广东省茂名市2021届高三数学第二次综合测试试题 理

广东省茂名市2020届高三数学第二次综合测试试题 理

本试卷分选择题和非选择题两部分，共5页，23小题，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上.

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内. 写在试题卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑. 答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 5．考试结束后，请将答题卡上交.

第一部分 选择题(共60分） 1. 若()2,,x i i y i x y R -=+∈，则复数yi x +的虚部为（ ） A.2 B.1 C.i D.-1

2．已知集合U R =,{

}

2

lg(4)A x y x ==-，{}

21x x B =-≤<，则A B =（ ）

A ．(2,2)-

B ．(2,1)-

C ．[2,2]-

D ．[2,2)- 3. 已知π1sin 62θ?? ??=?-，且π0,2??∈ ???θ则πcos 3θ?

?-= ??

?（ ）

A.0

B.

1

2

C.1 3 4. 下列命题错误的是（ ）

A ．“x ＝2”是“x 2?4x +4＝0”的充要条件

B ．命题“若14

m ≥-，则方程x 2

+x ?m ＝0有实根”的逆命题为真命题

C ．在△ABC 中，若“A ＞B ”，则“sin A ＞sin B ”

D ．命题p ：“?x 0∈R ，x 02?2x 0+4＞0”，则﹁p ：“?x ∈R ，x 2?2x +4＜0” 5. 《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方”，是中华文化阴阳术数之源。河图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八为友居左，四与九同道居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为（ ） A.5

1

B.

256 C.257 D.25

8

6. “辗转相除法”是欧几里得《原本》中记录的一个 算法，是由欧几里得在公元前300年左右首先提出 的，因而又叫欧几里得算法.如图所示一个当型循环

结构的“辗转相除法”程序框图. 当输入m=1995，

n =228，输出的m 是( )

A. 3

B. 19

C. 57

D. 114

7.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm,细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的

2

1

（细管长度忽略不计）.当细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此沙堆的侧面积为（ ） A. 45π B. 85π C. 317π D.417π 8.设偶函数()f x 满足1()()2(0)2x f x x =+≥，则使不等式()9

14

f x -<成立的x 取值范围是（ ） A.(,1)

(3,)-∞-+∞ B.(1,3)- C.(0,2) D.(,0)(2,)-∞+∞

9.圆M:()2

2

4x m y -+=与双曲线C:22

221x y a b

-=（0a >，0b >）的两条渐近线相切于A 、B 两点，若

32AB =，则C 的离心率为（ ）

A.

3

3

2 B.

3 C. 2 D.3 10.某贫困县为了实施精准扶贫计划，使困难群众脱贫致富，对贫困户实行购买饲料优惠政策如下： (1)若购买饲料不超过2000元，则不给予优惠；

(2)若购买饲料超过2000元但不超过5000元，则按标价给予9折优惠；

(3)若购买饲料超过5000元，其5000元内的给予9折优惠，超过5000元的部分给予7折优惠． 某贫穷户购买一批饲料，有如下两种方案：

方案一：分两次付款购买，分别为2880元和4850元； 方案二：一次性付款购买.

若取用方案二购买此批饲料，则比方案一节省（ ）元 A.540 B.620 C.640 D.800

11. 已知六棱锥P ABCDEF -的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，2PA AB =.则下列命题中正确的有( )．

①平面PAB ⊥平面PAE ；

②PB ⊥AD ；

③直线CD 与PF 5 ④直线PD 与平面ABC 所成的角为45°; ⑤CD ∥平面PAE .

A. ①④

B. ①③④

C. ②③⑤

D. ①②④⑤

12.若关于x 的方程()1123042x x

m m m ?????+-?+= ? ?????

在(),1-∞上有唯一实数解，则实数m 的取值范围（ ）

43]320.A 或，（ ]320.B ，（ 4

1]920.C 或

，（ ]920.D ，（ 第Ⅱ部分非选择题（共90分）

二．填空题：本大题共4小题，每小题 5分，共20分.

13．已知向量42=-(,)a ，11=-(,)b ，若⊥b (+a k b )，则k = . 14．62

()x x

+

的展开式中，常数项是 .

15.已知曲线()2

1ln(1)2

f x x x =++

在点()()1,1f 处的切线的倾斜角为α,则22sin sin cos ααα+= .

