方程给定精确度的近似解。经过本节内容的学习，将使学生更加深入理解函数与方程的数学思想。 二、设计意图与学情分析: 学生在学习本节内容的时候可能会对二分法的本质理解不够透彻，特别是在“循环迭代与替换区间端点”这一环节的理解上相对比较困难，对精确的理解耶比较困难。同时在运算过程中，数值较繁琐，这些都使学生对本节的学习与理解产生较大的阻碍，在课前应给学生提前预习，以做好思想准备。 学生在学习本节内容之前已经学习了“方程的根与函数的零点”，理解函数的零点与方程的根的关系，并具有一定的数形结合思想，这些成为本节知识学习的生长点，在用二分法求近似解的步骤中又渗透着算法思想，为今后的算法内容学习埋下伏笔。但是学生对动态与静态的认识薄弱，对于函数与方程的联系缺乏一定的认识，这些都给学生在缩小零点所在区间的过程造成一定的难度。因此在教学中应该多给学生动手的机会，给学生创设熟悉的问题情境，引导学生观察，计算，思考和总结，使他们理解问题背后的本质从而得出结论. 三、教学目标： （1）理解二分法的基本思想，能够借助计算器用二分法求给定方程满足一定精确度的近似解； （2）引导学生通过观察和计算体会二分法，感受函数与方程的思想，使学生在学习过程中体会近似思想、逼近思想、算法思想； （3）帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，形成正确的数学观，通过生活实例培养学生的数学应用意识，激发学生的学习兴趣。 四、教学重点： 摘要 (4) 1.何谓奇解 (5) 2.奇解的产生 (5) 3.包络跟奇解的关系 (6) 4.理论上证明C-判别曲线与P-判别曲线方法 (7) 4.1 克莱罗微分方程 (11) 5.奇解的基本性质 (14) 5.1 定理１ (14) 5.2 定理２ (16) 5.3 定理３ (16) 6.小结 (17) 参考文献： (17) 一阶常微分方程的奇解 摘要 在常微分方程中，我们知道方程的解可以有多种，现在我们来讨论求奇解的方法。我们看到某些微分方程，会存在一些特殊的积分曲线，他并不属于这方程的积分曲线族，但是，在这些特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和他在此处相切。从而我们引出了积分曲线族的包络，而为了求微分方程的奇解，，我们应先求出他的通解，然后求通解的包络。 关键词：奇解，包络，C-判别式，P-判别式 1.何谓奇解 设一阶隐式方程) x F=0有一特解 y , , (,y )(:x y ψ=Γ，j x ∈ 如果对每一点Γ∈P ，在P 点的任何一个领域内，方程),,(,y y x F =0都有一个不同于Γ的解在P 点与Γ相切，则称Γ是微分方程的),,(,y y x F =0的奇解 定义：如果一个一阶微分方程的一个特解的积分曲线上的每一点都至少和这个微分方程的不同的积分曲线相切，并且这相切的积分曲线在切点的任何邻域内都不重合，则称这个特解为这个微分方程的奇解 2.奇解的产生 先看一个例子，求方程 033=-?? ? ??y dx dy （1） 或与它等价的方程 3y dx dy = 的解。 经分离变量后，可得（1）的通解 3)(27 1c x y += 容易看出，y=0也是原方程的一个解。现在来研究这个解y=0有什么特殊的地方。由图我们看到，在解y=0上的每一 点)0,(0x 处相切，这种特殊的积分曲线y=0 称为奇积分曲线，他所对应的解就是奇 解，这就是奇解的产生。 我们现在给出曲线族包络的定义 某些微分方程，存在一些特殊的积分 曲线，会存在一些特殊的积分曲线，他并 不属于这方程的积分曲线族，但是，在这些特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和他在此处相切。在几何学里，这些特殊的积分曲线称为上述积分曲线族的包络，在微分方程里，这些特殊的积分曲线所对应的解酒称为方程的奇解。 § 3.1.2用二分法求方程的近似解教案 【教学目标】 1. 根据具体函数图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解； 2. 通过用二分法求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形 成用函数观点处理问题的意识. 【教学重难点】 教学重点：通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识. 教学难点：精确度概念的理解，求方程近似解一般步骤的概括和理解 【教学过程】 (一) 预习检查、总结疑惑 检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。 (二) 情景导入、展示目标。 