16．在ABC ?中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且6cos (2cos ),6A a C c =-=，则ABC ?的

a ，

b 的等量关系式为 ，其面积的最大值为 .(本题第一空2分，第二空3分）

三.解答（本大题共5小题，每题12分共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17.设*

n N ∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知n n n a s s +=+221，且2

1

1=

a ，正项的等差数列{}n

b 的首项为2，且321,1,b b b -成等比数列. (1) 求{}n a 和{}n b 的通项公式； (2) 求证：122

7

n b b b a a a +++<.

18.如图，已知ABC ?内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，四边形DBCE 为平行四边形，F 是CD 的中点， （1）证明：//OF 平面ADE ；

（2）若四边形DBCE 为矩形，且四边形DBCE 所在的平面与圆O 所在的平面互相垂直，22==AC AB ，AE 与圆O 所在的平面的线面角为600

．求二面角D-AE-B

的平面角的余弦值.

19.已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b

y a x C 右焦点与抛物线x y 342

=的焦点重合，以原点为圆心、椭圆短

半轴长为半径的圆与直线1l :2+=x y 相切. （1）求椭圆的方程

（2）若直线2l ：02=+-y bx 与y 轴交点为P ，A 、B 是椭圆上两个动点，它们在y 轴两侧,PB PA ≠,APB ∠的平分线与y 轴重合，则直线AB 是否过定点，若过定点，求这个定点坐标，若不过定点说明理由.

20.2020年初全球爆发了新冠肺炎疫情，为了防控疫情，某医疗科研团队攻坚克难研发出一种新型防疫产品，该产品的成本由原料成本及非原料成本组成，每件产品的非原料成本y （元）与生产该产品的数量x

（千件）有关，根据已经生产的统计数据，绘制了如下的散点图.

观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用函数b y a x

=+对两个变量的关系进行拟合。参考数据（其中1i i

u x =

）： u

2

u

6

21

u

i

i =∑

6

1

i

i y

=∑

6

21

i

i y

=∑

6

1

i i

i u y

=∑

0.48345252.44?

0.41

0.1681

1.492 306 20858.44 173.8

50.39

（1）求关于x 的回归方程，并求y 关于u 的相关系数（精确到0.01）.

（2）该产品采取订单生产模式（根据订单数量进行生产，即产品全部售出）.根据市场调研数据，若该产品单价定为80元，则签订9千件订单的概率为0.7，签订10千件订单的概率为0.3；若单价定为70元，则签订10千件订单的概率为0.3，签订11千件订单的概率为0.7.已知每件产品的原料成本为30元，根据（1）的结果，要想获得更高利润，产品单价应选择80元还是70元，请说明理由.

参考公式：对于一组数据()11,u υ，()22,u υ，…，(),n n u υ，其回归直线u υαβ=+的斜率和截距的最小

二乘估计分别为：1

2

2

1

?υυ

β

==-=-∑∑n

i i i n

i

i u nu u

nu

，??α

υβ=-u ，相关系数1

2

2

22

11n

i i

i n

n

i i i i u nu r u nu n υ

υ

υυ===-=????-- ???????

∑∑∑.

21. 已知函数()ln 1a

f x x x

=+

-，a R ∈.

（1）若e

a 1

=

,求证：)(x f 有且只有两个零点 （2）a x

a x x x af x g +--+=2

2

2)()(有两个极值点1x ,212()x x x <,且不等式21)(mx x g ≥恒成立，试求实数m 的取值范围.

(二)选考部分：共10分 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22. (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C : ,

,x y θθ=??

=?

(θ为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴

建立极坐标系，直线l 的极坐标方程cos()4a πρθ-=，点M 4

π).在直线l 上，直线l 与曲线C 交于A ，

B 两点.

（1）求曲线C 的普通方程及直线l 的参数方程； （2）求△OAB 的面积.

23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f (x )=|x +1|?|x ?2|. （1）若f (x )≤1，求x 的取值范围；

（2）若f (x )最大值为M ，且a +b +c =M ，求证：a 2

+b 2

+c 2

≥3.

2020年茂名市高三级第二次综合测试 数学试题参考答案和评分标准(理科数学）

一、选择题：本大题共12小题，每小题 5分，共60分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B

D

C

D

A

C

D

A

A

C

B

A

2．【解析】因为{}22A x x =-<<，{}

21B x x =-≤<，所以[2,2)A B =-. 故选D.

3.【解析】法一：由π1sin 62θ??-= ???且π0,2θ??

∈ ???，得3=πθ，

法二：由π1sin 62θ??-= ???，所以π3cos 6?

?-= ??

?θ，

所以πcos 3θ??- ???ππcos 66θ????=-- ????

???ππππcos cos sin sin 16666θθ???

?=-?+-= ? ?????.故选C.

4.【解析】由

x 2?4x +4＝0?(x ?2)2=0? x ?2=0? x ＝2，∴A 正确；

命题“若14m ≥-，则方程x 2

+x ?m ＝0有实根”的逆命题为命题“若方程x 2

+x ?m ＝0有实根，则14m ≥-”，

若方程x 2

+x ?m ＝0有实根?△=1+4m ≥0?14

m ≥-，∴B 正确；

在△ABC 中，若A ＞B ?a ＞b ?sin A ＞sin B (根据正弦定理)∴C 正确,故选D.

5.【解析】因为阳数为：1，3，5，7，9；阴数为：2，4，6，8，10，所以从阴数和阳数中各取一数的所有组合共有：2555=?个,满足差的绝对值为5的有:(1，6)，(3，8)，(5，10)，(7，2)，（9，4)共5个,则p=5

1

255==

p 故选A 6. 【解析】输入m =2020，n =303，又r =1.

①r =1＞0，2020÷303=6··············202， r =202，m =303，n =202；

②r =202＞0，303÷202=1············101 r =101，m =202，n =101；

③r =101＞0，202÷101=2··············0. r =0，m =101，n =0；

④r =0，则r ＞0否，输出m =101，故选C.

7. 【解析】细沙在上部容器时的体积为21162433V π

π=

???=

，流入下部后的圆锥形沙锥底面半径为4，设高为h ，则2116433

h π

π???=，1h ∴=，∴

下部圆锥形沙锥的母线长2

2

4117l =+=，∴此沙锥的侧面积

417417S ππ=??=侧.故选D.

8. 【解析】易知()f x 在(0,)+∞上为单调递减，且9(2)4f =

，由()9

14

f x -<得，()1(2)f x f -<， 又因为()f x 为偶函数，所以1212x x ->-<-或，所以31x x ><-或.故选A. 9. 【解析】如图所示，32AB =,||2,MA MA OA =⊥

所示30,3

b AOM a ∠=∴

=

3

c e a a ∴===故选A

10. 【解析】【解析】依题意可得，方案一：第一次付款2880元时，因为28802000>，所以该款的原价享受了9折优惠，则其原价为32000.9

2880

=元；第二次付款4850元时，因为48504500>，所以其原来的价格为

48504500

500055000.7

-+=元．所以分两次购买饲料的原价为3200+5500=8700元.

方案二：若一次性付款，则应付款为：(87005000)0.750000.97090-?+?=元，所以节省(28804850)7090640+-=元. 故选C

11.【解析】∵PA ⊥平面ABC ，∴PA ⊥AB ，在正六边形ABCDEF 中，AB ⊥AE ，PA AE=A ，∴AB ⊥平面PAE ，

且AB ?面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PAE ，故①成立； ∵AD 与PB 在平面的射影AB 不垂直，∴②不成立；

∵CD//AF, 直线CD 与PF 所成角为∠PFA ，在Rt △PAF 中, 2PA AF

=,∴cos PFA ∠=,∴③成立 在Rt △PAD 中，PA ＝AD ＝2AB ，∴∠PDA ＝45°，故④成立． ∵CD ∥AF ∥平面PAF ，平面PAF 平面PAE=PA ，∴直线CD ∥平面PAE 也不成立，即⑤不成立．故选B

12.【答案】23{|0,}34

m m m <≤

=或 【解析】设12x

t ??= ???

，所以当(),1x ∈-∞时，1,2t ??∈+∞ ???， 此时，由题意得()2

230mt m t m +-+=，1,2t ??

∈+∞ ???

有唯一实数解233

1212t m t t t t

==++++，

1,2t ??

∈+∞ ???有唯一实数解, 令()12u t t t =++，由对勾函数的性质可知

1,2t ??∈+∞ ???时，()12u t t t =++在1,12??

???单调递减，在1,2??+∞????

上单调递增，

所以()3y u t =

在1,12??

???单调递增，在1,2??+∞????

上单调递减， 且当12t =时，32

132y u ==?? ???