探究任务：二分法的思想及步骤 问题：有12个小球，质量均匀，只有一个是比别的球重的，你用天平称几次可以找出这个球的，要求次数越少越好，解法： 第一次，两端各放________ 个球，低的那一端一定有重球； 第二次，两端各放___________ 个球，低的那一端一定有重球； 第三次，两端各放________ 个球，如果平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球 思考：以上的方法其实这就是一种二分法的思想，采用类似的方法，如何求y In x 2x 6的零点所在区间？如何找出这个零点？ 新知：对于在区间［a,b］上连续不断且f(a)gf(b)<0的函数y f(x)，通过不断的把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法(bisection). 反思： 给定精度&，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如何呢？ ①确定区间［a,b］，验证f(a)gf (b) 0 ,给定精度「 ②求区间(a,b)的中点x,； ③计算f(x,)：若f(xj 0，则x,就是函数的零点；若f(a)gf(xj 0，则令b x,(此 时零点x o (a,xj)；若f (x,)gf (b) 0 ,则令a x,(此时零点怡(x, ,b))； ④判断是否达到精度「即若|a b| ，则得到零点零点值 a (或b)；否则重复步骤 ②?④. (三) 典型例题 例1借助计算器或计算机，利用二分法求方程2x 3x 7的近似解. 解析：如何进一步有效的缩小根所在的区间。 解：原方程即为2x 3x 7 0,令f(x) 2x 3x 7，用计算器或计算机作出对应 的表格与图象(见课本90页) 则f (2)f(1) 0,说明在区间(1,2)内有零点x0, 取区间(1,2)的中点1.5，用计数器计算得f(1.5) 0.33，因为f(1)f(1.5) 0,所以X。(1,1.5). 再取区间(1,1.5)的中点1.25，用计数器计算得f(1.25) 0.87，因为f(1)f(1.5) 0 ,所以x0(1.25,1.5). 同理可得x o (1.375,1.5)x0 (1.375,1.4375) 由于 Hefei University 《化工传递过程基础》 题目：奈维—斯托克斯方程 系别：化学材料与工程系 班级：12级化工（3）班 姓名：唐楠楠 学号：1203023002 教师：胡坤宏 日期：2014-03-26 一、基本简介 奈维-斯托克斯方程（英文名；Navier-Stokes equations），描述粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程，简称N-S方程。是牛顿第二定律在粘性流体运动时的具体表达式。等式左边是流体微元的加速度和质量之积，右端是作用于其上的合外力，也可将该方程看作是惯性力.重力.压力和粘性力这四种力的平衡。 1821年由C.-L.-M.-H.奈维和1845年由G.G.斯托克斯分别导出而得名，是一组描述象液体和空气这样的流体物质的方程。这些方程建立了流体的粒子动量的改变率(加速度)和作用在液体内部的压力的变化和耗散粘滞力(类似于摩擦力)以及重力之间的关系。这些粘滞力产生于分子的相互作用，能告诉我们液体有多粘。这样，奈维-斯托克斯方程描述作用于液体任意给定区域的力的动态平衡。他们是最有用的一组方程之一，因为它们描述了大量对学术和经济有用的现象的物理过程。它们可以用于模拟天气、洋流、管道中的水流、星系中恒星的运动、翼型周围的气流。它们也可以用于飞行器和车辆的设计、血液循环的研究、电站的设计、污染效应的分析，等等。Navier Stokes(奈维叶－斯托克斯)方程是流体力学中描述粘性牛顿流体的方程，是目前为止尚未被完全解决的方程，目前只有大约一百多个特解被解出来，是最复杂的方程之一。 二、N-S方程的意义 当流体运动时，相邻两流体隔离体之间的相互作用，一方面体现为压力(一般说来，压力这个量依赖于密度和温度)；另一方面体现为粘性力（而粘性力和变形率有关）。斯托克斯假设应力张量同变形率张量成正比。在最一般的情形下，用直角坐标系x、y、z和时间t作自变量，这些方程把速度的三个分量u、υ、w 同密度ρ、压力p用下列三个微分方程联系起来：N-S方程相配的固体壁边界条件是紧靠固体壁的流体附着在固体壁上，并和固体壁同速运动，这叫做流体的附着条件.同欧拉方程相比，N-S方程多了同粘性有关的项（包含η和η的项），它们的项数多、阶次高；固体壁边界条件也多，附着条件比欧拉方程的绕流条件（即允许流体沿固体壁滑过去，也就是比允许沿固体壁切面方向，流体有不同于固体壁的分速度）增多了要求。可见解 N-S方程比解欧拉方程难得多。