，当1t =时3

4y =，结合()3y u t =的图象可知， 若y m =与()

3

y u t =

的图象有唯一交点， 即方程()1123042x

x

m m m ?????+-?+= ? ?????在(),1-∞上有唯一实数解，此时m 的取值范围是23

{|0,}34

m m m <≤=或.故选A

二．填空题：本大题共4小题，每小题 5分，共20分. 13．【答案】 3

解析：∵ ()b a kb ⊥+，∴()0b a kb ?+=，即2||0b a k b ?+=， 由已知得426,b a ?=--=-||2b =，∴620 3.k k -+=?= 14．【答案】60

【解析】试题分析：6

2()x x

的展开式的通项为36662662C ()()2C r

r r r r r x x x ---=(0r =，1，2，…，5)，

令

3602

r

-=得4r =，所以常数项是60. 15.【答案】

2413

【解析】由1'()1

f x x x =

++ ，在点()()1,1f 处切线斜率32k = ，即3

tan 2α=

所以222

222

2sin sin cos 2tan tan 24

2sin sin cos sin cos tan 113

ααααααααααα+++===++ 16．【答案】b=2a ; 12

【解析】等式)cos 2(cos 6C a A -=中 6换为c 得：)cos 2(cos C a A c -=?由正弦定理有：)cos 2(sin cos sin C A A C -=，

移项整理得：A C A sin 2)sin(=+，即A B sin 2sin =，所以CB CA 2=，以AB 为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则)0,3(),0,3(B A -，设

(,)C x y ，则2222)3(2)3(y x y x +-=++化简得：

22(5)16(0)x y y -+=≠如图，顶点C 在圆22(5)16(0)x y y -+=≠上,记圆心为 )0,5(E 显然当

AB CE ⊥时，三角形ABC 的面积最大, 这时1

122

ABC S AB CE ?=

?= . 三.解答（本大题共5小题，每题12分共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17.解：（1）由n n n a s s +=+221得，n n n n a a s s ==++1122-2 …………… ……………………………1分 即∴

21

1=

+n n a a

………………………………………………………………………………………………2分 ∴{}n a 是以首项

21，公比为2

1

的等比数列 ………………………………………………………………3分 ∴n

n a ）

（21

=

……………………………………………………………………………4分 设等差数列{}n b 的公差为d ，由21=b ，且321,1,b b b -成等比数列.

∴)22(2)1(2d d +=+ 即03-2-2=d d ………………………………………………………………5分 0>d ∴3=d ……………………………………………………………………………………6分

∴13-=n b n ……………………………………………………………………… …………… ………7分 （2）由（1）得1313)2

1(--==n n b a a n …………………………………………… ……………………8分

∴n b b b a a a +++ 21=1352-+++n a a a …………………………………………… …………………9分

=1352)21

()21()21(-+++n ………

…………… ……………………………10分 =33

132)21(-1)21()21(-)2

1(-n ……… …………………… ……………………………11分

=312112-()7727n -<

………………………………………………… ………12分 18.证明：（1）连结BE ， DBCE 平行四边形且F 为CD 中点

∴F 为BE 中点 ……………………………………………… ………………1分

又 O 为AB 的中点∴//OF AE ……………………… ………………2分

AE ?平面ADE ，OF ?平面ADE ……………………… ……… ……3分 ∴//OF 平面ADE ……………………………………………… ………4分

（2） 矩形DBCE ⊥平面ABC ，平面DBCE ?平面ABC=BC ，EC ⊥BC ，EC ?平面DBCE

∴EC ⊥平面ABC ……………………………5分

又 AB 为圆O 的直径 ∴AC ⊥BC

∴以C 点为原点建立如图所示的空间直角坐标系 22==AC AB ∴BC=3，AC=1

由EC ⊥平面ABC 得，∠EAC 就是AE 与平面ABC 所成的角 由tan600

=

AC

CE

得，CE=3 …………………………………6分 ∴A （1，0，0），E （0，0，3），D （0，3，3），B （0，3，0）………………………7分 ∴

=（-1，0，3），=(-1,3,3),=(-1,3,0) ……………… ……………8分

设平面AED 的一个法向量),,(m 111z y x =，

由，，AD m AE m

⊥⊥得

，00=?=?

即1111100

x x ?-+=??-++=??，所以)1,0,3(

=………………9分

同理可得，平面AEB 的一个法向量)1,1,3(n

= …………………………………………………10分

∴55

22

513n ,m cos =?+=

>=

<

……………………………… …………………11分 ∴二面角D-AE-B 二面角D-AE-B 的平面角的余弦值为

5

5

2

……………………………………12分 19.解：（1）抛物线x y 342

=的焦点为)0,3(，所以 c=3 ………………………………………1分

∵直线:02=+-y x 与圆2

22b y x =+相切， ∴b d ==+=

11

12

………………………………………………………………………………2分 ∴4222=+=c b a ………………………………………………………………………………3分

∵椭圆C 的方程是 2214

x

y += ……………………………………………… ………………4分 （2）b=1，直线:2l 02=+-y x 与y 轴交点P （0，2），………………………………………………5分 设椭圆上A 、B 两个动点的坐标为：1122(,)(,)A x y B x y 、. AB 方程为：,m kx y +=

由0448)41(4)(414222222

2=-+++?=++??????=++=m kmx x k m kx x y x m kx y

,414

4,4182

221221k

m x x k mk x x +-=+-=+得：

………………………………………………………………6分

2

111112,222x m k K x m k x m kx x y K PB PA -+=-+=-+=-=

同理得：

……………………………8分

又APB ∠的平分线在y 轴上

04

416844282222

22121=-+-=---+=+-+

=+m mk

k m m mk k x x x x m k K K PB PA )())(( .........10分 ,0,≠∴≠k PB PA m=

2

1

, ……………………………………………………………………… ……11分 直线2

1

:+=kx y AB 恒过定点)21,0( ………………………………………… ……………… …12分

20.【解析】（1）令1u x =，则b

y a x

=+可转化为y a bu =+，

因为306

516

y ==， …………………………………………………………………………………1分

所以6

1

6

2

2

1

6173.860.41511001.492648.34

?0.4830.1684

16i i

i i

i u y uy

b

u

u ==--??==

==-?-∑∑，……………………………………2分

则51??1000.4110a

y bu =-=-?=，………………………………………………………………3分 所以10100?y

u =+，因此y 关于x 的回归方程为100

10?y x

=+； ……………… …………………4分 y 与u 的相关系数为：

6

248.34

60.965039.i i

u y uy

r -=

=

=≈∑，………………6分 （2）法一：（i ）若产品单价为80元，记企业利润为X （元）， 订单为9千件时，每件产品的成本为100100

10304099

++=+

元， 企业的利润为100

804090002600009

-+

?=[()]（元）

，…………………………………………………7分 订单为10千件时，每件产品的成本为10

100

103050++=元，

企业的利润为805010000300000-?=()（元），…………………………………………………………8分

企业利润X （元）的分布列为

所以2600000.73000000.3272000EX =?+?=（元）；………………………………………9分 （ii ）若产品单价为70元，记企业利润为Y （元）， 订单为10千件时，每件产品的成本为10

100

103050+

+=元， 企业的利润为705010000200000-?=()（元）， 订单为11千件时，每件产品的成本为100100

1030401111

++=+

元， 企业的利润为100

70401100023000011

-+

?=[()]（元）

，……………………………………………10分 企业利润Y （元）的分布列为

所以2000000.32300000.7221000EY =?+?=（元），……………………… …………………11分

>EX EY 又 故企业要想获得更高利润，产品单价应选择80元. …………………………………12分

法二：（i ）若产品单价为80元，记企业的产量为X （千件），其分布列为

所以90.7100.39.3EX =?+?= ………………………………………………………………………8分 企业的利润为：100

8040930027200093[()].-+

?= ………………………………

…………………9分 （ii ）若产品单价为70元，记企业的产量为Y （千件），其分布列为

所以100.3110.710.7EY =?+?= ……………………………………………… …………………10分 企业的利润为：100

704010700221000107[()].-+

?=

…………………………………………………11分 272000>221000又

故企业要想获得更高利润，产品单价应选择80元. ……………………12分

21. 解:(1)1ln )(-+=x

a

x x f 定义域为),0(+∞， 2/12)(x

a

x x a x x f -=--=，又e a 1= …………………………………………………………1分 所以()f x 在)1,0(e 是减函数，在),1

(+∞e

是增函数 …………………………………………2分

又01111ln )1(<-=-+=e e f ， 0411

ln )1(2233>-=-+=e e e

e f

所以()f x 在)1,1(3e e 有唯一零点，且在)1

,0(e

也有且只有唯一零点，…………………………3分

同理01111

ln )1(<-=-+=e e f ，0111

2>=-+=e

e e e e

f ln )(

所以()f x 在),(e e 1

有唯一零点，且在),1(+∞e

也有且只有唯一零点 …………………………4分 所以)(x f 有且只有两个零点 ……………………………………………………… …………………5分 （2）x x x a x g 2ln )(2

-+=定义域为),0(+∞，

)(x g 有两个极值点1x ，()212x x x <，即

02222)(2/

=-+=-+=x

x

x a x x a x g ，0222=+-a x x 有两不等实根)0(,2121x x x x <<…… 6分

1

002a ∴?>?<<

，

且212111,22x x a x x +==-， …………………………………………………………………7分

从而121

012

x x <<

<<, …………………………………………………………………………8分 由不等式21)(mx x g ≥ 恒成立，得

1

1

2

1112

1211212112222x x x x x x x x a x x x x g m --+-=

+-=≤ln )(ln )(

()1111

1

12ln 1x x x x =--

+- 恒成立 …………………………………………………10分 令11()12ln 012h t t t t t t ?