用位势流理论可以求解欧拉方程，但不用它解N-S方程，关键在于满足不了附着条件。 试论常微分方程的奇解 摘要: 一阶微分方程拥有含有一个任意常数的通解,另外可能还有个别不含于通解的特解,即奇解,利用P-判别法和C-判别法可以求出奇解,而这两种判别法是否适用于求每一个一阶微分方程的奇解?此文中举了几个例子来说明这个问题.并给出另外三种求奇解的方法. 关键词: 一阶微分方程,奇解,P-判别式,C-判别式,C-P消去法,拾遗法,自然法. Discussing Singular Solution about First Order Differential Equation ZHU Yong-wang (Class 1, Grade 2006, College of Mathematics and Information Science) Advisor: Professor LI Jian-min Abstract: First order differential equation has a general solution which contains an arbitrary constant, but sometimes it has special solution that is singular solution, which can be solved by the P-judgment method and C-judgment method．While whether the two judgments can be applied to get every singular solution to the first order differential equation? This paper intends to illustrate this problem with several examples． Key words: Singular solution, P-judgment, C-judgment, C-P elimination method, The supplement method, Natural method. 1．引言 一般来说一阶常微分方程拥有任意常数的通解,另外还有个别不含于通解的特解.这种特解可以理解为通解的一种蜕化现象.它在几何上往往表现为解的唯一性遭到破坏.早在1649年莱布尼兹就已经观察到解族的包络也是一个解.克莱络 很多人一听到N-S 方程就有点头皮发麻，因为涉及到流体力学的知识比较多，如果没有一个完整有逻辑的思路，理解N-S 方程是有点困难。其中涉及到欧拉法，场论，随体导数，流体力学连续性方程（即质量守恒方程），流体力学N-S 方程（即动量方程），动量方程在流体力学中有两种，一种是理想流体动量方程，一种是粘性流体动量方程，粘性流体的动量方程也叫纳维-斯托克斯方程，也简称N-S 方程。我试图想把N-S 方程弄清楚点，所以写了一点东西，分享一下。 首先要讲一下流体力学的欧拉法，在课本中还讲了拉格朗斯法，因为连续性方程和N-S 方程是用欧拉法得出的，和拉格朗日法没什么关系。我就不讲拉格朗日法，以免产生混乱。欧拉方法的着眼点不是流体质点而是空间点。设法在空间中的每一点上描述出流体运动随时间的变化状况。如果每一点的流体运动都已知道，则整个流体的运动状况也就清楚了。欧拉方法中流体质点的运动规律数学上可表示为下列矢量形式：假设空间一点的坐标(x,y,z,t)，其中x,y,z 是该空间的坐标，t 是此刻时间。u,v,w 是这一空间点的三个方向速度。p,ρ,T 是这一空间点的压力，密度和温度。这样就有了每一个点的速度，压力，密度，温度，就可以描述运动流体的状态。这里需要强调一点的是下面这六个式子，可以换一个角度把他们看成方程，对后面理解连续性方程和N-S 方程有帮助，比如u=x+2y+3z ) ,,,(); ,,,(); ,,,();,,,(); ,,,(); ,,,(t z y x T T t z y x t z y x p p t z y x w w t z y x v v t z y x u u ======ρρ 因为后面需要随体导数的概念，还需要把速度函数表示成矢量的形式。前面u,v,w 是标量，是ν 在(x,y,z,t)直角坐标系三个方向的速度。 ),(t r νν= M 点（x,y,z,t ），速度为),(t M ν ，过了t ?之后，在M '点，速度为),(t t M ?+'ν 。根据用二分法求方程的近似解教学设计
一阶常微分方程的奇解
二阶常微分方程解
“用二分法求方程的近似解”教学设计
一阶常微分方程的奇解
山东临清三中高中数学3.1.2用二分法求方程的近似解教案新人教A版必修1
奈维-斯托克斯知识点讲解
试论常微分方程的奇解
N-S(纳维斯托克斯)方程推导过程