?=--

+<< ?-?

?,

当102t <<

时21()12ln 0(1)h t t t '

=-+<-恒成立，所以函数()h t 在10,2?? ???

上单调递减，

13()ln 222h t h ??

∴>=-- ???

， …………………………………………………………………11分

故实数m 的取值范围是)2ln 2

3

,(---∞ …………………………………………………………12分 (二)选考部分：

22.解：（Ⅰ）将曲线C

: ,,x y θθ=??=?

消去参数得，曲线C 的普通方程为：

22143y x +=.……………1分 ∵点M

4π)在直线cos()4a πρθ-=上，∴a

)44ππ-

. ……… …………………2分

∴cos()4πρθ-=

ρcos θ+ρsin θ

, 又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， ∴直线l 的直角坐标方程为x +y ?2=0, …………………………………………………………………4分 显然l 过点(1, 1), 倾斜角为34

π.

∴直线l

的参数方程为1,

1,x y ?

=-

??

?=+?

(t 为参数). ………………………………………………………5分

（Ⅱ）法一：由（Ⅰ），将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程得：

2211(1)(1)143++=， …………………………………………………………………6分

整理得27100t +-=，显然△＞0

设A , B 对应的参数为t 1, t 2,

则由韦达定理得12t t +=12107t t =-. ………………………7分

由参数t 的几何意义得|AB |=| t 1?t 2

， …………8分

又原点O 到直线l 的距离为d

=…………………………………………………9分 因此，△OAB 的面积为S

=1112||227AB d =. …………………………………………10分

法二：由（Ⅰ）可知，直线l 的直角坐标方程为x +y ?2=0,

联立2220

14

3x y x y +-=??

?+=??,整理得271640x x -+=，显然△＞0 ……………………… …………………6分

设A , B 对应的坐标为1122(,),(,)x y x y t 1则由韦达定理得12167x x +=，1247

x x =. …………………7分

所以

||

AB=………………………………8分

又原点O到直线l的距离为d

=………………………v…………………………9分

因此，△OAB的面积为S

=1112

||

227

AB d==. …………………………………………10分

法三：由（Ⅰ）可知，直线l的直角坐标方程为x+y?2=0,

联立22

20

1

43

x y

x y

+-=

?

?

?

+=

??

,整理得2

71640

x x

-+=，显然△＞0 …………………………………………6分

设A, B对应的坐标为

1122

(,),(,)

x y x y则由韦达定理得

12

16

7

x x

+=，

12

4

7

x x=. …………………7分

因为直线l过椭圆右顶点（2,0），所以

7

16

2

2

=

+x，

7

2

2

=

∴x…………………8分

把

7

2

2

=

x代入直线l的方程得

7

12

2

=

y…………………9分

因此，△OAB的面积为S=

7

12

7

12

2

2

1

=

?

?. ………………………………………………………10分23．解：(Ⅰ)由已知

3,2,

21,12,

(

, 1.

)

3

x

x

f x

x

x

≥

??

--≤

?

--

??

=＜

＜

..................................................................1分当x≥2时，f(x)=3，不符合； (2)

分

当?1≤x＜2时，f(x)=2x?1，由f(x)≤1，即2x?1≤1，解得x≤1； (3)

分

当x＜?1时，f(x)= ?3，f(x)≤1恒成立. (4)

分

综上，x的取值范围是(,1]

-∞. (5)

分

(Ⅱ) ()|1||2||12|3

f x x x x x

=+--≤+-+=,

由(Ⅰ)知当且仅当x≥2时，f(x)=3，…………………………………………………………………6分所以M=f(x)Max=3.即a+b+c=3，…………………………………………………………………………7分因为a2+b2≥2ab，a2+c2≥2ac，c2+b2≥2cb，…………………………………………………………8分所以2(a2+b2+c2)≥2(ab+ac+cb)

所以3(a2+b2+c2)≥a2+b2+c2+2ab+2ac+2cb=(a+b+c)2=9 …………………………………………9分因此(a2+b2+c2)≥3 …………………………………………………………………………………10分